Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  lfi  (1978)

OPTYM ALIZACJA  P OŁ OŻ EN IA  P OD P ÓR  BELKI  SZTYWN O- PLASTYCZN EJ  OBC I Ą Ż ON EJ
I M P U LSE M   P RĘ D KOŚ CI

JAAN   LELLEP  (WAR SZ AWA)

1, Wstę p

Optymalizacji  poł oż en ia podpory  dodatkowej  dla  belek  obcią ż onych  statyczn ie  poś wię-
cone  są   prace  (1),  (2).  W  (1)  rozważ ane  są   belki  sprę ż yste  i  plastyczn e,  n a t o m ia st  w  (2)
belki  sztywno- plastyczne.

W  niniejszej  pracy  bę dziemy  rozważ ać  ukł ad  p o d p ó r  dodatkowych  dla  belki  sztywno-
plastycznej  obcią ż onej  dynam icznie  (impulsem  prę dkoś ci  począ tkowej).  P rzedm iotem
pracy  bę dzie  optym alizacja  poł oż en ia  p o d p ó r  poś redn ich  z  uwagi  n a  m in im u m  n aj-
wię kszych  przemieszczeń  koń cowych.  R ozważ ane  jest  równ ież  zagadn ien ie  d u a ln e:  zn a-
leźć najmniejszą   obję tość  belki  przy  zachowaniu  warun ków,  że  najwię ksze  przem ieszczen ia
koń cowe  nie  przekraczają   danej  wartoś ci.  W  tym  celu  w  prostoką tn ym  ukł adzie  współ -
rzę dnych  Oxy  rozważ amy  belkę   o  dł ugoś ci  /.  N iech  w jedn ym  ko ń cu  (przy  x  =   0)  belka
bę dzie  utwierdzon a,  a  w  p u n kt ac h  x  =  ę

k
  (k  =   1,  . . . , «)  i  x  =   /   swobodn ie  p o d p a r t a .

P rzy  uzyskiwaniu  rozwią zań  stosowan a jest  zasada  ekstrem aln a  T am uża  (6).  R ozważ ać
bę dziemy  belkę   wykon an ą   z  m ateriał u  sztywno- plastycznego.  Z akł adam y,  że  w  chwili
czasu  t  =   0  każ dy  p u n kt belki  z wyją tkiem  p u n kt ó w  podporowych  m a prę dkość poprzecz-
ną   v

0
  =   const.  U waż am y,  że  przemieszczenia  i  odkształ cen ia  są   m ał e  w  p o r ó wn a n iu  ze

stał ą   wysokoś cią   h  belki.  P rzy  tych  zał oż eniach ugię cia  belek  swobodn ie  p o d p a r t yc h  i  u t -
wierdzonych  badan e  był y  w  pracach  (3),  (4).

2.  Sformuł owanie  problem u

W  pracy  wygodniej  jest  korzystać  z  bezwym iarowych  wielkoś ci:
»

t  —
  x

  Vk  _  4U
S-

T
,  ft- - p

  m
- — - ^ ,

(2.1)
__  a

0
bh

2
t  a

o
bh

z
W

T
~  4/ nv

0
l

2
'
  W

  ~~4/ j,vź l
2
  '

gdzie  M  oznacza m om en t zginają cy,  W —przemieszczenie  w kieru n ku  osi  Oy. Wielkość  <r
0

jest  granicą   plastycznoś ci  przy  jedn oosiowym  stan ie  n aprę ż en ia,  ju  m asa  n a  jed n o st kę
dł ugoś ci,  n atom iast  b  —  szerokość  belki.  U wzglę dniając  (2.1)  sformuł ujemy  zagadn ien ie

11  Mech.  Teoret. i  Stos.  4/78



574  J.  LELLEP

w nastę pują cej  postaci. N ależy wyznaczyć  taki ukł ad  j l s  ..., s,„ który  minimalizuje  1)  ś red-
nie  przemieszczenie  koń cowe,  2)  obję tość  belki  V  — Ibh przy  ograniczeniu, że przemiesz-
czenia  koń cowe  nie  przekraczają  danej  wartoś ci  W %,  3)  najwię ksze  przemieszczenie koń-
cowe.  M am y  więc  trzy  typy  kryteriów  jakoś ci:

(2.2)  Ą

(2.3)  J
2
  =  V  przy  ograniczeniu  w

f
(C)

(2.4)  J
3
  =   max  w/ f) ,

0 f l

gdzie  vty(£)  oznacza  przemieszczenie  koń cowe.

