Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M O D E L E  M ATEM ATYCZN E  P R OC E SÓW  437 Wtedy  równanie  wraż liwoś ci  moż emy  napisać  w  postaci (61)  * Ponieważ rozwią zanie  u(x,t,c)  traktujemy  jako  znane,  wię c  funkcje  (60)  są   znane. Równanie wraż liwoś ci  (61) jest  wię c  równaniem liniowym  o  zmiennych współ czynnikach. W  przypadku liniowego  równania strun y/   =  0, kł adziemy w równaniu  (61) A  =   a  =   v  =   0 i  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  liniowe  o  stał ych  współ czynnikach,  wymuszone rozwią zaniem  (lub  jego  pochodnymi), którego  wraż liwość  badamy. W  przedstawionych  wyż ej  rozważ aniach  dokonany  został  przeglą d  poję ciowy  najważ- niejszych  poję ć  statecznoś ci  ruchu,  dla  modeli  matematycznych  dyskretnych  i  cią gł ych, z  punktu widzenia  potrzeb technicznych. Pominię te został y  mniej  istotne  warianty  poję ć statecznoś ci  oraz  cał kowicie  pominię to zagadnienia  statecznoś ci  procesów  losowych,  wy- magają cych  osobnego  opracowania.  D la  wszystkich  przedstawionych  tu  rodzajów  sta- tecznoś ci  istnieją   mniej  lub  bardziej  zaawansowane  metody  ich  badania.  M etody  te  są znacznie bardziej  zaawansowane  dla modeli dyskretnych, niż dla  modeli cią gł ych. Przedsta- wienie  nawet  pobież nego  przeglą du  istnieją cych  metod przekracza  znacznie  ramy  niniej- szego opracowania. Systematyczne  zapoznanie się   z  metodami  badania statecznoś ci ruchu oś rodków  dyskretnych  i  cią gł ych,  wymaga  się gnię cia  do  ź ródł owej  literatury. Literatura  cytowna  w  tekś cie 1.  C .  J I .  COEOJIEBJ  ypasHenuH  Marne MamunecKou   sin q>)  =   0, 440 J.  J.  WĄ SOWSKI w  którym  q  oznacza  odległ ość  siatki  G 2   od  ź ródła  ś wiatła  Q 2 ,  którego  poł oż enie n a  osi  x okreś lone  jest  odcię tą   d,  , W nowym  ukł adzie współ rzę dn ych  rodzin a  kierown ic  (2.4) m a  równ an ie (2.8)  (sm2  0  (patrz rys. 2). Reasumują c  otrzymane  wnioski  moż emy  stwierdzić,  że  opisany  ukł ad  projekcyjny generuje  w przestrzeni rodzinę  powierzchni  optycznych, którymi  są   walce eliptyczne o two- rzą cych  równoległ ych d o  linii  siatek  (tzn. do osi  Y). Równanie tej  rodziny  dane jest wyra- ż eniem  (2.8),  w  którym  parametr  k  może  być  interpretowany  jako  numer  powierzchni A k ,  przy  czym  może on przyjmować  wartoś ci  dodatnie i ujemne  oraz wartość  0, dla  której walec  eliptyczny  staje  się   walcem koł owym. 3.  Wyzn aczan ie  elementów  ukł adu  projekcyjnego W równaniu (2.8) rodziny powierzchni tną cych A  wystę pują   cztery parametry cp, d, q, p, charakteryzują ce  ukł ad  projekcyjny  i  ukazane  na  rys.  1 [wielkość  S wystę pują ca  w  (2.8) wyraża  się   przez p,  q  wzorem  (2.5)]. Przygotowanie  ukł adu do pracy  polega  na ustaleniu tych  wielkoś ci  w  sposób  umoż liwiają cy  rozwią zanie  danego zagadnienia. Na przykł ad  ką t ,  który  daje  się  zmierzyć bezpoś rednio. W  takiej  sytuacji  potrzebne  wielkoś ci  moż na  wyznaczyć  w  sposób  poś redni.  