Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  16  (1978) OPTYM ALIZACJA  KSZTAŁTU   PRĘ TA  Ś CISKAN EGO  Z  U WZG LĘ D N IEN IEM   CIĘ Ż ARU WŁASN EG O  M ETOD Ą   PROG RAMOWAN IA D YN AM ICZN EG O* J AN   B  Ł  A  C  H   U   T  ( K R AK Ó W)  • 1.  Wstę p N iniejsza  praca  poś wię cona jest  optym aln em u kształ towan iu prę ta  sprę ż ystego  podda- nego  ś ciskaniu  sił ą   skupion ą   oraz  sił ami rozł oż onymi wzdł uż dł ugoś ci prę ta, a  pochodzą - cymi  od  cię ż aru  wł asnego.  P oszukiwać  bę dziemy  maksymalnej  sił y  krytycznej  przy  stał ej obję toś ci  prę ta  i  ogran iczen iach  n ał oż on ych  n a  przekrój  poprzeczny.  Rozpatrywać  bę - dziemy  peł n e  nieliniowe  równ an ie  linii  ugię cia.  Otrzym ane wyniki  porówn am y  ze  zna- nymi  rozwią zaniami  an alityczn ym i  dla  przypadku  optym alnego  kształ towania prę ta  sprę - ż ystego,  ś ciskanego  sił ą   o  stał ej  wartoś ci,  ustalon ym  kierun ku  dział ania i punkcie  przy- ł oż enia  (tak  zwan a  sił a  eulerowska).  P orówn an ie  to  dotyczyć  bę dzie  tych  zagadnień w  których pom in ię to wpł yw  cię ż aru  wł asnego.  ,  • Optymalizacji  kon serwatywn ych  zagadnień  statecznoś ci poś wię cona jest znaczna liczba prac.  Obszerny  spis  literatury  zawierają   mię dzy  innym i  publikacje  [1—6].  Rozwią zanie ś cisłe  zagadn ien ia  optymalizacji  prę ta  ś ciskanego  sił ą   eulerowska  przedstawiono  w  pracy [6],  gdzie  poszukiwan o  m in im um  obję toś ci  prę ta  przy  danej  sile  krytycznej,  powodują cej u t rat ę   statecznoś ci  przez  wyboczenie.  W  przypadku  prę ta  pł asko- zbież nego  o  stał ej  wy- sokoś ci  otrzym an o rozwią zanie  w którym  przekrój  zmierzał  do zera  w punkcie przył oż enia sił y  krytycznej.  Stosują c  bezpoś redn ie  m etody  numeryczne  optymalizacji  w  pracy  [7] rozwią zano  pewien  problem  optym aln ego  kształ towan ia  prę ta  w  stanie  zakrytycznym przy  duż ych  sprę ż ystych  ugię ciach. P oszukiwan o  optym alnego  stosunku  gię tnej  sztywnoś ci dwóch odcinków p rę ta o stał ych przekrojach.  P rę t ś ciskano  daną  sił ą  osiową , przy  ustalonej jego  obję toś ci,  a  kryterium  optym aln oś ci  stanowił o  w  jedn ym  przypadku  minimum  wy- chylenia  koń ca  prę ta  x k ,  zaś  w  drugim —  m in im um ką ta  odchylenia  tego  koń ca  od pion u. W  niniejszej  pracy,  w  oparciu  o  zasadę   optym alnoś ci  Bellmana  oraz  m etodę   gradien- tową   zapropon owan ą   przez  C LAU D O N A  [8], przedstawion e  zostanie podejś cie  numeryczne umoż liwiają ce  optym alizację   p rę ta  przy  utracie  statecznoś ci  (w  oparciu  o  statyczne  kry- terium  statecznoś ci). 2.  Sformuł owanie  zagadnienia R ozpatrywać  bę dziemy  pł askozbież n y,  sprę ż ysty prę t jedn ostron n ie sztywno utwierdzo- n y  obcią ż ony  sił ą   eulerowska  P  i  cię ż arem wł asnym  (rys.  1).  '  . *'  Praca wykonana  został a w ramach problemu  wę zł owego  05.12  pt.  - ^Wytrzymał ość i  optamalizacja konstrukcji  maszynowych  i budowlan ych ^,  koordynowanego  przez IPPT P AN . 344 J.  