Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf


\  

M E C H A N I K A 
TEORETYCZNA 
I  STOSOWANA 

1,  15 (1977) 

•  \  

OKREŚ LENIE  NIEUSTALONEGO  POLA  TEMPERATURY  W  Ś CIANCE  PŁASKIEJ  PRZY 
ZMIENNYM  WSPÓŁCZYNNIKU  PRZEWODNICTWA  CIEPLNEGO 

i 
KAZIMIERZ  R U P ,  J A N  T A L E R  ( K R A K Ó W ) 

1.  Wstęp 

Obecnie  wię kszość  zagadnień  przewodnictwa  cieplnego  analizuje  się  przy  pomocy 

metod  przybliż onych.  Zastosowana  w  pracy metoda  bilansu  cieplnego  [1], jest  obok  metod 
wariacyjnych  [2,  3,  4,  5]  jedną  z  najbardziej  uniwersalnych  analitycznych  metod  przybli­

ż onych  rozwią zywania,  z a r ó w n o  liniowych,  jak  i  nieliniowych  r ó w n a ń  róż niczkowych 

przewodzenia  ciepła.  Rozwią zanie  problemu  wymienionego  w  tytule  przeprowadzono 

w  dwóch  etapach:  najpierw  okreś lono  pole  temperatury  w  ś ciance  przy  założ eniu  stałego 

współczynnika  przewodnictwa  cieplnego  przy  pomocy  metody  bilansu  cieplnego,  a  na­

stę pnie  wykorzystując  metodę  linearyzacji  optymalnej  [6]  uwzglę dniono  zależ ność  współ­

czynnika  przewodnictwa  cieplnego  od  temperatury.  Rozwią zania  tego  problemu  m o ż na 

o t r z y m a ć  stosując  metodę  bilansu  cieplnego  i  wykorzystując  transformację  [1] 

t 

(1.1)  0 ( 0  =  fcQdt, 
o 

2,4  Y  3,0  wią zanie  otrzymane  w  pracy 

X 



22  К .  RUP,  J.  TALER 

gdzie  с —  ciepło  właś ciwe,  Q—gę stoś ć ,  t —  temperatura,  lub  transformację  Kirchhoffa 

i 

(1.2)  * ( 0  =  ^ ­ J A ( 0 * . 

gdzie  1 —  współczynnik  przewodnictwa  cieplnego. 

Sposób  okreś lania  nieustalonego  pola  temperatury  zastosowany  w  niniejszej  pracy 

jest  nieco  dokładniejszy  od  metody  bilansu  cieplnego  z  wykorzystaniem  transformacji 

(1.1)  [1],  co  przedstawiono  na  rys.  1.  Ponadto  sposób  ten  m o ż na  zastosować  w  przy­

padku  konwekcyjnej  wymiany  ciepła  na  powierzchni  ciała,  tj.  dla  w a r u n k ó w  granicz­

nych  III  rodzaju,  przy  współczynniku  przewodnictwa  cieplnego  zależ nym  od  temperatury. 

Wykorzystanie  metody  bilansu  cieplnego  w  tym  przypadku  jest  niemoż liwe  ze  wzglę du 

na  nieodpowiedniość  transformacji  (1.1)  i  (1.2),  co  przedstawiono  w  pracy  [7]. 

Oznaczenia 

a  = 
X 

CQ 
współczynnik  wyrównania  temperatury, 

ao,  a i ,  a2  stałe, 
bo,  bi ,b2  stałe, 

с   ciepło  właś ciwe, 

Fo  = 
ar 

u 
liczba  Fouriera, 

L  grubość  płyty, 
t  temperatura, 

to  temperatura  powierzchni, 

tp  temperatura  począ tkowa, 
u  temperatura  powierzchni  izolowanej, 
X  współrzę dna, 
a  stała, 
6  głę bokość  wnikania  ciepła, 
X  współczynnik  przewodnictwa cieplnego, 
Q  gę stość  
T  czas. 