Jeż eli bowiem  w  zestawionym  ostatecznie  ukł adzie w  miejsce  siatki  G  wstawimy  okreś loną   fi- gurę ,  n p. prostoką t  o znanych bokach a, b, zaś  w miejsce  badanego modelu pł aski ekran E  równoległ y  do  pł aszczyzny XY  ukł adu  współ rzę dnych,  to  przy  speł nieniu  oczywistych warunków  prostoką t  odwzorowuje  się   na  ekranie jako  równoramienny  trapez  o  podsta- wach a' x \   a' 2   i wysokoś ci  b'.Po  zmierzeniu  tych wielkoś ci  moż emy  za  ich pomocą   znaleźć niewiadome  parametry  ukł adu  projekcyjnego. Podstawę   rachunku  stanowią   równania przetworzenia  optycznego  [6,7] (3- 0  * ' - " ? ^ BADAN IE  UGIĘ Ć  PŁYT  443 U kł ad  współ rzę dnych prostoką tnych  xy  zwią zany  jest z pł aszczyzną   rzucanego  przezrocza, ukł ad  x'y'  —  z  pł aszczyzną   ekranu.  W  tych  wzorach  q  oznacza  odległ ość  przezrocza (np.  siatki  G)  od  ś rodka  rzutowania  Q,  zaś  e jest  odległ oś cią   ekran u  E  od  tegoż  ś rodka. Mię dzy pł aszczyzną  przezrocza  a pł aszczyzną   ekranu zawarty jest  ką t  cp.  Znają c  współ rzę d- ne  (x, y)  pun ktu  A  przezrocza,  n p.  wierzchoł ka  wspomnianego  prostoką ta,  m oż na  przy pomocy  równań  (3.1)  obliczyć  współ rzę dne  (x',y')  pun ktu  A',  w  który  przetworzył   się punkt  A  (a  wię c  odpowiedniego  wierzchoł ka  trapezu). W  szczególnoś ci  moż emy  obliczyć elementy a'i,a 2 ,  b'  trapezu  ze  znajomoś ci  boków  a,  b  rzucanego  prostoką ta.  Jeś li  jedn ak znamy z pomiaru boki  a,  b rzucanego prostoką ta  oraz elementy a[,  a' 2 , b'  trapezu, w  który przetworzył  się  prostoką t,  to z równań  wią ż ą cych  te elementy  m oż na wyznaczyć  param etry ukł adu  przetwarzają cego. P o  rozwią zaniu  powstał ego  w  ten sposób  ukł adu równań  wzglę dem  interesują cych  n as niewiadomych,  otrzymamy  zestaw  wzorów  pozwalają cych  wyliczyć poszukiwane  wielkoś ci. W praktyce  rachunek ten wygodnie  przeprowadzić  wedł ug nastę pują cego  schem atu. Obliczamy  najpierw  wielkoś ci w  oparciu  o  zmierzone  elementy  a,b  oraz  a[,a2,b'  figury  przetwarzanej  (prostoką t) i  przetworzonej  (trapez). Wielkoś ć / jest  ogniskową   obiektywu  uż ytego  w  ukł adzie prze- twarzają cym  czyli  projekcyjnym.  Interpretacja  ką ta 

 — jeden  z  podstawowych  param etrów  ukł adu  projekcyjnego.  Z  kolei obliczamy  odległ ość e ekran u  E  od  ś rodka  rzutowania  Q  wg  wzoru (3.4)  e = / - oraz odległ ość ą  ś rodka  rzutowania  Q  od pł aszczyzny  siatki  G (3.5)  q=Ae. W  koń cu  dla  znalezienia  odległ oś ci  2d  mię dzy  ś rodkami  rzutowania  obliczamy  odcię tą ś rodka  rzutowania  Q  wzglę dem  ukł adu x'y',  zwią zanego  z  pł aszczyzną   ekran u  E,  przy  po- mocy  wzoru (3- 6)  x^ W  ogólnym  przypadku  począ tki  ukł adów  współ rzę dnych  x'y',  sprzę ż onych  z  obydwom a projektorami,  nie pokrywają   się .  Jeś li  odległ ość  mię dzy  nimi,  mierzona  wzdł uż  psi  x  jest równa  c,  to  poszukiwana  wielkość (3.7)  2d 444 J .  J.  WĄ SOWSJKI D la  ilustracji  rozpatrzmy  przykł ad  ukł adu  uż ywanego  przez  autora  do  badania ugię ć kwadratowej  pł yty, wymuszonych  w sposób  pokazany  na  rys.  '3. Schemat  ukł adu  projek- cyjno- fotograficznego  wykreś lony  jest  na rys.  4, a jego zdję cie  przedstawia  rys.  5. Funkcję projektorów  speł niał y  dwa powię kszalniki  fotograficzne  typu  „Krokus 3 color" z  obiekty- R ys.  3.  