Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16 (1978) OKREŚ LEN IE  U G IĘ Ć  LEP KOP LASTYCZ N EJ  PŁYTY  P ROSTOKĄ TN EJ  O BC I Ą Ż O N EJ I M P U L S E M   C I Ś N I E N IA WI E SŁ AW  WO JE WÓ D Z K I ,  AN N A  P ER D Z YŃ SKA  (WAR SZ AWA) 4 1.  Wstę p Istnieje  wiele prac  dotyczą cych  dynam icznych problem ów  cien kich  pł yt  n iesprę ż ystych 0  warun kach  koł owej  sym etrii.  Wyczerpują ca  bibliografia  tych  opracowań  n ie jest  n aszym celem.  Wymienione  zostan ą   tylko  n iektóre  prace.  P ierwsze  rozwią zan ia  w  ram ach klasycznej  teorii  plastyczn oś ci  podali  WAN G ,  H O P K I N S  [1],  H O P K I N S ,  P R AG ER  [2],  WAN G [3].  N astę pn ie  uwzglę dn iono  n iektóre  z  dodatkowych  czynników  ja k:  wł asn oś ci  sprę - ż yste  m ateriał u,  wzm ocnienie,  lepkość  i  zmiany  geom etrii.  U czynili  t o :  D U F F Y,  K E Y  [4], WI TM E R ,  C LAR K ,  BALM ER  [5],  F LOR EN C E  [6],  JON ES  [7],  WI E R Z BI C K I  [8—12],  L E P I K  [13], PERRON E  [14].  Obszern a  rozprawa  WI E R Z BI C K I E G O  [15] poś wię cona  dyn am ice  powł ok 1  pł yt  lepkoplastycznych  podaje  analityczne  m etody  wyzn aczan ia  deformacji,  m etody oszacowania  ugię ć,  om awia  wpł yw  róż nych  czynników  decydują cych  o  przebiegu  p r o - cesu  dynam icznego,  oraz  przeglą d  dotychczasowych  osią gnię ć.  Istnieje  n ieporówn an ie mniej  rozwią zań  pł yt  o  dowoln ym  kształ cie.  P rzyczyna  leży  w  zł oż on oś ci  fizycznej i  matematycznej  problem u.  D ynam iczny  warun ek  plastyczn oś ci  musi  być  wyraż ony w  conajmniej  trójwym iarowej  przestrzen i  sił   wewn ę trzn ych.  U n iem oż liwia  t o  prostą linearyzację   prawa  pł yn ię cia.  R ówn an ia  róż n iczkowe  rzą dzą ce  problem em  stają   się bardziej  skom plikowan e  n iż w przypadku  koł owej  sym etrii.  U wzglę dnienie  wym ien io- nych ju ż dodatkowych  czynników  komplikuje  problem jeszcze  bardziej.  C o x i  M O R L AN D [16] ja ko  pierwsi  podali  rozwią zanie  dla pł yty kwadratowej.  P o d o bn y problem z  uwzglę d- nieniem  lepkoś ci  m ateriał u był  rozpatrywan y  w pracy  WI E R Z BI C K I E G O  [17], JO N E S,  U R AN , T E K I N   [18]  badali  eksperym en taln ie  prostoką tne  pł yty  utwierdzon e  n a  krawę dziach wykonane  z  alum in ium  i  m ię kkiej  stali  obcią ż one  im pulsem  ciś nienia.  Stwierdzon o  is- totn y  wpł yw  zm ian geom etrii i lepkoś ci  m ateriał u n a zmniejszenie  przem ieszczeń .  W  pracy [19]  JON ES  uwzglę dnił   efekt  zm ian  geometrii  podają c  uproszczon ą   teorię  idealn ie  plastycz- nych pł yt dowolnego  kształ tu. P odan e wyż ej rozwią zan ia  [16],  [19] ja k  równ ież  rozwią zan ie BĄ KA,  N I E P O ST YN A[20],  bazują c  n a teorii linii  zał om ów, przyjm ują   ustalon e pole  prę dkoś ci, a  tym  samym  narzucają   koń cowy  kształ t odkształ conej pł yty. Stwierdzon o  doś wiadczaln ie, że  w  procesie  dyn am iczn ym  deformacja  pł yty  charakteryzuje  się  znaczną   zm ian ą   postaci pola  prę dkoś ci  przem ieszczeń .  W  pracy  WO JE WÓ D Z K I E G O ,  WI E R Z BI C K I E G O  [21]  uogól- n ion o  teorię   WI E R Z BI C KI E G O  dotyczą cą   kon strukcji  powierzch n iowych  o osiowej  sym etrii n a  przypadek  pł yt  o  dowoln ym  kształ cie.  Jako  przykł ad  rozwią zano  p ro st o ką t ną   pł ytę utwierdzoną   na  obwodzie,  obcią ż oną   idealnym  im pulsem  ciś n ien ia.  C elem  niniejszej 538  W.  