Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  16  (1978)

PRZEPŁYW  LAMINARNY  W  KANALE  O  ZMIENNYM   PRZEKROJU  Z  RUCHOMYMI
I  POROWATYMI Ś CIANKAMI

AN D R Z E J  S Z A N I A W S K I ,  AN D R Z E J  Z  A C H  A  R A  (WAR SZ AWA)

1.  Wprowadzenie

P rzedm iotem  pracy  jest  lam in arn y  ustalon y  dwuwymiarowy  przepł yw  lepkiej  cieczy
nieś ciś liwej w pł askim, lub  osiowo- symetrycznym  kan ale o zmiennym przekroju  oraz o prze-
puszczalnych  i  rozcią galnych  ś cian kach.  P rzepuszczalność  ś cianki  opisana  jest  prawem
okreś lają cym  liniowy  zwią zek  mię dzy prę dkoś cią   filtracji  a róż nicą   ciś nień po  obu stronach
ś cianki.  R ozcią galność  ś cianki  powoduje,  że  jej  prę dkość  może  zmieniać  się   wzdł uż  ka-
n ał u  w  zadany  sposób.  Z m ien n ość przekroju  oraz  przepuszczalność  i  rozcią galność  ś cia-
n ek  są   trzem a efektam i,  których  oddział ywanie n a przepł yw jest badan e w niniejszej  pracy.
Ograniczymy,  się   przy  tym  do  przypadków,  gdy  przepuszczalność  ś cianki  jest  nieduż a,
zaś  prę dkość  ś cianki  i  szerokość  symetrycznego  kan ał u  zmieniają   się   powoli.  P on adto
w  niniejszej  pracy  bę dziemy  zakł adać, że  ciś nienie  n a  zewną trz  kan ał u  jest  stał e  i  pole
przepł ywu  jest  symetryczne  wzglę dem  osi  kan ał u .

Okreś lony  w  ten  sposób  problem  nawią zuje  d o  n iektórych  zagadnień  dotyczą cych
przepł ywów  w  kan ał ach  o  ś cian kach  nieprzepuszczalnych  [1—5]  i  porowatych  [6—13],
a  także  pom powan ia  perystał tycznego  [14] i  teorii  sm arowan ia  [1—4]. W  wię kszoś ci  prac
n a  tem at przepł ywów  w  kan ał ach  o  ś cian kach porowatych  autorzy przyjmują   jedn orodn y,
z  góry  zadany,  rozkł ad  prę dkoś ci  poprzecznej  n a  ś ciance.  Jedynie  w  artykule  [12]  i  [13]
prę dkość t a został a uzależ n iona od  róż nicy ciś nień p o  obu  stron ach ś cianki, co jest  zbież ne
z  zał oż eniem przyję tym  w  niniejszej  pracy.

N owym  elem en tem  wprowadzon ym  przez  n as  jest  zał oż enie  rozcią galnoś ci  ś cianek,
które  p o n ad t o mogą   być  po ro wat e  i  które  mogą   ograniczać  kan ał   o zmiennym  przekroju.
Takie  sform uł owanie  problem u  wynikł o  przy  okazji  bad ań  n ad  zjawiskami  hydromecha-
nicznymi  towarzyszą cymi  przę dzen iu  wł ókien  chemicznych,  gdzie  wszystkie  trzy  Wymie-
n ian e  efekty  stają   się   istotn e.

D o  wyznaczenia  przepł ywu  wewną trz  kan ał u  wykorzystane  zostanie  zał oż enie,  że
wielkoś ciami  niewielkimi,  ale  dan ym i  są   przepuszczalność  oraz  zmiany  prę dkoś ci  ś cianki
i  szerokoś ci  kan ał u.  N a  tej  zasadzie  bę dziemy  przyjmować,  że  przepł yw  wewną trz  kan ał u
winien  niewiele  odbiegać  od  przepł ywu  okreś lonego  lokalnie  rozwią zaniem  P oiseuille'a,
W odniesieniu  do  którego  zastosujemy  m etodę  m ał ych zaburzeń .  N ależy jedn ak  zauważ yć,
że  w przyję tym  t u  rozwią zaniu  P oiseuille'a  wystę puje  nieznany  zmienny  gradient ciś nieniâ
a  znajomość  rozkł adu ciś nienia  wzdł uż kan ał u jest  niezbę dna do  wyznaczenia pozostał ych
param etrów  przepł ywu.  P odstawowym  zadaniem  bę dzie  wię c  znalezienie  rozkł adu  ciś-



330 A.  SZAN IAWSKI,  A.  ZACHARA

nienia  wzdł uż  ś cianki,  nastę pnie  wyznaczymy  gł ówne  czł ony  dla  pola  prę dkoś ci,  p o  zna-
lezieniu  których  zajmiemy  się   również  wyznaczeniem  w  liniowym  przybliż eniu  czł onów
zaburzają cych  wzdł uż ną   skł adową   prę dkoś ci  i  rozkł ad  ciś nienia.

