Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16 (1978) O  STATECZN OŚ CI  D YN AM I C Z N EJ  P OWŁOKI  STOŻ KOWEJ  P R Z Y  P U LSU JĄ C YCH   SIŁAC H POD ŁU Ż N YCH   I  P OP R Z E C Z N YC H   Z  U WZ G LĘ D N IEN IEM   N I E LI N I OWE G O  TŁ U M I E N I A M ATERIAŁOWEG O F E R D YN AN D   TWAR D OSZ  I  JE R Z Y  Z I E LN I C A  ( P O Z N AŃ ) W  pracy  niniejszej  zajmiemy  się   zagadn ien iem  stateczn oś ci  dyn am iczn ej  cien koś cien n ej powł oki  w  kształ cie  stoż ka  ś cię tego,  swobodn ie  p o d p art ej  n a  obu  brzegach .  P o wł o ka  ob- cią ż ona  jest  sił ami  podł uż n ymi  N (t)  i  wszechstron n ym  równ om iern ym  ciś n ien iem  p(t) zmieniają cymi  się   okresowo  w  czasie.  U wzglę dn iono  przy  tym  wpł yw  n ielin iowego  tł u- m ien ia  n a  rezon an s  param etryczn y.  R ozważ an ia  prowadzon e  niż ej  bę dą   o p a r t e  n a  wy- n ikach  pracy  [3]  w  której  zagadn ien ie  to  został o  dość  obszern ie  om ówion e. 1.  Równanie  róż niczkowe  ruchu P roblem  statecznoś ci  dynam icznej  powł oki  stoż kowej  przy  uwzglę dn ien iu  tł um ien ia wg  hipotezy  D awiden kowa  sprowadza  się   do  analizy  rozwią zań  n astę pują cego  ró wn an ia róż niczkowego  [3]: (1.1) i | jf Ł  +Q2 mn fif) nn   -   e[2/ u m „Ql n cos©tf(t) mn - Ą t)], w  którym H tn  sin y ( L 2 )  ^ ( / )  =   %^ hml(^ V^ - }l)]  /   J  ^ VuVeV^ smm^ comMdndz oznacza  funkcję   tł um ien ia,  a  p aram et r  e m oże przybierać  dostateczn ie  m a ł e  d o d a t n ie  war- toś ci. W  równ an iu  (1.1)  przyję to  nastę pują ce  ozn aczen ia: (1.3)  i2m„  =  cojj,„11  ^ —\   —  czę stość  drgań  swobodn ych  powł oki  obcią ż on ej  stał ym i \   Pkrmnl sił ami  podł uż n ymi  N Q   <  N krm „  i  ró wn o m iern ym  stał ym ciś nieniem  zewn ę trznm  p 0   <  Punm, 0- 4)  2,Mm„  =   ———  współ czyn n ik  pulsacji, Pkrmn—Po (1- 5)  K  =   ;  I  =   —2. —  stosun ek  obcią ż eń  zewn ę trzn ych, i  Pyt)  po 484  F .  TWARD OSZ, i.  Z I E LN I C A N (t)  =  N o +N t cos0t\ ( 1 6 )  f.  \  okresowo  zmienne  obcią ż enie  zewnę trzne, Pv)  — Po+Ptcos&t  ) (1.7) «2„ = powł oki  nieobcią ż onej  sił ami  zewnę trznymi, ( 1 . 8 )  î ftrmn  = — I)(m] + 2n2 — 3v l  — 3v 2  — 0, 5) ( l  —2ł > , )[(l  ~2vi) T  -   X -  + *'*- t  ^  i*iai  y  |  \ - i - . L -   *•   *  —  —it  -   -   j .  —  j .  J .  v  -   i ,  •   —v  • —  obcią ż enie  krytyczne  przy  równoczesnym  dział an iu sił   podł u ż n ych  i  wszechstron n ego  obcią ż enia  zewnę trznego, przy  czym $ x   =   Q,2S{2m l (l+v 1 )B 1 +[(l+v 1 ) 2 - m 2 - ni]B 2 }, B  = ni\  1(1 — 2v1)df~- o •   Q 2  •   I  J(acosf)cosy)dy> + e  I  /   / i z  r r gS "!  I  J(acos,yi)sinychp\  . o  \   o D la  konkretnego okreś lenia  obszaru rezonansowego  należy  obliczyć  funkcję  tł umienia  / (iscosy)-  W tym celu musimy przyjąć  wartoś ci współ czynników  i, I (wzór  3.4 w  [3]). Wiel- kość  ite zależą  od rodzaju  materiał u  z  którego  wykonana jest  powł oka. N a  przykł ad dla stali  /  =  /  =  3.  Wstawiając  te  wartoś ci  do  (1.2)  otrzymamy  po  scalkowaniu a 3  =   J(y>)a\ gdzie £??