WOJEWÓD Z KI,  A-   PERDZYŃ SKA pracy  jest  szczegół owa  analiza  w  ramach  zał oż eń  [21]  procesu  deformacji  i  okreś lenie koń cowych  ugięć  pł yty  prostoką tnej  o  krawę dziach  zamocowanych  przegubowo,  obcią- ż onej  dynamicznie. Zbadany bę dzie wpł yw lepkoś ci materiał u, kształ tu i wielkoś ci  impulsu. Koń cowe  ugię cia  bę dą  wyznaczone  przy  zastosowaniu  dwóch  sposobów  speł nienia  kry- terium  odcią ż enia.  W  wyniku  przejś cia- granicznego  podane bę dą  wyniki  dla  plastycznoś ci idealnej. 2.  Równanie  ruchu  Icpkoplastycznej  pł yty Równanie ruchu pł yty ma  postać,  [21] (2.1)  w +   P*.  G dyby  przez  cał y  czas  P  =  P* to  plastyczna  deformacja  pł yty  był aby  nieskoń czenie  powolna  i  nie  pojawił yby  się  sił y inercji  i efekty  lepkie. W  przypadku  przedstawionym  n a rys.  2 należy  rozpatrzyć dwie fazy ruchu  pł yty. F aza  I .  0 <  t <  r. Równanie  ruchu pł yty  ma  postać (3.1)  L (w)  -   M '+ a 0V 4w- ( P ( 0- P *) / ,«  =   0, gdzie  noś ność  graniczna  pł yty  obcią ż onej  stał ym  i  równomiernie  rozł oż onym  na  cał ej powierzchni  ciś nieniem  wynosi >  I(3.2)  P *  =   J^ M£1  ^;  M  =  ah  A - 62(j/ 3 +  l / P  I/ A)2)  ° O K R E Ś LE N IE  U G I Ę Ć 539 Przyjmujemy,  że  nieodkształ cona pł yta jest  pł aska,  zatem  warunki  począ tkowe  są   n astę - pują ce: (3.3)  w(x,  y,  0)  =   0  w(x,y,  0)  =   0. Warunki  brzegowe  są   okreś lone  przez (3. 4) w ( 0 , , , 0 = 0 , W( Hx,o,o=o, % *   »  -   0, 2 - o. _  19   13 20 1i 21   15 18 4 12  ,6 a Rys.  1.  Wymiary  pł yty  Rys.  2.  I m puls  ciś nienia P ole prę dkoś ci  ugię cia  speł niają ce  warunki  brzegowe  (3.4) przyjmujemy  w postaci  szeregu: (3.5) w(x,y,t)  = Z J m= l .  nnx  .  rrmy sm  sm- —̂ - . a  b F unkcję   amplitudy  A„ m (ł )  wyznaczamy  metodą   G alerkin a: a  b (3.6) J  j L(w)sm^s =  0,  k,l~  1, 2, 3. . . o  o Otrzymane  z  (3.6)  równanie  róż niczkowe  m a  postać (3.7)  i gdzie (3- 8)  C nm   = 540  W.  WOJEWÓD Z KI,  A.  PERD ZYŃ SKA a  wskaź n iki  n i m przyjmują   tylko  wartoś ci  liczb  cał kowitych nieparzystych.  Rozwią zując ró wn an ie  (3.7)  m etodą   uzm ien n ian ia  stał ych i  wykorzystują c  pierwszy  z warun ków  po- czą tkowych  (3.3)  do wyzn aczen ia  stał ej  cał kowan ia  otrzymujemy  funkcję   amplitudy (3.9)  A„ m (t) -   T F- ID gdzie (3.10)  D nm {t)  =  C nm e- C "'"'  J P(t)e c ™>c/ t. C ał kują c  (3.5) z uwzglę dn ien iem  (3.9) i drugiego  warun ku począ tkowego  (3.3)  otrzymujemy n astę pują ce  p o la  ugię ć: (3.11)  w{x,y, t) =   y *=   1  m=  1 gdzie (3.12)  Y m (f)mJ.D m (t)dt. '  R u c h  pł yty  m oże  zakoń czyć  się   jeszcze  pod  dział aniem  obcią ż enia  w przedziale  czasu r 1   — r,  gdzie  r t   jest  czasem ,  w  którym  funkcja  P(t)  przyjmuje  wartość  obcią ż enia  granicz- n ego  P*. Waru n ek  odcią ż en ia (3.13)  w(x,y,t f )=0 m o ż na  speł n ić w dwojaki  sposób.  Pierwszy  sposób  dopuszcza  ujemne  wartoś ci  amplitud prę dkoś ci  ugię cia.  Stosują c  ten  sposób  należy  zbadać  czy  w poszczególnych  pun ktach pł yty  warun ek  (3.13) je st  speł n ion y dla  czasów  r x  ^  t <   T. W  tych  pun ktach , w których ten  warun ek  jest  speł niony  koń cowe  ugię cia  obliczamy  wedł ug  (3.11).  W  pozostał ych p u n kt ac h  pł yty  ruch  zakoń czy  się   w  fazie  I I . D rugi  sposób  uwzglę dnienia  tylko  dodatn ie wartoś ci  funkcji  am plit u d A nm (t).  Z at em stosują c  ten  sposób  am plitudy n astę pn ych postaci A nm (t) t   dla  ustalon ego  problem u  brzegowego,  bę dą   równe  zero  dla  czasu  t > tf„,„,  gdzie tfnm jest  o kreś lo ne  przez  równ an ie  A„ m (tf„ m )  =   0, kt ó re  po  uwzglę dnieniu  (3.9)  m a  postać (3.14)  .  