Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

1,  15  (1977) 

NIELINIOWE  DRGANIA  ELASTYCZNIE  ZAWIESZONYCH  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  PRZY 
KINEMATYCZNYCH  WYMUSZENIACH  S T O C H A S T Y C Z N Y C H 

JANUSZ  K O L E N D A  (GDAŃ SK) 

1.  Wstęp 

Silniki  tłokowe  zainstalowane  na  ś r o d k a ch  transportu  lą dowego  lub  morskiego  (zwa­

nych  dalej  pojazdami)  poddawane  są  kinematycznym  wymuszeniom,  wynikają cym  z  lo­

sowych  ruchów  pojazdu  na  skutek  nierównoś ci  nawierzchni  drogi  lub  falowania  morza. 

Wymuszenia  te  wpływają  na  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  d r g a ń  silników,  a  tym  samym  na  wa­

runki  ich  pracy,  ż ywotność  i  niezawodnoś ć.  Wskazuje  to  na  celowość  uwzglę dniania  tego 

typu  wymuszeń  przy  analizie  d r g a ń  silników.  W  przypadkach,  gdy  wymuszenia  wywołane 

obrotami  wału  silnika  i  zmiennymi  składowymi  momentu  reakcyjnego  są  pomijalnie  mał e 

w  stosunku  do  kinematycznych  wymuszeń,  obliczenia  mogą  być  wykonane  w  oparciu 

o  prace  dotyczą ce  wpływu  losowych  przemieszczeń  fundamentów  na  drgania  amortyzo­

wanych  obiektów  nie  posiadają cych  własnych  ź ródeł  wymuszeń  (п р.  [1]). 

Poniż ej  rozpatrzono  w  pierwszym  przybliż eniu  czę ś ciej  wystę pują cy  w  praktyce  przy­

padek,  gdy  wymuszenia  zwią zane  z  pracą  silnika  nie  mogą  być  pominię te,  a  losowe  zabu­

rzenia  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  drgań  silnika  są  małe.  W  celu  uwzglę dnienia  nierównomier­

noś ci  o b r o t ó w  silnika  oraz  oddziaływania  d r g a ń  na  silnik,  jako  nieidealne  ź ródło  energii, 

p r ę d k o ść  ką tową  silnika  potraktowano jako  wielkość  zmienną.  D o  obliczeń  zastosowano 

m e t o d ę  linearyzacji  [2].  Ograniczono  się  przy  tym  do  silników  z  cylindrami  w  układzie  V, 
gdyż  wyniki  obliczeń  mogą  być  łatwo  wykorzystane  dla  silników  o  pionowym  układzie 

cylindrów  i  silników  typu  bokser. 

łą czną  masę  silnika  i  sztywno  połą czonych  z  nim  elementów  (np.  łą czną  masę  zespołu 

p ę d n e go  pojazdu  samochodowego  lub  łą czną  masę  zespołu  silnik­sztywne  s p r z ę g ł o ­ o d­

biornik  mocy).  Elastyczne  elementy  zawieszenia  1,  2,  są  zamocowane  do  masy  m 
oraz  do  konstrukcyjnego  elementu  pojazdu,  k t ó r y m  m o ż e4  być  nadwozie  samoniosą ce 

lub  rama  pojazdu  samochodowego,  fundament  zespołu  prą dotwórczego  na  statku  etc. 

R ó w n a n i a  ruchu  u k ł a d u  wyprowadzono  dla  ustalonego  kierunku  ruchu  pojazdu  i  nie­

zmiennej  w  czasie  iloś ci  paliwa  zasilają cego  silnik  napę dowy  pojazdu,  przy  której  pojazd 

porusza  się  ze  ś rednią  prę dkoś cią  V.s  =  const.  Jako  układ  odniesienia  dla  pojazdu  przy­
j ę to  układ  współrzę dnych  ortokartezjań skich  XYZ,  którego  począ tek  przemieszcza  się  

Obliczeniowy  schemat  rozpatrywanego  u k ł a d u  przedstawia  rys.  1.  Masa  m  oznacza 



