Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf 7  M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  1, 15  (1977)  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  ZAGADNIENIA  STATECZNOŚ CI  ORTOTROPOWEJ  PŁYTY  PIERŚ CIENIOWEJ*'  A N D R Z E J  S T R Z E L C Z Y K ,  STANISŁAW  W O J C I E C H  (BIELSKO­BIAŁA)  1.  Wstęp  Problem  statecznoś ci  płyt  pierś cieniowych  obcią ż onych  osiowo­symetrycznie  siłami  działają cymi  w płaszczyź nie  ś rodkowej  płyty, nie posiada  rozwią zania  ogólnego,  mimo,  że  wielu  a u t o r ó w  podaje  rozwią zania  szczególne  tego zagadnienia.  Zagadnienie  statecznoś ci  izotropowych  płyt  pierś cieniowych  omawia  się  w  pracach  [ 3 , 4 , 6 , 7 , 1 1 ] .  W  pracach  [3,4,11],  podano  ś cisłe  rozwią zania  nastę pują cych  przy­ p a d k ó w  :  l  praca  [3]  —  płyta  utwierdzona  i  obcią ż ona  tylko  wzdłuż  brzegu  zewnę trznego.  W roz­ wią zaniu  zakłada  się, że  powierzchnia  ś rodkowa  płyty  jest  osiowo­symetryczna;  praca  [4]  —• płyta  obcią ż ona  w taki  sposób,  że naprę ż enia  radialne  ar  i  obwodowe  ae  są  r ó w n e :  gdzie  r w  —  promień  wewnę trzny  pierś cienia,  r —  współrzę dna  promieniowa,  p0  —  para­ metr  obcią ż enia;  praca  [11]  —  płyta  obcią ż ona  takim  samym  ciś nieniem  na brzegu  zewnę trznym  i wew­ nę trznym  płyty.  ROZSA,  [7], p o d a ł  przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia  dla  płyty  utwierdzonej i  ś ciskanej  wzdłuż  brzegu  zewnę trznego  oraz  dla  płyty  utwierdzonej  i  ś ciskanej  wzdłuż  brzegu  wewnę trznego.  W  pracy  [6]  otrzymano  rozwią zanie  numeryczne  dla  niektórych  sposo­ b ó w  podparcia  przy założ eniu,  że  powierzchnia  ś r o d k o wa  płyty po wyboczeniu  jest  osiowo­ ­symetryczna.  Zagadnienie  statecznoś ci  płyt  ortotropowych  rozważa  się  w  pracach  [1, 5, 8,  10],  przy  czym  uzyskane  dla poszczególnych  p r z y p a d k ó w  podparcia  i  obcią ż enia  rozwią zania  przybliż one,  zakładają  przeważ nie  osiowo­symetryczną  postać  wyboczenia  (prace  [1,  5,  10]). W pracy  [8] przedstawiono  przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia  dla płyt  wzdłuż   obu  krawę dzi  swobodnie  podpartych,  bą dź  utwierdzonych.  *'  Praca nagrodzona na konkursie na prace teoretyczne z mechaniki, zorganizowanym  przez  Oddział  PTMTS  w  Łodzi  w  1975 r.  v.  ­  .  .  38  A . STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  I  2.  Cel  pracy  Celem  pracy  jest  przedstawienie  przybliż onego  rozwią zania  zagadnienia  obliczania  najmniejszych  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  dla  płyt  pierś cieniowych,  cylindrycznie  ortotropowych,  obcią ż onych  równomiernie  siłami  promieniowymi  w  płaszczyź nie  ś rod­ kowej  płyty.  Rozwią zanie  otrzymane  metodą  energetyczną  Rayleigha­Ritza,  obejmuje  dwanaś cie  sposobów  podparcia  płyty,  przy  dowolnym  stosunku  ciś nień  działają cych  na  krawę dź  wewnę trzną  i  zewnę trzną  płyty.  Podano  sposób  przybliż onego  okreś lenia  liczby  ś rednic  wę złowych,  dla k t ó r e j  wartość  obcią ż enia  krytycznego  jest  najmniejsza.  