Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1,  15  (1977)  S T A N  N A P R Ę Ż EŃ  W  W A L C U  K O Ł O W Y M  W Y W O Ł A N Y  P R Z Y Ł O Ż E N I EM  S T A Ł E J  T E M P E R A T U R Y  N A  P O B O C Z N I C Y  K R Z Y S Z T O F  G R Y S A ,  M A R I A  K W I E K  (POZNAŃ)  W  pracy  rozpatruje  się  długi  walec  kołowy  o  promieniu  a,  do  pobocznicy  k tó reg o  w  pewnej  chwili  czasu  / 0  ==  0  zostaje  przyłoż ona  stała  temperatura  T0>.  mierzona  od  temperatury stanu naturalnego  walca.  Zagadnienie rozpatrywane jest  w  walcowym  układzie  współrzę dnych  r,  c>,  z,  przy  czym  za  oś  z  obrano  oś  walca.  R o z w a ż a n ia  prowadzone  są   dla  p u n k t ó w  walca  dostatecznie  odległych  od  jego  k o ń c ó w,  w  zwią zku  z  czym  m o ż na  założ yć  płaski  stan  odkształcenia.  Zagadnienie jest  kołowo­symetryczne,  tzn.  ur  — ur(r,  t),  u9  =  uz  =  0,  a„p =    lub  z.  N a p r ę ż e n ia  oap  m o ż na  wyrazić  przez przemieszczenie  ur  i t e m p e r a t u r ę  в  zwią zkami  [1]:  (1)  arr  =  (X +  2[t)­^  +  XT­yO,  (2)  ffw  =  ( А +  2 ; М ) . ^  +  Я ­ ^ ­7 & ,  • (3)  azz  =  (ff„  +  «r w )  ­  ­ j ­ C —  y0,  2(Я +  /м)  7  /  + /И   (4)  orr(P  =  <7,z  =  cr„2  =  0,  gdzie  X, fx —  stałe  Lamego,  у  =  (З Х +  2/и )а ,,  а ,—  współczynnik  rozszerzalnoś ci  cieplnej,  0  =  0(r,  t)  —  temperatura  p u n k t ó w  przekroju  poprzecznego  walca,  mierzona  od  tempera­ tury  stanu  naturalnego.  Rozkład  temperatury  0  wewną trz  walca  opisany jest  r ó w n a n i e m  przewodnictwa  ciepl­ nego,  [1]:  d2  13  Id  •   gdzie  x  —  współczynnik  przewodzenia  temperatury.  Stan  przemieszczeń  w  walcu  okreś la  równanie  [1]:  (6)  (Я +  2^)  +  j ~ d 7  ­  p r ) « r + f r  =  +  H  )  gdzie  Fr—  siła masowa, go  —  gę stoś ć,  (•)  =  ­ ~ , ot  4  К .  GRYSA,  М .  KWIEK  W  rozpatrywanym  zagadnieniu  temperatura  0  i  przemieszczenie  ur  muszą  spełniać   nastę pują ce  warunki:  t  =  0  0(r,  0)  =  0,  (7)  .  u,.{r,  0)  =  0,  ur(r,0) =  0.  r  =  a  0(e,  0  =  ^ 0 ,  (Ю  fi  .  ­  ч  dii,  U,  ­ (X+2p)—  +  X—  ш  YT0.  Przy  rozwią zywaniu  tego  problemu  zostaną  uwzglę dnione  efekty  inercyjne  wynikłe  ze  zmiany  temperatury  w czasie, tzn.  w  odróż nieniu  od  rozważ ań  zawartych  m.in.  w  [1,  2],  w  r ó w n a n i u  (6)  nie  pomija  się  członu  bezwładnoś ciowego.  Prezentowane  w  pracy  podejś cie  do  problemu  nie  jest  nowe,  gdyż  stosowali je  również   M U R A  [3]  i  DERSKI  [4].  W  pracy  [3]  ograniczono  się  tylko  do  wyznaczenia  przemieszczeń;  w  pracy  [4]  wyznaczono  ponadto  naprę ż enia  w  walcu,  lecz  wynik  zawarty  w  tej  pracy  obarczony  jest  błę dem,  prawdopodobnie  drukarskim  (wskazywałby  na  to  poprawny  tok  obliczeń  w  cytowanej  pracy).  