Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS78_t16z1_4\mts78_t16z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  16  (1978) SIŁY  TARCIA  COU LOM BA  P OD C Z AS  WIROWAN IA*) ALFRED   ZMITROWICZ  (G D AŃ SK) 1. Wstę p Dwa  stykają ce  się   ciał a  mają   zbiory  punktów  leż ą ce  jednocześ nie  n a  obu  powierz- chniach  ograniczają cych  te  ciał a.  Czę ść  wspólną   powierzchni  ciał   tworzą cą   skoń czony obszar  zastę puje  się   zazwyczaj  wycinkiem  pł aszczyzny  stycznej  do  ciał .  W  takim  styku moż liwy  jest  wzglę dny  ruch  translacyjny  (poś lizg)  i  obrotowy  (wirowy)  wokół  normalnej do  powierzchni  styku.  Wzglę dnemu  ruchowi  ciał   przy  zał oż eniu  wzajemnego  docisku sił ami  skierowanymi  wzdł uż  normalnej  do  powierzchni  styku  towarzyszą   opory  tarcia suchego.  Uwzglę dnia  się  je  przez  wprowadzenie  do  opisu  ruchu, sił  tarcia  oraz momentu sił   tarcia. Struktura geometryczna powierzchni ciał   (t.zw. chropowatoś ć) jest ukł adem elementów geometrycznych  powierzchni  o  okreś lonym  kształ cie,  rozmiarach  oraz  rozmieszczeniu wzniesień i wgł ę bień. Najczę ś ciej  chropowatość powierzchni jest ś ladem obróbki mechanicz- nej  lub zuż ycia  i zależy  od rodzaju  obróbki  (struganie, toczenie, szlifowanie  itd.), wł asnoś ci narzę dzia  i  obrobionego  materiał u,  jak  również  od  warunków  i  parametrów  obróbki. Chaotycznie  rozł oż one  nierównoś ci  mają   pewną   ogólną   kierunkowoś ć,  która  na  ogół pokrywa  się   z  kierunkiem  ś ladów  obróbki.  Mówimy  o  anizotropowej  strukturze  geo- metrycznej  powierzchni  gdy  ma  miejsce  wyraź ne  ukierunkowanie  usytuowania  wzniesień i wgł ę bień. Struktura izotropowa powierzchni to ukł ad nierównoś ci  nie wykazują cy  okreś- lonego  ukierunkowania. Tarcie  suche  towarzyszą ce  poś lizgowi  zależ ne  od kierunku  ś lizgania  na  skutek  anizo- tropowej  chropowatoś ci jednej  ze  stykają cych  się   powierzchni,  nazwano  tarciem  anizo- tropowym  [1, 2,  3].  Cechą   charakterystyczną   ukł adów  z  tarciem  anizotropowym jest  to, iż  kierunek  sił y  tarcia  nie  pokrywa  się   z  kierunkiem  poś lizgu,  z  wyją tkiem  kierunków zwanych  gł ównymi.  W  przypadku  tarcia  izotropowego  kierunek  sił y  tarcia  zawsze  jest przeciwny  kierunkowi  ś lizgania. Uwzglę dnienie  kierunkowoś ci  tarcia  (zwł aszcza  gdy  anizotropia jest  dość  wyraź na) jest  szczególnie  waż ne w przypadku  ruchu, ponieważ  istotnie  zmienia  przebieg  zjawiska. Tarcie anizotropowe  należy  uwzglę dnić  tak  w ruchu translacyjnym,  jak  i  obrotowym  do- okoł a  osi  prostopadł ej do  chropowatego  styku. Wpływ  tarcia  ortotropowego  (gdy  kierunki  gł ówne  są   wzajemnie  ortogonalne)  na ruch  translacyjny  punktu  materialnego  i  brył y  sztywnej  przedstawiono  mię dzy  innymi *>  Praca  wykonana  w  ramach  planu  badań  M R  I/ 26,  tem at  09.3 584 A.  ZM ITROWICZ w  [ 1, 2,  3].  P ewn e  szczególne  przypadki  ruchu  wirowego  dla  prostych  kształ tów  obszaru styku  o raz  t arcia  izotropowego  om ówion o  w  [1, 4, 5]. W  niniejszej  pracy  rozszerzon o  opis  ten sora  tarcia  C oulom ba  [6] przez  sformuł owanie reprezen tacji  ten sora  dla  przypadku  styku  powierzchni  o  izotropowej  i  anizotropowej ch ro po wat o ś ci,  ja k  również  styku  dwóch  powierzchni  o  róż n ych  anizotropowych  struk- t u r a c h  geom etryczn ych .  Korzystając  z  tak  wprowadzon ego  opisu  tarcia  an izotropowego sfo rm u ł o wano  wektory  sił y i m o m en t u tarcia podczas  wirowania. 2.  Sił y  tarcia  w  styku  powierzchni  o  izotropowej  i  anizotropowej chropowatoś ci Z ał óż m y,  że  sił y  t arcia  suchego  podczas  wzglę dnego  poś lizgu  ciał a  o  izotropowej ch ro po wat o ś ci  p o  powierzchn i  ciał a  o  dowolnej  chropowatoś ci  okreś lone  są  przez  zbiór czterech  wielkoś ci  fiy  (i,j  =  1,2)  zwanych  współ czynnikami  tarcia,  docisk  wzajemny ciał   A'"  oraz  wersor  wektora  prę dkoś ci  poś lizgu  v.  