Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16  (1978) DRG AN IA  WYM U SZON E  LEN II  WAŁÓW  Z  U WZ G LĘ D N IEN IEM   ASYM ETRII  SZ TYWN OŚĆ G I Ę TN EJ  I  POD ATN OŚ CI  F U N D AM EN TÓW METOD A  ID EN TYF IKACJI  P OD ATN OŚ CI  D YN AM ICZ N EJ  F U N D AM EN TÓW  LI N I I  WAŁÓW JAN U SZ  KOLEN DA  (GDATŚ SK) 1. Wstę p Analiza  drgań linii  wał ów wymaga z reguł y uwzglę dnienia  podatnoś ci filmu  olejowego w ł oż yskach i konstrukcji  podpierają cej  linię  wał ów. Literatura dotyczą ca tego zagadnienia nie  obejmuje  przypadku,  gdy  linia  wał ów  zawiera  odcinki  o  zróż nicowanych  gł ównych centralnych  momentach bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego.  Przypadek  taki  wystę puje np.  w  liniach wał ów  zawierają cych  wał y korbowe,  których  analizę   drgań  prowadzi  się   po zastą pieniu  wał u korbowego  modelem zł oż onym z  mas  dyskretnych  i prostych  odcinków wał u. Zał oż enie o jednakowej  sztywnoś ci  gię tnej w pł aszczyź nie wykorbienia  i w pł aszczyź- nie  prostopadł ej  do  pł aszczyzny  wykorbienia  ograniczał o  dotychczas  przydatnoś ć  tego modelu  do  obliczeń  drgań  gię tnych. Przedstawiony  w niniejszej  pracy  matematyczny  opis drgań  linii  wał ów  nie  wymaga  speł nienia takiego  zał oż enia. 3  __ _  N- 2   '  N- 1  _  N 'n- 1 Rys.  1.  Schemat  analizowanego  ukł adu, a —  ź ródło  n apę du;  b—sprzę gł o  elastyczne;  c —  sprzę gło koł - nierzowe;  d—ł oż ysko  ś lizgo we; / —siła  wymuszają ca;  n —  liczba  ł oż ysk; N —liczba  odcinków  oblicze- niowych  lin ii  wał ów;  a>  =   const —  prę dkość  ką towa  wirowania  linii  wał ów Zapewnienie należ ytej  dokł adnoś ci informacji  o podatnoś ci filmu  olejowego  i konstruk- cji  podpierają cych  linie  wał ów  nie jest  w praktyce  zagadnieniem  zamknię tym.  Charakte- rystyki  filmu  olejowego  są   nieliniowe,  U trudnia to  dokł adne obliczenie  podatnoś ci  filmu dla  warunków  eksploatacyjnych,  gdyż  zależy  ona  m.in.  od  nieznanych  a  priori  reakcji w ł oż yskach. Wyznaczanie  dynamicznej podatnoś ci konstrukcji  podpierają cej  przy pomocy wzbudników  drgań  zwią zane  jest  z mankamentami  [1],  a  dla  niektórych  konstrukcji  jest trudne bą dź niemoż liwe  do zrealizowania.  Dotyczy to zwł aszcza przypadków,  gdy  ł oż yska są   wbudowane, jak  to  ma miejsce  np. z ł oż yskiem stewowym wał u ś rubowego,  wbudowa- nym w sekcję  rufową   statku. W niniejszej  pracy zaproponowano poś rednią  metodę  wyzna- 518 J .  KOLEN D A czan ia  dyn am iczn ej  podat n oś ci  kon strukcji  podpierają cych  linie  wał ów  (ł ą cznie  z  filmem olejowym )  n a  przykł adzie  u kł ad u  przedstawion ego  schematycznie  n a  rys.  1,  której  stoso- wan ie  m o że  być  w  pewn ych  przypadkach  bardziej  celowe. Ozn aczen ia  macierzy  stosowane  w  tekś cie a   = a 2 a n . , a„_J  = a 2 —- macierz  kolum n owa, a 2 A  = 0 •  macierz  diagon aln a, —  macierz  blokowo diagon aln a  (kwadratowa), Ai  =   (Arko  =   [am] —  m acierz  dotyczą ca  ?- tego  odcin ka  linii  wał ów, A  • »  [«fc!]mxn  —  m acierz  o  wym iarach  rax«, .4  =   [a k[ ] tt  —•  m acierz  kwadratowa  stopn ia  n, A T  —•   t ran sp o n o wan a  m acierz  A. 2.  O pis  drgań  lin ii  wał ów  przy  wymuszeniach  okresowych An alizowan y  ukł ad  traktowan y  jest  jako  liniowy.  Z akł ada  się ,  że  koł o  zamachowe, sprzę gła  koł n ierzowe  it p . elem enty  stanowią   masy  dyskretn e.  Przyję to,  że gł ówna cen traln a oś  bezwł adn oś ci  każ dego  odcin ka  linii  wał ów pokrywa  się   z osią   obrotu. Z akł ada  się   takż e, że  wektory  reakcji  dział ają cych  n a  wał   w  ł oż yskach  przechodzą   przez  ś rodki  cię ż koś ci przekrojów  poprzeczn ych  wał u  w  poł owie  dł ugoś ci ł oż ysk  (przy  czym  dł ugość  ł oż yska  nie m usi  być  m a ł a  w p o ró wn an iu  z dł ugoś cią   dan ego  odcin ka wał u, gdy  podatn oś ci dynamiczne wyzn acza  się   ja k  w  p .  3). Lin ię   wał ów  podzielon o  n a  szereg  odcinków  obliczeniowych.  