Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1, 15  (1977)  OBLICZANIE  CHARAKTERYSTYKI  DYNAMICZNEJ  KONSTRUKCJI  PŁYTOWO­SPRĘ Ż YNOWEJ  ZA POMOCĄ  M E T O D Y  SZTYWNYCH  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH* >  JERZY  S T E L M A R C Z Y K  (ŁÓDŹ)  1.  Wstęp  ,  Wzrost  mocy  jednostkowych  i  szybkobież noś ci  maszyn  s p o w o d o w a ł  konieczność   dokładniejszej  znajomoś ci  cech  dynamicznych  układów  podpierają cych  maszyny,  trakto­ wanych  dotychczas  jako  idealnie  sztywne.  Własnoś ci  dynamiczne  podparcia  zawiera  jego  charakterystyka — macierz  dyna­ miczna,  której  elementy­receptancje  są  to  wielkoś ci  okreś lają ce,  dla  widma  czę stoś ci,  stosunek  przemieszczeń  p u n k t ó w  podparcia  wywołanych  harmonicznymi  siłami  wy­ muszają cymi  do tych  sił,  przy  założ eniu  liniowoś ci  u k ł a d u  [2].  Receptancje  —  podatnoś ci  dynamiczne  podparcia  są  funkcjami  p a r a m e t r ó w  u k ł a d u  i  czę stoś ci  wymuszenia.  Podatne  podparcie  maszyny  m o ż na  podzielić  na  konstrukcję   podpierają cą  i  fundament.  Konstrukcję  podpierają cą  stanowią  elementy,  poprzez  k t ó r e  mocuje  się maszynę  na  fundamencie.  Mogą  to  być róż ne  elementy:  podkładki  izolują ce,  np.  gumowe,  sprę ż yny,  skomplikowane  układy  kratownic,  ram lub  płyty  podparte  sprę­ ż yś cie.  Konstrukcja  podpierają ca  stanowi  czę sto  układ  cią gły,  masowy,  anizotropowy,  za­ wierają cy  tłumienie.  M o ż na  tu  przytoczyć  przykład  mocowania  silnika  napę dowego  na  statku,  gdzie  konstrukcję 'podpierają cą  stanowi  płyta  lub  konstrukcja  spawana  z  kształ­ towników  i  zespół  elementów  sprę ż ystych.  Podobne  konstrukcje  podpierają ce  stoso­ wane  są  też dla  maszyn  energetycznych.  Konstrukcja  podpierają ca  izoluje  drgania  maszyny  od  podłoża  i  jednocześ nie  mody­ fikuje  wartoś ci  czę stoś ci  rezonansowych  układu  maszyna­podparcie.  Okreś lenie  cha­ rakterystyki  dynamicznej  konstrukcji  podpierają cej  pozwala  na  okreś lenie  stanu  dyna­ micznego  układu  i  stanowi  jeden  z  głównych  p r o b l e m ó w  dla konstruktora.  Charaktery­ stykę  dynamiczną  konstrukcji  m o ż na  uzyskać  w wyniku  obliczeń  i b a d a ń  d o ś w i a d c z a l n y ch  Okreś lenie  charakterystyki  dynamicznej  w  wyniku  eksperymentu  musi  być przepro­ wadzone  na  obiekcie  rzeczywistym  i  pozwala  stwierdzić  w jaki  sposób  bę dzie  się zacho­ wywał  j u ż wykonany  układ.  W  przypadku,  gdy szkodliwe  efekty  dynamiczne  są  wyż sze  od  dopuszczalnych,  wykonanie  poprawek  na  obiekcie  rzeczywistym  jest  ż m u d ne  i ko­ sztowne.  Jednakż e,  prowadząc  badania  wielu  konstrukcji  podpierają cych  i  katalogując  ich  charakterystyki  dynamiczne,  konstruktor,  w  fazie  projektowania,  może  d o b r a ć kon­ *'  Praca nagrodzona na konkursie na prace z mechaniki teoretycznej i stosowanej,  zorganizowanym  przez  Łódzki  Oddział  PTMTS  w  1975 r.  58  J.  