Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 3,  16  (1978) O  M AKROSKOP OWYC H   N AP R Ę Ż E N I ACH   W  OŚ ROD KACH   WIELOF AZOWYCH AN D RZEJ  T R Z Ę S O W S KI  (WARSZAWA) I.  Wstę p W  teorii oś rodków  wielofazowych,  przy przejś ciu  od mikrowielkoś ci  do  makrowielkoś ci, czę sto  stosuje  się   n astę pują ce  rozum owan ie  (n p.  [1]): 1.  Wybieramy  skoń czony  podobszar  n iejedn orodn ego  ciał a  (zwany  charakterystycz- n ym  obszarem ) t ak  duż y,  że zawiera  dostateczn ie dużo niejednorodnoś ci n a t o , aby moż na był o  przeprowadzić  w  n im  reprezen tatywn ą   operację   obję toś ciowego  uś redn ian ia. 2.  Z arazem uważ am y,  że podobszar jest  dostatecznie mał y  (w  porówn an iu z  wymiara- mi  ciał a)  n a  t o ,  aby  m o ż na  był o  go  in terpretować —  w  m akroskopowym  przybliż eniu  — ja ko  p u n kt  m aterialn y  i  pom ijać  zm ien n ość  w  n im  m akroskopowych  wielkoś ci. Oczywiś cie  takie  rozum owan ie  m oże  mieć  zastosowan ie  tylko  do niejednorodnych oś- ro d kó w1',  w  których  n iejedn orodn oś ci  sa  bardzo  m ał ych rozm iarów.  P rzykł adem takich oś rodków  są   polikryształ y  lu b  stopy  m etali  z  niejednorodnoś ciami  w  postaci  mał ych inkluzji. W  pracy  rozważ ane  bę dą   stopy  m etali  typu  m atryca  z  inkluzjami  tworzą ce  oś rodek m akroskopowo  jedn orodn y,  m ikroskopowo  n iejedn orodn y,  o  rozproszon ym  charakterze m ikrostruktury  (por.  [2]). W  m onografii  [3] p o d an e  są   przykł ady  takich  stopów.  Z przykł adów, tych  wynika,  że w  wielu  wypadkach  m o ż na  pojedyncze  inkluzje  uważ ać  za  zawarte  (wraz  z  otoczeniem w  postaci  m ateriał u m atrycy)  w  sześ cianie  o boku  5 •   10~ 4  cm. Wtedy  w  sześ cianie  o  boku d*  —  5 •   10~  2  cm (a wię c w  sześ cianie  o wielkoś ci uznawanej  za m akroskopową   —  n p.  [2], [4]) znajdzie  się   n  —  106  in kluzji;  dla  sześ cianu  o bo ku  d*  m oż na mówić  o  reprezentatyw- n ym  uś redn ian iu  obję toś ciowym.  Z  drugiej  stron y  w  sześ cianie  o  boku  d  =  10  cm  (rzą d wymiarów  próbki  do  bad ań )  znajdzie  się   N   =  2-   106  sześ cianów  o  boku  d*;  sześ ciany o  boku  d*  są   dostateczn ie  m ał e  w  porówn an iu  z  wymiarami  próbki  (d*  - ^ d). Rozważ my  pewien  podział  ciał a  niejednorodnego' n a  obszary  charakterystyczne.  Jeż eli każ dy  z  tych  obszarów  zdeformujemy  jedn orodn ie, t o  w  ciele  powstanie  pole  n aprę ż eń spowodowan e  n ierówn om iern oś cią   odkształ cenia  poszczególnych  obszarów  charakte- - rystycznych  i  wynikają cym  stą d  ich  wzajemnym  oddział ywaniem. M akroskopowe  przybli- ż enie  tego  pola  n aprę ż eń  n azywan e  jest  n aprę ż en iem I  rodzaju.  