J e d n a k ż e  fakt  przeoczenia  tego  błę du  w  korekcie  ś wiadczy  o  tym,  że  duża  liczba  oznaczeń  uż ytych  do  skonstruowania  wyniku  utrudniła  zweryfiko­ wanie  tegoż  wyniku  w  p o r ó w n a n i u  ze  znanymi  przypadkami  szczególnymi.  Ponadto  uż ycie  do  opisu  z a r ó w n o  przemieszczeń  w  pracy  [3],  jak  i  naprę ż eń  w  pracy  [4]  funkcji  Thomsona  [6]  utrudnia  analizę  otrzymanych  wyników,  o  czym  ś wiadczy  brak  tejże  analizy  w  obu  cytowanych  pracach.  W  pracy  niniejszej  podaje  się postaci  n a p r ę ż eń  arr  i  ffw  dane przez  liczby  bezwymiarowe  zawierają ce  stałe  materiałowe.  Wpływ  sił masowych  Fr  na  naprę ż enia  pomija  się. Pomija  się   również  szczegółowe  rachunki  prowadzą ce  do  przedstawionych  dalej  wyników,  gdyż   pokrywają  się  one  z  obliczeniami  przedstawionymi  w  pracy  [4].  W  ostatniej  czę ś ci  pracy  zawarta  jest  analiza  otrzymanych  wyników.  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (5)  z  warunkami  (7)x  i  (8)i  jest  nastę pują ce  [1,  2]:  1  Hujldlk)  I'  gdzie  fik  są  miejscami  zerowymi  funkcji  J0(ji);  Jo  ( z )  —  funkcja  Bessela pierwszego  rodzaju  zerowego  r z ę d u.  Mając  na  uwadze  zwią zek  (9)  m o ż na  rozwią zać  równanie  (6)  z  warunkami  (7) 2 ,  (7)3  i  (8)2  na  drodze pokazanej  w pracy  [4].  Wykorzystując  nastę pnie  zależ noś ci  (1)  i  (2)  m o ż na  naprę ż enia  arr  i    Ł l  _  Я+ 2^  Ci  Qo  Qo  2c2  ac  Qo — gę stoś ć,  vi—­pierwiastki  r ó w n a n i a  Jo O')  —  Л  O')  =  0, L  =  bezwymia­ rowa  liczba,  okreś lają ca  wpływ  wielkoś ci  c0>  e na  wielkość  i charakter  naprę ż eń.  Wś ród  p a r a m e t r ó w  okreś lają cych  tę  liczbę  znajdują  się  również  stałe  X i  ju, lecz  ich  wpływ  na  6  К .  GRYSA,  М .  KWIEK  naprę ż enia  lepiej  charakteryzuje  wyż ej  wprowadzona  bezwymiarowa  wielkość  c. Liczba L  szerzej  o m ó w i o n a  jest  w dalszych  czę ś ciach  pracy;  warto  nadmienić,  że analiza  wpływu  tej  liczby  na pewne  rozwią zania  p r o b l e m ó w  termosprę ż ystoś ci  zawarta  jest  w  pracy  [5]  s.  420—421;  /„(z) — funkcja  Bessela  pierwszego  rodzaju  и ­tego  rzę du  [6], I„(z) —  zmo­ dyfikowana  funkcja  Bessela  pierwszego  rodzaju  и ­tego  rzę du [6].  Parametry  x, a, Q0 i czas t wystę pują  tylko  w wyraż eniach  dwóch  liczb  bezwymiarowych:  L  i  F o .  Liczby  te zatem  opisują  w pełny  sposób  wpływ  wyż ej  wymienionych  p a r a m e t r ó w  na  wielkość  naprę ż eń.  Chcąc  np.  uzyskać  przejś cie  od zwią zków  (10),  (11)  do  naprę ż eń,  uzyskanych  przy  pominię ciu  w  r ó w n a n i u  (6)  członu  inercyjnego,  należy  wykonać  przejś cie  z  I  do  nieskoń czonoś ci  przy  niezmienionym  F o .  