Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16  (1978) OPTYMALN E  KSZTAŁTOWAN IE  BELKI  WSP OR N I KOWEJ,  OBC I Ą Ż ON EJ  SI Ł AM I Z EWN Ę TRZ N YMI  I  CIĘ Ż AREM  WŁASN YM ,  W  WARU N KACH   P E Ł Z AN I A* M A Ł G O R Z A T A  AL B I Ń S K A,  A N T O N I  G AJ E W S K I  ( K R A K Ó W ) 1,  Uwagi  wstę pne Elementy  konstrukcyjne  (np.  belki,  pł yty)  obcią ż one  wył ą cznie  sił ami  zewnę trznymi lub  wył ą cznie  cię ż arem  wł asnym  rzadko  wystę pują   w praktyce;  na  ogół  sił y masowe  sta- nowią   dodatkowe  obcią ż enie,  które  jest  pewn  m  uł amkiem  obcią ż enia  zewnę trznego. W  wię kszoś ci  opublikowanych  dotychczas  prac,  dotyczą cych  optymalnego  kształ towania belek  (z  reguł y  liniowo- sprę ż ystych)  sił y  masowe,  zależ ą ce  od  poszukiwanego  kształ tu elementu,  są   pomijane.  W  szeregu  nowszych  prac  ([1],  [2])  podję to  próbę   znalezienia optymalnego  kształ tu  belki  wspornikowej,  obcią ż onej  wył ą cznie  cię ż arem  wł asnym. N iestety, przedstawione  rozwią zania  są   bł ę dne. Poprawne rozwią zanie  zagadnienia przed- stawiono  w pracy J. M. CIIERN A  [3]; otrzymano je  w oparciu o zasadę  minimum  wzajemnej energii potencjalnej R. T. SHIELDA i W.  PRAGERA [4], waż nej tylko w przypadkach materiał u liniowo- sprę ż ystego.  W  pracy  A.  G AJEWSKIEG O  [5] rozwią zano  analogiczny  problem opty- malizacji  kształ tu belki  wspornikowej,  znajdują cej  się   w  niejednorodnym  polu  sił  grawi- tacyjnych  (a  wię c  obcią ż onej  tylko  cię ż arem  wł asnym).  U wzglę dniono  również  nielinio- wość  fizyczną   materiał u,  opisują cą   materiał y  nieliniowo- sprę ż yste,  sprę ż ysto- plastyczne lub  pozostają ce  w  stanie  ustalonego  peł zania. W  pracy  wyznaczono  optymalne  kształ ty belki  przy  warunku  wyrównania  naprę ż eń,  i  warunku - ustalają cym  ugię cie  swobodnego koń ca  belki.  Wykazano,  że  we  wszystkich  badanych  przypadkach,  optymalny  kształ t zależy  od postaci prawa  fizycznego. Próbę   znalezienia  optymalnego  kształ tu belki  obcią ż onej  sił ami zewnę trznymi  i  cię ż a- rem  wł asnym  podję to  w  pracy  A.  G AJEWSKIEG O  [6], w  której  przedstawiono  przybliż one rozwią zania,  otrzymane metodą  mał ego parametru. Obliczenia  przeprowadzono  przy  wa- runku  wyrównania  naprę ż eń  w  skrajnych  wł óknach belki  oraz  przy  warunku  minimali- zacji  ugię cia  swobodnego  koń ca belki.  Zał oż ono przy tym, że cię ż ar  wł asny  stanowi  mał y uł amek  obcią ż enia  zewnę trznego. W niniejszej  pracy  przedstawimy  rozwią zanie  analogicznego  zagadnienia  optymalizacji kształ tu  belki  wspornikowej,  jednak  otrzymany  warunek  konieczny  istnienia  ekstremum rozwią ż emy  numerycznie  dla  dowolnego  udział u cię ż aru  wł asnego  w  obcią ż eniu  cał kowi- tym. ł )  P raca wykonana  został a w  ramach problemu  wę zł owego  05.12  p t .  „ Wytrzymał ość  i  optymalizacja konstrukcji  maszynowych  i  budowlanych",  koordynowanego  przez  I n stytut  P odstawowych  P roblemów Techniki  Polskiej  Akademii  N auk. 500 M .  ALBIŃ SKA,  A.  G AJEWSKI U wzglę dnimy  również nieliniowość fizyczną   materiał u, zakł adają c nieliniową  zależ ność mię dzy  naprę ż eniem i  odkształ ceniem. Przyję te  dalej  nieliniowe, potę gowe  prawo  fizyczne pozwoli  opisać  materiał y pozostają ce  w  stanie  ustalonego  peł zania  [7], nieliniowe- sprę- ż yste  lub  sprę ż ysto- plastyczne  (bez  odcią ż enia).  W  przypadku  materiał ów peł zają cych, w przyję tym  prawie  fizycznym  symbol  „ e "  oznacza prę dkość  odkształ cenia (e), a  ugię cie koń ca  belki  w(0)  należy  zastą pić  prę dkoś cią   ugię cia  (w). 2.  Sformuł owanie  zagadnienia W  niniejszej  pracy ograniczymy  się  do  rozważ ania  belek  wspornikowych,  o prostoką t- nym  przekroju  poprzecznym, wysokoś ci 2h i szerokoś ci  b,  wykonanych  z  materiał u  nie- jednorodnego,  opisanego  potę gowym  prawem  fizycznym: • liczba  naturalna,(2.1) "~ l (a\   .  da w którym przyję to,  że funkcje:  s o (x)  i   const.,  b  =   b(x)  (zm ienna  szerokoś ć) 2.  b  =  con st.,  h  =   h(x)  (zm ien n a  wysokoś ć) 3.  b(x)  =  ah{x)  (przekroje  powin owate) H =   3/ 2,  v  =  111,  C  = 502  M .  ALBIŃ SKA,  A.  G AI E WSKI 3.  Warunek  konieczny  istnienia  ekstremum  funkcjonał u  ( 2.7) W  celu  znalezienia  kształ tu belki  F(£), minimalizują cego  funkcjonał   (2.7),  przy izo- peryraetrycznym  warunku  ograniczają cym  (2.5),  utworzymy  pomocniczy  funkcjonał : (A t  — mnoż nik  Lagrange'a), i  obliczymy  jego  pierwszą  wariację: (3.2)  <5/* =   C J  ^ p%Z~lr  l"FdM-  (pn + v) MÓF]d£ + X t l f  gdFdt, o  °  .  o Obliczając  wariację  SM ze  wzoru  (2.4): t (3.3)  ÓM =  P f  q(rj)dE( V ) ( |  - v )drj, o podstawiając  ją  do (3.2) i wykonując  cał kowanie przez czę ś ci,  otrzymujemy: i o gdzie: £ 0 i ^l2 są dowolnymi stał ymi. Pierwsza  wariacja  funkcjonał u  (3.1)  jest  zatem  równa  zeru,  gdy  przyjmujemy,  że stał a lo  — 1 °r a z  gdy  speł nione jest równanie: (3-5) * f które stanowi warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonał u (3.1). W  celu  uproszczenia  zapisu,  zmienność  cię ż aru  wł aś ciwego  belki  q(i)  opiszemy za pomocą  pewnej  znanej  bezwymiarowej  funkcji  K(S), moment zginają cy,  pochodzą cy od obcią ż enia zewnę trznego M p ($), za pomocą znanej funkcji  m ( |) , pole powierzchni przekroju za pomocą poszukiwanej  funkcji  0(i),  oraz wprowadzimy  bezwymiarową  stał ą e wedł ug nastę pują cych  zależ noś ci: (3.6)  g  =  q 0 K(£),  M p   =  M