Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  1«  (1978) O  SU M O WAN I U   P E WN YC H   S Z E R E G Ó W  D I N I E G O  I  T R YG O N O M E T R YC Z N YC H   P OJAWI AJĄ - C YC H   SI Ę   W  Z AG AD N I E N I AC H   M E C H AN I K I  O Ś R O D K ÓW  C I Ą G Ł YCH KR Z YSZ TOF   G R Y S A ,  JAN U SZ  J A N K O W S K I  (P OZ N AŃ ) 1.  Wstę p Jednym  z  podstawowych  problemów,  pojawiają cych  się   przy  rozważ aniu  zagadnień mechaniki  oś rodków  cią gł ych  (a także i  innych dziedzin n auki), jest interpretacja  fizyczna wyników  mają cych  postać  wielokrotnych  cał ek  lub  szeregów.  W  szczególnoś ci  przy  roz- waż aniach  dotyczą cych  termosprę ż ystoś ci  czy  termodyfuzji  otrzymuje  się   czę sto  roz- wią zania  w  postaci  szeregów  typu  F ouriera- Bessela,  D iniego  [1],  lub  trygonometrycznych (por.  n p.  [5, 7, 8]  i  in .). Wydaje  się ,  że  najogólniejsze,  z  przedstawionych  dotychczas  w  literaturze,  podejś cie do problemów  sumowalnoś ci  szeregów  F ouriera- Bessela i  D iniego przedstawiono  w pracy [2].  W  pracy  tej  wyznaczono  sumy  szeregów  F ouriera- Bessela 1  } oraz  D iniego gdzie  n  — 0,1,2,  ...;  s,k,  I =  0,  1;  ju ni   —  / - te  miejsce  zerowe  funkcji  Bessela  J„(z); X„}— 7- te  miejsce  zerowe  funkcji  / „(A) =   W „{X) + HJ n (X);  i,j  =   1, 2, ...;  if,  a —d o - wolne  stał e  ( f l # 0 ) ; x j e  (0, 1). Wzory  przedstawione  w  cytowanej  pracy  są   prawdziwe  również  dla  każ dego  n  rzeczy- wistego wię kszego od  — 0,5 (porównaj tok rozumowania w pracy  [2] z odpowiednimi zwią z- kami  zawartymi  w  monografiach  [1, 6]).  Pewne  szczególne  przypadki tych wzorów moż na znaleźć w innych pracach. N ależy t u  wymienić szczególnie  dwie publikacje,  których uogól- nienie  stanowi  praca  [2].  Są   to  prace  WOELKEG O  [3]  i  G RYSY  [4]. W  pierwszej  podan o sumy  szeregów  typu  (1.1) dla  n  — 0;  w  drugiej  uogólniono wyniki  pierwszej  pracy  na do- wolne  n  n aturaln e. W  obecnej  pracy  wyznaczono  wzory  sumacyjne  dla  szeregów  D iniego  w  przypadku, gdy  H  >  0. P on adto wykorzystano  wyniki  prac  [2] i  [4] w  celu wyznaczenia  sum pewnych szeregów  trygonometrycznych.  Oba  typy  szeregów  są   szczególnie  czę sto  spotykane  w roz- wią zaniach równań tran sportu ciepł a lub masy  oraz w teorii drgań. U ż yteczność wyprowa- dzonych  wzorów  zilustrowano  w  koń cowej  czę ś ci  pracy  przedstawiają c  w prostych posta- ciach pewne znane rozwią zania  problemów termosprę ż ystoś ci, teorii drgań i innych. 300  K .  G R YSA,  J.  JAN KOWSJCI W  przedstawionych  w  dalszych  czę ś ciach  pracy  zwią zkach  uż ywać  bę dziemy  n astę - pują cych  oznaczeń  skracają cych: ml (p,  z) =  -  ̂ [K n (pz)- I„(pz)   {H+n)Up)+pIn+x{p) \ . Tutaj  I„(z) i  K n {z)  —  zmodyfikowane  funkcje  Bessela,  odpowiednio  pierwszego  i  dru- giego rodzaju  n- tego rzę du  [1];  H—  param etr wystę pują cy  w szeregach  D in iego. N iet ru dn o zauważ yć,  że 1 (1- 5)  F&ip,  1) = (1.6)  J ? a ( p ,  1)  « 4p i [(H+n)I n {p)+pI n+1 {p)]  • H+n 4p 3 [(H+n)I n (p)+pI n+1 (p)]  • Podstawowym  wzorem,  z  którego  otrzymuje  się   wszystkie  n astę pne  cytowane  w  tej pracy wzory  sumacyjne  dla szeregów  D iniego, jest  zwią zek co V ft (x- y)F^ (a, x)I„(ay)+ri(y- x)F^ (a,y)I n (ax)} > który  uzyskuje  się   z  odpowiedniego  podstawowego  wzoru  z  pracy  [2]  dla  przypadku, gdy  H  >  0 i n  ^  0. Tutaj  ł ?(z) —  funkcja  H eaviside'a. Z najomość  wzorów  sumacyjnych  dla  szeregów  D iniego  i  F ouriera- Bessela  (te  ostatn ie omówiono  w  pracy  [4]) pozwala  w  ł atwy  sposób  otrzym ać wzory  sumacyjne  dla  pewnych szeregów  trygonometrycznych.  Wykorzystują c  mianowicie  zwią zki  [6]: s i n z > —  cosz,  K m (z)  =  1/   —  , (1.8) 2  sinz  r  . .  _ /   2  ,  sinhzCOSZ ,  hiriz)  =   I /   COShz  \ , nz y z  J  '  v  y  Tiz  [   z  J zwią zek  (1.7)  oraz  zwią zek  (11)  z pracy  [4], otrzymuje  się   nastę pują ce  wzory,  bę dą ce  pod- stawowymi  dla  wyznaczania  sum  odpowiednich  szeregów  trygon om etryczn ych : 0 0 .  sin hay 2e- °s V  aftin Ajxsin V- O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 01! (1.10) A  sin h(fl;c)sin h[a(l- j/ )] co a g + f l 2  - - iv»  "  2asinh(fl)   r ' / v  "J  2asin h ( a) gdzie  Aj—  dodatn ie  pierwiastki  równ an ia  ( 0 , 5 - i ?) tg A =   A gdy  if  ^  0,5,  lub  równania. cosA  =   0 gdy  H  =  0, 5;  (dla  H  =   0,5  m am y  zatem  A, =   n(J~0,S)\   A(H,  a) =  „ a ~ ~ !? ' !, - Ii  —  ci—0,5 a* =  nk. Wszystkie  wzory  sumacyjne  dotyczą ce  szeregów  trygonometrycznych,  przedstawione- w  niniejszej  pracy,  m oż na  otrzym ać  bą dź  przez  wykon an ie  n a  zwią zkach  (1.9)  i  (1.10)- odpowiednich  operacji,  om ówion ych  przy  wyprowadzaniu  wzorów  sumacyjnych  w  p r a - cach  [2]  i  [4], bą dź  przez  poł oż en ie  n  =   1/2  w  odpowiedn ich  zależ noś ciach  dotyczą cych, sum owan ia  szeregów  F ouriera- Bessela  i  D in iego. 2.  Sumy  szeregów  typu  (1.2) Z godn ie  z  ustalen iam i  pracy  [2] wszystkie  szeregi  funkcyjne,  dla  których  poniż ej  wyz- n aczon o  sumy,  są   zbież ne  n iem al jedn ostajn ie  dla  x,  y  e  (0,  1). Sumy  szeregów  liczbowych, wyznaczono,  dokon ują c  odpowiedn ich  przejść  granicznych,  przy  czym  za  kryterium  do- puszczalnoś ci  takich  przejść  przyję to  ustalen ia  zawarte  w  §§  18.34  i  18.35  monografii [1].  P aram etr H  we  wszystkich  zwią zkach  jest  dodatn i. Przejś cia  graniczne  z param etrem a  do  zera  wyznaczają   pewn e  wzory  sumacyjne,  których  jedn akże  n ie wolno  róż niczkować w  celu  otrzym an ia  in n ych  zwią zków  (por.  przejś cie  od  wzoru  (2.10)  do  (2.11)  w  pracy [2]). Wszystkie zależ noś ci  otrzym an e przez róż niczkowanie  wzorów  sumacyjnych  uzyskano przy  uwzglę dnieniu  warun ków  po dan ych  w  odpowiedn im  twierdzeniu  (por.  § 10, rozdz.  5- m on ografii  [9]);  róż n iczkowan ia  dokon uje  się   osobn o  dla  x  <  y  i  y  <  x  (x,y  e  (0, 1))_ Wielkoś ci  X ni ,  wystę pują ce  we  wszystkich  szeregach  przedstawionych  w  drugim  i  trzecim rozdziale  pracy,  są   pierwiastkam i  równ an ia .  U' n {X)+HJ n {X)  =   0. Wykon an ie  zawartego  w  powyż szym  równ an iu  róż n iczkowan ia  i  wstawienie  w  miejsca A pierwiastka  X ni   (J —  1, 2,  ...) prowadzi  do nastę pują cej,  wygodnej  do dalszych  rozważ ań ,, toż sam oś ci: (2.1)  V»+ iW< / 5 D okon ują c  przejś cia  gran iczn ego  z  a  do  zera  we  wzorze  (1.7)  otrzymuje  się   zwią zek. g d y  n > 0 ' ^ j{r](x- y)(.l- mnx)+7 1 (y- x)(l~Mny)}  gdy  n =  0. 302 K.  G RYSA,  J.  JAN KOWSKI Przechodzą c we wzorze (1.7) —  kolejno —  najpierw  z  x  do  1, a  potem z y  do  1,  otrzy- muje  się 2[(H+n)I n (a)+aI n+1 (a)]  ' 2 J Róż niczkując  zwią zek  (1.7)  wzglę dem  x  dostajemy Z/ funkcja  isfi(^,  ^)  okreś lona jest  zwią zkiem  (1.4). D okonują c  we  wzorze  (2.5) przejś cia  granicznego  z y  do  1,  otrzymujemy V 2{{H+ń )I n {a)+aI n+ MV Przejś cie we wzorze  (2.5) z a do zera daje  wynik  n astę pują cy: ZJ  (P n j- n 2x M noż ąc  obustronnie zwią zek  (2.5) przez  - a~2,  zwią zek  (2.7) przez  a " 2  oraz  dodają c stronam i,  otrzymuje  się P rzechodzą c w  (2.8) z a  do zera  dostajemy ZJ gdy  n  =   0. Kł adą c  w  (2.8)  x  =   1  otrzymujemy zaś  kł adą c w  (2.8) j  =   1  otrzym uje'się   zwią zek (2.11) V O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 0 3 Przejś cie  w  (2.5)  z  x  do  1 i  wykorzystanie  toż samoś ci  (2.1), a  nastę pnie przejś cie  z  a do  zera, daje  w wyniku  znany  zwią zek  (por.  [1], § 18.12): Ten  sam rezultat otrzymuje  się , przechodzą c z a do zera we wzorze (2.3). Przechodzą c w  (2.11) z x  do  1 lub w  (2.10) z j> do  1 otrzymuje  się lDJ   ZJ  a 2 nJ +a 2 )(tij- n 2 +H 2 )  '  2a(H+ń )[(H+ń )I n (a)+aT tt+1 (d)]  ' Przejś cie  z a do zera w  (2.4) lub  z y  do  1 we wzorze  (2.12) daje  sumę  szeregu  liczbowego 0 0  .  • 1y  L ~  2(H+n)  ' Zróż niczkowanie  zależ noś ci  (2.5)  wzglę dem  y  daje  w  wyniku  zwią zek Z /   a n 2 ; + a 2 )a n 2 / - « 2 + ; - ^ ) F »2 ( a , x)I n+1(ay)+ri(y- x)F?2(a,  y)T „+1{ax)}. Przechodzą c  w  (2.15)  z  a  do  zera  otrzymujemy V  Jn + d^ x)J n+1 (^ yy  nix- y)  Iy\ n+1   y(y- x)  lx_\ n+i Z ,  ( A 2 j - n 2 + J H - 2 ) / 2 ( ^ )  ' "  4 ( «  +   l )  \ x i  + 4 ( «  +   l ) \ > ' /   * Kł adą c  w  (2.16) lub  w  (2.9) y  =   1 dostajemy Z  - / ^ « + - f f V n ( AB j ) " '  4(n+ i)(jgr+ n)   ! D okonują c  w (2.17) przejś cia z x  do  1, lub  w  (2.13) z a do zera,  otrzymuje się  zależ ność 2  %j&i, M noż ąc  obustronnie (2.17) przez  x~"  i cał kują c w  granicach  od x  do  1 ł atwo  uzyskuje się   zwią zek UX nJ x) Z  tijMj- n Wykorzystanie  zwią zków  (2.14) i (2.18) pozwala  wyznaczyć  sumę  nastę pują cego  szeregu liczbowego  ; f22(»  V  1  2+H+n  ; P nJ   ~  4(n+l)(H+ń )  • 304  K .  G R YSA,  J.  JAN K O WSK I W-  celu  wyprowadzenia  dalszych  zwią zków  wykorzystamy  wzory  [1] (2.21)  K n (ip)  =   -   ^ - i- "{ ip) -   i"Jn(P),  i =   ] / - l. gdzie  Y n (p) —fun kcja  Bessela  I I  rodzaju  n- tego  rzę du.  Wzory  (2.21)  pozwalają   okreś lić nastę pują ce  zwią zki: (2.22)  F*{(ip, z) =   - f- G J i C p,  z),  FUip,  *) • =  i- "+1G» 2 (p,  z), gdzie Korzystają c  z  zależ noś ci  (2.21)  i  (2.22)  oraz  ze zwią zków  (1.7),  (2.3) -  (2.6),  (2.8), (2.10),  (2.11),  (2.13) i  (2.15)  ł atwo jest  wyprowadzić  nastę pują ce  wzory: y  &  m   J^ ZJ  Wj- aWh- ZJ  {Xlj- a^ Xlj- rt+ =   2a3{r)(x- y)G* 2 (a,  x)J n (ay)+ij(y- x)GS l {a,y)J m+1 (ax)}, aJ n+1 (ctx) 2[{H+n)J n (a)- aJ„ +1 {a)]  ' Z  ( -̂ ^)( A -̂ ^+ ^)J„2( An, )  - ^ ( X  J ) +2aG* 2 (a, x)J„(ay)\  +ri(y- x)2aG* 1 (a,  y)J„ +i (ax), Z  a„ V«)(^«+ ^V»(y  2a  \ H+n ( 1 3 2 )  Zi J~~ * O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D fN I EG O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 0 5 1  J n +i(a) Z  ( nJ =   2a2{ V (x^ y)G» 2 (a,  x)J n+1 (ay)+r 1 (y- X )G« 2 (a,y)J„+ l (ax)}. C ał y  szereg  interesują cych  zależ noś ci  m oż na  otrzym ać,  róż niczkując  podan e  wyż ej zwią zki  wzglę dem  param et ru  a.  N p . n a podstawie  wzoru  (2.28)  uzyskuje  się 00 V  PnjJn + ltfnjX)  xj„(ax) ZJ  (tij- a 2 y(tfj- n 2 +H 2 )J n (X n j)  "  A[(H+ń   + (an+aH- a+ + 4aKH+n)J n (a)- aJ n+1 (a)f 3.  Sum y  szeregów  D in iego,  zawierają cych  w  m ianowniku  iloczyny  typu  Q.nj± Wykorzystują c  wzór  (1.7)  oraz  zwią zki  wyprowadzon e  w  drugim  rozdziale  pracy, a  także  wykonują c  odpowiedn ie  przejś cia  gran iczn e,  m oż na  —  dla  a #   b — otrzym ać nastę pują ce  zależ n oś ci: , x)I„(by)] + +  r,(y- x)la 2 F» 1 (a,y)I n (ax)- b 2 F? 1 (b,y)r n (bx)]}, 0 0 Z  tt22)Z dla n — 0 otrzymuje  się  prawą   stron ę  zwią zku  (3.2) wykorzystują c  zależ noś ci  (1.3) i  (2.2); 00 Ci  31  V1  $>jJn+1 i^ n]X)  J„(X nJ y) •   J  ZJ  (P + a*)(P+b 2 )(Pn 2 +H =   T5  *- {w(x—y)[a3F? 2 (a,  x)I„(ay) — b 3 F^ 2 (b,  x)I„(by)]— bŁ—ar 306  K.  G RYSA,  J;  JAN KOWSKI - y)  ly Z  (k } +a%„j+)(„j+)(„j)  2a 2 b 2 x  \ x j~  1 ? 2 (b,  x)I n (by)- aF? 2 (a,  x)I„(ay)]+ Ua,  y)I n+ i(ax)- bF? 1 (b,  y)l n+ ZJZJ  {X2 j+ a 2 ){X 2 n} +b 2 ){Xt } - n 2 +H 2 )J n (X n3 ) •  l  j  / .(fey)  Uay)  \ b*- a 2 )  I (i/ + H )/ n(fc)+ i/ „ + 1(6)  (i?+ n )/ „ (fl)+ fl/ „ + 1(a)  J ł2(b* • a2)  \ b 2 - a 2 (3 8)  V 1  •   ;  Z ; - 2FUh  x)I n+1 (by)) Sumy  szeregów  zawierają cych  w  m ian own ikach róż nice kwadratów  uzyskuje  się   przez podstawienie  w  miejsce  param etru  a  czy  b  wielkoś ci  ia  ewentualnie  ib.  