Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16 (1978) M OD E LE  M ATEM ATYCZN E  P ROC ESÓW  D YN AM ICZN YCH  I  STATE C Z N OŚĆ  R U C H U ROMAN   GUTOWSKI  (WARSZAWA) 1. Wstę p Badanie  wł asnoś ci  dynamicznych  ciał   rzeczywistych  moż na  przeprowadzać  doś wiad- czalnie,  lub  teoretycznie.  Badania  doś wiadczalne  przeprowadza  się   na  istnieją cym  ciele rzeczywistym,  lub na jego  modelu, zachowują c  speł nione kryteria  podobień stwa  dynamicz- nego. Badania teoretyczne wymagają   zbudowania  odpowiedniego modehi matematycznego. Skonstruowanie modelu matematycznego procesów  zachodzą cych w ciele  rzeczywistym, wymaga  uprzedniego zbudowania jego modelu fizycznego.  Model fizyczny  nie jest odbiciem rzeczywistoś ci,  lecz aktualnie posiadanej o niej wiedzy  i zawiera  koncepcję   opisu  fizycznego ciał   rzeczywistych,  z  uwzglę dnieniem  strony  iloś ciowej,  przedstawionej  podstawowymi prawami fizyki, wyraż onymi  odpowiednimi formuł ami.  Model fizyczny  ciał a  rzeczywistego powinien  uwzglę dniać  przede  wszystkim  te jego  cechy,  które  mają   decydują cy  wpływ  n a zasady  organizacji  i funkcjonowania  ciał a rzeczywistego,  lub zachodzą cego w nim procesu. Ograniczają c  się   do  ciał  stał ych moż na stwierdzić, że w  chwili obecnej najbardziej  rozpow- szechnione  i  skuteczne  w  praktyce  technicznej  są   modele fizyczne  fenomenologiczne, na- zywane  modelami cią gł ymi  i  dyskretnymi. W  przypadku  modeli fizycznych  cią gł ych, podstawową   rolę   odgrywa  poję cie  elementu, których  ilość  jest  w  modelu  cią gł ym  z  zał oż enia  nieskoń czenie  wielka.  Poję cie  modelu fizycznego  cią gł ego  nie jest jednoznaczne,  zależy  ono  bowiem  w  istotny  sposób  od  cech przypisywanych  samemu elementowi, jak  i od charakteru oddział ywania mię dzy elementami. Czę sto stosowany  schemat przypisuje  elementom cechy  ciał a sztywnego,  oddział ywują cego z  innymi elementami w sposób  opisany  za  pomocą   modeli  Teologicznych,  których zacho- wanie  się  przedstawiają   tak  zwane  konstytutywne  prawa  stanu. Powstaje  tu  od  razu moż- liwość generowania  bogatej  rodziny modeli fizycznych  cią gł ych, typu  sprę ż ystego  Lamego, lub  Cosserat, lepko sprę ż ystych  itd. Dalsze wzbogacenie  modeli  fizycznych  moż na  uzyskać odstę pując  od  koncepcji  elementu  jako  ciał a  sztywnego  i  dopuszczają c  procesy  nawet dynamiczne zachodzą ce wewną trz  elementu. Taka sytuacja  ma na przykł ad miejsce  w przy- padku  oddział ywania  na  ciał o  stał e  obcią ż eń  szybkozmiennych,  o  czę stoś ciach  porówny- walnych z czę stoś ciami drgań atomów w sieci krystalicznej  ciał a. W  przypadku,  gdy  jako  reprezentację   modelu  fizycznego  przyjmujemy  skoń czoną ilość  skoń czonych  elementów,  traktowanych  jako  punkty  materialne,  lub  ciał a  sztywne, wtedy  mamy  do  czynienia  z  modelem fizycznym  dyskretnym,  którego  ostateczna  postać zależy  od  charakteru  wię zów,  to  znaczy  oddział ywań  mię dzy  elementami  i  otoczeniem. D la  każ dego  modelu  fizycznego  moż na  zbudować  szereg  modeli  matematycznych, w zależ noś ci  od przyję tego  wyboru  współ rzę dnych stanu. Pozostają c  w  ramach mechaniki 416  R.  G U TOWSKI n ewton owskiej,  najczę ś ciej  stosowan ym i  m odelam i  m atem atyczn ym i  są   dla  modeli  cią g- ł ych  ró wn an ia  róż n iczkowe  o  poch odn ych  czą stkowych,  bą dź  równ an ia  cał kowe,  bą dź róż n iczkowo  cał kowe,  otrzym an e  ze  skojarzenia  równ ań  otrzym an ych  m etodą   bilansu i  ró wn an ia  kon stytutywn ego  stan u,  zaś  dla  modeli  dyskretn ych  równ an ia  róż niczkowe zwyczajne  otrzym ywan e  za  pomocą , m et o d  m echan iki  an alityczn ej. Pomijają c  szereg szczegół owych  idei zwią zanych  z ogólną   teorią   i praktyką   m odelowan ia fizyczn ego  i m atem atyczn ego  procesów  mechanicznych w ciał ach  stał ych, należy  stwierdzić, że  ba d a n ia  teoretyczn e  uzyskan ego  m odelu  m atem atyczn ego  może  się   odbywać  bą dź  me- t o d a m i  iloś ciowymi  w  sposób  an alityczn y,  lub  num eryczny,  bą dź  m etodam i  jakoś ciowym i. W  dalszych  rozważ an iach  skon cen trujem y  się   n a  jedn ej  z  waż nych,  lecz  czę st.o  niedoce- n ian ych  cech  jakoś ciowych  m odelu  m atem atyczn ego,  t o  znaczy  statecznoś ci,  kt ó ra  dla m odeli  m atem atyczn ych , w  których  wystę puje  czas  jako  param et r  wyróż niony,  n osi  nazwę stateczn oś ci  ru ch u .  D la  procesów  dynam icznych  w  ciał ach  stał ych,  m odel  m atem atyczn y powin ien  zapewn iać  uzyskan ie  informacji  o  zachowan iu  się   ciał a  w  przestrzeni  z  biegiem czasu.  Stateczn oś ć .rozwią zań  jest  jedn ą   z  podstawowych  cech  m odelu  m atem atyczn ego, opisują cego  proces  fizyczny,  po do bn ie  ja k  istnienie  i  jedn ozn aczn ość  rozwią zania,  gdyż decyduje  o n a  o  realizowalnoś ci  procesu  rzeczywistego,  opisywanego  rozważ an ym  m odelem m atem atyczn ym .  T rzeba  stwierdzić,  że  dla  statecznoś ci  ruch u  wprowadzon o  wiele  róż nych poję ć  i  definicji,  a p o n a d t o bad an ia  prowadzi  się   za  pom ocą   niejednolitego  i  róż n orodn ego a p a r a t u  m at em at yczn ego.  Stan t en czę sto  nie uł atwia interpretacji  otrzym an ych  rezultatów, gdyż  ze  wzglę du  na  róż n ice  co  d o  m etody  i  sposobu  przedstawienia,  przeprowadzen ie  ich p o r ó wn a n ia  okazuje  się   w  wielu  przypadkach  t ru dn e.  Spowodował o  to  powstan ie  sytuacji, w  której  poję cie  stateczn oś ci  ruch u  przestał o  być  jedn ozn aczn e  i  p o d  poję ciem  tym  kryją się   róż n e,  czę sto  przeciwstawne  wł asnoś ci  rozwią zań  m odelu  m atem atyczn ego.  W  niniej- szych  rozważ an iach  przedstawion e  zostaną   gł ówne  istnieją ce  poję cia  statecznoś ci  i  kie- r u n ki  ich rozwoju,  zarówn o  dla m odeli dyskretn ych ja k  i cią gł ych, z uwzglę dnieniem  szeregu waż n ych  i  istotn ych  róż n ic  m ię dzy  n im i. 2.  Podstawowe  poję cia  teorii  statecznoś ci  ruchu.  Rodzaje  statecznoś ci  ruchu  ukł adów  dyskretnych R ozważ my  ukł ad  m aterialn y,  bę dą cy  bą dź  w  stan ie  równ owagi,  bą dź  w  stan ie  pewnego ru ch u .  R ozwią zan ie  otrzym an e  n a  podstawie  m odelu  m atem atyczn ego,  opisują cego  roz- waż any  u kł ad  m aterialn y,  zapewniają ce  uzyskanie  informacji  o  zachowan iu- się   ukł adu w  przestrzen i  z  biegiem  czasu,  bę dziemy  w  dalszym  cią gu  nazywali  procesem . O góln ie  rzecz  biorą c,  n a  podstawie  intuicji,  statecznoś cią   procesu  bę dziemy  nazywali wł asn ość  zach owywan ia  przez  m odel  m atem atyczn y  dan ego  procesu,  przy  dział an iu m ał ych  zabu rzeń ,  lu b  inaczej  n iepo dat n o ść  n a  m ał e  zaburzen ia,  których  n ie  uwzglę dnia się   przy  wyprowadzan iu  równ ań ruch u u kł adu . Spodziewamy  się   wtedy, że ukł ad  m aterialn y bę dzie  m iał   zdoln ość  d o  zachowywan ia  wykonywanego  ruch u,  lub  poł oż en ia  równowagi przy  oddział ywan iu  m ał ych  zaburzeń .  