Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E |C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16  (1978) OPTYMALN Y  D OBÓR  BEZIN ERCYJN EG O  UKŁADU   AM ORTYZ AC JI  P RZ Y  WYM U SZ EN IU H ARM ON ICZ N YM JAN   Ł U C Z KO  (K R AK Ó W) 1.  Wstę p W  pracy  rozważ ono  ustalone  drgania  ukł adu  liniowego  wymuszanego  harmonicznie, reprezentują cego  klasę   ukł adów  mechanicznych  typu:  obiekt- amortyzator- otoczenie. Z ał oż ono,  że  ukł ad  amortyzacji  jest  bezinercyjny  i  okreś lono  jego  optymalne  param etry przy  przyję ciu  stosownego  kryterium  jakoś ci  dział ania  ukł adu  wibroizolacji.  U kł ad  me- chaniczny  strukturalnie  traktowany jest jako  zespół  czwórników  poł ą czonych ł ań cuchowo [1],  [2]. P odobny  sposób  podejś cia  do zagadnienia  wibroizolacji  m oż na  znaleź ć  w  pracach G ureckiego  i  M azina  [3],  [4]. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia Rozpatrzymy  ustalone  drgania pasywnego  ukł adu liniowego  przedstawionego  na rys.  1. U kł ad  A  przedstawia  obiekt  (narzę dzie  wibracyjne)  poddany  wymuszeniu  kinematycz- nemu lu t  sił owemu, element S  ukł adu jest  amortyzatorem  n atom iast ukł ad B  reprezentuje otoczenie  (czł owiek —  operator,  zamocowanie  obiektu).  Celem  dalszych  rozważ ań  bę dzie dobranie  ukł adu  amortyzacji  w  taki  sposób,  aby  przekazywanie  drgań  z  obiektu  n a  oto- Rys.  1 czenie  był o  minimalne.  Bę dziemy  uważ ać,  że  elementy  A,  S  i  B  ukł adu  mechanicznego są   co  do  struktury,  czwórnikami  poł ą czonymi  ł ań cuchowo  [1]. Zał oż ymy  p o n ad t o , że  są one liniowymi  ukł adami pasywnymi  o dowolnej  liczbie  stopn i  swobody,  okreś lonymi  przez odpowiednie  macierze  przejś cia  [2].  Stan  wibracji  w  dowolnym  punkcie  „/ c"  ukł adu (k  =  1 -   5)  okreś limy  przez  wektor  q k (ja>)  =   [Pfc(;a>),  xk(jai)] T  przy  czym  P k Qo>)  i  x k (jm) są   transformatami  sił y  i  przemieszczenia  w  rozpatrywanym  punkcie  ukł adi1.  P omię dzy dwoma  dowolnymi  punktam i  zachodzą   zwią zki: (2.1)  qi(ja>)  =  F k _,(ja>)q k (ja>) (2- 2)  J 6  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/78 494  • *•  Ł U C Z K O o zn ac zym y: (2.3)  F1- 2Q0)  =   A(/ co)  F 2 „ 3 (jco)  =  S(ja>)  i ^ - s O)  =  B(j),  B(ja>)  są   kwadratowym i  m acierzam i  przejś cia  ukł adów A,  S  i B. K ryt eriu m  jakoś ci  dział an ia  u kł ad u  amortyzacji  zostan ie  przyję te  ja ko  zależ ne  od przyspieszen ia  Q(o)2x A (jo>)  dowoln ego  p u n kt u  ukł adu  B  i  przemieszczenia  wzglę dnego a m o r t yza t o r a  x 3 (]'a)) — x 2 (jco).  Wprowadzim y  wielkoś ci  bezwymiarowe  odnoszą c  przyspie- szen ie  p u n kt u  „ 4 "  d o  przyspieszenia  (jco)2xf(Jco)  tego  sam ego  pu n kt u ,  obliczonego  dla sztywn ego  poł ą czen ia ukł adów  A  i  B,  zaś  am plitudę   ruchu  wzglę dnego  am ortyzatora  do am plit u d y  xl(jco)  ruch u  swobodn ego  obiektu  A  (ukł ady  A  i B  n iepoł ą czon e). Przyjmiemy fun kcjon ał   w  p o st ac i: (2.4)  J  = Xz(ja>)- x 2 (ja>) - 0i 2 X%{}0>) gdzie  X ^  0  jest  współ czynnikiem  wagi. T a k  wybran y  funkcjonał   (24)  zapewn i  n am  wię c  z jedn ej  strony  m in im um  przyspiesze- n ia  pewn ego  p u n kt u  n ależ ą cego  d o  otoczen ia  (n p. czł owieka- operatora) lub  obiektu, jeś li zam ien ić  rolam i  u kł ad y A  i B, zaś  z  drugiej  strony  bę dzie  m in im aln y  ruch wzglę dny  amor- tyzatora  c o  jest  p o ż ą d ane  ze  wzglę du  n a  ograniczenia  konstrukcyjne  i  eksploatacyjne  n a- ł o ż o ne  w  prakt yce  n a  ukł ad  am ortyzacji. 