P odział u,  dokon an o w  przekrojach ,  gdzie  wystę pują   sił y  skupion e  (reakcje  ł oż ysk  bą dź  sił y  wymuszają ce), w  przekro jach  przech odzą cych  przez  ś rodki  cię ż koś ci  m as  dyskretn ych  oraz  w  miejscach ł ą czen ia  o d cin kó w  o  róż n ych  stał ych  m ateriał owych  bą dź  odcinków  róż nią cych  się   kie- ru n kam i  gł ówn ych  cen traln ych  osi  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzeczn ego.  P rzyję to  kon- wencję   zn aków  ja k  n a  rys.  2.  Osie  x tl ,  xt 2 ,  X[ 3   stanowią   lokaln y  ukł ad  współ rzę dnych i- tego  odcin ka,  wirują cy  wraz  z  odcin kiem .  Osie  xn,  x i3   są   równoległ e  do  odpowiednich gł ówn ych  cen traln ych  osi  bezwł adn oś ci  przekroju  poprzeczn ego  / - tego  odcin ka.  Oś  Xa pokrywa  się   z  osią   o br o t u  linii  wał ów  i  z  gł ównymi  cen traln ym i  osiami  bezwł adnoś ci odcin ków.  Z a kł a d a  się ,  że  wektory  uogóln ion ych  sił   zewnę trznych,  gł ówne  cen traln e  osie bezwł adn oś ci  m a s  dyskretn ych  i  gł ówne  osie  sprzę gła  elastycznego  pokrywają   się   z  odpo- D RG AN IA  WYMUSZONE  U N I I  WAŁÓW 519 wiednimi  osiami  lokaln ych  u kł adów  współ rzę dn ych.  Wpł yw  obcią ż eń  ro zł o ż o n ych  n ie jest  w  niniejszej  pracy  rozpatrywan y. Wielkoś ci  odnoszą ce  się  d o poszczególnych  przekrojów  odcin ków  o zn aczo n o  n astę pują- c o : x tl   -   0  x n   =  x  xnJZh  ( /  =   1 , 2 ,  . . . , J V ;  a  =   1 , 2 ,  . . . , 6 ) Uio =  {Uioa}  u ix   =   { }  {} Pio  = uu  — {K««}  —  m acierze  kolum n owe  u o gó ln io n ych przem ieszczeń , Pio  =  {Pixa}  Pa  — {/?««}  —  m acierze  kolum n owe  u o gó ln io n ych  sił wewn ę trzn ych, xtl  =   U fi  — {/ / a}  —  m acierz  kolum n owa  uogóln ion ych  sił   zewn ę trzn ych, Mi- —  r~tni x _J  —  diagon aln a  m acierz  bezwł adn oś ci  m asy  dyskretn ej, Cf  =   |  cf«  I —  diagon aln a  m acierz  sztywnoś ci  sprzę gła  elastyczn ego. Pite/ \   PiiPiH Pil2 u,  01 1  ' Pi+1,02 111,06 Pil3 R ys.  2.  Schemat  obliczeniowy  dla  dwóch  odcinków  wał u o odpowiednio równoległ ych  osiach  lokalnych ukł adów  współ rzę dn ych ./( a — uogólniona  sił a zewnę trzna,  dział ają ca  na i- ty odcinek  obliczeniowy  wał u w koń cowym jego przekroju w kierunku a ; /< — dł ugość / - tego  odcinka;/ > «a — uogólniona sił a wewnę trzna w koń cowym przekroju  / - tego odcinka w kierunku  a  ;pi+ 1  ,oa  — uogólniona sił a wewnę trzna w  począ tkowym przekroju  ( j+ l) - go  odcinka  w  kierunku  a;  ut m - —- uogólnione  przemieszczenie  w  przekroju.  x  / - tego od- cinka  w  kierunku  a Ograniczają c  się   do  technicznej  teorii  drgań  belek  [2],  równ an ia  d rgań  r- tego  o d cin ka wał u  napiszem y  w  postaci: 30(2.1) =   0,  a  =   1  4,  (• )  = bt  ' gdzie  Q ia   jest  liniowym  operatorem  róż niczkowym'  ze  wzglę du  n a  zm ien n ą   przestrzen n ą 5 2 0  i-   K.OLENDA IE]  8-   [Eh\  3* il ~~  U  It ~dx Y '  ~   \ ~Afli'8x T' Qi (2.2) Ei — m o d u ł   Youn ga  (dla - t e go  odcin ka), Qi — gę stoś ć, At — pole przekroju  poprzecznego, (/ 2),- ,  (I 3)i — gł ówne  cen traln e  m om en ty  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego,  Q — sztywność  skrę t na  jedn ostki  dł ugoś ci  wał u,  (Qi — m om en t  bezwł adnoś ci  jedn ostki  dł u- goś ci  wał u  wzglę dem  osi o bro t u . Waru n ki  brzegowe  dla  linii  wał ów  przedstawionej  na rys.  1 mają  p o st ać: (2.3)  fiioa  -   ± >«oaWioa,  a = 1  , . . . , 6, (2.4)  PN ia  ~   - W^JVa^Ar/ a ~\ -  C)^ a U^ i^ . P rzy  podwójn ych  zn akach  „ + "  i  ,, —"  dolny  zn ak  dotyczy  a. — 5,6.  W  przekrojach, w  kt órych  dział ają  skupion e  sił y  zewn ę trzne  i w przekrojach  przechodzą cych  przez  ś rodki cię ż koś ci  m a s  dyskretn ych ,  speł n ione  są  warun ki: { ll\ lm  —  "< +  i  ,0a- ,n  - n  +f Pita  —  Pi+l.azJZJia, (2.6)  | \ Pila = Waru n ki  (2.5) i  (2.6) dotyczą,  przypadków,  w  których  osie  lokaln ych  ukł adów  współ - rzę dn ych  / - tego  o raz  (( +  l)- go  odcin ka  wał u są do siebie  odpowiedn io  równoległ e — tzn . gdy  odcin ki  te wykazują  koł ową  sym etrię  sztywnoś ci  gię tnej  lub ich  gł ówne  cen traln e  osie bezwł adn oś ci  przekrojix  poprzeczn ego  są d o siebie  odpowiedn io  równoległ e.  