n nm (t) f ^ + p*(e- Cm,,>fm,,- i)- n nm (p)e- c »'""  = 0 . W  ko ń co wym  okresie  deformacji  istnieje  tylko pierwsza'postać  A yi {t)  i w czasie tfn wszyst- kie  p u n kt y  pł yty  zatrzym ują   się   jedn ocześ n ie.  Jeż eli  wyznaczony  z (3.14)  czas  t fll   bę dzie m niejszy  o d r, ozn acza  t o , że  ruch pł yty zakoń czy  się   w  fazie  I.  Koń cowe ugię cia  wyznacza się   wtedy  z  (3.11). F aza  II,  r < t.  • • '"•   • W  tej  fazie  ruchu  P(t)  — 0,  ale  pł yta  bę dzie  odkształ cał a  się   dalej  zanim  energia  kine- tyczna  wprowadzona  uprzednio  przez dział anie  obcią ż enia  nie zostanie rozproszona w  lep- koplastycznej  pracy.  Równanie  ruchu  pł yty  w  tej  fazie jest  nastę pują ce: (3.15)  •   L (w)  =   w+a 0 V A w+P*fn  =  0. OKREŚ LEN IE  U G ą ć  541 P ole  prę dkoś ci  ugię cia  przyjmujemy  ja k poprzedn io, w  postaci  (3.5).  D alej  postę pujemy analogicznie  ja k w fazie I . R ówn an ie  róż n iczkowe  am plitudy  m a  postać  (3.7) z podstawien iem  P(t) =  0. Speł niają c  warun ki  cią gł oś ci (3.16)  W i(x,y, r)  =  w n (x,y,  r), w t (x,y,  r)  = w n (x,y,  T), gdzie  indeksy  I i I I odn oszą   się  odpowiedn io  do  wielkoś ci  fazy  pierwszej  i  drugiej,  obli- czamy  stał e  cał kowan ia  i  ostateczn ie  otrzymujemy (3.17)  A mn (t)  =  ^ Ł  [(D m (T )e c "°*+P*  -  j (3.18)  w(x,y,t)  = DO  00 (3.19)  w(x,y,t)=  >  \   ™. [( 2}BJ «—1 i =   l  m =   l mny D la  tych  pun któw  pł yty,  kt ó re  n ie  zatrzymał y  się  w fazie  I stosown ie  d o  pierwszego  spo- sobu  speł nienia kryterium  (3.13)  czas  zatrzym an ia  i koń cowe  ugię cia  oblicza  się   korzysta- ją c  z  (3.18) i  (3.19).  N at o m iast stosują c  drugi  sposób  speł n ien ia kryterium  odcią ż en ia  czas koń cowy  am plitudy  A nm   dla  tych  n um erów  wskaź n ików  n i m dla  których  n ie  został   usta- lony  w fazie I wyznacza  się   przyrówn ują c  (3.17) d o  zera.  Otrzym ujem y (3.20)   tflm   -   1  . Chwila  t fl  Ł  obliczon a  z tego  wzoru  jest  czasem  zakoń czen ia  ruch u  pł yty.  K o ń c o we  ugię cia obliczamy  korzystają c  ze  zwią zku  (3.19). D yskusję   róż n ych  kryteriów  odcią ż enia  dla zlin eryzowan ych  równ ań  lepkoplastyczn oś ci i  in terpretację   energetyczną   podan ych  dwóch  sposobów  speł n ien ia  (3.13)  zawiera  p rac a WI E R Z BI C K I E G O  [23].  P ierwszy  sposób  dopuszcza  przepł yw  energii  z  n iż szych  d o  wyż- szych  postaci  prę dkoś ci  przem ieszczenia,  drugi  sposób  takiej  tran sm isji  n ie  dopuszcza. Obecnie  rozpatrzym y  trzy  prę dkoś ci  szczególne,  a m ian owicie  obcią ż en ie  pł yty  p ro st o - ką tnym,  trójką tn ym  i idealn ym  im pulsem  ciś nienia. 4.  Obcią ż enie  prostoką tnym  impulsem  ciś nienia W  podan ej w poprzedn im rozdziale  m etodzie  rozwią zan ia  n ależy  uwzglę dn ić,  że P(t) =   P  — const,  rys. 3.  Otrzym ujem y: (4- 1)  A nm (t)  - 9  M ech .  T eoret .  I  Stos.  4/ 78 F aza  I .  0 <   ż <  r. ( P 542 W.  WOJEWÓD ZKI, A. PERD ZYŃ SKA (4.2)  w(x,y,t)  = Faza  II.  z < t. (4.3) Am(t)  = e- cmt  _ (4.4)  w(x, y,  t) = .  nnx .  mny sin  si n —~ a  b t - . O  T Rys.  3. Prostoką tny  impuls  ciś nienia Czasy  zakoń czenia ruchu, punktów pł yty wedł ug pierwszego  sposobu  speł nienia kryterium odcią ż enia  okreś la  się  przez przyrównanie do zera prawej  strony równania  (3.5) z aktualną amplitudą   (4.3), a koń cowe ugię cia  z (4.4). N atomiast wedł ug drugiego  sposobu speł nienia kryterium  przyrównują c  (4.3) do zera  otrzymujemy (4- 5) t fnm   = In p e c nm r_p +P * — D la t >  t fnm   amplitudy wyż szych postaci wynoszą   zero. Podstawiają c  (4.5) do  (4.4) otrzy- mujemy  wzór  na  koń cowe  ugię cia  pł yty IA   es  t  \   V  V ^ m / s - ,̂  n *,  Pe c «'" r - P+P*\  .  