Z  okreś lenia  naprę ż eń  I rodzaju  (i  z  okreś lenia  obszaru  charakterystycznego)  wynika,  że  naprę ż enia  te  powin n o się   uważ ać  za  stał e  w  obszarach  charakterystyczn ych. 1 }  Oś rodkiem niejednorodnym  nazywamy  klasę   ciał   niejednorodnych  o  takim  samym  typie  niejedno- rodnoś ci.  • '•   i • "• •  '•   '• 290  A.  T R Z Ę SO WSKI Celem  pracy  jest  analiza  poję cia  makroskopowoś ci  naprę ż eń  oraz  sformuł owanie makroskopowego  prawa  konstytutywnego  (dla  naprę ż eń  1 rodzaju  i  makroskopowych odkształ ceń  okreś lonych  dla  liniowo- sprę ż ystego  oś rodka  niejednorodnego),  w  którym wymiary  obszaru  charakterystycznego  wystą pią   jako  param etry  opisują ce  m akrosko- pową   reakcję   materiał ów  zawartych  w  ciele  niejednorodnym. 2.  R ozkł ad  niejednorodnoś ci W  stopach metali  kształ t, wielkość i  rozmieszczenie  inkluzji  są   losowymi  param etram i rozkł adu  niejednorodnoś ci.  Losowy  rozkł ad  niejednorodnoś ci  moż na  opisać  funkcją : (2.1)  c =   c(ro, x)  = gdzie  ozn aczon o: xeG;G—obszar  ciał a  niejednorodnego  (próbki  do  badań ), coeQ;Q  — probabilistyczna  przestrzeń  zdarzeń  opisują ca  losowos'c  wewnę trznej geometrii  niejednorodnych  ciał   oś rodka, c 0 —t en so r  współ czynników  sprę ż ystoś ci  matrycy  zajmują cej  obszar  Go, :  c,, —  tensor  współ czynników  sprę ż ystoś ci  inkluzji  zajmują cych  obszar  G — G o « =   1,  ...,m ^(co, .) —fun kcja  charakterystyczna  obszaru  G a   (przy  zdarzeniu  losowym  co e  Q): j l  dla  xeG a Xcc(0>, X) =   | o  ^  x  c  ^ Zał oż enie  rozproszonego  charakteru  niejednorodnoś ci  i  makroskopowej  jedn orodn oś ci oś rodka  wyrazimy  przyjmują c  statystyczną   jedn oiodn ość  losowej  funkcji  rozkł adu  nie- jednorodnoś ci (2.2)  / \ (Ec)(x)  =   C o  =   con st, gdzie  E  oznacza  operację   probabilistycznego  uś redniania  a  C o  jest  tensorem  Walencji  4. D la  oś rodka  dwufazowego  funkcję   rozkł adu niejednorodnoś ci  moż emy n apisać  w pos- t aci: (2.3)  c(co, x)  m  c o +x(co,  x)(c t   -   c 0 ) , gdzie  oznaczono  %{oi,  x)  =   %i{w, x). Jeż eli  rozkł ad  niejednorodnoś ci  (dany  wzorem  (2.3))  speł nia  warunek  tzw.  izotropii statystycznej,  t o losowa  funkcja  %(x)()  ==   x(co, x)(a>  eQ)  m a  mię dzy  innymi  wł asnoś ci ([5]): (2.4)  P(%(x) =   O ) = l - 0, =   1  A   X (xj  =   1) =   E[x(x)x( Xl )]  =  y(Ó> O  N AP R Ę Ż E N I ACH   W  OŚ R OD KACH   WI E LOF AZ OWYC H   2911 gdzie  7 )  c ' ( x ) =   c ( * ) - C0 m a  w  rozważ an ym  przypadku  p o st a ć : K(x, Xl )=[y(r)- ^ ]K, ( 2  }  K = ( c x ~ c o ) ® ^ !- c o ). M ikroskopowość  rzę dów  dł ugoś ci  charakteryzują cych  wymiary  inkluzji  i  odległ oś ci mię dzy  nim i pozwala  —  w  ram ach m odelu matryca  z  inkluzjami  —  potraktować  stop  jako- mechaniczną   m ieszaninę   skł adn ików.  