У  

Rys.  1.  Obliczeniowy schemat układu:  m — łą czna  masa silnika i sztywno połą czonych  z nim elementów; 
m0  — wirują ca  masa  niewyrównoważ ona,  odpowiadają ca  jednemu  wykorbieniu  i  skupiona  na  osi  czopa 
korbowego;  mpll2—niewyrównoważ ona  masa  w  ruchu  postę powo­zwrotnym,  odpowiadają ca  jednemu 
cylindrowi i skupiona na osi  sworznia  tłokowego;  L — długość  korbowodu; r — długość  ramienia korby; 
ao,b0,c0  — współrzę dne  punktu przecię cia  z  osią  wału  prostej  prostopadłej  do  osi  wału,  poprowadzonej 
ze  ś rodka  cię ż koś ci  masy m0  pierwszego wykorbienia, w stanie spoczynku układu  i przy <p  =  0, w układzie 
współrzę dnych  x, y, z; e — odległość osi korbowodu od ś rodka  cię ż koś ci masy m0 ;u,v,w — przemieszcze­
nia  ś rodka  cię ż koś ci  masy  m w kierunkach osi  x, y, z;  x, y, z — osie pokrywają ce  się z  głównymi  central­
nymi osiami  bezwładnoś ci  masy  tn w stanie spoczynku układu  i przy <p  =  0, nieruchome  wzglę dem  układu 
współrzę dnych  X,  Y, Z;  a, (i, у — ką ty  obrotu  masy  m  wzglę dem  jej  głównych  centralnych  osi  bezwład­
noś ci;  3 — połowa  ką ta  pomię dzy  płaszczyznami  dwóch  rzę dów  cylindrowych, ę  — kąt obrotu pierwszego 
wykorbienia; X, Y, Z—układ  współrzę dnych,  którego  osie pokrywają  się z głównymi  centralnymi osiami 
bezwładnoś ci  pojazdu  w stanie spoczynku  układu,  a  począ tek  przemieszcza  się w kierunku wyznaczonym 
przez ruch pojazdu z  prę dkoś cią  V, =  const;  V5 — ś rednia  prę dkość  pojazdu; X, (f),X2(О ,Хъ  (/),  — prze­
mieszczenia  ś rodka  cię ż koś ci  pojazdu w kierunkach osi X,  Y, Z; XA  (г ), Хъ  (0, X6  (t) •— ką ty obrotu pojazdu 

wzglę dem  jego  głównych  centralnych  osi  bezwładnoś ci 

[881 



N I E L I N I O W E  D R G A N I A  SILNIKÓW  T Ł O K O W Y C H  89 

w  kierunku  wyznaczonym  przez  ruch  pojazdu  ze  stałą  prę dkoś cią  Vs,  pokrywają cy  się  

z  układem  głównych  centralnych  osi bezwładnoś ci  pojazdu  w stanie  spoczynku  u k ł a d u 

drgają cego.  W  przypadku  ruchu  pojazdu  po  nierównej  nawierzchni  ś rodek  cię ż koś ci 

pojazdu  doznaje  losowych  przemieszczeń  liniowych X^t), X2 (t), X3  (?)  wzglę dem  począ tku 

u k ł a d u  XYZ w kierunkach  osi X, Y, Z i pojazd  wykonuje  ruchy  obrotowe  wzglę dem  swych 

głównych  centralnych  osi  bezwładnoś ci.  Losowe  przemieszczenia  ką towe  oznaczono 

XA{t),  X5(t),X6(t). 

Przyję to,  że układ  współrzę dnych  xyz jest  nieruchomy  wzglę dem  u k ł a d u  XYZ i  po­

krywa  się z  układem  głównych  centralnych  osi bezwładnoś ci  masy m w stanie  spoczynku 

układu  drgają cego  przy  ką cie  obrotu  pierwszego  wykorbienia  cp = 0.  W  obliczeniach 

uwzglę dniono,  że  amplitudy  d r g a ń  obrotowych a, /? i у masy w są w praktyce  małe i w roz­

kładach  funkcji  trygonometrycznych  tych  ką tów  w  szeregi  potę gowe  zachowano  tylko 

pierwsze  wyrazy. 

G d y  punkt  zamocowania  /­tego  elementu  elastycznego  do konstrukcyjnego  elementu 

pojazdu  ma  w stanie spoczynku u k ł a d u  drgają cego  współrzę dne xis,  yis>  zis  w  układzie XYZ, 

to  na skutek  losowych  przemieszczeń  pojazdu Xx (t)—X6 (t)  punkt ten dozna  nastę pują cych 

przemieszczeń  w kierunkach  osi X, Y, Z: 

u'is = X1­xis+(xiScosX6­yissmX6)cosXs+[ziscosX4.+  (yiscosX6  + 

+ xis  sin X6 )sin Х  ̂]si n  Xs, 

(2.1)  v'is =  X2­yis+(yiScosX6+XiismX6)co&X4.­zissinX4., 

w'is = X3­zis  + [z i s cosA
r

4 .+  ( ^ 1 . s c o s A
r

6 ­ x , ; ! s i n J i ' 6 ) s i n Z 4 ] c o s A
r 5 ­

­  (xiscosX6  ­  yissinX6)smX5. 

Rozpatrzono  przypadek,  gdy  przemieszczenia  X1(t)—X6(t)  stanowią  stacjonarne  i  sta­

cjonarnie  skorelowane  procesy  stochastyczne  o  małych  wartoś ciach  realizacji,  znanych 

charakterystykach  statystycznych  i o  wartoś ciach  oczekiwanych  równych  zeru.  D l a ma­

łych  wartoś ci  realizacji  procesów  XA(t),Xs(t)  i X6(t)  zależ noś ci  (2.1) przyjmują  p o s t a ć  

uis  =  X1—yi!iX6+ZisX5, 

(2.2)  v'is = X2 + xisX6  ­  zisXĄ, 

w',s =  X3+yisX4~xhX5. 