2.  Charakterystyka  metody  bilansu  cieplnego  i  metody  linearyzacji optymalnej 

Metoda  bilansu  cieplnego  wykorzystuje  poję cie  głę bokoś ci  wnikania  ciepła  <5(т)  (głę­

bokoś ci  penetracji),  k t ó r ą  m o ż na  okreś lić  jako  najwię kszą  odległość  na  j a k ą  w  danym 

czasie  wnika  ciepło  tzn.  w  odległoś ci  х  ^  <5(т)  od  powierzchni  ciała  t e m p e r a t u r ę  m o ż na 

w  przybliż eniu  przyjąć  równą  temperaturze  począ tkowej  i  ciepło  nie  jest  przekazywane 

na  odległość  wię kszą  niż  <5(r).  Poję cie  głę bokoś ci  wnikania  ciepła  zostało  pierwszy  raz 

wprowadzone  przez  BIOTA  [5],  a  także  szeroko  wykorzystywane  w  metodach  wariacyjnych 

innych  a u t o r ó w  np.  VUJANOVICA  [2]  oraz  LEBONA­LAMBERMONTA  [4].  W  metodzie  bilansu 

cieplnego  rozpatrywane  są  dwie  fazy  wnikania  ciepła.  W  pierwszej  fazie  wnikania  ciepła 

głę bokość  penetracji jest  mniejsza  od  gruboś ci  ciała  (płyty).  W  drugiej  fazie  «front»  ciepła 

osią ga  przeciwległą  ś cianę  ciała,  której  temperatura  ulega  wówczas  zmianie. 



OKREŚ LENIE  NIEUSTALONEGO  POLA  TEMPERATURY  23 

Punktem  wyjś ciowym  prowadzą cym  do  całki  bilansu  cieplnego  jest  r ó w n a n i e  prze­

wodnictwa  cieplnego: 

(2.1) 
dt  d2t 

~6т ~ 

gdzie  r  — czas,  a =  • współczynnik  wyrównania  temperatury,  x —  współrzę dna. 
CQ 

Nastę pnie  całkując  równanie  (2.1)  w granicach  od 0 do e(r) otrzymuje  się  

(2.2) 
dt  ,  , dt 

cq  l  ­^—dx  =   A 
dr  д х   ~4r 

х =6(т )  OX 
x=0 

Uwzglę dniając  reguły  róż niczkowania  całki  po parametrze  (reguła  Leibniza)  przekształ­

cona  zostanie  lewa  strona  r ó w n a n i a  (2.1),  k t ó r a  przyjmuje  p o s t a ć  

K.T) 

(2.3)  CQ 
dr  д х  Х =д (т ) 

dt_ 
д х  л =0 

Ponieważ  w pierwszej  fazie  wnikania  ciepła 

.  dt  ' 
д х  

0 

(co  wynika  z  definicji  głę bokoś ci  wnikania  ciepła), 

oraz 

Щ т ),  r] = t„ 

(również  z  definicji  głę bokoś ci  wnikania  ciepła), 

to  równanie  bilansu  ciepła  ma  postać  

(2.4) 

gdzie 

^ ' ­ C ^ ( * ) ] = ­ A ­ ^ 
.=o 

0,  =  CQ /  Udx,  dla  0 <  ó ( 0  «S L, 

•  

tp  — temperatura  począ tkowa  ciała. 
W  drugiej  fazie  wnikania  ciepła  głę bokość  penetracji  jest  r ó w n a  gruboś ci  ś cianki 

tj.  <5(T)  = L i  wówczas  równanie  bilansu  po uwzglę dnieniu  faktu,  że t(x, t)f­_ £  =  ы (т) 
wynika  z  r ó w n a n i a  (2.3)  i  ma  p o s t a ć  

(2.5) 

gdzie 

dOu 
dr  д х  x=L  OX  x=0 

u{r)—  temperatura  przeciwległej  ś cianki. 



24  К .  RUP,  J . TALER 
/  

Nastę pnie  scharakteryzowana  zostanie  metoda  optymalizacji  linearnej,  zastosowana 

do  równań  przewodnictwa  cieplnego  przez  VUJANOVICA [6]. 
W  przypadku  gdy  współczynnik  przewodnictwa  cieplnego  zmienia  się z  temperaturą  

pole  temperatury  opisuje  równanie 

(2.6)  CQ 
_dt_ 

5 

д х   д х  

W  metodzie  linearyzacji  optymalnej  rozważa  się równanie  liniowe,  które  «optymalnie» 
linearyzuje  równanie  (2.6): 

(2.7)  CQ 
dt_ 

dr 

a2t 

д х2 

gdzie  y>  jest  parametrem  nastawialnym,  dobieranym  w ten  sposób,  aby równanie  (2.7) 
a p r o k s y m o w a ł o  równanie  (2.6) w  sposób  optymalny. 