3.  Syn teza  ukł adu  wibroizolacji Z ał o ż ymy  dalej, że ukł ad  amortyzacji jest  ukł adem bezinercyjnym,  okreś lonym  w  zwią z- ku  z  tym  przez  m acierz  przejś cia  o  elem en tach : (3.1)  s1Ł(jtt>)  =   s12(j(*>)  =   1  s12(j'a))  = 0  s2 20 - ft ))  = gdzie  współ czyn n iki  c  i  b  okreś lają   odpowiedn io  wł asnoś ci  sprę ż yste  i  tł um ią ce  ukł adu am ortyzacji.  Są   on e  zależ ne  od  czę stoś ci  wymuszenia  co  oraz  od  pewnych  param etrów p t (i  =   1, 2,  • .., / *),  których  ilość  jest  zależ na  od  struktury  przyję tego  am ortyzatora (3.2)  c  =   c(a),p 1} p 2 ,  ...p r ), b  =b(a>,p 1 ,p 2 ,...p r ). P rzykł ad o wo  dla  m odelu  Voigta- Kelvina  (rys.  2a)  zależ noś ci  (3.2) przyjmą   prostą   p o st ać: c  =Pi  b  =p2 zaś  d la  m o d elu  st an dart owego  (rys.  2b)  otrzym am y: °> 2 P2  ,  Pz C  =  p,  + P 3  —v  5~5-   O  =   p P ro blem  opt ym aln ego  d o bo r u  u kł ad u  wibroizolacji  sprowadza  się   wię c  do  znalezienia współ czyn n ików  p t   (t  —  1, 2,  ... r ) ,  dają cych  m in im um  wyraż enia  (2.4)  przy  warun ku n ieprzekroczen ia  przez  wielkoś ci  ]x4.(jw)i  l  \ x3(jo))~x 2 Qo>)\   odpowiednich  wartoś ci  gra- n iczn ych  \ x2(ja>)\  i  | OPTYMALN Y  DOBÓR  BEZIN ERCYJN EOO  495 Rozważ ymy  przypadek  wymuszenia  kinematycznego  (n =  1)  i  sił owego  (n =  2) • U kł ad BSA, przedstawiony  n a rys.  1, moż na zawsze sprowadzić  do ukł adu nieobcią ż onego siłą   na koń cu  P5(ja>)  = 0  (m = 1) lub sztywno  zamocowanego  xs(ja>)  =  0  (m =   2). Wykorzystują c  te warunki  brzegowe  moż na  ze  zwią zku: (3.3)  9s(j)  lub admitancję  (podatn ość dynamiczną ) Yiijio)  w punkcie  „ 1 " ukł adu. Otrzymamy  nastę pują ce  zależ noś ci  dla  wymuszenia  kine- matycznego  lub sił owego: (3.4)  P i O )  =  Z 1 0)*!  (Jco), (3.5)  XL QW )  =Y 1 (jco)J? 1 (ja>). a)  P 1  b)  p, r- VWWWV—i  r- ^WWWW—i P2  P3 Rys.  2 Korzystają c  ze wzorów  (2.1),  (2.2),  (2.3)  oraz  (3.4)  lub  (3.5)  moż na  wyrazić  wszystkie wielkoś ci  wystę pują ce  w wyraż eniu  (2.4) za pomocą   danego  wymuszenia  kinematycznego lub  sił owego.  W  zależ noś ci  od  zamocowania  ukł adu  (m = 1, 2)  i  przyję tego  rodzaju wymuszenia  (« =  1, 2)  funkcjonał   (2.4)  przyjmie  postać: (3.6)  J "m =   |K$?(/ cu)]2' przy  czym: ainł K „ „  • .  •>  = gdzie  aij(jw),  bij(jco),  Sij(j)] 2 (l+z) 2' z  waru n ku  ekst rem u m  wyraż en ia  (3.6)  wynika,  że  m in im um  zostanie  osią gnię te  dla: (3.13)  y  -   z  =   A  A  5=  0. Wykresy  optym aln ych  wa r t o śd  |K K 3 _ X ? |  i  |K- ;4|  w  funkcji  param etru  ą   zwią zanego  z  X ró wn o ś cią: (3.14)  A = a T = 7 został y  p o ka za n e  n a  rys.  3. 