D la  okreś lan ia  przemieszczeń  stosujemy  zasadę  Tam uża  (6).  Z asada  ta  stwierdza,  że
w  każ dej  chwili  czasu  T przyś pieszenia  rzeczywiste,  wybrane  z  klasy  przyś pieszeń  kine-
matycznie  dopuszczalnych  są  punktam i stacjonarnoś ci  pewnego  funkcjonał u,  który  w da-
nym  przypadku  m a  post ać:

1

(2.5)  J  -   ji- [»(f,

W  (2.5)  i  w'  dalszym  cią gu  pracy

( ) '  =  " ^T O ;  0   =  ~faO>  [   | [ | f e

W  pracy  bę dziemy  stosować  wskaź niki  «', j ,  k.
U mówmy  się, że jeś li n ie pokazan o jakie  wartoś ci  one przyjmują,  to i  =   0,..., n;j  =  1,...,
n- 1;  k  =  0 , , , . , «- !.

W  om awianym  zagadnieniu  warunki  kinematyczne są  nastę pują ce:
1,  warun ek  począ tkowy  (wygodniej  jest  oznaczać  s

0
  =  0,  s

n+1
  =  1)

(2.6)  M »( f. O ) - l  jeś li  fjfĄ,  f ^ l ,

2.  warun ki  brzegowe

(2.7)  W( Ą,  T )  -   w(l,  T)  =   »( J f ,  T)  =   w( l,  T)  =   0.

3.  Okreś lanie przemieszczeń  koń cowych

3.1.  Faza  począ tkowa.  Jak  wiadomo  (3),  (4),  przy  dynamicznym  odkształ caniu  belek
sztywno- plastycznych  prę dkość  przemieszczenia  jest  odcinkowo- liniową  funkcją  | .  N a
rysun ku  1  pokazan o  rozkł ad  prę dkoś ci  dla  czę ś ci  belki  w  przedziale  si  <  S <  Sj+ i.
P un kty  J?2i+ 2(f), ^ 2 I + I ( T )  odpowiadają  niestacjonarnym  przegubom  plastycznym.  W pun-



O P T YM ALI Z AC JA  P O Ł O Ż E N IA  P O D P Ó R 575

ktach  tych  bezwymiarowy  m om en t  zginają cy  m  =   1.  N a  podstawie  rysun ku  1  m oż emy
zapisać:

i + I

dla  st

dla  i

dla

w(ł ,  T)  =

Wzór  (3.1)  zapewnia  speł nienie  warun ku  począ tkowego  (2.6),  jeś li

(3.2)  •   ł ?2!+ i(0)  =   s
u
  r]

2l+2
(0)  =   s

i+l
.

Rys.  1

Z  (3.1)  otrzymujemy  rozkł ad  przyś pieszeń

dla

dla

dla

<

P onieważ  w  pu n kt ach  £  =  St  muszą  istnieć  stacjon arn e,  a  w  p u n kt a c h  £ =   r]
zi+1

(r),

£   =   ??2i+ 2(T) —  n iestacjon arn e  przeguby  plastyczn e,  m am y

(3.4)  ?n(si, T )  =   - 1,  m(r]
2i  + u

  r)  =   m ( ł ?a i + 2 ,  T )  =   1,  m ( l,  T ) =   0.