2.  R ówn an ia  i  • warunki  brzegowe

Wprowadzamy  prostoką tny  lub  cylindryczny  ukł ad  współ rzę dnych,  którego  oś  z  p o -

pokrywa  się   z osią   symetrii  kan ał u,  a  oś  x jest  do niej  prost opadł a (rys.  1). Skł adowe prę d-

koś ci  wzdł uż osi  z  i  x  oznaczymy  symbolami  w  i  u, a.  ciś nienie  przez p.  P oł owa  szerokoś ci

(lub prom ień) kan ał u okreś lana jest ja ko  R(z), zaś symbole  W iz) i  U(z) oznaczają   odpowied-

n io  prę dkość  ś cianki  i  prę dkość  przepł ywu  filtracyjnego  skierowanego  prostopadle  d o

ś cianki.

Rys.  1.  Schemat  kanał u  o  zmiennym  przekroju,  ze  ś ciankami  porowatymi  i  rozcią galnymi

R ówn an ia ruchu lepkiej  cieczy  nieś ciś liwej,  o stał ej gę stoś ci  Q i  o  stał ym kin em atyczn ym
współ czynniku  lepkoś ci  v, napiszemy  w  postaci  n astę pują cej:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

gdzie

(2.4)

w

dw
i

du
dz  '

dw
IX

du
U
  dx

dw
dz

i
0

1
1
  x

k

1  dp

e  dz

dp  1
fix  '

• Ą  •  -   ( M X  J
O X

\ d
2
w

+v
\   dz

2

1 22M

I 5z 2  '

1

f)x\

8
dx

1
x f t  i

/   dw
\ 8x
d
3x

• **

, 1 \

[  0  '  dla  ukł adu  prostoką tn ego,

1  dla  ukł adu  cylindrycznego.

Warun ki  brzegowe,  które  wynikają   z  symetrii  przepł ywu  oraz  z  cią gł oś ci  prę dkoś ci
n a  ś ciance  mają   formę

(2.5a- d) u(R,ź ) =

w(R, z)  -

W (z)R'(z)+U(z)

W (z)- U(z)R'(z)



PRZEPŁ YW  LAMINARNY  W  KANALE  331

Prę dkość filtracji  U(z) przez ś ciankę kanał u jest okreś lona relacją  wynikają cą  z warunku
przepuszczalnoś ci

(2.6)  U(z) =   W ( z ) ,

gdzie  K(z) jest  współ czynnikiem  przepuszczalnoś ci, a

(2.7)  P(z) =  —[p(R,z)- p
A
],

r
jest wielkoś cią zwią zaną  z róż nicą  ciś nień wystę pują cą  po obu stronach ś cianki  (fi =  const
jest  dynamicznym  współ czynnikiem  lepkoś ci,  a. p

A
~   const jest  zewnę trznym  ciś nieniem

atmosferycznym).  W  przypadku  przepł ywu  w  kanał ach  nieprzepuszczalnych,  za  p
A

podstawiać  bę dziemy  wybrane  ciś nienie  odniesienia.  Zależ ność  (2.6)  wynika  z  liniowego
prawa  D arcy, w którym  pochodną  ciś nienia  zastą piono  odpowiednim  ilorazem róż nico-
wym,  przy  czym  współ czynnik  K  uwzglę dnia  zarówno  wł asnoś ci  filtracyjne  ś cianki jak
i  jej  gruboś ć.

Funkcje  R(z),  W (z) i  K(z), które  okreś lają  geometrię, kinematykę i  przepuszczalność
s'cianki  są  traktowane jako  dane.

3. Ł inearyzacja  i rozwią zanie równań  ruchu

Ponieważ poł owa szerokoś ci  (lub promień) kanał u R(z) i prę dkość ś cianki  W (z) winny
się zmieniać powoli, a przepuszczalność ś cianki  winna być nieduż a, bę dziemy  poszukiwać
rozwią zania  naszego  prolemu w formie  mał ego zaburzenia  lokalnego  przepł ywu Poiseui-
lle'a

(3.1  a- c)  w =  w
p
+w,  M =   u,  p~p

A

gdzie

(3.2)  w
p
 =   W (z)- R2(z)P'(z)  W

0
(C)

jest rozwią zaniem  Poiseuille'a  o parabolicznym  rozkł adzie prę dkoś ci  opisanym  bezwymia-
rową  funkcją  (rys. 2)

(3- 2a)  W
Q
 =  - ^ ~  (1 -  e),  I =   x/ R{z),

a  symbolem  (~ ) oznaczono mał e zaburzenia przepł ywu gł ównego.
Zależ ność (3.2) jest  formalnie  identyczna z funkcją  opisują cą  rozkł ad prę dkoś ci  w ka-

nale  o stał ej szerokoś ci  2R, ze ś ciankami  nieprzepuszczalnymi  poruszają cymi  się ze stał ą
prę dkoś cią  W , przy  stał ym  gradiencie  ciś nienia  P'(z)  — const.  W  niniejszej  pracy do-
puszczamy  zmienność wielkoś ci R, W , F  z odległ oś cią z, ale zmienność na tyle sł abą, aby
w(x, z), u(x,  z),p(x,  z)  i ich pochodne był y  mał e w porównaniu  z  odpowiednimi wiel-
koś ciami  w

p
,p  i ich pochodnymi z przepł ywu  gł ównego.  Zwię kszenie  rzę du  mał oś ci  daje

również  róż niczkowanie  wzglę dem  z.  Zajmiemy  się jedynie  wyznaczeniem  najniż szego,
liniowego przybliż enia  ze wzglę du na tak okreś lone mał e zaburzenia lokalnego przepł ywu
Poiseuille'a.  Trzy  czynniki  zaburzają ce  przepł yw Poiseuille'a  podane został y w poniż szym

.  zestawieniu:

(3.3a)  K(z)  ?Ł  £ ,  przepuszczalność  ś cianek,



332  A.  SZAN IAWSKI,  A.  ZACHARA

(3.3b)  R'(z)  ^   O,  zmienność  przekroju  kan ał u,

(3,3c)  W   (z)  ^   0,  rozcią galność  ś cianek.