1,0 0 , 8 0, 6 -   0,4 -   0,2 _ \ , 0,8  p  1,0 1 1,0 0,8 0,5 0,4 0,2 I  1/ - - / \ / / ! / / \ - \   - 0,2 0,4 0,6 Rys.  3 M ają c  za d a n e  ogran iczen ie  n a  am plitudę   wzglę dnego  przemieszczenia  am ortyzatora m o ż na  z  rys.  3  odczytać  wielkość  obn iż en ia  przyspieszenia  w  zadan ym  pun kcie  ukł adu  B w  st o su n ku  d o  jego  wartoś ci  granicznej  oraz  wartość  param et ru  c.  Korzystają c  ze  wzoru (3.14)  m o ż na  obliczyć  "k,  a  n astę pn ie  wyznaczyć  ze  zwią zków  (3.8)  optym aln e  wartoś ci współ czyn n ików  c(m)  i  b(co).  P aram et ry  p t (i  =   1, 2  ...  r)  okreś lają ce  ukł ad  amortyzacji m uszą   speł n iać zwią zki  (3.2) przy  obliczonych  wartoś ciach  c{m) i b(co).  Istnieje  tu dla  r  >  2 p ewn a  dowoln ość  d o bo ru  współ czynników  p t . I st o t n ą   wydaje  się   być  uwaga,  że  rozwią zanie  optym aln e  w  dziedzinie  zm iennych  y  i  z jest n iezależ ne  o d struktury  u kł ad u BSA,  zależ y, on o tylko  od tego  w jakiej proporcji  chcemy OPTYMALN Y  DOBÓR  BEZINERCYJNEGO  497 obniż yć  przyś pieszenie  x Ą   i  przemieszczenie  wzglę dne  x 3 —x 2   w  stosun ku  do  odpowied- nich  wartoś ci  granicznych.  N ależy  zauważ yć,  że  n a  skutek  zał oż en ia pasywn oś ci  u kł a d u , funkcja  (p™ (a>)  jest  stale  wię ksza  lub  równ a  zeru  i  w  zwią zku  z  tym  optym aln e  rozwią zan ia są   sł uszne  w  obszarze  czę stoś ci,  dla  kt ó rych : (3.15)    0 co  uwarun kowan e  jest  ż ą dan iem  aby  współ czynnik  sztywnoś ci  c(a>)  był   wię kszy  od  zera. Obszary  wyznaczone  n ierówn oś cią   (3.15)  w  których  t o  moż liwe  jest  obn iż en ie  wartoś ci przyspieszenia  ja k  i  przem ieszczenia  wzglę dnego  am ort yzat ora  pon iż ej  odpowiedn ich wartoś ci  granicznych  m o ż na  by  n azwać  obszaram i  „ p o zarezo n an so wym i". Wnioski Z  przeprowadzon ych rozważ ań  i wyników koń cowych  nasuwają   się  n astę pują ce  wn ioski: —  z rys.  3 wynika, że nie m o ż na jedn ocześ n ie  dowoln ie  obniż yć  wartoś ci  przyspieszen ia rozpatrywan ego  p u n kt u  u kł ad u  B  i  am plitudy  ru c h u  wzglę dnego  am o rt yzat o ra, —  obniż enie  wartoś ci  przyspieszen ia  i przem ieszczen ia  wzglę dnego  n ie  zależ y  od  przy- ję tej  struktury  u kł ad u  amortyzacji  przy  zał oż en iu,  że  jest  o n  bezinercyjny, —  w  przypadku,  gdy  czę stość  wymuszenia  znajduje  się   w  pewn ym  zakresie  czę stoś ci, ale  jest  ustalon a,  wskazan e  jest  takie  dobran ie  struktury  u kł ad u  am ortyzacji,  aby współ czynniki  c(oS) i  b(w)  był y  w  tym  zakresie  funkcjam i  czę stoś ci  m oż liwie  blis- kim i  funkcjom  okreś lon ym  wzoram i  (3.8), —  w zakresie  czę stoś ci,  dla  których  nie jest speł n ion a n ierówn ość  (3.15), n ależy  przyją ć c  =   b .,=•   0  (praktyczn ie  sprę ż yny  bardzo  m ię kkie).  \ —  jeż eli  ukł ad  pracuje  w  powyż szym  zakresie  czę stoś ci  t o  m o ż na  go  sprowadzić  do pracy  w  obszarze  (3.15)  dwom a  spo so bam i: —  przez  nieznaczną   zm ian ę   param etrów  ukł adów  A  i  B,  bez  n aruszen ia  wł aś ciwej pracy  ukł adu,  tak  aby  n ierówn ość  (3.15)  został a  speł n ion a, —  przez  wprowadzen ie  do  u kł ad u  am ortyzacji  elem en tów  inercyjnych  lu b  przez doł ą czenie  równ oległ e  inercyjnych  u kł adów  dodatkowych  ( n p . u kł a d  wibroizolacji z  kompensacją   [5]). R ozważ an ia  przeprowadzon e  był y  dla  ukł adów  liniowych,  jed n a k  m oż liwe  jest  zasto- sowanie  uzyskanych  wyników w  przypadku  wystę powan ia  w ukł adzie odpowiedn io m ał ych nieliniowoś ci p o uprzedn im ich zlinearyzowaniu.  