pQ m(£),  F te Ą * ( l ),  e  -   l2q 0 Fo(M vQ . OPTYMALN E KSZTAŁTOWANIE 503 Wprowadzają c  wyraż enia  (3.6)  do  równań  (3.5), (2.4), (2.5)  otrzymujemy  odpowiednio: (3.8) (3.9) =   M p 6 j o =  W ,  gdzie: A x —jest  mnoż nikiem  Lagrange'a. Uwikł ane  równanie  cał kowe  (3.7)  i  warunek  izoperymetryczny  (3.9)  pozwalają   na  wyz- naczenie poszukiwanego  kształ tu belki 0(1) i stał ej A u   przy czym rozwią zanie to może być znalezione  tylko  na drodze numerycznej. 4.  N umeryczne rozwią zanie zagadnienia W  celu rozwią zania  zagadnienia posł uż ono  się   metodą   kolejnych  przybliż eń, przedsta- wiają c  równanie  (3.7)  w  postaci: (4- 1)  0(S) -   F[0(S)1, w której  F oznacza pewien znany operator. Zakł adają c  funkcję   0 o ( f)  przybliż enia  zerowego  i podstawiają c  ją   do  prawej  strony równania  (4.1)  otrzymujemy  pierwsze  przybliż enie;  nastę pne  przybliż enia  obliczamy  ze wzoru: (4.2)  *i + i  -   # 0 |( O J ,  i  =   0 , 1 , 2 , . . . , przy czym jako  kryterium zbież noś ci rozwią zania przyjmujemy  nierównoś ć: (4.3) obowią zują cą   dla  każ dej  wartoś ci  f. Ostatecznie  równanie (3.7) przekształ cono do postaci: (4.4)  0 K S)  = limit,) + w  której  przyję to,  że  materiał  belki  jest  wytrzymał oś ciowo  jednorodny  i  ma  stał y cię ż ar wł aś ciwy tzn.: e 0  =  const., a0  =  const., J5T(f) m  1. Równanie to w szczególnym przypadku: 504 M .  ALBIŃ SKA,  A.  G AJEWSKI m(C)  =   £,  ju  — 1,  v  =  0,  n  =   1  przyjmuje  postać  równania  zamieszczonego  w  pracy J.  M.  C herna  [3]. Obliczenia numeryczne przeprowadzono na maszynie CYBER 72; jako  dane wejś ciowe programu  przyjmowano:  1.  bezwymiarowy  cię ż ar  belki  W ,  2.  parametr  e  charaktery- zują cy  udział  cię ż aru  wł asnego  w obcią ż eniu  cał kowitym (e  =  0 — belka  obcią ż ona  tylko sił ami  zewnę trznymi,  E - »  oo —belka  obcią ż ona  tylko  cię ż arem wł asnym), 3. parametr n charakteryzują cy  prawo  fizyczne  (n  =   1  —  materiał  liniowo- sprę ż ysty,  n -> oo —  materiał sztywno- plastyczny),  4. krok  cał kowania: Zlf  (po wykonaniu  testów  dokł adnoś ci  przyję to: Ai  =   0,01).  ' O  0,1  0,2  0.3  0,4  0.5  0.6  0.7  0,8  0,9  1.0 R ys.  2 0,1   0,2   0,3   0,4   0,5   0,6   0,7   0.8   0,9   1,0 Rys.  3 Stosowana  metoda  obliczeń  okazał a  się  wystarczają co  szybko  zbież na,  co  pozwolił o n a  wyznaczenie  poszukiwanego  kształ tu z  dużą  dokł adnoś cią.  Przyjmując  np.  A  =  10~* funkcję  0 ( | )  otrzymano po  oś miu iteracjach; wówczas  czas typowego  przebiegu  nie prze- kraczał   oś miu  minut pracy  procesora centralnego. Obliczenia  wykonano  dla  belki  o  stał ej  wysokoś ci  i  poszukiwanym  sposobie  zmiany szerokoś ci  b(x),  tzn.  dla:  JX  — 1 i v  =  0, obcią ż onej:  1. sił ą  skupioną /1  dział ają cą  na swo- bodnym  koń cu  (rys.  2, 3  i  4) i  2. sił ami rozł oż onymi o  stał ej  intensywnoś ci  p(x)  =  const (rys.  5  i  6).  