Jeś li  oś x ma wzglę dem  osi X kosinusy  kierunkowe  l1,mi,n1,  oś у  wzglę dem  osi  Y—l2, 

m2>  n2 i  oś z  wzglę dem  osi Z — / 3 ,  m3, n3,­to  przemieszczenia  w/w  punktu  w kierunkach 

osi  x,y  i  z  wyniosą  

"is  =  illAs+miV'b + riiWis, 
i 

(2.3)  vis  = l2 u'is + m2v'is + n2 w'is, 

w i s  =  l3u'is + m3v'is+n3w'is. 

Z  uwzglę dnieniem  (2.2) otrzymuje się  

uis  =  IiX1+miX2+n1X3  + (n1yh­mlzis)X4+(l1zis­n1xis)X5  + 
+  (m1xis­l1yis)X6, 

vis  =  h Xi. + m2X2+  n2 X3 + (n2 yis  ­  m2 z^X^  + (l2 zts  ­  n2 xis)X5  + 

+  (m2Xis­l2yis)X6, 



90  J . KOLENDA 
i 

wis  =  hXl+m3X2+n3X3  + (n3yb­m3zis)XA+(l3zis­n3xis)Xs  + 

(m3xis­ł3yis)X6. 

Współczynniki  sztywnoś ci  i  tłumienia  dla  elastycznych,  elementów  zawieszenia od­

niesiono  do  liniowych  przemieszczeń  poprzecznych  przekrojów  tych  elementów,  gdyż  

wpływ  ką towych  przemieszczeń  poprzecznych  przekrojów  jest  przy  małych  z  założ enia 

amplitudach d r g a ń  obrotowych  masyw  i wartoś ciach  realizacji  p r o c e s ó w ! ^ — X 6  znacznie 

mniejszy. 

Energię  potencjalną  Zanalizowanego  u k ł a d u  drgają cego  i funkcję  rozproszenia energii 

(Rayleigha)  D  wyrazić  m o ż na  zatem  w  postaci 

(2.5)  V =  —  V  [cxi(ui­ui,)
2  + cyi(vi~vis)2  + czi(w i­w is)2]  + 

i 
1  ' ' i 

c ­ l 

+ g  К  i (ł?SW + ™p2 (O,,,,, + m0 (rfi)mo\, 

I V 1  1 
£=­=­>  [lxi(ui­uis)

2  + !y,(vi­vts)2  + lzi(w i­w u)2]  +  ­Thę
2, 

(2.6) 

/  / 

gdzie  cxi,  Cyi, czi—  oznaczają  współczynniki  sztywnoś ci  /­tego  elastycznego  elementu 

przy  odkształceniach  w kierunkach  osi  х , у i z, lxi,  lyi,  lzi  —  współczynniki  wiskotycznego 

tłumienia  /­tego elastycznego elementu przy  odkształceniach  jw.,  и ( , vh  wt—przemieszcze­

nia  punktu  zamocowania  /'­tego elastycznego elementu do masy  m  w kierunkach  osi  x,yiz 

[3],  mpl/2  —• niewyrównoważ oną  masą  w  ruchu  p o s t ę p o w o ­ z w r o t n y m,  odpowiadają cą  

jednemu  cylindrowi  i  skupioną  na  osi  sworznia  tłokowego,  m0  —  niewyrównoważ oną  

masą  wirują cą,  odpowiadają cą  jednemu  wykorbieniu  i  skupioną  na osi  czopa  korbowego 

Vn —  pionowe  przemieszczenie  niewyrównoważ onych  mas и ­tego  wykorbienia,  wywołane 

obrotem  wału  korbowego  o kąt <p  [3] (licząc  od pionowego położ enia  pierwszego  wykor­

bienia),  с —  liczbę  wykorbień,  g —  przyspieszenie  ziemskie,  // —  współczynnik  wisko­

tycznego  tłumienia  przy  obrotach  wału  silnika. 

Współczynniki  tłumienia  lxi,lyi,lzi  mają  na  ogół  małe  wartoś ci,  stąd  p r z y m a ł y c h 

z  założ enia  wartoś ciach  realizacji  procesów  Xx ( r ) — ^ ( r ) m o ż na  w pierwszym  przybliż eniu 

p o m i n ą ć  wielkoś ci  uu,vis,YVis  w  zależ noś ci  (2.6)
1'.  N a podstawie  r ó w n a n i a  Lagrange'a 

drugiego rodzaju, zależ noś ci  (2.4)  —  (2.6)  i wyraż eń  wyprowadzonych w rozdziale 2 pracy [3] 

otrzymuje  się  po wprowadzeniu  małego  parametru, £  nastę pują ce  r ó w n a n i a  ruchu  w pier­

wszym  przybliż eniu  dla ustalonych  i  bliskich  ustalonym  stanów  pracy  silnika: 

mu + cxu—  Uyy+Uzfł  =  ^  cxi^is), 
i 

(2.7)  mi + cyv­Vza+Vxy  =  e (Pz+  У  cylvis), 

mw + czw­W xp+WyOc = e[p3+  czlWiĄ , 

"  Gdy  wartoś ci  iloczynów  /«(Mis,  %\ V U ,  lztw„  nie są w  pierwszym  przybliż eniu  pomijalnie  małe, 
uwzglę dnić  je  moż na  analogicznie,  jak  poniż ej  iloczyny  cxiuls,  c,|V( J,  cziwts. 



NIELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  91 

I 

Ix'i + cxxci­Vzv+WyW­czxy­cxyp­crT(c0o)  =  Ą P4.+  ^ 4 ^ < * t * ­ t y * j V t t ) i ] » 

IyP
JrCyy$­Wxw+Uzu­cxya­cyzy  = ĄPs  + Ł  (cxiZiUis­cziXiWh)\, 

/  i 

Izy  + czzy­Uyu+Vxv­cyzp­czxa.  =  e [ p 6 +  ^  ( с ^ х ^ ­ с ^ , ­ ^ ) ], 
i 

r  * 

/ у  =  Ј P 7 ­

Zachowano  tu  oznaczenia  przyję te  w pracy  [3], przy  czym 

Pj  =  Д, + т р 1  (F,),  + 1 И ра № + 1 И о & ­,  7 =  l i 2,  7,  i ? 7 =  Я0 С>. 
R ó w n a n i a  (2.7) przekształcić  m o ż na  analogicznie, jak w pracy  [3] do postaci  odpo­

wiadają cej  jednoczę stoś ciowym  drganiom 

6  6 
qm + Xl qm

  ф (Г  (Pj + JЈ  « ) , 
(2.8)  m  k = 1 

<P = ­jPn, 

gdzie 

'  I 

1 

*16  =  2J   Cxi(miXis­liyis), 

bu  =  h  У1СУ1>   B L 2
  =  m>  ЕсУ "  Ь ™  =  " 2 Е с » ' > 

1 1 

b2* = Z
  cyi(­"2 y"  ~ ™2 z ' 4 ) '   1 , 2 5  =  2  cyi(l2  zt, ­  n2  xis), 

i 

f ś i  = / з J^c­­b  t>32 = m3 ]?czi>  b33  =  Из J ^czi, 

*34=  2J   c^(n3yh~m3zis),  b3S  = ̂   czi(J3zis­n3xh), 
Ј>36 = 2 /  C z i ( W 3 ^ i S ­ ' 3 ^ i S ) , 

I 

bp  =  E  ihcziyi­hcyiz^,  Щ  = Щ  (m3cziyi­m2cyizi), 



92  J .  KOLENDA 

Ь л з = ^  (n3Cziyi­n2cyizi), 

i 

*44 = 2J   [cziyi(n3yis­m3Zis)­cyizi(n2yi5­m2zis)], 
i 

l ' 

4̂5 = £j  [Cziyi(!3Zis­n3Xis)­CyiZi(l2Zis­n2Xis)], 
i 

t>46  = £j  \.c^yi(m3XiS­l3yis)­cyiZi(m2XiS­l2yis)l 
i 

bsi  = 2J  (hcxiZi­l3czixd,  bS2  =  {miCxiZi­m3czix^, 
i  i  i 

Ь53  = £  (niCxtZi­n3CziXi), 
i 

6 5 4   =  £  lcxizi(niyis­miZis)­czixi(n3yis­­m3Zi!)], 
i 

b55 =  [CxiZi(liZtś ­niXis)­CziXi(l3Zi^­n3Xi,)], 
i 

v i  l ' ­ . 

bsb = 2^  [CxiZiimxXu­hy^ ­CtiXiQnsXb­kyi,)], 
i 

b6i  = 2J  (h'CyiXi­ltC^yi);  b62  =  ^{m2cyiXi­mvcxiy^, 
i  t 

b6i  =  ^(n2cyiXi­nxcxiy^, 

*64 = 2J   [CyiXiin^yis­i^Zi^­c^yiin^i.­miZi,)], 
i 

I  i 

Ь б ь = £  [CyiXt(pizXiS~l2yts)­Cxiyi(miXis­l1yt$)]. 
i 

Wielkoś ci  Mm i Ф у* okreś lono  w pracy  [3], a  A m jest tą spoś ród  czę stoś ci  d r g a ń  własnych 

masy  m,  której  wartość  jest  najbardziej  zbliż ona  do  wartoś ci  podstawowej  czę stoś ci wy­

muszeń  wynikają cych  z  wirowania  wału  silnika. 

Przy  braku  stochastycznych  wymuszeń  drgania  masy  m  opisują  się zależ noś ciami [3] 

(2.9)  u ­  « 0 + 6 1 »  V  =  V0  +  Q2,...,  Y =  Yo + Q6,  , 

gdzie  u0,v0,  ...,y0 oznacza  stałe  składniki,  wywołane  stałą  składową  momentu  reakcyj­

nego,  Qj(t) = Ф(р qm(t), natomiast  qm(t)  jest  rozwią zaniem  r ó w n a ń  (2.8)  przy Xk =  0, 

к  =  1,2,  6.  Poniż ej  wyznaczono  qm(t) z  uwzglę dnieniem  wpływu  procesów  Xk(t). 



NIELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  93 

3.  Rozwią zanie  równań  ruchu 

W  celu  rozwią zania  r ó w n a ń  (2.8)  wprowadza  się  z a m i a n ę  zmiennych  według  wzorów 

(3.1)  qm  =  Acos((p+ip),  qm  =  ­AAmsm(<p+y),  cp  = Q 

i  przekształca  r ó w n a n i a  (2.8)  do  postaci 

(3.2)  A =  XR+XF,  4> =  YR + YF,  Q =  ZR, 

gdzie  A,W,Q  oznaczają  nowe  zmienne, 

6 

x  ­  £  V 
X r  ~  мтк Z 

J = I 

0j m ) P J sin(c) + y
/ ) , 

1=1 

zR 

XF = 

Pl, 

j.k=i 

\  

AM, 
­ — c o s ^ + f )  У ф у »ЬлХк. 
|Z.,„  — 1 

Л * ­1 

Z  członów  oznaczonych  indeksem  R należy  oddzielić  wibracyjne  składniki.  Płynnie  zmie­
niają ce  się  wielkoś ci  A,W,Qi<p  oznaczono  indeksem p, a wielkoś ci  A, W, Q i q>  uwzglę d­
niają ce  wpływ  losowych  oddziaływań  —  gwiazdką.  Po odrzuceniu  z członówX R ,  YRi  ZR 
wibracyjnych  składników  analogicznie jak w pracy  [4] otrzymuje  się  r ó w n a n i a 

Ap  =  X*B(Ap,Vp,Qp,e), 

(3­3)  Ą =  Y*(A„Wp,Qp,e), 

4  =   ZR(AP,  Wp, Q„, e), 

natomiast  r ó w n a n i a  uwzglę dniają ce  wpływ  stochastycznych  wymuszeń  przyjmują  p o s t a ć  

e 
Ax  =  Х £(АХ,  Wx, Qx, e ) ­  C ^ s i n ^ ­ f ^ )  =  F'iA'.V,  Qx,  <px, ?,  e), 

(3.4)  #  =  YX(AX,  Vх,  Qx,  e) ­  ­  Ut)cos(<px + Wx)  =  GX(AX,  Wx, Qx,  <px, f, e), 

gdzie 

fr  =  Zi(Ax,  WX,QX,  e) =  HX(AX,  Wx, Qx, e), 

• 

6 



94  J.  KOLENDA 

X&AX,  WX,  QX,  e)  =  eX^(AX,  WX,  QX)  + e2X£2(A
X,  WX,  QX), 

Y^(AX,  VХ,  QX,  e)  =  B YXR1(A
X,  WX,  QX)  + e2YX2(A

X,  VХ,  0Х), 

ZX(AX,  Vх,  Qx,  e)  =  eZXR1(A
X,  Vх,  Q^  + e ^ ^ ,  Vх,  Щ  

Funkcje  XRl,  XR2,  ZR2  okreś lone  są zależ noś ciami  (3.6)  w pracy  [4],  przy  czym  w
x  = 

=  Qx. 

Przy  małych  z założ enia  wartoś ciach  realizacji  procesów  Xk(t)  odchylenia 

(3.5)  6A  =  A X ­ A „  dW =W*­Wp>  УQ=Q
X­QP 

są'  małe.  Ograniczając  się  zatem  do  liniowych  członów  rozkładów  według  p o t ę g  odchy­

leń  (3.5)  otrzymuje  się  na podstawie  (3.3)  —  (3.5). 

6A  =  FX(AP,  WP,  QP,  <pp,  C,  e)­X&AP,  Ґ„  QP,  e)+  УA­£f­(AP,  W„ Q„, e) + 

fiyx flyx 

+  д Ч *Щ (Ар,  Ґp,  Q„,  ś )+dQ^(Ap,  V„  Qt, 

УW  =  GX(AP,  WP,  QP,  <pp,  e)­Y
X(AP,  Ґ„  Q„  Ё )+д А ^­(Ар,  W„  Q„  e)  + 

(3.6) 

Я у х  a y x 

+  #Р ­щ (А „  Y„  Q„  e) + 6Q^(Ap,  Yp,  Qp,  e), 

Л у х  

6Q  =  HX(AP,  fp,  Qp,  e)­Z
x(Ap,  Y„,  Qp,  e)+dA^­(Ap,  Yp,Qp,  e) + 

+  ЬҐЩ {А р ,  Yp,  Qp,  e) + № Щ (А „  Yp,  Q„ e). 

Wielkoś ci  Ap,  YP,QP  są rozwią zaniami  r ó w n a ń  (3.3),  przy  czym  <pp =  Qpt. 

W  analizowanym  przypadku  r ó w n a n i a  (3.6)  przedstawić  m o ż na  w postaci 
3 

(3.7) 

gdzie 

Yj (0  +  %  ajn  Yn(t)  ш Zj (t),  j=  1,2,3, 
n = l 

Ydt)  = 6A, 

[ajn]  = 

ZAO  = 

z 2 ( 0  = 

z 3 ( 0  = o. 