[(! ± cosyQ 3- - 22]  __  £ ^ 3(1  2)3  '3( 1- v2 ) 3  '  3(1- k,  ?] oznaczają  tutaj  parametry  pę tli  histerezy  odpowiednio  przy  ś cinaniu  i  rozcią ga- niu. 486 F.  TWARD OSZ,  J.  Z I E LN I C A Współ czyn n iki  D ;  («" =   1, 2 , . . . , 8) wystę pują ce  w powyż szej  funkcji  są  zależ ne  od  stał ych m at eriał u , wym iarów  powł oki i od liczb m i n. Z e wzglę du  n a bardzo zł oż oną  i  rozbudowaną p o st ać,  współ czyn n ików  tych  n ie  podajemy. P o  podstawien iu  wyraż en ia  (2.2) d o  (2.1)  uzyskamy (2.3)  1  - J(v)  siny) dip o 2 N a  podstawie  (2.3) m o ż na sporzą dzić  wykres obszaru  rezonansowego  dla róż nych amplitud 0 a  w  trójwym iarowym  ukł adzie  współ rzę dn ych  —^ ,  p,,  a. 3. Przykł ad liczbowy i wnioski J a k  wyn ika  z  rozwią zan ia,  an alizę   zagadn ien ia  sprowadzon o  do  wyznaczenia  granic pierwszego  obszaru  n iestateczn oś ci,  tzn .  obszaru  odpowiadają cemu  najniż szej  czę stoś ci d rgań  wł asn ych  i  najmniejszej  sile  krytycznej  powł oki.  U wzglę dnienie  tł um ien ia  mate- riał owego  zn aczn ie  wpł ywa  n a  zmiejszenie  obszarów  niestatecznoś ci  wyż szych  rzę dów, co  wobec  duż ego  n akł ad u  pracy  przy  wyznaczaniu  współ czynników  tł um ien ia  w  peł ni u zasadn ia  przyję te  tutaj  zał oż en ia. D la zilustrowan ia  otrzym an ych wyników  i  wycią gnię cia wn iosków  przytoczym y  szereg  przykł adów  liczbowych.  Z akł adają c  kon kretn e  wymiary po wł o ki,  współ czyn n ik  % (1.5) o raz  stał e  m ateriał owe,  obliczymy  wpierw  statyczną   sił ę krytyczn ą   p krm „  (1.8) i  czę stość  drgań  wł asnych  u kł ad u n ieobcią ż on ego  co mn   (1.7).  Przyj- m ują c  p Q   i p,  wyznaczym y  współ czynnik  pulsacji  [x m „ (1.4)  i  ś rednią   czę stość  drgań swo- bo dn ych  Q„, n   (1.3) u kł ad u obcią ż on ego  stał ym i sił ami podł uż n ymi i poprzecznym i  N o ipo- Z  kolei  obliczam y  fun kcje:  J  J(yj)sin  f  dip,  J  J(y>)cosy>dtp,  wchodzą ce  w skł ad  zależ noś ci o  o (2.3),  wykorzystują c  wzór  (2.2).  P o scał kowaniu  otrzym an o  wyraż enia  algebraiczne, po- siadają ce  je d n a k  bard zo  zł oż oną   i  rozbudowan ą   postać,  dlatego  też przy  ich obliczaniu p o sł u ż o no  się  m aszyn ą   cyfrową .  D o ostatecznego  ustalen ia  granicy  dolnej  i  górnej  gł ów- n ego  o bszaru  rezon an sowego  wykorzystan o  zależ ność  (2.3). C elem  p o d an yc h  przykł adów  liczbowych  jest  zbadan ie  wpł ywu  podstawowych  para- m et ró w  geom etryczn ych  i  m ateriał owych  powł oki  n a  kształ t  i  przebieg  gran ic  obszaru n iestateczn oś ci.  Z realizowan ie  tego  problem u umoż liwiają  przedstawion e  wykresy  (rys. 1 d o  7) .  J a ko  wspóln e  dla wszystkich  analizowanych  przypadków  przyję to  nastę pują ce  dan e; E  =  2-   10 6 ( kG / c m 2 ) , v  =  0,3,  Q «  0,000008(kG s2/ cm *),  % -   iVo/j7o  =  4,  n atom iast po- został e  p a r a m et r y  zazn aczon o  n a  wykresach. N a  rys.  1 przedstawion o  krzywe  obrazują ce  obszary  rezon an sowe  we współ rzę dnych & - ^ T Q,  [i, d la  róż n ych  am p lit u d  a.  