nnx .  mny (4.6)   W f (x,  y)  =   >  > - ^t PrC„ m - P*ln  —  sin  sm- /. N a  zakoń czenie  tego  rozdział u podamy  wyraż enia  (4.5) i  (4.6)  w  przypadku  idealnej plastycznoś ci  tzn. gdy y -> oo, odpowiada to zgodnie z (3.8) C mn   -> 0.  Otrzymujemy co  co ((4.8) =  > > rmx n—l  m- l nm  a OKREŚ LENIE  U G IĘĆ 5.  Obcią ż enie  trójką tnym  impulsem  ciś nienia W  tym przypadku,  rys.  4 (5.1)  P< O= p( l- £ Zgodnie  z  rozdział em  3  otrzymujemy: F aza  I.  0 < t s£ r. 543 (5.2) ' (5- 3) P^ _ x Pt2  „ —  C^ .  mny sin—r^- Zależ nie od wielkoś ci  przył oż onego impulsu  odcią ż enia  może nastą pić w przedziale  czasu T ! - T,  gdzie x x   -   (P—P*) T / P jest czasem, w którym  obcią ż enie  osią ga  wartość  noś noś ci granicznej P *. Rys.  4. Trójką tny  impuls  ciś nienia Z godn ie z pierwszą  moż liwoś cią  speł n ien ia  kryt eriu m  odcią ż en ia  ba d a m y,  d la  kt ó rych pu n kt ó w  pł yty  w(x, y, t) =  0 w przedziale  czasu  T X —  T .  W tych  p u n kt a c h , w kt ó rych  wa- run ek  ten  zach odzi  ruch  ustaje  i trwał e ugię cia  m ogą  być obliczon e z (5.3). W  p o zo st ał ych pu n kt ach  ruch  zakoń czy  się w  fazie  I I . Stosując  drugi  spo só b  speł n ien ia  kryterium  odcią ż en ia,  dla każ dej  p ary  n i m  szuka się  takiego  czasu  r x   < t fnm   «S r,  aby am plit u da  A nm (t fnm )  był a  ró wn a  zeru.  Z a d a n ie t o m oż na  rozwią zać  gr a fic zn ie.  P rzyrówn ując  (5.2) d o zer a  otrzym ujem y  r ó wn a n ie  okreś la- ją ce  t fnm   w  postaci e - c m„„m  =   \ - rnmtf„ f „ m , (5.4) gdzie ( 5 " 5 )  ,  '  """  P- P*+Pl(yc nm) dla każ dego n i m. D la każ dej z uwzglę dnianych  wartoś ci  n i m, po  obliczeniu współ czynni- ków  C„ m  i r nm , moż na znaleźć drugi  poza punktem  (0,1) punkt przecię cia krzywej  e "0 ""' "1 " P / r 544  W.  WOJEWÓD ZKI, A.  PERD ZYŃ SKA z prostą  1 —r„ m tf„ m .  Jeż eli  odcię ta  pun ktu przecię cia  bę dzie  zawarta w granicach  T ^ T  to tfnm  bę dzie  poszukiwanym  czasem. W przypadku  istnienia w okresie  dział ania obcią ż enia t fnm   ^  T dla  wszystkich  wskaź ników  n i m, ugię cia  koń cowe w poszczególnych  punktach pł yty  znajduje  się  przez  podstawienie t fnm   do  (5.3), a rozpatrywanie  fazy  ruchu po  zdję ciu obcią ż enia  staje  się zbę dne. Z uwagi  n a  szybką zbież ność szeregu  wystarczy  w obliczeniach uwzglę dniać  niewielką  liczbę  wyrazów. F aza  I I .  r  x z  (5.8) d o  (5.7). Przejś cie  graniczne  do plastycznoś ci  idealnej.  Faza  I. Jak  widać Z równ an ia  (5.4) n ie  m oż na uzy- skać  jawn ego  wzoru  n a  t fnm   aby  n astę pn ie  obliczyć  gran icę dla y - •  oo  (jest to  równow- aż ne  C„ m  - » 0).  P ostą pimy  zatem  w sposób n astę pują cy: Wyzn aczam y  z  (5.4)  wielkość P: —  P*(\ —e- C„mtfnm\ (5.9)  P =   j~ a  n astę pn ie obliczamy  prawą  stronę tego wyraż enia  gdy y - *  oo. Otrzymujemy  wzór 2 r P * (5.10)  P = 2r- t fnm ' z  którego  znajdujemy  interesują cą  nas  zależ ność  czasu  zakoń czenia  ruchu  sztywno- plas- tycznej  pł yty  od  wartoś ci  przył oż onego obcią ż enia tzn. (5.11)  t„ OKREŚ LEN IE  UG IĘ Ć  545 D la t  =  tpf okreś lon ego  przez  (5.11) w przejś ciu  gran iczn ym z wyraż en ia  (5.3)  otrzym ujem y wzór  n a  trwał e  ugię cia oo  oo V~i  \   1  ~   3T ( P —P*) t% f—Ptpr  .  