Ozn aczm y: P t (x)~P(xeG,),  (* =  0,1), (  }  P y(*. x,)  =  P(x 6 G,  A  .n e G,),  (ij  -   0,1). Prawdopodobień stwa  Py  są   postaci ([6]): «y  -   P ( P 7 , P , (x)  =   P ,  «  con st, ( 2 # 1 °)  j8y  =   Pidtj- PtPj  (po  /  n ie  sumować ), / »(/ • )=   e xp ( - r / / ). Stą d  (i  z  (2.4)). (2.11)  V  ,  KO =   ^+ 0(l- ^)exp(- r/ / ), gdzie  /  —  m oduł   korelacji  ([/ ] =   cm ). Wzór  (2.11) jest  przybliż eniem,  w  którym  ignoruje  się   róż nice  gemetryczne  mię dzy m atrycą   a  obszarem  zaję tym  przez  in kluzje;  wzór  ten  n ie  uwzglę dnia  n p . róż nic w  typie spójnoś ci  tych  obszarów  a  także  n ie  uwzglę dnia  róż n ic  w  kształ cie  i  orientacji  inkluzji. Tego  rodzaju  przybliż enie  win n o  dawać  najlepsze  rezultaty  dla  zbliż onych koncentracji   oraz  quasi- sferycznych  inkluzji  tj.  takich ,  że  E[(R- EK)2]  , x)(co  eQ,xe  G*) speł niają   (dla  u>eQ  ustalonego)  równanie : (3.2)  L (D)u(m, x)  =   X(co, x) + k(a>,  x),  w  G*, u(co,  x)  =   e*x,  n a  8G*, gdzie  oznaczono  (por.  [7]): L {D)  —  operator  Lamć go  dla  jedn orodn ego  ciał a  o  ten sorze współ czynników  sprę ż ystoś ci  (matrycy)  tj L (D)u  = =   - d i v( c0 -   Vu), c*  —  symetryczny  ten sor  Walencji  2, x  =   x^ x —  wektor wodzą cy  pu n kt u x  e  8G* o począ tku  w x o e G * ; x 0   —  ś rodek  masy  w  obszarze  G*, \ (oo,  x)  =   J  t(w ) y)- Vdx—ydy—polaryzacja  o ś r o d ka2 ', G*  x x((o,  x)  =   c"(co, x)  •   e(a),  x)  —t e n so r  (gę stoś ci)  polaryzacji, c"(o), x)  =   c ( c t > , x) - c0  —  ten sor  fluktuacji  stał ych  sprę ż ystych, e(w, x)  =>  ^(Vm - Vu')(»,  x)  —t e n so r  (losowych)  odkształ ceń, dx  —  delta  D iraca, V —  gradient  wzglę dem  zm iennych  x, X „  • "— operacja  peł nego  n asuwan ia  ten sorów, k(a> ,x) —  losowa  funkcja  rozkł adu  sił   obję toś ciowych. Z  uwagi  n a  m ał ość obszaru  G*  bę dziemy  przyjmować,  że  m oż na  w  n im pom in ą ć  wpł yw sił   obję toś ciowych  n a  odkształ cen ia: (3.3)  k(< u,x) =   0. B.  Probabilistyczne ś rednie odkształ ceń  są  wielkoś ciami m akroskopowym i  okreś lonymi z  makroskopowego  doś wiadczenia  mechanicznego. Z ał oż enie to  sformuł ujemy  w  postaci hipotezy  ergodycznej: (3.4)  V  A  A  «<*)  =  & W  =  TT^T  f «(», y)dy -  e0, e0  xeO*  aea  I "  X  Q* gdzie  €0  jest  symetrycznym  tensorem  walencji  2. 2)  Sens tkł ki Lebesgue'a  X(r*  (r*­(3.6)), gdzie  u0 jest  przemieszczeniem  w  matrycy  bez inkluzji  zajmują cej  obszar  G: L (D) ao (x)  =   0 w 6 , K  "  }  b(x,  D)a o (x)  =  4>(x)  na  dG. Przez  6(JC, D ) oznaczono w równaniu  (3.11)  operator warunku  brzegowego  (por. [7]). Jeż eli  b(x,  D)u o (x)  =  n o (x) t o zał oż enie jednorodnoś ci  przy  brzegu  moż na pominą ć. Wniosek  powyż szy  oznacza, że rozważ amy  oś rodki, w  których  znika  ś rednia  polary- zacja  oś rodka (3- 12)  (EX)(x)  =   J  ( £ T ) ( X)  - VÓX V J  =  0. G  x 4.  