Sposób  odkształ cania  badanej  pł yty  kwadratowej wami  Amar/ s  o  ogniskowej  /   =   10.5  cm.  W  ramki  negatywowe  został y  wł oż one  siatki liniowe  o  gę stoś ci  6  linii/ mm  (tzn. mają ce  odstę p  mię dzy  liniami p  = 0,0167  cm) w ten sposób,  ż eby  ich  linie  był y  prostopadł e  do  pł aszczyzny  rysunku.  Mię dzy  projektorami zarezerwowano  miejsce  na  aparat  fotograficzny,  pozwalają cy  rejestrować  optyczne prze- cię cia  badanej  pł yty,  umieszczonej  na jego  osi  optycznej.  W  celu  oś wietlenia  badanego obiektu  przez  obydwa  projektory,  został y  one  obrócone  o  pewien  ką t  ę ,  jak  ilustruje  to aparat  fotograficzny projektor R ys.  4.  Schemat  ukł adu  projekcyjno- fotograficznego rys.  4,  a  nastę pnie  drogą   regulacji  ostroś ci  doprowadzono  do  powstania  ostrego  obrazu obydwu  siatek  na powierzchni obiektu. N ależy tu dodać, że ze wzglę du na nierównoległ ość pł aszczyzny  przedmiotowej  (tzn. pł aszczyzny  siatki)  i pł aszczyzny  obrazowej  (pł aszczyzny pł yty przed  odkształ ceniem) ostre  obrazy  otrzymuje  się  przy  speł nieniu warunku  Czapskie- go- Scheimpf luga wymagają cego,  by trzy pł aszczyzny — pł aszczyzna przedmiotowa, obrazo- wa  oraz  pł aszczyzna  gł ówna  obiektywu  — przecię ły  się   wzdł uż jednej  prostej.  Wystę pu- ją cy  we  wzorze  (3.2)  ką t  ę  t   jest  ką tem  mię dzy  pł aszczyzną   przedmiotową   a pł aszczyzną gł ówną   obiektywu. BAD AN IE  UG IĘĆ  PŁ YT 445 Parametry  ukł adu  projekcyjnego  znaleziono  w  sposób  opisany  powyż ej.  W  miejsce siatki  G  wstawiony  został   dokł adny rysunek  prostoką ta  o  bokach  a  = 4  cm  i  b  — 5 cm w  ten  sposób,  by  jego  ś rodek  leż ał   na  osi  optycznej  projektora.  W  pł aszczyź nie  ekranu E, pokrywają cego  się z pł aszczyzną  badanej  pł yty, prostokąt ten odwzorował  się  w postaci równobocznego  trapezu  o  podstawach  a\   — 20,55  cm,  a' 2  — 18,75  cm  oraz  wysokoś ci V. =  25,05  cm. Rachunek elementów  ukł adu  przeprowadzony  został   wg  przedstawionego schematu.  Ze  wzorów  (3.2)  otrzymujemy  A  =  0,207665  oraz  sin ę^  =  0,0392409  skąd ę l   =  2°14'56'  oraz  cos^x  =   0,999230. R ys.  5.  U kł ad  projekcyjno- fotograficzny N astę pnie  za pomocą  (3.3)  obliczamy  sin93=  0,227351  skąd  ę  =   13°8'28".  Odległ ość ś rodka  rzutowania Q  od pł aszczyzny ekranu £ jest  wg  (3.4) równa  e  =  60,8341  cm, a  od- legł ość pł aszczyzny siatki  od Q, wyliczona  wzorem  (3.5) wynosi  q  =   12,6331  cm.  Rzutując prostoką ty  z  obydwu  projektorów  jednocześ nie  stwierdzamy,  że  obrazy  ich  ś rodków odległ e  są  w  pł aszczyź nie  ekranu  Eoc  = 4,6  cm,  co  pozwala  wzorem  (3.7)  obliczyć  od- legł ość 2d  =  33,00 cm mię dzy ś rodkami projekcji  Qi'iQ 2 -   N a koniec z (2.5) obliczamy  wiel- kość  j  =   1,3219-  10~ 3,  zamykając  tym  samym  proces  wyznaczania  elementów  ukł adu projekcyjnego. Po wstawieniu  tak uzyskanych  liczb  do wyraż enia  (2.8) otrzymujemy  równanie  rodziny powierzchni  A (3.8)  (0.44279- 6.3326  •   10~ 5k)X2 + (0.44279+ 1.25357  •   IO~ 3k)Z2  - 33.00  •   Z  =   0 3 Mech. Teoret. i S tos. 4/ 78 446 J.'J.  