Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16 (1978) AN ALIZA  M OŻ LI WOŚ CI  PRZYSTOSOWAN IA  SIĘ  PEWN EG O TYPU   OSI OWO- SYM ETR YC Z N EJ KON STRU KCJI  P OWŁ OKOWE J  P O P R Z E Z  LOKALN Ą   U TRATĘ   STATEC Z N OŚ CI  J E J P O WI E R Z C H N I WALERIAN   SZYSZKOWSKI  (WARSZAWA) 1.  Wstę p G dy  w  konstrukcji  powł okowej  wystę pują   naprę ż enia  ś ciskają ce,  bardzo  waż ne  zna- czenie  ma  analiza  statecznoś ci  ukł adu.  Jego  charakterystyka,  tj.  zależ ność  obcią ż enia  od odkształ ceń  najczę ś ciej  cechuje  się   (rys.  .1) istnieniem punktu A  odpowiadają cego  stanowi Rys.  1 utraty  statecznoś ci  pierwotnego  kształ tu powł oki. Jest  to  zwią zane  ze  spadkiem  noś noś ci ukł adu  rozumianej  jako  zdolnoś ci  do  przenoszenia  zadanego  typu  obcią ż enia.  D latego, przede  wszystkim  w  praktyce  inż ynierskiej,  parametry  ukł adu  są   tak  dobierane,  ż eby strefy  lokalnej  utraty  statecznoś ci o  o  o  o  o zmiana  geometrii  globalnej Rys.  2 powł oka  pracował a w  pierwszym  zakresie  charakterystyki  (OA),  tzn.  zachowywał a  swój pierwotny  kształ t.  Istnieją   jednak  ukł ady  (rys.  2),  dla  których  utrata  statecznoś ci  pier- wotnego  kształ tu  nie jest niebezpieczna  i  nie ma  decydują cego  wpł ywu na  noś ność  kons- trukcji, w tym przypadku  zależ nej  w  gł ównej  mierze  od  wł asnoś ci  wytrzymał oś ciowych 10  Mech.  Teoret.  i  Stos. 4/78 558 W.  SzyszK.owsjci m ateriał u  (gran ica  plastycznoś ci,  wytrzymał ość  doraź na).  W  takich  przypadkach  obli- czenie  obcią ż eń  krytycznych  (punkt A)  jest  mniej  waż ne,  natomiast  bardziej  istotna  jest analiza  zachowan ia  się   powł oki  po  utracie  statecznoś ci. Teoretyczne  obliczenia  obcią ż eń  krytycznych  w  zakresie  mał ych  odkształ ceń  wią żą się  z analizą   liniowych  równ ań teorii powł ok i są  merytorycznie proste, chociaż rachunkowo skom plikowane  [1].  N atom iast  analiza  zachowania  się   powł oki  po  utracie  statecznoś ci polega  najczę ś ciej  na  rozwią zywaniu  równań  nieliniowych,  nieporównywalnie  bardziej skomplikowanych.  W  wielu  przypadkach  [2] analiza  taka  prowadzi  do  wyników  sprzecz- nych  z  doś wiadczeniem,  co  przypisuje  się   gł ównie  przybliż onemu  charakterowi  samych równ ań  i  ich  rozwią zania.  D latego  też próby  innego podejś cia  do  tych  zagadnień  są   cią gle aktualn e. Taką   nieklasyczną   uproszczoną   metodę   opartą   n a  analizie  tylko  pewnego  uś rednio- nego  stan u  bł onowego przedstawiono  w prezentowanej  pracy.  Wykazano,  że w powł okach pewnego  typu  (rys.  2), przy utracie statecznoś ci nie nastę puje  obniż enie noś noś ci  konstruk- cji.  