njix  .  mity (5.12)  W pf  —  IIH IWf  =   y  /   G nm   -^  —s i n  s i n —- —  = V1  V  3 2 ( P - P *)3 T 2  1  nnx  . —sin  sin j  nm  a  b Faza  I I .  Wyraż en iom  (5.8) i (5.7)  okreś lają cym  czas  zakoń czen ia  ruch u i trwał e  ugię cia w przypadku  sztywno- plastycznej  pł yty,  (y - +  oo) n adajem y  p o st ać Ąx  I  Pr (5.13)  tpf  =  hmtfnm  =  _ = _ . ,  /  =  — , nnx  .  noty (5.14)  wpf  =  hm w/  ­  >I  y  a  — ­ s i n ­ —  sm­ » = l  m « l  ' Z  wzorów  (5.11)  i  (5.13)  wynika,  że dla obcią ż enia  P  —  2P*  czas  zakoń czen ia  defor- macji  bę dzie  równy  okresowi  dział an ia  obcią ż enia  r,  a  przy  wię kszym  obcią ż en iu  ru ch pł yty  zakoń czy  się  w fazie I I . 6.  Obcią ż enie  idealnym  impulsem  ciś nienia Z agadn ien ie  to  m oż na  rozwią zać  obliczają c  gran icę   ostateczn ych  wzorów  otrzym a- nych  dla obcią ż enia  pro st o ką t n ym  impulsem,  przy  T  dą ż ą cym  do zera i  rosn ą cej  wartoś ci P,  przy  czym,,iloczyn  xP pozostaje  stał y i  równ y  wielkoś ci  im pulsu  /  =  lirn /   P(t)dt  lu b, r- > 00 jak  t o został o po kazan e w tym  rozdziale, przez  uwzglę dnienie  dział an ia idealn ego  im pulsu w warun kach  począ tkowych (6.1)  w(x,y,0)=  —  —V O ,  w(x, y,  0)  =  0. ft Warun ki  brzegowe  pozostają   bez  zm ian i są   okreś lone  przez  (3.4).  R ó wn an ia  ru ch u i  am - plitudy  są   dan e  przez  (3.1) i  (3.7) z  podstawien iem  P(t)  — 0. Aby  rozwią zać  ró wn an ie róż niczkowe  am plitudy  wykorzystuje  się  pierwszy  warun ek  począ tkowy  (6.1)  t zn . (6.2)  Mx  ,y  ,0)  =   F 0  = > —  - i " Współ czynnik  A nm (0)  znajduje  się  m n oż ąc  stron am i  (6.2)  przez  sin ——sin —j- ~  i  cał kują c w  obszarze  pł yty. Wynosi  o n (6- 3)  ^„ „ ,(0)  =   - ^ - j- Ko  =   G„ m I, nmn z 546  W.  WOJEWÓD ZKI,  A.  PERD ZYŃ SKA a  rozwią zanie  równ an ia  róż niczkowego  amplitudy  ma postać (6.4)  A nm (0  «-   | r P ola prę dkoś ci  przemieszczenia i pole ugięć okreś lone jak  w punkcie 3 mają  postać V"1  V 1  ,  • .  •   nizx  mny (6.5)  * ( x , ; M ) « (6.6)  w(x,y,  t) — 4- mi  - ć —J  \ n̂m  "  U n =   \   vi =  1 P odobn ie  ja k  w poprzednich  pun ktach  czas  trwania  deformacji  i trwał e ugię cia  pł yty wyznacza  się  stosując  dwa  sposoby  speł nienia  kryterium  odcią ż enia  w(x,y,  t f )  —  0. Wedł ug  sposobu  dopuszczają cego  ujemne  wartoś ci  amplitud  A nm (ł )  okreś la  się,  zależ nie od współ rzę dn ychx i y, czasy  t f   dla których zwią zek  (6.5) przyjmuje  wartość zero. N astę pnie tak  otrzym any  czas  zatrzymania  się  poszczególnych  punktów  pł yty  podstawia  się  do (6.6) i ustala  koń cowe  ugię cia  w f (x,  y,  t Smt ).  D ruga  moż liwość  znalezienia  poszukiwanych wielkoś ci  polega  na  obliczeniu  t s „ n ,  dla  których  kolejne  amplitudy  A nm {t)  bę dą  miał y war- tość równą  zeru  i na tej  podstawie  okreś lenie koń cowych  ugięć punktów pł yty. Przyrównu- jąc  (6.4)  do  zera  otrzymujemy  czas i  P * +   je \ P- 1)  T fnm  — • c'- 'Jn  pj  , a  z  (6.6) p o  uwzglę dnieniu  (6.7)  pole  trwał ych  ugięć D la  n  =   m  =  1,  przy  uwzglę dnieniu  oznaczeń  podanych  w  poprzednich  rozdział ach, otrzymuje  się  z  (6.7)  czas  zakoń czenia ruchu cał ej  pł yty tzn. (6.9) a* oraz  z  (6.8)  pierwszy  i  zarazem  decydują cy  wyraz szeregu  koń cowych  ugięć pł yty / n i™  /   N   241/ 3  £  w   T r   P*tn l \   .  nx  .  