WĄ SOWSKI z jednym  parametrem k, który  moż na uznać  za numer powierzchni  w  rodzinie. Podobnie z  (2.11)  dostajemy  wyraż enie  .  .  '  ,, (3.9) 33.00 0.44279  +  1.25357-   10~ 3/ c okreś lają ce  punkty na  osi Z , w których  przecię ta jest ona przez powyż szą  rodzinę powierz- chni.  Są  to  wierzchoł ki  elips  X h   (rys.  2). D la k  =  0  otrzymujemy  z  (3.9) Z o  =  74,5274 cm, co  jest ś rednicą  okrę gu  Jł 0,  tzn. ś rednicą  walca  koł owego, bę dą cego jedną  z powierzchni  A. D la  są siednich  powierzchni  A_ x   o raz/ li  znajdujemy  wg  (3.9)  wartoś ci  74,7390  cm  oraz 74,3170  cm,  z  czego  wynika,  że  odległ ość  mię dzy  są siednimi  powierzchniami  mierzona wzdł uż  osi  Z , wynosi  0,2116- cm  oraz  0,2104  cm.  Stosunek  tych  liczb  jest  równy  1,0057, skąd  wniosek,  że róż nią  się one (w tym miejscu)  o 0,57%. 4.  M apa  przecięć  optycznych  •   '  , Jeż eli  w  przestrzeni  powierzchni  A  umieś cimy  materialną  powierzchnię  27 np. badaną powł okę lub  pł ytę, to  pojawi  się  na-  niej  ukł ad linii  V, powstał ych  z optycznego  przecię cia powierzchni 27 rodziną  powierzchni A.  Jeś li A  (X,  Y, Z y K)  = ^0  jest równaniem tej rodziny, a  27  (X,  Y,  Z)  =  0 równaniem  powierzchni £,•  to  rodzina linii, V  na  powierzchni 27 ma rów- nania (4.1) A(X,  Y,Z,k)  =  0,  EQC,  Y,Z),=   0. R ys.  6.  M apa  przecięć  optycznych  pochył ej  pł aszczyzny Rzutując  ten  ukł ad  linii  V  na  pł aszczyznę  XY  otrzymujemy  ;,mapę"  powierzchni  27.  Jej równanie  ' (4.2)  ,• .;.•   W (X,Y,k)  = 0 u z ysk u je m y  w wyn i k u  r u go wa n i a  z m i e n n e j Z z  r ó wn a ń  ( 4. 1) . N a l e ż y  p a m i ę t a ć, że  wp r o wa - d z o n e  t u  p o ję c ie  „ m a p y "  je st  szer sze  o d  p o ję c ia  m a p y,  st o so wa n e go  w  t o p o gr a fi i ,  gd zie p o wi e r z c h n i a m i  wa r st wo wym i ' są  r ó wn o le gł e  i  r ó wn o o d l e gł e  p ł a szc zyzn y.  >,«.- .<  ; BAD AN IE  UG IĘĆ  PŁ YT Weź my  dla  ilustracji.prosty  przykł ad,  gdy  powierzchnią  £  jest pł aszczyzna 447 (4. 3) Z  =  MY+N . Jej  mapa  ma  równanie  .  . *  ,  .  • '.'• ) (4.4)  W {X,  Y, k)  = az'x2  + jizM 2Y2  + 2M(P2N - d)Y+N (fi2N ~d)  =   0 p o wst a ł e  z  r u go wa n i a  z m ie n n e j  Z z  r ó wn a ń  ( 2.10)  i  ( 4.3) .  M a p ę  t ę ,  o t r z ym a n ą  z a  p o m o c ą u k ł a du  p r o jekc yjn o - fo t o gr a fic zn Ś go  u k a z a n e go  n a , r ys.  5  p r z e d st a wi a  rys. 6.  P o ws t a ł a  o n a z  o p t yc zn e go  p r ze c ię c ia  p ł a szc zyzny  Ź  ( kt ó r ą  w  t y m p r z yk ł a d z ie  b ył a  p ł y t ka  m e t a l o wa ) r o d zin ą  p o wie r z c h n i  A  wyge n e r o wa n ą  p r z e z  u k ł ad  p r o je kc yjn y. '  W  d r u gi m  p r zykł a d zie ,1 u k a z a n ym  n a rys.  7, wid zim y  m a p ę  p o wie r zc h n i  k u li ,  u z ysk a n ą  p r z e z  a u t o r a  w  t y m  sa m ym u kł a d zie  p r o je kc yjn ym .  '  '  '  '•   • • '? R ys.  7.  