Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  16  (1978) O  JEDNOZNACZNOŚ CI  ROZWIĄ ZANIA  PEWNYCH   MIESZANYCH   ZAGADNIEŃ   BRZEGO- W YC H   D L A  P Ó Ł P R Z E S T R Z E NI  M I K R O P O L AR N E J STAN ISŁ AW  M A T Y S I A K ,  AN N A  W A C H E C K A - S K O W R O N   (WAR SZ AWA) ' Oznaczenia x  a  (Xi,x 2 ,x 3 )  kartezjań ski  ukł ad  współ rzę dnych  prostoką tnych, D  =   {(*!,  x 2 )  e R1:  Xi  >  0, x 2   e  R}, 8D  brzeg  zbioru  D,  D  =  Dv8D, u  wektor  przemieszczenia,  y»  £> A*  st ał e  m a t er ia ł o we, df / .i  =   pochodna  czą stkowa  wzglę dem  X\ , 8x t   , 8 2   d 2 V2  K  + 8x1  8x1 K(0,ó)=  {{ Xl ,x 2 y.x\ +xl<  <52}, C k (B)  klasa funkcji  cią gł ych wraz z pochodnymi do rzę du k na  B, fu  niesymetryczny  tensor  odkształ cenia, Xij  niesymetryczny  tensor  skrę tno- gię tny. 1.  Wstęp Przedmiotem  rozważ ań  bę dą  mieszane  zagadnienia  brzegowe  dla  pół przestrzeni sprę- ż ystej  (opisują ce  zagadnienia  szczelin  w  nieograniczonym  oś rodku  Cosseratów  lub  za- gadnienia  kontaktowe)  rozpatrzone w  ramach liniowej  mesymetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci [1].  Zał oż ymy, że oś rodek  znajduje  się w  drugim  pł askim stanie odkształ cenia opisanym przez wektory  przemieszczenia u f obrotu  cp w postaci  [2] (1.1)  u ( x l 5  x2)  =   ( 0 , 0, Us),  1 +  ̂ 2  =   0, =   0. 322  S.  MATYSIAK,  A.  WACHECKA- SKOWRON Ze  stanem  odkształ cenia  (1.1) zwią zany  jest  stan  naprę ż enia  o skł adowych  niezero- wych: *3i  -   ( / i - a ) u3 t l - - 2 a c >2 , ft 2.  Twierdzenie  o  jedn ozn aczn oś ci Rozpatrzmy mieszane zagadnienia  brzegowe  dla obszaru  D  opisane przez: a)  ukł ad równań  równowagi  (1.2), b)  warunki  brzegowe  w postaci Ci3(0, *2 ) = / i( x2 )  dla  | x 2 | < a , «3(0, x2)= / 2fe)  dla  \ x2\  > a, fin(P> x 2 ) =  f 3 (x 2 )  dla  JC2 e R, / "ia(0, »2) -   Afe )  dla  x2 e / ?, lub <*i3(0, Xj) = / i t e )  dla  |x2| < o, «3(0, #3) =  / 2 t e )  dla  |x2| > a, =  / 3 t e )  dla  |*2 | < a, =   At e )  dla  |x2| > a, /   =  / 5 t e )  dla  x2 e i?, lub tfi3(0,  JC2)  =  A t e )  dla  fjcal  < a, «s( 0 , Xa ) = At e )  dla  \ x 2 \  > a, Pi 1 (0. ^2)  =  A  fe)  dla  x2 e R, /*i2(0> JC2)  =  A t e )  dla  |x2| < a, c)2(0, x2 ) -  A t e )  dla  |A;2I >  a, lub 0- 13(0, X 2 )= A t e )  dla  | * 2 | < o , "3( 0, ^ 2) =  A t e )  dla  |x2| > a, ^u(0, x2)= Ate)  dla"  |xa |< a , dla  | * a | > « i - . (  3  ^ ( 0 x 2 ) = At e )  dla O  JED N OZN ACZN OŚ CI  MIESZANYCH   ZAG ADN IEŃ   BRZEGOWYCH   323- c)  warun ki  wyprom ien iowan ia  w  nieskoń czonoś ci lim  /   •   (tfJ3M3+ / «/ »9».- l  ^o 1 =  0, lub (2.6)  lim   K 3 ( X)  =   0,  lim  q>t(x) =  0,  lim \ x\ (rJ3(x) =  0, | x| - ++oo  | x| - H- co  | x| - *- +oo lim  \ x\ p tJ   = 0,  i,j=  1,2,3,  |x|  =   \ / xl+x%. | |   + M oż na  zauważ yć,  że warun ki  lokaln e  (2.6) implikują   warun ki  cał kowe  (2.5) (w obecnej; pracy  nie bę dziemy  się  zajmować  szerszą   dyskusją   relacji  pomię dzy  lokalnymi  i cał kowymi warun kam i  wyprom ien iowan ia  w  nieskoń czonoś ci).  