Tutaj  oczywiś cie  ©  oznacza  czę stość  drgań  obcią ż enia 0/2S2 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 S,­ S2­632[. rj=  4860 k­  16310 •a­ 4 0,1 0,2 0,3 Rys.  1 0,4 0,3 0,5 k- 16310 q-  3000 Rys.  2 [487] 6/2S2 n - 5 000 Rys.  3 0/2 £ a-106cm Rys. 4 [488] ,  O  STATECZNOŚ CI  D YN AMICZN EJ 489 wymuszają cego,  Q  — czę stość  drgań powł oki pod  obcią ż eniem.  D la analizowanej  powł oki uzyskano  sił ę  krytyczną   pod  obcią ż eniem  statycznym p kr   =  0,0384  (kG / cm 2) (przy  m  = 1 i  n  =   19)  oraz  czę stość  drgań  wł asnych a>  =  142,2(s~1).  Przyję to  Q  =  0,9  co. Z  wykresu widać,  że  w  miarę   wzrostu  amplitudy  obszar  rezonansowy  zmniejsza  się ,  wraz  z  przesu- waniem  się   w  kierunku  wię kszych  wartoś ci  współ czynnika  pulsacji  ^   i  mniejszych  war- Po  przekroczeniu  pewnej  amplitudy  granicznej  nie nastą pi  dynamiczna  utratatoś ci statecznoś ci  dla  tej  powł oki. ©© N a  rys.  2,  3,  4  sporzą dzono  wykresy  w  ukł adzie  trójwymiarowym  - ^-,  / u,  a.  Celem tych  wykresów  był o  zbadanie  wpływu  parametrów  tł umienia pę tli  histerezy  k  i  r\ ,  odpo- wiednio przy  ś cinaniu i rozcią ganiu.  Stwierdzono, że współ czynnik k  nie wpł ywa  w  sposób istotny  na  zmianę   kształ tu powierzchni  ograniczają cej  obszar  rezonansowy.  Rys.  2,  3,  4 ["] 80 70 60 50 40 30 20 10 7 — - — Jl — •   \ m$ k j- 0,4;S2- 0,8u)\   A k- 16310 17-  4860 a- 0,05- 1O"7[ cm] S7- ^'200[ cm] S,-  432  [ cm] h = 0,4  [ c m ] 1   • ••   .  .  I...   . . I, . . -   ^ 100  200  300  400  500  600  [ s " 1 ] Rys.  5 przedstawiają   kolejno  powierzchnie  obszarów1  rezonansowych  przy  wzrastają cej  wartość współ czynnika  rj, przy  innych parametrach stał ych. Wzrost  r\  wywołuje  zmniejszenie  się obszaru  dynamicznej  niestatecznoś ci  poprzez  jego  „ skrócenie"  w  kierunku  maleją cych amplitud  i  przegię cie  ku  doł owi,  co  wyraź nie  widać  n a  wykresach. Kolejnym  etapem  analizy  był o  zbadanie  wpł ywu  zmiany  ką ta  wierzchoł kowego  2y na  przebieg  granic  obszarów  dynamicznej  niestatecznoś ci. W  tym  celu  sporzą dzono  wyk- resy  5 i 6, gdzie na  osi  pionowej  odniesiono ką t  y,  a  wzdł uż poziomej —•  ś rednią   czę stość 490 F .  TWARDOSZ,  J .  ZlELNICA IT so 70 60  - 50  - 40 30 20 -   15 310 -   4 8C0 0.05- 10~?icrrj © kr 300  400  500  600  700  800  [s*1] Rys.  6 cm]' 83C 730 730 6S0 630 580 Sz - " - - - -  ' - I" I I I , ,  ©kr- 100  200  300  400  500  600  700 [s"'] Rys, 7 krytyczną   sił y  wymuszają cej  & kn   uzyskaną   po  przekształ ceniu  zależ noś ci  (2.3).  Analizę przeprowadzono  tutaj  w  dwóch  wariantach. W pierwszym  zmieniano ką t  y  przy stał ych pozostał ych  parametrach  (rys.  5), a  w  drugim  zachowano  stał y  ś redni  promień powł oki, r ś r   =  0,5(s t +S2)smy  —  const  (rys.  6)  i  dł ugość  tworzą cej  /  =  s 2 — jj  =  const.  Z wykre- O  STATECZNOŚ CI  DYNAMICZNEJ  4 9 ] sów  widać,  że w  m iarę   wzrostu  ką ta  y  szerokość  obszarów  rezon an sowych  m aleje.  