Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  16  (1978)

OSIOWO- SYM ETRYCZNE  P OŁĄ CZ EN IE  KLEJON E  O  OPTYMALN YM   ROZKŁAD ZE
N AP RĘ Ż EŃ   STYCZN YCH  W  WARSTWIE  KLEJU

K A R O L  G R U D Z I Ń S K I,  L E O N   Ł A B U Ć ,

T AD E U S Z  B U R D A  ( S Z C Z E C I N )

1.  Wstę p

Klejenie  metali jest  coraz  szerzej  stosowan e  w  róż nych  gał ę ziach przemysł u, nie  tylko
do  ł ą czenia elementów  cienkoś ciennych  ale  również  odpowiedzialnych  zł ą czy  konstrukcyj-
n ych,  przenoszą cych  zn aczn e  obcią ż enia.  Liczne  publikacje  (omówione  w  pracy  [1])  oraz
wieloletnie  doś wiadczenia  wł asne  wskazują   n a  szerokie  moż liwoś ci  zastosowania  klejenia
do  ł ą czenia  elementów  osiowo  symetrycznych.  P rzeprowadzon e  badan ia  doś wiadczalne
wykazał y  [2, 3],  że  stosun kowo  ł atwo  m oż na  otrzym ać  walcowe  i  stoż kowe  poł ą czenia
klejone  o  wytrzymał oś ci  równej  lub  n awet  przewyż szają cej  wytrzymał ość  ł ą czonych ele-
m en tów  stalowych.

Z astosowan ie klejenia  do ł ą czen ia elementów  osiowo  symetrycznych  m a szereg  zalet  [1]
i  stwarza  szerokie  moż liwoś ci  wprowadzan ia  nowych  rozwią zań  konstrukcyjnych.  N iez-
bę dn ym warun kiem  dla  szerszego  wykorzystan ia  ich  w praktyce jest jedn akże  opracowanie
racjonalnych  zasad  kształ towan ia  tego  t> pu  poł ą czeń  w  cparciu  o  szczegół ową   analizę
n aprę ż eń  i  odpowiedn io  przyję te  kryteria  oceny  wytrzymał oś ci.

Z  wcześ niejszych  prac  [4, 5] wynika,  że w walcowych  poł ą czeniach klejonych  elementów
o  stał ym przekroju  poprzeczn ym  i jedn akowej  gruboś ci  warstwy  kleju  (rys.  la) ,  obcią ż o-
n ym  m om en tem  skrę cają cym,  wystę puje  n ierówn om iern y  rozkł ad  naprę ż eń  stycznych
w  warstwie  kleju  n a  dł ugoś ci  /  poł ą czenia  (rys.  lb) .  W  skrajnych  przekrojach  poł ą czenia
wystę pują   zn aczn e spię trzenia n aprę ż eń, podczas gdy w czę ś ci ś rodkowej  są  one bardzo mał e.
Taki  rozkł ad  n aprę ż eń  jest  n iekorzystn y  dla  pracy  poł ą czenia  i  obniża  w  konsekwencji
jego  wytrzymał oś ć.  •   .  •   •   '.

Jeż eli  za  podstawę   oceny  przyjmie  się   kryteriom  maksymalnych  naprę ż eń  stycznych,
wystę pują cych  w  warstwie  kleju,  t o  wzrost  wytrzymał oś ci  poł ą czenia uzyskać  m oż na przez
obniż enie  szczytowych  wartoś ci  tych  n aprę ż eń  i  zapewnienie  im  bardziej  równomiernego
rozkł adu.  N ajlepszą   pracę   poł ą czen ia  i  najbardziej  racjonalne  wykorzystanie  wł asnoś ci
wytrzymał oś ciowych  kleju  uzyskuje  się   wtedy,  gdy  rozkł ad  naprę ż eń  stycznych  n a  cał ej
dł ugoś ci  /   poł ą czen ia jest  równ om iern y  (rys.  lc ) .  P oł ą czenie klejcne,  które  speł nia ten
warun ek  przyjmuje  się   w  niniejszej  pracy  ja ko  optym aln e  ze  wzglę du  n a. wytrzymał oś ć.

Z  rozważ ań  teoretyczn ych wynika,  że  równom ierny  rozkł ad naprę ż eń stycznych w  war-
stwie  kleju  w  poł ą czen iu  walcowym  uzyskuje  się   przy  zał oż eniu  doskonał ej  sztywnoś ci
elementów  ł ą czonych. W  pracach  [4, 5]  wykazan o,  że  takiego  zał oż enia w  odniesieniu  do



362 . K.  G RU D ZIŃ SKI,  L.  ŁABU Ć,  T.  BU RD A

poł ą czeń  osiowo- symetrycznych  elementów  wykonanych  z m etalu przyjmować  n ie m oż n a,
pom im o że róż nica wartoś ci  współ czynników  sprę ż ystoś ci  m etalu i  kleju  jest  bardzo  duża
i  się ga  dwóch  rzę dów.  N asuwa  się   wię c  pytan ie,  czy istnieje  moż liwość  zaprojektowan ia
takiego poł ą czenia klejonego  elementów wykonanych z m ateriał ów rzeczywistych,  a w szcze-
gólnoś ci  metali,  w  którym  rozkł ad  n aprę ż eń  stycznych  w  warstwie  kleju  bę dzie  równ o,
mierny  n a  cał ej  dł ugoś ci.