BLACHUT Obję tość  takiego  prę ta  wynosi i (1)  F = c ja ( 5 ) d s, o gdzie  a =  EJ;  c — stał a. N ależy znaleź ć: (2) przy — (3) gdzie — (4) gdzie stał ej  obję toś ci Vo=   VI c; ograniczeniu  nał oż onym  n a cax  <  Vo < c a 2 . Rys.  1 max/ " Vo — const poszukiwany  przekrój a(s) ai  <  a ( s ) <  a.2, 3. Równanie funkcyjne Bellmana Rozwią zanie  wariacyjnych  zadań  statecznoś ci  m oż na  sprowadzić  do  wyznaczenia minimum  nastę pują cego  funkcjonał u  [9] JJ F(A);  '(s)  zastą pimy  ilorazem  róż nicowym: d i )  '  •   w Warunek  począ tkowy  q>(Q)  =   0,  (sztywne  utwierdzenie),  weź miemy  w  postaci 

i)  gdzie  q> t , ...,q> N   są   to dopuszczalne  wartoś ci  zmiennej  sterowania  0 , ip L ,  ...,  ę N - t ,  które  realizują   m in im um wyjś ciowego  problem u (14).  M inimum  to  obliczamy  dla  dowolnej  wartoś ci  P,  przy  ustalon ym  rozkł adzie  a(s). Sił ę   krytyczną   otrzymamy  dla  R  =   0.  Wykorzystują c  fakt,  iż  R  jest  liniową   funkcją   P przeprowadzam y  n a  wstę pie  jeden  raz  obliczenia  dla  dowolnej  wartoś ci  P ± .  Otrzym an e m in im um  wyraż enia  (13)  oznaczymy f N 1 .  N astę pn ie  powtarzam y  te  same  obliczenia  dla P 2 ,  a  otrzymane  m in im um  oznaczmy f m .  Wtedy  sił ę   krytyczną   P kT   obliczamy  z  wyra- ż enia JN2~JNI 5.  Metoda  gradientowa — procedura  obliczania  przekroju  optymalnego Obliczenia  (9)—(15) rozpoczynam y przyjmują c  stał y przekrój  a 0  =   const tak,  by (16) O P T YM ALI Z AC JA  P R Ę TA  Ś CISKAN EGO  347 Równocześ nie  sił ę   krytyczną   wyznaczyć  m oż na  z  relacji (17)  P k 1 r 1 /   y(?>')2- ci( J  a W ) ( l - m in °-   - i-̂ j  (1—cos (p)ds o N atom iast  zgodnie  z  [8] bę dziemy  poszukiwać  «polepszonego»  rozkł adu masy  w nastę - pują cej  postaci gdzie  e — m ał y  param etr,  A — stał a  n orm ują ca  taka, że i (19)  J  A« x ds  = 1, o zas —75— należy  rozum ieć  n astę pują co: K r J  ( 1— cos w) ds o 9)  otrzymujemy  nastę pują cą   postać (21) Z  (19)  otrzymujemy  nastę pują cą   postać  stał ej  normują cej Wzory  (18) i (21) dają   w  koń cu nastę pują cą   formuł ę  n a  «przekrój  polepszony» (22) Cał y  cykl  obliczeń  przebiega  n astę pują co: N a  wstę pie  startujem y  z a 0 =   1. W oparciu  o wzory  (9) -  (15) wyznaczamy  sił ę   krytycz- n ą   dla  danego  przekroju  a o (s),  powtarzają c  dwukrotn ie  procedurę  równ an ia  funkcyjnego. P rzy  trzecim  powtórzen iu  wyznaczamy  q>(s)  dla  obcią ż enia  krytycznego.  D alej  posł ugują c się   wzoram i  (16) -  (22)  wyznaczam y  polepszony  przekrój,  który  wstawiamy  w  miejsce a o (s)  rozpoczynają c  poprzez  dwukrotn e  powtórzen ie  procedury  równ an ia  funkcyjnego okreś lenie  nowej  sił y  krytycznej,  a  przy  trzecim  powtórzen iu  obliczamy  kolejny  «polep- szony» rozkł ad masy.  N a każ dą   iterację   skł ada się   zatem trzykrotn e powtórzenie  równ an ia funkcyjnego  Bellmana,  a n a  koń cu  wedł ug  schem atu  (16) -  (22) znajdujemy  każ dorazowo nowy  rozkł ad  m asy. Algorytm  ten jest  szybko  zbież ny.  N a  rys.  2 przedstawion o  schemat  blokowy  tego al- gorytm u. 348 J.  