Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf
M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 16 (1978)
OPTYM ALIZACJA KSZTAŁTU PRĘ TA Ś CISKAN EGO Z U WZG LĘ D N IEN IEM CIĘ Ż ARU
WŁASN EG O M ETOD Ą PROG RAMOWAN IA D YN AM ICZN EG O*
J AN B Ł A C H U T ( K R AK Ó W) •
1. Wstę p
N iniejsza praca poś wię cona jest optym aln em u kształ towan iu prę ta sprę ż ystego podda-
nego ś ciskaniu sił ą skupion ą oraz sił ami rozł oż onymi wzdł uż dł ugoś ci prę ta, a pochodzą -
cymi od cię ż aru wł asnego. P oszukiwać bę dziemy maksymalnej sił y krytycznej przy stał ej
obję toś ci prę ta i ogran iczen iach n ał oż on ych n a przekrój poprzeczny. Rozpatrywać bę -
dziemy peł n e nieliniowe równ an ie linii ugię cia. Otrzym ane wyniki porówn am y ze zna-
nymi rozwią zaniami an alityczn ym i dla przypadku optym alnego kształ towania prę ta sprę -
ż ystego, ś ciskanego sił ą o stał ej wartoś ci, ustalon ym kierun ku dział ania i punkcie przy-
ł oż enia (tak zwan a sił a eulerowska). P orówn an ie to dotyczyć bę dzie tych zagadnień
w których pom in ię to wpł yw cię ż aru wł asnego. , •
Optymalizacji kon serwatywn ych zagadnień statecznoś ci poś wię cona jest znaczna liczba
prac. Obszerny spis literatury zawierają mię dzy innym i publikacje [1—6]. Rozwią zanie
ś cisłe zagadn ien ia optymalizacji prę ta ś ciskanego sił ą eulerowska przedstawiono w pracy
[6], gdzie poszukiwan o m in im um obję toś ci prę ta przy danej sile krytycznej, powodują cej
u t rat ę statecznoś ci przez wyboczenie. W przypadku prę ta pł asko- zbież nego o stał ej wy-
sokoś ci otrzym an o rozwią zanie w którym przekrój zmierzał do zera w punkcie przył oż enia
sił y krytycznej. Stosują c bezpoś redn ie m etody numeryczne optymalizacji w pracy [7]
rozwią zano pewien problem optym aln ego kształ towan ia prę ta w stanie zakrytycznym
przy duż ych sprę ż ystych ugię ciach. P oszukiwan o optym alnego stosunku gię tnej sztywnoś ci
dwóch odcinków p rę ta o stał ych przekrojach. P rę t ś ciskano daną sił ą osiową , przy ustalonej
jego obję toś ci, a kryterium optym aln oś ci stanowił o w jedn ym przypadku minimum wy-
chylenia koń ca prę ta x
k
, zaś w drugim — m in im um ką ta odchylenia tego koń ca od pion u.
W niniejszej pracy, w oparciu o zasadę optym alnoś ci Bellmana oraz m etodę gradien-
tową zapropon owan ą przez C LAU D O N A [8], przedstawion e zostanie podejś cie numeryczne
umoż liwiają ce optym alizację p rę ta przy utracie statecznoś ci (w oparciu o statyczne kry-
terium statecznoś ci).
2. Sformuł owanie zagadnienia
R ozpatrywać bę dziemy pł askozbież n y, sprę ż ysty prę t jedn ostron n ie sztywno utwierdzo-
n y obcią ż ony sił ą eulerowska P i cię ż arem wł asnym (rys. 1). ' .
*' Praca wykonana został a w ramach problemu wę zł owego 05.12 pt. - ^Wytrzymał ość i optamalizacja
konstrukcji maszynowych i budowlan ych ^, koordynowanego przez IPPT P AN .
344 J. BLACHUT
Obję tość takiego prę ta wynosi
i
(1) F = c ja ( 5 ) d s,
o
gdzie a = EJ; c — stał a.