Otrzymuje  się wówczas, że  : Н т ЗД  =  У 0 , 5  lim  Ą f e)  =  0,5  L­> cc  l i m  h(L)  =  0 ;  £ ­ • 0 0   L10(L)  Lvi  v"i  lim  ­ = — =  lim  ­ = — =  0,  2L2  2  hm  i  w  efekcie  (12)  af'r =  l i m c r r r  =  4c 2yT0  >  | —  J , W " A W  e x p ( ­ F o  fil)  (13)  a*, =  lim  3  mamy  exp(—Fo/г *)  <̂   10~ 6  i  wartoś ci  a9r r r  i  a%, a*L  m o ż na  w  zwią zku  (14)  pominą ć.  Zatem  pozostaną  wyraż enia  (15)  =  c y T o £ \ p l  s i n ( L F o Vi)­ Lv,  vf  +  L2  \  f*i +  L2vi  W y n i k a  stą d,  że  po  w y r ó w n a n i u  się  temperatury  wewną trz  walca  pozostaną  pewne  n a p r ę ż e n ia  resztkowe  a"s  i  cr^f.  N a p r ę ż e n ia  te  nie  bę dą  znikały  z  upływem  czasu,  gdyż  —  rozbijając  sumę  znajdują cą  się  po  prawej  stronie  zwią zku  (15)  na  sumę  skoń czoną  od  /  =  1  do  /  =  L0  oraz  sumę  nieskoń czoną  od  /  =  L0  +1  i  dobierając  odpowiednio  L0  —  m o ż na  wyróż nić  w  obu  naprę ż eniach  człon  mają cy  własnoś ci  bardzo  zbliż one  do  własnoś ci  funkcji  okresowej.  Uwaga  powyż sza  wynika  z  postaci  równania  (16)  Jo(v)­—Mv)  =  0,  v  którego  pierwiastkami  są  wielkoś ci  vu  znajdują ce  się  w  argumencie  sinusa,  stoją cego  pod  rozważ aną  sumą.  D l a  duż ych  wartoś ci  v,  pierwiastki  r ó w n a n i a  (16)  m o ż na  dobrze  przybliż yć  pierwiastkami  równania  (17)  v.  Tc  2  =  t g | V "  którego  postać  m o ż na  otrzymać,  zastę pując  funkcje  J0(v)  i  Jt(v)  odpowiednimi  wzorami  asymptotycznymi  [6].  Pierwiastki  r ó w n a n i a  (17)  są  postaci  \   gdzie  lime,  =  0,  0  <  e,  <  — .  / ­ • co  '  • •  - •  \   i  file:///I2tiL К .  GRYSA,  М .  KWIEK  Jeś li  teraz  w  zwią zku  (15)  oznaczyć  Qt  =  Lvt,  to  łatwo  m o ż na  zauważ yć, że  dla  /  wię kszych  od  odpowiednio  duż ego  L0  n  4 1 + 3  T  T  Zatem,  aby  wspomniana  suma  nieskoń czona  opisywała  funkcję  mają cą  własnoś ci  zbliż one  do  własnoś ci  funkcji  okresowej,  trzeba  przyjąć  L0  L.  N a p r ę ż e n ia  a„  i  dane zwią zkami  (10)  i  (11)  są  funkcjami  d w ó c h  bezwymiarowych  xt  zmiennych:  Q =  r/a  i  Fo  =  — ,  oraz  dwóch  liczb  bezwymiarowych,  stałych  dla  danego  jednorodnego  walca:  c2  =  ,  —  oraz  L  =  Wielkoś ci  te  utworzone  są  przez  Л +  2/л  я   siedem  p a r a m e t r ó w :  r,  t,  X, fi,x,  Q0  oraz  a;  stanowią  one  p o d s t a w ę  wielkoś ci  bezwy­ miarowych  okreś lają cych  rozpatrywane  zjawisko  [7]  s.  58 ­  59.  Zatem  warunki  stałoś ci  tych  czterech  bezwymiarowych  p a r a m e t r ó w  stanowią  dla  rozważ anego  problemu  termo­ sprę ż ystoś ci  kryteria  podobień stwa  [7].  Widoczne  jest,  że  np.  stałość  liczb  с  i  L  przy  róż­ nych  kombinacjach  p a r a m e t r ó w  A, ju,a,xi o0  może s p o w o d o w a ć jedynie zmian ę skali  czasu.  Otrzymane  postaci  n a p r ę ż eń  stanowią  zatem  wygodne  narzę dzie  do  b a d a ń  modelo­ wych.