Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  15  (1977)  O P T Y M A L N E  KSZTAŁTOWANIE  PRĘ TA  METODĄ  PROGRAMOWANIA  DYNAMICZNEGO  J A N  B Ł A C H U T  ( K R A K Ó W )  1.  Wstęp  M e t o d ę  programowania  dynamicznego  wykorzystuje  się  w  mechanice  nie  tylko  do  rozwią zywania  jedno  i  dwuwymiarowych  elementów  konstrukcyjnych,  lecz  również  do  ich  optymalnego  kształtowania.  W  pracy  [1]  rozwią zano  nieliniowe  zadanie  statyki  prę ta.  Wychodząc  z  minimum  energii  potencjalnej  wyznaczono  linię  ugię cia  p r ę ta  sprę ż ystego,  jednostronnie  sztywnie  utwierdzonego, dowolnie  obcią ż onego  momentem i siłą  skupioną  oraz  obcią ż eniem  cią głym,  przy  ograniczeniach  geometrycznych.  Stosując  programowanie  dynamiczne  POCZTMAN  p o d a ł  [2]  optymalny  kształt  belki  wspornikowej  o  przekroju  p r o s t o k ą t n y m,  stałej  szero­ koś ci,  ze  wzglę du  na  minimum  obję toś ci,  przy  ograniczeniach  nałoż onych  na  geometrię   belki  z  m a t e r i a ł u  pełzają cego.  Znane  są  rozwią zania  z a d a ń  wariacyjnych  o  pochodnych  czą stkowych,  k t ó r e  spro­ wadzają  się  do  liniowych  r ó w n a ń  róż niczkowych  typu  parabolicznego  lub  eliptycznego,  okreś lonych  na  obszarach  regularnych  i  nieregularnych  [4,  5].  P r ó b a  uż ycia  metody  pro­ gramowania  dynamicznego  do  optymalnego  kształtowania  elementów  konstrukcji  pro­ wadzi  do  nieliniowego  r ó w n a n i a  Hamiltona­Jacobiego  lub  posługując  się  koncepcją   dyskretnej  aproksymacji  procesu  cią głego  otrzymuje  się  równanie  funkcyjne  rozwią zywane  numerycznie  w  sposób  odmienny  od  bezpoś rednich  obliczeń  maszynowych.  Pomimo  wielu  trudnoś ci  [6]  metoda  ta  posiada  d u ż o  zalet,  k t ó r e  wynikają  z  procesu  «poszuki­ wania»  rozwią zania  optymalnego,  a  nie  otrzymywania  go  za  pomocą  rachunku.  Umoż liwia  to  pokonanie  wielu  trudnoś ci  zwią zanych  ze  stosowaniem  zwykłego  podejś cia  rachunku  wariacyjnego.  W  pracy  [3]  przedstawiono  rozwią zanie  dwugranicznego  zadania  wariacyjnego  dla  p r ę ta  sprę ż ystego,  jednorodnego  z  uwzglę dnieniem  ograniczeń  geometrycznych,  jako  zadanie  sterowania  optymalnego.  Poszukując  minimum  energii  potencjalnej  zdeformo­ wanego  p r ę ta  o  stałym  przekroju  metodą  r ó w n a n i a  funkcyjnego  Bellmana,  otrzymano  linię  ugię cia  p r ę ta  dla  k i l k u  obcią ż eń  zewnę trznych  siłą  skupioną.  2.  Sformułowanie  problemu  Celem  tej  pracy jest  p r ó b a  optymalnego  kształtowania  p r ę ta  przy  duż ych  przemieszcze­ niach,  z  tym,  że  przedstawione  zostaną  głównie  szczegóły  obliczeń  maszynowych  zasto­ sowanej  metody.  