Przedstawione  poniż ej  rozważ ania  teoretyczne  dają   twierdzą cą   odpowiedź  n a  t o py-
tan ie.  P odan o  trzy  sposoby  rozwią zania  tego  zadan ia.

c)

Rys.  1. Walcowe poł ą czenie klejone  o stał ym  przekroju  elementów  ł ą czonych i warstwy kleju:  a)  schemat
poł ą czenia,  b) wykres naprę ż eń  stycznych  w warstwie  kleju  przy  uwzglę dnieniu  rzeczywistej  sztywnoś ci
elementów, c) wykres naprę ż eń stycznych w kleju przy zał oż eniu doskonalej sztywnoś ci elementów ł ą czonych

2.  Model  poł ą czenia

P un ktem wyjś cia  do rozważ ań  n ad  optymalizacją   wytrzymał oś ci  osiowo- symetrycznego
poł ą czenia  klejonego  jest  j'ego  model  przedstawiony  schem atycznie  n a rys. 2,  speł niają cy
nastę pują ce  zał oż en ia:

1)  elementy  ł ą czone  (wał ek  i  tulejka)  są   ciał ami  sprę ż ystymi  osiowo- symetrycznymi
o  przekroju  poprzecznym  zmieniają cym  się   w  sposób  ł agodn y  n a  dł ugoś ci  poł ą czen ia;

2)  adhezja  kleju  do  m etalu  wyklucza  poś lizg  n a  powierzchn iach  gran iczn ych;
3)  przekroje  poprzeczne  p o  obcią ż eniu  poł ą czenia  m om en tem skrę cają cym  pozostają

pł askie  (hipoteza  pł askich  przekrojów),  a  do  wyznaczenia  n aprę ż eń  i  odkształ ceń w ł ą -
czonych  elementach  przyjmuje  się   wzory  zn an e  z  teorii  wytrzymał oś ci  m ateriał ów;

4)  grubość warstwy  kleju jest stał a w przekroju  poprzeczn ym , n at om iast m oże zmieniać
ś ię   n a  dł ugoś ci  poł ą czen ia;  -1  .  ,  :



OSIOWO- SVMETRYCZNE  POŁĄ CZENIE  KLEJONE 363

5)  n aprę ż en ia styczne  W przekrojach  poprzecznych  warstwy  kleju  pomija  się   przyjmu-
ją c,  że  m om en t  skrę cają cy  w  cał oś ci jest  przenoszony  przez  przekroje  poprzeczne  wał ka
i  tulejki  (rys.  2b, c ) ;

6)  przy  dostatecznie  m ał ych  odkształ ceniach klej  speł nia prawo  H ooke'a  dla  czystego
ś cin an ia  [6].  >

d)

Rys.  2.  Model  osiowo  symetrycznego  poł ą czenia  klejonego  o optymalnym  rozkł adzie naprę ż eń stycznych
w  warstwie  kleju:  a) i  b)  schemat  poł ą czenia  (7 — wał ek,  2 —tulejka,  3 — warstwa  kleju),  c) optymalny
rozkł ad momentów skrę cają cych  wał ek i tulejkę , d) optymalny rozkł ad naprę ż eń stycznych w warstwie kleju

Z  rys.  2  oraz  przyję tych  zał oż eń wynikają   nastę pują ce  zależ noś ci  geometryczne  i  sta-
( tyczn e:

(1)  9 t W + f t W  =   <Pw{x),

(2 )

(3 )

(4 )

d<pt  dę i  ̂ _  dg>
w

dx  dx  dx  '

M,

dM
t

;  —  0 ,dx  dx

gdzie  (p
w
(x),  q>

t
(x),  cp

k
(x) oznaczają   przemieszczenia  ką towe  mierzone w przekroju  x  (rys. 2b),

M
w
(x),  M

t
(x)  —  m om en ty  skrę cają ce  wał ek  i  tulejkę   w  przekroju  x,  zaś  M  oznacza  mo-

m en t  skrę cają cy  przen oszon y  przez  poł ą czenie.
Z n an e  z  wytrzymał oś ci  m ateriał ów  wzory  n a  ką t  skrę cenia  mają   postać

dę
w
  M

w
(x)

(5 )
G

w
I

ovl
(x)



364  K.  G RU D ZIŃ SKT,  L.  ŁABU Ć,  T.  BU RD A

te*  ^ŁL
( )

  dx  G
t
I

ot
(x)  '

gdzie  G
w
,  G,  oznaczają   współ czynniki  sprę ż ystoś ci  poprzecznej  materiał ów wał ka i  tulejki,

zaś  I
ow

(x),  I
ot
(x)  —  biegunowe  momenty  bezwł adnoś ci  przekroju  wał ka  i  tulejki.

Z mianę   momentów  n a  dł ugoś ci  dx  wyraż ają   wzory

(7)

(8)  ^  -   2nrfr
kt
{x\

gdzie  r
kw

{x),  r.
kt
{x)  oznaczają   naprę ż enia  styczne  obwodowe  n a  powierzchniach  granicz-

nych  kleju  z  wał kiem  i  tulejką .
P o podstawieniu  (7) i  (8) do równania  (4) otrzymuje  się  p o przekształ ceniu i pom inię ciu

znaku

(9)  ,  r
kt
(x)  =  - 4- T *wO ) .

Ponieważ /• ,„   <  r
t
  —  r+g  (gdzie g  —  grubość  warstwy  kleju),  to  r

k
,  <  r

kw
.  D la  mał ych

gruboś ci  warstwy  kleju  róż nice  bę dą   nieistotne  i  m oż na je  pom in ą ć  przyjmują c,  że n aprę -
ż enia  styczne  na  gruboś ci  warstwy  kleju,  i  n a  powierzchniach  granicznych  są   jedn akowe

(10)  Tu (s  T
kw

  w  r
k
.

D la  naprę ż eń  stycznych  w  warstwie  kleju  n a  podstawie  (7)  otrzymuje  się   równanie

l  dMw

Chcą c  otrzymać  maksymalną   wytrzymał ość  poł ą czenia n a  skrę canie,  zgodnie  z  przyję -
tym  wcześ niej  kryterium,  należy  zapewnić  równomierny  rozkł ad  naprę ż eń  stycznych
w  warstwie  kleju.  To  bę dzie  speł nione jeż eli  momenty  skrę cają ce  wał ek  i  tulejkę   bę dą   się
zmieniać  wedł ug  nastę pują cych  funkcji  liniowych  (rys.  2c):

(12).

(13)  M
t
(x)  =   M y .