P rzy zachowaniu  stał ego  prom ien ia  ś redniego  istnieje  pewien  optym aln y  ką t  wierzch oł kowy, przy  którym  czę stość  krytyczn a  jest  najwię ksza,  co wyn ika  z  rys.  6.  Z wię kszen ie  współ - czynnika  pulsacji  fj, powoduje  rozszerzenie  obszaru  n iestateczn oś ci,  t ak  ja k  i  zwię kszen ie amplitudy  sił y  wymuszają cej  p t ,  W kolejnoś ci  zbadan o  wpł yw  zm ian y  dł ugoś ci  tworzą cej (poprzez zm ianę  s 2 ) n a  granice  obszarów  niestatecznoś ci, przy  in n ych p a r a m et r a c h  stał ych . Analizę   tę  podaje  rys.  7, z którego  wynika,  że wraz  ze wzrostem  dł ugoś ci  tworzą cej  n ie- liniowo  maleje  czę stość  krytyczn a  & kr  przy  nieznacznym  zmniejszeniu  szerokoś ci  obszaru. P rzeprowadzon a  an aliza  n um eryczn a  daje  moż liwoś ci  wł aś ciwej  oceny  d o bo r u  p ara- metrów  geom etrycznych i m ateriał owych przy  projektowan iu  powł ok  stoż kowych  obcią ż o- nych  dynamicznie  wszechstronnym  ciś nieniem  równ om iern ym i sił ą   podł uż n ą.  D o ko n u ją c porówn an ia  z  analizą   statecznoś ci  dynamicznej  powł oki  stoż kowej  przy  an alogiczn ych zał oż eniach,  lecz  bez  uwzgę dn ien ia  tł um ien ia  m oż na  zauważ yć,  że tł um ien ie  wpł ywa wy- raź nie  n a zmniejszenie  się ,  obszarów  dynamicznej  n iestateczn oś ci  n p .  przy  wzroś cie  ką ta wierzchoł kowego  (rys.  5),  czyli  odwrotn ie  n iż t o m iał o  miejsce  bez tł um ien ia  ( por.  [4]). N asuwa  się   tutaj  równ ież uwaga,  że  w przypadku  uwzglę dn ien ia  tł um ien ia  m at eriał owego rezonans  zachodzi  d la m ał ych  wartoś ci  am plitud.  P rzy  wię kszych  wartoś ciach  am p lit u d tł umienie  m ateriał owe  nie odgrywa  zasadniczej  roli. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A. A.  BE P E 3O BC K H ,  A. fł .  MH TPonojiŁCKń,  Acu.tmmomimecKue  Memobu  s  meopuu  napaMempiinecuux KOAeóattuu cMCamux  BUBKUX  n/ iacmun,  H 36paH H Bie  npoBjieM Łi  npH KJiannofr  i\ iexainlK0,  H 3fl.  AH C C C P ,  M ocKBa, 1974. 2.  M . M .  BorojKOEOB,  A . fł .  M H T P O I I O JI BC K H H ,  AcuMnmomuwcKue  Memodu  e  meopuu  HemmeuHux  Kojie- 6amu,  H3fl.  3,  r o c .  'ł tofl.  ii3.- MaT.  H H T . ,  MocKBa, 1963. 3.  F .  TWARD OSZ,  Zagadnienie  statecznoś ci  powł oki  stoż kowej.  W yprowadzenie podstawowych  równań , Rozprawy  Inż ynierskie,  oddana  do  druku. 4.  F .  TWARD OSZ,  J.  Z IELN ICA,  Analiza statecznoś ci dynamicznej powł oki  stoż kowej  obcią ż onej  sił ami po- dł uż nymi i wszechstronnym  ciś nieniem,  Archiwum  Budowy  M aszyn, w  druku. P  e 3  IO  M e  v OB  H H H AMIMECKOH   yCTOŚ MH BOCTH  KOHIMECKOEC OBOJIO^KH riP H   n yjiLC H P yio m H X  n pojj;ojibH Ł ix  H   n o n E P E ^ H L i x  C H J I A X C  yqT E H H E M  H EJIH H EKH OrO  flEM n*H POBAH H a  MATEPH AJIA B  p a 6 o i e  npeflcraBJieH O  aH anH 3  jranaMiwecKOH   ycrofrTOBOcTH   TOHKodeHHOH   o6on o itiKH   B yceneH H oro  KOHyca,  C BO6OH H O  o n e p i o r o  Ha K p aax.  O6oncraKa  H a r p ywe m ia  nporjjojiBH oii  C H JIOH   N it) a  BcecTopoHHbiM  flaBJieH H eivi p(J)  H3MeHHK>imtivicfl:  nepH OfliwecKH   B O BpeM ein i.  H a  o c a o s e  rił n o T e3bi JJ[aBHfleHi