Y2(t)  =  oY,  Y3(t)=6Q, 
i 

8X1 

8AP 

8Y& 

8AP 

8ZXR 
8A„ 

8YP 

Щ  
3YP  8QP 

8QP 

s n 

8QP 

8ZS 

• 

•   •  

1 

2Mnlmi 

1 

2APMMXM 

C(f)  [el(°'l+v*>  ­e­'W+yp)], 

£(0  ^W+^+e­W+ifr)], 



NIELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  95 

Ograniczono^  się do  wyznaczenia  rozwią zań  szczególnych  Yj(t) spełniają cych  zerowe 

warunki  począ tkowe,  gdyż  w  celu  otrzymania  rozwią zania  ogólnego  u k ł a d u  (3.7)  wystarczy 

d o d a ć  do  Yj(t) rozwią zanie  ogólne  u k ł a d u  r ó w n a ń  jednorodnych,  k t ó r e  dla dostatecznie 

długiego  czasu  t  dzię ki  istnieniu  tłumienia  m o ż na  z a n i e d b a ć . 

Wyraż ając  proces  C(0  przez  jego  rozkład  widmowy 

r  •  

i 
gdzie  ф (т )  oznacza  funkcję  losową,  której  róż niczki  spełniają  warunek 

» 

i  (о ф *(а >)а 'ф (с а1У >  =  S(C,to)d(co —  co1)da)dw1, 

m o ż na  napisa ć  

.  00 

Z t ( r )  ш ­
  1  —  Г  [^1+^~е ­,^'1+^]е,шЧ ф ((и ), 

2Mm  /,„ i  J 
— 00 

(3.8) 

1  f 
ZApMnAm  * 

^  —00 

przy  czym  <  > oznacza  wartość  oczekiwaną,  0х(с о) —  zespoloną  funkcję  sprzę ż oną  z </>(«), 
,S(C,  w)  —  gę stość  widmową  procesu  £(r),  <5 —  funkcję  delta  Diraca.  Funkcja  korelacyjna 
procesu  £(r) wyraża  się  zależ noś cią  

• 

6  6  6 
(3.9)  K;(r)  =  £  [Ф Г ьд]

2кХ к(т )+  X  ф ?%  У  0 { 4 , r [ ^ , r C t ) +  j ? V r ( ­ . r ) ] 
j,k=l  j.k=l  l.r­i 

1т Ф )к  
gdzie  KXk  jest  funkcją  korelacyjną  procesu  Xk(t)t  R V r  —  funkcją  korelacji  wzajemnej 

procesów  Xk{t)  i Xr(t).  Gę stość  widmowa  procesu  f (r)  zwią zana  jest z funkcją  korelacyjną  

Kr(v)  relacją  
CO 

(3.10)  S ( £ e o )  =  4­  Г  4r)e­^dt. 

Rozwią zania  szczególne  odpowiadają ce  funkcjom  (3.8)  mogą  być  przedstawione w postaci 

( З . П)  Yj(t)  =  J  � i (co, 0 # H ,  ;  =  1,  2, 3, 

gdzie  j / c o ,  i)  są  rozwią zaniami  szczególnymi  u k ł a d u  liniowych  r ó w n a ń  róż niczkowych 

:  ..  .  л  .,.  3  '.  :  •  '  . . . . i •  I  .'/,>' 

3 

(3.12)  j 2 +  £ a 2 n y n  =  ­  ^.­^­j­  e
im,[eWr,4e­>W+vJ], 

J 3 + 2 " ^ j n  =  o. 

\  
: 



96  J ­ KOLENDA 

R o z w i ą z a n ia  yj(a>, t)  m a j ą  z a t e m  p o s t a ć  

( 3 . 1 3 )  yjfco,  t)  =  Aj(a))e'^+a»V  +В}(ш )е
1(­Ш­^',  j  =  1 , 2 , 3 , 

p r z y  c z y m  w s p ó ł c z y n n i k i  Aj(co)  i  Bj(co)  o t r z y m u j e  s i ę  z  r ó w n a ń  ( 3 . 1 2 )  p o  p o d s t a w i e n i u 
d o  n i c h  ( 3 . 1 3 ) .  D l a  r o z w i ą z ań  s z c z e g ó l n y c h  Yj(t)  o t r z y m u j e  s i ę  z  u w z g l ę d n i e n i em  ( 3 . 1 1 ) 

i  ( 3 . 1 3 )  r o z k ł a d  w i d m o w y 

CO 

( 3 . 1 4 )  У /0  =  J  [A&mYWMf  В}(р У 1
ш­а'*Щ {а >), 

— co 

z a  p o m o c ą  k t ó r e g o  k o r z y s t a j ą c  z  w ł a s n o ś ci  r ó ż n i c z ek  с 1ф (о >)  w y z n a c z a  s i ę  f u n k c j e  k o r e ­

l a c y j n e  i  w a r i a n c j e  r o z w i ą z ań  ,  •' 