P o  uwzglę dnieniu  (12),  wzór  (11)  przyjmie  postać

M

2nr
2
  I

W  dalszych  rozważ aniach  przyjmuje  się ,  że  zależ noś ci  (12),  (13)  i  (14)  są   speł nione
z  zał oż enia. Z  analizy  zagadnienia  wynika,  że  warunek  optymalnego  rozkł adu naprę ż eń
stycznych  (14)  może  być  osią gnię ty  poprzez  odpowiednią   zm ian ę :

1)  przekroju  poprzecznego  elementów  ł ą czonych,
2)  gruboś ci  warstwy  kleju,
3)  wł asnoś ci  sprę ż ystych  kleju.
Przypadki  te  zostaną   omówione  p o  kolei.

(14)  x
k
(x)  =   - ^ —r  - r  =   const.



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁ Ą CZENIE  KLEJONE 365

3.  Optymalna  zmiana  prekroju  ł ą czonych elementów

Oprócz  zał oż eń ogólnych  podan ych w  pun kcie 2 przyjmuje  się  obecnie dodatkowo za-
ł oż enie,  że  grubość  g  warstwy  oraz  współ czynnik sprę ż ystoś ci  G

k
  kleju  są  stał e n a dł ugoś ci

poł ą czenia.  Jako  wielkoś ci  zm ienne, zależ ne  od  x  przyjmuje  się  biegunowe  m om enty bez-
wł adnoś ci  / „ ( x )  i  I

ot
(x)  przekroju  ł ą czonych elementów.

P rzy  zał oż eniu równ om iern ego  rozkł adu n aprę ż eń  stycznych  w  warstwie  kleju  n a dł u-
goś ci  / poł ą czen ia,  kąt  <p

k
  -   con st  (rys.  2b). U wzglę dniając  t o , otrzymuje  się n a podstawie

(2)  zwią zek  geometryczny

dcp
w
  d<p

t

dx  dx
(15)

P o  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (5), (6), (12) i  (13), zwią zek  geometryczny  (15)  przyjmuje
postać

(16)
I

ot
(x)  G

w
  x

G
t
  1- :

Jeż eli  zał oż ymy,  że  elementy  ł ą czone  wykonane  są  z  jednego  materiał u  (G
w
  =  G,}

oraz że wał ek m a stał y przekrój, tzn . I
ow

  =   const, wówczas  n a podstawie  (16) otrzymuje  się

J
ot
(x)  =   I

ow

X
(17)

Przyjmują c,  że  przekrój  wał ka jest  peł ny,  otrzymuje  się  wzory  dla  biegunowych  m o-
m en tów  bezwł adnoś ci  o  p o st aci:

(18) / .«(*)
nr?

D la  dostatecznie  cienkiej  warstwy  kleju  m oż na  przyjąć  r
t
  «  r

w
  =   r.  Otrzymuje  się

wtedy  n a podstawie  (17) funkcję  okreś lają cą  przebieg  zmiennoś ci promienia zewnę trznego
tulejki

(19)

gdzie:  .$ =  x/ l  jest  współ rzę dną  bezwymiarową  dł ugoś ci poł ą czenia.

We  wzorze  (19)  nie  wystę puje  współ czynnik  sprę ż ystoś ci  G
k
  kleju.  Wynika  z  tego,  że

Wzór ten jest  sł uszny zarówn o  w  zakresie  odkształ ceń sprę ż ystych jak  i plastycznych  kleju,
tzn .  przy  m ał ych i  duż ych  obcią ż eniach  m om en tem M,  SL Ż  do  zniszczenia poł ą czenia.

N ależy  dodać, że funkcja  R(£) n ie zależy  od kon kretn ej  dł ugoś ci /  poł ą czenia.  Przebieg,
zmiennoś ci  bezwymiarowej  funkcji  R(i)/ r  ilustrują  tablica  /  i  rys.  3.

"3 ablica  1

5 ~  /

m
r

0

1

0,1

1,027

0,2

1,057

0,3

1,093

0,4

1,137

0,5  '

1,189

0,6

1,257

0,7

1,351

0,8

1,495

0,9

1,778

1,0

co



366 K.  G RU D Z IŃ SKI,  L.  Ł ABU Ć,  T.  BU RD A

N iedogodnoś cią  jest  tutaj  wystę powanie  nieskoń czonoś ci  dla  £  =   1.  W  praktycznych
przypadkach  nieskoń czoność  tę  m oż na  zastą pić  dostatecznie  dużą  wartoś cią  skoń czoną.

Powyż szą  niedogodność  m oż na  usun ąć  w  ł atwy  sposób  przez  zastosowanie  wał ka
o  zmiennej  sztywnoś ci  n a  dł ugoś ci  poł ą czenia. Jedną  z  praktyczn ych  moż liwoś ci  jest  wy-
konanie  otworu  stoż kowego,  jak  n a  rys.  4.

2   -

— — - -

1   !  1 1
0,2 0,4 0,6 0,8  t.  1,0

Rys. 3. Optymalna zmiana promienia zewnę trznego  tulejki  walcowego  poł ą czenia klejonego  dla  przypadku,
gdy  wał ek  ma przekrój  stał y peł ny

Rys.  4.  Schemat  walcowego  poł ą czenia  klejonego  wał ka  i  tulejki  o  zmiennym  przekroju

Z  zależ noś ci  (16)  wynika,  że  dla  uzyskania  równ om iern ego  rozkł adu  n aprę ż eń  w  war-
stwie  kleju  przy  G

t
  =  G

m
  musi  być  speł niony  warun ek

orf\   IQA
X
)  _  x

Z godnie  z  rys.  4

I*w(x)  =  Y ( / - 4 - C4 ) ,  gdzie  Q =   r - y,(21)

stąd

C22)  '  I  (£) =  I  (l — £*)

gdzie  I
ow

  =   m4/ 2  oznacza  m om en t  biegunowy  przekroju  wał ka  peł nego, zaś  |  =»  x/ l  —
bezwymiarową  współ rzę dną.

D la  tulejki  biegunowy  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  jest  równ y

(23)



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁĄ CZENIE  KLEJONE  3 6 7

P o  podstawieniu  (23) i  (24)  do  (20) oraz  odpowiednich przekształ ceniach otrzymuje  się

(24)  R  =

P rzebieg  zm iennoś ci  stosun ku  i?( |) / r  ilustruje  tablica  2  i  rys.  5.