Jeż eli  rozważ any  proces  ulega  unicestwieniu  n awet p o d  wpł ywem  dowoln ie  mał ych zaburzeń ,  wtedy  nazywamy  go  niestatecznym.  P roces nie- stateczn y  jest  n ieobserwowaln y,  t o  znaczy  n ie  dają   się   zrealizować  w  rzeczywistoś ci,  czyli inaczej  m ówią c  nie  wystę puje  w  przyrodzie. M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  P R O C E SÓ W  417 Przy badaniu teoretycznym dowolnego  rzeczywistego  zjawiska,  pomijamy  drugorzę dne czynniki  i  budujemy  model  fizyczny  i  matematyczny,  bę dą cy  naszym  przybliż onym  wy- obraż eniem  o  tym  zjawisku.  Opierają c  się   o ten model, konstruujemy  nowe  modele  tego zjawiska,  lub  nawet  modele  innych  zjawisk.  Powstaje  pytanie,  czy  utworzone  przez  nas nowe  procesy  moż na  zrealizować  w  rzeczywistoś ci. Otóż jeś li  są   one stateczne, to moż liwość  taka, przynajmniej  teoretycznie  istnieje.  Jeś li zaś  ulegają   one  likwidacji  pod  wpływem  mał ych  zaburzeń  odzwierciedlają cych  warunki rzeczywiste,  to  są   one niestateczne i nierealizowalne  w  rzeczywistoś ci.  • Z  tego  wzglę du,  warunkiem  koniecznym  realizacji  idealnych  procesów  jest,  aby  od- powiadają cy  im  model  matematyczny  czynił   zadość  tak  zwanej  zasadzie  statecznoś ci, obejmują cej  istnienie, jednoznaczność i stateczność jego  rozwią zań  pod wpł ywem  mał ych zaburzeń. N ależy  rozróż niać stateczność wzglę dem  dowolnie  mał ych  zaburzeń, decydują cą   o mo- ż liwoś ci,  zrealizowania  procesu  w  rzeczywistoś ci  i  stateczność  wzglę dem  dowolnych  za- burzeń,  zwią zaną   z  oszacowaniem  odchylenia  procesu,  od  pewnego  procesu  idealnego, niezaburzonego.  Jednakże  badanie  zachowania  się   procesu  idealnego  przy  wię kszych zaburzeniach  ma znaczenie tylko  wtedy,  gdy jest  on stateczny  wzglę dem  dowolnie  mał ych zaburzeń, to znaczy,  gdy jest  on  obserwowalny  w przyrodzie.  Zarówno jedna jak  i  druga statecznoś ć,  mają   podstawowe  znaczenie  przy  projektowaniu  nowych  obiektów,  gdyż pozwalają   one  na  prognozowanie,  czyli  przewidywanie  zachowania  się   obiektu  podczas eksploatacji. Z  powyż szych  rozważ ań  wynika,  że  poję ciu  statecznoś ci  został   nadany  wyraź nie  sens matematyczny,  dotyczą cy  wł asnoś ci  modelu  matematycznego,  a  nie  fizyczny,  dotyczą cy zjawiska  rzeczywistego.  W  tym  rozumieniu  poję cie  statecznoś ci  nie  stosuje  się   do  zjawisk rzeczywistych.  Stwierdzenie,  że  rzeczywiste  zjawisko  fizyczne  jest  stateczne  lub  nie, jest w  powyż szym  znaczeniu  pozbawione  sensu.  W  wię kszoś ci  istnieją cych  sformuł owań badanie  statecznoś ci  wymaga  bowiem: 1)  Porównywania  jednocześ nie  wystę pują cego  zbioru  procesów  zaburzonych  z  procesem idealnym,  niezaburzonym. 2)  U stalenia  sposobu  mierzenia  odległ oś ci  mię dzy  jednocześ nie  wystę pują cymi  proce- sami, zarówno w stanie począ tkowym jak  i dowolnym. 3)  Okreś lenia  warunków,  którym  muszą   czynić  zadość  te odległ oś ci. Realizacja  tych  wymagań  nie jest  moż liwa  w  przypadku  zjawiska  rzeczywistego,  które odbywa  się   w sposób  jednorazowy. Chcą c sprecyzować  lepiej  poję cie  statecznoś ci, trzeba brać pod uwagę  specyficzne  cechy zjawiska,  które ma  opisywać  model matematyczny.  Może to  mieć istotny  wpł yw  n a  osta- teczne  ś cisłe zdefiniowanie  poję cia  statecznoś ci.  Poję cie  statecznoś ci  nie jest  bowiem  po- ję ciem  właś ciwym  dla  fizyki  jakiegoś  zjawiska,  lecz  podlega  zdefiniowaniu,  w  zależ noś ci od tego, jakich  cech ż ą damy  od modelu matematycznego opisują cego  zjawisko. Podamy  teraz  najważ niejsze  definicje  statecznoś ci  ruchu  zaburzonego,  które  został y zdefiniowane  dla  potrzeb  badania  róż nych  wł asnoś ci  modeli  matematycznych  ukł adów dyskretnych. 418 R .  G U TOWSKI 0 ) 2.1.  Stateczność w  sensie  Lapunowa. Rozważ my  równanie  ruchu  zaburzonego  w  postaci dx dt =  f(t,x),  x(t o )=x o , gdzie  x  =  col  [x,,  . . . , x„],  f  =   col  [/ i,  . . . / „ ] .  Z akł adamy, że  funkcja  /   speł nia  dowolne zał oż en ia,  zapewniają ce  istnienie  i  jednoznaczność  równania  (1)  w  pewnym  przedziale (a,  oo). D efinicja.  Rozwią zanie  £   =   C(t)  równania  (1)  jest  stateczne  w  sensie  Lapunowa przy  r - >  oo, jeś li  dla  dowolnego  e  >  O  i  t 0   e  (a,  oo) istnieje  takie  r)(e, t 0 )  >  O, że 1)  Wszystkie rozwią zania  x  =  x(t)  równania  (1) wł ą cznie z C(t) speł niają ce  warunek (2)  \ \ x(t o )- ł ;(t 0 )\ \   <  rj, są  okreś lone  w [t 0 ,  oo], lub jak  niekiedy mówimy, są  okreś lone  w przyszł oś ci 2)  D la  rozwią zań  tych  zachodzi  nierówność (3)  ' Jeś li po n ad t o jest (4) wtedy  rozwią zanie  £ (/ ) jest  asyraptotycznie  stateczne. R ys.  1 Rys.  2 Inaczej  mówią c, rozwią zanie  C(?) jest stateczne, jeś li rozwią zanie  *(/ ) dostatecznie bliskie niego  dla  t  =  t 0 ,  leży  cał kowicie  w  dowolnie  wą skim  e —  otoczeniu, zbudowanym  wokół rozwią zania  %(t). G dy  f(t,  0)  =   O  wtedy  równanie  ( ł ) ma rozwią zanie  zerowe  Ł ,  — O, zwane poł oż eniem równowagi.  D efinicję  statecznoś ci  tego  rozwią zania  zerowego  otrzymujemy,  kł adą c w  (2), (3), (4), C(t 0 )  =   O i ą (t)  =   0. Jeś li r\   m oż na dobrać niezależ nie od t 0 ,  to znaczy jest ij  =   ł j(e), to stateczność nazywamy jedn ostajn ą. N ależy  zaznaczyć,  że  ze  statecznoś ci  rozwią zania  niezerowego  Ę (t)  równania  (1)  nie wynika  jego  ograniczoność  i na  odwót. P rzedstawion a  definicja  statecznoś ci  w sensie  Lapunowa, obejmuje  przypadek  klasycz- ny,  podstawowy,  statecznoś ci  wzglę dem  zaburzeń  tylko  wartoś ci  począ tkowych.  M oż na rozważ ać  również  stateczność  przy  mał ych  zaburzeniach  samej  postaci  równania  (1),  to znaczy  przy  mał ych  zm ianach  funkcji  f(t,  x),  wystę pują cej  po  prawej  stronie  równania 420  R-   G U TOWSKI 1)  Każ de  rozwią zanie  x(t;  t 0 ,  x 0 )  moż na  nieograniczenie  przedł uż yć w  prawo,  to  znaczy ma  on o sens  w  [t 0 ,  oo), czyli jest  ono okreś lone w przyszł oś ci 2)  N orm a  każ dego rozwią zania  x(t;  t 0 ,  - £0) jest ograniczona w [t0,  oo) (8)  *  \ \ x(t;t Q ,  x o )\ \   «S M(t o ,x o )  =   con st  <  co,  t  e  [t 0 ,  co). Z  definicji  tej  jest  widoczne,  że  stateczność  w  sensie  Lapunowa  i  w  sensie  Lagrange'a róż nią  się  w  istotny  sposób.  