Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  16 (1978) M OD ELOWAN I E  WI E LO ST O P N I O WYC H   P RZ EKŁAD N I  ZĘ BATYCH  M ETOD Ą  SZTYWN YCH E LE M E N TÓW  SKOŃ C Z ON YCH STEFAN   B E R C Z Y Ń S K I,  HENRYK  M A Ć K O W I A K, KRZYSZTOF   M A R C H E L E K  (SZCZECIN ) Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  (SES) może być efektywnie  wykorzystana do  obliczeń  gię tno- skrę tnych  drgań  swobodnych  i  wymuszonych  napę dów  wielostopnio- wych z przekł adniami zę batymi. W monografii  [1], która jest najpeł niejszym opracowaniem metody  SES, problem  ten  nie  został   poruszony.  W  niniejszej  pracy  przedstawiony  jest algorytm  obliczeń, który  stanowi  rozwinię cie  metody  SES w jej  zastosowaniu  do obliczeń napę dów  z  przekł adniami  zę batymi.  Algorytm  opracowano  dla  modelu  przekł adni zę - batej  przenoszą cej  ś rednie  moce  (np.  napę dy  obrabiarek),  w  której  nie  wystę puje  luz obwodowy. a) -   element  jprę ż yjł o  - ttumą cy t . r L r ». r _ i - i ~> — ł 1 r~ «- U _ i j Rys.  1 Przy  tworzeniu  przedstawionego  modelu  pominię to  takie  zjawiska,  jak  zmiana  ką ta przyporu1*  na  skutek  odkształ ceń zę bów,  wpływ  nierównomiernoś ci rozkł adu obcią ż enia wzdł uż linii  styku  zę bów  oraz  zazę bienia  krawę dziowego  powstają cego  wskutek zwichro- wania  kół  pod  obcią ż eniem,  bł ę dów wykonawczych  i  montaż owych  oraz zjawiska  giros- J )  Definicje  poję ć zwią zanych  z geometrią   zazę bienia znaleźć moż na n p.  w [4]. 280 S.  BE R C Z YŃ SK I,  H .  M AĆ K O WI AK,  K .  M AR C H E LE K kopowe.  Wpł yw  tych  czynników  n a  procesy  dynamiczne  zachodzą ce  w  n apę dzie  jest z  reguł y  lokalny  i  m oż na  go  w  pierwszym  przybliż eniu  przy  analizie  cał oś ci  n apę du  p o - m iną ć. N a  rys.  1.  pokazan o  model  przykł adowej  dwustopniowej  przekł adn i  zę batej  zbu do- wany  ze  sztywnych  elementów  skoń czonych,  poł ą czonych mię dzy  sobą   elementami  sprę - ż ysto- tł umią cymi  o  liniowych  charakterystykach.  K oł a  zę bate  są   przedstawione  za  p o - mocą   SES n r 2,  5,pir. Rys.  2 N a  rys.  2  przedstawiono  sposób  m odelowan ia  zazę bienia  dla  przypadku  trzech współ - pracują cych  kólp,  r,  s.  Przyję to  zał oż enie, że koł a  współ pracują   ze  sobą   n a linii  przypora. P unkty  styku  P pr - P ,  P pr - r   oraz  P rs _ r   i  P r s _ j  tylko  w  stan ie  równowagi  pokrywają   się tworzą c  odpowiednio  pun kty  P pr   i  P rs   (rys.  2).  W  czasie  ruch u  pun kty  P pr - P ,  P pr - r  oraz P M _ r  i  P „ _ s muszą   cią gle  znajdować  się   n a  odpowiednich  pł aszczyznach  zazę bienia,  któ- rych  ś lady  przecię cia  z pł aszczyzną   rysunku  oznaczono przez  / „  i  l pr .  Jest  to  równ ozn aczn e z  nał oż eniem na  ukł ad  wię zów  geometrycznych.  