W przeciw- n ym  p rzyp ad ku  należy  zestawić  an alogiczn e  warun ki  p o  odniesieniu  wielkoś ci  dotyczą cych ?"- tego  odcin ka  do  lokaln ego  u kł adu  współ rzę dnych  ( / + l) - go  odcin ka.  D la uproszczenia po m in ię to  w  (2.6)  wpł yw  sił y  cię ż koś ci  / - tej  masy  dyskretn ej;  może  on być  uwzglę dniony ja k  / fa  w  (2.5).  „ Z n a n e  zewn ę trzne  sił y  wymuszają ce  oznaczymy  w  odróż n ien iu  od reakcji  ł oż ysk do- d a t ko wo  in deksem  górn ym  „w" i  zapiszemy  je w  po st aci: (2.7)  /j£  =  £C/ Slwcosva>r+ ./ Sawsin«»0,  v = 0,1, 2, ...;  « =  1, .... 6, gdzie  a>  — con st — podstawowa  czę stość  wymuszeń. P rzyjm iem y,  że czę stość  w jest  równ a  prę dkoś ci  ką towej  wirowan ia  linii  wał ów  (co z reguł y zach odzi  w  p rakt yce  d la  iikł adów  bezprzekł adn iowych). An alogiczn ie  przedstawim y  n iezn an e  wielkoś ci: (2.8)  f ia   =  Jj (fti V (2.9)  u ixa   =  V (u v (2.10),  p ixa   m  V  (pf$cosvwt+p?$sinvmt). D RG AN IA  WYMUSZONE  LIN II  WAŁ ÓW 521 P odstawiając  (2.9)  do  równ ań  (2.1)  i  uwzglę dniają c,  że llixs  —  —1/ ^ 3  ,  W ix6  = =   Mix2>  (  )  = =   ~ o~ —> otrzymuje  się  zn an e  rozwią zan ia  [2], które  wraz  z  rozwią zan iami  dla  v  — 0  zapisać  m o ż na w  postaci  m acierzowej: (2.11)  Uix =  ]?  CQ(allv)cosvcot  + afMsmva>t),  v  =   0,  1,2,  . . . , gdzie:  ' —  macierze  kolum n owe  współ czynników  rozwią zań  dla  v- tych  h arm on iczn ych , x  1  0  0  0  0  0 0  0  x 3  x 2  x  1  0 0  0  0  0  0  0  x 3 0  0  0  0  0  0  0 0  0  0  0  0 0  0  0  0  0 x 2   x  1  0 . 0 0  0 0 x 1 0  0  0  0  0  0  - 3 x2  - 2x  - 1  0  0  0 0  0  3x2  2x  1  0  0  0  0  0  0  0 (0 0 o o o o ( Cg* ) 2 = o o 0 inź 0 0 0 0 0 o o o 0 0 .0 o o 0 0 O sin A£°x 0 O O 0 0 o o o o o ( 2 v ) x O 0 0 0 =  O«>)  - Ff -I  • (AD;  - o o o CO 0 0 0 cos Klpx  sin Af  x O  0 0 W  dalszej  czę ś ci  pracy  pom in ię to  indeksy  (v)  w  wyraż en iach  A£'°, Â 1'3, A§°,  Af5. 522 J .  KOLEN D A Sił y  wewn ę trzne  zwią zane  są   z  przemieszczeniami  u ixa   relacjam i: (2.12)  Pi** Z C (nT   PtX2  ~=*E- (12)'u'''X2  P ' X 3 =  ~Ei'(I  ]'u'- 'X3' W  wyn iku  uwzglę dn ien ia  postaci  rozwią zań  (2.11)  i  relacji  (2.12)  otrzymuje  się : (2.13) gdzie:' p ix   = AV  - (45) i = EA 0 0 0 0 0 0 0 ,  - 0 0 0 0  - —EAXfSinX r x  EAX r cosX r x 0 0 0 0 0 0 0 - EI 3 XlsmX 3 x 0 —E I 3 Xlcosl 3 x 0 0 0 0 0 0 EI 3 X - EI 3 0 0 0 A|sia 0 0 - 6E 0 0 0 - 6E EI 2 3 x T 2 T 2 x 0 0 0 0 —Ei EI 3 0 0 0 0 0 - 2EI ,sX 2 x 0 0 r 3 X 3 3 sh 0 0 0 0 0 0 2  0 El El l 3 x X 3 ć h  X 3 x 0 0  0 0  0 0  - 6EI 3 0  0 0  6EI 3 x 0  0 0 2 X 3 2 zosX 2 x  • 0 0 0 0 0 0 0 2EI 3 0 - El 2 0 0 0 0 0 0 0 Afs 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hX, 0  0 0  0 0  0 Ch  0 0  0 0  0 x  - El 2 X\ ś mX 2 x  —EI 2 X\ c\ iX 2 x  —El 0 0 - EI 3 XlchX 0 El 3 X 2 3 ś hX 3 0 3 x X CI 0 0 0 0 0 5 (0 0 2 X\ z\ \ X 2 x 0 0 0 2 X\ ś a.X 2 x 0 0 0 inAsx  CI sXscosXsx 0 0 ( 0 W  celu  u ł at wien ia  dalszych  obliczeń  przekształ cim y wyraż enia  (2.7),  (2.8),  (2.11)  i  (2.13) d o  po st aci : (2.14) ffi = ,   A*  =   - .   - *.  - ,   - (2.15) / ta  = D R G AN I A  WYMU SZON E  L I N I I  WAŁÓW 523 y/ JfSWi  /- w(O) _  p l ( O )  /- woo  _  1 f/ "wl(i))  ;/ '»2 Jia  )• >  Jia  ~~ Jia  >  Jia  —  y l / l j  JJia (2.16)  U ix  = ^  W (2.17) gdzie: Jia  —  ~2 I Jia  —  ^"(/ ia  + / / ia  ) j  / (a  =   ./(a  i  Jia  = ^ {jia."  ~jfia  ) j 7 — jedność  urojona. Po  podstawieniu  wyraż eń  (2.15)—(2.17)  do  warunków  (2.5)  otrzymuje  się : (2.18) gdzie: fł »  = {f}P},  «  =  !, . . . , 6, ffl  = - - ,'  M& = "2 1 56 > *0 P * 0 W.  = Pozostał e  elementy  macierzy F^   są   zerowe. Macierze B\ ** mogą  być traktowane jako macierze przejś cia,  wią ż ą ce  współ czynniki / ^- tych harmonicznych  rozwią zań  dla  dwóch  są siednich  odcinków wał u. Mają   one blokowo  dia- gonalną   postać: (2.19)  BP = (EA) iĄ h 524 J .  