ny (6.10)  w f (x,  y)  =   Z- —i- f^- j  FQ- T-   / "  sm  sm - f. D ł a  plastycznoś ci  idealnej  tzn. y '- * oo wzory  (6.7) i  (6.8) mają  postać H )  r p /   =   lim tf n m  -   ~ ,  /   =   ^ F o , OKREŚ LEN IE  U G IĘ Ć 547 (6.12)  w„ =  limny -   Z  Z '  —  n- \  mmi nnx  .  mny Y1  V  SViu  1  .  nnx  .  mny /   /   — T ^   sin  sin ——- L   T C 2 P*  nm  a  b 7.  Wyniki  numeryczne  i  ich  analiza Z e  wzglę du  n a  symetrię   szukan e  wielkoś ci  ugię ć  i prę dkoś ci  ugię ć  liczon e  są   w  wę zł ach ortogon aln ej  siatki  jedn ej  czwartej  powierzchni  pł yty,  rys.  1.  D o  obliczeń  n um eryczn ych przyję to  stał e  m echaniczne i  geom etryczne,  tabl.  1, takie ja k  w  [18,21]. Tablica  1,  Stale  materiał owe  i  geometryczne  pł yty o-o [kG / cm 2] 2376,38 e kG s2 c m 4 8,37  •   10- 6 2/ i [cm] 0,2489 a [cm] 7,62 b [cm] 12,859 V [s- 1] 50 200 10000 Wpływ  sposobu  spełnienia kryterium  odcią ż enia.  R ozwią zan ie  p ro blem u  począ tkowo- brze- gowego  przy  stał ych  gran icach  procesu  deformacji  wedł ug  pierwszego  sposobu  speł n ien ia warun ku  odcią ż enia  prowadzi  w  koń cowej  fazie  ruch u  d o  wyzn aczan ia  pewn ej  powierz- chni  rozdzielają cej  obszary  o dodatn ich i ujemnych  prę dkoś ciach  ugię cia. Z  uwagi  n a  przy- ję ty m odel m ateriał u ujem ne prę dkoś ci są   fizycznie  niem oż liwe. Z at em ten sposób  m oże  być stosowany  w  przypadkach ,  jeż eli  wszystkie  p u n kt y  pł yty  zatrzym ują   się   w  wą skim  prze- dziale  czasu.  N a  rysun kach  5 - 8,  18 przedstawion o  wykresy  ugię ć,  prę dkoś ci  u gię ć  ś ro d ka pł yty  i  czasy  zatrzym an ia  się   poszczególnych  pun któw  pł yty  obliczon e  wedł ug  pierwszego i  drugiego  sposobu  speł n ien ia kryterium  odcią ż enia.  W  tablicy  2 p o d a n o  ko ń c o we  ugię cia i  czas  deformacji  ś rodka  pł yty prostoką tn ej  i pł yty kwadratowej  (9,898 x 9,898  cm ) o  rów- nym jej  polu.  Widać,  że ugię cia  prę dkoś ci  i czasy  zatrzym an ia  się  poszczególn ych  p u n kt ó w pł yty  róż nią   się   o kilka  procen t.  P owierzchn ia koń cowych  ugię ć  wyzn aczon a  stosown ie  d o drugiego  sposobu  speł nia kryterium  m a  bardziej  wyrówn an y  kształ t.  Z ast osowan e  szeregi są   szybkobież ne.  P ierwszy  wyraz  jest  decydują cy  w  okreś len iu  prę dkoś ci  ugię ć  i  ugię ć trwał ych.  P owoduje  t o  mał ą   róż nicę  w  wyn ikach  uzyskan ych  przy  zast osowan iu  obu  spo- sobów  speł n ien ia  kryterium . Wpływ  kształtu impulsu.  J a k  wynika  z  wykresów  zm ien n oś ci  am plitud  p rę d ko ś ci  ugię cia w  czasie,  rys.  (9—11)  począ tkowy  kształ t funkcji  zależ ny  jest  od  rodzaju  obcią ż en ia,  n a- tom iast  w  fazie  ru ch u  pł yty  p o  zdję ciu  obcią ż enia  i  p rzy  obcią ż en iu  idealn ym  im pulsem krzywe  mają   ten sam  ch arakter. P rzy  obcią ż eniu  p ro st o ką t n ym  im pulsem  ciś n ien ia  wykres am plitud  prę dkoś ci  ugię cia,  (rys.  9)  i  samych  prę dkoś ci  ugię ć  w  czasie  (rys.  6)  p u n kt ó w pł yty  jest  rosn ą cy  d o  czasu  zdję cia  obcią ż enia.  P u n kt  t  =  t  jest  ostrzem  n a  wykresie, 548 W.  WOJEWÓD ZKI,  A.  PERD ZYŃ SKA pierwsza  pochodna i krzywizna  zmieniają   znak.  D la  obcią ż enia  trójką tnym  impulsem ciś- nienia  funkcje  amplitudy  prę dkoś ci  ugię cia  rosną   w czasie  od  zera  osią gając  maksimum przed koń cem dział ania obcią ż enia,  a nastę pnie maleją   do momentu osią gnię cia  okreś lonej wartoś ci  ujemnej,  (rys.  10).  Moment  zdję cia  obcią ż enia,  t = x jest  punktem  przegię cia [ c m ] 0,3 0,2 0,1 '[cm] 0.3 0,2 0,1 - i  1  r i  i  i  i ylcml j  i jjsek] d 1  '  t , 400 [psek] 400 1,285 6/S9  0  1,285 y[cm] 3,858 6,429- R ys.  5. Koń cowe  ugię cia  i czas  zatrzymania punktów  pł yty poł oż onych n a przekroju x =  a/ 2.  