W  pu n kt ach  styku  P pr   i  P rs   zaczepion o ukł ady  współ rzę dnych  P pr> Z prl ,Z pr2 ,Z vr i  oraz  P rs ,  Z fsi ,  Z rs2 ,  Z rs3 .  M acierze  współ - rzę dnych pun któw  P pr - P>   P pr ^ r  i P rs - r,  Prs- s w  tych  ukł adach mają   p o st ać: ;  ..  •   .  Pr~P.  =   C O H ^ p r - p l> Z pr _ v i,  Z pr _ p3 j, Ł > P T - r  — -.  .  VT ~T   ~ gdzie  Ż j„._p —  macierz  kolumnową   współ rzę dnych  pu n kt u  P p i . _ p  w  ukł adzie  Ppr,Ztrl, Zpn,  Z P r3,  Z p r _ p i  —współ rzę dn a.pu n ktu  Ppr~ pna.  osi  Z p r _ t ,  (i  =   1^2,  3); MOD ELOWAN IE  WIELOSTOPNIOWYCH  PRZEKŁADN I  ZĘ BATYCH 281 M acierze  wektorów  kierun kowych  pł aszczyzn zazę bienia  mają   postać U pr   =   C0\ {A p r, B pr ,  Cpr}',  ^ rs  =   C o l{^ r s,  Brs,  Crs}. R ówn an ia wię zów geom etrycznych  (pł aszczyzn zazę bienia) wyraż one  są   wzoram i: (1)  f pr   ==  A pr {Zpr- pl  — Zpr- n)  + Bpr{Zpr- p2 — Z pr- rz) +  C pr(Z p r_ p3 — Zpr- ri)  ~  0) (2)  f rs   =   A r .(Z„- n - Z„- sl )  + B„(Z r ,_ T a ~Z„- l 3  + C r ,(Z n - r3 - Z„- t a)  =   0. U kł ady  współ rzę dnych  są   ukł adam i prawoskrę tn ym i,  przy  czym  osie  Z pr2   i  Z r s 2  są   zwró- co n e  do  osi  obrot u  kó ł  n apę dzan ych  w  danej  współ pracują cej  parze. P rzy  wyprowadzan iu  wzorów  ustalon o  nastę pują ce  reguł y: litera  stoją ca  n a  pierwszym  miejscu  w  indeksie  oznacza  koł o  napę dzają ce,  litera stoją ca  n a  drugim  miejscu  —  ko ł o  n apę dzan e, n p . in deks pr  oznacza, że  koł o  napę dzają ce m a  n um er p  zaś  koł o  n apę dzane m a  n um er r, —  kierun ek  obrotów  ko ł a  napę dzają cego  (n p. p) jest prawy, gdy  ukł ad  z n im  zwią zany obraca  się   zgodnie  z  reguł ą   ś ruby  prawoskrę tn ej  wokół   osi  x pi , —  kierun ek  poch ylen ia  linii  zę bów  koł a  napę dzają cego  (n p. p)  jest  prawy,  gdy  rzut linii zę bów  n a pł aszczyznę  osi  x pl ,  x p3   tworzy  z osią   x p l  ką t  od 0°  do  90°. Rys.  3 Współ rzę dne  A pT ,  B pr ,  C pr   wektora  kierun kowego  pł aszczyzny  zazę bienia  kół   p  i  r opisują   zależ noś ci A pr   =   ( - i y+ 1 c o s a „ s m / 3 p r ,  Bpr  =  ( - l ) ' s i n an ) w   C pr   =   cosa n cos/ 9p r, przy  czym jO —  gdy  kierun ek  obrot ó w  koł a  p  jest  prawy, gdy  kierun ek  obrotów  ko ł a  p  jest  lewy. y  czym jO — ~ \ l — (0 \ l 0 —  gdy  kierunek; poch ylen ia  linii  zę bów  koł a p  jest  prawy, \   gdy  kierun ek  poch ylen ia linii  zę bów  koł a/ ) jest lewy, gdzie  «„ oznacza n om in aln y  ką t  przyporu  koł a  zę batego,  zaś  / 3pr ką t  pochylenia  linii  zę ba k o ł a  p.  •   y  .. 282  S.  BE R C Z YŃ SKI,  H .  M AĆ K OWI AK,  K .  M AR C H E LE K Zależ noś ci  (1) i  (3) są   także  sł uszne dla przekł adni utworzonej  z kół  stoż kowych  (rys.  3)» U kł ad  współ rzę dnych  P pr!   