KOLEN D A (2.19) [cd] (El), O  0   0 ^ - 0   0 3/ ? If 2/ ,  1  0 If  h  1. 0 h  I . cosAr/   sinAr/ e^cosA/   e^shA/ 4"'chA/ ( cosAj/ 1 2 M + l przy  czym  dla  £$  n ależy  podstawić  I  =  I 2 ,  X  — X 2   oraz  dla  B<$:I  =  / 3 ,  A =   A3. Wykorzystując  wzór  (2.18)  d la  przypadku,  gdy  ( s- 1)  dalszych  odcin ków  oblicze'nio- wych  obcią ż on ych jest  w  swych  koń cowych  przekrojach  sił ami skupionym i,  otrzymuje  się: \ i../ Xi)  fl)+ s  = =   - Bj  + s—l  " i + i  — 2  • • •   - "i W  obliczen iach  drgań  linii  wał ów  przypadki  takie  mogą  m ieć miejsce  wówczas,  gdy  wpł yw n iekt órych  m as  dyskretn ych  (n p.  sprzę gieł   koł nierzowych) jest  zaniedbywalny,  n atom iast reakcje  ł oż ysk  n ie  m ogą  być  p o m in ię t e.  Liczba  m acierzy  B(v\   m n oż on ych  przez  siebie wedł ug  zależ n oś ci  (2.20), m oże  być  wówczas  zn aczn a.  M acierze  B(v)  mają  jedn akże  tę do- godn ą  wł a sn o ś ć1',  że  d la  odcin ków  wał u  o jedn akowych  stał ych m ateriał owych  zależ ność 1 1  Przyję cie  liniowego  m odelu  tł umienia  wewnę trznego  w  linii  wał ów  oraz  uwzglę dnienie  wpł ywu  na drgan ia  gię tne  stał ych  sił   poosiowych,  odkształ ceń  postaciowych  od sił  poprzecznych  i  momentów sił bezwł adnoś ci  obrotu  nie eliminuje  tej  wł asnoś ci. D RG AN IA  WYMUSZONE  LIN II  WAŁ ÓW  525 (2.20)  redukuje  się  d o  p o st aci: (2.21)  a)«  -   («§>)»  -   (e^ )t  -   U   (e(2">),  =   m  =  0 i  zastą pienie  k  przez Ż  '»• N ależy zaznaczyć, że wł asnoś ci  tej nie posiadają  spot ykan e w literaturze m acierze  przejś cia dla  wektorów  stan u  utworzon ych  z  elementów  o  tym  samym  wym iarze  [2]. P rzy  wystę powaniu  m asy  dyskretnej  równ an ia  okreś lają ce  m acierze  kolu m n owe współ czynników  af^   mają  n a podstawie  warun ków  (2.6) i wyraż eń  (2.16),  (2.17)  p o st a ć : (2.22)  fltffr  =   B%W \ gdzie: M acierze  B\ 0),  B'f* są  iden tyczn e  jak  w  (2.19),  n atom iast ( 2. 23)  B l n M l J 2   f 2   mc6 l0chA2Z m l pcosl 2 l  - m^ si * * -   L« JO) o  o M acierze  JS^ otrzymuje  się z  m acierzy  J J $ zastą pien iem  mSw) przez  m(p,  mty  przez mg1 oraz  A2  przez  A3.  Ozn aczon o  t u : 3  " ' i 2  ~  / i- .,-   - |3-\   > ( £ / 2; .  m i5 (va>) 2   ( ł ,  _  mi6(vco) ~  '"I U kazan a powyż ej wł asn ość iloczynów  macierzy B[v)  n ie  dotyczy  iloczyn ów  t ypu  B^ - Bt- p, BP- Bf\  Bp- Bl v \ Relację  pom ię dzy  m acierzam i  kolum n owym i  a^ ^   o r a z fl<(" ) dwóch po ł ą czo n ych ze  sobą odcinków  wał ów  o  róż n ych  stał ych m ateriał owych  opisują  m acierze  przejś cia  B$v)  (2.19) : (2.24)  atffr  =  tfpdfi, 8  M ech .  T eo ret .  i  Stos.  4/ 78 526 J .  KOLEN D A Wyp ro wad zo n e  powyż ej  zależ noś ci  odnoszą   się   do  ruchom ych ukł adów współ rzę dnych. W  celu  uwzglę dn ien ia  oddział ywan ia  kon strukcji  podpierają cej  linię   wał ów  przyję to  nieru- c h o m y  o rt o go n aln y  u kł a d  współ rzę dn ych  X x ,  X 2 ,  X 3   (rys.  1), którego  oś  X x   pokrywa  się z  osią   o br o t u  linii  wał ów.  Osie X 2 ,  X 3   są   w  chwili  t 0   =   Iknjai,  k  =   0 , 1 , 2,  ...  odpowiednio równ oległ e  d o  osi  x i2 ,x i3   lokaln ych  ukł adów  współ rzę dnych  tych  odcinków  obliczenio- wych,  dla  kt ó rych  (I 2 )t  =   (/ 3)j.  Osie  xtl,  xi3  lokaln ych  ukł adów  współ rzę dnych  tych  od- cin ków,  d la  kt órych  (72)j  #   (,h)i,  mogą   w  ogólnym  przypadku  nie  być  w  chwili  t0  odpo- wiedn io  równ oległ e  do  osi  X 2 ,  X 3 .  N iech  zatem  <5; oznacza  ką t  obrot u  lokaln ego  ukł adu współ rzę dn ych  / - tego  odcin ka  obliczeniowego  w  stosun ku  do  ukł adu X t ,  X 2 ,X 3 ,  mierzony w  kieru n ku  wirowan ia  wał ów  w  chwili  t 0 . D la  uproszczen ia  opisu  wprowadzon o  cią g  indeksów  1,  2,  . . . ,  n  (n —  liczba  ł oż ysk), odpowiadają cych  kolejnym  p o d p o ro m  ł oż yskowym.  