P odstawiając  (3.3)  do  (2.5)  i  uwzglę dniając  (3.4)  otrzymujemy  fun kcjon ał   /   w  postaci

12

P rzy poszukiwaniu  wartoś ci  stacjon arn ej  dla (3.5) m oż emy zauważ yć, że /   =

Rzeczywiś cie,  z  (3.1)  i  (3.3)  wynika,  że

HS,  T)  =

dla



576 J.  LELLEP

M noż niki  typu  w2/ (tff—£),  wystę pują ce  w ostatnim wzorze  wykazują, że odpowiednie pole
przyś pieszeń  jest kinematycznie  dopuszczalne. Mnoż niki te nie podlegają  wariacji  w (2.5).
Poszukiwanie  wartoś ci  stacjonarnej  funkcjonał u  (3.5)  prowadzi  więc  do  ukł adu równań

róż niczkowych
8J

— 0  (« =  1, ..., 2«+ 2).  Rozwią zując  ten ukł ad i speł niając  warunki

brzegowe  (3.2)  otrzymujemy

rj
2k+2

(r)  =  s
k+i

- ]/ l2r.

Rozpatrzmy czę ść belki mię dzy podporami s
k
  i s

k+i
.  W przedziale  tym faza  począ tkowa

ruchu  koń czy  się w  chwili  r
k
,  którą  wyznacza  się z równania  ^ zk+ii^ k)  =

Z  ukł adu  (3.6)  otrzymujemy
1  '  '  -•>   l

(3.7)

T„ =  —
6( 3+ 2j/ 2) '  1 +  1

gdzie  <x
k
  =  rj

zk+l
(r

k
).

D la  wyznaczenia  przemieszczeń  mamy  zwią zek  (5):

(3.8) .   T)  -

We  wzorze  (3.8)  r*(f)  oznacza bezwymiarowy  czas w którym  w przekroju  x  =   £/  pojawia
się  przegub  plastyczny.  F unkcja  ta ma  postać

(3.9)
12

J_
12

d la  j f c

dla  a
k

dla  ^n

dla  a„

< a„,

1.

Wykonując  cał kowanie w  (3.8) i uwzglę dniając  (3.1), (3.6), (3.7) i (3.9) moż na  wyznaczyć
przemieszczenia  w dowolnej  chwili  począ tkowej  fazy  ruchu. Przemieszczenia  koń cowe tej
fazy są

(3.10)
1

T2~

1 2
1 ]

2  +  1/2  J

dla  j f c <

dla

dla  a„ 1.



O P T YM ALI Z AC JA  P OŁ OŻ E N IA  P O D P Ó R 577

N ależy  podkreś lić,  że  czas  w którym  koń czy  się   faza  pierwsza  m oże  być  róż ny  d la  róż n ych
czę ś ci.

3.2.  Faza koń cowa.  W  tej  fazie  ruch  belki  opisany  jest  prę dkoś ciami

(3.11)
ut~st

dla

dla

gdzie  H ' ; ( T )  oznaczają   pewne  poszukiwane  funkcje  czasu  r.  Z ależ n ość  (3.11)  pozwala
okreś lić  rozkł ad przyś pieszeń.  F un kcjon ał   (2.5)  m a  w  tym  przypadku  p o st ać

fc  =   O

Otrzymujemy  stą d  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  n a poszukiwan e  w
k

(3.12)  ..*  k+1  *  /—•

Warun ki  począ tkowe  dla  u kł ad u  (3.12)  są   n astę pują ce:

(3.13)  w
k
{r

k
)  =   r

k
,  w

k
(v

k
)  =   1,  K=0,...,n.

Z agadn ien ie  (3.12),  (3,13)  m a  nastę pują ce  rozwią zan ie:

(3.14)

Czas  trwan ia  ruch u  r  =  6
t
  w  przedziale  (st,  s

i+1
)  n ależy  wyznaczyć  z  waru n ku  W i(6t) —

=  0.
Z  (3.14)  wynika,  że

(3.15)  8
t
  =•  3 r ; .

P o  scał kowaniu  równ an ia  (3.11)  z uwzglę dnieniem  (3.7), (3.10),  (3.14),  (3.15)  otrzym ujem y
przemieszczenia  koń cowe  *

„   1

(3.16)

2 ( 2 + ] / 2 )

2.(1 +  |/ 2)

dla  s
k
  <  |  ^  a Ł ,

dla  CSJŁ <  f  <  Ą t+

dla  sB  <  f  <  a„,

dla  a.  <  K  1.