Wielkość  P(z)  jest  tymczasem  nieznana.
Wprowadzając  zał oż oną postać rozwinięć  (3.la  -  c) do równ ań  (2.1—3) i do  warunków

(2.5a -   d),  (2.7), oraz pozostawiając  jedynie  wyrazy  najniż szego  rzę du  ze  wzglę du  n a  mał e
zaburzenia,  otrzymujemy  nastę pują cy  uproszczony  ukł ad  ró wn ań :

v  8  I  8w
  k

\   _  8w
p
  «,  8w

v
( 3 ' 5 )  xT - fe  \ "5T *  ; "  "p ^ "  " "  "^ e

z  jednym  niejednorodnym

(3,7)  S ( *, *) = *  f̂ (z)  •   R'(z)  +  KP,

i  z  czterema jednorodnymi  warunkami  brzegowymi

(3.8a,b)  H ( 0 , 2 ) «0 ,  f^

(3.8c, d)  H>(i?, z)  =   0,  jJCR, z)  =   0.

Rozwią zanie  równania  cią gł oś ci  (3.4)  speł niają ce  warunek  symetrii  (3.8a)  które  ma
postać  nastę pują cą:

moż na  był o znaleźć niezależ nie  od  pozostał ych równ ań  i  warunków.
Ze  wzoru  (3.9)  w  kombinacji  z  warunkiem  brzegowym  (3.7)  uzyskujemy  równanie

róż niczkowe  zwyczajne,  które zawiera  P(z) jako  fukcję  niewiadomą

(3.10)  '  [P'Rk+3]'- (k+3)- (4R)k- KP=  2k  •   (k+3)(W - Rk+1)'.

Za pomocą równania  (3.10) moż na wzór  (3.9) sprowadzić  do postaci

(3.11)  u  -

gdzie  bezwymiarowe  funkcje

(3.H a)  tfl(0..I

(3.11b)  ;  u
z
(£)  = ~

okreś lają  wzglę dny  rozkł ad  skł adowej  poprzecznej  prę dkoś ci  u  =   M   W poprzek  kan ał u
pod  wpł ywem  zmiany  prę dkoś ci  (W   & 0, R'  =   0, K-   0),  bą dź  też  przepuszczalnoś ci
(K  #   0,  W   =   0, i?'  =   0)  ś cianki  (rys.  2).  Z miana przekroju  (i?'  ?t  0)  xiieruchomego  kaT



PRZEPŁ YW  LAMINARNY W  KANALE 333.

n ał u  (W =  0)  o  nieprzepuszczalnej  ś ciance  (K  =   0)  daje  również  rozkł ad  opisany  przez:
t / jd ) .  N atom iast przy  ł ą czn ym wpł ywie  kilku  czynników  poprzeczne  rozkł ady  prę dkoś ci;
M  w róż n ych przekrojach  n ie muszą  być  do  siebie podobn e.

R ys.  2.  F unkcje  W
Q
(£),

Q5  1,0

) ,  U
2
(6)  wystę pują ce  we  wzorach  (3.2)  i  (3.11)

R ówn an ie  (3.10)  wym aga  okreś len ia  dwóch  warun ków  brzegowych,  które  należy

dobrać  w  zależ noś ci  od  kon kretn ego  rozpatrywan ego  przypadku.  Rozwią zując  równa-

n ie  (3.10)  uzyskujemy  funkcję  P(z)  opisują cą  w  pierwszym  przybliż eniu  rozkł ad  ciś nie-

n ia  w  kan ale,  pozwalają cy  n a  podstawie  wzorów  (3.2)  i  (3.11)  wyznaczyć  gł ówne  skł a-

dowe  rozkł adu  prę dkoś ci  w
p
(x,  z)  i  u{x,  z).

Otrzym an e  w  fen  sposób  rozkł ady ciś nienia  i  prę dkoś ci  m oż na traktować jako  podsta-

wowe  przybliż one  rozwią zanie  naszego  problem u.  Rozwią zanie  to  n ie  zależy  w  sposób

jawny  od liczby  R eyn oldsa. Bę dziem yje  wykorzystywać do uproszczonego  opisu przepł ywu,,"

W  szczególnoś ci  d o  wyzn aczan ia  linii  prą du.

Wydatek  Q pł ynu przez pole  (nx)k  x  przekroju  poprzecznego jest  okreś lony cał ką

(3.12) Q  ~  (2n)k  /   w(x,  ź )xkdx  =  con st .