Rozważ ać  bę dziemy  ś cisłe  równanie  linii  ugię cia,  a  jako  kryterium  opty­ malnoś ci  przyjmiemy  minimum  obję toś ci.  126  J . BŁACHUT  Niech  bę dzie  dany  jednorodny,  sprę ż ysty  p r ę t,  jednostronnie  sztywno  utwierdzony,  obcią ż ony  momentem  M  oraz  siłą  skupioną  P  w punkcie  x  =  x0.  Rozwią zań  poszukiwać   bę dziemy  dla  M  ф  0  i  P  ф  0.  Moment  M  i  siła  P  mogą  przemieszczać  się  tylko  wzdłuż   prostej  x  =  x0,  zaś  pręt  bez  tarcia  może  przesuwać  się  przez  prawe  zamocowanie.  T a k i  charakter  obcią ż enia  sprawia,  że  długość  /  p r ę ta  jest  pierwotnie  nieustalona  i  k a ż d o r a z o wo  wyznacza  ją  wielkość  obcią ż enia.  Dodatkowo  zaż ą dajmy,  aby  w  stanie  równowagi  prawy  koniec  p r ę ta  pozostał  poziomy  (rys.  1).  Przy  takim  sposobie  obcią­ Rys.  1.  Sposób  obcią ż enia  prę ta  ż enią  siłą  P  i  momentem  M  należy  znaleźć  p r z e k r ó j ,  który  zapewni  minimum  obję toś ci  przy  spełnieniu  r ó w n a n i a  równowagi  i  w a r u n k ó w  brzegowych.  Zadanie  to  sformułujemy  poniż ej  w  kategoriach  teorii  optymalnego  sterowania  [8].  Zaś  do  jego  rozwią zania  uż yta  zostanie  wersja  dyskretna  programowania  dynamicznego.  a)  Równanie  stanu.  R ó w n a n i e  stanu  bę dzie  r ó w n a n i e m  równowagi  prę ta,  które  w  ukła­ dzie  współrzę dnych  (s, cp)  m o ż na  zapisać   (1)  (2)    0,  Ф  <  т с /2, przy  czym  w  całym  przedziale  całkowania  0  <  s  <  1 przyję to  a  — 0,  1 oraz  Ф  =  1,54,  —  geometrię  p r ę t a,  tj.  siła  P  oraz  moment  M m o g ą  przesuwać  się  po  prostej  x  —  x0;  prawy  koniec  p r ę ta  pozostaje  poziomy  (3)  ^ n  =  T ;  •   —  sposób  wykonania  (pręt  może  swobodnie,  bez  tarcia  przesuwać  się  pod  siłą  P).  d)  Funkcja  celu.  Niech  przekrój  poprzeczny  p r ę ta  bę dzie  prostoką tny  o  stałej  wyso­ koś ci.  Obję tość  jest  wtedy  proporcjonalna  do  sztywnoś ci  a(^).  Poszukiwać  bę dziemy  takiej  sztywnoś ci  a(y),  aby  zapewnić  minimum  obję toś ci  c 0  /  k  Dalej podzielmy cały  zbiór  sterowań  dopuszczalnych  Ud  na  /'/czę ś ci, niekoniecznie  równych.  Równanie  Bellmana  przyjmie  w  naszym  przypadku  p o s t a ć   gdzie f0  =  0,  к  =  1,  2,  ...,  kk,  P,  M  —  stała  siła  i  moment  przyłoż ony  na  k o ń c u,  к  —  nu­ mer  etapu.  Rozważ my  k i l k a  aspektów  zwią zanych  najpierw  z  tablicowaniem  f u n k c j i /  (с ),  a  potem  z  okreś leniem  optymalnego  ksztahu  a(s)  i  lmii  ugię cia  у  =  y(x).  1=12,  ii  Rys.  2.  Wyznaczanie współrzę dnych wektora sta­ nu  xi  na  etapie pierwszym  (к  — 1)  Etap pierwszy  (k  =  1) 9^ (»') —  /­ta  wartość  sterowania ze  zbioru  Ud,  i) oraz  tyle  samo  wartoś ci  x ^ i ) .  