BŁACHUT Wczytane Jeś li i =3 Procedura  równania funkcyjnego  Bellmana Jeś li i- I i'2 Obliczenie Obliczenie X Obliczenie I pkr I I  Obliczenie  dP^/ doc  oraz oli Druk ± . Sprawdzenie  zbież noś ci Pkr Rys. 2 Tablica 1 Tablica 2 Iteracja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sita  krytyczna 2,471* 2,732 2,859 2,961 3,024 3,058 3,092 3,108 3,121 3,138 3,139 3,139 Iteracja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sił a  krytyczna 2,321 2,609 •   2,761 2,867 2,940 2,981 3,014 3,021 3,055 3,074 3,087 3,087 *)  wartość  dokł adn a  2,467  [ U l OPTYMALIZACJA  PRĘ TA  Ś CISKANEGO  349 6.  Wyniki  obliczeń a)  Optymalne  kształ towanie  przy  obcią ż eniu silą  skupioną   P. W  celu sprawdzenia  powyż- szej  m etody  poł oż ono  najpierw  w  (8)  c±  =   0  oraz  nie  bran o  pod  uwagę   ograniczeń  (4). W  tablicy  1 przedstawion o  wartoś ci  sił y  krytycznej  dla  róż nych  iteracji.  Widać,  że  osią g- n ię to  dobrą   dokł adn ość  rozwią zywanego  zadan ia  wariacyjnego,  przy  obliczaniu  P k r  dla stał ego  przekroju  ao(V),  [11],  N a  rys.  3  przedstawiono  zm ianę   u(s)  dla  róż nych  iteracji oraz  pfzekrój  optym aln y. 0,2- 0-   0,2  •   0,6  W Rys.  3 1,8 Z  pracy  [6] wyn ika,  że  stosun ek  optymalnej  sił y  krytycznej  do  przekroju  a  w  punkcie sztywnego  utwierdzen ia  jest  równy  2.  Również  wyniki  naszych  obliczeń  dają   tę   samą wartoś ć. b)  Optymalne  kształ towanie  przy  obcią ż eniu silą   skupioną   P  i  ograniczeniu  przekroju. D alsze  obliczenia  uwzglę dniały  warun ek  (4)  w  postaci: (23)  ) Rys.  4 350 J.  BŁACH U T P rocedura  wyznaczania  sił y  krytycznej  pozostaje  n adal  t aka  sam a.  M odyfikacji  ulega jedynie  ostatn ia  czę ść  opisan a  wzorami  (16) -   (19). W  miejsce  tych  przekroi  oc(fcA),  gdzie k=  1,  ...,N ,  które  n ie  speł niają   warun ku  (23)  podstawia  się   a(&A)  =   a ± .  U zyskan e przekroje  pokazuje  rys.  4,  dla  a t   — 0,4;  0,6  oraz  0,8. 0,4  0,8  1,2 Rys.  5 W c)  Optymalne kształ towanie  przy  obcią ż eniu silą  skupioną   P  i  cię ż arem  wł asnym.  Obli- czenia przeprowadzono przy  pominię ciu warun ku  (4). Wartoś ci  sił y krytycznej  dla róż n ych iteracji  zestawiono  w  tablicy  2,  zaś  otrzym an e  kształ ty  oraz  kształ t  optym alny  pokazan o n a  rys.  5. 7.  U wagi  koń cowe Cechą   charakterystyczną '  przedstawionej  m etody  jest  wariacyjne  sformuł owanie  rów- n an ia statyki  prę ta i rozwią zanie  go bezpoś rednią   m etodą  teorii sterowan ia  optym alnego  — jaką   jest  procedura  równ an ia  funkcyjnego  Bellmana. Omawiany  sposób  rozwią zania  zagadn ien ia'  statecznoś ci  posł uż yć  może  ja ko  jedn a z  m etod  do  obliczania  obcią ż eń  krytycznych  elementów  konstrukcyjnych  o  dowoln ym kształ cie  (niekoniecznie cią gł ym  n a  przykł ad  skokowym),  przy  uwzglę dnieniu  dowolnego obcią ż enia  cią gł ego  n p . cię ż aru  wł asnego. Przedstawiony  sposób  rozwią zania  zadan ia  optymalizacji  polegają cy  n a  skojarzeniu metody  gradientowej  [8]  z  program owan iem  dynamicznym  [10]  m oże  być  przystosowany do  optymalizacji  niektórych  zagadnień  zwią zanych  z  utratą   statecznoś ci  pł yt  osiowo  sy- metrycznych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A. M .  