M apa  przecięć  optycznych  powierzchni  wzorcowej Jednakże  w  zagadnieniach  praktycznych  równanie  powierzchni  S  nie jest  zn an e. Sto- sując przedstawioną  metodę otrzymujemy  m apę tej powierzchni w postaci obrazu  m orowego (jak  n p.  ń a  rys.  6  i  7)  za  pomocą  której  oraz  znajomoś ci  rodziny  powierzchni  tną cych A  moż na na drodze  obliczeniowej  okreś lić  kształ t powierzchni U. ' • ' ' • '  '  5.  Wyzn aczan ie  pochodnych-   czą stkowych Jeż eli  interesują cym  nas  zagadnieniem  bę dzie  rozkł ad momentów zginają cych  i  skrę ca- ją cych,  dział ają cych  w  badanej pł ycie,  to  w "tym  przypadku  poszukiwać  bę dziemy  drugich pochodnych  czą stkowych  powierzchni  ugię tej,  niezbę dnych  do  tego  rachun ku.  •  '  >   < ! Przypuś ć my, że pł aska pł yta sprę ż ysta staje się w wyniku obcią ż enia pewną  powierzchnią Z  — Z(X,  Y) i zał óż my, że interesuje  nas przebieg  momentu zginają cego  wzdł uż  przekroju X  =   0. Pochodną czą stkową  w punkcie  7+ ^ z lF m o ż na przedstawić  w postaci  V  .  • '  ! 448  J .  J.  WĄ SOWSKI Przyrost  AZ  obliczymy  jako  róż nicę   wartoś ci  Z k   dla  dwu  są siednich  wartoś ci  k  i parametru  w  wyraż eniu  (2.11): Z k (5.2)  AZ  -   AZ k/ k+l   -   Z k ~Z k+1   = Są siednia  róż nica jest analogicznie ( 5 l 3 )  ń Zk ~W   =   z * -  * ~ Z *  =   - j2 a  ich  stosunek  jest  równy ± i_ _ vk   ~  (2/ s)tg   przecinają cej  pł aszczyzn ę   Z  w  p u n kcie  .3T  p rzekro ju 7  =- 0.  K ł adą c  w  (5.12)  Z  =   Z E   =  64,69  cm  o raz  X  ~  X E   =   10.8  cm  otrzym ujem y k  =   43,94,  co  znaczy,  że  ostatn ia  powierzchn ia  A,  przecin ają ca  n aszą   p ł yt ę   przy  n aro ż- n iku  m a  n u m er  k  =   43,  a  n ast ę p na  k  =  44  przech odzi ju ż  poza  n im .  P o p rzed n io  stwier- dziliś my,  że  najbliż szą   ś ro dka  pł yty  (X  — 0) jest powierzch n ia  k  =  53, z  czego  wyn ika,  że pł aszczyznę   pł yty  przecin a  Ak  =  10  powierzchn i  warstwowych  A. 450  :  3.  J-   WĄ SO WSKI Wstawiają c  do  wzoru  (5.9)  wartoś ci  k  =  53,74  oraz  k  =  43,94  obliczamy  /?(53;74) = =   34,863  cm oraz /S(43,94)  =   35, 263 cm, ską d  wynika,  że zmiana j9 na  obszarze  badanej pł yty wynosi  Aft  =  0,400 cm  =  4 mm, a najwię ksza  w naszym przykł adzie wartość  (X\ $f jest  równa  0,094 przy  koń cu przeką tnej.  Po rozwinię ciu  w szereg i  odrzuceniu potę g  Xjfi' s wię kszych  od 2 wyraż enie  (5.11) przepiszemy w postaci (5.13) przydatnej  do  praktycznych  obliczeń.  Przyjmują c  wartość  ś rednią   /?., =  35,06  cm, wzór rachunkowy  dla  rozpatrywanego  przykł adu przyjmie  postać (5.14)  '  AZj; lk+1 Zestawiają c  otrzymane  wnioski  otrzymujemy  wyraż enie pozwalają ce  obliczyć  pochodną   czą stkową   8Z/ 8Y  w punkcie  (X,  Y) powierzchni  Z(X,  Y) badanej  pł yty. N a  t kł adziemy kolejne  wartoś ci  1,2,  3 ... dla  kolejnych  punktów przekro- ju ^ - W  analogiczny  sposób  uzyskać  moż na wzór  • 4 dla  obliczenia  pochodnej  czą stkowej  BZjdX,  Potrzebną   do  tego  celu  mapę   otrzymujemy w wyniku  obrócenia badanego modelu wokół  osi Z  o 90°  w  stosunku  do ustawienia pop- rzedniego. Wyznaczywszy  w opisany sposób pierwsze  pochodne czą stkowe  SZ/ dXi ~bZ\ 8Y moż emy  n a  ich  podstawie  obliczyć  pochodne drugie  dzZl8X2,  82ZI8Y2  oraz pochodną mieszaną   82Z/ 8X8Y  potrzebne  do  rachunku momentów. 