Przed­ stawione  na  wykresach  i  tablicach  wyniki  obliczeń  mogą  być  wykorzystane  w  obli­ czeniach  inż ynierskich.  3.  Obliczenie  całkowitej  energii  potencjalnej  płyty  •   Całkowitą  energię  potencjalną  płyty  oblicza  się według  wzoru  (3.1)  V —  V„ +  Vg,  gdzie  Vn — energia  potencjalna  sił  zewnę trznych,  Vg —  energia  potencjalna  płyty  spo­ wodowana  zginaniem  płyty.  Wielkoś ci  V„ i  Vg  wyraż ają  się  wzorami:  \  1  i  „  \ 21  rw  0  L  *  '  1  f  f  L  Л  ftf  1  d2w\  л ш ж  д 2  lw\  rdddr,  rdddr,  rx 2n  gdzie  Mr,  M0  oznaczają  odpowiednio  promieniowy  i  obwodowy  moment  zginają cy,  Mr0  —  moment  skrę cają cy,  w —  ugię cie  płyty,  rw,r2  —  promień  zewnę trzny  i  wew­ n ę t r z ny  płyty,  Nr,N0—jednostkowe  siły  normalne  w  płaszczyź nie  ś rodkowej  płyty  w  kierunku  promieniowym  i  obwodowym.  Momenty  Mr,  M0,  Mr0,  wystę pują ce  w  (3.3),  m o ż na  obliczyć  ze  w z o r ó w :  I  „  \d2w  / 1  8w  1  d2w\\  ż i '«  »>  n  Г Д­ i  8w>'V­1  d2w  ,  d2w\]  d2  i  w  (3.6)  м „ ­ ­ 2 Пк . . ш  ­• ­  ,  gdzie  Q  _  Erh  1 2 ( l ­ v r v e )  '  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  39  Do =  Dk  =  Eę h3  Gh3  T 2 ~ '  v,,vg  — stałe  Poissona,  Е „Щ—  moduły  sprę ż ystoś ci  w  kierunku  promieniowym  i  obwodowym,  G — m o d u ł  sprę ż ystoś ci  poprzecznej,  h — grubość  płyty.  Siły  błonowe  N„  N6  wystę pują ce  w  (3.2)  m o ż na  obliczyć  ze  wzorów  podanych  w  pracy  [2]:  (3.7)  (3.8)  Nr  = h  Pw  '  6w + 1  Pz  к ­1 _  Pw  PzQw  ,k,­\  ­k.­l  l­Qlk  6  1­ed*'   S w < ~ Q~  Ne  =  kih  PwQw  +  Pz  nk  ­1  i  P*> PzQw 1  i  gdzie  pw,pz  oznaczają  ciś nienia  działają ce  odpowiednio  wzdłuż  obwodu  zewnę trznego  i  wewnę trznego  płyty,  qw  =  ———  bezwymiarowa  wartość  promienia  wewnę trznego  E  ч   płyty,  k\  =  ­=  współczynnik  ortotropii.  Łr  Po  podstawieniu  (3.7),  (3.8), do wzoru  (3.2)  i  (3.4),  (3.5),  (3.6)  do wzoru  (3.3) zgodnie  ze  wzorem  (3.1),  otrzymuje się:  (3.9)  1  2n  ­ m i  Pw  0  ~dg~2  + v0  1  dw  q  3q  q  , f i  d2w  1  dw  1  82w  8q2  t  q  д а   T   q2  de2  1  d2w  \1  d2w  f  ~Wr)\'dQr  +  [dę de  \ Q  +  (l2­ve)  +  1  dw  Q  So  QdddQ,  f  gdzie:  q  =  —  — p r o m i e ń  bezwymiarowy  к2,  l2  — współczynniki  ortotropii  okreś lone  wzorami:  1A -   D»  П ­  Щ  ,  v  •  k  ­  Dr'   1  ­ ­ b T + V o >  hf  2  p*  —  z  — bezwymiarowa  wartość  obcią ż enia  krytycznego,  Dr  40  A . STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  4.  Okreś lenie  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  Najmniejszą  wartość  obcią ż enia  krytycznego  wyznaczono  metodą  Rayleigha­Ritza.  Z a ł o ż o n o,  że  funkcja  w okreś lają ca  ugię cie  płyty  ma  p o s t a ć :  (4.1)  iv =  W' cos/710,  gdzie  jest  funkcją  jednej  zmiennej  Q, a m liczbą  ś rednic  wę złowych.  Przypadek  m = 0  odpowiada  osiowosymetrycznej  postaci  wyboczenia.  Nastę pnie  przyję to, ż e:  i = n  (4.2)  W =  W{Q)  =  ^Ш я ),  gdzie /(  są współczynnikami,  a  ^(g) są funkcjami  współrzę dnej Q.  Ponadto,  założ ono,  że rjiio) są  postaci:  (4­3)  Vi(Q) =  2jat,Ą­Q l^­\  przy  czym  t =  liczba  geometrycznych  warunków  brzegowych  płyty,  aifJ  —  współczynniki,  któryc h  wartość  zależy  od  sposobu  podparcia  płyty.  