P odstawiając  w  w  w
p
  ze  wzoru  (3.2)  i  wykonując  cał kowanie  otrzymujemy  równanie-

linii  prą du  rozgraniczają cej  obszar  stał ego  wydatku:

(3.13) Q R2(z)P'(z)
(A:+ !)(«: + 3 )

P o  znalezieniu  gł ównych  czł onów  opisują cych  w  przybliż eniu  rozkł ad  wzdł uż ny  ciś --

n ien ia  p—p
A
  «  nP{z)  oraz  pole  prę dkoś ci  w  «  w

p
,  u  x  ii  przystą pimy  do  wyznaczenia

pozostał ych  czł onów  zaburzają cych  przepł yw  typu  P oiseuille'a,  mianowicie  d o  wyzna-

czenia  w  i  p.

P odstawiając  prę dkość  w„   (3.2) i  u  (3.11)  do  równ ań  (3.5) i  (3.6)  oraz  cał kując te rów-



334 A .  SzAN IAWSKI,  A .  ZACH ARA

n an ia  z uwzglę dnieniem  warun ków  brzegowych  (3.8b -  d) znajdujemy  poszukiwan e  czł ony

zaburzają ce:

i( D -

+ (W R'+KP)[w-

gdzie

(3.14a)

(3.14b)  W
2

(3.14c)-

(3.14d)  W
Ą
- .

oraz

(3.15)  p

gdzie

(3.15a)

Wykresy  funkcji

rys.  3.

36(3/ c +  5)

I - !2

) ,  W JJs)  oraz  P 0 ( D   przedstawione  został y  n a

Rys.  3.  Funkcje  PPi(|), ), i

1,0

wystę pują ce  we  wzorach  (3.14)  i  (3.15)



P R Z E P Ł YW  LAM I N AR N Y  W  KAN ALE  •   335

4.  P rzykł ad y

Uzyskane wyniki zilustrujemy  kilkoma przykł adami, w każ dym 2 których uwzglę dniony
bę dzie wpływ tylko jednego  z trzech czynników  (3.3) zaburzają cych  przepł yw Poiseuille'a.
Wszystkie przykł ady  odnosić się  bę dą   do przypadku  osiowo- symetrycznego  (k =   1), o  do-
datkowej  symetrii-  wzglę dem  pł aszczyzny z  =   0.

W przykł adach tych, dla równania (3.10) przybierają cego  postać

(4.0.1)  (P'R*y- l6RKP=  8- (W R2)',

dwa warunki brzegowe dla funkcji  P(ź ) dane bę dą  w punkcie z  -   0.
Definiujemy  bezwymiarową   funkcję   17(C)  jako

(4.0.2)  17(0  = ^ j- ,  f = « 4 r 4  a « l ,

za  pomocą   ciś nienia  odniesienia  P  i  mał ego parametru  a, które  zostaną   okreś lone  dalej,
oddzielnie dla każ dego przykł adu. Mał y parametr a pojawił  się  w definicji  bezwymiarowej
współ rzę dnej  C,  ze wzglę du na powolną   zmienność parametrów przepł ywu w kierunku  z.
Wprowadzają c  ponadto wielkoś ci  odniesienia:  ,

(4.0.3a  -  c)

oraz  bezwymiarowe

(4.0.4a -  c)

funkcje

ho-

rn,

R

"T'

K-

H)

Ra
2

16  '

K

"  r w(0

PRoc
8

W

"W
przekształ camy  równanie  (4.0.1)  do  nastę pują cej  postaci

(4.0.5)  (IT 'R4y- KRlI=  (W R2)'.

Linie prą du  bę dziemy  opisywać  stosują c  bezwymiarowy  wydatek

) =

D la każ dego  z przykł adów przedstawimy kolejno  skł adowe prę dkoś ci  w
p
\ u,  równanie

linii  prą du  <2(f,  f)  =   const  oraz  perturbacje  skł adowej  podł uż nej  prę dkoś ci  i  ciś nienia
w \ p,  obliczane odpowiednio ze wzorów (3.2), (3.11), (3.13), (3.14) i (3.15).

4. 1.  P rzepł yw  przez  n ieruchom ą ,  cylindryczną   rurę   porowatą   o  stał ym  współ czynniku  przepuszczalnoś ci.

Wprowadzają c

(4.1.1)  a  =   Ą

otrzymujemy  K=  1, a.  ponieważ  z  zał oż enia R  =   1  oraz  W  =  0, równanie (4.0.5) przyj-
muje  postać

(4.1.2)  i I " - i T = 0.

Równanie to rozwią ż emy  dla dwóch szczególnych  przypadków:
a)  W  przekroju  z  =   0 ciś nienia po  obu stronach ś cianki  rury  są  jednakowe  P(0) =   0,

a gł ówny przepł yw odbywa  się  w kierunku osi z pod wpływem gradientu ciś nienia o stał ym
znaku.  Wartość  gradientu  P'(0) w pł aszczyź nie z  =  0, iest dana.