Istotnie stateczność w  sensie  Lapunowa  dla  równań  nielinio- wych  jest  zindywidualizowana,  to  znaczy  jedne  rozwią zania  mogą  być  stateczne  w  sensie Lapun owa,  a  inne  n ie.  N atom iast  stateczność  w  sensie  Lagrange'a,  dotyczy  wł asnoś ci obejmują cej  wszystkie  rozwią zania  równania  nieliniowego,  a  więc  dotyczy  ukł adu,  a  nie indywidualnych  rozwią zań.  N astę pnie rozwią zania  stateczne  w  sensie  Lapunowa  dla  rów- n an ia  (1)  nie  muszą  być  ograniczone,  co  stanowi  drugą  podstawową  róż nicę,  mię dzy statecznoś cią  w  sensie  Lapunowa  i  Lagrange'a.  Widać  wię c,  że  ukł ad  stateczny  w  sensie Lapun owa  może  być  niestateczny  w  sensie  Lagrange'a  i  n a  odwrót.  Poję cia  obu  tych statecznoś ci  są  równoważ ne  tylko  wtedy,  gdy  ukł ad  (1) ma  rozwią zania  Ę (t) ograniczone, które  są  globalnie  asymptotycznie  stateczne w  sensie  Lapunowa, to  znaczy  wzglę dem  do- wolnych  zaburzeń  wartoś ci  począ tkowych.  Wtedy  ukł ad  (1) jest  też  stateczny  w  sensie Lagran ge'a.  Również  wszystkie  ukł ady liniowe  jednorodne, stateczne  w  sensie  Lapunowa, są  stateczne  w  sensie  Lagrange'a  i  na  odwrót. 2.3.  Stateczność orbitalna.  Rozważ my  równanie  róż niczkowe  nieliniowe  autonomiczne (9)  •   ^ r = / ( * } '  * ( f°) =  *o. Z akł adam y,  że  funkcja  /   speł nia  warunki,  zapewniają ce  istnienie  i  jednoznaczność rozwią zań  równania  (9) w rozważ anym  obszarze  współ rzę dnych stanu  x. N iech  x  =   x(t)  bę dzie  rozwią zaniem  równania  (9). Z biór punktów  L wn  wymiarowej przestrzeni  euklidesowej  E",  tworzą cych  rozwią zanie  równania  (9),  bę dziemy  nazywali trajektorią  rozwią zania. Odległ ość  pun ktu  z  e E£  od  zbioru  L   zawartego  w  tej  przestrzeni  okreś lamy  nastę- pują co (10) xeL N iekiedy  dogodnie  jest  dla  rozwią zania  x  — x(t)  rozważ ać  zbiór  punktów  £ +   w  E", odpowiadają cych  wartoś ciom  param etrów  t 0   ^  t  <  oo.  Z biór  ten  nazywamy  pół trajek- torią  dodatn ią  (analogicznie  okreś lamy  póltrajektorię  ujemną  I r ) . D efinicja.  Rozwią zanie  C  =   £(?) równania  (9)  nazywamy  orbitał nie  statecznym  przy t  - *  co, jeś li  dodatnie pół trajektorie L +  wszystkich rozwią zań,  które w chwili  t 0   są  dostate- cznie  bliskie  rozwią zania  C(/ ) są  przez  cał y  czas  te  [t 0 ,  oo)  zawarte  w  dowolnie  mał ym e —  otczeniu  dodatniej  póltrajektorii  IĄ  rozwią zania  C(t). Inaczej mówią c, dla dowolnego  e  >  0 istnieje r](s,  t 0 )  >  0 takie, że jeś li  \ \ x(t o - C(t o )\ \   < <  rj  t o  e(x(t),  L i)  «£  e  dla  /  ^  t Q . Jeś li  pon adt o  g(x(/ ), L J )  - * 0 przy  t  -> co  to  rozwią zanie  C(t)  nazywamy  asympto- tycznie  orbitał n ie  statecznym. M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  P R O C E SÓ W 421 G dy  n a  przykł ad  L i  jest  zam kn ię tą   asym ptotyczn ie  orbitaln ie  stateczn ą   trajektorią , to  trajektorie  L +  dostateczn ie bliskie  niej  w  chwili  t  =  t 0 ,  nawijają   się   n a  n ią   przy  t  - »  co. Jeś li  rozwią zanie  Ę (t)  jest  stateczn e  w  sensie  L ap u n o wa,  t o  wyn ika  stą d  równ ież  st a- teczność  orbitaln a  tego  rozwią zan ia,  lecz  nie  n a  odwrót. Rys.  3 2.4.  Poję cie  o statecznoś ci  w  sensie  Poissona.  R ozważ my  ru c h u  p u n kt u  n a  powierzch n i torusa.  N iech  ruch ten  opisują   równ an ia  róż n iczkowe dtp  dd dt  '  dtOD cc =   con st  >  0. Trajektorie  pu n kt u A  n a  torusie  otrzym ujem y  z  ró wn an ia  róż n iczkowego (12)  - r̂=« Rys.  4 Każ dą   z  trajektorii  n a  torusie,  otrzym ujem y  z  trajektorii  podstawowej  cp =    0 on an iu 422  R-   G U TOWSKI jest  liczbą   n iewym iern ą ,  to  liczby  (na)  dla  n  — 1,2,3,  ...,  tworzą   zbiór  wszę dzie  gę sty w  przedziale  [0,1]. T rajekt o ria  cp  =   a.6  wychodzą ca  z  p u n kt u  ( 0, 0) wykonuje  kilka  zwitek  i przecin a  rów- ( 9  \ d  =  , ę   =   2n\   róż nym  od wyjś ciowego,  n astę pn ie p o  wyb kilku  zwitek,  przecin a  równ ik    0,  wię c  dla  każ dego  otoczen ia p u n kt u  (0,0) istnieje  t  >  t 0   takie, że p u n kt reprezentują cy  A(8  =   t,cp  =   at)  należy  do  tego otoczen ia.  M ówią c  potoczn ie  rozważ any  ruch  m a  t ę   wł asnoś ć,  że  p u n kt  reprezentują cy O  p o wrac a  n ieskoń czen ie  wiele  razy  w  każ de  otoczenie  p u n kt u  (0, 0),  m im o  że  m oże w  m ię dzyczasie  zn aczn ie  oddalić  się   od  tego  pun ktu. Wł asność t a  nazywa  się   statecznoś cią r u c h u  w  sensie  P oisson a  i  jest  t o  rodzaj  statecznoś ci  odm iennej  od  statecznoś ci  w  sensie L ap u n o wa,  Lagran ge'a  i  statecznoś ci  orbitaln ej.  Stateczn ość  w  sensie  P oisson a,  znajduje zast o so wan ie  mię dzy  in n ym i  przy  badan iu  wł asnoś ci  ruchów  okresowych  i prawie  okreso- wych. 2.5.  Stateczność techniczna.  R ozważ my  równ an ie  róż n iczkowe  w  postaci (15)  ~  =   F(t,  z)+F(t,  z),  z(t 0 )  =   z 0   =   x 0 Z a kł a d a m y,  że  fu n kc je /   i F  speł niają   warun ki,  zapewniają ce  istnienie i jedn ozn aczn ość ro zwią zań  rozważ an ych  równ ań  w  skoń czon ym  obszarze t o ^ t^ T ,  ||*||  <  H,  \ \ z\ \   ^   H P o n a d t o  n i e c h / ( / ,  0)  =   0, F(t 0   z 0 )  =   0. F un kcja F(t,  z) m oże być praktyczn ie n iezn an a, lecz  za kł a d a m y,  że  zn an e  jest  oszacowan ie  tej  funkcji  oraz  wartoś ci  począ tkowych  z 0 (16)  ||«oll  <  «J,  \ \ F(t,  z)\ \  <  I\ t)  dla  t 0   <  /  <  T . W  szczególn ym  p rzyp ad ku  m oże  być  F(t)  —y  — con st. M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  P R OC E SÓW  423 D efinicja:  N iech z =  z(t; t 0 ,  z 0 )  przedstawia  wszystkie  ruchy  opisan e  ró wn an iem  (15), speł niają ce  warun ek  począ tkowy  z(t 0 )  =  z 0   i  ogran iczen ia (16). Jeś li (17)  \ \ z(t; t t (w  szczególnym  przypadku  m oże  być  A(t)  =   X — con st),  to  proces  x(t;  t 0 ,  x 0 ),  czyli rozwią zanie  równ an ia  (14) nazywamy  stateczn ym  techn iczn ie,  wzglę dem  wartoś ci  ogra- n iczeń  z%, F(t),  A(t). P roces  x(t; t 0 ,  x 0 )  nazywam y  niestatecznym  techn iczn ie  wzglę dem  tych  ogran iczeń , jeś li  dla t 0   ^  t  <   T , chociaż by jed n o  z rozwią zań  z(t; t 0 ,  z 0 )  nie  speł n ia  n ierówn oś ci  (17), co  najmniej  w  jedn ej  chwili  z  przedział u  t 0   ^   t  ^   T . Rys.  5 I stotn ą   sprawą   w  tak rozum ian ym  poję ciu  stateczn oś ci  jest  t o ,  że wartoś ci  z$ i  A(t) (lub  X = con st.)  obiera  się   jeden  raz dla dan ego  zagadn ien ia,  n iezależ n ie  od siebie  oraz, że  ż ą dane  wł asnoś ci  mają   m ieć  miejsce  w skoń czon ym  przedziale  czasu  t 0   <  t  <  T , gdzie wartość  T   obieram y  równ ież  jeden  raz dla  dan ego  zagadn ien ia. P orówn ują c  rozważ aną   stateczn ość  techniczną   na przykł ad  ze  stateczn oś cią   w  sensie Lapun owa  stwierdzamy,  że w tej ostatniej  dla każ dego  obszaru  Q A   m usiał   istn ieć  obszar i2*o  t a k i ,  aby  startują ce  z  n iego  rozwią zanie  pozostawał o  stale  (T  =   oo) w  obszarze  Q A . W  stosun ku  d o stateczn oś ci  w  sensie  Lapun owa,  stateczn ość  tech n iczn a  m a zł agodzon e warun ki,  bardziej  przystosowan e  do potrzeb  p rakt yki. 2.6.  