Am plitudy  ^- tych  harm onicznych u o gó ln io n ych  reakcji  ł oż ysk  i  przemieszczeń  wał u  w  miejscach  p o d p ó r  ł oż yskowych  w  lo- kaln ych  u kł a d a c h  współ rzę dn ych  ozn aczon o An alogiczn e  wielkoś ci  w  ukł adzie  X t ,  X 2 ,  X 3   ozn aczon o Z at em  w  dowoln ej  chwili  t  zachodzą   relacje: (2.25)  u t   =  n,M„   ft  =   I V gdzie: =    ̂ <> =  rn;,n;j,  n;  - M acierze  I I j  m o ż na  przedstawić  w  po st aci: (2.26) =  h ...,«, ;,  ń jj. n; = D RG AN IA  WYMUSZONE  LI N I I  WAŁÓW  527 W  celu  wyprowadzenia  zależ noś ci  obejmują cej  n  ł oż ysk  tworzymy  macierze: (2.27)  n  =   ń exp("jco/) +  ft +  ń exp(jft>0  , Dynamiczne  wł asnoś ci  konstrukcji  podpierają cej  linię   wał ów moż na okreś lić  przy  po- mocy  macierzy  podatnoś ci  dynamicznej  tej  konstrukcji: ^ f  =   K % ] 6 ,  O . / 8- 1. . . . . 6J  0 « . . „ - v,  ....  - 1 , 0 , 1 . . . !». . ., gdzie 4(j2/j J e s t  wartoś cią   ilorazu  amplitudy / i- tej  harmonicznej przemieszczenia  w  miejscu r- tej podpory ł oż yskowej w kierunku  a i amplitudy /*- tej harmonicznej wywoł ują cej  to prze- mieszczenie  sił y,  przył oż onej  w  miejscu  j- tej  podpory  ł oż yskowej  w  kierunku  / ?: (2.28)  ^ " Jak  ł atwo  stwierdzić,  zachodzi  przy  tym 2> (2.29)  d[rf  -   «fl& gdzie rf/ jijj może  być  okreś lone  w  znany  sposób  [2]: (2.30)  djfo  =  5j0axp[y(*»f+  «$, ) ] [§r>exp Qvcot)]~\ u\ 3,f$  — rzeczywiste  amplitudy  przemieszczenia  i  sił y  (w  ukł adzie  X 1 ,  X 2 , ei5«j3 —  ką t  przesunię cia  fazowego,  wywoł anego  tł umieniem  w  konstrukcji. Tworzymy  macierze  kolumnowe: Ogólna  zależ ność  pomię dzy  macierzami  kolumnowymi  fw  i  u^   ma  postać: (2.31)  w(")  =  Z>(«/<">. Zależ ność  ta  nie  obejmuje  wpł ywu  podatnoś ci filmu  olejowego  w  ł oż yskach.  W  celu uwzglę dnienia  podatnoś ci  filmu  rozpatrzymy  wał  na dwóch  podporach, którego  schemat obliczeniowy  przedstawiono  na rys.  3. Film olejowy traktowany jest jako  nieważ ki,  dlatego siła  oddział ywania  wał u na film  w  danym ł oż ysku jest  równa  sile  dział ają cej  n a  podporę tego  ł oż yska. Zachodzi  zatem  oczywista  zależ noś ć: przy  czym  amplituda  ugię cia  filmu  pod  wpł ywem  sił y f 2   —fi l ' ) exp(Jfj.cot) wynosi 2)  Zastosowane  w  niniejszej  pracy  przedstawienie  wielkoś ci  harmonicznych  przy  pomocy  dwóch wirują cych  w przeciwnych  kierunkach wektorów  na pł aszczyź nie zmiennej zespolonej  i rozszerzenie  poję cia macierzy  podatnoś ci  dynamicznej  n a  ujemne  wartoś ci  fi  jest  zwią zane  z  postacią   macierzy  JJ  (2.27). 528 J .  KOLEN D A gdzie  b 2 ,  c 2  — współ czynniki  zlinearyzowanych  charakterystyk  tł umienia  lepkoś ciowego i  sztywnoś ci  filmu  olejowego  w  ł oż ysku  2.  Moż na  wię c  napisać: figo  = i  analogicznie  dla podpory gdzie  df> i 4 A ) są  zespolonymi  podatnoś ciami dynamicznymi filmu  olejowego  w  łoż yskach 1  i  2: # °  -   {.Ci+jjuabtT 1,  i =  1,2. R ys.  3.  Schemat  przemieszczenia  wał u  z uwzglę dnieniem  podatnoś ci  filmu  olejowego  i  konstrukcji  pod- pierają cej.  b u   b z ,  e, , c 2 — współ czynniki  tł umienia  lepkoś ciowego  i  sztywnoś ci  filmu  olejowego w_ło- ż yskach  1 i  2; di; — współ czynniki  podatnoś ci  dynamicznej  konstrukcji  podpierają cej  ( / , / =   l , 2 ) ; / 2 — sił a  dynamicznego  oddział ywania  waiu  n a film  olejowy  w ł oż ysku  2; h,  / 2 — wysokoś ci  filmu  olejowego w  ł oż yskach  1 i 1, u 2  — przemieszczenie  wał u w miejscu  podpory  2; % f   — ugię cie filmu  olejowego w ł o- ż ysku  2 pod wpł ywem  sił y  f 2 U ogólniają c  powyż sze  rozważ ania  moż na  zamiast  (2.31)  napisać: (2.32)  uw  =- D(l'Y°l\ gdzie Dm  róż ni się  od macierzy Dw  tym, że jej  elementy na gł ównej  przeką tnej są  równe3): (2.33)  d\ $ a  = df& a   + ( c ; a  +j/ ua)bia)~ l . Poczynają c  od zależ noś ci  (2.28)  sił y  w ł oż yskach  traktowano jako  siły  dział ają ce na podpory  ł oż yskowe  i  film  olejowy,  a  uprzednio — jako  reakcje  oddział ywują ce  na  wał. D o  dalszych  rozważ ań  stosować  bę dziemy  zatem  zamiast  (2.32)  zależ noś ć: (2.34)  uw  =   - Dwfw, gdzie/ ''"  jest  macierzą   kolumnową   amplitud  / t- tych  harmonicznych reakcji  dział ają cych na  wał  w  ł oż yskach,  w  ukł adzie  X 1 ,X 2 ,X 3 . 