N ależy znaleź ć:
(2)
przy
—
(3)
gdzie
—
(4)
gdzie
stał ej obję toś ci
Vo= VI c;
ograniczeniu nał oż onym n a
cax < Vo < c a 2 .
Rys. 1
max/ "
Vo — const
poszukiwany przekrój a(s)
ai < a ( s ) < a.2,
3. Równanie funkcyjne Bellmana
Rozwią zanie wariacyjnych zadań statecznoś ci m oż na sprowadzić do wyznaczenia
minimum nastę pują cego funkcjonał u [9]
JJ F<lKx,y,y')dx
(5)
gdzie i r ( i ) , <P (0 są t o dostatecznie gł adkie funkcje zmiennych x, y, y'. Krzywa realizują ca
ekstremum wyraż enia (5), powinna speł niać nastę pują cy ukł ad równ ań róż niczkowych 19]:
(6) = 0
O P T YM ALI Z AC JA P R Ę TA Ś CISKAN EGO 345
oraz równanie cał kowe postaci
(7) £ j (F®- t<pM)dx = G,
gdzie t —• param etr liczbowy.
Poniż ej pokaż emy, jak rozwią zać powyż sze zadanie metodą programowania dynamicz-
nego. W szczególnoś ci zamienimy funkcjonał (5) n a funkcjonał addytywny oraz posł uż ymy
się równaniem funkcyjnym Bellmana do wyznaczenia jego- minimum.
F unkcjonał (5) m a w naszym przypadku post ać:
(8) ' " A ł -
/ ( l- c o s< p ) ds
o
gdzie ę ' = - j- ; Ci = - p r ^ y; Y—cię ż ar wł aś ciwy; b—wysokoś ć przekroju;/ —dł ugoś ć.
P rogram owanie dynamiczne pozwala wykluczyć z rozważ ań równanie (6). Szukaną
krzywą <p{s) i P poszukujemy w procesie minimalizacji funkcjonał u (7), który w naszym
przypadku m oż na zapisać nastę pują co:
i i
( J
Z adanie polegają ce n a wyznaczeniu obcią ż enia krytycznego P
kr
dla danego rozkł adu
OL {S) sprowadza się do minimalizacji funkcjonał u (9) z uwzglę dnieniem warunku <p(Q) — 0,
przy czym P powinno przyjąć wartość najmniejszą.
M inim um funkcjonał u (9) wyznaczać bę dziemy w procesie wieloetapowym dzieląc
przedział cał kowania [0, 1] n a N etapów o dł ugoś ci A każ dy, tak, że N - A = I . Etapy
bę dziemy numerować od swobodnego koń ca posuwając się ku sztywnemu utwierdzeniu.
To znaczy JV = H odpowiadać bę dzie począ tkowi procesu JV- etapowego, zaś Ń = 1 os-
tatn iem u krokowi w tym procesie. W dowolnym punkcie k wprowadzimy oznaczenia
(10)
9k
= c>(A); <p'
k
- y'( *A) ; k = 1, ..,,W.
P ochodną q>'(s) zastą pimy ilorazem róż nicowym:
d i ) ' • w
Warunek począ tkowy q>(Q) = 0, (sztywne utwierdzenie), weź miemy w postaci <p
N
= c.
Zastę pując (9) sumą orzymujemy
(12) Rn^ —MY- iP + c^ aAil- unri A.
k- \ ^ /=1 J
Zapiszmy minimalną wartość sumy (12) dla JV ostatnich kroków
(13)
346 J. BŁACHUT
Wielkość f
N
(ć ) nazywać bę dziemy dalej funkcją celu. Z zasady optym alnoś ci otrzym u-
jemy nastę pują ce równanie funkcyjne
(14) f
N
(c) = min j [ ^ L ( ^ ) 2
gd z i e (p
N
- i = (p
N
+ A<pH.