Z prl ,  Z pr2 ,  Z pr3   powinien  być  tak  zorientowany,  aby  oś  Z prl pokrywał a  się   ze wspólną   tworzą cą   stoż ków  podział owych  obu  kół  p  i  r, zaś  oś  Z p P 2  zwró- cona był a w kierunku  osi  obrotu koł a napę dowego  r. R ównania  wię zów  (1)  i  (2)  należy  wyrazić  w  tych  samych  współ rzę dnych,  w  których opisany jest  ruch  sztywnych  elementów  skoń czonych. Jako  współ rzę dne  uogólnione  opisują ce  ruch  sztywnych  elementów  skoń czon ych  przy- ję to  trzy  wzajemnie  prostopadł e przemieszczenia  translacyjne  d  wzdł uż  osi  xf  oraz  trzy ką ty  obrotów f  wokół  tych osi. N a przykł ad przemieszczenia  uogóln ion e  SES /•  i s  wyraż one są   zależ noś ciami: qP  =   col{qn,  qr2,  ...  qrS,  qr6}  =   c o l{8r , P}, ( 4)  , r  • >  , , »:  ,  i q5  =   c o % s l ,  qs2)  ...  qsS,  qs6}  =   co l{Ss, <|>s}, gdzie  q ri ,  q si   oznacza  przemieszczenia  uogólnione  kół  r  i  s  w  ukł adach 0P ,  x P l ,  xr2,  xr3  i Przemieszczenia  pun któw  P rs   kół  r i s w  ukł adzie  Z P S l ,  Z „ 2 ,  Z r s 3  wyrazić  m oż na  za pomocą   współ rzę dnych  uogólnionych,  korzystają c  z  wzorów: q, s_P  =   U r s- P VP S - P q P , qrs- s  =  U,,_,V„_,q„ przy  czym  > ( 4 b )  r  " ~ r U  " " ' * '  '  "~ r5>  r s ~ r 6 1  . f i * * , " " ' , ' q M _ P  =   C O l i ^ r s_ s i ,  qrs- s2>  • ••   qrs- sS,  qrs- s6S  —  C O l{O P S_ s,  4*rs- s/» gdzie  q rs - ri—q r s- si  oznaczają   przemieszczenia  kół   r i s w  ukł adzie  P rs ,  Z P S 1 , Z r s 2 ,  Z „ 3 . Wystę pują ce  w  równ an iach  (4a)  macierze  U „ _ P  i  U „ _ s transformacji  przemieszczeń z  ukł adów  0 r ,  xn,  xr2,  xr3  i  0s,  xsl,  xs2,  xs3  do  ukł adu  P r s , Z, sl,  Zrs2,  Zta3  wyraż one  są nastę pują co: (5)  U P S_ P =   T  ,  U P S_ S  =   „ r  , przy  czym oraz  macierze  wersorów  osi  ukł adów h  =  col {jP i,  j P 2 ,  jP 3 },  j s  =   col {js l ,  j s 2 ,  j s 3 }, J r «-   C 0l{jP S l, jP s 2, i"P s 3}. "Wyraz  C P S_ P < I ) t |  macierzy  C P S_ P  zdefiniowany  jest  n astę pują co: C „ - P ( u ,  =   cos(Xrl,  Zrsk),  h  k  =   1, 2,  3, gdzie  (X H ,  Z rsk )  —  oznaczają   ką t  zawarty  mię dzy  / - tą   osią   ukł adu  zwią zanego  z  koł em  r a  k- tą  osią   ukł adu  P rs ,  Z m ,  Z P s 2 ,  Z P s 3 ,  do  którego  transformuje  się   przemieszczenia. M acierze  vr j_ r ,  vP,_5  przenoszenia  przemieszczeń  z  ukł adów  Or,  Xrl,  Xr2,  Xr3  i  O , i, ^ si>^ s2,^ s3  do  ukł adu  P rB)   Z rst ,  Z„ 2)   Z ra3   są   wyraż one  w  postaci (7)  V  -   v 284  S.  BERCZYŃ SJU,  H .  MAĆ KOWIAK, K.  MARCHELEK przedstawić  m oż na  w  postaci:  .  . (15a)  f pr   =  n J r Z p r _ p - < , . Zp r _ r  =  0, (16a)  / „  -   n r T s Z r s _ r - n ? ; Z „ _s  =  0. Podstawiają c  do  równań  (15a)  i  (16a)  zależ noś ci  (12) uzyska się : f pr   =  nT pt C^ _ p y^ p qp- n T pr C^ r V^ r ą r   =  0, Wprowadzają c  oznaczenia: Ti  _  nT   r*T   V *  •   T  —  n T   C T  V * pr—p —  "pr^ pr- p  '  pr- pi  *pr—r —  "pr^ pr—r  ' p r —r j *•   '  T  — nT rT  v *  T  — n T T  V* 1- rs—r  —  "r s ^ T i — r  '  rs— r >  xrs—s  "rs^ rs—s  " rs—s? równania  (17)  przyjmują   postać fpr  =  T p r _ p q p - Tp r _ r q , .  =  0, 1  j   fn  =  T r s _ r q , - Tr s _ s q s  =  0. Wyraż enia  (19) są  liniowymi  formami  współ rzę dnych  uogólnionych.  Wyrazy  macierzy T p P - p,  T p r _ r , T r s _ , 5  T r s _ s są  pochodnym i równ ań  wię zów  wzglę dem  odpowiedn ich  współ - rzę dnych  uogólnionych,  czyli T , r  P  ~  \   8fpr  >  8f"r r hŁ (20) L ^ " '  8qr2'- '  8qr6\ ' rs- s~ Przy  zał oż eniu, że wię zy  są   idealne,  równ an ia  ruchu  m odelu  n apę du  skł adają cego  siC* z  SES i uwzglę dniają cego  wię zy geometryczne  nał oż one n a zazę bienia  m oż na zapisać w pos- taci  • (21)  M q  +  Lq +  K q =   P + gX , gdzie M  oznacza  diagonalną   macierz  współ czynników  bezwł adnoś ci  sztywnych  elementów skoń czonych modelu, Lkwadratową   macierz tł um ienia, K kwadratową   macierz  sztywnoś ci, q  kolumnową   macierz współ rzę dnych  uogólnionych,  X kolum nową   macierz  nieoznaczo- nych  mnoż ników  Lagran ge'a,  zaś  g  prostoką tną   macierz  poch odn ych  równ ań  wię zów wzglę dem  współ rzę dnych  uogólnionych. Sposób  budowan ia  macierzy  g  (wzór  (22))  przedstawiono  dla nastę pują cych  zał oż eń: jeś li w kolejnoś ci  SES w modelu para  kół  o n um erach p i / 'jest pierwszą   parą   współ pracu- ją cą,  para  kół  r i  s — drugą   parą   współ pracują cą   (koł o  r jest  koł em  poś redniczą cym — patrz rys.  2) — zaś  para  kół  o n um erach t i  w jest  k- tą parą   współ pracują cą   oraz  /  oznacza M O D E L O WAN I E  WI E LOSTOP N I OWYC H   P R Z E K Ł AD NI  Z Ę BATYCH 285 liczbę  współ pracują cych  par  kół , a  n- liczbę  stopni  swobody  cał ego modelu,  wówczas: 1  2  3  Jfc- 1  k 1 (2 2 ) g =   s 0 Lpr- p 0 rr 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 np5T 1rs- r 0 - T£ _. 0 0 0 0 0 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0. . . 0... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TT xtw- t 0 - T r 0 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0. . . 0... 0... 0... 0... w nxl Kolumnową  macierz  nieoznaczonych  mnoż ników  Lagrange'a  przedstawia  wzór (ZJ)  A  =   G O l ^ / l p r j  / l f S ,  n i ,  A f W ,  . . . ,   / L u z / , 1 2  k  1 gdzie  l pr   jest  nieoznaczonym  mnoż nikiem  Lagrange'a  przyporzą dkowanym  wię zom geometrycznym nr  1 (pierwszej  parze współ pracują cych kół ,  tj. p i r),  X ty)  — nieoznaczonym mnoż nikiem  Lagrange'a  przyporzą dkowanym  wię zom  geometrycznym  nr  k  (ifc- tej  parze współ pracują cych  kół , tj.  t  i  w). Równania  (21) moż na rozwią zać  przy  uż yciu  ETO,  jednakże  konieczne jest  wyrugo- wanie  nieoznaczonych mnoż ników  Lagrange'a. W  tym  celu  wykorzystano  metodę  podaną  w  pracy  [2].  