Ogólne  uwagi o niektórych  innych  rodzajach  statecznoś ci.  W  powyż szych  rozważ an iach przedstawionych  został o kilka  poję ć  statecznoś ci  ruch u, przy  czym  poję cia  te są  odm ien n e, zatem  przy  badan iu  statecznoś ci  ruch u  trzeba  wyraź n ie  sprecyzować,  ja k a  stateczn ość podlega  badan iu.  Oprócz  wymienionych  wyż ej  rodzajów  stateczn oś ci  ru ch u ,  istnieją liczne  ich modyfikacje  oraz  in n e jeszcze  poję cia  stateczn oś ci  ruch u,  odm ien n e  od  rozwa- ż anych  wyż ej.  D o ko n an ie system atycznego  i  wyczerpują cego  przeglą du  istnieją cych  obec- nie  poję ć  statecznoś ci,  przekroczył oby  ram y  niniejszych  rozważ ań. Omówimy  tylko  ogóln ie  jeszcze  jed n o  poję cie,  kt ó r e  czę sto  n osi  n azwę   wraż liwoś ci wł asnoś ci  rozwią zań,  n a zm ian y  strukturaln o- m odelowe. Aby  objaś nić  t o poję cie,  posł u- ż ymy  się   przykł adem  trzech  ró wn ań  róż n iczkowych  w  postaci (18)  x+Px+a2sinx  =  0, (19)  x+p x+a 2 x  =  0, (20) 424  R.  G U TOWSKI R ó wn a n ia  (19) i (20) m oż na  uważ ać  za  modele zastę pcze, uproszczon e, powstał e w  wy- n iku  zabu rzen ia  m odelu  wyjś ciowego  (18),  czyli  zaburzen ia  struktury  ukł adu.  R ówn ież ró wn an ia  (18) i  (19)  m o ż na  uważ ać  za  m odele  zastę pcze  wzbogacon e,  powstał e w  wyniku zabu rzen ia  m odelu  wyjś ciowego  (20).  Z aburzen iom  tego  typu  towarzyszy  modyfikacja r ó wn a n ia  róż n iczkowego,  czyli  m odelu  m atem atyczn ego  opisują cego  dan e  zjawisko. Z  fizycznego  p u n kt u  widzenia  modyfikacje  takie  są  uzasadn ion e, jeś li  zmiany  równ an ia róż n iczkowego,  polegają ce  na doł ą czan iu  lub odł ą czaniu  m ał ych  skł adników  równ an ia róż n iczkowego,  pocią gają  za  sobą  m ał e  zmiany  rozwią zania.  P rzypuszczam y  zwykle, że  t a k  jest,  opierając  się n a intuicji  fizycznej,  jedn akże  przypuszczenie  takie  n ie  zawsze jest  prawdziwe,  zwł aszcza  dla  procesów  dł ugotrwał ych, gdyż  m ał e  zmiany  równ an ia  róż- n iczkowego,  m ogą  w  istotny  sposób  wpł ywać  n a zachowan ie  się rozwią zan ia.  Jeś li n a przykł ad  oscylacyjność  rozwią zań jest n adrzę dną cechą jakoś ciową, którą chcemy zach ować m odyfikując  m odel  m atem atyczn y,  to  równ an ia  (18),  (19) i (20) moż emy  uzn ać za  równ o- waż ne  n a  przykł ad  d la  mał ych /? > 0. G dy  cechą  n adrzę dną jest  okresowość  rozwią zan ia, to  m odel  (20)  czyni  tem u  zadoś ć,  n atom iast  m odele  (18)  i  (19) już nie. P owstaje  więc  zagadn ien ie  wyodrę bn ien ia  klas  równ oważ n ych  równ ań  róż n iczkowych, w  sensie  zach owan ia  pewn ej  wł asnoś ci, lub pewnego  zespoł u wł asnoś ci W.  Jest  to zagadn ie- nie  wraż liwoś ci  st ru kt u raln o  m odelowej,  nazywanej  równ ież , stateczn oś cią  w sensie  Bel- lm an a,  polegają ce  n a  tym ,  aby  przy  zastą pieniu  jedn ego  m odelu  m atem atyczn ego  innym , wyróż n iane  wł asnoś ci  u kł a du nie  zmieniał y się  w  istotny  sposób  i znajdował y  się  w  zasię gu naszej  ko n t ro li.  Wraż liwość  m oże  dotyczyć  nie  tylko  zespoł u W wł asnoś ci  jakoś ciowych, lecz  równ ież  zm ian  iloś ciowych  pewn ych  wielkoś ci  jak  n a  przykł ad  zm iany  wartoś ci  roz- wią zan ia,  cał kowitej  energii  u kł adu,  funkcji  celu  w  procesach  optym aln ych  itp. Jedn ym  z warian t ó w  zagadn ien ia  wraż liwoś ci  nabierają cych  ostatn io  coraz  wię kszego zn aczen ia  prakt yczn ego ,  jest  zagadn ien ie  wraż liwoś ci  iloś ciowej  rozwią zan ia  n a zm ian ę p a r a m et r ó w,  kt ó re  przedstawim y  poglą dowo  w sposób  nastę pują cy.  N iech m odel m atem a- tyczn y  pewn ego  zjawiska  fizycznego  bę dzie  opisywany  równ an iem  róż niczkowym  w  pos- taci (21)  0  -   'x- / (t,  x, x, c) =  0,  x(t 0 ) = x 0 ,  x(t 0 )  =   x 0 . R ozwią zan ie  równ an ia  (21)  bę dziemy  uważ ali  za zn an e.  Z agadn ien iem ,  które  chcemy zbad ać , jest  wraż liwość  rozwią zan ia  x(t, c) n a  zm ianę param et ru  c, to  znaczy  zm ian a  tego rozwią zan ia,  gdy  param et r c zm ieni  się  o wartość  Ac.  W tym  celu  wprowadzam y  funkcję wraż liwoś ci  w  postaci ,  .  x(t,c+Ac)- x(t,c)  8u (22)  u(t,  c)  =  h m  —  —  =   - - . AC- Ô  Ac  dc N a  podst awie  zwią zku  (22)  m am y  przybliż oną  zależ ność (23)  x(t, c+Ac)- x(t,  c) £   u(t,  c)Ac. Jeś li  więc  wyznaczym y,  lub  oszacujemy  funkcję  «(/ ,  c),  wtedy  n a  mocy  (23)  m oż emy wyzn aczyć  w przybliż en iu,  lub  oszacować  zm ianę funkcji  x{t, c)  wynikł ą  wskutek  zm ian y p a r a m e t r u  c o wartość  Ac. M o ż na  równ ież  sformuł ować  zadan ie  odwrotn e,  wyznaczenia t akiej  zm ian y Ac p a r a m et r u c,  aby  odchylenie  rozwią zan ia  x(t, c) powstał e p o d  wpł ywem tej  zm ian y,  n ie  przekroczył o  z  góry  ż ą danej  wartoś ci. M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  P R OC E SÓW  425 Równanie  róż niczkowe  dla  funkcji  u(t,c)  otrzymujemy,  róż niczkując  równanie  (21) wzglę dem  parametru  c 80  80  dx  8f  8x_  8f  3x*  df  _ dc  8x  dc  8x  dc  8x'dc  dc Stą d  mamy ..  df  .  df  df v   dx  CX  dc Ponieważ  rozwią zanie  x(t,  c)  uważ amy  za  znane,  wię c  znane  są   również  funkcje ,  ,  3f  ..  .  df  .  ,  df (X\ l,  C  I  —  r,  •   > \ J W,  Cl  —  ——  , V\ l  , C)  —  ~ 7 T~ ł dx  dx  dc Równanie  (24)  przybiera  wię c  postać (25)  u+a(t,  c)u + P(t,  c)u  =  y(t,ć ). Zwróć my  uwagę   n a  to,  że  dla  równania  nieliniowego  (21)  równanie  róż niczkowe wraż liwoś ci  (25)  okazuje  się   liniowym  równaniem  róż niczkowym  o  zmiennych  współ czyn- nikach.  Waż nym  praktycznie  przypadkiem  rozważ anego  zagadnienia,  jest  wraż liwość równania  róż niczkowego  o  stał ych  współ czynnikach,  n a  zmiany  współ czynników  rów- n an ia.  N iech  równanie  (21)  ma  na  przykł ad  postać <26)  x+ax+bx  =f(t). Chcemy  zbadać wraż liwość rozwią zań  tego  równania,  n a  zmianę  współ czynnika  n a  przyk- ł ad  b,  który  w  rozważ anym  teraz  przypadku  odgrywa  rolę   param etru  c.  