Wartość  y>opt  r ó w n a się  

(2.8) 

gdzie 

V o p t  =  

B+C 

A  = 

(2.9)  В  = 

С  = 

/  f  [д х2 

' o  ­*0  

• o *0 

T l  Xi 

dxdr, 

dt 

д х  
dxdv, 

dxdr, 

gdzie 

(2.10)  A'(0 = 
dX(t) 

dt 

Przedziały  całkowania  zależą  od rozważ anego  problemu.  Dokładny  opis  metody  m o ż na 

znaleźć  w pracy [6]. 

3.  Okreś lenie pola  temperatury 

Przedmiotem  niniejszej  pracy  jest  okreś lenie  pola  temperatury  w  ś ciance  płaskiej 

przy  nastę pują cych  warunkach  brzegowych: 

(3.1)  t(x, r)\x=Q  =  t0,  T 0 > 0 

,  t(x,r) 
(3.2) 

д х  
=  0 , 



OKREŚ LENIE  NIEUSTALONEGO  POLA  TEMPERATURY  25 

gdzie  Я — współczynnik  przewodnoś ci  cieplnej  ś cianki  w  temperaturze  t,  L —  grubość  
ś cianki  oraz  warunku  począ tkowym 

(3.3)  t,  = 0. 

Współczynnik  przewodnictwa  cieplnego  materiału  ś cianki  okreś lony  jest  zwią zkiem 

(3.4)  Я = Я0 ( 1 + а ­

gdzie  а — stała,  t— temperatura  w rozpatrywanym  punkcie  ś cianki. 
Najpierw  przy  pomocy  metody  bilansu  cieplnego  okreś lono  pole  temperatury  przy 

założ eniu  A =  X0 =  const,  a  nastę pnie  wykorzystując  metodę  linearyzacji  optymalnej 
uwzglę dniono  zmienność  współczynnika  przewodnoś ci  cieplnej  od  temperatury. 

a)  Andliza  pola temperatury  przy X =  Я 0 =  const.  Pole  temperatury  aproksymowane 
zostanie  wielomianem  drugiego  stopnia: 

(3.5)  tt(x, r) = a0 +  a1x+a2x
2. 

Stałe  a0,ay  i  a2  wyznaczone  zostaną  z  (3.1)  oraz  z  w a r u n k ó w : 

(3.6)  / . ( * , т ) | _ , ­ = 0, 

(3.7)  Я 0
 8 h ( x >  T ) 

dx 
=  0 . 

x=d 

Zwią zki  (3.6)  i  (3.7)  wynikają  z  definicji  głę bokoś ci  wnikania  ciepła. 

Ostatecznie  po wstawieniu a0,  ax  i a2  do (3.5)  otrzymuje  się wyraż enie  okreś lają ce  tempe­
r a t u r ę  

(3.8)  ф ,  T) = Y 0 | j  ­ ­  j j  ,  0 <  x<  d, 

(3.9)  ф ,  x) =  0,  <5  <  L. 

R ó w n a n i e  róż niczkowe  dla  okreś lenia  д (т )  otrzymuje  się podstawiając  (3.8) do  (2.4) 

(3.10)  6 ^  =  6 a ­

P o  scałkowaniu  r ó w n a n i a  (3.10)  przy  warunku  począ tkowym  < 5 ( т ) |т =0  = 0 otrzymuje się  

(3.11)  д =  3,464 \/xa. 

W  drugiej  fazie  wnikania ciepła  pole  temperatury  również  aproksymowane  jest  wielo­

mianem  II  stopnia 

(3.12)  tn(x,  T) =  b0 + blx  +  b2x
2. 

Stałe  b0, bt  i b2  otrzymuje  się z  w a r u n k ó w  (3.1)  i  (3.2)  oraz  z  warunku 

t(x, r)\x=L  = u(x). 

P o  wstawieniu  wyznaczonych b0,  b± i b2  do (3.12)  otrzymuje  się  

(3.13)  tu(x,  T) =  ( f 0 ­ « ) | l  ­  ­ jj  +u,  F o >  F Q l . 