Przyjmijmy  m odel  tarcia  suchego  wg Am o n t o n sa  i  C o u lo m ba  zakł adają cy  liniową  zależ ność  sił y  tarcia  od  wersora  prę dkoś ci wzglę dnej  i  od  wielkoś ci  docisku. R ys.  1. R ozkł ad sil  tarcia  T $  =   ią N  i  T n   — n a  kierunki  pomiarowe Rys.  2.  Analogia  sił   tarcia  z  pł askim  stanem naprę ż eń P odczas  poś lizgu  w  dwóch  dowolnych  kierun kach  OC  i  Orj  należy  okreś lić  wielkość i  kieru n ki  dział an ia sił  t arcia  T s   -   [izN i  T n   =   fi n N .  Z rozkł adu sił  tarcia  T s   i T n   n a kierunki 0%  i  Ot]  wyzn acza  się  wielkość  współ czynników  tarcia  fi t j  (i,j  = 1 , 2 )  dla  danego  styku rys.  1.  K ieru n ki  pom iarowe  tarcia  0 £   i  Oi]  należy  zorien tować  wzglę dem  ortogon aln ego u kł a du  odn iesien ia  Oxy,  zwią zanego  z  powierzchnią  jedn ego  z  ciał ,  poprzez  ką ty  e x   i  e y , rys.  1.  W  szczególn ym  przypadku  kierun ki  pom iarowe  mogą  być  wzajemnie  ortogon aln e i  pokrywać  się  z  zał oż on ym u kł ad em odniesienia  Oxy. Z ał óż m y,  że  sił ę  tarcia  podczas  przesuwu  odcin ka  ds  w  kierun ku  nachylonym  do  osi x- ów  u kł a du  odn iesien ia  pod  ką tem  a x  m oż na  przedstawić  ja ko  sumę  dwóch  sił   tarcia powst ał ych  p rzy  przesuwan iu  rzutów  tego  odcin ka n a  osie  u kł adu Ó£rj  w  kierun kach  rów- SIŁ Y  TARCIA  COULOMBA  585 noległ ych  do  O£ i  Or\ .  Wzory  niezbę dne  do opisan ia  stan u  sił  tarcia,  przy  powyż szych zał oż eniach,  są  analogiczne  ja k zwią zki  mię dzy  n aprę ż en iami  n a bo ka c h  trójką tn ego elem en tu  wydzielonego  z  napię tej  pł aszczyzny,  o  bokach  równoległ ych  d o osi u kł adu OŹ f] (rys. 2). N aprę ż en ia  cał kowite p a  n a boku  ds równoważą  się z n aprę ż en iami n a bo kach ds s .  i ds n  rozł oż onymi n a skł adowe  równoległ e  d o kierun ków  O£ i  Or\ . P on ieważ  n ie  ko- rzystamy  z  warun ku  równ owagi  m om en tów,  dlatego  sform uł owane  zwią zki  m ię dzy  n a- prę ż eniami  dotyczą  niesymetrycznego  stan u  n aprę ż en ia.  N aprę ż en ia  p a   okreś la  relacja (2.1)  p a   = j / ( a a ) 2  +   ( r a ) 2 , gdzie (2.2)  a a  =   ,  ,  [ff« co s2 (a x  -   e x ) + a t , c o s2 ( a , -   e,) + cob^ s x ^ - e y ) +  (T „ * +  v iv )  c o s( a x -   ex) c o s( a; — ey)], (2.3)  r a   =  • - c ^ ~ ^ r in sin  (a y  -  s y ) c o s( a J -  e^) -   r, lSsinfe  -   sx)cos(ay  -   ey)  . Wystę pują ce  w (2.2) i (2.3) oznaczenia  zilustrowan o  n a rys. 2. P o n a d t o  zachodzą  n astę- pują ce  zależ noś ci (2.4)  d x  =  a x - e x ,  b y   = y  ~a y +e y , ,-   «.  ,  sino  cos o, (2.5)  ClSt  = — :  - ,  CIS,,  =   —:  . sin y  '  sin y N aprę ż en ie  cał kowite p a   odchylon e  jest  od  kierun ku  n orm aln ego  do bo ku  ds o  kąt  /?, (2.6)  tg/3 =   - J Ł . Korzystając  z  analogii  m ię dzy  n aprę ż en iami  w  pł askim  stan ie  n apię cia  a  sił ami  tarcia, cał kowitą  sił ę  tarcia  podczas  poś lizgu  w kierun ku  a x   okreś la  współ czynnik  t arcia  opisan y ja k  (2.1),  gdzie  za p a , a £i   % s xirj,  av  podstawion o  odpowiedn io  fj, a, fin,  fii2,  pn.  i p22, \ A.  i)  fi x   —  — - r By) y 1  I 2 |i e x )cos(ac y —  e„) — ju, 2t cos(a x   — s x )sin(a y —  s y )——/ t22sin(2aJ,  — 2ey)  >  . Sił a tarcia zbacza z kierun ku  ruchu o kąt /?  okreś lony  p o d o bn ie ja k  (2.6). (2.8)  tg/3 =   -   ~- fA lx sm(2a x - 2e x )- fj, 12 sin(a x - e x )cos(a y - s y )  + + / j, 21 cos(a x - e x )&in(a,- s y )  + yJ w2 2 sin ( 2a ) > - 2e j,)  [ ^ j t cos 2 ( a x ~ e x )  + (tx y  -   e , ) ] "1 . 586  A.  ZM ITROWICZ Wielkoś ci  Ho.  i  ,#   umoż liwiają   wyznaczenie  skł adowych  sił y  tarcia  w  ukł adzie  Oxy  podczas poś lizgu  w  kierunku  a x .  Zgodnie  z  opisem  zaproponowanym  w  [6]  skł adowe  sił y  tarcia okreś lają   równ an ia (2.9)  T '  =   - N Qi J V j ,  i,j  =  1 , 2 gdzie,  QiJ  są   elementami  reprezentacji  tensora  tarcia  Coulomba  Q,  v;  skł adowymi  ko- wariantnymi  wersora  prę dkoś ci  poś lizgu  v.  