Rozpatrujemy  również  " d)  warun ki  w pu n kt ach  ( 0, a) i  (0,  —a) w postaci (2.7)  istnieje  taka  stał a  rzeczywista  M  >  0, że  |«3 |  < M,  \ y<;(: A gdzie  A  oznacza  obszar ^  =   [ D n K ( 0,  < 5) ]- [i) nJK :( ( 0, fl) , r 1) ]- [D n Z ( ( 0,  - a ) , r2 ) ] . Wykorzystują c  zwią zki  (2.10),  (2.11),  (2.12) moż emy napisać (2  13^  F  -   \   I(pj3  U3)  > j  + wi   MA  — A  A D ruga  z  cał ek  w  (2.13) jest  równ a  zeru,  co  widać  n a  podstawie  równ ań  równowagi (2.11).  Pierwszą   cał kę  moż emy przedstawić  w  postaci (2.14)  .  F=  j  \ aj 3 u 3 +]j,ji^ i\ njda  =~  —  J  [o SA  L 5 J gdzie L   =   [- <5, - a- r 2 ]u[- a+r 2 ,a- r i ]u[a+r 1>   d], a  pozostał e  oznaczenia są   podan e n a rys.  1. - a  a \ \ \ \ \ \ X l I \   / V Rys.  1 Z ał óż my,  że  speł nione są   warunki  (2.8) i  niech  d  - *•   oo  oraz  r t   - * 0+ , r 2   ~+  0 + .  Wtedy pierwsza  cał ka  we  wzorze  (2.14)  (po  L )  równ a  się   zeru  (gdyż  wielkoś ci  w3,  q)t, aj3, / J,J speł niają   warunki  brzegowe  (2.1)  lub  (2.2)  lub  (2.3)  lu b  (2.4) —  gdzie  f t   • » 0,  i — =  1, 2, . . . ,  6). Z przyję cia  warunków  wyprom ieniowania  (2.5)  lub  (2.6) wynika,  że  druga z  cał ek  w  (2.14) znika.  Trzecia i  czwarta  cał ka  w  (2.14)  są   równ e  zeru  n a  podstawie  (2.8). Otrzymaliś my  wię c,  że (2.15)  ^ = 0 . Z ał óż my teraz, że speł nione są   warunki  (2.7). Oznaczmy przez (2.16)  / ( r)  =   rj  (ffj 3 u 3 +]ijifi)njdf  + _  _ gdzie  C r  =   (8K((Q, a), r)nD)\ j(BK((0,  - a),  r)r\ D). O  JED N OZN ACZN OŚ CI MIESZANYCH   ZAG ADN IEŃ   BRZEGOWYCH   3 2 5 Moż na  zauważ yć, że (2.17)  f(r)«*  J (p3U 3 +Się t )da,  gdzie  ^ 3  =  073 «/, Cr D la  skrócenia  zapisu  wprowadzimy  oznaczenie (2.18)  W  -   yt2/ «y(ł 3)n i Moż emy  wtedy  napisać, że (podobnie jak  w  [4]) (2.19)  ftr)^ j  _  J A  BK(p,i)nD Obliczają c  pochodną   funkcji  /   otrzymujemy (2.20)  •   / ' ( / ' ) =   - 2 Ć r co  oznacza, że funkcja  / jest  monotonicznie  maleją ca. Wykaż emy  teraz, że  istnieje  taka  stał a  c > 0, dla której  speł niona jest  nierównoś ć: (2.21)  \ f(r)\ i\  ^  2M, \  0,  że Ź f/i) >. k 2(. 4  M ech.  Teoret.  i  Stos. 3/78 326  S.  MATYSIAK,  A.  WACHECKA- SKOWRON Z  powyż szych  nierównoś ci  wynika,  że (2.25)  ( C  U/2  /   f '  /   1 J  PsPz da)  < 1/   J (p3P3+SisOdct < 1/   - - ^ p/  ( 0, Si  S t c, czyli /   r  \- i/z  /   c  \ i/ 2  /   1 (2.26)  ( J  PsPzdo)  4-  ( J  s,s,do)  <  2 1 /   - — - / ' C ). F unkcję / moż emy  wię c oszacować w nastę pują cy  sposób (2.27)  |/ (0!-  <  W yfc?  •  2 " | /   - f(r)  -   M-   ]/ ( gjyf  /   \ c =  —r~y2nL   że  |/ (r)| <  cy—rf'(r). M oż na  pokazać,  że  ponieważ  fun kcja/ (r)  jest  m on oton iczn ie maleją ca  oraz speł niony jest  warunek  (2.21), t o  lim / (r) =   0  (dowód  w  [4]). Oznacza  t o , że  we  wzorze  (2.14)  przy r~>0+ zał oż eniu  (2.7)  cał ki  trzecia  i  czwarta  są   równ e  zeru.  P onieważ  wielkoś ci  M3,c>f, ff/ 3, Jiji speł niają   warun ki  brzegowe  (2.1)  lub  (2.2) lub  (2.3) lub  (2.4) —  gd zie/ ;  ==   0,  t o  pierwsza cał ka  w  (2.14)  znika.  P rzy  zał oż eniu, że  <5  - >•   oo  zarówn o  z  Warunków  (2.5)  ja k  i  (2.6) wynika,  że  druga  cał ka  w  (2.14) jest  równ a  zeru,  czyli  F  =   0. P onieważ  F  jest  formą   kwadratową   dodatn io  okreś loną   (wzór  (2.12)),  t o  (2.15)  jest równoważ ne  warun kom : (2.28)  y i3   =   0,  « y  =   0  dla  x e D . Z  (2.28)  i  (2.10)  wynika,  że (2.29)  a i3   =   0,  Jiij =   0. N a  podstawie  (2.28), (2.29) i  (1.3) m oż na sformuł ować  nastę pują ce  twierdzen ie: Z agadnienie  brzegowe  dla  obszaru  D  sformuł owane  przez  równ an ia  równowagi  (1.2), warunki  brzegowe  (2.1)  lub  (2.2)  lub  (2.3)  lub  (2.4),  warun ki  wyprom ien iowan ia  w  nies- koń czonoś ci  (2.5)  lub  (2.6)  oraz  warun ki  (2.7)  lub  (2.8) jest jedn ozn aczn e  wzglę dem  n a- prę ż eń  i  odkształ ceń  o y3 ) / M y, yt a . i Wye C 1 ^ )  n  C(D- {(0,  a),  (0,  - a)}). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  NowACKr,  T eoria  niesymetrycznej sprę ż ystoś ci,  PWN ,  Warszawa 1971. 2.  W.  N OWACKI,  T he «Second» Plane Problem  ofMicropolar  Elasticity,  Bull. Acad.  Polon. Sci., Sć rie Sci. Tech., 18  (1970). 3.  Praca  zbiorowa  red. W. D .  KU PRAD ZE,  W ybrane zagadnienia teorii sprę ż ystoś ci  i termosprę ż ystoś ci, Wyd.  P AN ,  1970. 4.  J . K .  KN OWLES,  T. A.  P U C IK,  J.  of  Elasticity,  3,  3  (1973). O  JED N OZN ACZN OŚ CI  MIESZANYCH   ZAG AD N IEŃ   BRZEGOWYCH   3 2 7 P  e  3 io  M e OB  O^H O3H AH H OCTH   PEIIIEHHia  CMEIHAHHBIX KPAEBLIX JJJlfl M H KPOnOJiaPH OrO  riOJiynPOCTPAH CTBA B  pa6oTe  paccMOTpeHa  OAHO3HaMH0CM>  penreH irii  n  oSn aciH   D  =   {(x u   x 2 )  e R2;  x±  >  0,  x 2   s  R} CHCTeMbi  ypaBiieim n  paBU OBecnn  «BToporo»  n n o cK o ro  «ediopMH poBaH H oro  COCTOH IIIW  JIH H CH H OH Teopiin  yn pyrocTH   co  cMeroaHHHMH   KpaeBMMH   ycjioBHHMH   B  Knacce  djymcDiHH - {( 0,  fl),(0,  a ) }) . S  u m m a r y ON   U N IQU EN ESS  O F   SOLU TION   O F   M IXED   BOU N D ARY  VALUE  PROBLEMS  F OR A  M ICROPOLAR H ALF - SPACE I n  the present paper  the problem  of  uniqueness  of  solutions is  considered for  a system  of  equilibrium equations of the second plane state of strain of  the  linear micropolar elasticity  in the case of a mixed boun- dary value problem defined  in the region D  =  {(x t ,  x 2 )  e R2:  x t   >  0, x 2   e  R). I N STYTU T  M E C H AN I K I U N I WE R SYTE TU   WAR SZ AWSKI E G O Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  12  sierpnia 1977  r. Ponownie 13  marca  1978  r. *•