M et o d a rozwią zywania  zagad n ien ia  wibro- izolacji  może  być  an alogiczn ie  zastosowan a  przy  przyję ciu  in n ych  m odeli  u kł a d ó w  wibro- izolacji  i  innych  kryteriów  jakoś ci  ich  dział an ia. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J.  OSIOWSKI,  Zarys  rachunku  operatorowego,  WN T  Warszawa,  1965 2.  J.  M.  PREN TIS,  F .  A.  LECKIE,  Mechanical Vibrations: An  Introduction to  Matrix  Methods, Lon don  1963, Longmans, G R E E N  and  Co.  Ltd. 3.  V.  V.  G U RECKIJ,  L.  S.  M AZ I N ,  Pribliiennyi sintez vibrozascitnoj sistemy pvi  ucete dinamiceskich  svojstv podderzivajuscej konstrukcji,  Jzv.  AN   SSSR. M echanika Tverdovo  Tela  1971, 2. 498  J .  ŁU CZKO 4.  V.  V.  GuRECKU  L. S.  M AZ I N ,  Sintez  optimalnoj vibrozascitnoj  sistemy pri  ucete  dinamiceskich  svojstv amortizirujescevo kreplenija,  Izd. AN   SSSR,  M echanika Tverdogo  Tela  1974, 3 5.  C z.  CEM P EL,  Synteza  ukł adów wibroizolacji z kompensacją ,  Rozprawy  Inż ynierskie, 21, 4, 1973. Praca wykonana  został a w  ramach problemu wę zł owego  05.12  —  „W ytrzymał oś ć  i optymalizacja  konstrukcji maszynowych  i  budowlanych",  koordynowanego  przez  IPPT   PAN . P  e  3  io  M  e OnTH M AJILH ŁIH   n O J E O P EE3HHEPU,HOHHOH   CHCTEMŁI  AMOPTH3AH.HH TAPMOHH*IECK0M B  pa6oT e  npHBOHHTCH  MCTOA  oirraM ajibH oro  n o ^ So p a  6e3H H epiiH 0H iioii  CHCieMbi  aM oprateam ui H eKoToporo  KJiacca  MexaHKraecrafx  CHCTeiw  c  ycnoBH eM,  yr o S t i  ycK opem ie  B  3aflanH 0H G buio  MKHHMajiLHoe  n pH   oflHOBpeMeHHo  orpaH K^eH H oił  aiMiuiHTyfle  OTH ocH iejiBH oro 3aTopa.  n o ji yi e H o  OTH OU IC H H H   onpeffejtH iomiie  K03(p(bHimeHTBi  >Keć TKOCTH  H  3axyxaincH   cacreM Łi  asiop- TH 3aartH   B  (pyHKitMH   iiacTOTM   BBiHy>KfleHMH   u  napaiweipoB  on peflejifliom n x  n ccn eaoBaH H yio  CHcreiwy. O n peflejien o  oSnacTH   npHMeHHeMOCTH  n o jiyliem ibix  (popMyjr. S u m m a r y OP TI M AL  C H OI C E  OP  N ON - IN ERTTAL  SYSTEM   OF   VIBROISOLATION   WITH   H ARM ON IC F OR C I N G Paper  presents  th e way  of  optimization of noninertial system  of vibroisolation  represented by  stiffness coefficient  c(w)  and  damping coefficient  b(w).  The following  criterion of  optimization was  assumed:  when the  am plitude  of  th e  relative  motion of  t h e vibroisolation  system  is limited, acceleration  of  chosen point of  the  vibroisolated  system  should  be  the  minimum. Coefficients  c(co)  and  b(co) were  carried  out  as  the functions  of  excilation's  frequency  and  parameters  of  vibroisolated  system.  Range  of  application  of the obtained  results  was  determined. POLITECHN IKA  KRAKOWSKA TNST.  MECH . I  PODSTAW  KONSTRUKCJI  MASZYN Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  9  grudnia 1977  r.