Jeś li  polibazę   tensora  tarcia  Q  tworzą   bazy ukł adów  odniesienia  (Oxy)  k(  (/   =   1, 2)  i  ukł adu  pomiarowego  (OCij) e,-   (/   =   1,2)  to reprezentacją   macierzową   tensora  tarcia (2.10)  Q=QiJki®ej,  i,j=  1,2 jest  macierz '/ j, u coss x   + fi 2 1  sin e,  ^ i 2 c o se * +   fi22sinsy" (2.11)  [QiJ]  - cos  (s x   +  Sy)  cos(e x   + e y ) gdzie,  cos  (s x   +  e y )  ^  o.  Wektor  sił y  tarcia  przy  docisku  N   zgodnie  z  [6] zdefiniowany  jest równaniem (2.12)  T  =   - N Qv  =   T 'ki,  i  =  1,2. Skł adowe  kowarian tn e  v,-, wersora  prę dkoś ci  poś lizgu.w bazie  6j(J  =   1, 2) są   postaci Wł asnoś ci  tensora  tarcia  anizotropowego  o reprezentacji  (2.11). 1.  Tensor  tarcia  anizotropowego  może  mieć  dwie, jedną   lub  zero  rzeczywistych  wartoś ci wł asnych  i tyle  samo  wektorów  wł asnych. D owód:  Korzystają c  z  transformacji  bazy  fy  (j  =   1,2)  do  ukł adu  odniesienia  Oxy otrzymujemy  reprezentację   tensora tarcia w postaci  macierzy  [Qik]  (i, k  =   1, 2) o nastę - pują cych  elementach Q 12   = c 1  f  1 Wartoś ci  wł asne  tensora  tarcia  okreś la  równanie (2.15)  d e t ( Q - A I ) = O. Po  rozpisan iu  (2.15)  otrzymujemy  równanie  kwadratowe (2.16)  tf SI Ł Y  TAR C I A  COU LOM BA 587 O  liczbie  rzeczywistych  wartoś ci  wł asnych  ten sora  tarcia  decyduje  wyróż n ik  ró wn an ia (2.16). Ten sor  tarcia  an izotropowego  posiada  dwie  rzeczywiste  wartoś ci  wł asn e  i  dwa  wek- tory  wł asne  gdy (2.17) A  = jedn ą   rzeczywistą   wartość  wł asną   i jeden  wektor  wł asny  gdy  A  =   0  oraz  n ie  m a  wartoś ci wł asnej  ani  wektora  wł asnego  gdy  A  <  0. Jeś li  p o n ad t o  elem enty  Q'k(i,  k  =   1,2)  reprezentacji  ten sora  tarcia  speł niają   wa r u n ki: (2.18)  Q11  =  Q22  i  Q12  =  Q21  =   0, to  zgodnie  z  równ an iem (2.19)  (A- eu) a- 0, ten sor  ten m a wartość  wł asną   podwójną   równą   Q11  a jego  wektorem  wł asnym  jest  dowoln y wektor.  Taki  ten sor  kulisty  opisuje  tarcie  izotropowe  w  styku  ciał . 2-   Ten sor  tarcia  ó  reprezentacji  (2.11)  gdy  / t i2   =  [t'21  opisuje  ogólny  przypadek  tarcia ortotropowego. D o wó d :  Reprezentacją   macierzową   ten sora  tarcia  typu  (2.14)  jest  w  tym  p rzyp ad ku m acierz  symetryczna.  Istnieją   dla  tego  ten sora  dwie  rzeczywiste  wartoś ci  wł asn e  a  od- powiadają ce  im wektory  wł asne  są   wzajemnie  ortogon aln e. N a  prostych  przykł adach  ruch u  p u n kt u  m aterialn ego  p o  ch ropowatej  pł aszczyź n ie zbadan o  mię dzy  in n ym i  wpł yw  n a  ruch  sił y  odpowiadają cej  czę ś ci  an tysym etryczn ej tensora  tarcia.  R ozpat rzon o  trzy  róż ne  przypadki  struktury  geom etrycznej  powierzch n i ruchu.  P rzypadek  gdy  ch ropowatość  m a  ch arakter  izotropii  / J, L 1   = / j, 22   = 0 , 0 5 ,  fi lz   = =   fj.2i = 0 .  G dy  st ru kt u ra  geometryczna  powierzchni jest  an izotropią   bez  kierun ku  gł ów- nego  fi 1±   = 0 , 0 4 ,  / i 12   =  —0,09,  fi 2 i  = 0 , 0 5 ,  fi 2 2  =   0,10.  Bad an o  równ ież  przypadek ortotropii  odpowiadają cej  czę ś ci  symetrycznej  ten sora  tarcia  an izotropowego  ja k  w  przy- kł adzie  poprzedn im .  Współ czyn n ikam i  tarcia  d la  czę ś ci  symetrycznej  t en so ra  t arcia  są fi lt   = 0 , 0 4 , .  ix 12   =  [x 21   =  - 0 , 0 2,  / iaa  = 0 , 1 0 .  P rzyję to,  że  pom iaru  współ czyn n ików Pu  (hj   =   1>2)  d o ko n an o  w  kierun kach  osi  ukł adu  odn iesien ia  Oxy  zał oż on ego  n a  p o - wierzchni  ruch u  (e x ,  e y   =   0).  U kł ad  nieliniowych  róż niczkowych  równ ań  ru c h u  rozwią - zan o  m etodą   R un gego- Kutty  czwartego  rzę du. Z badan o  t o r p u n kt u poruszają cego  się  p o  pł aszczyź nie  zgodn ie  z  równ an iem (2.20)  mą   m  T , gdzie,  m  jest  masą   p u n kt u ,  q  =   [q1,  q2]r  wektorem  poł oż en ia,  T  wektorem  sił y  t arc ia. R ówn an ie  (2.20) p o  rozpisan iu jest postaci (2.21) m " 1 =  - N _\ / (q1) 2+ (q2) 2_ Przyję to  masę   p u n kt u  1  [kg]  a  docisk  równy  cię ż arowi  p u n kt u  m aterialn ego.  