3 )  Lub  dftla  -   d^ +(.c^ +jlia>b^ )~ l,  gdy  współczynniki  sztywnoś ci  i  tł umienia  filmu zależą w istotny  sposób  od  czę stoś ci wymuszeń. D RG AN IA  WYMUSZONE  LI N I I  WAŁ ÓW Z  zależ noś ci  (2.25)—(2.27)  i  (2.34)  wynikają  r ó wn a n ia : 529 (2.35) Rozpatrzym y  ogólny  przypadek,  gdy  analiza  drgań  win n a  objąć  h arm on iczn e M ego  wł ą cznie.  Odrzucając  z  równ ań  (2.35)  h arm on iczn e  rzę du  wyż szego  od  r macierze  kolum n owe otrzymuje  się: (2.36)  C/ (r)H ('»  =   Rm£ir\ gdzie: ~  ft n n  n  n rzę du  d o i  tworząc n n ii n n u ń ft u u n n ii ii D < - lł n 530 J .  KOLEN D A (2.38) P o zo st ał e  bloki  m acierzy  U(n  i  i?( r >  są   zerowe.  Z  równ an ia  (2.36)  otrzymuje  się 4 ) : (2.37)  uin  =   ( Z T ^ J R W / w. Z ależ n oś ci  (2.35)—(2.37)  ukazują   sprzę ż enie  kolejnych  harm on iczn ych sił  i przemieszczeń, co  un iem oż liwia  wyznaczenie  sum arycznego  rozwią zania  ja ko  superpozycji  rozwią zań dla  każ dego  rzę du h arm on iczn ej drgań .  M oż liwość  t aka istnieje  w przypadku,  gdy wszystkie odcin ki  lin ii  wał ów  wykazują   koł ową   sym etrię   sztywnoś ci  gię tnej  (72  =   / 3 ) . Analizę   drgań m o ż na  wówczas  prowadzić  w n ieruch om ym ukł adzie współ rzę dnych, wykorzystują c  zamiast (2.37)  zależ n ość  (2.34). P oniż ej  przedstawion o  schematycznie  sposób  wyznaczenia  rozwią - zań  z  wykorzystan iem  zależ noś ci  (2.37). Waru n ki  brzegowe  (2.3)  i  (2.4)  m oż na  dla  kon kretn ej  linii  wał ów  przedstawić  w  postaci: A^ af>  =  0, I JSJ- BSPCfw) *   - 0 ., k=l gdzie  m acierz  Air)  wyznacza  się   z  warun ków  (2.3)  przez  wykorzystanie  zależ noś ci  (2.16) i  (2.17)  ( dla  x  =   0), m acierze Bw,  Bjv)  i B^   powstają   w wyniku  wym noż enia  odpowiednich m acierzy  przejś cia  d la  cał ej  linii  wał ów,  /  jest  liczbą   pun któw  przył oż enia  zewnę trznych sił   wym uszają cych,  przy  czym (f ww h  -   {(.f«wh},  «  -   1. • • •»  6- macierz  kolum n owa  am plitud  f  :' ^- tych  h arm on iczn ych sił  wymuszają cych  w / c- tym pun kcie Unii wał ów. T worzą c  m acierze  kolum n owe ą V  =  {a[- '\ .... 4- W  a[°\   <$>.  ..., «?>}> 7 W W  =   {(fww)x,  ( / w W ) a ,  .»,  CT°? ł)j}, m o ż na  n a  podstawie  (2.38)  n apisać: (2.39)  ^Wfljp  =   0 , (2.40)  5 c r gdzie: rw(- l)  ?w(0)  iv( =  0 , A™ B (.n 4 )  Wykorzystują c ortogonalnoś ć macierzy iT m o ż na  (Wr> )- * otrzymać z macierzy  J7,  J?(r>  i  Blr)  są   zerowe. Z  kolfei  n ależy  wyrazić  um  w  funkcji  n ie wia d o m yc h / ( r )  i  alp.  G dy  i- ty  odcin ek  obli- czeniowy  podparty jest  n a  swym  koń cu j- t ym  ł oż yskiem,  t o  m acierz  kolum n owa  am plit u d «- tych  h arm on iczn ych  przemieszczeń  w  tym  przekroju  wał u  jest  r ó wn a : (2.41) u\ ?  = W  wyniku  wyznaczenia  aj**'  w  funkcji  a(/ °  i  wprowadzen ia  cią gu  in deksów  1, 2,  . . . , n  dla kolejnych  ł oż ysk,  zależ ność  (2.41)  przyjmie  p o st a ć : Ii. (2.42) gdzie  Ij jest  liczbą   pu n kt ó w  przył oż en ia wymuszeń  zewnę trznych  n a  odcin kach p o d p a r t yc h ł oż yskami  1,2,  ...,j.  Kojarzą c  zależ noś ci  (2.42)  dla  /   =   1,2,  ...,n  otrzym uje  się : gdzie  macierz  C ( y ) m a  wymiar  6n x  61  i jej  postać  zależy  o d  rozm ieszczen ia  p u n kt ó w  przy- ł oż enia  wymuszeń  zewnę trznych,  n atom iast Cf o fcfi 6n Z atem  dla  wszystkich  rozpatrywan ych  harmonicznych. (2.44)  M(P> =   l gdzie: 532 J .  KOLEN D A c ( r ) C C 1 > C  _  6n (2r+ l)x6/ (2r+ l P ozostał e  bloki  m acierzy  C (1°  i  C(r)  są  zerowe.  Z  zależ noś ci  (2.37)  i  (2.44)  otrzymuje  się: (2.45)  f(r)  =   P(r)(Cmi gdzie: Z  zależ n oś ci  (2.39),  (2.40)  i  (2.45)  wyznaczyć  m oż na  m acierz  a'/ ': or  o  i p o  czym  korzystając  z  m acierzy  przejś cia  i  zależ noś ci  (2.16),  (2.17),  (2.45) —  param etry d rgań  wym uszon ych  wszystkich  odcin ków  linii  wał ów. 3.  