BRAN D T,  Kryteria  i  metody  optymalizacji  konstrukcji,  Warszawa. 2.  .  H .  H noPflcoH j  I I .  I I E , H E P C E H ,  O630p uccjiedoeauuu no  onmuMa/ tbHOjuy  npoeKmupoeauuw  KOHcmpyK- icuu,  MexaH H Ka,  C S O P H H K  IlepeBoflOB,  2  ( 1973) ,  136  -   157. 3.  A.  G AJEWSKI,  W ybrane zagadnienia optymalizacji  kształ tu  prę tów,  Czas.  Techn.,  Z- 4M   (1972). OPTYM ALIZACJA  PRĘ TA  Ś CISKAN EGO  351 4.  A.  G AJE WSKI ,  M .  Ż YC Z KOWSKI,  Optimal  design  of  elastic  columns subjected to  the general conservative behaviour  of  loading,  J.  of  Appl.  M at h ,  an d  P hys.,  Z AM P ,  21  (1970), 806—818. 5.  A.  G AJE WSK I ,  Optymalne  kształ towanie  wytrzymał oś ciowe  w  przypadku  materiał ów  o  nieliniowoś ci fizycznej,  Zesz.  N a u k.  P olit.  K rak.,  5  (1975). 6.  H . T .  ^E im o B,  CTOH KH   HaHMenhiuero  Beca5  Tpyflbi  J U A F H ,  1936, 265. 7.  J.  BLAC H U T,  Optymalne  ksztaltowaie  prę ta  ś ciskanego  przy  duż ych  ugię ciach  metodą   programowania dynamicznego,  M ech .  T eor.  Stos.,  3,  15  (1977), 375—385. 8.  J. L.  C LAU D ON , Characteristic  curves and optimum design of  two structures subjected to circulatory loads, Journ al  de  M ccan ique,  14  (1975),  531—543. 9.  1O. M . I T O H T M AH ,  A.  J I .  K O JI E C H I T T E H K O J  ^ ucneunoe  petueuue  OOHOZO  KJiacca 3txdom  MexauuKu cn/ totuoHU cpedu  MemodoM  dimaMunecKozo  npoipaMMupoeanun,  H 3 B .  Ai< a# .  H ayK  AP M H H C K O H   C C P 3  M exaH H Ka, 2  (1972),  90  -  95. 10.  R .  BELLM AN ,  Programowanie  dynamiczne,  Warszawa  1969. 11.  N .  BIELAJEW,  W ytrzymał oś ć  materiał ów, Warszawa  1954. P  e  3 io  M  e OnTHMAJlfcHOE  nPOEKTHPOBAHHE  IIO  METOflY nPOrPAMMH POBAH JM   OKATOrO  CTEP>KHfl  C COBCTBEHHOrO  BECA ,D,aHO pen ieH H e  3afla^H   o H axo>KfleH nn  MaKCHMajiBHoft  KpH TiwecKoii  C H J iH 3n p Me  cTep5iopMa  CTep>KHH   o n p eflejien a  n o  rpaflneH TH OMy  MeTOfly  KnoflOH A  [ 8] . PaccM OTpeH o  Bn aaH H e  orpaH H ^ieH H H   n o n e p e i H o r o  c e q e H iw  ciep>KH H .  H ccneflOBairbi  CTepwHH   J in im . n pH M oyroJibH oro  c e q e m r a . S u m m a r y OPTIM AL  D E SI G N   O F   A  BAR  U N D E R  AXIAL  F ORC E AN D   OWN   WEIG H T BY  MEAN S OF D YN AM I C P ROG RAM M IN G The  subject  of  this paper is to maximize the critical force  under a constant volume of  a bar. The prob- lem  of  stability  is  based  on  the  statical  stability  criterion. The  criticar forces  were calculated  numerically by  minimizing  the potential energy,  Bellman'  sfunctional  equation being  used.  The  problem of shape opti- mization  was  also  solved  numerically  on  the  basis  of  CLAU D ON   [8]  gradient  method. The  influence  of constrained  cross- section  is  shown.  Only the rectangular  cross- section  of  a bar was  discussed. IN STYTUT  F IZYKI POLITECH N IKI  KRAKOWSKIEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  listopada  1977  r.