Wykorzystanie nastę pnie  zależ noś ci  (2.21)- (2.23)  pozwala  n a  wyznaczenie  odpowiedniej  sumy.  N iektóre tego  typu  sumy  (dla  dowolnego  H  rzeczywistego)  wyznaczono  w  pracy  [2]; przejś cie  d o najczę ś ciej  spotykanego  w  zastosowaniach  przypadku  H  >  0  jest  n ieskom plikowan e. Z uwagi  n a prostotę  przejś cia  od wzorów  (3.1)- (3.8) do odpowiedn ich wzorów  sumacyjnych dla  szeregów,  zawierają cych  w  m ian own ikach iloczyny  typu  (A.2]+a2)(A2j- b2)  czy  (A^— "~ fl2)(^n j— b2),  zależ noś ci  tych  n ie  bę dziemy  wypisywać. 4.  Sumy  szeregów  typu  (1.9) Wielkoś ci  l h   wystę pują ce  we  wszystkich  szeregach przedstawionych w  tej  czę ś ci  pracy, są   pierwiastkami  równ an ia G dy  H  =   0,5,  wówczas  X }   =   %- (2/ - 1)  (j  =   1, 2,  . . . ) . O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 0 7 Odpowiednie wzory  sumacyjne  uzyskuje  się   na drodze analogicznej  do  przedstawionej w  rozdziale 2 pracy.  N iektóre z przedstawionych  niż ej  zależ noś ci  moż na ł atwo otrzymać wykorzystują c  zwią zki  podane w rozdział ach 2 lub  3 pracy  oraz  wzory  (1.8).  Wypro- wadzone  zwią zki  są  prawdziwe  dla x,ye  (0, 1); w niektórych  przypadkach  zakres  ich sł usznoś ci  moż na rozszerzyć  do  przedział u  (—1,1),  kł adą c po  prawej  stronie  \ x\   w miej- sce  x, czy \ y\  w miejsce  y. I  tak — przechodzą c z a do  zera  w  (1.9),  lub  kł adą c  n =   0,5  we  wzorze  (2.2) otrzymujemy X 2 ń nX;xsirxhy  ,  , y 2  ( A S  -   'fr- * >T Przechodzą c  w (1.9)  kolejno  najpierw  z x, a potem z j>'do  1, dostaje  się  zwią zki 0 0 =   sinh(fl)Q  .  ;(4.3) (44)  y  ^   i  °' 5 V*^J / , t i l  ,  „2\ C12  ,  ŁT2  A 1 O  T # - 0,5+ actghfl  ' 1  ~  -   -   .  , Tutaj  ^( i7, a)  = =  i  ^ j  s H+a- 0,5 H- a- 0,5' Zwią zki  (4.3) i  (4.4)  moż na  również  ł atwo  uzyskać  z zależ noś ci  (2.3) i  (2.4),  kładą c- w  nich  n =   0,5  i  wykorzystują c  (1.8). D okonują c  w (4.2)  przejść  granicznych  z y  do  1, a  nastę pnie z x  do  1, otrzymuje się V  ( + ) n V  _  „ (4.6)  y_2tf± L_  =   1 Z J  A? + # 2 - 0 , 25 Kł adą c  w (4.6)  H =   0,5  otrzymujemy  znany  wzór  ([10],  0.234): 0 0 1   _ 2 •   Róż niczkując  (1.9)  wzglę dem  x  uzyskuje  się  zwią zek Z/ coshjax) }  [ 308  K.  G RYSA,  J.  JAN KOWSKI Przejś cie  graniczne w  (4.8) z  a do  zera  daje  w  wyniku # - 0 , 5]  1  ,  .  # - 0,5, , «  V1  AjcosXjXsmjy  1 «4-9>  2  W^2- V5)sin̂   =   T Przechodzą c  w  (4.8)  z  j  do  1  dostajemy  zależ ność 00 acoś h(ax) ^  _  O j25)sin Xt  " G dy  a  - +  0,  zwią zek  (4.10)  przyjmuje  postać 2H+\   ' W  szczególnoś ci  gdy  H  =   0,5, wzór  ten pokrywa  się  ze zwią zkiem  (4), 1.442,  podan ym [10]. M noż ąc  (4.8)  przez  — ar1,  (4.9)  przez  a~ 2  i  dodają c  stron am i,  otrzymuje  się V^  X/ Sin 2u  (I)+ a2)(tf  +H2- 0,25)sin 2A; +  1- T Kł adą c  w  (4.12)  ^  =   1,  dostajemy  zwią zek 1  j  1V  AjoosAjy  _  1  j Z /   (A/ 2 +  «2)(Aj!  +  # 2 - 0 , 2 5 ) si n ; ii  a 2 | acosh ( ax) '  (H+a- 0,5)e a - (H- a- 0,5)e—  \ ' Z róż n iczkowan ie  (4.12)  wzglę dem  y  daje  w  wyn iku  zależ n ość V JSJ  (A)+ a2)(^+ if2- 0,25)sin%- 1  (  ,  J  t /   . /   _ „   2e- flcosh(ax)  \   F - 0,5 -  ̂   h ( x -  ̂r o s h (  ̂ ( e  +   )  ź ^T—0,5 +   ^ ^ ^ 1 ^ .  ) - P rzechodzą c  w  (4.14)  z  a  do  zera,  otrzym ujem y O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 0 9 Kł adą c  w  (4.12)  x  =  0  dostajemy co =   '2a>\ A(H7ci)e a - e- a   ~ e   " y +  l - y- wykonują c  zaś w  (4.16)  przejś cie  graniczne  dla a - > 0,  uzyskuje  się  zależ ność co (4.17) (4.18) 2(277+ 1) Kł adą c  w  (4.17)  y  =   1 oraz  H =  0,5  otrzymuje  się  znany  zwią zek  ([10], (4), 0.234) CO ( - i y+ 1  rc3 (2j- iy  " 3 2 - Przechodzą c  w  (4.14)  z  >>  do zera  mamy V  A/ Z ;  (A/+ A/ cos Ay _ J_LL- 2a2 \ L g- 0,S G dy  a -> 0,  zwią zek  (4.19)  przechodzi  w  nastę pują cy: y -   x  i  !  