Róż niczkując równanie  (26)  wzglę dem  param etru  b,  otrzymujemy  n a  mocy  (22)  (dla  b  — c) (27)  u+au  + bu  =   — x. Równanie  róż niczkowe  wraż liwoś ci  ma  wię c  taką   samą   postać  ja k  równanie  (26), lecz  po prawej  stronie  wystę puje  ten  skł adnik  równania  (ze znakiem  minus), który  w  rów- n an iu  wyjś ciowym  (26)  wystę pował   wraz  ze  współ czynnikiem  b. Rezultaty  badan ia  wraż liwoś ci  n a  zmiany  współ czynników  równań  liniowych  są   os- tatn io  z  powodzeniem  stosowane  przy  pewnym  rodzaju  syntezy  ukł adów  mechanicznych i  elektrycznych,  zwanym  zagadnieniem  modyfikacji  ukł adu. Spoś ród  omówionych  rodzajów  statecznoś ci  ukł adów  dyskretnych,  dla  wię kszoś ci potrzeb  wystę pują cych  w  zastosowaniach  technicznych,  najlepiej  przystosowana  jest  sta- teczność  techniczna.  Poję cie  statecznoś ci  w  sensie  Lapunowa,  zawiera  niejednokrotnie zbyt  ostre  wymagania  w  stosunku  do  potrzeb  techniki  w  chwili  obecnej,  m im o  tego  sta- teczność ta jest w technice szeroko  stosowana,  ze wzglę du na  najlepiej  opracowan e  metody jej  badania.  Poję cie  statecznoś ci  w  sensie  Lagrange'a  jest  bez  modyfikacji,  z  p u n kt u  wi- dzenia  potrzeb  technicznych  zbyt  szerokie,  ze wzglę du  n a  dowolność  stał ej,  ograniczają cej rozwią zanie  modelu  matematycznego.  N iedogodnoś ci  powstają ce  przy  stosowaniu  róż- nych  poję ć  statecznoś ci  w  technice,  został y  w  znacznej  mierze  usunię te,  przez  wprowa- dzenie  poję cia  statecznoś ci  technicznej,  odpowiadają cej  najbliż ej  potrzebom  techniki. N ależy zaznaczyć,  że metody  badan ia róż nego  rodzaju  statecznoś ci, wywodzą   się  w  du- ż ym  zakresie  z  metod  opracowanych  dla  badan ia  statecznoś ci  w  sensie  Lapun owa.  Tak 426  R.  G U TOWSKI więc  stosowan ie  m etod  badan ia  statecznoś ci  za pomocą  tak zwanych  funkcjonał ów  La- pu n o wa, nie oznacza zawsze, że badan a jest stateczność w sensie  Lapunowa. Z tego wzglę du zaznajom ienie  się z  m etodam i  badan ia  statecznoś ci  róż nego  rodzaju,  celowe  jest  rozpo- czyn ać  od  m etod,  opracowanych  dla  statecznoś ci  w  sensie  Lapunowa. 3.  Podstawowe  róż nice  mię dzy  statecznoś cią  modeli  matematycznych  ukł adów  dyskretnych  i  cią gł ych N o r m a  stosowan a  w  definicjach  o  statecznoś ci  (na przykł ad  w  sensie  Lapunowa) m odeli m atem atycznych uł adów dyskretnych,  jest miarą odległ oś ci mię dzy  rozwią zaniami, mię dzy  innym i  rozwią zań  x(t)  od rozwią zania  idealnego,  niezaburzonego  § =  0. Istotną sprawą  jest fakt,  że n orm y w przestrzeniach o skoń czonej  iloś ci  wymiarów  są topologicznie równ oważ n e.  Inaczej  mówią c, jeś li  dla równania  róż niczkowego  zwyczajnego,  opisują cego tikł ad  o  skoń czonej  iloś ci  stopni  swobody,  stwierdzimy  stateczność  rozwią zania  n a  przyk- ł ad  £  =  0  wzglę dem  pewnej  normy,  to jest  ono stateczne  również  wzglę dem  dowolnej in n ej  n orm y.  N atom iast wł asność ta nie  ma na ogół   miejsca,  w przypadku  nieskoń czonej iloś ci  współ rzę dnych  stanu, co odgrywa  zasadniczą  rolę  w sformuł owaniu  i badaniu sta- tecznoś ci  rozwią zań  równań o pochodnych czą stkowych,  opisują cych  dynamikę  oś rodków cią gł ych.  P roces opisiiją cy  zachowanie  się oś rodka  cią gł ego, może być  stateczny  wzglę dem jedn ej  norm y,  zaś  wzglę dem  innej  niestateczny. D rugą  waż ną  okolicznoś cią,  którą  trzeba  brać  pod uwagę  przy  badaniu  statecznoś ci jest  fakt,  że w  przypadku  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  opisują cych  ukł ady dys- kretn e,  wartoś ci  począ tkowe  są  liczbami,  zaś istnienie  i  jednoznaczność  rozwią zania  są zależ ne  tylko  od regularnoś ci  prawej  strony  / ( / , x) równania  róż niczkowego  j(l). W przy- padku  równ ań  róż niczkowych  o  pochodnych  czą stkowych,  opisują cych  ruch  ukł adów cią gł ych,  wartoś ci  począ tkowe  są na ogół  funkcjami.  Istnienie i jednoznaczność oraz  ogra- niczoność  rozwią zań  zależ ą ,  wtedy' nie  tylko  od regularnoś ci  samego  równania,  lecz rów- nież  od  regularnoś ci  funkcji  przedstawiają cych  wartoś ci  począ tkowe. Rozważ my  bliż ej  to zagadnienie  n a przykł adzie  równania  liniowego  typu  hiperbolicz- nego  drugiego  rzę du,  opisują cego  drgania  poprzeczne  struny  lub  podł uż ne  prę ta. (28)  - g L ^ - g i,  0 < x < / ,  * > 0 . N iech  warun ki  brzegowe  mają  postać (29)  u ( 0, O - O.  «( / , 0 - 0. Zakł adamy,  że  warunki  począ tkowe  mają  postać (30)  u(x, 0) .  ,»(*),  - M ^ -   =   f(x). Stosując  formalnie  metodę  rozdzielenia  zmiennych,  moż emy  rozwią zanie  zagadnienia przedstawić  w  postaci 00 / mi  •   _  . mi \ . nn, . , .  ,  .  VI  .  ,  Vi  /   ,  mi  _  .  mi  \   .  nn (31)  u(x, t) =  2J  ll«(x' 0  =  2J  [An0os- ~pat + B n sm- Y- at\  sm- j- x. n = l  ^ M O D E L E  M ATEM ATYC Z N E  P R O C E SÓ W  427 F un kcja  t a  speł nia  warun ki  brzegowe  (29).  Waru n ki  począ tkowe  przedstawiam y w  postaci co u{x,  0)  =   (p(x)  - 8u(x,0)  VI  .  nn j t —  =  y>(x)  =  2J  y,,sm—x, gdzie i i 2  f  .  .  nn  2 (p n   =—r-   I  < p ( f) sin —c r f|,  ip„ =   — I  J  I  1 o N a  m o c y  (31)  o t rzym u jem y 7 (32) An  = cp„, B„ = F orm aln ie  zbudowan y  szereg  (31)  przedstawia  rozwią zan ie  zagadn ien ia  (28)- (30), jeś li  szereg  ten jest jedn ostajn ie  zbież ny  wraz  z  szeregam i,  kt ó re  otrzym ujem y  przez  dwu- kro t n e  róż n iczkowan ie  (31)  wzglę dem  x  i  t. Cią gł ość  funkcji  u(x,  t)  wyn ika  z jedn ostajn ej  zbież noś ci  szeregu  (31),  kt ó rego  ogóln y wyraz  jest  funkcją   cią gł ą.  Biorą c  pod  uwagę   n ierówn ość \ u„(x,t)\ ś \ widzimy,  że  szereg jest  m ajoran tą   szeregu  (31), której  zbież ność  zapewn ia jedn ostajn ą   zbież n ość  szeregu  (31), t o  znaczy cią gł ość u(x,  t).  An alogiczn ie  zbież ność jedn ostajn a  a wię c  i cią gł ość p o c h o d n yc h du  8 2 u  8 2 u  .,  , - = —,  - Z- Z- ,  ^r- r̂  wynika  ze  zbież noś ci  m aio ran t ot  ot  ox Wobec  tego  dowód  zbież noś ci  szeregu  przedstawiają cego  funkcję   (31)  i  szeregów przedstawiają cych  jej  po ch o d n e  do  rzę du  drugiego  wł ą cznie,  sprowadza  się   d o  d o wo d u zbież noś ci  szeregów (3 3 ) (34)  2 / "*I V. I »  * - - l i O , l, n = l 428  R.  G U TOWSKI M o ż na  u dowodn ić,  że  warun kiem  wystarczają cym  zbież noś ci  szeregów  (33)  jest,  aby funkcja    1 n—l i  rozbież ny  dla  a  ^  1.  