578 J.  LELLEP

Przemieszczenie  koń cowe  dla  przypadku  jednej  podpory  dodatkowej  pokazano  na
rys.  2. Krzywa  1 odpowiada poł oż eniu podpory s  — 0,54, druga s  =  0,7.

0,2  •   0,1  0,5  0,8  1,0

Rys.  2

4.  Optymalizacja  poł oż enia  podpór  poś rednich

4.1.  Minimalizacja  ś redniego  przemieszczenia  koń cowego.  R ozważ my  kryterium  (2.2),  które
p rzy  uwzglę dn ien iu  (3.16)  m a  postać

(4- 1)

Warunkami  koniecznymi  n a  extremum  funkcji  (4.1)  są   równoś ci

(sj- Sj_1)
2- (sJ+ 1- Sj)

2  =  0,

( 4 - 2 )  '  ( , - , * - '

3 +  2]/ 2

2/ 2  •  i

U kł ad  (4.2) prowadzi  do wyniku

(4.3)

W  przypadku  n  =  1 mamy  Si  =  0,54.
Ekonomię   tego  projektu  wyraż amy  ilorazem .

_  o

gdzie  W^(T ) oznacza .przemieszczenie  koń cowe  dla  belki  na  dwóch  podporach  (w  tym
przypadku  w  (4.1) moż na  przyją ć  s

t
 — 0). Wartość  e

x
  wynosi

,  _   3 + V2



OPTYMALIZACJA  POŁ OŻ EN IA  POD PÓR 579

Z  praktyczn ego  pu n kt u  widzen ia, po wyż szy  wskaź nik  ekon om ii  wynikają cy  z  porów-
nania  belek  o  róż nej  liczbie  p o d p ó r jest  o  tyle  zniekształ cony, że  n ie  uwzglę dnia  kosztu
budowy  dodatkowych  p o d p ó r.  U wzglę dnienie  tego  typu  kosztów  wykracza  p o za  ram y
niniejszej  pracy.  M o ż na  jedn ak  porówn ywać  belkę  optym aln ą  z  belką  o  tej  sam ej  liczbie
podpór  ustawionych  w  róż n ych  odległ oś ciach.  W  tym  przypadku  koszt  budowy  p o d p ó r
jest  niejako  wyeliminowany,  a  odpowiedn i  wskaź n ik  ekon om ii  wynosi

_  _  8 ( 3 + 2 j/ r 2 ) ( n + l ) 3

Wielkoś ci  e
t
  i  £\   odpowiadają ce  kilku  wartoś ciom  n  po dan o  w  tablicy  1.  T ablica  t a

zawiera  również  współ czynniki  s  i  s',  które  w  nastę pują cy  sposób  okreś lają  współ rzę dne
podpór  porówn ywan ych  projektów

s
k+l

  =  s(k  + l),  s'i
+1

  =   s'(i+l).

Z  tablicy  1 wynika,  że  wielkość  E^   przyjmuje  wartoś ci  bliskie jedn oś ci.  O zn acza  t o ,  że
ś rednie  przemieszczenie  koń cowe  belki  stosun kowo  m ał o  zależy  od  zm ian y  poł oż en ia
podpór.

11

<?i

Ei
e 2
E

2

s
a'

1

0,2121
0,9814
0,4605
0,9210
0,5000

'  0,5395

2

0,0895
0,9832
0,2991
0,8974
0,3334
0,3504

Tabela

3

0,0491
0,9856
0,2215
0,8860
0,2500
0,2595

L

4

0,0309
0,9877
.0,1759
0,8793
0,2000
0,2060

5

0,0213
0,9892
0,1458
0,8748
0,1667
0,1708

6

0,0155
0,9905
0,1245
0,8715
0,1429
0,1459

4.2.  Minimalizacja  obję toś ci  belki  przy  ograniczeniu na przemieszczenia.  Wyz n a c z a m y  wa r t o ść
minimalną  wysokoś ci  belki  przy  warun ku,  że  przem ieszczenia  koń cowe  n ie  przekraczają
danej  wartoś ci  W