Ś rednie  naprę ż enia Jeż eli  inkluzje  oraz  obszar  charakterystyczny  są  ograniczone  dostatecznie  gł adkimi 'powierzchniami oraz speł nione są pewne warunki  ograniczają ce  skł adowe losowej  funkcji: (4- 1)  c"(w,  x)  =  c(w, x) -   c 0 , 2  Mech.  Teorct.  i  Stos.  3/78 294  A.  TRZĘ SOWSKI to  istnieje  w obszarze  charakterystycznym  G * funkcyjny  zwią zek  (por.  [10]) mię dzy  ś red- nimi  naprę ż eniam i:  ..• • - ; T(x) =   ( E T ) ( *) ,  ^ G * , T  -   T(o>,  x)  m  c(o),  JC) •   e(a>,  x) ? a  ś rednim odkształ ceniem (4.3)  e ( x ) = e 0 ,  x e G * . Zwią zek  ten  ma  postać (4.4)  T(JC) =  C ( x) - e0 , gdzie  oznaczono: (4.5)   n=i C„(x)  =   JFn(x,x„)dxH, a* F„  jest  tensorową  funkcją  Walencji  4  zależ ną  od (por.  [10]): —  tensorowej  funkcji  Walencji  4 ( «+ l ) ,  K„ =  K tt (x,x l ,  ...,x n )  bę dą cej  liniową  kom- binacją  funkcji  korelacyjnej  rzę du  k <   n,  losowej  funkcji  c'(to,x),  tj. funkcji  postaci 1 = 1  '  :  , .  •   • • • . ' • •   ; :• .  • ;  • •   ' . , ; . . —  funkcji  G reena dla  operatora £(- £>), obszaru  G* i problem u  D irichleta  (por. rozdz. 3(3.2). We  wzorach  (4.5) tylko  kształ t obszaru  G *  n ie jest  okreś lony przez rozważ any  oś rodek i  w ogólnym  przypadku  nie  moż na o tym  kształ cie n ic powiedzieć  a priori. Jeż eli  jedn ak mamy  oś rodek  izotropowy statystycznie  to n aturaln ym wydaje  się wybór  G * w postaci  kuli (4.6)  G*  =  K(x o ,r*). D alej  bę dziemy  uważ ać, że obszar  charakterystyczny  jest  kulą  o prom ieniu r*. D o  dalszych  rozważ ań  potrzebne  n am  bę dzie  wydzielenie  czę ś ci  stał ej z  funkcyjnego szeregu  C'(x).  Jeż eli  przedstawimy  funkcję  G reena  V(x, x') w  postaci (4.7)  V(x, x') =  e(x- x')+r(x, x'), gdzie  e(x—x')  —  rozwią zanie  podstawowe  dla operatora  _£,(!>)  a  i(x,x')  —  funkcja  kla- sy  C r o  w obszarze  G*, to z postaci  funkcji  F „ (x,  x')  (por.  [10])  wynika,  że  poszukiwaną czę ść stał ą C moż emy otrzymać wstawiając  we wzorach (4.5) e(x~x')  w miejsce V(x,  x'), t j. : c =  c o+c , 00 ć=   Vc (4.8)3>  6 Ć„ =  / d„(/ - „V/ -BJrn  =  |jx - xn ||,  .  . • -   • • • * • •   • • '  '•   • '• '•   •   ' • •   • ' - " • • •   ' ' • •   o -   '  ' • • " ' ' •   • • '  • •   " " '  '  - ;  •   • • • • '  • '/ '• '• '*  • • ' • • • " • 3 )  D opuszczalność  zmiany  kolejnoś ci  sumowania  w szeregu  zawsze  moż na  osią gnąć  zakł adając bez- wzglę dną zbież ność tego szeregu tj. narzucając warunki ograniczenia na funkcje  korelacyjne  K„-   , ;,..  • O  N APRĘ Ż EN IACH   W  OŚ RODKACH   WIELOFAZOWYCH   295 gdzie pojawienie  się  funkcji  A„(r)  wynika  z zał oż enia statystycznej  jednorodnoś ci i izotropi i (4.9)  Kn(xix1,...,xn)  =   Kn(\ \ x- x1\ \ ,...,\ \ x- x„\ \ ) oraz  z  przejś cia  od współ rzę dnych  kartezjań skich  do współ rzę dnych  sferycznych: ( 4 1 0 )  e( *- xi)*  7KiM ;'"  r- l!