Stąd jest  widoczne, że  g|, = 0  jest  wielkoś cią  ograniczoną  i  zmierza do  zera  przy  e —•   0. Jednakże  Q nie  jest  wielkoś cią  ograniczoną,  gdyż  dla  wartoś ci  t  — t*  dla  których nn im I im =   1,  cos—^ai*  =  0 mamy (3 8 ) B,2 u - 1 nn aA„ ZJ n = l r [ 1  s  na  e~n71^   +  T n^ \   ~C°- Ten nieoczekiwany  na pozór  rezultat  moż na wyjaś nić  zarówno  z  matematycznego jak i  fizycznego  punktu  widzenia. Z  matematycznego punktu widzenia,  w równaniu  (28), oprócz pochodnej  wzglę dem  t, wystę puje  pochodna wzglę dem  zmiennej  przestrzennej  x,  co  nie ma miejsca  w  przypadku równań róż niczkowych  zwyczajnych.  N atomiast odległ ość  (35) nie nakł ada  ż adnych  ogra- niczeń, na pochodne wzglę dem  zmiennej przestrzennej  x.  Wobec tego  szeregi  przedstawia- ją ce te pochodne, mogą  okazać się rozbież ne przy pewnych wartoś ciach /, jak  to m a  miejsce w  przypadku  rozwią zań  uogólnionych. Z  fizycznego  punktu  widzenia  ograniczenie  wielkoś ci  u  i  - t-  dla  t  =  0,  to  znaczy ograniczenie  począ tkowych  wychyleń  i  prę dkoś ci  punktów  struny,  zagwarantowanie ograniczeniem  odległ oś ci  w  postaci  (35), nie  ogranicza  jej  począ tkowej  energii  potencjal- nej,  zależ nej  od  pochodnej  — .  Energia  potencjalna  przekształ ca  się  podczas  drgań struny  w  energię  kinetyczną  i  może  spowodować  nieograniczony  wzrost  ą  dla  pewnych 2  M ech .  T eoret .  i  Stos.  4/ 78 430  R .  G uTOwsjci wartoś ci  /   —  t*.  Oczywiś cie  nie  dotyczy  to  struny  rzeczywistej,  lecz  jest  konsekwencją przyję tego  modelu matematycznego mają cego  powyż sze wł asnoś ci, które  trzeba  brać pod uwagę   przy  formuł owaniu  i  badaniu  statecznoś ci. W  rozważ anym  przypadku  energia  potencjalna  ma  postać N a  mocy  (31)  mamy 00 . . r t S  C  V  2 /  A  " n  ,  ,  D   •   m t gdzie  c  oznacza  stał ą   niezależ ną   od  n.  D la  t  = O  mamy 00 / / II  \ P  = r  >  W 2  J 2 D la  wartoś ci  A„  zgodnych  z  (37)  otrzymujemy (42)  .  E„ =  eh Szereg  ten jest rozbież ny  dla dowolnie mał ego e  >  O,  a wię c energia potencjalna struny E p   ma  w  rozważ anym  przypadku  dla  t  = O nieskoń czenie  wielką   wartoś ć. Łatwo  sprawdzić,  że  w przypadku  rozwią zania  klasycznego,  ograniczenia  dla  wartoś ci począ tkowych  prowadzą ce  do wzorów  (37) nie mogą   mieć miejsca  i mają   postać zapewnia- ją cą   zbież ność  szeregu  (41). Zatem w przypadku  klasycznym,  energia  potencjalna jest  dla t  =   O ograniczona  i  ograniczoność  przemieszczeń  i  prę dkość  w  chwili  począ tkowej,  po- cią ga  za  sobą   ograniczoność  tych  wielkoś ci  w  dowolnej  chwili  t,  wzglę dem  przyję tej  od- legł oś ci. 4.  Sformuł owanie  zagadnienia  statecznoś ci  dla  procesów  cią gł ych Zał óż my,  że  ukł ad cią gły jest  opisywany  modelem matematycznym, w którym  wyróż- niamy  param etr  t  oznaczają cy  czas.  Takie  zał oż enie obejmuje  te praktycznie  interesują ce przypadki,  gdy  zmiana stanu ukł adu odbywa  się  z biegiem  czasu. N iech rozważ any model matematyczny  ma  postać  równania (43)  [F](u(P,  0 )  =   O, gdzie  [F] oznacza  dowolny  liniowy,  lub  nieliniowy  operator  o pochodnych  czą stkowych. N iech równanie (43) opisuje  pewne zjawisko w obszarze ograniczonym Q mają cym brzeg  F. Symbol  P  oznacza  zbiór  zmiennych  przestrzennych. D o  równania  (43)  doł ą czamy  warunki  brzegowe,  które  przedstawiamy  symbolicznie w  postaci  l (44)  u(P,  t)\ r   =   O MOD ELE  MATEMATYCZNE  PROCESÓW  431 oraz  warun ki  począ tkowe,  kt ó re  przedstawiam y  sym bolicznie  w  postaci (45)  u(P,0)=y>(P). Oznaczenia  (44)  i  (45)  mają   ch arakter  symboliczny  dlatego,  że  mogą   on e sym bolizo- wać  wię kszą   ilość  warun ków,  w  których  mogą   wystę pować  równ ież  p o c h o d n e. Z akł adam y,  że  równ an ie  (43) m a przy  zerowych,  wartoś ciach  począ tkowych  rozwią - zanie  zerowe  u(P, t)  =  0, kt ó re  bę dziemy  rozważ ać  ja ko  proces  n iezaburzon y.  Bę dziemy badali stateczność rozwią zan ia  n iezaburzon ego, wzglę dem  zaburzeń wartoś ci  począ t kowych, zakł adają c,  że  sam o  równ an ie  (43), ja k  i  warun ki  brzegowe  (44) nie ulegają   zm ian ie. Odchylenie  procesów  zaburzon ych  od n iezaburzon ego  bę dziemy  mierzyli  za  po m o cą odległ oś ci  Q — Q(U, t)  speł niają cej  warunki 1)  Q(U,  t)>0 2)  e ( 0 ,  0 = 0 3)  dla dowoln ego  procesu  u(P, t)  funkcja  rzeczywista  Q(U(P,  t), t)  zm iennej  t, jest  cią gła wzglę dem  t. N ależy  zaznaczyć, że odległ ość  Q(U, t)  nie  musi  speł n iać aksjom atów  odległ oś ci  w  prze- strzen iach  m etryczn ych. Wraz  z  odległ oś cią   Q(U, t)  wprowadzam y  odległ ość  Q P (U) n a  ogół   róż ną   o d  Q\ l=la , speł niają cą   warun ki  (1) i (2) dla  t  = t 0 .  Odległ ość t a nie  zależy  jawn ie  od czasu  r i za p o - mocą   tej  odległ oś ci,  bę dziemy  ogran iczali  stan  począ tkowy.  Spoś ród  wszystkich  m oż li- wych  stanów  począ tkowych  odległ ość  Q P   wyodrę bn ia  t ylko  t e, dla których  pozostaje o n a ogran iczon a. Stosowanie  róż n ych  odległ oś ci  Ę P   oznacza,  że  proces  idealn y,  n iezaburzon y  u =  0, m oże być po d d an y  zaburzen iom począ tkowym  róż n ego  rodzaju, to znaczy o ró ż n ym stopn iu regularn oś ci.  D la  ko n kret n ego  obiektu  (struna,, belka,  pł yt a  itp.)  rodzaj  zabu rzeń  wyn ika z  ch arakteru  jego  pracy  i  odległ oś ci  Q i  c p  dla procesu  opisują cego  m at em at yczn ie ten obiekt,  powin n y  być  wybierane  n a podstawie  przesł an ek  fizycznych.  Stosowan ie  odleg- ł oś ci  Q P  ograniczają cej  stan  począ tkowy,  pozwala  n a  rozpatrywan ie  zabu rzeń  wartoś ci począ tkowych  o  mniejszym  stopn iu  regularn oś ci  n iż klasyczny,  dopuszczają cym  równ ież rozwią zan ia  uogóln ion e. P rzy  rozważ an iu  dwóch  odległ oś ci  Q i  Q P  wprowadza  się  jeszcze  jed en  warun ek  dla odległ oś ci  Q a  m ian owicie 4)  odległ ość Q(U , t) jest cią gła wzglę dem  odległ oś ci Q P (U) d la  /  =  t 0 ,  t o znaczy dla  dowoln ego s  > 0  i  t  = t 0   istnieje  takie  rj(e,  t 0 )  >  0, że  n ierówn ość  Q V (U) <   ł ?(e, f0) pocią ga  za  sobą n ierówn ość  Q(U,  ?) I / = / O  • *»  e-   N ie  zakł adam y  n at om iast ,  że jest  n a  o dwró t ,  to zaiaczy od- legł ość  Q P  nie  m usi  być  cią gła  wzglę dem  odległ oś ci  Q dla  /  =  t 0 .  Weź my  n a  przykł ad W  tym  przypadku,  dla  dowoln ego  e >  0 m o ż na  zawsze  zn aleźć  takie - ą  =  rj(e) >  0,  że jest  Q <  e jeś li  tylko  Q P  <   ?;(e), n a przykł ad  ??