STELMARCZYK  strukcję  podpierają cą,  zapewniają cą  właś ciwą  pracę  układu.  W duż ej  liczbie  p r z y p a d k ó w  konstrukcji jest to  jedyna  moż liwoś ć,  ponieważ  matematyczny model  obliczeniowy,  z uwagi  na  wierność  odtworzenia  u k ł a d u  rzeczywistego,  uniemoż liwi  obliczenie  charakterystyki  lub  bę dzie  modelem  uproszczonym,  wnoszą cym  znaczne  błę dy.  Klasyczne  metody  obliczeniowe  z zadowalają cą  dokładnoś cią  pozwalają  na  okreś lenie  charakterystyk  dynamicznych  w  stosunkowo  prostych  przypadkach  konstrukcji,  tzn.  wtedy,  gdy  mamy  do  czynienia  z  konstrukcjami  podpierają cymi,  dla  których  oblicze­ niowy  dyskretny  układ  zastę pczy  dobrze  odtwarza  układ  rzeczywisty.  Duże  nadzieje  w  dziedzinie  obliczeń  charakterystyk  dynamicznych  złoż onych  kon­ strukcji  prę towych  i  płytowych  rokuje  metoda  elementów  skoń czonych  [1, 3, 4,  7, 9],  w  szczególnoś ci  metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  [6], j e d n a k ż e  stosowanie  ich  do  obliczeń  zwią zane  jest  z  maszynami  cyfrowymi  o  bardzo  duż ych  pojemnoś ciach  pamię ci  i  szybkoś ciach  obliczeń.  Poza  tym, stosowanie  tych  metod  w  zagadnieniach  dynamicznych  stanowi  dla  każ dej  konstrukcji  osobne,  skomplikowane  zadanie.  W  dalszej  czę ś ci  opracowania  wykonane  bę dą  obliczenia  charakterystyki  dynamicznej  konstrukcji  płytowo­sprę ż ynowej  przy  uż yciu  metody  sztywnych  elementów  skoń czonych  oraz  dokonana  zostanie  weryfikacja  tych  obliczeń  na  stanowisku  modelowym.  2.  Obliczenie  charakterystyki  dynamicznej konstrukcji  Analizowana  konstrukcja  (rys.  1) złoż ona  jest  z  płyty  podpartej  na czterech  płaskich  sprę ż ynach  mocowanych  do  fundamentu.  Poczynione  zostały  nastę pują ce  założ enia  upraszczają ce:  i s   .  777Z777777777  Rys.  1  l ' .  Brak  tłumienia  w  układzie,  2.  fundament,  do  którego  są  mocowane  sprę ż yny,  jest  sztywny,  3.  podparcie  płyty  przyję to  jako  punktowe,  4.  sprę ż yny  pracują  tylko  na zginanie  w płaszczyź nie  xt  x3.  U k ł a d  ten  m o ż na  przedstawić  schematycznie  (rys.  2),  jako  złoż ony  z  dwóch  p o d u k ł a ­ d ó w  —  płyty  В i sprę ż yn  C,  które  są scharakteryzowane  receptancjami  [/?] i  [у ].  Macierze  te  zostaną  zapisane  w dalszej  czę ś ci  tak, aby wskaź niki  przy  receptancjach  miały  ozna­ OBLICZANIE  KONSTRUKCJI  PŁYTOWO­SPRĘ Ż YNOWEJ  59  В   Rys.  2  czenia  wynikają ce  z  podziału  płyty  na  sztywne  elementy  skoń czone.  Dlatego  też  najpierw  zostanie  wyznaczona  macierz  dynamiczna  płyty.  D o  obliczenia  receptancji  płyty  metodą   SES  zostanie  ona  podzielona  na  dziewięć  sztywnych  elementów  skoń czonych  połą czonych  elementami  sprę ż ystymi.  Schemat  podziału  i  przyję te  u k ł a d y  osi  pokazano  na  rys.  3.  b/2  o/Ł_  П   X  IV  i ­ ­ .  IX­ XI!  m  VI  XI  XIV  '  I  VIII  XVI vn  V6I,  XV *,9  Rys.  3  Sztywnoś ci  elementów  sprę ż ystych,  k t ó r y m i  połą czone  są  S E S , oblicza  się  ze  wzorów  wytrzymałoś ciowych  [5]  dla  płyty  o  wymiarach  axb  (podział  liniami  przerywanymi).  