Analogicznie otrzymujemy dla nastę pnych et apów:
(15)
I V a,
N
(16) j [ ̂ (
07) / ityi) = m i n jf^ ^ ' ) 2 - (JP + CI ^ a ^ j a - c o s ĵ
gdzie
<PN - 2 = <PN -
cp
1
= (
Rozwią zywanie równ ań funkcyjnych (14)—(17) prowadzim y posuwają c się etapam i
od swobodnego koń ca ku utwierdzeniu, rozpoczynają c od fi(q>i) gdzie q>
t
, ...,q>
N
są to
dopuszczalne wartoś ci zmiennej sterowania <p(s).
4. Obliczanie sił y krytycznej
P o jednorazowym wykonaniu procedury równ an ia funkcyjnego Bellmana (14)—(19)
otrzymujemy wartoś ci q>
0
, ip
L
, ..., ę
N
-
t
, które realizują m in im um wyjś ciowego problem u
(14). M inimum to obliczamy dla dowolnej wartoś ci P, przy ustalon ym rozkł adzie a(s).
Sił ę krytyczną otrzymamy dla R = 0. Wykorzystują c fakt, iż R jest liniową funkcją P
przeprowadzam y n a wstę pie jeden raz obliczenia dla dowolnej wartoś ci P
±
. Otrzym an e
m in im um wyraż enia (13) oznaczymy f
N 1
. N astę pn ie powtarzam y te same obliczenia dla
P
2
, a otrzymane m in im um oznaczmy f
m
. Wtedy sił ę krytyczną P
kT
obliczamy z wyra-
ż enia
JN2~JNI
5. Metoda gradientowa — procedura obliczania przekroju optymalnego
Obliczenia (9)—(15) rozpoczynam y przyjmują c stał y przekrój a 0 = const tak, by
(16)
O P T YM ALI Z AC JA P R Ę TA Ś CISKAN EGO 347
Równocześ nie sił ę krytyczną wyznaczyć m oż na z relacji
(17) P k
1 r 1
/ y(?>')2- ci( J a W ) ( l -
m in °- - i-̂
j (1—cos (p)ds
o
N atom iast zgodnie z [8] bę dziemy poszukiwać «polepszonego» rozkł adu masy w nastę -
pują cej postaci
gdzie e — m ał y param etr, A — stał a n orm ują ca taka, że
i
(19) J A«
x
ds = 1,
o
zas —75— należy rozum ieć n astę pują co:
K r
J ( 1— cos w) ds
o
9) otrzymujemy nastę pują cą postać
(21)
Z (19) otrzymujemy nastę pują cą postać stał ej normują cej
Wzory (18) i (21) dają w koń cu nastę pują cą formuł ę n a «przekrój polepszony»
(22)
Cał y cykl obliczeń przebiega n astę pują co:
N a wstę pie startujem y z a 0 = 1. W oparciu o wzory (9) - (15) wyznaczamy sił ę krytycz-
n ą dla danego przekroju a
o
(s), powtarzają c dwukrotn ie procedurę równ an ia funkcyjnego.
P rzy trzecim powtórzen iu wyznaczamy q>(s) dla obcią ż enia krytycznego. D alej posł ugują c
się wzoram i (16) - (22) wyznaczam y polepszony przekrój, który wstawiamy w miejsce
a
o
(s) rozpoczynają c poprzez dwukrotn e powtórzen ie procedury równ an ia funkcyjnego
okreś lenie nowej sił y krytycznej, a przy trzecim powtórzen iu obliczamy kolejny «polep-
szony» rozkł ad masy. N a każ dą iterację skł ada się zatem trzykrotn e powtórzenie równ an ia
funkcyjnego Bellmana, a n a koń cu wedł ug schem atu (16) - (22) znajdujemy każ dorazowo
nowy rozkł ad m asy.
Algorytm ten jest szybko zbież ny. N a rys. 2 przedstawion o schemat blokowy tego al-
gorytm u.
348 J. BŁACHUT
Wczytane
Jeś li
i =3
Procedura równania
funkcyjnego Bellmana
Jeś li
i- I i'2
Obliczenie
Obliczenie
X
Obliczenie I
pkr I I Obliczenie dP^/ doc oraz oli
Druk
± .