336  A.  SZAN IAWSKI,  A.  ZACHARA

D efiniując  ciś nienie  odniesienia  jako

(4.1.3a)  P  =  P'(0)^   -

przedstawimy  warunki  brzegowe  w  postaci

(4.1.4a)  77(0)  =   0,77'(0)  -   1,

a speł niają ce je  rozwią zanie  równania  (4.1.2) wyraża  się  wzorem

(4.1.5a)  77( 0  =   shf.

b)  W  przekroju  z  =   0  rury  porowatej  panuje  dane  ciś nienie  róż ne  od  zewnę trznego
(P(0)  ^   0),  a  rozkł ad  ciś nień  jest  symetryczny  wzglę dem  tego  przekroju  (P'(Q) -   0).

Przyjmując  wielkość  odniesienia:

(4.1.3b)  P  = P(G)

i  formuł ując  warunki  brzegowe,

(4.1.4b)  77(0)  = 1 ,  77'(0)  =   0,

otrzymujemy  nastę pują ce  rozwią zanie  równania  (4.1.2):

(4.1.5b)  77( 0  =   ehf.

A  oto  pozostał e param etry  przepł ywu,  ł ą cznie  dla  obu  przypadków,  z  tym  że  funkcje
£  podane w  górnej frakcji  nawiasu  klamrowego  odnoszą  się do przypadku  (a), zaś  w  dolnej
do  przypadku  (b).

(4.1.8)  Q = l 2 ( 2 - a {̂   =  const,

P  8

(4.1.10)  »  - ==   - i.

gdzie Re jest charakterystyczną  liczbą  Reynoldsa

Obraz linii prą du, opisany równaniem (4.1.8), przedstawiony  został  dla obu  przypadków
odpowiednio  na  rys.  4.la  i  b.  W  przypadku  (a), panują ce  p o  lewej  stronie  od  przekroju
z  =   0 nadciś nienie powoduje  wytł aczanie pł ynu z rury przez ś ciankę n a zewną trz, n atom iast
podciś nienie  wystę pują ce  p r z y/ / >  0,  wywoł uje  zasysanie  pł ynu  z  otoczenia  do  wnę trza
fury.



PRZEPŁYW  LAMINARNY  W  KANALE 337

W przypadku  (b), wydatek  pł ynu  przez pł aszczyznę  symetrii  z  — O, znika. Jeś li  P(O) < O,
to  róż nica  ciś nień  po  obu  stronach  porowatej  ś cianki  jest  na  cał ej  dł ugoś ci  rury  ujemna,
co powoduje  zasysanie pł ynu z otoczenia do wnę trza rury. G dy P(0)  >  0 to obraz przepł ywu
jest podobny, z tą   róż nicą, że zwroty  prę dkoś ci  zmieniają   się  na przeciwne.

R ys.  4. 1.  P rzepł yw  p r ze z  n ier u c h o m ą   p o ro wat ą   r u r ę   o  st ał ej  ś redn icy,  1 = 1 , ^ = 1 ,  W   —  0

4.2.  P rzepł yw  przez  ka n a ł   zbież no- rozbież ny  o  zadan ym  kształ cie,  ze  ś cian kami  nieprzepuszczalnymi

i  nieruchomymi. Rozpatrzymy przepł yw z danym wydatkiem  Q
o
  przez  kanał  o kształ cie okre-

ś lonym  wzorem

(4.2.1)  J U  (1 +  f2)1/ 4.

W przypadku  tym  mał y  param etr  a  (4.0.2)  charakteryzuje  powolność  zmian  przekroju
poprzecznego.  Wprowadzają c  prom ień  krzywizny  Qk  kon turu  kanał u  w  punkcie  z  =  0,
moż emy  okreś lić

a 2  = 2RJQk.

Równanie  (4.0.5) przybiera  wówczas  postać

(4.2.2)

Przyjmują c  za  p
A
  wartość  ciś nienia  w  gardzieli  kanał u p

A
  =  p(0),  oraz  wprowadzają c

ciś nienie  odniesienia

(4 . 2 . 3 )

przedstawimy  warunki  brzegowe  w  postaci

(4- 2.4)  77(0)  =   0,  n'(0)=- l.

Speł niają ce  je  rozwią zanie  równania  (4.2.2)  m a  postać

(4.2.5)  i l =   - a r c t g?,

a  pozostał e parametry przepł ywu przedstawiają   się   nastę pują co:



338 A.  SZAN IAWSKI, A.  ZACHARA

(4.2.6)

(4.2.7)

(4.2.8)

(4.2.9)  i

(4.2.10)  ~

gdzie  Re jest  liczbą   Reynoldsa

W  .  J/ l  +   f2

- |2 ) =   con st,

R e  =
W R Go

Rozkł ad  linii  prą du,  okreś lony  przez  (4.2.8)  przedstawiony  został  n a  rys.  4.2.  N ależy

zwrócić  uwagę  n a  m onotoniczny  rozkł ad ciś nienia  (4.2.5), który  realizuje  się   m im o  zbież-

no- rozbież nego  kształ tu kan ał u.  Taki  ch arakter  rozkł adu ciś nienia  moż liwy  jest  w  warun -

kach  przyję tego  w  niniejszej  pracy  przybliż enia,  przy  zał oż eniu szczególnego  kształ tu  ka-

n ał u  opisanego  wzorem  (4.2.1).