26  К .  RUP,  J . TALER 
/  \   ч  

•   / ' 

T e m p e r a t u r ę  и (т)  wyznacza  się  z  r ó w n a n i a  róż niczkowego  otrzymanego  przez  podsta­
wienie  (3.13)  do  (2.5): 

(3­14)  | U  _ ^ ­ [ M ( T ) _ , o ] ) 

z  k t ó r e g o  po  scałkowaniu  przy  warunku  począ tkowym  и ( т ) ]г = Г1  =  0  otrzymuje  się  
nastę pują cą  zależ ność  na  и ( т ): 

(3.15)  u{x)  =  M l ­ e ­ 3 ( F r P o i ) ] ,  F o  >  F 0 l . 

Czas  xy  wyznacza  się z  zwią zku  (3.11)  po  podstawieniu  д  =  L. 

.  .  .  1 
L i c z b a  Fouriera  odpowiadają ca  r ,  wynosi  F o x  =  — . 

b)  Analiza pola  temperatury  przy  A =  A 0 | l  +  a y ­ j .  Podstawiając  ti(x,  r)  do  za­

leż noś ci  (2.9)  i  całkując  odpowiednio  w  granicach:  x0  =  0,  xt  =  6(r)  i  r0  =  0,  r{  = 

=  т | л = г>  otrzymuje  się  

j4_ 

(12a)3 

8 A 0 a 

3 ( Щ ~3 (3­16)  *  = ?т т 4з 72
ф( т). 

"[•  ( 1 2 а )
3 ' 2  3 ( 1 2 а )3 / 2 

Ф (т ), 

gdzie 

Ti 
2 

to 

Po  podstawieniu  zależ noś ci  (3.16)  do  (2.8)  mamy: 

(3.17)  у о р. =  А о (1 + а ). 

Podstawiając  ^ o p ,  zamiast  A 0 do  zależ noś ci  (3.11),  zależ ność  okreś lają ca  pole  temperatury 

w  I  fazie  wnikania  ciepła  (3.8)  ma  postać  

/  x  \ 2 
h  =  t0  1 ­  ­j=  О ^х ^д , 

\  j / l 2 a ( l  +  a ) r / 
(3­18)  „ 

J  tt  =  0  ,  д  <  x  <  L . 
Przeprowadzając  analogiczne  rozważ ania  dla drugiej  fazy  wnikania ciepła  otrzymuje  się  

nastę pują ce  zależ noś ci : 

(3.19)  V V =  * ó ( l +  «) 

oraz 

(3.20)  tn(x,  r)  =  0 o ­ « ) ( l  ­  ^ )  +u,  F o  ^  F o 1 ( 

gdzie 

(3.21)  u  =  ? 0 [ l ­ e ­
3 < l + a ) < F " ­ F » > > ] ,  Fo  3* F o , . 



OKREŚ LENIE  NIEUSTALONEGO  TOLA  TEMPERATURY  27 

1.0 
J_ 
to 
0,8 

0.6 

0,4 

0.2 

P 2 : 

\> 

\ 

,  w.. 
0,5 

\ \ 

\ 

\ 

"4 

~.0,5 
—  к  =  0,0 

0,5 
0,5 

4 
\ 

\ 

N 

•^&2^ 

0  0,2  0,4  0,6  0,8  JL  1,0 
L 

Rys.  2.  Rozkład  temperatury  w  ś ciance  płaskiej 
w  II  fazie  wnikania  ciepła  dla  róż nych  liczb 

Fouriera 

N a  rys. 1 i 2 przedstawione  zostały  zmiany  temperatury  odpowiednio  w I  i II  fazie  wni­
kania  ciepła  przy  współczynniku  przewodnictwa  cieplnego  zależ nym  od temperatury. 

N a  rys. 1  p o r ó w n a n o  otrzymane  wyniki  z  rozwią zaniem  d o k ł a d n y m  i  zależ noś cią  
G O O D M A N A  [1] 

t  Г  Y  13 

(3.22) 
to  I  ]/6(l  + a)J  ' 

gdzie 

Y  = 
x  1 

2  \/ar' 

Zależ ność  (3.22) otrzymano  wykorzystując  transformację  (1.1)  i aproksymując  pole tempe­
ratury  wielomianem  3  stopnia 

gdzie 

• #0  =  j' cc>dt 
o 

i  stosując  dalej  do  przetransformowanego  r ó w n a n i a  róż niczkowego  (2.1) 

5  I 

metodę  bilansu  cieplnego  identyczną  jak  w przypadku  r ó w n a n i a  (2.1). 