Z  tablicy  2  widać,  że  prom ień  zewnę trzny  tulejki  dla  fa s  1  ma  skoń czoną   wartoś ć,

wynoszą cą   R
ma

i  =   1,495  r.

Tablica  2

X

r

0

1

0,2

1,058

0,4

1,131

0,6

1,233

0,8

1,353

1,0

1,495

1,5

1,0

°. 5h

— —

I  I  I

_ _ - — —
1A95

0,2 0,6 0,8  |  1,0

Rys. 5.  Optymalna zmiana promienia zewnę trznego tulejki walcowego poł ą czenia klejonego dla przypadku,
gdy  wał ek  ma otwór  stoż kowy  j .  -

4.  Optymalna  zmiana  gruboś ci  warstwy  kleju'

Rozważ ony  zostan ie  teraz  przypadek  poł ą czen ia walcowego  o  zmiennej  gruboś ci  war-
stwy  kleju  n a  dł ugoś ci  /  (rys.  6).  Z akł ada się   przy  rym,  że  stosunek  sztywnoś ci  n a  skrę -
canie  przekrojów  wał ka  i  tulejki  jest  stał y  i  wystę puje  ja ko  param etr  B  niezależ ny  od  x.

(25)  2? =   ^ ^ .

Z adan ie polega  obecnie n a wyznaczeniu funkcji  g(x),  opisują cej  zmianę  gruboś ci  warstwy
kleju  n a  dł ugoś ci  /  poł ą czen ia,  przy  której  n aprę ż en ia  styczne  w  kleju  bę dą   miał y równo-
m ierny  rozkł ad  okreś lony  zależ noś cią   (14). •

a)
\

gM

I

Rys. 6. Walcowe poł ą czenie klejone z warstwą  kleju o zmiennej gruboś ci: a) przekrój podł uż ny, b) fragment
•   przekroju  poprzecznego



368 K .  G R U D Z I Ń S K I,  L.  Ł AB U Ć ,  T .  B U R D A

Przemieszczenie  cp
k
 przekrojów  poprzecznych  wał ka  i  tulejki  jest wynikiem  odkształ -

cenia się  warstwy kleju  o ką t y
k
  (rys.  6b). Przy  mał ej  gruboś ci  g  w  stosunku do promienia r

moż na  przyją ć  zależ ność
a

(26)  <p
k
  =  — y

k
.

a)

R ys.  7.  P rzebiegi  zm ian  przem ieszczeń  ką towych  q>
x
(x), q>

t
(x)  i  q>

k
(x) n a  dł ugoś ci  p o ł ą czen ia

P o  uwzglę dnieniu  prawa  H ooke'a  dla  czystego  ś cinania  w  odniesieniu  do  kleju  oraz
zależ noś ci  (14)  otrzymuje  się   •

g(x)r
k
  '  g(x)  M

(2 7 ) <Pk(x)  =
rG

k
  ~  2nr

3
G

k
  I  '

gdzie  G
k
  oznacza  współ czynnik  sprę ż ystoś ci  poprzecznej  kleju.

Warunek  geometrycznej  zgodnoś ci  odkształ ceń,  zgodnie  z  (1)  m a  postać  (rys.  7)

(28)  <p
k
{x) =   <p

w
{x)- <p

t
(x).

P o  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (5;,  (6),  (12),  (13)  i  (27)  oraz  warunku  brzegowego  dla
(27),  zależ ność  geometryczną   (28)  moż na  przedstawić  w  postaci

g(x)  M  g(p)  M
•Y  r

M-
21

2nr
3
G

k
  I  2nr

3
G

k
  I  G

W
I

BW
  G,I

ot
  '

gdzie  g(0)  oznacza  grubość  warstwy  kleju  w  przekroju  x  — 0  (rys.  6a).
Z  zależ noś ci  (29) po  dokon an iu pewnych  przekształ ceń otrzymuje  się

(30)  g(x) -

gdzie  B  zgodnie  z  zależ noś cią   (25)  oznacza  stosunek  sztywnoś ci  n a  skrę canie  przekrojów
wał ka- i  tulejki.

D la przypadku, gdy elementy ł ą czone wykonane są  z jednakowego  materiał u  ((?,„  =   G,  =
=   G)  i  mają   równe  co  do  wartoś ci  biegunowe  momenty  bezwł adnoś ci

'(31)  *  / „ -   I
9W

  = '  - 2 jl



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁĄ CZEN IE  KLEJONE 369

otrzymuje  się   n a  podstawie  (30)

(32)  g(x)

F izyczny  sens  rozwią zania  zagadnienia  wymaga,  aby  funkcja  g(x)  miał a  wartoś ci  nie-

ujemne  n a  cał ej  dł ugoś ci  /  poł ą czenia.  Z  (32) wynika,  że minimalna grubość  warstwy  kleju

(przy  B  —  1)  wystę puje  w  przekroju  x  =  //2  i  wynosi

n  n
H3">  ffm,„  •

Stą d

Gr

(34) # (0)  = Gr

Podstawiają c  (34)  do  (32)  otrzymuje  się   po  przekształ ceniach

(35)

gdzie  f  =   x/ I,  (0 <  f  <  1).
F unkcja  (35) okreś la zmianę  gruboś ci  warstwy  kleju  na dł ugoś ci / poł ą czenia, przy  której

otrzymuje  się   równomierny rozkł ad naprę ż eń stycznych  w kleju.  Przebiegi  zmian  gruboś ci
warstwy  kleju  w  zależ noś ci  od'dł ugoś ci  /  poł ą czenia przy  zał oż onych stosunkach  l:r  =   2
oraz  G

k
:G  — 0,0125  (dla  poł ą czenia  elementów  stalowych)  ilustrują   krzywe  na  rys.  8.