i "  2  2 F + 1( A/ + # 2 - 0; 25) sin 2 A,  2  2/ 7+ 1  T  4  J7+ 0,5 " Jeś li  poł oż ymy i? ==  0,5,  wzór  (4.20)  przechodzi  w znaną   zależ ność  ([10], (6), 1.444): ~,  71  . . . . . ™  COS  - r-   ( 2/   —  1)X (4.21)  . -   ^  2 W ( 1 X )Z  (2;- 1)2  8 ( 1  XJ- M oż na  ł atwo pokazać, że zwią zek  (4.21)  obowią zuje  również dla x e (—2,2); w miej- sce  x  po prawej  stronie  należy  wówczas  wstawić  \ x\ . Kł adą c  w  miejsce  a  we wzorach  (1.9),  (4.3),  (4.4),  (4.8),  (4.10),  (4.12)- (4.14),  (4.16) i  (4.19)  wielkość  ia (i = \ / —l) ł atwo  uzyskuje  się  nastę pują ce  wzory  sumacyjiie (42 r\   V  tfnnXjX&inl K   •   J   JL J  ( A; - a2 ) ( A|+ i / 2 - 0, ś m.(ay)  ( g- 0, 5) sin [ a ( lJ c ) ] + a c o s[ fl( ljg)] ~~^ r a   (i7- 0, 5)siiifl+ «cosa ^J   2a   (H- 0,5)sma+acosa 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/78 310  '  K.  G RYSA,  J.  JAN KOWSKI (4.23) (4.24)  tf  -   °' 5 s i n a2j £ - 0, 5ł ?(*- y)sin (o, y) DO (4.26) (# —0, 5)sin a+ acosa XfcosXjx Z J  (A?- a2)(A?+ # 2- 0,25)sinA;  "  (# - 0,5)sina+ acosa  ' 00 2jJXj- a 2 ( # - 0 , 5 ) c o s[ a ( l- x) ] - flM n [ a ( l' - je )] 0 0 , .  „„   V1  A;COsAjX  1  I  0, 5acos(ax)  1  \ JL J  (.X]- a 2 )(Xf+H 2 - 0,25)sin%  " XX ~asin  [ Q ( 1 "1  L  yJ^- °'5  r v 7r"5~ iwc*~ Jyl~ T7—^- ?—ocos(av) 2a 2  l / v  ^ [ i T + 0 , 5  v  ^ Cfir- 0,5)sina+ acosa I"  ff- 0,5  (if- 0)5)cos[a(l- j> )]- asm[a(l- j')]  11 [  if- f- 0,5  (J?—0,5)sina+ acosa  J j' 00 (4.30)  y  XjsmXjX  _ J_  I  # - 0,5  _ v  7  4 J  (AJ- a^A^+ ^- O^si^A;  2a2  \   # + 0,5 (# - 0,5)sina+ acosa O  SUMOWANIU  SZEREGÓW  DlNIEGO  I  TRYGONOMETRYCZNYCH  311 Z 1  j  H- 0,5  _ a (H- 0,5)cos[a(l- x)]- asm[a(l- x)]\ '2a 2  ( # + 0, 5  (H- 0,5)sina+acosa  ]' Wykorzystują c  toż sam ość J _ 2?+ 6 2  ~   (Xf±a 2)(Jl2+b2)' m oż na  wyprowadzić  cał y  szereg  wzorów  sumacyjnych  dla  szeregów,  zawierają cych  w  mia- n own ikach  iloczyny  typu  ( A2± a 2) {Xj± b 2) ,  podobn ie jak to zrobiono w  rozdziale trze- cim  pracy  dla szeregów  D in iego.  Wzorów  tych — z  uwagi  n a prostotę   ich otrzym ania n a  podstawie  znajom oś ci  zależ noś ci  (4.2)- (4.31) — nie  bę dziemy  wypisywać. Z wróć my  jeszcze  uwagę   n a t o , iż znajomość  wzorów  sumacyjnych  dla szeregów, za- wierają cych  w m ian own ikach iloczyny  typu  {X2Ą - a2){X2 —b2)  pozwala  ł atwo  uzyskać od- powiednie  zależ noś ci  dla szeregów,  których  skł adniki zawierają   w m ianownikach  wyraż e- n ia  Xj + a4:  Wystarczy  w  tym  celu  poł oż yć w  wypisanym  wyż ej  iloczynie  w miejsce sta- ł ych a oraz b wielkość  a j/ j. Sumy  szeregów,  zawierają cych  w mianownikach  swoich skł ad- n ików  wyraż enia  Xj+a*  m oż na przedstawić ja ko  kombinacje  funkcji  trygonometrycznych i  wykł adniczych  od  argum en tów  typu  ±z- ^ —,  gdzie  z =  ax, ay lub  a. 5.  Sumy  szeregów  typu  (1.10) Wielkoś ci  a k , wystę pują ce  we  wszystkich  szeregach  przedstawionych w tej czę ś ci  pracy, są   dodatn im i  pierwiastkam i  równ an ia  sin a  =  0,  tzn . a k  = nk  (k =  1, 2, ...)•   Odpo- wiednie  wzory  sumacyjne  uzyskuje  się  n a drodze  analogicznej  do przedstawionej w roz- dział ach  2 i  4  pracy.  R ówn ież  i  t u t a j—p o d o b n i e jak w  rozdziale  4 —  zakres  waż noś ci wielu  wzorów  m o ż na  rozszerzyć  do przedział u ( —1, 1), kł adą c po prawej  stronie  odpo- wiednich  zwią zków  |JC| czy  \ y\  w  miejsce  x  czy y. I  t ak — przejś cie  z  a  do zera  w  (1.10)  daje  zależ ność Z róż n iczkowan ie  (1.10)  wzglę dem  zmiennej  x  pozwala  otrzym ać  zwią zek OD - J OIS 2sin h a A   *'  2sin h a 3 * 312  -   K.  