Rys.  4.2.  Przepł yw  przez  kanał   zbież no- rozbież ny  o  ś ciance  nieruchomej  i  nieprzepuszczalnej  R —

4.3. Przepływ przez cylindryczną   rurę  nieprzepuszczalną  o rozcią ganej  ś ciance. R ozważ my  cylindry-

czną   rurę , unieruchomioną  w przekroju  z =  0 i rozcią ganą   symetrycznie  w  obu  kierun kach .

Ograniczymy  się   do  rozpatrywania  dodatniej  strony osi  z przyjmują c,  że dla z >  0 prę dkość

ś cianki zmienia się  wedł ug wzoru

(4.3.1)  W

M ał y  param etr  a  charakteryzuje  t u  powoln ość  n arastan ia  prę dkoś ci.  Wprowadzają c

K  =   0, A  =   1, sprowadzamy  równ an ie  (4.0.5)  do  postaci

(4.3.2)  •   .  i 7 "  =   e- 5,

przy  czym ciś nienie odniesienia, n a podstawie  wzoru  (4.0.3c) wynosi



PRZEPŁYW LAMINARNY W KANALE 339

(4. 3. 3) p  —

Rozwią zanie  równ an ia  (4.3.2)  przy  wynikają cych  z  symetrii  przepł ywu  warunkach  brze-

gowych:

(4.3.4)  -   77(0)  =   0,  77'(0)  =   0,

wyraża  się   wzorem

(4.3.5)  i l = e - c + t - l,

a  pozostał e  parametry  przepływu  mają   postać

(4.3.6)

(4.3.7)

(4.3.8)

(4.3.9)

(4,3.10)

gdzie

4 |
W

Q  =   _ =   con st,

w
W

R ys.  4.3.  Przepł yw  przez  rurę   o  nieprzepuszczalnej,  rozcią ganej  ś ciance,  K=  0,  R=  1,  ^ =   1—e- C

\
Obraz  linii  prą du  wyznaczony  n a  podstawie  (4.3.8)  przedstawiony  został  na  rys.  4.3.

Pł yn  znajdują cy  się  w  okolicy  ś cianki  porusza  się   w kierunku  zgodnym  z jej  ruchem, a pł yn
w  okolicy  osi  rury  w  kierun ku  przeciwnym,  co  powoduje  przepł yw  cyrkulacyjny.  Obszar
cyrkulacji  kurczy  się  w m iarę   oddalan ia od pł aszczyzny z  =   O iw  granicy  istnieje  wył ą cznie
przepł yw  równoległ y,  z  linią   p rą du  Q '=  — 0,25,  oddzielają cą   dodatn ie i  ujemne  kierunki
prę dkoś ci.

5. Uwagi koń cowe

Wskutek  poczyn ion ych  zał oż eń  upraszczają cych  zakres  stosowalnoś ci  podanej  m etody
jest  ograniczony  do  przypadków,  w  których  zdefiniowane  w  rozdz.  3  zaburzenia  u, w,  p
są   m ał e  w  stosun ku  do  odpowiedn ich  wielkoś ci  z  przepł ywu  P oiseuille'a  przyję tego  jako
przepł yw  gł ówny.  Opis  przepł ywu  przy  pom ocy  skł adowych  prę dkoś ci  w

p
  (3.2)  i  w  (3.11)



340 A.  SZ AN I AWSK I ,  A.  Z AC H AR A

z  wykorzystaniem  funkcji  P{z)  wraz z poprawką   p  (3.15)  mieś ci  się   w  ram ach  przybliż enia
Stokesa,  odpowiadają cego  pominię ciu  czł onu  bezwł adnoś ciowego  w  równ an iu  pę du.
U wzglę dnienie  w  uproszczony  sposób  pominię tego  czł onu  obejmuje  jedyn ie  poprawka
w  (3.14).

We  wzorach  (4.1—3.7),  ( 4.1- 3.9),  (4.1—3.10)  przedstawiają cych  u,  p,  w  wystę puje
bezwymiarowy  param etr  a  wyraż ają cy,  odpowiedni  dla  kon kretn ego  przypadku,  czynnik
zaburzają cy,  którym może być przepuszczalność  bą dź rozcią galność  ś cianek oraz zm ienność
przekroju  kan ał u.  We  wszystkich  rozpatrywanych  przypadkach  struktura  wzorów  jest
podobn a,  zgodnie  z  którą   mamy

( 5.1a- c)  u  ~  a,  p  ~  a 2,  iv  ~  a-   R e .

Wynika  stą d  nie  tylko  ograniczenie  dla  param etru  a,  lecz  także  dla  iloczynu  a •   R e,
gdzie  Re  =   W Rjv  jest  charakterystyczną   liczbą   R eyn oldsa  przepł ywu  podł uż n ego,  przy
czym  ze wzglę du  n a  (5.la)  moż emy iloczyn  ten in terpretować ja ko  liczbę   R eyn oldsa  prze-
pł ywu  poprzecznego  R e*  =   a •   R e. N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  m ał ość  iloczynu  a •   R e nie
ogranicza stosowalnoś ci  modelu do mał ych liczb  R eynoldsa,  o ile nie zostanie przekroczon y
zakres  stabilnoś ci  przepł ywu  lam inarnego, nie  rozpatrywan y  w  niniejszej  pracy.  Widzimy
też,  że  zaburzenie  ciś nienia p  jest  mał ą   wyż szego  rzę du ~w  stosun ku  do  pozostał ych zabu-
rzeń  i  w  obecnym  przybliż eniu  może  być  pom in ię te. W  przedstawion ych  w  rozdz.  4  przy-
Jcł adach wymienione ograniczenia był y n a ogół  speł nione, poza n iektórym i  obszaram i  o cha-
rakterze  lokalnym.