We wzorze  (35),gm ł njest  pewną   stał ą  i okreś la minimalną  grubość warstwy  kleju jaką   należy
przyją ć  z warunków  montaż owych. M aksymalne gruboś ci  warstwy  kleju  wystę pują   w  skraj-

[m
m

]

CD

C  '
1

J

1,00

0,75

0,50

0,25

0

\

V
V

0

U40mm_

/ . l O O m m

<•   X  l=20mm
iS/   l=  1Qmm

i
0,2

^ *
i

0,4

Gk/ G =

l/ r=2

mu  i

0,0125

- ^
i

0,6

/

/ /
/ /

yyy

1

0,8  | =x/ l  1,t

Ryś.  8.  Optymalna zmiana gruboś ci  warstwy  kleju  na dł ugoś ci poł ą czenia  walcowego

J  L

Rys. 9. Schemat walcowego polaczenia'klejonego  o optymalnej zmianie gruboś ci warstwy kleju na dł ugoś ci/



370  K.  G RU D ZIŃ SKI,  L.  ŁABU Ć,  T.  BU RD A

nych  przekrojach.  N ie mogą   one przyjmować  dowolnie  duż ych  wartoś ci  i  ograniczają
w  sposób  istotny  dł ugoś ci  /   poł ą czenia.

P raktycznie  moż liwą   realizację   poł ą czenia o  zmiennej  gruboś ci  warstwy  kleju  poka-
zano  n a rys. 9. Przyję cie  takiego  ukształ towan ia  wał ka  i  otworu  tulejki  uł atwia  m on taż
elementów i zapewnia  dobre wypeł nienie szczeliny  klejem  oraz dobre cen trowan ie  elemen-
tów  przy  dostatecznie  mał ej  gruboś ci  g

m]n
.

5.  Optymalna  zmiana  wł asnoś ci  sprę ż ystych  kleju

Rozważ ony  zostanie teraz jeszcze- jeden  teoretycznie moż liwy  przypadek  optymalizacji
poł ą czenia  walcowego,  poprzez zastosowanie  kleju  o zm iennych wł asnoś ciach  sprę ż ystyoh
n a  dł ugoś ci  poł ą czenia.

Z akł ada się , że grubość warstwy kleju  oraz stosunek sztywnoś ci  n a skrę canie elementów
ł ą czonych są  stał e i n ie zależą   od  współ rzę dnej x. Celem rozważ ań jest  wyznaczenie i zba-
danie funkcji,  wedł ug jakiej  musi  zmieniać się  współ czynnik sprę ż ystoś ci  kleju  G

k
  —  G

k
(x),

przy  ż ą daniu  speł nienia warun ków  (12),  (13) i  (14), dotyczą cych  liniowego  rozkł adu  m o-
mentów  skrę cają cych  i  równom iernego  rozkł adu  n aprę ż eń  stycznych  w  warstwie  kleju.

D la  rozważ anego  przypadku  otrzymuje  się   zależ ność  analogiczną   do  (29), z tą  róż nicą,
że  grubość g jest  teraz  wielkoś cią   stał ą , a wspóczynnik  sprę ż ystoś ci  kleju  zmienną   (G

k
  =

=   G
k
(x)).

lnr
3
l  G

k
(x)  2nrH  G

k
(Q)  G

W
I

OW

  T
  G,I

ot
  '

gdzie  G
k
(0) oznacza  wartość  współ czynnika  sprę ż ystoś ci  kleju  w  przekroju  x  —  0.

Po  przekształ ceniu  (36)  otrzymuje  się

ivr\   / - }  (
Y
\   " Ł W

K  }  * W ~  ,  m- 3G
k
(Q)  \ 21x~x

2

1 •
3tr

3
G

k
(0)  [

.  GJ
otg

'  D la przypadku,  gdy  G
w
  -   G, -   G  oraz  / „ , =  / o w =  ——  zależ ność  (37)  przyjmuje

prostszą   postać

(38)  G
k
(x)  =   ~ ^ -   .

grG  fc
  x%

}
Z  (38) wynika,  że funkcja  G

k
(x)  jest  symetryczna  wzglę dem  przekroju  x  — / / 2 I  osią ga

m aksim um  w tym przekroju.

Gh\ - = - \  — 6 i m M  =   —

grG

F izyczny  sens  rozwią zania  zagadnienia  wymaga,  aż eby  G
k
(x)  był o  tylko  dodatn ie.

Stą d  otrzymuje  się  warun ek

( 4 0 )  < 7 Ł( 0 ) <.



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁ Ą CZEN IE  KLEJONE 371

Przekształ cając  zależ ność  (39)  otrzymuje  się

(41)
1 +

1
2
Gkmax
grG

P o  podstawieniu  (41) do  (38) i  dokon an iu przekształ ceń, poszukiwana  funkcja  okreś la-
ją ca  optymalną  zmianę  wł asnoś ci  sprę ż ystych  kleju  n a  dł ugoś ci  /  poł ą czenia  przyjmuje
postać

(42)  G
k
(S)

1 +  -
grG

gdzie  f  =   x/ l —  współ rzę dna  bezwymiarowa.
Z  otrzymanej  zależ noś ci  (42)  ł atwo  moż na  odczytać  wpł yw  każ dego  z  wystę pują cych

w  niej  param etrów  charakteryzują cych  poł ą czenie. Zał oż enie n p.  doskonał ej  sztywnoś ci
dla  materiał ów  ł ą czonych  elementów  (przyję cie  G  =   co)  daje  funkcję  G

k
(ł ;) —  G > m a x  =

• =   const.  P rzykł adowe  przebiegi  funkcji  G
k
  (£)  dla  poł ą czeń walcowych  elementów stalo-

wych  i  duralowych,  przy  uwzglę dnieniu  dwóch  róż nych  gruboś ci  g  warstwy  kleju  oraz
trzech  róż nych dł ugoś ci  / poł ą czen ia (przy  stał ym stosunku  /:;•  =  2)przedstawiono na  rys.
10.  Wskazują  one  n a  iloś ciowy  wpł yw  param etrów  materiał owych  i  konstrukcyjnych.
Ł atwo  zauważ yć,  że  wpł yw  ten  jest  istotny.