Róż niczkując  dwukrotnie wzglę dem  czasu  t  równania  wię zów  geometrycznych  uzyska  się  równania  warunkowe o  postaci Jpr  = =   *- pr—pHP  *- pr— rQr  ~   ^s Jrs  ~   *rs  — rHf  *- rs — sHs  *-N (2 4 ) Równania  (24)  w  notacji  macierzowej  przyjmują  postać (25)  gTq  =   0. Kolumnowy  wektor  przyspieszeń  wyznaczony  z  równań  (21)  wyraż ony  jest  wzorem (26)  q' =   M - 286  S.  BERCZYŃ SKI,  H .  MAĆ KOWIAK,  K.  MARCHELEK P odstawiają c  (26)  d o  (25) i  d o ko n u ją c  p r o st yc h  p rzekszt ał ceń ,  o t r zym a  się   m a c ie r z n ieo zn aczo n ych  m n o ż n ików  L a gr a n ge ' a : (27)  X =   ( g T M - 1 g ) - 1 g r M - 1 ( L q  +  Kq- P ). Aby  m acierz  ( gT M ~ *g)  był a  o d wr a c a ln a  sp eł n io n y  m u si  być  wa r u n e k  jej  n ieo so bli- woś ci.  An alizują c  bu d o wę   m acierzy  g  ł a t wo  st wierdzić,  że  r zą d  m acierzy  ( gT M ~ 1 g)  je st ró wn y  /  co  im plikuje  jej  n ieosobliwoś ć. M ac ierz X  wyraż o ną   wzo rem  (27) p o d st a wia  się   d o  r ó wn a ń  (21) (28)  M q + L q + K q  =   P + g ( g T M - 1 g ) - 1 g r M - 1 ( L q + K q -  P ) . Ozn aczają c  w  r ó wn a n iu  ( 28) : (29)  L / =   - g ( g T M - 1 g ) - 1 g r M - 1 L , (30)  K r = • (31)  P / = uzyska  się  równanie  ruchu  w postaci (32)  M q+ ( L + L / ) q  +  ( K + K / ) q =   P + P r . Podstawiają c L =  L +L f ;  K= K+ K/ ;  P ^ P + P , - do  równania  (32)  uzyska się (33)  Mq+ tq+ Kq= P. M acierze L,  K i  P  tworzy  się   zgodnie z zasadami  uję tymi  w  pracy  [1]. Równania  (33)  opisują   ruch  liniowego  modelu  wielostopniowej  przekł adni  zę batej I  mogą   być  rozwią zane  przy  uż yciu  metod  i  programów  zamieszczonych  w  pracy [1]. Przedstawiona  w niniejszej  pracy  metoda  modelowania  wielostopniowych  przekł adni • zę batych  przy  uż yciu  metody  sztywnych  elementów  skoń czonych  może  być stosowana •w tych przypadkach,  gdy  w ukł adzie wystę puje  wstę pne  napię cie o wartoś ci  gwarantują cej, l e  w  trakcie jego pracy  nie bę dzie  zachodzić  odkrywanie  luzów.  W  porównaniu z  dotych- czas  stosowanymi  w  praktyce  obliczeniowej  matematycznymi modelami  drgań  skrę tnych [5, 6, 7, 9],  model  zbudowany  z  SES  umoż liwia  wyznaczenie  charakterystyk  dynamicz- nych  zarówno  drgań  skrę tnych jak i gię tnych poszczególnych  wał ków n apę du.  Wprawdzie "w metodach przedstawionych  w  pracach  [5, 7] uwzglę dnia  się   wpł yw  ugię ć  wał ków i pro- mieniowych  odkształ ceń,  ł oż ysk n a  charakterystyki  drgań  skrę tnych,  lecz tylko  statycznie, przez  wprowadzenie  tzw.  skrę tnej  podatnoś ci  równoważ nej.  M odel  matematyczny  drgań gię tno- skrę tnych  powinien  zatem  dać  dokł adniejsze  wyniki.  