Zjawisko  takie  nazwano  przystosowaniem  się   konstrukcji  poprzez, lokalną   utratę   sta- tecznoś ci.  Jego  praktyczne  wykorzystanie  pokazano  na  przykł adzie  konstrukcji  inż y- nierskiej. 2.  P odstawowe  zał oż enia Zajmiemy  się   teraz  powł oką   obrotową ,  pracują cą   w  znanym  osiowo- symetrycznym stanie n aprę ż eń bł onowych, dla której  utrata statecznoś ci przejawia  się  w postaci periodycz- nych  pofalowań  powierzchni  powstają cych  w  paś mie  równoleż nikowym  (rys.  3). Rys.  3 Przemieszczenie  w(s,  q>)  mierzone  prostopadle  do  powierzchni  począ tkowej  powł oki przedstawimy  w  postaci  sumy  dwóch  skł adników. (1)  w(s,  (p)  =  w^ sinny  + W ois). Pierwszy  czł on  jest  przemieszczeniem  periodycznym  „ równo  rozł oż onym"  na  zewną trz i  wewną trz  powł oki  mierzonym  od  powierzchni  przesunię tej  wzglę dem  począ tkowej  na AN ALIZA  MOŻ LIWOŚ CI  PRZYSTOSOWANIA  559 odległ ość  w o (s).  Skł adnik  w x (s)  bę dziemy  nazywali  skł adową   lokalną   przemieszczenia, natomiast  skł adnik  w o (s)  skł adową   globalną . Zakł adamy,  że  ugię cia  powł oki  są   tak  duż e,  iż  na  zmianę   jej  kształ tu  pomijalny  jest wpływ  odkształ ceń w jej  pł aszczyź nie  ś rodkowej  (jest  t o  tzw. przekształ cenie izometryczne powierzchni,  czę sto  wykorzystywane  w  teorii  powł ok  [3]).  Przy  tym  zał oż eniu  m oż na  na podstawie  znajomoś ci  tylko  funkcji  w r   (s) i liczby  fal w kierunku obwodowym  n,  wyznaczyć skł adowe globalne  przemieszczenia. Zasadność takiego  podział u polega  n a  tym, że w  prak- tycznej, przybliż onej  analizie, kształ t funkcji  w x   (.?) jest  zwykle  dużo  ł atwiej  zał oż yć n p . n a podstawie  obserwacji.  Pozwala  to  wyznaczyć  „ globaln ą "  zmianę   geom etrii  powł oki (w o ,u o ),  zwią zaną   z  powstaniem  nowego  „ uś redn ion ego"  stanu  naprę ż eń  bł onowych. Ten  nowy  stan  bł onowy jest  bardzo  istotny  jako,  że  powinien  zapewnić  równowagę   sta- tyczną   elementów  zdeformowanej  powł oki.  Ś ledząc  charakter  zmian  tego  stan u  m oż na wnioskować  o  moż liwoś ci  przystosowania  się   konstrukcji. N atomiast  periodyczny  skł adnik  w t   powoduje  powstanie  tylko  lokalnych  stanów  ugię - ciowych  i  przy  zał oż eniu  idealnej  sprę ż ystoś ci  materiał u  moż na  przyją ć,  że  nie  m a  on wpł ywu  n a  noś ność  konstrukcji.  W  praktyce  ugię cia  mogą   być  tak  duż e,  że  szczególnie w miejscach  maksymalnych  zmian krzywizny, może  zostać  przekroczony  zakres  odkształ - ceń  sprę ż ystych.  Wtedy  nabierają   znaczenia  wł asnoś ci  plastyczne  m ateriał u  lub  w  przy- padku  zmiennych  obcią ż eń,  moż liwość  lokalnego  przystosowania  się   konstrukcji  w  kla- sycznym  sensie,  tzn.  poprzez  powstanie  w  tych  miejscach  odpowiedniego  stan u  naprę ż eń resztkowych  hamują cych  propagację   trwał ych  odkształ ceń. 3.  