P raktyczne  w(ykonanie  poł ą czenia walcowego  z  warstwą  kleju  o  współ czynniku sprę-
ż ystoś ci  poprzecznej  zmieniają cym  się  wedł ug  wyznaczonej  funkcji  (42) jest  oczywiś cie

10

PT  8

£  6
O

S.   z,

c)  ,

.  10

6  ^

2  "

g=0,1mm

V//C'

g=0,1 mm

\

• \U10mm  \
X  20

i

A
\   20  \ V

\   30

b)

d)

:
g=0,2mm

g=0,2mm

-   yyi

f\
20  '  \

30

1

/ f\
(UlOmm  \ \ \

_30  \ ^

1,0  0 0,5 1,0

Rys.  10. Optymalna  zmiana  współ czynnika  sprę ż ystoś ci poprzecznej  kleju na dł ugoś ci  poł ą czenia walcowego:
a)  i  b) —  dla  elementów  stalowych,  c)  i  d) —  dla  elementów  z  duraluminium



372 K.  GRUDZIŃ S JCI,  L.  ŁABU Ć,  T.  B U RD A

niemoż liwe.  Pewne  korzystne  efekty  praktyczne,  w  postaci  obniż enia  naprę ż eń  szczyto-
wych  w  skrajnych  przekrojach  poł ą czenia, moż na  osią gnąć  przez  zastosowanie  klejów
o  dwóch  róż nych  wartoś ciach  G

k
,  przy  czym  klej  o  wię kszej  sztywnoś ci  (G

kl
)  należy  dać

w  czę ś ci  ś rodkowej,  a  o  mniejszej  sztywnoś ci  (G
k2

)  —  w  czę ś ciach  skrajnych  poł ą czenia
(rys.  11).

Rys.  11. Walcowe  poł ą czenie  klejone  z  zastosowaniem  klejów  o  dwóch  róż nych  współ czynnikach  sprę ż ys-
toś ci  poprzecznej:  a)  schemat  poł ą czenia,  b)  rozkł ad  naprę ż eń stycznych  w  warstwie  kleju

6,  Optymalna  dł ugość  poł ą czenia

D ł ugość  /  poł ą czenia  wystę pują ca  jako  parametr  w  funkcjach  (35) i  (42)  okreś lają cych
optymalną   zmianę   gruboś ci  g( |)  warstwy  oraz  współ czynnika  sprę ż ystoś ci  poprzecznej
G  (f)  kleju,  ma istotny wpł yw  na wartość  tych funkcji  w skrajnych  przekrojach poł ą czenia.
Im mniejsza jest dł ugoś ć, tym ł atwiejsza jest realizacja  poł ą czenia optymalnego w podanym
wyż ej  sensie.

Wytrzymał ość  poł ą czenia  klejonego  powinna  być  co  najmniej  równa  wytrzymał oś ci
ł ą czonych  elementów.  M aksymalny  moment  skrę cają cy  wał ek  musi  speł niać  warunek

nr
3

(43)  M
s
  <  k

s
  W  o =   k,  - r —,

gdzie  k
s
  oznacza  dopuszczalne  naprę ż enie  na  skrę canie  dla  materiał u  wał ka.

Przy zał oż eniu równomiernego  rozkł adu naprę ż eń stycznych  w  warstwie  kleju,  maksy-
malny  moment  skrę cają cy  walcowe  poł ą czenie
(44)  M

k
=k

t
-   2nr

2
l,

gdzie  k,  oznacza  dopuszczalne  naprę ż enie  n a  ś cinanie  dla  kleju.
Wytrzymał ość  poł ą czenia  bę dzie  równa  wytrzymał oś ci  wał ka  jeż eli

(45) k
t
2nr

2
l=  k

s
nr'

Stą d  optymalna  dł ugość  poł ą czenia  bę dzie  równa

(46) /
opt 4  k,  '



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁĄ CZEN IE  KLEJONE  3 7 3

a  optym aln y  stosun ek  dł ugoś ci  d o prom ien ia poł ą czenia

m  (7) - k-
\ r/ opt  W t

Przyjmują c  dla klejów  epoksydowych  n a podstawie  badań wł asnych  [6] k
t
  =   (1 - r 2)107

[N / m 2] o raz dla stali  konstrukcyjnej  k
s
 -   (8 - r 12)107 [N / m 2] otrzymuje się  n a podstawie (47)

(48)  (j)  • =  1- 4- 3.
\  '  / opt

Jeż eli

/   t,i  0,58i?e

gdzie  Tpi — granica  plastycznoś ci  przy  czystym  ś cin an iu  (wedł ug hipotezy  H ubera  T p i  =

=   0,58 R
e
),  wał ek  zacznie  się   odkształ cać  plastycznie.  Oczywiś cie  w  takim  przypadku

przedstawion a  teoria  traci  waż n oś ć.

7.  Badania  doś wiadczalne

P rzedstawione  powyż ej  rozważ an ia  i  uzyskane  wyniki  stanowią   teoretyczną   podstawę
do  optym alnego  kształ towan ia  osiowo  symetrycznych  poł ą czeń  klejonych  obcią ż onych
m om en tem  skrę cają cym.  N ależy  jedn ak  zaznaczyć,  że przedstawiona  teoria  odnosi się
do  m odelu  poł ą czenia, dla którego  przyję to  szereg  zał oż eń upraszczają cych,  przyjmowa-
nych powszecznie w teorii wytrzymał oś ci m ateriał ów.

D la dokon an ia peł nej miarodajnej  oceny uzyskanych  wyników  rozważ ań  teoretycznych,
konieczne  jest  poddan ie  ich doś wiadczalnej  weryfikacji.  Przeprowadzenie  jednakże od-
powiedniego  doś wiadczenia  n astrę cza  zasadnicze  trudn oś ci  techniczne, gdyż nie  są  znane
m etody  pom iaru n aprę ż eń i  odkształ ceń w cienkiej  spoinie klejowej  poł ą czenia  walcowego
.  D la uzyskania  pewn ych  informacji  o  wytrzymał oś ci  osiowo- symetrycznych  poł ą czeń