%
  (kryterium  (2.3)).  Wariacji  po d d awać  bę dziemy  tylko  wysokość  przy

stał ej  szerokoś ci.  '

W  tym  celu  we  wzorach  (3.7),  (3.14)  i  (3.15)  zgodn ie  z  (2.1)  zastą pimy  w;  - »  W ih
2
,  r

t
  - *•

- > tih2,  6
t
  -> 3tih2.  M am y  zagadn ien ie  n astę pują ce:  znaleźć  m in im um  fun kcjon ał u

J
2
  =  h  przy  warun kach

1

(4 . 4 ) 24h
2

1

3h
2

D la  rozwią zania  tego  zagadn ien ia  wprowadzam y  funkcjonał



580 J.  LE LLE P

gdzie  Xj •   5=  O oznaczają   n iewiadom e  m n oż n iki  Lagran ge'a,  takie,  że

(4.6)

M in im alizacja  funkcji  (4.5)  prowadzi  d o  ukł adu

(4.7)

- Sj)  =   0,

!= •   =   0 ,

(4.8)

!=

= 0 .
./ =o

Z  u kł a d u  (4.7)  i  (4.8)  wynika,  że  we  wszystkich  zwią zkach  (4.4)  zachodzi  zn ak  równoś ci.
Rzeczywiś cie,  jeś li  n a  przykł ad  pierwsza  nierówność  (4.4)  m a  postać

2 -

t o  zgodn ie  z  (4.6)  k
0
  =   0  i z  (4.7)  wynika,  że  albo  sj  = 0  albo  Xj  — 0(j  =  1,  . . . , «) .  Przy-

p a d e k  pierwszy  jest  n ieuzasadn ion y  z  p u n kt u  widzenia  fizycznego  n atom iast  drugi  p o -
woduje  n iespeł n ien ie  równ an ia  (4.8).  M am y  wię c  w  (4.4)  zn aki  równoś ci.  Teraz  (4.4) jest
ró wn o waż ne  (4.2)  i  (4.3). P rzy  tym  optym aln a  wysokość  belki  wynosi

[l +  (2A +

Z ależ n ość  wysokoś ci  belki  od  W *  dla  n  =   1, 2,  3 pokazan o  n a  rys.  3.
E ko n o m ię   kształ tu  okreś lamy  wzoram i  e

2
  =  hjh,,

f
  i  E

2
  — h/ h',  gdzie  h jest  wysokoś cią

belki  jedn oprzę sł owej,  a  li'  —  wysokoś cią   belki  o  « +  l  równ ych  przę sł ach.  Z arówn o



OPTYMALIZACJA  POŁOŻ ENIA  PODPÓR  581

h*  jak  i K  są   takie,  że maksymalne  przemieszczenia  w  obu belkach  wynosi  W *. M am y
wówczas

4.3.  Minimalizacja  maksymalnych  przemieszczeń  koń cowych.  U wzglę dnienie  (3.13)—(3.16) po -
zwala  przekształ cić  kryterium  (2.4)  do postaci

(4.9)  A

M oż na  oczekiwać, że funkcjonał   (4.9)  osią ga  minimum, jeś li  maksymalne  przemieszczenia
w przedział ach  (s

k
, s

k
 n )  są  sobie równe. M amy wię c

24  fe+ i- ^- )2  -   24  (sJ~~ sl- rf>

2 4 l V "  ł - V  .  3 ( 3 + 2 / 2 ) "

Ostatni  ukł ad  jest  równoważ ny  (4.2), zatem  rozwią zanie  optymalne  (4.3) odpowiada też
kryterium  (4.9).