Lima prze- rywana  oznacza  wartoś ci  obliczone wg  pierwszego  sposobu  speł nienia kryterium  odcią ż enia  a linia cią gła wg  drugiego  sposobu a)  Obcią ż enie  prostoką tn ym  impulsem  F=  21,092  kG / cm 2, x =  200  ^S,, y =  200 s.- 1 b)  Obcią ż enie  prostoką tn ym  impulsem  P =  21,092  kG / cm 2,  r  =  200 JJS„ y =  50 s.- 1 c)  Obcią ż one  trójką tnym  impulsem  P -   42,184  kG / cm 2  r =  200 ,08., y =  50  s."1 d)  Obcią ż enie  idealnym  impulsem  V o  —  15,24  m/ s.,  y  — 50  s."1 (m/ sek! 12 9 - 6 - 3 - t  i  1 faza  dziafania  / obciqienia  Jr / / "  / Ą  '!  •  1  ! 1  1  1 V  fazo  ruchu po zdję- c i  ciu obcią ż enia \ \   "\ \ \ \   - \ \ \ \ T  «  1  \ V 100 200 300  [jjsek! R ys.  6. Z m ian a  prę dkoś ci  ugię cia  ś rodka  pł yty  w  czasie- .  Obcią ż enie  prostoką tnym  impulsem  P  - =   21,092  kG / cm 2,  T =  200  fis, y = 50  s"x. Lin ia przerywana  oznacza  wartoś ci  obliczone wg  pierwszego sposobu  speł nienia  kryterium  odcią ż enia,  a  lin ia  cią gła  wg drugiego  sposobu [ m/ sek) 15 12 9 6 3- w,  '  '  i "  faza  dział ania obcią ż enia >»"" / P=1i.O61kG/ crT Kb - s 2 K !  I  I  1 f aza  ruchu  po zdję ciu  - obcią ż enia Y * * * * * * V P=2P*=19.85ikG/ ć rr>̂ !  ,\V !  !  i  \ t \T,  100  T,  200 300 I jjsekl Rys.  7.  Zmiana prę dkoś ci  ugię cia  ś rodka  pł yty w  czasie.  Obcią ż enie  trójką tnymi  impulsami  P  =  42,184; 19,854;  14,061  kG / cm 2.  T  =   200  p,s, y  =   200  s~K  Znaczenie  lin ii  jak  n a  rys.  6 m/ sekl •   1 5 12 S 6 3 . - _ _ ~ T  :  1  1  1  1 s \ V \ \ \   r=200sek- ' \ \ \ \   T=50sekJ \ \ \ \ \   \ 100 2 0 0 [ jjsekl R ys.  8.  Z miana prę dkoś ci  ugię cia  ś rodka  pł yty  w  czasie. Obcią ż enie  idealnym  impulsem  V o   =   15,24  m/ s.  War- toś ci  obliczono  wg  pierwszego  sposobu  speł nienia kryterium  odcią ż enia Tablica  2.  Koń cowe  ugię cia  i  czas  deformacji  ś rodka  pł yty  prostoką tnej  i  kwadratowej o  równych  polach * Czas  deformacji ś rodka  pł yty * Koń cowe ugię cia ś rodka  pł yty [cm] Obcią ż enie  prostoką tnym impulsem P  =   21,092  kG / cm 2 P ł yta prostoką tna 443 405 0,2814 0,2642 P ł yta kwadratowa 506 448 0,3604 0,3221 Obcią ż enie  trójką tnym impulsem P  =  14,061  kG / cm 2 Pł yta prostoką tna 122 117 0,00503 0,00496 Pł yta kwadratowa 151 142 0,00876 0,00878 Obcią ż enie  idealnym impulsem V a   =   9,525  m/ s Pł yta prostoką tna 217 191 0,1143 0,10795 P ł yta kwadratowa 257 212 0,1311 0,1191 *  Wielkoś ci  nad linią   przerywaną   podane są  wg.  pierwszego  sposobu  speł nienia kryterium  odcią ż enia, a  wielkoś ci  pod  linią   przerywaną   wg.  drugiego  sposobu. [549] 550 W.  WOJEWÓD ZKI,  A.  PERD ZYŃ SKA [m/ sek] faza  ruchu  po zdję ciu obcią ż enia [jjsek] R ys.  9.  Z m ian a am plitud  A„ m   w czasie.  Obcią ż enie  prostoką tnym  impulsem  ciś nienia P  =   21,092  kG / cm 2, T  =  200  fis m/sek) 15 12 9 6 3 0 A  '  '  ' fazd  dziafcnia obcią ż.  / " " N . " A i  i  r faza  ruchu  po zdję ciu obcią ż enia \   r=50sek"1 _ \ 100 200 300  (usekl !m/ sekl 24 21 18 15 12 9 6 3 Anm \ ^s .   A'3 0  100 \   A„ \ \ \ i  i  i 200 T=200sek"1 •  r = 50sek'1 " _ " ^~T-   i  t 300  łusek] Rys.  10.  Z m ian a  am plitud  A„ m   w  czasie.  Ob- cią ż enie  trójką tnym  impulsem  ciś nienia  P  = =   42,184  kG / cm 2,  r  =   200  ,us Rys.  11.  Z miana  amplitud  A m   w  czasie.  Ob- cią ż enie  idealnym  impulsem  ciś nienia  Po = =   15,24  m/ s wykresu,  nastę puje  tu  zmiana  krzywizny.  