Okreś lenie  zakresu  stosowalnoś ci  przedstawionych  wyników  nie  był o  celem  niniejszej
pracy,  dlatego  nie  podajemy  tu  szczegół owych  szacowań,  które  z  koniecznoś ci  musiał yby

10

100 200  300 400 500 600

Rys.  5.  Porównanie obecnego  modelu z modelem  [12]. —  obecny  model, •
Santisa  [12], R/ K  =  1.9- 106

—  model  G alowina i  D e



PRZEPŁYW  LAMINARNY  W  KANALE  341

być  zawę ż one  do  rozpatrywan ych  przykł adów.  P odam y  natom iast  porównanie  naszych
wyników,  z  wynikami  m odelu  G alowin a i  D e Santisa  [12], o wyż szej  dokł adnoś ci niż obec-
n a  m etoda, gdyż  uwzglę dniony  był  w  n im  czł on  bezwł adnoś ciowy  równ an ia pę du. P orów-
n an ie  dotyczy  przepł ywu  przez  rurę   porowatą   o  dan ym  stał ym  współ czynniku  przepu-
szczalnoś ci  R/ K  =   1.9  •   106.  W  przekroju  począ tkowym  z  =   0  dane był y  dla  bezwymiaro-
wego  ciś nienia  zdefin iowan ego, w  [12]  jako  II   —  (p—p

A
)lQ'  w>p(0, 0)  dwa  warunki  brze-

gowe:  wartość  ciś nienia  17(0)  >  0  oraz  gradient  ciś nienia  II'(0)  =   — 4-   10~ 2.  Obliczenia
obejmował y  trzy  przypadki  odpowiadają ce  róż n ym  wartoś ciom  ciś nienia  począ tkowego,

"z  czym  wią zały  się   róż ne liczby  R eynoldsa  R e*  =   u{R,  0)R/ v. Wyniki  tych obliczeń przed-
stawione  został y  n a  rys.  5,  wraz  z  wynikami  uzyskanymi  n a podstawie  obecnego  modelu,
przy czym wykorzystan o  tu rozwią zania  (4.1.5a i b), w których  dokon an o jedynie  odpowied-
niej  transformacji  zm ien n ych.

M oż na  stwierdzić  bardzo  dobrą   zgodn ość  mię dzy  wynikami  obu  modeli,  a  drobn e
rozbież noś ci  wystę pują   jedyn ie  przy  najwię kszej  liczbie  Reynoldsa  R e x  =   0.075.  W  zakresie
liczb  Reynoldsa  rozpatrywan ych  w  powyż szym  przykł adzie  nasz  model  daje  wię ksze  ko -
rzyś ci,  gdyż  pozwala  n a  otrzym an ie  wyników  przy  pom ocy  prostych  kwadratur,  bez cał -
kowan ia  n um eryczn ego,  niezbę dnego  w  przypadku  modelu  [12].  N atom iast w  podobn ych
przypadkach  przepł ywów  przez  rury  porowate,  lecz  z  wię kszymi  liczbami  Reynoldsa,  roz-
patrywan ych  n p.  w  [13],  gdy  wskutek  efektów  dynamicznych  ciś nienie  statyczne  roś nie
w  kierun ku  przepł ywu,  m odel  ten  dał by  wyniki  niepoprawne  nawet jakoś ciowo.  To  sam o
dotyczy przepł ywów  w kan ał ach rozbież nych przy  wię kszych  liczbach Reynoldsa i  wszelkich
innych  przypadków,  gdy  nie  są   speł niane warunki  mał oś ci  a.  i a Re. W  takich  przypadkach
należy  stosować  m etody  o  wyż szym  rzę dzie  dokł adn oś ci, jak  n p .  [5],  [13]  lub  jeszcze  do-
kł adniejsze.

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  G . K.  BATCH ELOR,  An  Introduction  to  Fluid  Dynamics,  Cambridge  1970.

2.  W.  E.  LAN G LOIS,  Slow  Viscous Flow,  M acmillan  C ,  N ew  York  1964.

3.  J.  H AP P E L,  H .  BR E N N E R ,  L OW  Reynolds  N umber  Hydrodynamics,  Prentice-   H all  1965.

4.  H . A.  Cne'3KH H ,  JJunaMttKa  8H3KOU  iiecotcuMaeMOu  oicudxocmu,  M ocK Ba  1955.

5.  M .  J.  M AN TON ,  L OW   Reynolds  N umber Flow in Slowly  Varying.  Axisymmetric  T ubes,  J.  F l.  Mech,  3,  49,

(1971).