Wyznaczenie  współ czynników  podatnoś ci dynamicznej P o d o bn ie  ja k  dla  u kł a du  rozpatrywan ego  w  [1],  poszukiwan e  współ czynniki  podat- n oś ci  wyznaczyć  m o ż na  n a podstawie  wyników  pom iarów  drgań  linii  wał ów  przy  znanych wym uszen iach .  N a  wstę pie  wyznaczymy  odpowiednie  zależ noś ci  dla* przypadku,  gdy  linia wał ów  zawiera  odcin ki  wykazują ce  asym etrię  sztywnoś ci  gię tnej,  a  zn an e  wymuszenia dział ają  p rzy  wirowan iu  wał ów.  W  tym  celu  wykorzystam y  ogólne  wyraż enia,  wynika- ją ce  z  zależ n oś ci  (2.25)*,  (2.27)  i  (2.34): (3.1)  w(r)  =   (£/ (r>)- łM (r>, (3.2)  / ( r )  =  Uir)fm (3.3)  «w  = gd zie: Z  r ó wn a ń  (2.44)  i  (3.1)  otrzymuje  się: (3.4)  /«• >  =   ( gc) ) D RG AN IA  WYMUSZONE  LIN II  WAŁ ÓW  533 W  wyniku  podstawien ia  (3.4)  d o  warun ku  (2.40)  m o ż na  wykorzystując  warun ek  (2.39) n apisać: (3.5)  ą V gdzie:. Z  zależ noś ci  (3.2),  (3.4)  i  (3.5)  wyn ika: (3.6)  f n  =   U < n ( ^ - l { i ( U ^ - i - ^ ^ Jeś li  macierz  kolum n ową  am plitud  zn an ych sił  wymuszają cych  w  / - tym  warian cie  pom ia- rowym  oznaczymy  przez  (fwCO)i,  a  m acierz odpowiadają cych  im  am plitud  przem ieszczeń wał u  w  ł oż yskach  przez  (um)i,  t o  m acierz  zawierają ca  poszukiwan e  m acierze  podatn oś ci dynamicznej kon strukcji  podpierają cej  (ł ą cznie z film em  olejowym)  wyznaczyć  m o ż na z za- leż noś ci  : (3.7)  Dm  m  U^ (Fm)- \ gdzie: Relacje  (2.29) i (2.30) pozwalają  zmniejszyć  wymiary  m acierzy w zależ n oś ci  (3.7) i n iezbę dną liczbę  warian tów  pom iarowych  z  6n(2r+l)  n a  6n(r+l)  (tj.  n a  podstawie  p o m iaró w  wys- tarczy  wyznaczyć  m acierz  £>Cr)  =   —  p Ź >( 0 ) , i> ( 1 > ,  ...,  - D(t2- J6/ >(r+ i))- Z akł ada  się  przy  t ym  liniową  niezależ ność  m acierzy  kolum n owych  ( / ( r ) ) j  dla  i  =  1, 2,  . . . , 6n ( r + 1) .  W  szczególnoś ci  m oż na  to  uzyskać  dyspon ując  jed n ym  ź ródł em  sił   wymuszają- cych,  przykł adając  je  kolejno  w  /  =   n  pu n kt ach  linii  wał ó w5 ) ,  w  kierun kach  odpowiada- ją cych  a  =   1,  . . . ,  6  i  z  czę stoś ciami  0,   a>,  2a>, ...,ro>. W  przypadku,  gdy  przy  pom iarach  lin ia  wał ów  n ie  wiruje,  równ an iam i  wyjś ciowymi do  podobn ego wyprowadzen ia  zależ noś ci  okreś lają cej  m acierz podatn oś ci D ( v )  są  wyraż en ia (2.34),  (2.38)  i  (2.43)  dla  fi  -   v,  w(I°  =  ««, '/ *»  = / ( p ) . G dy  wszystkie  odcin ki  linii  wał ów wykazują  koł ową  symetrię  sztywnoś ci  gię tnej  i  an a- liza  prowadzon a je st  przy  wirują cej  linii  wał ów  w  n ieruch om ym ukł adzie współ rzę dn ych, wykorzystać m o ż na  zależ noś ci  (2.34),  (2.38) i  (2.43)  d la  / i = v z  zam ian ą  w0 0  n a  um  i / <*° n a  / ( v >  oraz  odniesieniem  zn an ych  sił   wymuszają cych  do  n ieruch om ego  u kł a du  współ - rzę dnych. 5 )  Przy  zmianach  punktów  przył oż enia  sił  wymuszają cych  macierze  Ć(r>,  Cm,  C < r> ,  £ < r \   L ln  i  Af(r) nie  ulegają  zmianom,  gdy  podział   linii  wał ów n a  odcinki  obliczeniowe  (p. 2) uwzglę dnia  wszystkie t e punkty. 534  J.  KOLEN D A 4.  Uwagi  koń cowe W  celu  zach owan ia  ogólnoś ci  rozważ ań  nie uwzglę dniono  w niniejszej  pracy, że wpływ p o d a t n o ś ci  fun dam en tów  przy  drgan iach  skrę tn ych  linii  wał ów jest  pomijalny  i  odpowied- n ie  elem en ty  macierzy  podatn oś ci  dynamicznej  poza  gł ówną   przeką tną   są   równe  zeru, a  n a  gł ównej  przeką tn ej  —  zredukowan e  d o czł onów dotyczą cych  wpł ywu  filmu  olejowego w  ł oż yskach. To sam o  dotyczy  drgań  podł uż n ych linii  wał ów gdy fundament  nie  przejmuje sił   poosiowych ,  n p .  przy  braku  ł oż yska  oporowego.  