W  obu  przypadkach  wyznaczono  zależ noś ci  kształ tu  belki  od  parametru n przy ustalonej wartoś ci  e oraz zależ noś ci od parametru e przy ustalonym n. N a  rys.  2  zilustrowano  wpł yw postaci prawa  fizycznego  (wykł adnika  w) na optymalny kształ t  belki  zginanej  sił ą  skupioną  i  cię ż arem  wł asnym.  D la  porównania  na  rysunku zamieszczono  również  kształ t belki  zginanej  wył ą cznie  obcią ż eniem  zewnę trznym; kształ t ten  nie zależy  od postaci prawa  fizycznego  ponieważ minimalizacja ugię cia w punkcie dzia- ł ania  sił y  skupionej  jest  równoważ na  minimalizacji  pracy  sił  wewnę trznych  [6]. Podobny charakter  posiadają  krzywe przedstawione  n a  rys.  3, przy  czym  moż na zauważ yć,  że przy wię kszym udziale cię ż aru wł asnego w  obcią ż eniu cał kowitym wpł yw wykł adnika n w prawie O P T YM ALN E  K SZ T AŁ T O WAN I E 505 O  0.1   0 . 2   0 . 3   0,4   0 . 5   0,6   0 . 7   0.B  0,9   1,0 Rys.  4 O  0.1   0.2   0,3   0,4   0.5   0.5   0.7   C.6   0.9   1,0 R ys.  5 0,1   0,2   0,3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9  1.0 Rys.  6 fizycznym,  na  optymalny  kształ t jest  znacznie  mniejszy.  N a  rys.  4  zamieszczono  wykresy kształ tu optymalnych belek liniowo- sprę ż ystych  (n  =  1) dla róż nych wartoś ci  parametru  e. Uwzglę dnienie  cię ż aru  wł asnego  istotnie  wpł ywa  na  kształ t  optymalny,  przy  czym  wy- kresy  otrzymane dla  wartoś ci  e  >  10 praktycznie  nie róż nią   się   od wykresu dla  e  =  10. Podobny  charakter  mają   rozwią zania  przedstawione  na  rys.  5 i 6, dotyczą ce  belki  ob- cią ż onej  sił ami równomiernie  rozł oż onymi. D la porównania zamieszczono na rys.  5 kształ t belki  liniowo- sprę ż ystej  bez uwzglę dnienia  cię ż aru  wł asnego  (e  =   0). Kształ t ten zależy  od wykł adnika  n  [6], 506  M .  ALBIŃ SJCA,  A.  G AIEWSKI Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  R.  L.  BAR N E TT,  Minimum  Deflection  Design  of  a  Uniformly Accelerating Cantilever Beam,  J.  Appl. M ech.,  30,  (1963),  466—467. 2.  L.  C. W.  D I XO N , Pontryagin's maximum principle applied to  the profile of  a beam,  J. of the Aeronautical Society  71,  (1967),  513—515. 3.  J.  M .  C H E R N ,  Optimal  structural design for  given  deflection in presence of  body forces,  I n t.  J.  Solids Structures,  7,  (1971),  373—382. 4.  R . T .  SH I E LD ,  W.  PRAG ER, Optimal Structural  Design for  Given  Deflection, Z AM P , 4, 21, (1970), 513— 523. 5.  A.  G AJE WSKI ,  Optymalne  kształ towanie belki wspornikowej z  materiał u nieliniowego fizycznie, obcią ż onej cię ż arem  wł asnym, Rozpr, Inż ., 3, 24,  (1976), 453—467. 