Rozważ ania  geometryczne Rozpatrzmy  fragment  powierzchni  powł oki  obrotowej,  pokazanej  n a  rys.  4.  Z ależ ność mię dzy  odkształ ceniami liniowymi  pł aszczyzny  ś rodkowej  a  przemieszczeniami  przedsta- wiają   się   nastę pują co: so- 0  T ^ L  +   l 36  7 t   •   2r\   \   86 , „ ,  l\ dv  „  .  _  1  (Sw 9   r  \ _d(p  2r\ dcp Ponieważ  Ar  =   — wcos0- )- wsin<9,  moż emy  drugą   zależ ność  napisać  w  postaci Z  warunku  izometrii  (e v   — 0)  mamy Obliczmy  teraz  „ ś redn ią"  n a  obwodzie  zmianę   wymiaru  r  (rys.  3) 2n T - Anr  , o  o W)  d(p+ J  w 560  W.  SZYSZKOWSKI D rugi  czł on  wobec  periodycznoś ci  funkcji  v(ę )  jest  dokł adnie równy  zero  i  ostatecznie (5) - r  1  f(dw\ 2. Ar  =>- .—  U -   dę . Ą nr  J  \ 8q>) n 2 w\ D la  funkcji  „w"  w  postaci  (1)  mamy (6)  2 Z  drugiej  strony  dla  skł adowych  globalnych  przemieszczenia  mamy  zwią zki (7a)  Ar  =  wosin 0- wocos(9, (7b)  l- ^ - ii +  JJ^ł Y- O u  }   n  d&  r t   2rj\ d©  ) D ruga  zależ ność  wynika  z  warunku  izometrycznoś ci  w  kierunku  poł udniowym  (e e   =  0). Rys.  4 U kł ad  równań  (7) pozwala  na wyznaczenie  funkcji  u 0   i w 0   mianowicie moż na go spro- wadzić  do  równania k2 (8) lub (9) 1  ldw 0 1-!  \   d& COS0 + d& - j-   Ar (A) Wyznaczenie  funkcji  w 0   z  tego  równania  wymaga  cał kowania  numerycznego, np. za po- mocą   procedury  Runge- Kutty. Łatwo  zauważ yć,  że  podkreś lony  skł adnik jest  znacznie  mniejszy  od jednoś ci  i  jeż eli rozwiniemy  wzglę dem  niego  wyraż enie pod pierwiastkiem,  otrzymamy w miejsce  równania (9)  zależ ność  uproszczoną / t n\   "Wo  •   *i  .   ̂ .   ̂ d AN ALIZ A  MOŻ LIWOŚ CI PRZYSTOSOWANIA 561 Jak  widać, jest  t o  zlinearyzowan e  równ an ie  (8), kt ó re  m o ż na  był o  otrzym ać  bezp o ś red n io zaniedbują c  w  równ oś ci  (7b)  czł on  nieliniowy. Rozwią zaniem  równ an ia  (10)  jest  funkcja ( U ) Ar  s,  f W o   =   - .- -g  + C O S 0  — smfc>  J  si Ar sin 2© gdzie:  C  —  stał a  cał kowan ia. D la  zorien towan ia  się   w  ch arakterze  przybliż enia  rozwią zano  n astę pują cy  p rzykł ad . I dealn ie  wiotka  czasza  pół kolista  pod  wpł ywem  sił y  P  odkształ ca  się   w  t en  sposób, że  jej  „ ś red n ia"  powierzchn ia  tworzy  powierzchn ię   stoż kową   (rys.  5). Rys.  5 Wszystkie  param etry  tej  deformacji  m oż na  wyznaczyć  w  sposób  ś cisł y,  a  m ian o wicie: ( 12a) ( 12b) (12c) —  \ 2  1 Ar  =  R\ ^ - 0 1 - 1+COS6 1 \ , 71 M 0  = /   / 2 \ 2  i i  + l- y\ - \  — \   O^ m&Ą , V  \ n.j  •   ,  J ^ c o s © !  . Sprawdzenie  dokł adn oś ci równ ań  (9) i  (10) polegał o n a p o ró wn an iu rozwią zań  uzyskan ych za  ich pom ocą   (w  miejsce  Ar  podstawion o  wyraż enie  (12a)) ze  ś cisł ymi  wyraż en iami  (12b) i  (12c).  (Rys.  6). Widać,  że  równ an ie  liniowe  daje  duże  róż n ice  w  okolicach  wierzch oł ka  st o ż ka. Przejdziemy  teraz  do  okreś len ia  nowych  prom ien i  krzywizn  zdeform owan ej  po wł o ki (osiowo- symetryczna  deformacja  globaln a), Krzywizna  p o ł u d n ika : Z godn ie  z  definicją   krzywizna  poł udn ika  powierzchni  począ tkowej  jest  r ó wn a Re d© ds 562 W .  SZYSZKOWSKI — —  rozw.  liniowe — —  rozw. ś cisłe rozw. nieliniowe - 1,21- Rys.  6 dla  powierzchni  zdeformowanej  mamy 1  _  d(0+v) W B ~  ds 1  dv Ponieważ  dS  — R e d&,  ostatecznie (13) JRe Bardzo  istotne  jest  dokł adne  okreś lenie  ką ta  &. AN AL I Z A  M OŻ LI WOŚ CI  P R Z YST O SO WAN I A 563 N a  podstawie  rysun ku  8  m a m y: (14)  t g*  = de Rys.  7 Krzywizna  równ oleż n ika: N a  podstawie  rys.  9  m am y stą d (15) Rys.  8 r — Ar Rys.  9 Wzory  (13),  (14) i  (15) są   sł uszne dla  dowolnie  duż ych przem ieszczeń . Ł at wo  sprawdzić,  że dla przykł adu  pokazan ego  n a rys.  5 podstawiają c  w miejsce  w 0   i u 0   wyraż en ia  (12b)  i  (12c) otrzymuje  się : i =  i( 'O- * 564 W .  SZYSZKOWSKI Czyli  dokł adn e  wyraż enie  na  krzywizny  powierzchni  stoż kowej.  Przy  umiarkowanych przemieszczeniach  wyraż enia  (14)  i  (15)  moż na  uproś cić  do  postaci: (16) sin<9 (17)  J?„  a  1 Jeż eli  jeszcze  zał oż ym y,'że  §  <ś  &  otrzmujemy  jeszcze  prostszą   zależ ność Q8)  R  ~  R  , Wzory  powyż sze  zostaną   wykorzystane  do  okreś lenia  nowego  stanu  bł onowego  odpowia- dają cego  globalnym  przemieszczeniom  powł oki. 4.  Analiza  skorygowanego  stanu  bł onowego M ają c  okreś loną   geometrię  zdeformowanej  powł oki, m oż na przystą pić  do  wyznaczenia odpowiadają cego  jej  ukł adu  statycznego. N a rys.  10 pokazano  odcię tą   czę ść powł oki przed i p o  deformacji  (polegają cej  na  utracie  statecznoś ci  ś cianki). Rys.  10 P rzed  deformacją   wydatek  naprę ż eń  N @  wyznaczymy  z  zależ noś ci P po  deformacji (19) N e  = Jeż eli  m am y  d o  czynienia  z  przypadkiem,  gdzie  obcią ż enie  P  w  czasie  deformacji  nie zmienia  się   lub  zmienia  bardzo  nieznacznie  a  poza  tym  Ar\ r  <̂  1, wtedy  moż na  napisać (20) AN AL I Z A  M O Ż LI WO Ś CI  P R Z YST O SO WAN I A 565 Jeż eli  dodatkowo  \ &\   <  6,  to Dla wyznaczenia naprę ż eń obwodowych  wykorzystać moż na warunek równowagi  elementu na  oś  prostopadł ą   do  powierzchni stą d (22) * - { "% )* >• Analiza  zachowania  się   konstrukcji  polega  na  zbadaniu,  jak  zachowują   się   stosunki N Q lN e   i  N y/ N y w  funkcji  parametrów  odkształ cenia ukł adu.  