*- x»f|, r>  0, 0 <  &<   2n,  0 <  0 <  ?r. Moż emy  wię c  przedstawić  szereg  C{x) w  postaci: (4.11)  C ( x ) = C ł Ć W ,v a  ś rednie  naprę ż enia — w  postaci: T(x)  =   T , ( *0 ) + T n ( *) , (4.12)  T, ( x o ) =  C- e ( x0 ) , T„ (*)  »€!(*)•  !(*„). 5.  Makroskopowe  naprę ż enia Rozważ my  wzory  (4.4) i  (4.12). Zmienność tensorów  T (x) i  C(x)  w obszarze  charakte- rystycznym  wskazuje,  że  C (x) nie może być uzn an e za tensor makroskopowych  współ czyn- ników  sprę ż ystoś ci  ciał a  m akroskopowo  jedn orodn ego,  a  T(x) —  za  makroskopowe naprę ż enia  I  rodzaju.  Oczywiś cie  gdyby  zachodził a  wł asność (5.1)  •   A  T'(*°) = w f  T0>> x)dx, to  moż na by  uważ ać, że czę ść  stał a  ś rednich naprę ż eń  ( T I ( JC 0) ) jest makroskopowym  naprę - ż eniem I  rodzaju,  a ten sor  C {zdefiniowany  wzorem  4.8)) — tensorem  makroskopowych współ czynników  sprę ż ystoś ci. Warunek  (5.1)  m oż na  nazwać  hipotezą   quasi- ergodyczną  i  potraktować  jako  dodat- kowy  warunek  definiują cy  makroskopową   jedn orodn ość  oś rodka  wielofazowego. Warun ki  (3.4) i  (5.1)  nakł adają   ograniczenia  n a  statystykę   rozkł adu niejednorodnoś ci oś rodka  wielofazowego.  P odan ie twierdzeń  mówią cych  o tym  kiedy  zachodzą   te  warunki jest  problemem w sobie,  znacznie wykraczają cym  poza  ramy  pracy.  D la zorientowania  się (przynajmniej  w pierwszym  przybliż eniu)  w informacjach  o makroskopowych  wł asnoś ciach oś rodka  wielofazowego  zawartych  we  wzorze  (4.8),  rozważ my  przykł ad  dwufazowego stopu  metali  statystycznie  jedn orodn ego  i  izotropowego  o  rozproszonym  charakterze mikrostruktury  i ze  sferycznymi  inkluzjami  (n p. stop N i- Au, w którym inkluzje  z niklu  są sferycznymi  czą stkami  o ś rednicy  10"5  cm —  [3]). D la tego  rodzaju  stopów  zadowalają cą dla celów praktycznych, jest informacja  o wkł adzie w naprę ż enia I rodzaju funkcji  Kx (x,  xt): funkcja  t a wyraża  się  przez liniowe  charakterystyki  mikrostruktury.  Jeż eli wię c  przyjmiemy warunek ( 5.2)4)  K(x,x1,...,x„)=   0  dla  n > 2, 4 )  Warunek  (5.2) jest  równoważ ny  nieskoń czonemu ukł adowi równań  liniowych  ze wzglę du  n a fun- .  •   •   n  .  •   '  • - • - . • . -: keje  korelacyjne  E(II  %(x,))  n =  2, 3 , . . .  (por.  rozdz.  2), tj.  narzuca  ograniczenia  na losową   geome- trię   oś rodka  (por.  [8]). 2 * 296  '  A.  TRZĘ SOWSKI to,  w  przybliż eniu  danym  wzorem  (2.11), tensor  makroskopowych  współ czynników  sprę- ż ystoś ci  jest  postaci  (por.  rozdz.  2,  (4.8)  oraz  [10]): r* (5.3)  C -   C O + 0 ( 1 - * ) C1 +  f  • Y(r \ ~   (frC a , o gdzie  oznaczono: d  =   L 1 °K ,  C 2  =   L 2 o K , »  £ (0.1) 2jt  it (5.4)  L 2 =  J J  F ( # , 0)sin0d0  0,  /< > 0. N aprę ż enia  I rodzaju  w  pun ktach x 0  e  G  takich,  że (5.8)  mf|[xo- j>H   >  r* yedG moż na  więc  obliczyć  za  pomocą  zwią zku 0.9)  T r ( x 0 ) =   C - I ( *o ), gdzie  C jest  dane  wzorem  (5.3), a i  (x)(x  e  G) jest  polem  m akroskopowych  odkształ ceń omówionych  w  rozdz.  