G RYSA,  J.  JAN KOWSKI Przechodzą c  w  (5.2)  z  a  do zera  uzyskujemy  wzór 0 0 (5.3)  >  —  =   - T T KI- y>i(y- x)- yv{x- y)]. j—j  Hit  i- Jeś li  poł oż yć w  (5.3)  x =  0,  otrzymuje  się  wzór  (1),  1.441 z  tablic  [10],  zaś  kł adą c x  =  1—wzó r  (4),  1.445. Kł adą c  w  (5.2)  x =  l/ n  otrzymujemy 0 0 / ccos(/ c)sin(A;x)  % (  cosh ( a) sin h [a( 7t - x)] =   ( X  } V"l  / ccos(/ c)sin(A;x)  _  % (  cosh(a)s ZJ  F + ^  =   T  r( X~   } ~  ^li fti  ^ Przechodzą c  w  (5.2)  do przypadku  x = y  dostajemy  zwią zek OD )  n  sinh[a7t(l— 2x)] (   '   }   ZJ  k 2 +c^  T D okon ują c  w  (5.5)  przejś cia  z a do zera  otrzymuje  się  wielomian  BemouU iego  B*(x) [16]. D alsze wielomiany  B% k+l   (x) m oż na  otrzymać, róż niczkując  (5.5) / c- krotnie  wzglę dem param etru  a, a  nastę pnie  dokonują c  przejś cia  granicznego  z  a  do  zera. M n oż ąc  (5.2) obustronnie przez  ~a~ 2,  (5.3) przez a"2  i dodają c je  stron am i,  otrzymuje się (5.7) I Przechodzą c  w  (5.6)  z  a  do zera  dostaje  się  w  wyniku OD =   yv(x~y)  ( 3 x 2 + y 2 + 2 6 x ) J " = Kł adą c  w  (5.7)  x  -   0  otrzymuje  się   wzór  (5),  1.443 z  tablic  [10],  kł adą c  zaś x= 1 (5- 8)  - . Przyjmują c  w  (5.6)  x  ~  1,  otrzymujemy  zależ ność CO iu+ i  sinjknx)  n smh(na) O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 13 Kł adą c  w  (5.8)  y  —  —,  uzyskuje  się   sumę   szeregu  liczbowego CO ,.».,,  sink  n2—  1 k 3  12  * k=i P odobnie- —wstawiając  w  (5.9)  x  =   1/2,  otrzymujemy 00 "+ 1  71  I  1V (2k- Szczególnym  przypadkiem  tego  zwią zku  jest  wzór  (4),  0.234  z  tablic  [10]. Łatwo jest  —  n a  podstawie  zależ noś ci  (5.6) —  wyprowadzić  nastę pują ce  dwa  zwią zki: Vi  sin(2ft)  n  sinh(a)cosh[a(: (5.12)  ZJT Q^ +O*)  ~1F[  sinh(flw) Przez  zróż niczkowanie  zależ noś ci  (5.6) wzglę dem  zmiennej y  uzyskuje  się   nastę pują cy wzór: ul+a  2a 2 ==  i + '< *- rt  r ,  sin h;   J  - Kł adą c  w  (5.14) y  — O  otrzymuje  się  przejś cie  do  wzoru  (2), 1.445  z tablic  [10], kł adą c zaś  y  -   1—przejś cie  do  wzoru  (3),  1.445. -   Przechodzą c  w  (5.14)  z  x  i  y  do  1/TT,  otrzymujemy ,  V^  cos2ifc  1  7racosh(a)cosh[a(3r- 1)]  1 <- 5- 15)  Z F + ^ " ~ 1 F L  sinh(a^)  J- Kł adą c  w  (1.10)  x  =   y  =   1/TT  ł atwo  uzyskuje  się   zwią zek 00  » sin2&  n  sinh(a)sinh[<2(jr—1)] D odają c  (5.15)  i  (5.16)  stron am i, a  nastę pnie  przechodzą c z  a  do  zera,  otrzymuje  się wzór  (3),  0.233  z  tablic  [10], Przechodzą c  w  (5.14)  z  a  do  zera  znajdujemy,  że ( 5 1 7 ) 1 2 314  K.  G RYSA,  J.  JAN KOWSKI Jeś li  w  (5.17)  poł oż yć y  =   0,  otrzymuje  się   przejś cie  do  wzoru  (3),  1.443  z  tablic  [10], zaś  kł adą c  y  —  1 —przejś cie  do  wzoru  (4),  1.443. Wiele  interesują cych  zależ noś ci  m oż na  otrzym ać,  róż niczkując  otrzym an e  zwią zki wzglę dem  param etru  a.  I  t ak —  wykonują c  t ę   operację   n a  wzorze  (5.9) —  dostajemy "  f*  sin 2a 3   [a 2   a 2 sisinh(raz) ^cosh(jrfl)  sinh(jtax) +  2sinh2(?tfl) P odobn ie —  kł adą c  w  (5.6)  x  =   0  i  róż niczkując  otrzym an y  wynik  wzglę dem  a —  ot- rzymamy =Z wykonują c  n atom iast  tę   samą   operację   w  odniesieniu  d o  (5.2),  uzyskujemy (5.20) h [ ( ) ]  ( l ) h ( ) i h [ ( l ) ] )  h ( ) i h ( )  x X cosh [a(l  — x)]]—r)(y—x) [sin h (a)(xsin h (ax) sinh  [a(l- - y) c o sh ( a x) c o sh [a (l  — j' ) ] ) - c o sh ( a x) sin h [ a (l  - j) ] c o sh ( a ) ] }. P odobn e  zróż niczkowanie  zwią zku  (1.10)  daje  w  wyniku (5.21) fc= i x sinh(a_y) sin h[a( 1  — x)]—a sinh(a)(.ycosh(a)') sinh [a( 1 —; +   (1  -   x)smh(ay)  cosh [a(l—x))]+r)(y—x)  [( sin h ( a) + aco sh ( a) ) X X  sinh(flx) sinh [a(l—y)]—osinh(a)(xcosh(ax)  sin h [a( l  —  y)]  + +   (1  - j) sin h ( a x) c o sh [ a (l  - y))]}. I Przejś cie  w  (5.21)  z  a  do  zera  pozwala  znaleźć  nastę pują cą   zależ ność (522)  f * Kł adą c  w  miejsce  a  we  wzorach  (1.10),  (5.2),  (5.4)- (5.6),  (5.9),  (5.11),  (5,12),  (5.14)- (5.16),  (5.18)- (5.21)  wielkość  ia  oraz  wykorzystują c  zn an e  zwią zki  sinh(jz)  =   isin (z), cosh(fe)  =   cos(z),  ł atwo  uzyskuje  się   sumy  szeregów,  zawierają cych  w  m ian own ikach O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 1 5 swoich  skł adn ików  wyraż en ia  a£ -   a2.  