Z  punktu  widzenia  moż li- woś ci  pracy  konstrukcji  po  lokalnej  utracie  statecznoś ci  interesują   nas  gł ównie  zmiany noś ność  wyczerpana ( b j' ^^m o zliwo sc  przystosowania się Rys.  11 (m]Tx/ L) N- 2R—J N 9 / N 6 w o , Rys.  12 naprę ż eń  ś ciskają cych.  Jeż eli  N i  jest  ś ciskają cą   skł adową   stanu  bł onowego,  stosunek N ijN t może  być  monotoniczną  rosną cą   lub  maleją cą   funkcją   parametru  przemieszczenia. (Rys.  11).  (N i — ta  sama  skł adowa  po  deformacji). W przypadku  (a)  należy  uznać, że  noś ność  graniczna  został a  wyczerpana  już  w  mo- mencie utraty statecznoś ci, natomiast w przypadku  (b) decyduje  o tym druga  skł adowa N j. Jeż eli N j  >  0 obcią ż enie moż na zwię kszyć, aż do wartoś ci  wynikają cych  z  wytrzymał oś ci o- 566 W .  SZYSZKOWSKI wych  wł asnoś ci  materiał u  (np.  granicy  plastycznoś ci).  Przykł adem  charakterystyki  (a) może  być  pokazana  n a  rys.  12  ś ciskana  powł oka  walcowa  dla  której 2R P mnx N e Konstrukcja  zachowują ca  się   wg  charakterystyki  (6)  zostanie  przeanalizowana  w  przy- kł adzie  podanym  poniż ej. 5.  Inż ynierski  przykł ad  analizy Przeanalizowano  zachowanie  się   cienkoś ciennego  zbiornika  na  wodę ,  pokazanego na rys.  13. Wynik  klasycznych  obliczeń wytrzymał oś ciowych  pokazano na rys.  14. N a sku- tek  skokowej  zmiany  krzywizny  poł udnika w  okolicy  poł ą czenia  czę ś ci  sferycznej  i to- kulist wymiary  w  [rnj Rys.  13 roidał nej  jest  strefa  duż ych  ś ciskają cych  naprę ż eń  obwodowych  (rys.  14),  efektem  czego był o  pojawienie  wię   obwodowych  pofalowań  (rys.  15) już  przy  napeł nieniu  zbiornika do okoł o  poł owy  projektowanej  pojemnoś ci.  Praktycznym  celem  analizy  był o  wykazanie, czy  moż liwe  jest  jego  peł ne  obcią ż enie  i  jak  bę dzie  zachowywał   się   zbiornik  w  dalszej fazie  napeł niania.  Ugię cie  powł oki  przyję to  w  postaci (23) gdzie:  \ s—s o \  <  L s 0   =   10  m L   =  Ij5  m .  n(s—So) w  = / 0co s———co$n  M e  .  , AH AJIH 3  BO3MO5KHOCTH   IIPH CIIOCOEJIEH Ka  HEKOTOPLIX OCECH M M ETPH ^H LIX  OBOJIO^EK  ITOCJIE  n OTE P H   YCTOfiraH BOCTH B  p a 6 o i e  n peflcraBJieH o  aH ajira  noBe^eH H H   ocecH MMeipiWH bix  oSojio^ieK  n o c n e  n o T ep n  yc r o ip n l- BO C T H .  I loK a3aH 0j  I T O fljiH   HeKOT.ophix  o6ojio«eK  H X cnoco6H 0cn>  fljia  H arpy3KH   He  3aBHCHT  OT noTepK B o n t i i m e  nepeinemeH H H   cBH3aHHbie  c  n o i e p i o  ycroHMHBocrM   cra6H iiH 3H pyioTCH   MHMO AN ALI Z A  MOŻ LIWOŚ CI  PRZYSTOSOWAN IA  571 H arpy3iJTO  o6ojio*n