Począ tek  u k ł a d u  współrzę dnych  przyję to  w  ś r o d ku  masy  każ dego  SES.  Przemieszczenia    • • 2Tf'';  c o s ^ T f ' 1 ;  c o s ę ? ^ '1  c o s c ^ f 1 ' ;  cos95371'';  cosą TfJ" Zależ noś ci  okreś lają ce  przemieszczenia,  wyraż one  w  układzie  osi  zwią zanych  z  SES,  w  funkcji  współrzę dnych  uogólnionych,  wyglą dają  nastę pują co:  (7)  Macierz  współrzę dnych  zamocowania  elementu  sprę ż ystego  do r­tego  SES jest:  (8)  [z'­'­']  =  zr­p,l  _7rrp,l  Z 3  ^  o  ­ Z 2  z T ' 1 '  0  Uwzglę dniając  .zależ noś ci  (2)ч ­(8)  w  równaniach  Langrange'a  (1),  uzyskuje  się 6n jednorodnych  r ó w n a ń  róż niczkowych  opisują cych  ruch  układu.  R ó w n a n i a  te  m o ż na  zapisać   (9) [M]{ij} + [H]{q} = {£}. Macierz [H]  złoż ona  z  bloków [Hr­P]  jest  macierzą  symetryczną  wzglę dem  głównej  prze­ ką tnej.  Sposób  wyznaczania  bloków [Hr­P]  oraz  usystematyzowane  wzory  podane  są  w  pracy  [6].  Rozpatrywany  przypadek  konstrukcji  płytowo­sprę ż ynowej  przedstawia  sobą  układ  przestrzenny  o  osiach  równoległych.  Uwzglę dniają c,  że dla takiego  przypadku  oraz dla  takiej  konstrukcji  stosuje  się elementy  o trzech  stopniach  swobody  — ruch  wzdłuż  osi x3, O B L I C Z A N I E  K O N S T R U K C J I  P Ł Y T O W O ­ S P R Ę Ż Y N O W EJ  61  oraz  obroty  X4. i x5,  otrzymujemy  wzory (9) w formie  znacznie  uproszczonej. I tak macierz  cosinusów  kierunkowych  ma  p o s t a ć :  "1,  o,  O"  (10)  [cr­p­1]  =  o,  1, o  o,  o, 1.  a  macierze  mas i współrzę dnych  uogólnionych  dla /•­tego  SES  są:  ~mr3 0  0  (11)  [Mr] =  0  m\ 0  0  0  m\  (12)  Ч ъ   B l o k i [Hr,p]  okreś lone  są  zależ noś ciami:  (13)  [#"]  =  ­  9  X V I  I  p = \  /=1  9 X V I  I I p=l  / = 1  =  9  X V I  P=i  /=1  9  X V I  I I p=l 1=1 9  X V I  _P=\ 1=1 9  X V I  I I p=\ 1=1 (14)  9  X V I  [Hrp] = X V I  r­p.lzP­r.l.  1=1 X V I  / = 1  X V I  p=l 1=1 9  X V I  'i I I ­ * p = l  / = 1  9 X V I  i  2 г **  p=I  /=1  X V I  / = 1  X V I  2  ­k'b*­l­z\­*­lk\­^zV2­'­ 1  £  zr2­ p­lk'fpJz\­rA  1=1 X V I  _kr­p,l_zr­p,lkr­p,lzp­r,l  1=1 X V I  /=1  xvi  2   ­ z i ­ " ' ' ^ ­ " ­ ' ;  V y f * ' / ^ ­ * ' ' z ? f , 4  / = 1  /=1  Siły  uogólnione  okreś lone  są  zwią zkami:  / = 1  (15)  {Qr}  =  R ó w n a n i a  ruchu  mają  p o s t a ć :  Q5  (16)  [M1]  o  o  0  [M2] . . .  o  .0  0 . . .  [M9]  + [ Я 1 ­ 1 ] , [H1­2] . . . [H1­9] [Н2Л],  [H2,2]  .. .  [H2­9]  [Н9,1],[Н9,г]  . . .  [ Я 9 ' 9 ]  Ш 1 }  {<72}  { 6 2 }  _{<79}_  _ Ш 9 } ­ 62  j .  STELMARCZVK  lub  (17)  M  q + H  q = Q .  Ponieważ  siły  wymuszają ce  są  siłami  harmonicznymi  (18)  Q  =  Qeiat,  to  rozwią zanie  ma  też  postać  harmoniczną   (19)  ą  =  qeimt.  Uwzglę dniając  (18) i  (19)  w  (17)  otrzymujemy  (20)  ( H ­ M « ) 2 ) q  =  Q  lub  (21)  q =  (H­Mco2)­1  •  Q.  Charakteryzują ca  płytę  macierz  receptancji  В jest  równa  (22)  В  =  ( H ­ M w 2 ) ­ 1 .  