5.  Zakoń czenie

W  pracy  rozwią zano  zagadnienia  wyznaczenia  optymalnego  poł oż enia ukł adu  dodat-
kowych  podpór  belek  sztywno- plastycznych  obcią ż onych  impulsem  prę dkoś ci  z  uwagi
na  minimum a) ś rednich, b) maksymalnych  przemieszczeń  koń cowych,  c)  obję toś ci  belki
przy  ograniczeniu  przemieszczeń  koń cowych.  Wykazano,  że we  wszystkich  przypadkach
podpory  dodatkowe  mają   te  same  optymalne poł oż enia.

Autor  pragnie podzię kować  Prof. A.  Sawczukow{ i  mgr  H.  Stolarskiemu  za  okazaną
pomoc  i  rady przy  opracowywaniu pracy.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  Z .  M R Ó Z ,  G . I . N .  ROZVAN Y,  Optimal design  of structures with variable  support conditions, .T. Optimiz.
Theory  and Appl., 15, 1 (1975), 85—101.

2.  W.  PRAG ER,  G . I. N .  ROZVAN Y,  Plastic design of  beams: optimal locations of  supports and steps  in yield
moment,  I m . J. M ech.  Sci,. 17, 10 (1975), 627—631.

3.  P . S.  SYMEN DS, L arge plastic deformations  of beams under blast type loading,  Proc.  2d  U .S. N a t .  C on gr.
Appl.  Mech.  Ann Arbor, 1954,. 505—515.

4.  H . JI ..  .H H KOBH IJ  JJu.Ha.MUKa ynpyBO- ruiacmmecKUx  SanoK,  JleiiH H rpan,  1960.
5.  R.  HEJiJiErij  O  Gonbiuux  npoitidax oicecmKo- n/ iacniUHecKux- cmepoicHeu  npu  duuaMwiecKOM  nazpyoice-

uuuy y*i.  3an. Tam ycKoro  yH- Ta, 277  (1971), 258 -  269.
6.  B. n .  TAMY>KJ  06  odhoju  yunuMajibuou  npuwjune e dunaMUKe  McecmKonnacmunecKOzo  meAa,

M3T. H  mx.,  26  (1962), 715 -  722.



582  J .  LELLEP

P  e  3  IO  M  e

onTH M H 3AU ,na  PAcnojKmEH H H   flonojiH H TEJibH tix  o n o p
HArPyjKEHHOK  aCECTKO- nJIACTHHECKOK BAJIKE

PaccMaTpH BaeTCH   H 3ra6  >KecTK0- njiacTfWecKOH   Sajiral  noflBepHceHHOH   fleKcTBH io  M raoBem roro  H a-
KM nyjibca.  Eam<a  HaxoflHTcn  Ha n+2  o n o p a x,  H3  KOToptix  flBe  3aKpennm oT  KOH I I BI  6ajiKH .

P eu ieH a  3aflan a  onpeflejieirH H   pacnono>KeH H !i  AononHHTeJibHLix  o n o p ,  n p H   KOTOPOM   ocTaTo^H Bie  rrpo-
T H&bi  npHHHMaioT MHHHMajiBHbie  3H a^eH H H . PaccM OipeH a  ii  oSpaTH aH   3afla^ia  naxo>KfleHHH   MHHHMajibHott
T O JI I H H H Ł I  6anKH   n p K orpaH H ^eH H H  n a  ocraTo^ribie  n p o n r ó b i .

S u m m a r y

OP TIM AL  LOCATION  O F  AD D ITION AL SU PPORTS IN  TH E CASE O F  A RIG ID - PLASTIC BEAM
LOAD ED   IMPU LSIVELY

An  impulsively  loaded  rigid- plastic  beam  resting  on  n + 2  supports  is  considered.  Two  supports  fix
the  ends of the beam. Three optimization criteria are formulated.  Optimal location of the  additional supports
is  found  under  condition  th at  permanent  deflection  of  the  beam  attains  the  minimal  value.
The  minimum  volume  problem  is  studied  in  the  case  of  constrained  deflections.  It is  found  that  the addi-
tional  supports  have  the  same  optimal  locations  in  the  all  considered  cases.

IPPT
PAN

Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  lutego  1978  r.