6.  Weryfikacja  metody D la  sprawdzenia  opisywanej  metody,  wyniki  otrzymane  przy  jej  pomocy  został y po- równane z wynikami  uzyskanymi  w sposób niezależ ny. W tym celu przygotowano  powierz- chnię  wzorcową , dla  której  okreś lono  kształ t obranego  przekroju  mierzą c z dokł adnoś cią 0,01  mm  współ rzę dne  F , f  punktów  w  odstę pach  AY  =  3  mm.  Powstał y  w  ten  sposób wykres przekroju  ukazany jest na  rys.  8.  Powierzchnia  wzorcowa  został a nastę pnie wsta- wiona  w ukł ad projekcyjno-   fotograficzny,  który  wyprodukował  jej  mapę  morową , przed- stawioną   n a  rys.  7, na  podstawie  której  wykreś lony  został   rys.  9, na  którym jasne  prą ż ki mory  zastą piono  liniami  geometrycznymi,1  umoż liwiają cymi  wyznaczenie  współ rzę dnej Y  warstwie wzdł uż wybranego  przekroju, w naszym przykł adzie przekroju  X  =  0. Powierz- chnię   wzorcową   umieszczono  w ukł adzie  tak,  ż eby  w  ś rodku  stykał a  się   z  powierzchnią warstwową   A s4 ..  N astę pnie za  pomocą   wzoru  (3.9)  wyliczono  wartoś ci  Z k   dla  kolejnych wartoś ci  k  =   54,  53,  52,  ..., 44  (wzdł uż  przekroju  X  ==   0  powierzchnię   wzorcową   prze- BAD AN IE  UG IĘ Ć  PŁYT 451 cina  11  powierzchni  warstwowych  A  o  tych  numerach),  z  których  z  kolei  moż na  był o wyliczyć  współ rzę dne  C k   =  Z k   — Z SĄ ,  mierzone  od  wierzchoł ka  powierzchni  wzorcowej i  umoż liwiają ce  konfrontację   z  pomiarami  kontrolnymi.  Porównanie  obydwu  pomiarów mm] 14 12 10 8 S i, 2 C T ~ i  i  i  i  i  r~ —  d - - ft. - !  1  1  1  •   j  1 - 120  - 100  - 80  - BO  - 40  - 20  0 —I  r— i  i 20  40 I *° h • i  i  i  Y 60  80  1001mm] Rys.  8.  Porównanie  pomiaru  optycznego  metodą   mory  (kół eczka)  z  pomiarem  mechanicznym (kropki) przedstawia  rys.  8, na  którym  kół eczkami  zaznaczone  został y  wyniki  otrzymane  metodą mory opisywaną   w  artykule.  Jak widać, zgodność jest zadowalają ca.  N ależy jednak  dodać, że  dokł adność  metody  może  być  zwię kszona  przez  uż ycie  doskonalszego  sprzę tu  oraz fotometrycznego  wyznaczania  linii  warstwicowych  z  prą ż ków  mory  ze  zdję cia  przecię ć optycznych.  Także  liczbę   warstwie  moż na  zwię kszyć  uż ywając  gę stszych  siatek  do pro- jekcji. Rys.  9.  M apa  warstwicowa  powierzchni  wzorcowej  (powstał a  z  zastą pienia  liniami  prą ż ków  m ory na  rys.  7) 452  J-   J-   WĄ SO WSKI 7. Przykł ad zastosowania metody do badania pł yty D la  ilustracji  rozpatrzmy  przykł ad  pł yty  kwadratowej  153  m m x  153  mm, odkształ - conej  w  sposób  ukazany  na  rysunkach  3  i  5.  Mapę  przecię ć pł yty przedstawia  rys.  10. Ograniczają c  się   do przekroju X  =   0 wyznaczamy z tego zdję cia  współ rzę dne Y k  punktów przecię cia  kolejnych  warstwie  (jasnych  prą ż ków  mory)  z  linią   wybranego  przekroju  (tu Rys.  10.  M apa  przecię ć  optycznych  badanej  pł yty  kwadratowej.  