Sprawdzenie zbież noś ci Pkr
Rys. 2
Tablica 1 Tablica 2
Iteracja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sita krytyczna
2,471*
2,732
2,859
2,961
3,024
3,058
3,092
3,108
3,121
3,138
3,139
3,139
Iteracja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sił a krytyczna
2,321
2,609
• 2,761
2,867
2,940
2,981
3,014
3,021
3,055
3,074
3,087
3,087
*) wartość dokł adn a 2,467 [ U l
OPTYMALIZACJA PRĘ TA Ś CISKANEGO 349
6. Wyniki obliczeń
a) Optymalne kształ towanie przy obcią ż eniu silą skupioną P. W celu sprawdzenia powyż-
szej m etody poł oż ono najpierw w (8) c± = 0 oraz nie bran o pod uwagę ograniczeń (4).
W tablicy 1 przedstawion o wartoś ci sił y krytycznej dla róż nych iteracji. Widać, że osią g-
n ię to dobrą dokł adn ość rozwią zywanego zadan ia wariacyjnego, przy obliczaniu P k r dla
stał ego przekroju ao(V), [11], N a rys. 3 przedstawiono zm ianę u(s) dla róż nych iteracji
oraz pfzekrój optym aln y.
0,2-
0- 0,2 • 0,6 W
Rys. 3
1,8
Z pracy [6] wyn ika, że stosun ek optymalnej sił y krytycznej do przekroju a w punkcie
sztywnego utwierdzen ia jest równy 2. Również wyniki naszych obliczeń dają tę samą
wartoś ć.
b) Optymalne kształ towanie przy obcią ż eniu silą skupioną P i ograniczeniu przekroju.
D alsze obliczenia uwzglę dniały warun ek (4) w postaci:
(23) )
Rys. 4
350 J. BŁACH U T
P rocedura wyznaczania sił y krytycznej pozostaje n adal t aka sam a. M odyfikacji ulega
jedynie ostatn ia czę ść opisan a wzorami (16) - (19). W miejsce tych przekroi oc(fcA), gdzie
k= 1, ...,N , które n ie speł niają warun ku (23) podstawia się a(&A) = a
±
. U zyskan e
przekroje pokazuje rys. 4, dla a
t
— 0,4; 0,6 oraz 0,8.
0,4 0,8 1,2
Rys. 5
W
c) Optymalne kształ towanie przy obcią ż eniu silą skupioną P i cię ż arem wł asnym. Obli-
czenia przeprowadzono przy pominię ciu warun ku (4). Wartoś ci sił y krytycznej dla róż n ych
iteracji zestawiono w tablicy 2, zaś otrzym an e kształ ty oraz kształ t optym alny pokazan o
n a rys. 5.
7. U wagi koń cowe
Cechą charakterystyczną ' przedstawionej m etody jest wariacyjne sformuł owanie rów-
n an ia statyki prę ta i rozwią zanie go bezpoś rednią m etodą teorii sterowan ia optym alnego —
jaką jest procedura równ an ia funkcyjnego Bellmana.
Omawiany sposób rozwią zania zagadn ien ia' statecznoś ci posł uż yć może ja ko jedn a
z m etod do obliczania obcią ż eń krytycznych elementów konstrukcyjnych o dowoln ym
kształ cie (niekoniecznie cią gł ym n a przykł ad skokowym), przy uwzglę dnieniu dowolnego
obcią ż enia cią gł ego n p . cię ż aru wł asnego.
Przedstawiony sposób rozwią zania zadan ia optymalizacji polegają cy n a skojarzeniu
metody gradientowej [8] z program owan iem dynamicznym [10] m oże być przystosowany
do optymalizacji niektórych zagadnień zwią zanych z utratą statecznoś ci pł yt osiowo sy-
metrycznych.