(e)  =  e. N at o m iast z  n ierówn oś ci  Q < rj(e) n ie  wynika,  że  Q P  < e. 432  R-   G U TOWSKI D efinicja:  N iezaburzon y proces  cią gły  u =  0 nazywamy  statecznym w sensie  Lapun owa wzglę dem  dwóch  odległ oś ci  ą  i  Q P   W  przedziale  [t 0 ,  co)  jeś li 1)  wszystkie  procesy  u(P,  t)  są  okreś lone  w  przedziale  |7 0 ,  co) 2)  dla  dowoln ego  e  >  0  istnieje  77(e, ?0)  >  °  takie,  że  dla  dowoln ego  procesu  «(/ %  t) n ierówn ość  Q P  ^  r){e,t 0 )  pocią ga  za  sobą  n ierówn ość  £   <  e  dla  wszystkich  / ^  t 0 . Jeś li  p o n a d t o  g  - »  0  przy  t  ~* co,  wtedy  n iezaburzon y  proces  nazywamy  asym pto- tyczn ie  stateczn ym . W  szczególnym  przypadku  m oże  być  ą p   =   Q\ , =ID -   Wtedy  stan  w  chwili  począ tkowej i  dowoln ej  charakteryzują,  się  tą  samą  odległ oś cią.  P owiadam y  wtedy,  że  stateczność  ba- d a m y  wzglę dem  jedn ej  odległ oś ci. D efinicję  stateczn oś ci wzglę dem  dwóch  odległ oś ci dla procesu  cią gł ego  p o d ał   M owczan i  z  tego  wzglę du  stateczn ość  ta  bywa  n azywan a  statecznoś cią  w  sensie  Lapunowa- M ow- czan a. Badan ie  stateczn oś ci  w  sensie  Lapun owa, zarówn o  procesów  dyskretn ych jak  i cią gł ych m o ż na  przepro wad zić,  opierając  się  bezpoś redn io  n a  definicji,  lecz  udaje  się  to  rzadko, dla  bard zo  prostych  m odeli  m atem atyczn ych .  W  bardziej  zł oż onych  przypadkach ,  do- godniejsze  jest  stosowan ie  tak  zwanej  bezpoś redn iej  m etody  Lapun owa. M e t o d a  bezpoś redn ia  Lapu n o wa  dla  ukł adów  dyskretn ych  jest  dobrze  zn an a  i  opra- cowan a.  Z  tego  wzglę du  ograniczym y  się  do  om ówien ia  ogólnych  aspektów  tej  m etody dla  procesów  cią gł ych. M e t o d a  bezpoś redn ia  Lapun owa  dla  procesów  cią gł ych  polega  n a  wprowadzeniu fun kcjon ał u  V(u,  t),  kt ó ry  dla  dowoln ej  funkcji  u(P,t)  i  danej  chwili  czasu  t^   t 0   jest liczbą  rzeczywistą.  Odległ oś ci  Q i  Q P  są  t eż funkcjonał ami  tego  rodzaju.  F un kcjon ał   V  róż ni się  od  Q  tym ,  że  zm ien ia  się  o n  m on oton iczn ie z  biegiem  czasu,  zaś  wł asność  tę  może m ieć,  lecz  n ie  m usi, fun kcjon ał   Q. Jeś li  d o  funkcjonał u  V(w,  t)  podstawim y  funkcję  u(P,  t) przedstawiają cą  ko n kret n y  proces,  to  V  staje  się  pewną  funkcją  czasu,  którą  oznaczam y przez  V  =   V(V).  An alogiczn ie  odległ ość  Q(U, t)  dla  pewn ego  procesu  u(P,  t)  oznaczam y przez  Q  =   c ( r ) . W  celu  zbu d o wan ia  podstaw  bezpoś redniej  m etody  Lapun owa,  trzeba  wprowadzić pewn e  okreś len ia  dotyczą ce  fun kcjon ał u  V,  a  m ianowicie  zdefiniować  stał ość  i  okreś lo- n ość  co  d o  zn aku  fun kcjon ał u  V  wzglę dem  odległ oś ci  Q i  cią gł ość  funkcjonał u  wzglę dem odległ oś ci  Q P  dla  t  =   t 0 .  P omijając  szczegół owe  przedstawienie  tych  okreś leń,  przejdziemy d o  twierdzen ia,  bę dą cego  podstawą  bezpoś redniej  m etody  Lapun owa  badan ia  statecznoś ci p ro cesó w  cią gł ych  wzglę dem  dwóch  odległ oś ci. Twierdzenie  Lapunowa- Mowczana  (o statecznoś ci) Wa r u n kiem  kon ieczn ym  i wystarczają cym  na  t o , aby  proces  n iezaburzon y  u(P,  t)  =   0 był   stateczn y  wzglę dem  dwóch  odległ oś ci  Q i  Q P   dla  t  >  t 0   jest,  aby  istn iai  funkcjonał   V 1)  d o d a t n io  okreś lony  wzglę dem  odległ oś ci  g 2)  cią gły  wzglę dem  odległ oś ci  Q P   dla  t  =  t 0 3)  n ie  rosn ą cy  wzglę dem  czasu,  wzdł uż  dowolnego  procesu  zaburzon ego  n{P,  t)  dla t>'t M O D E L E  M ATEM ATYCZ N E  P R O C E SÓ W  433 Jeś li  ponadto jest  HmV  =  0,  to  proces  niezaburzony  u(P, t)  -   0 jest  asymptotycznie r- >oo stateczny. Zwróć my  uwagę ,  na  niektóre zagadnienia  zwią zane  z  badaniem  statecznoś ci  procesów cią gł ych metodą  funkcjonał ów  Lapunowa. Jak już wiemy, do badania statecznoś ci procesu u  = 0  dogodnie jest  stosować  dwie  odległ oś ci  Q i  Q P . Wybór  tych  odległ oś ci w  konkretnej postaci,  zależy  od  róż nych,  czę sto  przeciwstawnych  wzglę dów.  Jeś li  badamy  stateczność w  oparciu  o twierdzenie  Lapunowa- Mowczana, wtedy  trzeba  sprawdzić  cią gł ość  funkcjo- nał u V  wzglę dem  odległ oś ci począ tkowej  Q P  dla  t  — t 0 .  N ajproś ciej  jest  to  ticzynić,  osza- cowują c  funkcjonał   Lapunowa  V,  przez  odległ ość  począ tkową   g p   dla  t  — t 0 .  Jednakże jeś li  funkcjonał   V  ma  zł oż oną   postać,  wtedy  oszacowanie  takie  ł atwiej  otrzymać,  gdy  c p ma  postać  podobną   do  V,  co  nie  zawsze jest  dla  nas  odpowiednie,  z •  punktu  widzenia ograniczenia stanu począ tkowego.  Jeś li  moż na przeprowadzić  badanie  statecznoś ci wzglę - dem jednej  odległ oś ci  Q i  Q P  =•   g|r= r„   i  zastosować  funkcjonał   V  w  tej  samej  postaci  co odległ ość  Q, wtedy  sprawdzenie  warunków  z  twierdzenia  o  statecznoś ci  znacznie  się   up- raszcza,  gdyż warunki  (1)  i  (2) tego  twierdzenia  są   wtedy  automatycznie  speł nione i po- zostaje  tylko sprawdzenie  warunku  (3). Z drugiej  strony informacja  zawarta  w nierównoś ci g  <  e w przypadku  gdy  Q ma zł oż oną  postać, może  okazać  się   mał o  interesują ca  i nieczy- telna  z fizycznego  punktu  widzenia.  N ajbardziej  interesują cy  praktycznie jest  przypadek, gdy  z  nierównoś ci  Q ^  e  moż na  otrzymać  nierówność  |w|  =c M(t,  e,P 0 ,  t 0 ).  U zyskanie takiego  rezultatu jest uł atwione gdy  g  ma odpowiednią   do  tego  celu postać, która  nie ko- niecznie jest  wtedy  równie  dogodna  dla  innych celów,  wynikają cych  ze  stosowania  twier- dzenia  o statecznoś ci. N ależy  przy  tym  podkreś lić,  że  rezultat  taki  moż na  uzyskać  tylko wtedy,  gdy  proces  zależy  od jednej  zmiennej  przestrzennej.  Jest  to  zwią zane  z  faktem,  że cią gła  zależ ność samego  rozwią zania  od wartoś ci  począ tkowych,  nawet dla  prostego linio- wego równania o pochodnych czą stkowych typu hiperbolicznego drugiego rzę du, ma  miejsce tylko  w  przypadku  jednej  zmiennej  przestrzennej.  Inaczej  mówią c,  w  przypadku  jednej zmiennej przestrzennej, mał e zmiany funkcji  począ tkowych, pocią gają   za sobą   mał e zmiany samego  rozwią zania,  przy  okreś lonej  regularnoś ci  wartoś ci  począ tkowych.  W  przypadku dwóch  lub  wię kszej  iloś ci  zmiennych  przestrzennych, mał e  zmiany  funkcji  począ tkowych nawet  o  duż ym  stopniu  regularnoś ci,  pocią gają   za  sobą   co  najwyż ej  mał e  zmiany  cał ki z  kwadratu  rozwią zania,  obliczonej  w  obszarze  przestrzennym. Wszystkie  te  zagadnienia  są   w  istotny  sposób  zwią zane  z  wyborem  funkcjonał u  V i  odległ oś ci  Q i  Q P , którego  dokonujemy  dla  zbadania  statecznoś ci  procesu  cią gł ego  nie- zaburzonego  u  —  0. Analogicznie  do przedstawionych  tu rozważ ali,  moż na sformuł ować teorię  statecznoś ci dla  równań typu parabolicznego,  opisują cych  zjawiska  przewodnictwa  cieplnego  i  dyfuzji, oraz dla równań typu eliptycznego, opisują cych  na przykł ad zjawiska  równowagi  sprę ż ystej ciał   stał ych.  