Tworzą ce  walców eliptycznych,  przecina- ją cych  pł ytę ,  są   równoległ e  do  osi  Y osią   Y), a nastę pnie przy  pomocy wzoru  (3.9)" obliczamy rzę dne Z k   tych punktów, kł adą c kolejno  wartoś ci parametru k  = 53, 52, ..., 45. W ś rodku pł yty, jak  wyliczyliś my poprzed- nio, jest k  =  53,74 czemu odpowiada Z o  =   648,04 mm. Ugię cie Ck w punktach. Yk naszego przekroju jest wobec tego C k  =  Z k —Z 0   i wykreś lnie przedstawione jest na rys. 11. Immi 0 - - 100  i  - 50  0  "50  100 R ys.  11.-  Wykres  ugię cia  (kół eczka)  oraz  wykres  pochodnej  (krzyż yki)  w  przekroju  AC(X  — 0)  badanej pł yty  kwadratowej BAD AN I E  U G IĘĆ  P Ł YT 453 Wyniki  obliczeń  zestawione  są  w tablicy  1. Tablica  1.  Wyniki  obliczeń  dla  pł yty  kwadratowej k 45 46 47 48 49 50 51 52 53 53.74 53 52 51 50 49 48 47 46 45 - 87. 90 - 82. 49 - 76. 40 - 70. 32 - 64. 23 - 56. 80 - 48. 68 - 37. 86 - 22. 99 0.00 21.64 37.19 47.33 55.44 62.88 69.64 76.40 81.14 86.55 Z k 661.06 659.40 657.75 656.11 654.48 652.86 651.24 649.64 648.04 646.86 648.04 649.64 651.24 652.86 654.48 656.11 657.75 659.40 661.06 c* 14.20 12.54 10.89 9.25 7.62 6.00 4.38 2.78 1.18 0.00 1.18 2.78  . 4.38 6.00 7.62 9.25 10.89 12.54 14.20 AY 5.41 6.09 6.08 6.09 7.43 8.12 10.82 14.87 22.99 21.64 15.55 10.14 8.11 7.44 6.16 6.76 4.74 5.41 AZ - 1 . 66 - 1 . 65 - 1 . 64 - 1 . 63 - 1 . 62 - 1 . 62 - 1 . 60 - 1 . 60 - 1 . 18 1.18 1.60 1.60 1.62 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 8ZJ8Y - 0. 3068 - 0. 2709 - 0. 2697 - 0. 2676 - 0. 2207 - 0. 1995 - 0. 1479 - 0. 1076 - 0. 0513 0.0545 0.1029 0.1578 0.1997 0.2177 0.2411 0.2426 0.3481 0.3068 Y+ £ L 2 - 8 5 . 2. - 7 9 .4 - 7 3 .4 - 6 7 .3 - 6 0 .5 - 5 2 .7 - 4 3 .3 - 3 0 .4 — 11.5 10.8 29.4 42.3 51.4 59.2 66.3 73.0- 78.8 83.8 R'AZ 1.60 1.61 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.65 Rys.  12.  M apa  przecięć  pł yty  kwadratowej  przy  drugim  ustawieniu  pł yty  (tworzą ce  walców  są  teraz równoległ e  do  osi  X) 454  J-   J-   WĄ SOWSKI Przyrosty  AZ  został y  ta  obliczone jako  róż nice  AZ  =  Zjc—Z k+U   ale  to  samo moż na był o  otrzymać wzorem  R'AZ,  gdzie AZ  =  Z 5 3 - Z5 4  =   1,591  mm, R  =   1,0049 (patrz §5), kł adą c  na  /   wartoś ci  1, 2, 3, . . .  dla  kolejnych  k  =   53, 52, 51, ... 45.  Są   one  podane w  ostatniej  kolumnie tablicy  1 w  celu porównania  ich  z wartoś ciami  AZ  z kolumny  6- ej. Obliczają c  przyrosty  ń Z  wzorem  R'AZ  nie  musimy  wielokrotnie  wyliczać  Z k   ze  wzoru (3.9), co znacznie skraca  proces  obliczeniowy. Po  obliczeniu  przyrostów  A Z  oraz AY  znajdujemy  za pomocą   (5.1) wartoś ci pochodnej czą stkowej  8Z/ BY, podane w  tablicy  1  w kolumnie pod tym nagł ówkiem. Jej wykres nanie- siony jest n a rys.  11.  Jak widać, wyliczone  punkty ukł adają   się  wzdł uż linii prostej,  mają cej współ czynnik  kierunkowy  0,366,  ską d  wniosek,  że  druga  pochodna  czą stkowa  jest  stał a i  równa  82ZjdY2  =  0,366. D la  otrzymania  pochodnej  czą stkowej  3Z/ 8X  badany  obiekt  należy  obrócić  wokół osi  Z  o  ką t  90°  i  cał ą   procedurę   powtórzyć.  W  rozpatrywanym  przykł adzie  orzymano mapę   przecię ć,  przedstawioną   na  rys.  12.  Jak  widać,  warstwice  są   liniami  równoległ ymi, z  czego  wynika,  że  zginanie  jest  walcowe.  