Wartoś ci  X i O p i )  oraz /i(*(0)  otrzymaliś my  w  wyniku  zrealizowania  k—l  k r o k ó w  do  tyłu  startując  z punktu  O.  Nadajmy  sterowaniu  (pk ze  zbioru  sterowań  dopuszczalnych  pierwszą  wartość  k(i)  realizuje  na  krzywej  OA3A3  minimum  funkcji  celu  ze  wzglę du  na  к etapów.  W  pamię ci  stałej  lub  operacyjnej  maszyny  zapisujemy  wartość  sterowania  q>k(i),  współrzę dną  x3  oraz  wartość  funkcji  celu.  Rys.  4.  Wyznaczanie współrzę dnych  wektora sta­ nu  xk(i+1)  na dowolnym  etapie  к  (sterowanie  **(*+!))  P o  nadaniu  sterowaniu  nowej  wartoś ci  fk(i+l)  e  Ud  ustalamy, na  której  krzywej  za­ pewnia  ono  minimum  (7).  Niech  bę dzie  to  OA^A'^.  Wtedy  kolejne  współrzę dne  na eta­ pie  к  wynoszą:  dla  wektora  stanu  bę dzie  to odcinek  Oxk(i+1),  dla  sterowania  keUd.  Sposób  obliczania  (7) na etapie  к +1  jest  identyczny  z  tym,  że  zamiast  OA t  mamy  teraz  OA3A3,  zamiast  OA2 bę dzie  О А ц .А 'А  itd.  OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA  129  Etap ostatni.  N i e  znając  liczby  e t a p ó w  na  począ tku  należy  sprawdzać  czy  wartość   każ dej  współrzę dnej  stanu  etapu  к  nie  przekracza  x0.  Jeś li  x[k,  i]  oznacza  stan  i na  eta­ pie  k,  to  proces  rozwią zywania  (7)  koń czy  się  z  chwilą,  gdy  (9)  \x[k,i]­x0\<  e,  gdzie  £ jest  pewną  stałą.  Zgodnie  z  n a ł o ż o n ym  ograniczeniem  koniec  p r ę ta  powinien  być  poziomy.  Ograniczenie  to  spełnimy  jeś li  równocześ nie  bę dzie  (10)  \x[k,i] — x0\  <  eAQ}k(i)  = т с /2.  N a  rys. 5  ż ą danie  to  spełnia  stan  odpowiadają cy  OAYA'Y.  Z  chwilą  osią gnię cia  pro­ stej  x  =  x0  należy  odtworzyć  ś cież kę  optymalną  odpowiadają cą  na  rys. 5 krzywej  OAiA[.  Rys. 5.  Zakoń czenie procesu tablicowania  funkcji  celu  przy  ruchu  «wstecz»  0,16  0.14  0.12  0.10  0.08  0.06  0.04  0.02  О С   'i/  f3  _  /   3  01x0  Ol  • / 2  • - \   0.2  0.4  0.6  OS  10  1  1?  •   Rys.  6.  Optymalny  kształt  prę ta:  1 ­P  =  0,5,  M  =  0,35;  Z­P  =  1,0,  M  =  0,70;  3­P  =  2,0,  M =  1,40.  9  Mechanika  Teoretyczna  1/77  ] 30  J. BŁACHUT  Wykorzystując  zapisane  wartoś ci  funkcji  celu,  współrzę dnych  wektora  stanu  oraz  stero­ wania  optymalnego  na  poszczególnych  etapach,  przy  ruchu  do  «przodu»  znajdujemy  posługując  się  (5)  i  (7)  prz e kró j  p r ę ta  a(s)  oraz  linię  ugię cia  OAxA\.  Rozwią zanie  przeprowadzono  dla  x0  =  1 m,  przy  obcią ż eniu  siłą  P  równą  0,5;  1,0;  2,0  k G  i  momentem  skupionym  M  =  0,35;  0,70;  1,40  k G m .  