Z  uwagi  n a  prostotę  otrzym ania  tych  sum  nie  bę- dziemy  ich  osobn o  wypisywać.  Wykorzystując  n astę pn ie  toż samość  (4.32)  m oż na  wypro- wadzić  wzory  sumacyjne,  dla  szeregów,  zawierają cych  w  m ianownikach  iloczyny  typu (ajt+ fl2Xait  ±b 2),  podobn ie ja k  t o  zrobion o  w  rozdziale  trzecim  pracy.  Odnoś nie  rozwa- ż anych  szeregów  pozostają  również  w  mocy  wszystkie  uwagi  zawarte  w  zakoń czeniu rozdział u  czwartego. 6.  P r zykł a dy  zastosowań  wyprowadzonych  zwią zków W  tej  czę ś ci  pracy  wykorzystam y  wyprowadzon e  wyż ej  wzory  sumacyjne  w  celu  spro- wadzenia  n iektórych  zn an ych  w  literaturze  rozwią zań  d o  postaci  bardziej  zwartej.  D la zagadnień  dyn am iczn ych  zależ noś ci  t e  pozwalają  wyznaczyć  w  niektórych  przypadkach rozwią zania  ś cisłe  w  postaci  zwartej,  lub  rozwią zania  przybliż one. Rozważ my  zwią zek  (6.32),  ppdan y  n a  s.  58  m onografii  N OWAC KI E G O  [7],  opisują cy pole  tem peratury  T .  Wyraż enie  t o  m a  postać  podwójnego  szeregu (A  n  7Y,   7 '\   1 W  V  V  • Wm '- )sm an g'sin «n z' T tfl gdzie  ctn =   - T -,  J 0 (fi m ć )  =  0;  JF,  A,  /* i  c  —st a ł e, ft Stosując  zwią zek  (1.10),  otrzymujemy  nastę pują cą  postać  funkcji  T (r,  z'): R ozważ my  teraz zwią zek  (6.34) z m onografii  [7]. Opisuje  on potencjał   termosprę ż ystego przem ieszczenia: -   _  2W 6°  V  V  Jo(Pmr)s Wykorzystując  zwią zek  (5.21),  otrzymujemy ( 64)  (fi  -   -   W 6°  V  ^ m ( f,  z' 2Xnc 2   ZJ  8ls8 3 m smW W m )Jt(B m c) gdzie 316  K .  G R YSA,  J.  J AN K O WSK I  • Rozważ my  zwią zek  (13.4)  ze  s.  139  m onografii  [7],  opisują cy  pole  tem peratury 2 I %%& n—l  0 T tł t gdzie  a„  — —r~\   W , h,  k',  f/ , s ~  stał e.  Stosując  zależ ność  (1.10)  dostajemy  stąd  zwią zek +r)(z'- 10  smh(a/ i s   £0 s i n n ^ s Qi -   z0]}̂ «- Jest  to przedstawienie  cał kowe tem peratury  T (r, z');  warto  n adm ien ić,  że w  m onografii [7]  wykorzystano  znajomość  cał ki  wystę pują cej  we  'wzorze  (6.5)  i  przedstawiono  T (r,  z') w  postaci  szeregu  zawierają cego  funkcję  K 0 (z). Przy  pom ocy  zależ noś ci  podan ych  w  tej  pracy  m oż na  p o n ad t o  zapisać  w  prostszej postaci  n p . zwią zki  (6.47) i  (6.48) ze  s.  61, (13.25) ze s.  144; m oż na  również w  stosun kowo prosty  sposób  wysumować  szeregi  znajdują ce  się  we  wzorach  (31.49)  n a  s.  304  cytowanej monografii. Jako  dalsze  zastosowanie  uzyskanych  zależ noś ci  przedstawimy  w  prostszej  postaci wzór  [o]  n a  krzywą  ugię cia,  podan y  n a  s.  148  m onografii  [11]: „   .  rmc  .  nnx " m ~ —s i n —; — (6.7)  . i  Wykorzystanie  zwią zku  (5.22)  pozwala "uzyskać  nastę pują cą  postać  funkcji  y(x): (6.8)  y  = P okaż emy  teraz  zastosowania  wzorów,  wyprowadzonych  w  rozdziale  czwartym  pracy. Rozważ my  zagadnienie drgań prę ta, którego jeden koniec x  =  0 jest zam ocowany  sztywno, a  drugi  x  =  / jest  swobodny,  przy  warun kach  począ tkowych  u(x,  0)  =   kx,  u t ,  (x,  0)  =   0 (przecinek  oznacza  róż niczkowanie  po  argumencie  znajdują cym  się  za  przecinkiem ). P ostać  tych  drgań  dan a  jest  wzorem  ([12],  s.  221,  problem  103): CO , , m  ,  .  