R u ch  wywo- ł an y  został  warun kam i  począ tkowymi  q 0  =   0,  q 0  =   2  (kj- f  k 2 )  [m/ s]. N a  rys.  3  przedst a- 588 A.  ZM ITROWICZ wiono  tory  punktu  w  przypadku  izotropii,  ortotropii  i  anizotropii.  Odległ oś ci  mię dzy punktami  odpowiadają   jednakowym  przedział om czasu At  =  0,2  [s].  Trójką tami oznaczo- no  miejsca  zatrzymania  się  punktu. W przypadku  izotropii  punkt porusza  się   w kierunku zgodnym  z  kierunkiem  prę dkoś ci  począ tkowej  q0.  W  przypadku  ortotropii  tor  punktu 0  2  4  6  ,  8  [m] JR.ys.  3.  T o r  pun ktu  o  danej  prę dkoś ci  począ tkowej  poruszają cego  się   po  chropowatej  pł aszczyź nie [m]' O  2  4  6  8  [m] R ys.  4.  Tor  pun ktu  poruszają cego  się   po  chropowatej  pł aszczyź nie  pod  dział aniem  stał ej  sił y zakrzywia  się .  Sił a  tarcia  odpowiadają ca  czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia  anizo- tropowego  powoduje  jeszcze  wię ksze  zakrzywienie  toru punktu niż ma to miejsce  w przy- padku  sił y tarcia odpowiadają cej  tylko czę ś ci  symetrycznej  tego tensora (czyli  w przypadku ortotropii). SI Ł Y  TAR C I A  COU LOM BA 589 Analizowano  również tor punktu podczas  ruchu opisanego równaniem (2.22)  m q = F   +  T , gdzie,  F   =   ( ki+ ka)  [N]  jest  stał ą  w  czasie  sił ą  czynną,  rys.  4.  Przyję to  zerowe  warunki począ tkowe  oraz  masę  punktu  0,5  [kg]. W  przypadku  izotropii  tor  punktu  pokrywa  się z  kierunkiem  dział ania sił y  czynnej.  D la  ortotropii  tor  punktu  odchyla  się  od  kierunku dział ania  sił y F .  Sił a  tarcia  odpowiadają ca  czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia anizo- tropowego  powoduje  wię ksze  odchylenie  prostoliniowego  toru  od  kierunku  dział ania sił y F , w  porównaniu  z  przypadkiem  sił y  tarcia  odpowiadają cej  czę ś ci  symetrycznej  tego tensora. 3.  Sił y  tarcia  w  styku  powierzchni  o  roż nych  anizotropowych  chropowatoś ciach N a  obu  stykają cych  się  powierzchniach  wyznacza  się  ortogonalne ukł ady odniesienia. Przesuwając  to  samo  ciał o  o  izotropowej  chropowatoś ci  po  powierzchni  każ dego  z  ciał okreś la  się  współ czynniki  tarcia  fiij k (i,j  — 1,2).  Ponadto  należy  zorientować  kierunki Rys.  5.  Wersory  baz  ukł adów  odniesienia  i  po- miarowego  p- tej  powierzchni R ys.  6.  Wzajemne  usytuowanie  ukł adów  odnie- sienia  p o  zetknię ciu  ze  sobą  powierzchni  (1)  i  (2) pomiarowe wzglę dem  ukł adów odniesienia. Z wyznaczonych wielkoś ci fty,  e x   i s y   w oparciu ( i)  (2) o  (2.11)  tworzy  się  reprezentacje  macierzowe  tensorów  tarcia  Q, Q  odpowiednio  dla  po- wierzchni  (1) i  (2). Wprowadzimy  nastę pują ce  oznaczenia wersorów baz  ukł adów odniesienia  Oxy  i  ukł a- dów pomiarowych O£r\  stykają cych  się powierzchni (1) i  (2), rys. 5. (3.1) O)  ( i)  (1)  CO fo,  k2)  =  (k,),  ( e i , e3)  s =  1,2 (2 )  (2 )  (2)  (2) (ki •  k 3 )  =   (kz.),.  ( e t , e2)  s  ( e j ) ,  J,  L   =   1,2 12  M ech .  T eoret.  i  Stos.  4/ 78 590 A.  ZMITROWICZ Zachodzą  nastę pują ce  zwią zki  transformacyjne  mię dzy  wersorami  baz  ukł adów Oxy (3.2) ej = Cjk,, j , l = 1 , 2 (3.3)  ej = CŹ k L ,'  J,L  -   1,2 gdzie  współ czynniki  transformacji  tworzą  macierze (3.4)  [Cfl  - (3.5) Kąt  wzajemnego  usytuowania  ukł adów odniesienia po zetknię ciu ze sobą  obu powierzchni oznaczamy  przez  cp,  rys. 6. M a miejsce  nastę pują cy  zwią zek  transformacyjny  mię dzy wersorami  baz ukł adów  odniesienia (3.6)  kj^ Biki,  i, I   = .1,2 gdzie  macierzą  współ czynników  transformacji  jest (1) COS Ex .  CD sinej, (2) COS£ . Y . C2) sin e j, .   (O ( 0 COS Sy .   ( 2 ) 1 sine* (2) COSfiy ( 1 ) =  V^ ( 2 ) 5  C. (3.7) Tcosip —sin 95 [ s i n y cos 95 =  B. Zwią zek  transformacyjny  mię dzy  skł adowymi  kowariantnymi  wersora  prę dkoś ci  poś lizgu zapisanymi  w ukł adach  odniesienia powierzchni  (1) i (2) ma postać ( i . o ) Vx — X> KVII> A , /J = 1 , z. Zał óż my, że sił a  tarcia w styku  zetknię tych  ze  sobą  powierzchni  podczas  ich  wzglę dnego poś lizgu,  przy  danym  docisku  równa  jest  iloczynowi  „współ czynnika zł oż enia''''  i  sumy sił   tarcia  wzię tych  dla  każ dej  powierzchni z osobna^ ( 1)  (2) (3.9)  T  =  %(T +  T ) . ( i)  (2) Sił y  T i  T  odpowiadają  tarciu  podczas  przesuwania  w danym  kierunku  poś lizgu,  przy ustalonym  docisku, po  każ dej z powierzchni  tej  samej  próbnej  powierzchni  o  izotropowej chropowatoś ci. Współ czynnik n nazwano współ czynnikiem zł oż enia,  zapewnia  on zgodność z  obserwacją  wielkoś ci  sił y  tarcia  opisanej  wzorem  (3.9).  Wartość  współ czynnika  « nie m a  wpł ywu  na  opis,  powstał ej  w wyniku  zł oż enia  powierzchni,  kiemnkowoś ci  tarcia. D la  styku  dwóch jednakowych  izotropowych  powierzchni « =   0,5. Reguł a  (3.9) jest  hipotezą  rozkł adu sił  tarcia w styku  ciał  i wymaga  weryfikacji  ekspe- rymentalnej. Tensory  tarcia zwią zane  z powierzchniami  (1) i (2) przedstawimy  w postaci (3.10) (3.11) (i) Q  = (2) Q  =  QIJk,®ej  -   QIJCjl J.k-   1,2 I,J,K=  1,2. SI Ł Y  TAR C I A  C O U LO M BA  591 U zyskany  w  wyniku  zł oż enia  powierzchni  ten sor  tarcia  niech  bę dzie  zwią zany  n p .  z  p o - wierzchnią  (1), (3.12)  Q  =   e r y k r ® k „   v,  .s-   ==   1,2. Z godn ie z definicją  sił  tarcia  (2.12) równ an ie  (3.9) m oż na zapisać  n astę pują co (3.13)  - # Qv  =   - a gdzie,  v  =   v  i  v  okreś lają  ten  sam  wersor  wektora  prę dkoś ci  poś lizgu  zapisan y  w  bazach powierzchni  (1)  i  (2).  W  dalszej  czę ś ci  korzystam y  z  opisu  ten sorów  t arcia  w  polibazach utworzon ych  z  baz  ukł adów  odniesienia  Oxy.  Wobec  tego  równ an ieź  wersory  prę dkoś ci wystę pują ce  w  (3.13)  należy  przedstawić  w  bazach  ukł adów  odn iesien ia. (3.14)  T =   v = v ' k , ,  v  • P o  podstawien iu  (3.10),  (3.11)  i  (3.14) do równ an ia  (3.13)  otrzymujemy (3.15)  Qrsd s ,\ 'k r   =   x(QiJCjd kl v l 'ki+Q T J Cjd KL v L k l ), stąd (3.16)  Qrsv s K  =   • Ą QlJC}v k k i   + Q' J C?v K k I ),  / ,./ , k,  l s r,s~\ ,2  I,  J,  K,  L   =   1 , 2 . przy  czym  ó sl ,  8 kt   i  ÓKL   są  symbolami  Kron eckera. Wykorzystując  zwią zki  (3.6),  (3.8)  oraz  fakt,  że  vs  a  v*, k r  s=  kj,  równ an ie  (3.16)  otrzy- m am y  w  postaci (3.17)  Qikv k ki  =   «( fi«C / Vfck«+ fi"C jĄ v»BikO,  / ,./ , k,  I,  J,K  =  1,2. Stąd  elementy reprezen tacji  ten sora tarcia p o  zł oż eniu ze  sobą  powierzch n i  (1)  i  (2)  okreś- lon e  są  n astę pują co (3.18)  gj£   =   x(QiJCf  + Q,".CfBkBi I ),  i,J,  k,  I,  J,  K  =   1,  2 . Z godn ość  wskaź ników  z  zał oż on ym  opisem  (3.12)  uzyskam y  podstawiając (3.19)  Qrs  =61ós k Q ik ,  i,k,r,s  =  U2 Elem enty  reprezentacji  ten sora  tarcia  (3.12)  m o ż na  równ ież  przedstawić  w  zapisie  m acie- rzowym. ( 1)( 1)  (2)(2) (3.20)  [Q]  = x[ Q C + B r Q C B ] ( 1)  ( 2) gdzie,  [Q]  i  [Q]  są  m acierzowym i  reprezen tacjam i  ten sorów  t arcia  powierzch n i  (1)  i  (2), a>)  (p)  (p)  .  ( P )  ( P )  (P)  )  ( p) COSlfi, oraz (3.22) 592  A.  ZMITROWICZ Rozpatrzymy  dla przykł adu pewne  szczególne  przypadki  tensora  tarcia  w styku  zet- knię tych ze sobą   powierzchni. Jeś li  zostaną   zł oż one ze sobą   dwie powierzchnie o  róż nych ,  t.  <.  -   •   i  . . .  ( 0  ( 1)  (2)  (2) i z o t r o p o wy c h  c h r o p o wa t o ś c i a c h,  p r z y  z a ł o ż e n iu  s x ,e y ,s x ,s y   =  0,  t o  r e p r e ze n t a c ją   m a - c ie r zo wą   o t r z y m a n e go  t e n so r a  t a r c i a  i z o t r o p o we go  je st (3.23)  [Q] =  * $ I  +  / ?BTIB] =  x$  + 'j?)I, gdzie  I jest  macierzą   jednostkową .  G dy  zł oży się  ze sobą   powierzchnie  o  róż nych  ani- zotropowych  chropowatoś ciach to w wyniku  otrzymuje  się  tensor  okreś lają cy  tarcie ani- zotropowe  w  danym  styku.  Równania  (3.18)  i  (3.20)  umoż liwiają   przedstawienie  rep- rezentacji  takiego  tensora tarcia w postaci macierzy  [ft l} ] (i,j  =  J, 2).  