Literatura cytowana w tekś cie
1. A. M . BRAN D T, Kryteria i metody optymalizacji konstrukcji, Warszawa.
2. <I>. H . H noPflcoH j I I . I I E , H E P C E H , O630p uccjiedoeauuu no onmuMa/ tbHOjuy npoeKmupoeauuw KOHcmpyK-
icuu, MexaH H Ka, C S O P H H K IlepeBoflOB, 2 ( 1973) , 136 - 157.
3. A. G AJEWSKI, W ybrane zagadnienia optymalizacji kształ tu prę tów, Czas. Techn., Z- 4M (1972).
OPTYM ALIZACJA PRĘ TA Ś CISKAN EGO 351
4. A. G AJE WSKI , M . Ż YC Z KOWSKI, Optimal design of elastic columns subjected to the general conservative
behaviour of loading, J. of Appl. M at h , an d P hys., Z AM P , 21 (1970), 806—818.
5. A. G AJE WSK I , Optymalne kształ towanie wytrzymał oś ciowe w przypadku materiał ów o nieliniowoś ci
fizycznej, Zesz. N a u k. P olit. K rak., 5 (1975).
6. H . T . ^E im o B, CTOH KH HaHMenhiuero Beca5 Tpyflbi J U A F H , 1936, 265.
7. J. BLAC H U T, Optymalne ksztaltowaie prę ta ś ciskanego przy duż ych ugię ciach metodą programowania
dynamicznego, M ech . T eor. Stos., 3, 15 (1977), 375—385.
8. J. L. C LAU D ON , Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory loads,
Journ al de M ccan ique, 14 (1975), 531—543.
9. 1O. M . I T O H T M AH , A. J I . K O JI E C H I T T E H K O J ^ ucneunoe petueuue OOHOZO KJiacca 3txdom MexauuKu cn/ totuoHU
cpedu MemodoM dimaMunecKozo npoipaMMupoeanun, H 3 B . Ai< a# . H ayK AP M H H C K O H C C P 3 M exaH H Ka,
2 (1972), 90 - 95.
10. R . BELLM AN , Programowanie dynamiczne, Warszawa 1969.
11. N . BIELAJEW, W ytrzymał oś ć materiał ów, Warszawa 1954.
P e 3 io M e
OnTHMAJlfcHOE nPOEKTHPOBAHHE IIO METOflY
nPOrPAMMH POBAH JM OKATOrO CTEP>KHfl C
COBCTBEHHOrO BECA
,D,aHO pen ieH H e 3afla^H o H axo>KfleH nn MaKCHMajiBHoft KpH TiwecKoii C H J iH 3n p
Me cTep5i<HH. 3afla^ia peniaeTC H Ha ocHOBe cTaTH MecKoro KpH TepHH ycTOHMHBocTH. KpHTHMecKHe
H axoflaxcH H 3 ycjioBH H MHHHMyiwa H H Terpan a noTeHn.HajiBHOH 3 H e p r a n c H cnojit3OBaH H eM
H an bH oro ypaBH eH U H BejiŁM aH a. «t>opMa CTep>KHH o n p eflejien a n o rpaflneH TH OMy MeTOfly KnoflOH A [ 8] .
PaccM OTpeH o Bn aaH H e orpaH H ^ieH H H n o n e p e i H o r o c e q e H iw ciep>KH H . H ccneflOBairbi CTepwHH J in im .
n pH M oyroJibH oro c e q e m r a .
S u m m a r y
OPTIM AL D E SI G N O F A BAR U N D E R AXIAL F ORC E AN D OWN WEIG H T BY MEAN S OF
D YN AM I C P ROG RAM M IN G
The subject of this paper is to maximize the critical force under a constant volume of a bar. The prob-
lem of stability is based on the statical stability criterion. The criticar forces were calculated numerically
by minimizing the potential energy, Bellman' sfunctional equation being used. The problem of shape opti-
mization was also solved numerically on the basis of CLAU D ON [8] gradient method. The influence of
constrained cross- section is shown. Only the rectangular cross- section of a bar was discussed.
IN STYTUT F IZYKI
POLITECH N IKI KRAKOWSKIEJ
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 23 listopada 1977 r.