2. Zwią zek  (5.9)  uwzglę dnia  wpł yw  n a  naprę ż enia I rodzaju,  nastę pują cych  charakterystyk m ikrostruktury: —  koncentracji  obję toś ciowej  inkluzji.,  : . , , . . : • —  liniowego  parametru  r*  charakteryzują cego  ł ą cznie  rzę dy  wymiarów  inkluzji i  odległ oś ci mię dzy  nimi. P aram etr ten m a  sens  makroskopowej  charakterystyki  niejedno- rodnoś ci  jako  mikrostruktury, O  N APRĘ Ż EN IACH  W OŚ RODKACH   WIELOFAZOWYCH   2 9 7 —  liniowego  p aram et ru  /  skorelowan ia  wł asnoś ci  stopu w  róż nych pun ktach  obję toś ci. Zwią zek  (5.9) obowią zuje  'wszę dzie w  G  za "wyją tkiem  być  m oże przybrzeż nego  pasa  o  sze- rokoś ci  r*. Z auważ m y, że m akroskopowe  współ czynniki  sprę ż ystoś ci  dan e wzorem  (4.8) (a w  szczegól- noś ci  współ czynniki  dan e  wzorem  (5.3))  są  —  w  przeciwień stwie  do  wzoru  (4.5) —  nieza- leż ne  od  wyboru  problem u  brzegowego  dla  obszaru  charakterystycznego.  U wolnienie  się od  tej  niefizycznej  zależ noś ci jest  konsekwencją  przyję cia  hipotezy  quasi- ergodycznej  (5.1). Literatura  cytowana  w  tekś cie i 1.  H . M .  J I H BU I H U J  J I . H .  Po3EH iiBAH rj  K  tneopuu ynpyiux  ceoucnm nojiuKpucmcuiAoe,  )KypH .  3Kcn ep. H   TeopeT.  cpira.,  2  ( 1946) . 2.  E .  BR AN D E R BE R ,  Chemia  ogólna  dla inż ynierów,  Warszawa  1966. 3.  H . H .  <£>PAH IJEBH H ,  JX. H .  K AP I U J H O ; ,  KoMno3uijiwiiN ue Mamepuajiu  BOJIOKHUCW OIO  cmpoemn,  KneB 1970. 4.  I .  CH OJN ACKI, Metalografia strukturalna, Katowice  1960. 5.  H . L.  F RISCH ,  Statistics  of  R andom  M edia:  Transactions  of  the Society  Rheology,  9,  1  (1965). 6.  A. F .  OKHH,  T . J\ .  UlEPMEPrEPj  K  ebi'iucAeuujo  ynpyiux  Mobymu  xemeposeHHUX  cped,  I lM T< t> ( M T O ) ,  3  (1968). 7.  A.  TRZĘ SOWSKI,  Dia- elastic  Description  of  a  Jamp- N on- Homogeneous  Body,  Teoria  oś rodków  wielo- fazowych  cz. I I ,  1976. 8.  Cz. ETMER,  Stress in  Multiphase Media;  Arch.  Mech.  Stos.,  4, 19  (1967). 9.  A.  TRZĘ SOWSKI, Rozwią zania w przestrzeniach Sobolewa równań teorii sprę ż ystoś ci,  Prace IP P T  24/ 1973. 10.  A.  TRZĘ SOWSKI,  Ś rednie  naprę ż enia w  stochastycznym oś rodku wieloskł adnikowym,  Mech.  Teoret. Stos.,  3, 14  (1976). P  e 3 w  M  e O  M AKP OC KOIIH tffiC KH X  HAIIP.$DKEHLMX B  HEOJi;HOPOJI,HOK  CPEflE B  pa6oTe  pacciwaTpHBaeTCH   C BJI 3Ł   M OKR Y  NiaKpocKonKraecKHMH   H  cpeRHHMM  nanpsweH H H MH   B  cpe- flaXj  coflepm aurjix  cn yqaiiH o  pacnpeflejneH H tie  cKa'iKooSpaaH bie  H eo# H opo# H ocTn.  H aił flen  BHfl  o n p e- flenmomero  cooTHouieHHH   H JW Mai