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  •   1.  H .  PARKUS,  Instationdre  WSrmespanmmgen,  Springer­Verlag  Wien,  1959;  tfum.  ros.  Moskwa  1963.  2.  S.  TIMOSHENKO,  J. N .  GOODIER,  Teoria  sprę ż ystoś ci.  Arkady,  Warszawa  1962.  3.  T.  MURA, Dynamical thermal stress due to thermal shocks,  Res.  Rep.  Fac.  of Engng., Meiji Univ., 8 (1956).  4.  W.  DERSKI,  A  dynamic problem  of  thermoelasticity  concerning  a  thin  circular plate,  Arch.  Mech. Stos.,  2,  13 (1961).  5.  S.  WOELKE,  Naprę ż enia  dynamiczne  w cieiikiej tarczy  kołowej  wywołane  działaniem  nieustalonych  ź rуdeł  ciepła,  Rozpr.  Inż .,  3,  17 (1969).  6.  G . N .  WATSON,  Theory  of Bessel Functions,  Cambridge  University Press, Cambridge  1962.  7.  L.  I.  SIEDOW, Analiza  wymiarowa  i teoria podobień stwa  w mechanice,  WNT,  Warszawa  1968.  Р е з ю ме   Т Е П Л О В ЫЕ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЯ  В  К Р У Г Л ОМ  Ц И Л И Н Д РЕ  В Ы З В А Н Н ЫЕ   В Н Е З А П Н ЫМ  И З М Е Н Е Н И ЕМ  Т Е М П Е Р А Т У РЫ  НА  Е ГО  К Р АЮ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е ны  ф у н к ц и и,  о п и с ы в а ю щ ие  т е п л о в ые  н а п р я ж е н ия  в  к р у г л ом  ц и л и н д р е,  с  у ч е т ом  и н е р ц и а л ь н ых  э ф ф е к т о в,  в ы т е к а ю щ ие  из  и з м е н е н ия  т е м п е р а т у ры  по  в р е м е н и.  Э ти  ф у н к­ ц ии  п р е д с т а в л е ны  п ри  п о м о щи  б е з р а з м е р н ых  к о о р д и н ат  и  б е з р а з м е р н ых  п а р а м е т р о в,  с о д е р ж а щ их   м а т е р и а л ь н ые  к о н с т а н т ы.  А н а л из  р е з у л ь т а т ов  п о к а з а л,  в  ч а с т н о с т и,  ч то  п о с ле  в ы р а в н и в а н ия  т е м­ п е р а т у ры  в  ц и л и н д ре  о с т а ю т ся  н е б о л ь ш ие  н а п р я ж е н и я.  STAN  NAPRĘ Ż EŃ  W WALCU  KOŁOWYM  9  i  S u m m a r y  D Y N A M I C A L  T H E R M A L STRESSES IN A CIRCULAR  CYLINDER  D U E  TO  SUDDEN  C H A N G E  OF  T E M P E R A T U R E  O N  ITS  SURFACE  The  paper  presents the  functions  describing thermal stresses in  a long  circular cylinder in the case  when its surface undergoes  a sudden change of temperature due to heating it to a uniform temperature  T0.  These  functions  are  found  from  a  differential  equation  of  this  problem, the  inertia effects  being taken  into account. The  stresses are given in terms of dimensionless  variables and dimensionless  numbers determi­ ned by the mechanical and thermal properties of material. The analysis  of the results shows that thermal  stresses do not vanish when the time tends to infinity.  INSTYTUT  MECHANIKI  TECHNICZNEJ  %  POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA  Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  14 lipca  1975 r.