Jedynie  w  pewnym  otoczeniu punktów  B, D podparcia  pł yty  widoczne  jest  zaburzenie  tego  przebiegu.  Widać  nastę pnie,  że  ś rodek pł yty  (oraz znaczna  czę ść jej  przeką tnej  BD) obniż ony jest  o  ok.  AZjl  =  0,8  mm w sto- sunku  do  punktów  podparcia B,D. 8.  Podsumowanie  i  streszczenie W  artykule  opisano  metodę  badania  ugię ć  pł yt  metodą   przecię ć  optycznych  powierz- chniami  walcowymi,  wygenerowanymi  w przestrzeni  przy  pomocy  ukł adu  projekcyjnego, zaprojektowanego  i zbudowanego  przez  autora.  U kł ad jest prosty  w budowie  i może być wykonany  niewielkim  kosztem  z  elementów  dostę pnych  na  krajowym  rynku  fotograficz- nym.  Przy jego pomocy moż na badać ugię cia pł yt i powł ok dowolnie obcią ż anych, przy czym rozmiary  badanych  obiektów  mogą   zawierać  się   w  szerokich  granicach  od  kilkunastu centymetrów  do  kilku  metrów,  co pozwala  wykorzystywać metodę  w  warunkach natural- nych  bez  koniecznoś ci  modelowania. W  artykule  wył oż ono w zarysie  teorię 1  powstawania powierzchni  optycznych  oraz  mechanizm  optycznych  przecię ć.  Podane  został y  wzory umoż liwiają ce  zastosowanie  opisywanej  metody  do  praktycznych  zagadnień  mechaniki stosowanej.  D la  ilustracji  dość  szczegół owo  opisano  przykł ad  zginania  pł yty,  a  w  celu weryfikacji  metody, wyniki  otrzymane przy jej  pomocy porównano z  wynikami  niezależ- nego  pomiaru. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  J.  D U R E I XT . V. J.  P AR K S: Moire Analysis of  Strain, Prentice H all, 1970. 2.  J.  J.  WĄ SOWSKI:  Badanie  ugię ć powł ok  techniką   warstwicowych  map  morowych. Archiwum  Budowy M aszyn,  23,  zeszyt  3  (1976)  str.  423—432 3.  P . S.  TH EOCARIS : Moire Patterns in Strain Analysis.  Pergamon Press,  1969.  * 4.  J." J.  WĄ SOWSKI:  Moire T opographic  Maps.  Optics Communications, 2, 7  (1970) str.  321—323. 5.  J.  J.  WĄ SOWSKI:  Badanie  kształ tu powierzchni metodą  mory. Praca  doktorska,  Instytut  Fizyki Politech- niki  Warszawskiej,  1974. BAD AN IE  UGIĘ Ć  PŁYT  455 6.  M . B.  PIASECKI:  Fotogrametria  lotnicza  i  naziemna. Pań stwowe  Przedsię biorstwo  Wydawnictw  K arto- graficznych,  1958. 7.  R.  FIN STERWALDER,  W.  H OF M AN : Photogrammetrie.  Walter  de  G ruyter C o., Berlin,  1968. Praca został a wykonana w  ramach problemu wę zł owego 1205— „W ytrzymał oś ć  i  optymalizacja  konstrukcji maszynowych  i  budowlanych",  koordynowanego  przez  IPPT   PAN . P  e 3 io  M e HCCJIEflOBAHHE  H 3rH BA  ID IACTH H  "METODOM   MYAPA B  pa6oTe  npeflCTaBJieno  ncn0Jib3OBaH H e  M erona  npoeKU H OH H oro  M yapa  B  H ccn efloBaiM u  H 3rn 6a H arpyH KeiniH   H X o6pa3u,OB  n o jiyiaeM   iviyapoByio  KapTHHy^  Koxopyio MO>KHO paccmoTpiiBaTŁ  icaK KapTy flecpopM H poBai- iH oft njiacTH H bij  a AiyapoBŁie  n o jio cbi  Kait jn n n lH   yp o Biia , KOTopwe  n o jryiaio T ca  B  pe3ynbTaTe  nepece^ieH U H   «ccjieflyemofl  njiacTH H bi  ceMeń cTBOAi  n oBepxn ocT eii, KOTOpŁiMH  B paccMOTpuBaeiwoM   cnyxiae  6biJin  3Jin m iraecKH e  aH Jiiffiflpbi.  Yic asan o ,  Kai<  H3  n on y- iein iofi KapTU   MOH