00 

( 3 . 1 5 )  Kyjit^ti)  =  e"W'i­<*)  f  ^ ( c o ) ^ ( c y ) e ' < n ( ' » ­ ' ' ) S ' ( ? , a ) ) r f c o  + 

— 00 

CO 

+ е ­ В Д ­ '0  J   [ Б / ( с о ) 5 Д а ) ) е 'ш ( ' > ­ ' ' ) 5 ( ^ ш ) Л и, 
­со  

00  00 

( 3 . 1 6 )  ^ 2 [ ł j ( 0 J =  J [Aj((o)]2S(C,(o)dco+  J  [Bj(w)}2S(C,(o)da>. 
'  —CO  —CO 

Aj(w)  i  В / ( c o)  s ą  z e s p o l o n y m i  f u n k c j a m i  s p r z ę ż o n y mi  o d p o w i e d n i o  z  Aj  (od)  i  .8,­(co). 

N a l e ż y  z a z n a c z y ć ,  ż e  y , ( r ) s ą  f u n k c j a m i  s t a c j o n a r n y m i  w  s z e r s z y m  s e n s i e ,  g d y ż  i c h  f u n k c j e 

k o r e l a c y j n e  z a l e ż ą  o d  r ó ż n i cy  t2  — ? i ,  a  w a r t o ś ci  o c z e k i w a n e  p r z y  z a ł o ż e n iu 

( 3 . 1 7 )  <c(0> =  o 

s ą  r ó w n e  z e r u .  O z n a c z a  t o ,  ż e  w  t y m  p r z y p a d k u 

( 3 ­ 1 8 )  (А *У  =  A p ,  <y*>  =  YP,  <^
x>  =  Qr­

D l a  s t a n ó w  u s t a l o n y c h  i  b l i s k i c h  u s t a l o n y m  w i e l k o ś ci  АР,Ч *Р\  Qp  s ą  r o z w i ą z a n i a mi  r ó w n a ń  

0 =  eX*R1 (Ap, Wp, Qp) + e*XR2 (Ap, Wp,  Qp), 

( 3 . 1 9 )  0  =  sYRl(Ap,  yp,Qp)  +  e
2Yl2(Ap,4'p,Qp), 

0  =  eZR1(Ap,  Wp,Qp) + e
2ZR2(Ap,  WP,QP). 

W  c e l u  w y z n a c z e n i a  d y s y p a c j i  e n e r g i i  w  u k ł a d z i e  z a w i e s z e n i a  s i l n i k a  m o ż na  z g o d n i e 

z  p o s t a c i ą  f u n k c j i  P1  [3]  n a p i s a ć  

( 3 . 2 0 )  eZR1(Ap,^p,Qp)  + e
2ZxR2(Ap,^p,Qp)  = 1  [crT(Qp)­B(Qp)­hQp­(AM)0), 

g d z i e  r  o z n a c z a  d ł u g o ś ć  r a m i e n i a  k o r b y ,  T(Qp)  —  ś r e d n ią  w a r t o ś ć  s i ł y  g a z o w e j  d z i a ł a j ą c ej 

p r o s t o p a d l e  d o  j e d n e g o  w y k o r b i e n i a  n a  p r o m i e n i u  r,  B(QP)  —  ś r e d n ią  w a r t o ś ć  m o m e n t u 

o p o r o w e g o  o d b i o r n i k a  m o c y  ( n a  s p r z ę g le  s i l n i k a ) ,  (AM)0  —  s t a ł y  s k ł a d n i k  d o d a t k o w e g o 

m o m e n t u  o p o r o w e g o  n a  w a l e  s i l n i k a  ( w y w o ł a n e g o  d r g a n i a m i  m a s y  m).  P r z y  z a ł o ż e n iu  ( 3 . 1 7 ) 

w a r t o ś ć  o c z e k i w a n a  s t r a t y  m o c y  s i l n i k a ,  o d p o w i a d a j ą c ej  d y s y p a c j i  e n e r g i i  w  u k ł a d z i e 

z a w i e s z e n i a  s i l n i k a ,  w y n o s i 

( 3 . 2 1 )  < ( Л Л 90 >  =  (AM)0QP. 



NIELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  97 

4.  Uwagi  koń cowe 

Wyznaczone  rozwią zania  dotyczą  kinematycznych  wymuszeń  bę dą cych  stacjonarnymi 

procesami  stochastycznymi.  W  przypadku,  gdy wymuszenia  ruchu  pojazdu  są niestacjo­

narnymi  funkcjami  losowymi,  które  mogą  być  przedstawione  w postaci  iloczynu  stacjo­

narnej  funkcji  losowej  i  współczynnika  bę dą cego  funkcją  czasu,  zagadnienie  może  być  

rozwią zane  podobnie  [5].  Metoda  zastosowana w niniejszej  pracy  może  być  przydatna do 

analizy  d r g a ń  silników  również  przy  innych  wymuszeniach  stochastycznych  (np.  roz­

patrywanych  w pracy  [4]),  losowych  zaburzeniach  charakterystyk  u k ł a d u  itp.,  przy  czym 

dla  uzyskania  należ ytej  dokładnoś ci obliczeń  winny  być  spełnione  warunki 

6A  < A„  dW  <  Wt,  Ш <  Qp. 