Do  dalszych  obliczeń  korzystnie jest  wybrać  tylko  te  elementy  macierzy,  które  mają   znaczenie  przy  łą czeniu  podukładu  płyty  z  innymi  podukładami.  Dlatego  np.  do  połą­ czenia  z  podukładem  sprę ż yn  С  wystarczają ca  jest  nastę pują ca  postać  macierzy:  V  (23)  В  =  •   Р г л;  Д з .з;  Pi.i;  Р з .9  Р т .Ъ '  ftl,9  $9.1 i  ^9,3  i  $9.1 l  $9,9 _  gdzie  każ dy  ze  składników jest  stosunkiem  przemieszczenia  ś rodka  masy  SES w kierunku  x3  do  siły  działają cej  w  tym  kierunku.  Oczywiś cie,  każ da  z  receptancji  obliczona  jest  z  uwzglę dnieniem  własnoś ci  dynamicznych  płyty  i  obcią ż enia  na  nią  działają cego  i  cha­ rakteryzuje  ją  dynamicznie. Ponieważ  podukład  sprę ż yn  С jest połą czony  z płytą  w punk­ tach  bę dą cych  ś rodkami  mas  SES, macierz  płyty  w  postaci  (23)  całkowicie  wystarcza  do uzyskania charakterystyki  dynamicznej  układu płyta­sprę ż yny  i  nie komplikuje dalszych  obliczeń.  Należy  tu  dodać,  że dla  każ dej  czę stoś ci  wymuszenia  w  macierz  płyty  w postaci  (23)  uzyskiwana jest  w  wyniku  obliczeń  prowadzą cych  do  postaci  (22),  a  nastę pnie wybrania  tylko  interesują cych  nas  wartoś ci.  Charakterystyka  dynamiczna  sprę ż yn,  a  więc macierz  ich  receptancji  С  ma  postać:  (24)  Ун  0  0  0  С  =  0  У зз  0  0  0  0  У 77  0  0  0  0  799.  • Wskaź niki  przy  receptancjach  zwią zane  są  z  punktami  mocowania  sprę ż yn  do  płyty.  Charakterystyka  dynamiczna  układu  płyta­sprę ż yny  okreś lona  zostanie w oparciu  o wa­ runki  składania  charakterystyk  podukładów  [2,  8].  Zgodnie  z  oznaczeniami  na  rys.  4  warunki  cią głoś ci  są:  O B L I C Z A N I E  K O N S T R U K C J I  P Ł Y T O W O ­ S P R Ę Ż Y N O W EJ  63  o)  / / / / / / / / b)  В   ч ,  • VII  в   с   Ч г   /77777777777777777Т 7777777777777Т   41  of  чс,  Чвг   4$  4s,  QS  С   777777TT7777777777777T777777777777  natomiast  warunki  równowagi  (26)  Wiedzą c, ż e:  (27)  (28)  Rys.  4  QB +  QC  =  Q *  =  Q i  в  О Д   q c  =  C  Q c ,  uwzglę dniając  (26) i  (28) w  równaniu  (25) i  biorąc  pod uwagę  (27), otrzymujemy  osta­ tecznie  (29)  q,  =  ( B ­ ' +  C ­ ^ ­ Q i .  W  ten  sposób  została  wyznaczona  charakterystyka  konstrukcji  podpierają cej  płytowo­ ­sprę ż ynowej,  okreś lają ca  receptancje  bę dą ce  stosunkami  przemieszczeń  na poziomie  1  do  sił  wymuszają cych,  wywołują cych  te przemieszczenia, działają cych  na poziomie  1. C z y l i , że  (30)  A , =  ( B ­ ' + C ­ 1 ) ­ 1 .  W  podobny  sposób  m o ż na  wyznaczyć  pozostałe  receptancje  konstrukcji  podpierają cej.  Obliczenia  macierzy  dynamicznej  zostały  zaprogramowane  i  wykonane  na  maszynie  cyfrowej  Odra 1204.  Płyta.  Obliczenia  wykonano  dla  płyty  prostoką tnej  o  wymiarach  400 x 600 x 3 mm  (2a x 2b x /;) wykonanej ze stali  ST5 (E =  2,1 х 1 0 1 1  N / m 2 ; G =  8,1 х 1 0 1 0 N / m 2 ; » ­  = 0,3).  D a n e  d o  o b l i c z e ń :  1.  