ffl  VI  ( - 1) " + 1  [, (6.9)  u(x, t)  m  ~^ 2J  - k r rS m  ( «= i Wykorzystując  zwią zek sin  (2n—. O  SUMOWAN IU   SZEREG ÓW  D lN I E G O  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   3 1 7 oraz  wzory  (4.2) i  (4.5)  dla  przypadku  H  =   0,5,  otrzymuje  się gdy  se  < 0, l), gdy  se-  —  Z J = l:gdzie  h, V, a, k —  stale,  zaś  a,-  —  pierwiastki  równania  OL J' Q (ad)+hJ 0 (ą a)  =  0.  Kł adą c axj  —  X 0J ,  ah  =   H, —  -   Q,  oraz wykonują c  n a  obu  stronach zwią zku  (6.14) transformację Laplace'a  [15]  (przy  wykorzystaniu  znanego  twierdzenia  dotyczą cego  zamiany  operacji • całkowania  i  sumowania  [9]),  orzymujemy (6.15)  V L (Q,p)  m  —J—  / ,  - J  7  J= L  \   r  "• co ;gdzie  VL (Q,P)  =   J  v{Q,i)e~ ptdt,p  — param etr transformacji  Laplace'a (liczba zespolona). N a  podstawie  wzoru  (2.10)  moż emy  napisać V  HV .gdzie • (6.17) Wykorzystują c  znane  wzory  asymptotyczne  ł atwo m oż na zauważ yć,  że {6.18) Zwią zek  (6.18)  jest  warunkiem  koniecznym  stosowalnoś ci  metody  przybliż onego - odwracania  transformacji  Laplace'a, podanej  w  rozdziale  5 monografii  [13].  Wykorzystu- ją c  tę   metodę   otrzymuje  się (6.19) gdzie (6.20) O  SUMOWANIU   SZEREGÓW  DlNIEGO  I  TRYGONOMETRYCZNYCH   319 Wartoś ci  A k   i p k   m oż na  znaleźć  w  tablicach  [14]  lub  wyliczyć jedną  z  metod  podan ych w  113]. Szereg,  wystę pują cy  we  wzorze  (6.19), jest  szybkozbież ny  w  cał ym  obszarze  zmiennej / ;  warto  n adm ien ić,  że  uwzglę dnienie  niewielkiej  liczby  wyrazów  tego  szergu  pozwala otrzym ać stosun kowo  dokł adne  wyniki  [13,  14]. Literatura  cytowana w  tekś cie 1.  G .  N .  WATSON ,  A  treatise  on  the  theory  of  Bessel  functions,  C am bridge  U niversity  P ress, Cambrid- ge  1962. 2.  K.  G R YSA,  J.  JAN KOWSKI ,  O  sumowaniu pewnych  szeregów Fouriem- Besseh  i Dini,  Zastosowania  M a- tematyki  (w  druku). 3.  S.  WOE LKE ,  Summation  of  certain  Bessel  series  occwing  in  elasticity problems,  Arch.  M ech.  Stos., 3, 22  (1970). 4.  K.  G R YSA,  O  sumowaniu  pewnych  szeregów  Fouriera- Bessela, M ech.  Teoret.  Stos,  2,  15  (1977). 5.  H . S.  CARSLAW,  J. C.  JAEG ER ,  Conduction  of  the  heat  in  solids,  Oxford  C larendon  Press,  1959. 6.  N . W.  M C LAC H LAN ,  Funkcje  Bessela  dla  inż ynierów,  P WN , Warszawa  1964. 7.  W.  N O WAC K I ,  Zagadnienia  termosprę ż ystoś ci,  P WN , Warszawa  1960. 8.  H .  P AR K U S,  Instationare  W drmespannungen, Springer- Yerlag, Wien  1958. 9.  H . H .  BOPOEBEB,  T eopuH pndoe,  H 3 # .  H ayKa,  M o c r a a  1975. 10.  H . C .  FpAfliuTEHHj  H . M .  P H JK H K ,  T aÓAutfbi  mmetpajioe,  cyMM,  pndos  u  npomeebenuu, H 3fl. H ayKa, MocKBa  1971. 11.  S.  TIM OSH EN KO, J. N .  G O O D I E R ,  T eoria  sprę ż ystoś ci,  AR K AD Y,  1962. 12.  B. M .  BU D AK ,  A. A.  SAM ARSKI,  A. N .  TI C H ON OW,  Zadania  i problemy  fizyki  matematycznej,  P WN , Warszawa  1965. 13.  B. H .  KP M JI OBJ  H . C .  CKOBJIBH ,  Memodu  npu6/ iu3iceHHOio  npeoSpasosauun  0ypbe  u  o6p'aufeHU/ t npeo6pa3oeamtH  Jlan/ iaca,  H 3fl.  H ayica, MocKBa  1974. 14.  B.  H . KphijioBj J I . T .  fflyjiwitH A,  CnpaeoHHan  mu:a  no nucjiemioMy  ummipupoeanwo>  M o c r a a  1966. 15.  J.  OSI OWSKI ,  Zarys  rachunku  operatorowego,  WN T , Warszawa  1965. 16.  B.  H .  K P WJI O B,  npuGnuoiceHHoe  eunuc/ ienue  uumezpanoe, H a «.  H ayKa,  M o c r a a  \ 96f. P  e 3  IO  M  e O  CYMMHPOBAHHH   HEKOTOPLIX  PflflOB  flH H H   H   TPH rOH OMETPH ^ECKH X B  SAflA^AX  MEXAHHKH   CnJIOUIHblX  CPEfl B  paSoTe  onpefleneH Bi  cyMMBi  HecicojitKHX  pa,n;oB  B H H H   H  TpHroHOiweTpHiecKHX  p aflo s  3aBHCHimcc OT  flByx  nepemeH H wx  x,  y  £ ( 0, 1) .  I loKa3aH o,  TJTO  noni>3yHC6  noJiyueH H tiMH   pe3yjn>TaiaMH   MOH