Moż na  stwierdzić,  że  najtrudniej  poddają   się   badaniom  równania  typu  hi- perbolicznego,  opisują ce  zjawiska  dynamiczne  w  ciał ach  stał ych. Konstrukcję   funkcjonał ów  Lapunowa  dla  procesów  zachowawczych  moż na  n a  ogół zrealizować obierają c  cał kowitą  energię  ukł adu jako funkcjonał   Lapunowa V. W przypadku procesów  tł umionych,  staramy  się   zmodyfikować  odpowiednio  postać  cał kowitej  energii ukł adu, aby wykazać,  że V ^  0.  Funkcjonał y Lapunowa  w  takiej  zmodyfikowanej  postaci 434  R.  G U TOWSKI nazywamy  cał kami  energetycznymi.  Modyfikacja  energii  cał kowitej  ukł adu,  prowadzą ca do pewnego  wariantu  cał ki  energetycznej,  odbywa  się  czę sto na  drodze w znacznej mierze intuicyjnej.  D la  liniowych  równań  róż niczkowych  o pochodnych czą stkowych  i ich  ukł a- dów,  opracowano  również  bardziej  systematyczne  metody  poszukiwania  funkcjonał ów Lapunowa,  w postaci  cał kowych form  kwadratowych.  Istnieją   również  nieliczne rezultaty, dotyczą ce  zagadnień  nieliniowych  i  poczyniono  pierwsze  kroki,  dotyczą ce  konstrukcji optymalnych  funkcjonał ów  Lapunowa,  zapewniają cych  najwię kszy  obszar  parametrów, dla  których  rozwią zanie  jest  stateczne. D la  równań  róż niczkowych  o  pochodnych czą stkowych,  moż na  wprowadzać  również inne  poję cia  statecznoś ci, niż sformuł owana  poprzednio  stateczność w sensie  Lapunowa- Mowczana,  zwią zana  z  zaburzeniem  wartoś ci  począ tkowych.  Przede  wszystkim  moż na rozważ ać  zaburzenia  warunków  brzegowych  przy  niezmiennych  wartoś ciach  począ tko- wych, lub  też  rozważ ać jednocześ nie  zaburzenia  wartoś ci  począ tkowych  i warunków  brze- gowych.  Oprócz  tych  zaburzeń  moż na  rozważ ać  dodatkowo  zaburzenia  samej  postaci równania  róż niczkowego,  co prowadzi  do  poję cia  statecznoś ci  przy  stale  dział ają cych  za- burzeniach.  Sformuł owanie poję ć  statecznoś ci przy  wymienionych  zaburzeniach  wzglę dem odległ oś ci  w  sensie  Lapunowa- Mowczana  nie  nastrę cza  zasadniczych  trudnoś ci,  dlatego ś cisłe  ich  zdefiniowanie  pomijamy. Spoś ród  statecznoś ci  odmiennych  od  statecznoś ci  w  sensie  Lapunowa- Mowczana warto  zwrócić  uwagę  n a  stateczność w sensie  Lagrange'a.  Model matematyczny przedsta- wiony  równaniem  o  pochodnych  czą stkowych  liniowym  lub  nieliniowym  jest  stateczny w sensie  Lagrange'a,  gdy  każ de jego rozwią zanie jest okreś lone dla P e Q  i t e  [i 0 ,  oo) oraz gdy  speł niona jest  nastę pują ca  nierówność (47)  e(u(P,  0 )  <  0( c ,  / ) ,  <2>(c,  0  >  0,  P e Q,  te  [t 0 ,  co), gdzie  stał a  c  =  const  >  0  zależy  tylko  od  obszaru  zmiennoś ci  warunków  granicznych, zaś Q oznacza odległ oś ć.  W szczególnym przypadku może być @(c,  t)  —  M(ć )  — const  > 0. W  sformuł owaniu  (47)  funkcja  &(c, t)  jest  dbwolna,  to  znaczy  wystarczy  wykazać,  że jakakolwiek  funkcja  0  ograniczają ca  odległ ość  q  istnieje,  aby  model  matematyczny był stateczny  w  sensie  Lagrange'a.  Jednakże  istnieje  wiele  problemów  fizycznych  i technicz- nych  dla  których  trzeba  podać warunki  dostateczne przy  których  odległ ość g jest ograni- czona  funkcją ,  lub  stał a,  na  które  nał oż one  są   dodatkowe  warunki. Warunki  te  polegają   czę sto  n a  ż ą daniu  efektywnego  wyznaczania  funkcji  lub  stał ej ograniczają cej  i  przy  tym  w  taki  sposób,  aby  istniał a moż liwość  wpł ywania  na  ich  war- toś ci —  n a przykł ad poprzez dobór wartoś ci począ tkowych,  współ czynników równania itp. M oż na  dopuś cić  również  funkcje  (x,  t,  c)  =  lim u(x,  t, c + Ac)- u(x,  t, c) Ac 8c ' N a  podstawie  (55)  mamy  przybliż ony  zwią zek (56)  u{x,  t, c + Ac)- u(x,  t,  c) s  a>(x,  t,  c)ń c. Jeś li  wię c  wyznaczymy  lub  oszacujemy  funkcję   co(x,  t,  c), wtedy  na podstawie  wzoru (56) moż emy w przybliż eniu  wyznaczyć, lub  oszacować zmianę  funkcji  u(x, t,  c) powstał ą w  wyniku  zmiany  parametru  c  o  wartość  Ac. Wyprowadzimy  równanie  róż niczkowe  dla  funkcji  OJ(X,  t,  c).  Róż niczkując  równanie (52)  wzglę dem  c  =   a, f},k  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  w  postaci (57) gdzie (58) 8 2 8u_ ~8x~' u,  = 8u H  = 8 a> 8u t   8t — u  dla  c  =   a |  dla  c  =   k 2 Warunki  począ tkowe  i  brzegowe  dla  funkcji  ca  mają   postać oi(x, 0, c) =  - fcU(x,  0, c) =  - d - ę {x)  =   0, (59) eo(0, r, c)  =~u(0,t,c)  = 0 , / , / ,  C)  =  - ^ U(l,  t, C )  = Zagadnienie  polega  teraz  na  ś cisł ym,  lub  przybliż onym  rozwią zaniu  równania  (57), lub zbadaniu wł asnoś ci jego rozwią zań,  to znaczy na przykł ad ustalenia  warunków dosta- tecznych  ich  ograniczonoś ci  i  zmierzania  do  zera  przy  t  ->  oo. Wprowadzamy  oznaczenia (60) ZA  = 8u t ' a =» v  = 8f_ 8u  ' M O D E L E  M ATEM ATYCZN E  P R OC E SÓW  437 Wtedy  równanie  wraż liwoś ci  moż emy  napisać  w  postaci (61)  * Ponieważ rozwią zanie  u(x,t,c)  traktujemy  jako  znane,  wię c  funkcje  (60)  są   znane. Równanie wraż liwoś ci  (61) jest  wię c  równaniem liniowym  o  zmiennych współ czynnikach. W  przypadku liniowego  równania strun y/   =  0, kł adziemy w równaniu  (61) A  =   a  =   v  =   0 i  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  liniowe  o  stał ych  współ czynnikach,  wymuszone rozwią zaniem  (lub  jego  pochodnymi), którego  wraż liwość  badamy. W  przedstawionych  wyż ej  rozważ aniach  dokonany  został  przeglą d  poję ciowy  najważ- niejszych  poję ć  statecznoś ci  ruchu,  dla  modeli  matematycznych  dyskretnych  i  cią gł ych, z  punktu widzenia  potrzeb technicznych. Pominię te został y  mniej  istotne  warianty  poję ć statecznoś ci  oraz  cał kowicie  pominię to zagadnienia  statecznoś ci  procesów  losowych,  wy- magają cych  osobnego  opracowania.  D la  wszystkich  przedstawionych  tu  rodzajów  sta- tecznoś ci  istnieją   mniej  lub  bardziej  zaawansowane  metody  ich  badania.  M etody  te  są znacznie bardziej  zaawansowane  dla modeli dyskretnych, niż dla  modeli cią gł ych. Przedsta- wienie  nawet  pobież nego  przeglą du  istnieją cych  metod przekracza  znacznie  ramy  niniej- szego opracowania. Systematyczne  zapoznanie się   z  metodami  badania statecznoś ci ruchu oś rodków  dyskretnych  i  cią gł ych,  wymaga  się gnię cia  do  ź ródł owej  literatury. Literatura  cytowna  w  tekś cie 1.  C .  J I .  COEOJIEBJ  ypasHenuH  Marne MamunecKou