Elementami  macie- ••   J1   . , W  CO  (2)  (2) rzy  reprezentacji  dla przypadku e x , e y , e x , e y  = 0,  są (*)  \ W   (2)  -   (2)  .  1  (2)  (2) « « L w + M c o s 9' + « S i n > + G + (*) (3.24) ( * ) [(O  (2)  ,  (2)  .  1  (2)  (2)  .  "I =   «L wi2+ A«i2c o sz 99  —ja a i si n 2 ^ —  y( / < ii- / W22) sin 2f/ )  , ; ( O  (2)  .   ,   (2)  ,   1   (2)  (2) [ ( 1)  (2)  .  ,  (2)  •   ,  1  ,(2)  (2)  . =  X\ ji22+Pll&m  9 + P22COS  . N iech  reprezentacją   macierzową   ten sora  tarcia  Q  o  polibazie  utworzon ej  z  ba z  u kł a d u odniesienia, jest  m acierz  [Qik]  (i, k  =  1, 2)  której  elem enty  okreś la  równ an ie  (3.18).  Wów- czas  skł adowymi  sił y  tarcia  Tp  są , (4.4)  ń  =   - N (T )Qikdj k vl  =   - N ir^ oi,  ij,  k  =  1,2 gdzie (4- 5) T  +  C'2)2 +  Q 12 zM+0 2 M om en tem  sił y  t arc ia  T P  wzglę dem  ś rodka  wiro wan ia  jest (4.6)  M p  =   r  x T P  =   M P n , gdzie (4.7)  M P   m  - N (r)JR P co, (r 2 \ 2  Cr1")2 (4.8)  R3  -   Q ł l  +  g 2 2  - r̂- -—  — (O1 C ał kowite  tarcie  pan ują ce  w  styku  S  m oż na  opisać  wzoram i (4.9)  T  =   f  T pdS  -   r ' k t ,  i  =   1, 2 (4.10) =   f  MpdS  -   M n , 594  A.  ZMITROWICZ gdzie  skł ad o wym i  wektorów  są (4.11)  T l  =   /   T ? dS  =   - a>R',  i  =   1, 2 (4.12)  M  =   /   Af,. cIS  =   -   wJ?3. Wielkoś ci  zdefin iowan e  wzorem ( 4. 13)  i?'  -   JN (T )R1 P C/ S,  I  =   1 , 2 , 3 s gdzie  R'p  okreś lają   ró wn an ia  (4.5) i  (4.8) nazywamy  ch arakterystykam i  tarciowym i  styku. Opisują   o n e wpł yw  wielkoś ci  niezależ nych od ruchu  takich jak  rozkł ad i wielkość  docisku, typ  t a r c ia  oraz  kształ t  obszaru  styku  n a  wielkość  sił y  i  m o m en t u tarcia  wirowania. P owyż sze  ogóln e  rozważ an ia  zilustrujemy  rozpatrują c  przypadki  szczególne. Z ał óż my jed n a ko wy  docisk  n a  cał ej  powierzchn i  styku  N (r)  =  N   =   con st.  Wówczas  charakte- rystyki  t arciowe  mają   postać (4.14)  R2  =  N (- R 3 gdzie (4.15) f  r 2  r  r1 A t   =  —  —  JS,  A 2   =   —r ^ J  YQ- 'f + ir 2 ) 1   .  J  j/ O- Y+ O'2 3   =  .—  v  >  - —/ W,  A 4   =   - ,   K  _=dS J  V^ y+ir 2 ) 2   J  \ / (r l ) 2  + (r 2 ) 2 A s   = s Wsp ó ł rzę d ne  p u n kt ó w  styku  (r\   r2)  należy  podać  w  przyję tym  ukł adzie  odniesienia  Oxy zwią zan ym  z  powierzchn ią   jedn ego ze stykają cych  się   ciał .  P rzy  tym  moż liwy  jest przy- p a d ek  gdy  O'1,/ - 2)  są   wielkoś ciami  stał ymi  w  czasie.  M o ż na  wówczas,  w celu  uł atwienia obliczeń ,  wyznaczyć  pom ocn icze  wielkoś ci  A\   w  ukł adzie osi  symetrii  styku  S  zgodnie z  (4.15)  a  n astę pn ie  przetran sform ować  do  zał oż on ego  ukł adu  Oxy. Obowią zuje  n a- stę pują ce  przekształ cen ie A x   =  A[ c o sy  + A' Z   sin y, A 2   — (4.16)  A 3   = gdzie  f  jest  ką tem  mię dzy  ukł adem  osi  symetrii  a  ukł adem  odniesienia Oxy. W  tablicy 1 podan o  wielkoś ci  A t (i  =  1,  . . . , 5) dla kilku  wybranych  kształ tów obszaru  styku.  Moż liwy Tab!.  1.  Współ czynniki  charakterystyk  tarciowych  styku 1:1 A, 4 sin V 2 rh y  siny A z tcosf 596  A.  ZMITROWICZ jest  przypadek  w  którym  współ rzę dne  punktów  styku  są   funkcjami  czasu  r1  = r 1 ( / ) , r 2  =   i'2(t)  a jednocześ nie  styk  S zachowuje  swój  kształ t i  wymiary  w każ dej  chwili  czasu  t. Wtedy  współ rzę dne  ( r 1 , r2)  moż na przedstawić  jako  funkcje  ką ta  wirowania  q>  zetknię tych ze  sobą   powierzchni,  r1  =  i'1^ ),  r2  —  t'2(qi). W  tym  przypadku,  wygodnie  jest policzyć A\ w  ukł adzie osi  symetrii  i nastę pnie prze transformować  do ukł adu  Oxy korzystają c  z  (4.16), gdzie  ip  — ę .  W  ogólnym  przypadku  współ rzę dne punktów  styku  są  funkcjami  czasu  a styk zmienia  podczas  ruchu  swój  kształ t  i  wymiary.  N ależy  vwówczas  w  oparciu  o  obserwacje okreś lić  współ rzę dne  punktów  styku  jako  funkcje  czasu. 5.  Wł asnoś ci  sil  tarcia  podczas  wirowania 1.  