Otrzymany  przekró j  opty­ malny  przedstawiony  jest  na  rys.  6.  Cały  przedział  sterowań  dopuszczalnych  został  po­ dzielony  na  40  czę ś ci.  Stała  wartość  kroku  A  =  0 , l x o .  W a r t o ś ć  e  w  (10)  przyję to  0,01.  Obliczenia  przeprowadzono  na  E M C Odra  1204.  Literatura  cytowana w  tekś cie  1.  А.  Б А Р А Н Е Н К О, I O .  M .  П О Ч Т М А Н,  Д и н а м и ч е с к о е  п р о г р а м и р о в а и и е  и  н е л и н е й н ы е  з а д а ч и  с т а т и к и   т о н к и х  с т е р ж н е й ,  Д А Н, 5,  185;  (1968),  1 0 2 9 ­  1031.  2.  Ю. М . П о ч т м л н,  Д и н а м и ч е с к о е  п р о г р а м м и р о в а н и е  в з а д а ч а х  о п т и м и з а ц и и  к о н с т р у к ц и и  п о д в е р ж е н ­ н ы х  п о л з у ч е с т и ,  Д о к л.  Ф и з. Н а ук  1, 17  (1970),  2 9 ­ 3 0 .  3.  А. Б А Р А Н Е Н К О,  Ю.  М . П О Ч Т М Л Н,  О р е ш е н и и  н е к о т о р ы х  н е л и н е й н ы х  к р а е в ы х  з а д а ч и  т е о р и и  г и б к и х   с т е р ж н е й  с п о м о щ ь ю  д и н а м и ч е с к о г о  п р о г р а м м и р о в а н и я ,  П р и к л.  М е х а н и к а,  1, 7  (1971),  1 2 8 ­  132.  4.  N. DISTEFANO, Dynamie programming  and  the solution of the Inharmonic equation. Intern.  J. for Numeri­ cal  Methods in  Eng., 2, 3  (1971),  199 ­ 213.  5.  E. ANGEL, R. BELLMAN,  Dynamic  programming  and partial  differential  equations,  New  York  1972.  6.  R. BELLMAN,  Adaptacyjne procesy sterowania, Warszawa  1965.  7.  R. BELLMAN, Programowanie dynamiczne,  Warszawa  1969.  Р е з ю ме   О П Т И М А Л Ь Н ОЕ  П Р О Е К Т И Р О В А Н ИЕ  С Т Е Р Ж НЯ  М Е Т О Д ОМ   Д И Н А М И Ч Е С К О ГО  П Р О Г Р А М М И Р О В А Н ИЯ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  р е ш е н ие  з а д а чи  о  м и н и м и з а ц ии  о б ъ е ма  с т е р ж ня  п ри б о л ь ш их  п е р е­ м е щ е н и я х.  З а д а ча  с ф о р м у л и р о в а на  в т е р м и н ах т е о р ии у п р а в л е н ия и р е ш е на м е т о д ом  д и н а м и ч е с к о го   п р о г р а м м и р о в а н ия  в  д и с к р е т н ой  п о с т а н о в к е.  В  к а ч е с т ве  и л л ю с т р а ц ии  п р и в е д е ны  н е к о т о р ые д е­ т а ли  ч и с л е н н ых  р а с ч е т о в.  S u m m a r y  OPTIMUM  DESIGN  OF A  FLEXIBLE  BAR BY MEANS,  OF D Y N A M I C  PROGRAMMING  In this paper, the minimum­volume  design of a flexible bar with large deflections is shown. The mini­ mum­volume  problem  is  formulated  as an example of the  control  theory and solved  by using the ideas  of dynamic  programming  in its discrete version.  To illustrate the method of solution, details of numerical  calculations  are presented.  I N S T Y T U T  F I Z Y K I  P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  7 czerwca  1976 r.