6.  A.  BERM AN ,  L aminar  Flow  in  Channels with  Porous  W alls,  J.  Appl.  Phys.  9,  24  (1953).

7.  R .  M .  T E R R I L,  L aminar  Flow  in  a  Uniformly  Porous  Channel, Aeron .  Quart.,  3,  15,  (1964).

8.  R .  W.  H ORN BEC K,  W.  T.  R OU LE AU ,  F .  OSTERLE,  L aminar  Entry  Problem  in  Porous  T ubes,  P hys.

F luids,  11,  6  (1963).

9.  H . L.  WEISSBERG ,  L aminar  Flow  in  T he  Entrance  Region  of  a  Porous Pipe, Phys.  F luids,  5,  2  (1959).

10.  J.  P.  H U AN G ,  H .  S.  YU . ,  Pressure Diestributions  in  Porous  Ducts  of  Arbitrary  Cross Section,  J.  F luid

E n g.  (Tran s.  ASM E ),  3,  95,  I  (1973).

11.  B.  K.  G U P T A, E.  K.  LEVY, Symmetrical  L aminar  Channel Flow with W all Suction, J.  F luid  En g.  (Trans.

ASM E ),  3,  98,  I  (1976).

12.  L.  S.  G ALO WI N ,  M . J.  D e  SAN TI S,  T heoretical Analysis  of  L aminar  Pipe  Flow  in  a  Porous  W all  Cy-

linder, Journ al  of  D ynam ics  Syst.  M easur.  and  C on trol  (Tran s.  ASM E),  2,  93,  G   (1971).

13.  L.  S.  G ALO WI N ,  L.  S.  F LE TC H E R ,  M .  J.  D e  SAN TIS,  Investigation  of  L aminar  Flow  in  a  Porous  Pipe

with  Variable  W all  Suction,  AI AA  J.,  11,  12  (1974)..

14.  M .  Y.  JAI T R I N ,  A.  H .  SH AP I R O,  Peristaltic  Pumping,  An .  Rev.  F l.  M ech.,  3  (1971).

5  M ech.  Teoret.  i  Stos,  3/78



342  A.  SZ AN I AWSK I ,  A.  Z AC H AR A

P  e  3  JO  M  e

JIAM H H APH OE  TE ^I E H H E  B  KAHAJIE  C  I I E P E M E H H LI M
C E ^ E H H E M   H   C  ITOflBH JKH LIMH   H   LTOPH CTLIMH  C TEH KAM H

T eieiffle  B  K aran e  n pefln ojio*eH o  B  BHfle  Majio  Bo3M ymeH iioro  TeqeHHH  n ya3eftjia 3  TaK  ^ T O  ypaB-

H6HHH   H a B t e - d o K ca  MOJKHO  HHHeapH30BaTB  oTHOOTrejiBHo  Majibix  BO3MyrqeHHft.  P eraenH H   # J I H   n a p a -

MeTpoB  TeqeHHH  nojiy^ienBi  B  aHajiirrH^iecKOM   BHfle3  coflepmameiw  HeiMBecTHyio  diyH Kqiiio  aaBJiemiH ,

KOTopaa  HBjiHeTca  penieinieM  H eKotoporo nKHefiHoro  o6biraioBeH H oro  HHdicbepeimHaJiBHoro  ypaBH ei- mti.

3 T O  ypaBH enae  6M JI O  pen ieH o  AJIH   iieK oiopH x  n pocTeflm n x  cjiy^aeB  rpaH H ^H bix  ycnoBH H 3  npH^eiw

B  i<a>KfloM   H3 HHX  y^H TM Banca  TOHŁKO  oflHH   H3 Tpex  BO3MyiĄ aiomHX  adp^eKTOBj  Ha3BaHbrx  B  3arnaBH n

3TOH   paSoTbi.  Tai<HM  o6pa3OM   MO>KHO 6biJio  iiaiiTH  pacnpeflejieH H H  flaBjieiiH H  u  cKopoareśł  fljiH  raaBH oro •

H   ero  B03Mym;eHHft.  OfipamaeTca  BHHManiie Ha  H eKoTopbie  orpaH H ieH H H   npeflcTaBjieH oft  M O-

BO3HHKaKimne  H3  ee  npH6jiH3HTejiBHoro  xapaKTepa.

Summary  •   \

LAMIN AR  FLOW  I N  A  CH AN N EL OF  A  VARIABLE  CROSS- SECTION  WI TH   MOVABLE
AN D   POROU S  WALLS

The  problem is  considered  as  a slightly  disturbed  Poisseuille  flow,  so  the N avier- Stokes  equations can
be linearized  with respect to small perturbations. The solution  is  obtained in an analytical  form,  containing
an  unknown  pressure  function  which  can  be  found  from  the  ordinary  linear  differential  equation  derived
here.  The  equation has  been  solved  for  some  simple  axisymmetric  flows,  each  of  them  being  influenced
by  only  one of  the three disturbance  effects  mentioned in the head  of  this  paper. I n this way  pressure  and
velocity  disturbance  for  the main flow  and its  perturbations  has  been  obtained. Some remarks  on the limi-
tations  of  the method presented  have  also  been  included.

IN STYTU T  P OD STAWOWYCH   P R O BLE M Ó W  TE C H N I KI  P AN

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  listopada  1977  r.