4.  Wnioski 

Zastosowanie  metody  bilansu  cieplnego  i  nastę pnie  metody  linearyzacji  optymalnej 

pozwala  na  łatwe,  przybliż one  rozwią zanie  nieliniowego  r ó w n a n i a  przewodnictwa  ciepl­

nego.  Zaletą  metody  'est  stosunkowo  duża  łatwość  rozwią zania  nieliniowych  zagadnień  



28  К .  RUP,  J .  TALER 

przewodnictwa  cieplnego  w  p o r ó w n a n i u  z  metodami  wariacyjnymi.  D o k ł a d n o ś ć  aproksy­

macji  rozwią zania  ś cisłego  wzrasta  wraz  ze  wzrostem  а  а  więc  przeciwnie  niż  w  rozwią­

zaniu  T.  R .  Goodmana  [1]. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  T.  R.  GOODMAN,  Application  of  Integral  Methods  to  Transient  Nonlinear  Meat  Transfer,  Vol.  1,  1964. 
2.  B.  VUJANOVIC,  A  Variational  Principle  for  Non­Conservative  Dynamical  Systems,  Z A M M ,  55  (1975). 
3.  B.  KRAJEWSKI,  On  a direct variational method for  nonlinear heat transfer,  Inter. J . Heat and  Mass Tran­

sfer, 4,  18  (1975). 

4.  G . LEBON,  J . CASAS­VAZQUEZ,  Lagrangian  formulation  of  unsteady  non­linear  heat  transfer  problems, 
J .  Engin.  Math.,  1,  8  (1974). 

5.  M . А.  В ю т,  New  methods  in heat flow analysis with application  to flight structures,  J. Aeronaut.  Sci.,  24 
(1957).  ' 

6.  B.  VUJANOVIC,  Application  of  the  optimal linearization method to  the heat transfer problem,  Inter. J . Heat 
and  Mass  Transfer,  6,  16  (1973). 

7.  E.  M .  KOOPMAN,  R.  N .  SPARROW,  Heat  transfer  in reactor  components having temperature — dependent 
thermal  conductivity,  Nuclear  Sci.  and  Engin.,  3,  42  (1970). 

Р е з ю ме  

О П Р Е Д Е Л Е Н ИЕ  Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О ГО  Т Е М П Е Р А Т У Р Н О ГО  П О ЛЯ  В  П Л О С К ОЙ  
С Т Е Н КЕ  С  П Е Р Е М Е Н Н ЫМ  К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т ОМ  Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С ТИ  

П р и м е н яя  п о ­о ч е р е д но  и н т е г р а л ь н ый  м е т од  т е п л о в о го  б а л а н са  и  м е т од  о п т и м а л ь н ой  л и н е а р и­
з а ц и и,  п о л у ч е но  п р и б л и ж е н н ое  р а с п р е д е л е н ие  т е м п е р а т у ры  в  п л о с к ой  с т е н ке  в  д в ух  ф а з ах  п р о­
н и к а н ия  т е п л а,  п ри  к о э ф ф и ц и е н те  т е п л о п р о в о д н о с т и,  л и н е й но  з а в и с я щ им  от  т е м п е р а т у р ы.  П о л у­
ч е н н ые  р е з у л ь т а ты  у д о в л е т в о р и т е л ь но  а п р о к с и м и р у ют  т о ч н ые  р е ш е н и я. 

S u m m a r y 

DETERMINATION  OF TRANSIENT  T E M P E R A T U R E  FIELDS  IN  PLANE WALLS OF VARIABLE 
T H E R M A L  CONDUCTIVITY 

Applying  successively  the  heat  balance  integral  method  and  the  optimal  linearization  method,  the 
transient  temperature distribution  is  determined  in  a  plane  wall  with linear  dependence  of  thermal con­
ductivity  on  temperature,  in  two  phases  of  heat  penetration.  The  results  obtained  approximate  fairly 
well  the  exact  solutions. 

INSTYTUT  APARATURY  PRZEMYSŁOWEJ 
I  ENERGETYKI 

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  13  lutego  1976  r. 

I