C ał kowita  sił a  tarcia  T  w  styku  S jest  zerem  gdy  ruch  wzglę dny  jest  obrotem  wokół ,. tzw.  biegun a  wirowania  [7] bę dą cego  punktem  przecię cia  się   co  najmniej  dwóch  wza- jem n ie  ortogonalnych  osi  symetrii  danego  obszaru  styku  S.  D owód: W  tym  przypadku A  t   i  A 2   są   zerami,  stą d  również  R1  — R2  =   0. 2.  Sił a  tarcia  odpowiadają ca  czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia  nie  ma  wpł ywu  na wielkość  m om en tu  tarcia  wirowania.  D owód:  Czę ść  symetryczna  tensora  tarcia  ani- zotropowego^Q  o  reprezentacji  [Qih]  (i,  k  =   1,2)  ma  postać e 1 1 (Q (4.17) Wektorem  momentu  tarcia  wirowania  w  przypadku  tarcia  anizotropowego  przy  zał o- ż eniu  N (r)  — N ,  jest (4.18)  M =   - N [Q"A 3 +Q 22 A^ - {Q l2   + Q 21 )A 5 }o>, zaś  w  przypadku  tarcia  ortotropowego  odpowiadają cego  czę ś ci  symetrycznej  tensora tarcia  anizotropowego (4.19)  M   -   ~Ą Q^ A Z +Q 22 AI- 2~- (Q} 2   + Q 2 ^ A^   (O. I den tyczn ość  wektorów  momentu  tarcia  (4.18)  i  (4.19)  wskazuje  na  brak  wpł ywu  czę ś ci antysymetrycznej  tensora  tarcia  n a  ruch  wirowy. Sformuł ujemy  opisy  sił  tarcia w  prostych przypadkach  izotropii i ortotropii, gdy  styk S zachowuje  podczas  ruchu  kształ t i wymiary  a współ rzę dne punktów  styku  są   wielkoś ciami zależ nymi  od  ką ta  wirowania  93. Zał óż my, że ukł ad  odniesienia  0xy  zwią zany  jest z nieru- chom ym  podł oż em o  izotropowej  lub  ortotropowej  chropowatoś ci.  N iech  wirują ce  ciał o posiada  izotropową   chropowatoś ć.  Współ czynniki tarcia ptj(t,j  =   1, 2) w styku  okreś lono podczas  poś lizgów  w  kierunkach  osi  ukł adu  odniesienia.  Wobec  tego  charakterystykami tarciowym i  styku  są   nastę pują ce  wielkoś ci:  dla  styku  powierzchni  izotropowych (4.20)  Rl^ - nN A x ,  R 2  =   - fiN A 2 ,  R 3  =  [J,N (Ai+A Ą ), SlLY  TARCIA  COULOMBA  5 9 7 dla  styku  powierzchni  izotropowej  z  ortotropową (4.21)  R2  =   (- fi 2 ,A l +fi 22 A 2 )N , R 3   — (niiAi  +  ^ At- lfixiAs). Zgodnie z powyż szymi  zał oż eniami, korzystając  z  wzorów  podan ych w tabl.  1, okreś lono wektory  sił y  i  momentu  tarcia  podczas  wirowania.  D la wirują cego  odcinka  o  dł ugoś ci / w  przypadku  izotropii T  =  piN lo}(sinq!ki— cos, w  przypadku  ortotropii (4.27)  T =  0,  M s  - 7Vr a 3[0!2938( ^ 1 1sin V+ ^ 22C o s»  + +  0, 0888^ !  1cos 2< p+ iu 22sin 2c5)] co. Wprowadzony  opis  tarcia  wykorzystano  do obliczenia ruchu sztywnego  ciał a  stykają- cego się z chropowatą  pł aszczyzną i wirują cego  wokół  osi przechodzą cej przez  ś rodek  masy podstawy  ciał a  o  kształ cie  prostoką ta.  Przyję to  ukł ad  odniesienia  zwią zany  z  podstawą wirują cego  ciał a.  Wobec  tego  współ rzę dne  punktów  styku  oraz  wymiary  styku  nie  zależą od  czasu.  Wielkoś ci  współ czynników  tarcia  zgodnie  z  (3.24)  zależą  od ką ta  wzajemnego usytuowania  chropowatoś ci  stykają cych  się  powierzchni,  w  analizowanym  przypadku od współ rzę dnej wektora ką ta wirowania  (q>).  Z ał oż ono anizotropową strukturę geometrycz- ną  powierzchni  podstawy  ciał a  ftn  = 0, 12,  fi 12   = 0, 04,  / i 2 i  = 0 , 0 5 ,  {A 22   = 0 , 0 7  oraz anizotropową  strukturę  pł aszczyzny  ruchu juu  = 0,04,  / j, 12  =  —0,09,  / ł 2 i  =  0,05, fi =   0,10, po  zł oż eniu  powierzchni  ze  sobą  (« =  0,5)  otrzym ano  tarcie  an izotropowe. Rozpatrzono  również  przypadek  zetknię cia  powierzchni  o  jednakowych  izotropowych strukturach  geometrycznych  [i xx   =  / J, 22   — 0,05  lub p. tl   — ju, 22   — 0,07  i  / i i2   = ftn  ~ 0. 13  M ech .  T coret .  i  Stos. 4/ 78 598 A.  ZM ITROWICZ N ieliniowe  róż niczkowe  równanie  ruchu  rozwią zano  metodą   Rungego- Kutty  czwartego rzę du. Z badan o  przebieg  prę dkoś ci  wirowania  ciał a  poruszają cego  się   zgodnie  z równaniem (4.28)  lip  = M , gdzie (4.29) M   =   - N R3  co,  co  = JP / jest  momentem bezwł adnoś ci ciał a wzglę dem  osi wirowania,  ę   wektorem ką ta wirowania, M   wektorem  momentu  sił  tarcia, i? 3  =  R3(y)  charakterystyką   tarciową   styku  w  funkcji ką ta  wirowania.  Postać  i?3  wyznaczono  korzystają c  z  A 3 ,  A^   i  As  podanych  dla prosto- ką ta  w tabl.  1 (gdy  y>  =  0) oraz  wzorów  (4.14)  i  (3.24). Rozpatrzono ruch ciał a  o podsta- wie  a  =  2  [m], b  =  0,05  [m], masie  m  — 5  [kg]  oraz  docisku  równym  cię ż arowi  ciał a. .Ruch  wywoł any  został   warunkami  począ tkowymi 