Elem enty  macierzy  podatn oś ci dy- n am iczn ej  odn oszą ce  się  do drgań  gię tnych  mogą   być wyznaczone  n a podstawie  4«( r + l) warian tów  pom iarowych ,  a przy  ogran iczen iu  się  do drgań  poprzecznych — n a  podstawie 2n(r+l)  warian t ó w  (przy  czym  ź ródł em  stał ej  sił y  wymuszają cej  w  ruchom ym ukł adzie współ rzę dn ych  m oże  być  osadzon a  n a  wale  n iewyrówn oważ ona  m asa,  wirują ca  wraz z  wał em ). P o m ia r y  przy  wirują cym  wale  mają   tę  zaletę , że wł asnoś ci  tworzą cego  się  wów- czas  w  ł oż yskach  klin a  sm arn ego  są   bardziej  zbliż one  do analogicznych  wł asnoś ci  w  wa- ru n kach  eksploatacyjn ych ,  niż charakterystyki  warstwy  oleju  smarnego  w ł oż yskach  przy n ieru ch o m ym  wale. P rzedstawion a  powyż ej  m et oda  identyfikacji  podatn oś ci  dynamicznej  konstrukcji podpierają cej  ł ą cznie z filmem  olejowym  wymaga  pom iarów  przemieszczeń  wał u w ł oż ys- kach  wzglę dem  n ieruch om ego  ukł adu  współ rzę dnych.  Jeden  ze sposobów  realizacji  tego zad an ia m oże polegać n a równoczesnej  rejestracji  wzglę dnych  przemieszczeń wał u w ł oż ysku (m ierzon ych  n p.  czujnikiem  bezkon taktowym )  i  drgań  obudowy  ł oż yska  oraz  na  zsumo- wan iu  wyników  w/ w pom iarów,  odn oszą cych  się  do  tego  sam ego  kierun ku  wzglę dem  nie- ruch om ego  u kł ad u  współ rzę dn ych. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J.  KOLE N D A,  Metoda  identyfikacji  podatnoś ci  dynamicznej fundamentów  maszyn,  Mech. Teor.  i  Stos., 3,  16  (1978). 2.  R.  E. D .  BI SH OP ,  G . M . L.  G LAD WELL,  S.  MICH AELSON ,  Macierzowa  analiza drgań , WN T, Warszawa 1972. P  e 3 io  M  e BBIHy^KflEHHBIE  KOJIEBAHHJI BAJIOnPOBOflOB  C y^IETOM  ACHMMETPHH H 3rH BH Ofł   aKecrKocTH .  J J J I H   yMeH tuieH H H  pa3M epos  MaTpntq  cacTeMbi  npHMeHHioTCH  MaTpKubi  n epexofla,  CBfl3BiBa- KoacpepHijHeHTŁi  peineH H ft  coceflBMX  yqacTKoB  BanonpoBOAa.  T a m i e  M aipim bi  n epexofla  n pom e n epexo fla  cBH 3broaiom n x  BeKTopbi  nepeMemeH Mfi  H   ycjt m d ł j  a  H X yM H omeime  MOH B  cjiy^ae  ytł acTKOB  c  oflHHaKOBbiMH   4>H3H îecKHMH  napaweTpaMH   3aMeHeHO cyMMHpoBaHHeM  apryMeHTOB D R G AN I A  WYM U SZ ON E  L I N I I  WAŁ Ó W  535 H,  HaxoflHin.tfxcH   B STECX  M aTpnuax.  P e u ie n n e  nojiyyaeTCH   H 3 CHcreivibi con pim teH H M x OTHOCJIIUHXCH  K BCeM   paCCMaTpHBaeMŁIM  l'apMOHH îeCKHM   COCTaBJIHIOmilM. TCH   MeTOfl  o n p en en ero w;  K03<ł>d_)HLiileHTOB flH H aM H iecKOH  noflaTjiH BocTii BMecre  c MacnHHBiM   CJIOSM  Ha  OCH OBC  pe3yjibTaTOB  M3mepeHHH  icojieSam iił   Ba n o n p o Bo a a  n p i i  H 3BeerH bix B03M ymeH iwx,  npiiKJiafltiBaeM bix  B  JI I O 6M X  TOMicax  Ban on poBofla. S u m m a r y F ORCED   VIBRATION S  OF   SH AF TIN G S  WITH   ASYM M ETRY  OF   A  BE N D I N G   R I G I D I T Y  ON F LEXIBLE  F OU N D ATI ON S. ID EN TIF IC ATION   M ETH OD   OF   TH E  D YN AM IC AL  RECEPTAN CES  O F   SH AF TI N G F OU N D ATION S I n  this  paper  the periodically  excited  vibrations  of  shaftings  are  considered  with  th e  flexibility  of  an oil film  in bearings  and  of  a foundation  taken into account. The  derived  formulae  are  concerned with  un- coupled  bending,  torsional  and  longitudinal  vibrations  governed  by  linear  partial  differential  equations, for  which  the  symmetry  of  a  bending  rigidity  is  not assumed.  T h e size  of  system  matrices  is  reduced  by means  of  the transfer  matrices related  t o solution  coefficients  for  adjacent  shaft  pieces.  Such transfer  mat- rices  have  simpler  form  then ones  related  to  state  vectors  and  their  multiplication  in  the  case  of  shaft pieces  with  equal  physical  properties  can  be  replaced  by  adding  arguments  of  functions  existing  in  these matrices.  Solutions  arc  obtained  from  the set  of  coupled  matrix  equations  relating  to  all  th e harmonics considered. The  identification  method  of  dynamical  receptances  of  a  foundation  together  with  an  oil  film  is pre- sented  which  is  based  on  measurements  of  shafting  vibrations  caused  by  known  excitations  being  put  in arbitrary  shafting  points. POLITECHNIKA  GDAŃ SKA INSTYTUT OKRĘ TOWY Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  16  stycznia  1978  r.