klejonych  przeprowadzon o  niszczą cą   próbę   skrę cania  dla 5 serii  róż nie ukształ towanych,
próbek, ja k w tablicy  3. Ś rednica  czopa,  dł ugość  poł ą czenia i  grubość  warstwy  był y dla
wszystkich  serii  pró bek jedn akowe  i wynosił y  odpowiedn io: d =   14 mm , /  =   10 mm, g =
=   0,05 m m .  P róbki  w poszczególnych  seriach  róż niły się  ś rednicą   zewnę trzną   tulejki lub
przebiegiem  jej  zmiennoś ci  n a dł ugoś ci  poł ą czenia. P róbki  skrę cano  w specjalnym  przy-
rzą dzie  [6] n a uniwersalnej  maszynie  wytrzymał oś ciowej.  Wyznaczono  doraź ną   wartość
m om en tu skrę cają cego  M,

max
  niszczą cego  poł ą czenie, a n a jego podstawie  obliczono ś rednią

Wytrzymał ość n a ś cianie R
tk
  kleju  oraz maksymalne  naprę ż enie skrę cają ce  r

smn
  w  przekroju

wał ka.  P osł uż ono się  przy  t ym  nastę pują cymi  wzoram i:

ax  • ™!naj
7

Badan ia  przeprowadzon o  dla dwóch  klejów:  E pidian  57+ Z 1  (100:10  cz. wag)  oraz
E pidian  100. Wyniki  próby p o d a n o w tablicy 3.

U zyskan e  wyniki  próby  n ie mogą   stanowić  podstawy  do uogólnień, pozwalają   jedn ak
n a  odn otowan ie pewn ych uwag i wniosków  o znaczeniu praktycznym .

7  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/78



374 K.  GRUDZIŃ SKI,  L.  ŁABUĆ,  T.  BURDA

T ablica  3

Wyniki  próby  skrę c an ia  osiowo  symetrycznych

poł ą caeń  klejon ych

Nr
serii

7

II

III

IV

V

Rysunek
poł cczenia

o,

• sl  >  Iow
r /

i
S = 4

-

/ > / /
1

i
i

N
J/ / / / A i

-

'/ / ,

i

i

Nr
próbk

1

2

3

ś redn.

1

2

3

ś redn.

1

2

3

ś redn

1

2

3

ś redn.

1

2

3

ś redn,

Epidian  57*- ,

MsmOx

N- m

113,7

112,5

111,3

112,5

106,2

115,0

110,0

110,4

115,5

112,0

11?,7

113,7

120,0

131,2

118,7

113,3

121,2

116,2
130,0

122,5

N/ mm

36,9

36,5
36,2

36,5

34,5

37,4

35,7

35,9

37,5

36,3
37,0

36,9

39,0

42,6

38,5

40,0

39,2

37,7
42,2

39,8

Zł

'smax

N/ mm2

212

209

206

209

197

214

204

205

215

2 0 8

211

211

221

246

221

229

225

2 1 6

241

227

Epidian 100
MSM X

N- m

178,0

180,0

173,2

1'77,0

173,7

172,5

179,3

175,5

176,2

182,5

177,0

178,6

189,2

180,5
185,8

185,2

184,0

188,0

185,0

185,7

Rł kl

N/ mm2

58,0

58,1

56,3

57,6

56,5
56,2

58,5

57,0

57,2

59,4

57,5

.58,1

61,5

58,7

60,4

60, 2  •

59,7

61,0
60,2

60,3

xsmax
N/ mm2

331

334

321

329

322

320

333

325

327

339

328

331

351

335

344

343

341

348

343

344

1.  Badane  poł ą czenia  klejone  o  nieznacznej  dł ugoś ci  (/  =   0,71Ą   wykazał y  dużą   wy-
trzymał ość  n a  obcią ż enia  doraź ne m om en tem skrę cają cym,  w  stosun ku  do  wytrzymał oś ci
ł ą czonych  elementów  stalowych.  Zniszczenie  spoiny  klejonej  wystę powało  przy  maksy-
malnych  naprę ż eniach skrę cają cych  wał ek  wynoszą cych:

dlaE pidian u  5 7 + Z 1 —  r
smax

  =  197- f- 246

dla  Epidianu  100  —  T j m a x  -   320+ 351

N
m m 2

N

341~ 425-
N

crrca  =   553 +  607

m m '

N
m m 2  \ " r e a  ~  " " "  " U W 1  m m 2

) •



OSIOWO- SYMETRYCZNE  POŁĄ CZENIE  KLEJONE  3 7 5

Badan ia przeprowadzon o n a próbkach ze stali  o stosunkowo  wysokiej granicy  plastycz-
noś ci  R

e
  =   650  N / m m 2 .

2.  Wytrzymał ość  doraź na  poł ą czeń  uzyskanych  przy  uż yciu  kleju  Epidian  100  był a
okoł o  50% wyż sza  od  takich  samych  poł ą czeń  uzyskanych  przy  uż yciu  Epidianu  57  +   Z 1.

3.  Wartoś ci  m om en tów  M
smax

  (tabl.  3)  niszczą cych  poł ą czenie dla  wszystkich  5 serii
próbek  klejonych  tym  sam ym  klejem  róż nią   się   nieznacznie. Poł ą czenia z  tulejką   o zmien-
n ym  przekroju  (serie  I I I ,  IV  i  V)  wykazał y  tylko  nieznacznie wyż szą   wytrzymał ość  od po-
ł ą czeń  z tulejką   o  stał ym przekroju  (serie I i  I I ) .  N a pierwszy  rzut  oka  może  się   wydawać,
że  doś wiadczenie  nie  potwierdza  uzyskanych  wyników  rozważ ań  teoretycznych. G ł ę bsza
analiza  zagadnienia,  o part a  n a  znajomoś ci  charakterystyk  ś cinania  (y

k
  = f(r

k
))  uż ytych

klejów,  pozwala  n a  peł ne  wyjaś nienie  tej  pozornej  niezgodnoś ci  i  prowadzi  do  wniosku,
że  wynik  doraź nej  niszczą cej  próby  skrę cania  poł ą czenia nie  może  być  w  tym  przypadku
uż yty  jako  kryterium  rozstrzygają ce  o  sł usznoś ci  podan ej  teorii.