6.  A.  G AJE WSK I ,  Optymalne  kształ towanie  wytrzymał oś ciowe  w  przypadku  materiał ów o  nieliniowoś ci fi- zycznej,  Zeszyty  N aukowe  Politechniki Krakowskiej,  N r  5,  Kraków,  1975. 4.  Ju. N .  R ABOTN OW,  Poł zuczest  elementów  konstrukcji.  N auka, Moskwa,  1966. P  e  3  IO  M e  , OI 1TH M AJI Ł H OE  O O P M H P O BAH H E KOH COJIfcH OH  EAJIKH   H ATPyjKEH H Ofl: BH E I U H H M H   C H JIAM H   H   COECTBEH H BIM  BECOM   B  yC JI OBH H X OciroBH oń  reM oił   paSoTbi  H BJI JKTC JI  ormiM ajiKiioe  (toopMHpoBaHił e KOH COJIŁH OH   6ajiKH   c  npjiM oyrojib- n on epe^m biM   ce^iesmeM ,  Harpy>KeHHOH  BHeuiHHMH  pacnpe# ejieH H biM H   cmiaM tr,  a Taiofce  CHJiaiwM   OT coScTBeH H oro  Beca.  O6cy>KflaioTcii  6anKH   H3roTOBJieHHBie  H3  iwaTepnajia  H eoRH OpoftH oro  n o conpoTH B- o n a c a H H o r o  cieneH H iiiM   dpH SK 11601011*1  3aK0H0M.  3 T O T  3ai- coH   HBjrsieTCH   cymecrBeHHŁijw  fljui B  COCTOHHMH   ycTaHOBHBiiieHCH   n ojisyqecTH ,  H ejiH H efiH o- ynpynix  «J I H   ynpyro- njiacTH M H tix. B  paG oTe  o6napy> KeH bi  onTH MajiŁH tie  cpopMbi  SajioK  c nepeineHHOH  mapH H OH ,  Harpy>iKe CHuaMK pasH OM epno pacnpeflejiSH H biiwH   c nocTOHHHOH   KHTeHCHBHOcTbio. H ccjiefloBaH O  TaKJKe  BjmHHHe  n oKa3aiejiH   „H"  cren eH H oro  3aKOHa  Ha  onTH manbiibie  (bopmbi. B o n p o c  p ein eH   c  HcnojiB3oBaHH:eM   KJiaccircecKH x  MeTOflOB  Bapnai^iroH H oro  Hc^mcjieiiHiH,  a  pe3yju>TaTbi H yM epH M eaaCc  pacieTOB  m u iwc r p H p o Ba iibi  pa3JHWHWMH   pncyHKaMH. S u m m a r y OP TIM AL  D E SI G N   OF  T H E  CAN TILEVER  BEAM  LOAD ED  BY EXTERN AL  F ORCES AN D   BY ITS  OWN   WEIG H T I N   CREEPIN G   CON D ITION S There was  investigated  t h e optimal design  of th e  cantilever beam with rectangular  cross- section,  loaded by  the  uniformly  distributed  external  forces  and by  its  own weight.  There were taken into account beams of  th e  inhomogeneous  material, described  by  the  power  physical  law.  This  law  works  in the steady  state creep  and for  the materials  non- lineary elastic  and elastic- plastic.  There were  found  the optimal shapes of beams  with varying  width,  loaded  by  the force  acted on the end of  the beam and by the uniformly  distri- buted force with constant intensity.  There was  also  examined the influence of an exponent , , n "  in the power law  on  the  optimal  shape  of  cantilever  beam.  The  problem  was solved on the basis of classical  variational calculus.  The  results  of  numerical  calculations  are  presented  on  numerous  figures. POLITECH N IKA  KRAKOWSKA IN STYTUT FIZYKI Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  12  grudnia 1977  r.