Metoda  ta  może  okazać  się  zatem  zbyt  mało  d o k ł a d n a  przy  intensywnych  losowych  za­

burzeniach  ruchu  pojazdu,  co  czę sto  ma  miejsce  np.  w warunkach  transportu  morskiego. 

D o  analizy  wpływu  duż ych  kołysań  statku  na nieliniowe  drgania  silników  celowe  może 

być  zastosowanie  maszyny  analogowej  w  oparciu  o  stochastyczny  analogowy  model 

falowania  morza  [6]  i znajomość  funkcji  przenoszenia  k a d ł u b a  statku [7]. 

Literatura  cytowana  w tekś cie 

1.  M .  3.  К о л о в с к и й,  В ы н у ж д е н н ы е  к о л е б а н и я  а м о р т и з и р о в а н н о г о  о б ъ е к т а  п р и с л у ч а й н ы х  в о з д е й ­
с т в и я х ,  И з в.  АН С С С Р,  О Т Н,  М е х а н и ка  и  М а ш и н о с т р о е н и е,  1 (1963). 

2.  Р.  Л .  С Т Р А Т О Н О В И Ч,  И з б р а н н ы е  в о п р о с ы  т е о р и и  ф л ю к т у а ц и и  в р а д и о т е х н и к е ,  И з д.  С о в.  Р а д и о, 
М о с к ва  1961. 

3.  J.  KOLENDA, Nieliniowe drgania elastycznie posadowionych  silnikуw  tłokowych  z cylindrami  w  układzie V, 
Mech. Teor. i Stos., 4, 13  (1975). 

4.  J.  KOLENDA,  Nieliniowe  drgania  elastyczne  posadowionych  silnikуw  tłokowych  przy  szerokopasmowych 
wymuszeniach stochastycznych,  Mech. Teor. i Stos. 3, 14 (1976). 

5.  A.  A.  SWIESZNIKOW, Podstawowe metody funkcji losowych,  PWN,  Warszawa 1965. 
6.  M .  KOSTECKI, Stochastyczny analogowy model falowania morza, Zeszyty Naukowe Politechniki Gdań skiej, 

Budownictwo Okrę towe  XXI,  196  (1973). 
7.  A .  M .  Б А С И Н,  К а ч к а  с у д о в ,  И з д.  Т р а н с п о р т,  М о с к ва  1969. 

Р е з ю ме  

Н Е Л И Н Е Й Н ЫЕ  К О Л Е Б А Н ИЯ  У П Р У ГО  П О Д В Е Ш Е Н Н ЫХ  П О Р Ш Н Е В ЫХ  
Д В И Г А Т Е Л ЕЙ  П РИ  С Л У Ч А Й Н ЫХ  К И Н Е М А Т И Ч Е С К ИХ  В О З Б У Ж Д Е Н И ЯХ  

В р а б о те р а с с м а т р и в а ю т ся н е л и н е й н ые о д и о ч а с т о т н ые к о л е б а н ия а м о р т и з и р о в а н н ых  п о р ш н е в ых  
д в и г а т е л ей  с ш е с т ью  с т е п е н я ми  с в о б о д ы,  у с т а н о в л е н н ых  на  с р е д с т в ах  т р а н с п о р та  и  в о з м у щ а е м ых  
с л у ч а й н ы ми  н е р о в н о с т я ми  д о р о г и.  У г л о в ая  с к о р о с ть  д в и г а т е ля  с ч и т а е т ся  п е р е м е н н ой  в е л и ч и н о й. 
П ри  п о м о щи  м е т о да  л и н е а р и з а ц ии  о п р е д е л я ю т ся  к о р р е л я ц и о н н ые  ф у н к ц ии и д и с п е р с ии  п р и р а щ е­
н ий  а м п л и т у ды  к о л е б а н и й,  ф а з о в о го  у г ла  и у г л о в ой  с к о р о с ти  д в и г а т е л я,  в ы з в а н н ых  с л у ч а й н ы ми  
д в и ж е н и я ми  т р а н с п о р т н о го  с р е д с т в а. 

7  Mechanika  Teoretyczna  1/77 



98  J .  KOLENDA 

i 

S u m m a r y 

NONLINEAR  VIBRATIONS  OF ELASTICALLY  SUSPENDED  PISTON  ENGINES  AT  KINEMATIC 
STOCHASTIC  EXCITATIONS 

The  paper deals with nonlinear one­frequency  vibrations of piston engines with six degrees of freedom, 
elastically  mounted  on transport means and randomly excited  in consequence of an uneven road surface. 
Rotation velocity  of the engine is treated as a variable. The correlation functions  and dispersions  of incre­
ments of vibration amplitude, phase angle and angular velocity of the engine, resulting from random move­
ments of a vehicle,  are derived by means of the  linearization method. 

INSTYTUT  OKRĘ TOWY 
POLITECHNIKA  GDAŃ SKA 

Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  5  kwietnia  1976  r.