Z  wykonanych  obliczeń  wedł ug  [5]  wynika,  że  współ czynnik  spię trzenia  naprę ż eń

a
k
  =   - *"""1  I w  spoinie klejowej  w  zakresie  odkształ ceń sprę ż ystych  wynosi:

dla  próbek  serii  I —  a
k
  — 2,0,

dla  próbek  serii  I I —  a
k
  =   2,4.

Badan ia  doś wiadczalne  wykazał y  [6], że  ostateczne  zniszczenie  przy  czystym  ś cinaniu
spoin  klejowych  z  E pidian u  57 +  Z 1  oraz  Epidian u  100, zachodzi przy  znacznych odkształ -
ceniach  plastycznych  tych  klejów.  P om im o wię c  począ tkowo  nierównomiernego rozkł adu
n aprę ż eń stycznych  w  kleju  n a dł ugoś ci poł ą czenia w  próbkach sefii  I i  I I ,  w m iarę  wzrostu
maksymalnych  n aprę ż eń  i  osią gnię cia  przez  n ie  granicy  plastycznoś ci,  nastę puje  znaczne
wyrównanie  rozkł adu  n aprę ż eń  przed  ostatecznym  zniszczeniem.  Ten  fakt  wyjaś nia  cał -
kowicie uzyskan e podczas próby  w przybliż eniu jedn akowe wartoś ci momentów niszczą cych
dla  wszystkich  serii  przebadan ych  próbek.

I stotn ą   zaletą   zapropon owan ych w pracy poł ą czeń  optymalnych jest  t o ,  że równomierny
rozkł ad n aprę ż eń stycznych  w warstwie  kleju  wystę puje  w zakresie  odkształ ceń sprę ż ystych.
M a  to podstawowe  znaczenie praktyczn e podczas pracy  tego typu poł ą czeń, zwł aszcza przy.
obcią ż eniach  zmiennych,  zmę czeniowych.

%  Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  K.  G RU D Z IŃ SKI,  T.  BU RD A,  L.  ŁABU Ć,  W yznaczenie stanu naprę ż enia  w  osiowo- symetrycznym  poł ą czeniu
klejonym obcią ż onym momentem skrę cają cym, Mech.  Teoret.  Stos.,  4, 15 (1977).

2.  K.  G RU D ZIŃ SKI,  J.  LORKIEWICZ,  Doś wiadczenia  wł asne w stosowaniu  klejenia metali, Krajowa  Konf.
N auk.- Techn.,  n t . :  Problemy  Wytrzymał oś ci  Konstrukcji  Klejonych,  Szczecin 1972.

3.  K.  G RU D Z IŃ SKI,  Optytnalizacja- walcowego  poł ą czenia klejonego obcią ż onego  momentem  skrę cają cym,
ibid.

4.  K.  G RU D Z IŃ SKI,  J.  LORKIEWICZ,  W ytrzymał oś ć na skrę canie  klejonych poł ą czeń  walcowych,  Przeglą d
Mechaniczny,  8, 29  (1970).

5.  K.  G RU D Z IŃ SKI,  J.  LORKIEWICZ,  Analiza naprę ż eń  w walcowej spoinie  klejowej,  Krajowa  Konf.  N auk.-
Techn.,  n t. Problemy  Wytrzymał oś ci  Konstrukcji  Klejonych,  Szczecin 1972.

6.  K.  G RU D ZIŃ SKI,  Badanie  wł asnoś ci  mechanicznych  klejów i poł ą czeń  klejonych  przy  czystym  ś cinaniu
ibid.

7 *



376  K.  G RU D Z IŃ SKI,  L.  ŁABU Ć,  T.  BU RD A

P  e 3  IO  M e

OCECH M M ETPH M H BIE  KJIEEBBIE  C O E ^ H H E H H K C  O n T H M AJI LH K I M
PACITPEflEJIEH H EM   KACATEJILH LIX  H AlIP JD KEH H ft  B  KJIEIOUTEM  C JI OE

PaccMOTpena  3aflaqa  06  oironwanBHOM   npoeKTHpoBaiiHH   ocecHMMeTpH^Horo  ioieeBoro
Harpy>KeHi- roro  KpyTenbHLiM   MOMCHTOM.  B  npiiHHTOH   MOflejiH   coeflinifieiwbie  ojieiweHTbi  H   cjioft  lo r e s
paccMacpMBaMTca Kai< yn p yr o  «e(})opmHpyeMbie  Ten a.  On peflejien bi  ycJioBH H , n pw  K O T O P U X
Hoe  KacaTejitH oe  H an paweH ue  B  KJieiomeM   cn oe  npHHHMaeT MHirwMajibHoe  3HaMeirHe, paBH oe

p&Hbi  TpH   cn ocoSa  ocymecTBJieH aa  TaKoro  Tan a  coeflHHeHHHj  nyTeiw:
1.  H3MeHeHHH  n o n e p e iH o r o  c e ^ e n a n  coeflHHweMBix
2 .  lOM eH eH H H   TOJSlUHHbl  CJIOH   KJICJIj
3 .  npH iweH eH H H   KJieeB  c  paajiH ^iibiM H   yn p yr H M H
B

S u m m a r y

AXI- SYMMETRIC G LU E JOIN TS WITH  OPTIM AL SH EARIN G  STRESS D ISTRIBU TION  WITH IN
TH E  G LU E  LAYER

The  paper presents the problem  of  optimum design  of  an axi- symmetric  glue joint  loaded  by  a torque.
I n  the model assumed  the elements  of  the joint  and the glue layer  are treated  as  elastic  deformable  bodies.
The  conditions are determined under which the maximum, shearing  stresses  in the glue layer  attain the mi-
nium value  equal to the mean value.  Three methods of construction of  such joints  are proposed, based  on :

(1)  variable  cross- section  of  the  elements of  the join ts;  • *"
(2)  variable  thickness  of  the  glue  layer;
(3)  application  of  glues with  various  elastic  properties.  In conclusion, experimental  results  are  discu-

ssed.

I N STYTU T  I N Ż YN I E R II  M ATE R I AŁ OWE J
P OLI TE C H N I KI  SZ C Z E C I Ń SK I EJ

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  6  stycznia  1978  r.