Sztywnoś ci  elementów  sprę ż ystych:  Elementy  sprę­ ż yste  I, I V , V , V I I I ,  I X , X I I , X I I I ,  X V I  .  ki  Eha  ~2b~  к ,  =  =  209 000 000 N / m  Gha  2xb  =  67 500 000  N / m (x  Gh\  \2b  1,2)  =  121  N m  64  J.  S T E L M A R C Z Y K  Elementy  sprę ż yste  II, III.  V I ,  V I I ,  X ,  X I , X I V ,  X V  ki  k3  =  =  152  О ОО О ОО N / m  k2  ICą  ­ Ehb  2a  2xa  =  472  О ОО 000  N / m  Eh3b  24(1  ­v2)a  Gh3b  =  380  N m  12a  =  274  N m .  Tablica 1  Numer  S E S  Masy  uogólnione  Numer  S E S  ml  ml 106  mj  106  kg  Nms 2  Nms2  1  2  3  4  1  0,36  300,27  675,27  2  0,72  600,54  5400,54  3  0,36  300,27  675,27  4  0,72  2400,54  1350,54  5  0,144  4801,08  10801,08  6  0,72  2400,54  1350,54  7  0,36  300,27  675,27  8  0,72  600,54  5400,54  9  0,36  300,27  675,27  2.  Masy  uogólnione  podano  w  tablicy  1.  3.  Współrzę dne  zamocowania  elementów.  sprę ż ystych  do  SES  podano  w  tablicy  2.  Sprę ż yny.  Płyta  została  podparta  czterema  płaskimi  sprę ż ynami  wykonanymi  z  brą zu  krzemowego  C u S i 3 M n  E =  1 , 2 x 1 0 "  N / m 2  i  Q =  8800 k g / m 3  o  wymiarach  4 0 x 3 x  x  80  mm.  Traktując  sprę ż yny  jak  belki  według  [2], obliczamy  receptancję  ze  wzoru  (sin X1+sin hXl) (cos  Xl—cosh Xl) — (cos  Xl+cos/г A/) (sin Xl— sin Xhl)  (31)  gdzie  (32)  У  =  2 £ / A 3 ( l + c o s A / c o s / ; A / )  Xl  j  AQI*CO2  j'  1  El  Oczywiś cie,  wszystkie  receptancję  y l x ,  y33,  y i n , y99  są sobie  równe.  OBLICZANIE  KONSTRUKCJI  PŁYTOWO­SPRĘ ZYNOWEJ  65  Tablica  2  Współrzę dne  zamocowania  Wartoś ci  współrzę d­ nych  Współrzę dne  zamocowania  Wartoś ci  współrzę d­ nych  m  2 r ­ p . I  m  .1­2,1.  ,1­4,11.  7*­5,IX.  ,4­7,X 1̂  ,  Zx  ,  Zi  ,  7­4,  X­  .7­8,  XII­  z f ­ l . H z l  »  z l  »  1̂  0,075  Z1­2,I.  Z | ­ 1 , I.  21­4,II.  Z|­5,III  Z2­3,V.  Z3­2.V.  Z f­5.VI.  Z3­6,VII  ­0,05  .3­2,V.  ­3 — 6, VII.  ,6­5,VIII. 1  ,  z l  ,  z l  >  Z6­5,XIII;  Z6­9.XV.  Z9­6.XV.  Z9­8,XVI  ­0,075  Zl~4­X;  Z!­ 3>XIV.  Z |­5,XI  Z | ­ 6 . X V .  Z7­8,XII;  Z8­7,XII  Z | ­ 9 . X V I .  Z |­8,XVI  0,05  z ? ­ 5 ' 1 " ;  z f ­ 2 , « v ;  z ? ­ 4 , , v  ZS­4,IX;  Z 5­8, X I.  Z8­5,XI.  Z »­7,XII  ­0,15  z 4 ­ l . , , ;  Z 5­2,,H.  Z5­2.VI  Z6­3,VII;  Z*­S.IV,  Z5­4,IV  Z5­6.VIII.  Z | ­ 5 , V I 1 I  0,1  ,2­3,V.  ,2­5.VI.  ,5­2,VI.  1̂  ,  1̂  >  z l  »  Z5­6,VIII.  25­6,XIII;  Z5­8,XIV .8—5,  XIII .  ,8­9,  XVI z l  >  * 1  0,15  Z4­5,IX.  Z |­4,IX;  Z 4 ­ 7 , X  Z5­6,XIII;  Z6­5,XIII;  Z5­8.XIV  Z5­8.XI;  4­9.XV  ­0,1.  0  Korzystając  z  podanych  wzorów  zaprogramowano,  dla  przedstawionych  danych,  obliczenia  receptancji  na  maszynę  cyfrową.  Weryfikację  metody  wyznaczania  charakte­ rystyki  dynamicznej  przeprowadzono  dla  wyznaczonych  czę stoś ci  rezonansowych  u k ł a d u  płyta­sprę ż yny,  uzyskanych  jako  rozwią zanie  r ó w n a n i a  czę stoś ci.  R ó w n a n i e  czę stoś ci  u k ł a d u  otrzymuje  się  z  warunku  rezonansu  układu  tzn.  równoś ci  (33)  —  =  0,  gdzie