D odatkową   zaletą   modelu wielostopniowej  przekł adni  zę batej  zbudowanego  z  SES  jest  moż liwość  wykorzystania programów  metody  SES  [1]. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J.  KRU SZEWSKI i  in.,  Metoda sztywnych elementów  skoń czonych,  Warszawa,  1975. 2 .  G . K.  SUSŁOW,  Mechanika teoretyczna,  Warszawa 1960. 3.  W.  L.  WE JC ,  A.  E.  KOCZU RA,  A.  M .  MARTYN IEN KO,  Obliczanie dynamiki  napę dów maszyn, Warsza- wa  1975.  ' -   , MOD ELOWAN IE  WIELOSTOPNIOWYCH   PRZEKŁADN I  ZĘ BATYCH   287 4.  K.  OCH Ę D U SZKO,  Kola  zę bate,  tom .  I ,  Konstrukcja, Warszawa  1966. 5.  Wilson  W.  K E R , Precical  Solution  of  T orsional Vibration Problems,  Volume  I I ,  London  1963. 6.  K.  MARCH ELEK,  Dynamika  obrabiarek,  Warszawa  1974. 7.  W.  N AD OLSKI,  Modelowanie  dynamiczne przekł adni zę batych jednostopniowych,  Prace  IPPT,  Warszawa 1972. 8.  M .  MIELCZAREK,  Moż liwoś ci wykorzystania  systemowego  modelu matematycznego  do badania charakte- rystyk  dynamicznych  wielostopniowej  przekł adni  zę batej, Arch.  Bud.  Masz.,  3,  22  (1975). P  e  3  io  M   e M OflE JI H P OBAH KE  M H O r O C T Yn E H 'q AT BI X  3YB^ATBI X  I I E P E J WJ n O  M E T O D Y  3KECTKH X  K O H E ^ H L I X  3J I E M E H T 0B H 3jioJKeH   MeTOfl  onpeaejieH H H   H3rH6HO- KpyTiuii>Hbix  KOJieSamiH   rjiaBHMX  npH Bo^oB  MeTajinope- H n3iwecKaH   MOflejit  n o d p o e n a  ii3  wcecrctHX  Korie- rawx  sjieM eitroB,  coeflM ieirabix c  n o M o m t io  ynpyro- ffeMn(J)H pyioinHX  ajieiweirroB  c  JiHHeiłHbiMH  xapaiKflbift  3neirteHT, yn p yr a i i  H JI H   fleiwncbH pyiomH H ,  on peflen eH   mecTbio  K03cb({)HUHeHTaMH   ynpyrocTH   H   fleM m})H poBaH H fi. KOHeifflbie  3JieMeHTbi,  M Oflejiupyiomne  syS^iaTŁie  nepe^a^JH ,  HaxoflHTCH   uop, fleiicTBH eM  r e o - H   anropH TM  ee  peuieH H H  npeflcraBjieH bi  B npocTOM   BH «e,  npnroflHOM   RJIK  3 I | B M . S u m m a r y M OD ELLIN G   O F   M U LTI P LE TOOTH ED   G EARS  BY  R I G I D   F IN ITE ELEM EN TS A  method  of  calculating  the f lexural  and  torsional  vibrations  of  the machine tool main drives  is  pre- sented. The physical  model  was  constructed  of rigid finite  elements connected with elasticdamping  elements of  linear  characteristics.  Each elastic  or  damping  element is  defined  by  six  rigidity  or damping  coefficients. The  rigid  finite  elements  modelling  the  gear  are  subjected  to  geometrical  constraints  resulting  from  the conditions  of  constant  gearing.  Both  the  mathematical  model  and  the  corresponding  solution  algorithm are presented  in the form  suitable  for  computations. P OLI TE C H N I KA  SZ C Z E C I Ń SKA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  3  stycznia 1977  r. ponownie dnia  10  marca 1978 r