wirowania  jest  znaczny  dla  mał ych prę dkoś ci,  w  miarę   wzrostu  prę dkoś ci  staje  się   coraz ,mniejszy.  Zmienność momentu sił  tarcia  wirowania  wynika  ze zmieniają cych  się   wielkoś ci sił   tarcia  w  miarę   zmian  ką ta  wirowania. Rys.  9.  Prę dkość  wirowania  brył y  stykają cej  się   z  chropowatą   pł aszczyzną   podczas  ruchu  wywoł anego stał ym  momentem  wirowania L it er a t u r a  cytowan a  w  t ekś cie 1.  M .  T .  H U BE K .,  Opory  tarcia  i  ich  rola  w  niektórych  zagadnieniach  kolejnictwa,  Pisma  t.  III,  PW N   W ar- szawa  1957. 2.  W.  M O S Z YŃ S K I,  O  zagadnieniu  tarcia  mię dzy  ciał ami  stał ymi  izotropowymi  i  anizotropowymi,  P zr eglą d M e c h . , ? . 1—3, 9  (1950),  3—11. 3 . ' S .  Z I E M BA,  O pewnych  przypadkach  anizotropii  tarcia,  Ar c h .  M e c h .  St o s. , 4  (1952),  105—121. 4.  J I . A.  F AJI H H J KoHinaKtnHbte sadauu  meopmiSynpyiocmu,  H 3ft.  TexH H KO- Teopem raecKoii  JlH T ep aT yp w, M ocKBa  1953. 5.  A.  H .  Jlypt E j  AHaAunnmecKan  Atexanma,  H 3fl.  c&HSHKO- MaTeMaTHMecKHH  JlH T epaT ypw,  M ocKBa 1961 6.  A.  Z M I T R O WI C Z ,  T ensor  tarcia  Coulomba,  M e c h .  T e o r .  i  St o s. ,  4 , 15  (1977),  517—527. 7.  I \   K ,  IIO>KA)PH I(KH H 3  PacnpocmpaueHue  npumfuna  T aycca  na  cucmeMtt  c  cyxoM  mpenueM,  I I M M ,  3, 25  (1961),  391  -   406. P  e  3  IO  M  e CHJIBI  TPEHHH   KYJIOMBA  IIP H   BPAmEHHH B  pa6oTe  n pcm rraBjieH o  o6o6meH H e TeH aopa  rpeH H H   KyjioM6a  [6]  fljra  c n y^ a a  KOHTaKTa n o Bep xH o - cieii  o  H 30TponH oii  n  aH H 3orponH oii  m epo xo BaT o cra,  a  TaKHix uiepoxoBaTocTH X.  — C^ejiaH O  npH MepH Bie  pac^eT bi  TpaeKropH ft  TO^IKH  flBU M tymeftcH  n o  n jiocK ocrH x  o  pa3H bix  u u epo - XOBaTOCTHX. B  pa6oTe  flaso  onpeflejieH H e  BeKTopoB  cH Jibi  H   MOMenra  TpeHUH  n p K  BpameH H H   KaK  Bejn n n n n .1 o r  xapaKTepHCTHK T p e m w  n o Bep xH o cia  KOHTaKTa K  e «m n «m o r o  BeKTopa  C KOP OC TH   B p a m e - 13* 600  A.  ZM ITROWICZ H U H .  r i p H   3TOM   n pH H H T O  BO BH M ViaH lte  npOH 3BOJlŁH yiO  djIOpMy  nOBepXH OCTH   KOH TaKTa  M   IlpOH 3BOJIbin>IH TH n  TpeKMH.  H J I H   Bw6paH H Bix  c jiyiaeB  KOHTaKTa  on peaen eH O  se K T o p t i  CH JI  T pem ra  n p n  Bp a m e m m . CflenaH O  npH M epm>ie  pacqeTbi  C Kopocu*  Bpam em ł H  T Bep ao ro  Tena  KoH TaKTapyiomero  npH M oyroji- H BI M  ocH OBarrneM   c  rmocKocTaMK  o  HfleajibHOH,  H 30TponH oft,  H  aiDJ30TponHOH   m epoxoBarocTH . S u m m a r y 1 C OU LOM B  F R I C T I O N   F ORCES  D U R I N G   ROTATION I n  th is  paper  the  description  of  t h e  Coulomb's  friction  tensor  [6] is  extended  to  the  case  of  contact between  surfaces,  with isotropic  and anisotropic roughness  and  to th e case  of  the contact between  surfaces of  various  anisotropic  roughness. N um erical  calculation s  of  trajectories  of  a  point  over  surfaces  of  various  roughness  have  been made. Th e  vectors  of  force  an d moment of friction  during rotation are defined  as quantities depending on the frictional  characteristic  of  the contact surface  and the rotation speed  versor. The definition  is valid for  any form  of con tact  an d any kind  of friction. Vectors  of  the  friction  forces  during rotation have  been calculated for  selected  cases. N umerical  calculation s  of t h e rotation speed  of  a  solid  body  with  a  rectangular  base  being  in contact with  an  ideal  surface,  an d  with  surface  with  isotropic  and  anisotropic  roughness  have  been made. PAN NSTYTUT  MASZYN   PRZEPŁYWOWYCH   GDAŃ SK Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  13  marca  1978  r.