Charakter wykresu  prę dkoś ci  ugię cia  (rys.  7) jest  podobny  do  wykresu  amplitud,  przy  czym  maksimum  prę dkoś ci  ugię cia  wystę puje w  chwili  zrównania  się   bież ą cej  wartoś ci  obcią ż enia  z  obcią ż eniem  granicznym P*,  (przy brzegu  pł yty mogą   pojawić  się   niewielkie  odchylenia od tej  zasady). Przy  obcią ż eniu  idealnym impulsem wykres amplitud, (rys.  11) i  samych prę dkoś ci ugię ć, (rys.  8) jest  w cał ym przedziale czasu  maleją cy.  D la róż nych funkcji  obcią ż enia  otrzymuje się   podobn e  wykresy  koń cowych  ugię ć  punktów  lepkoplastycznej  pł yty.  Przy  tej  samej wartoś ci  impulsu  wię kszą   wartość  koń cowych  ugię ć  uzyskuje  się   dla  impulsów,  które OKREŚ LENIE  U G IĘĆ 551 mają  wię kszą  począ tkową  wartość  obcią ż enia  (wię ksze  ugię cia  przy  obcią ż an iu  idealn ym im pulsem ,  mniejsze  dla  obcią ż enia  trójką tn ego  w  czasie,  a  najmniejsze  dla  obcią ż en ia prostoką tn ym  im pulsem  ciś nienia),  (rys.  12).  W  przypadku  koł owych  p ł yt  z  m at eriał u sztywnoplastycznego  wpł yw  kształ tu  im pulsu  n a  ugię cie  koń cowe  był   an alizowan y  przez P E R Z YN Ę  [24].  Stwierdzon o  niewielki  wpł yw,  maleją cy  ze  wzrostem  stosun ku  P max lP*. 0,025  - Ijjsek] Rys.  12. U gię cie ś rodka  pł yty  w czasie  przy tej samej  wielkoś ci  impulsów  (wg drugiego  sposobu  speł nie- n ia  kryterium  odcią ż enia)  y =   50 s."1.  Obcią ż enie  idealnym  impulsem  V o   —  9,525  m / s; trójką tnym  im- pulsem  F=  39,686  kG / cm 2,  T  —  100  / xs  i  prostoką tnym  impulsem  P  —  19,843  kG / cm 2,  T =   100  KeHHoii  paBHOMepHO  pacnpefleneH H biM   n o n e p e t n a i M HMnyjiBCOM   flaBJiemui.  PacciwoTpeno  o 6 m n «  cjiyqaft  H arpjoK em m flaBJie- H H eM B3pH BH oro  TH n a3 a  i a K » e ocoG eHHbie  a iyq a H   KaK  H a r p ywem ie  n paM oyron tH biM j  T pexyron bK but  vs.  HfleajiLHbiM.  iiMiryjibCOM   flasjie- H H H .  OdaTOTObie  n p o r n Bbi  onpefleneH O  npHMeHHH   flBa  c n o c o S t i  iic n o jn iein ia  ycn oBirił   p a3rp y3K ii. H ccn efloBaiio  BnHHHiie B33K0CTH  M aTepnajia3  BJniHHHe (bopMH  u  BejiiPiH in>i  H Mnyjibca  flaBJienan  Ha p a 3 - Bjm ie  n po iiecca fleiJjopM H poBaH M H  H  BejiH lfflHy  ocxaTO^nibix  n p o r n 6 o B .  JJoiryyeH O  TaioKe  peuiein Ke wecTKO- nnacTinecKofi  nnacTHHKHj  H Bjtaiom eeca  pe3yjiBTaTow  npeflejiBH oro  n epexo Aa  B  pein eH iisix 556  W.  WOJEWÓD ZKI,  A.  PERD ZYŃ SKA S u m m a r y D E T E R M I N AT I O N   OF  D EF LEC TION S  OF   A  VISCOPLASTIC RECTAN G U LAR PLATE  U N D ER PRESSU RE  IM PU LSE The solution  of  the m otion equation for  a viscoplastic  plate is presented. The plate is hinge- supported on  all  edges  and subjected  t o a uniformly  distributed transverse impulse. The general case  of the blast  type pressure  is considered together with such particular cases as the rectangular, triangular and perfect  impulse. The final  deflections  are determined by  using  two  ways of satisfying  the unloading criterion. The influence of  viscosity  of the material as well as  of  the shape and the magnitude of the applied impulse on the process of  deformation  and  on the  permanent deflections  is  investigated.  The solution for  a  perfectly  plastic plate is  .also  obtained  as  a  limiting  case  of  the  viscoplastic  solution. POLITECH N IKA  WARSZAWSKA IN ST.  M ECH .  KON STRUKCJI  INŻ YNIERSKICH Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  17  stycznia  1978  r.