Poszukiwaną  wartość  obcią ż enia  krytycznego  wyznaczono  z  w a r u n k ó w ,  że  całkowita  energia  potencjalna  płyty  w stanie  równowagi  jest  minimalna,  tzn.:  (4.4)  ­ | ^ =  0,  i = 1 , 2 ,  . . . . и .  Po  uwzglę dnieniu  w  (4.4)  zależ noś ci  (4.3),  (4.2),  (4.1),  (3.9) i  po  dokonaniu  odpo­ wiednich  przekształceń,  równania  (4.4)  przyjmują  p o s t a ć :  J—n  (4.5)  £  (У и ­Р *х, М   =  0,  dla  i  =  1, 2,  n,  gdzie  l i i  У и  =  f  EŚ  {l(i+P­l)(i+P+n­2)­v0m 2]  (j+q­2)  (J+q~  1) +  + h+P­1)  (i+p­2)v0+(i+p­l)k 2­k2m2)  (j+q­l­m2)  +  [(j+q­l)x  x (j+q + vg­2)­vem 2]  (i+p­1)  (i+p­2)+[(J+q­1)  (J+q^2)vB+  + (j+q­l)k2­k2m2]  (i+p­\­m2)  + A(l2­ve)m 2(i+p­2)  (j+q­2)}  x  i t t X'­J=2  11  E\ .^ QKI  + F2Q~^){i+p­\){j+q­\)  +  + k\m2  (F, Q^ ­  F2  Q­^)] a^aj,, Q! +{+  ' + « " *dQ.  Warunkiem  koniecznym  istnienia  niezerowego  rozwią zania  u k ł a d u  r ó w n a ń  liniowych  (4.5)  jest  spełnienie  r ó w n a n i a  (4.6)  det(Y­/>*X) = 0,  gdzie  X =  (xij),  Y =  (yifj)  — macierze  kwadratowe  stopnia  n.  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  41  Tablica  1.  Zestawienie  geometrycznych  warunków  brzegowych  w  zależ noś ci  od  sposobu  podparcia  płyty  Nr  przypadku  Sposób  podparcia  płyty  Liczba  warunków  t  Numery  warunków  I  1  :  ć ć ć t  /////  \   7777:  1  4  1,  2,  3,  4  II  / / / / /   A  7777,   777777,   3  1,  2,  4  III  "у   77777,   2  2,  4  IV  1 s  •   •   •   1  / / / / /   1  7 7 7 7 7  3  2,  3,  4  V  j  7 7 7 7 7  т &т ;  3  1,  2,  3  VI  B.  Ł  77777}   777777  2  1,  2  VII  1  i  1  A  777777?  1  2  VIII  A  7777777  2  2,  3  IX  S 77777  2  i ,  3  X  1  j  A  " '  17777777,   1  1  XI  1  i  / / / / /   j  77777,   1  i  3  1.  3,  4  XII  1  1  i  A  1  777777,   1  2  1,  4  42  A .  STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  Tablica  2.  Porównanie  wartoś ci  p* z wynikami  \  Schemat  ^ v  stat.  n  !  _  u///  f  1 \  Schemat  ^ v  stat.  n  i  p*  77777 1  P*  Л   77777  \  Qw  = 0,1  Qw  = 0,3  Q„ =  0,5  Q„ =  0,1  Qw =  0,3  Qw = 0,5  1  132,00  27,000  25,6366  126,111  16,254  6,5361  2  120,28  26,670  25,566  108,740  13,613  5,5109  3  118,13  26,601  25,099  101,957  13,135  5,4403  4  117,77  26,501  25,029 •  100,324  13,127  5,4397  5  117,72  26,498  25,025  99,844  13,126  5,4396  6  117,708  26,497  25,025  99,710  13,126  i  5,4396  Wynik  wg  [6]  117,71  26,496  25,026  99,659  13,126  5,440  Ostatecznie problem  wyznaczania  obcią ż eń  krytycznych,  zgodnie z (4.6),  sprowadził  się   do  uogólnionego  zagadnienia  wartoś ci  własnych  macierzy,  które  m o ż na  efektywnie  roz­ wią zać  numerycznie  za p o m o c ą  elektronicznej  maszyny  cyfrowej.  5.  Okreś lenie  wartoś ci  współczynników a,­,j  Funkcje  współrzę dnych  ??,• ((?),  wystę pują ce  we wzorze na funkcję  ugię cia  W, powinny  spełniać  odpowiednie  geometryczne  warunki  brzegowe  płyty.  Warunki  te  mogą  mieć  j e d n ą  z  nastę pują cych  postaci :  1°  Ч |(в »)  ­г £'щ № ~>  = o ,  driiil)  dQ~  j­o  t  o,  J J   =  a.­.,­0"+7­i)eL + ; ­ 2  = o,  У« м 0 ' + ; ­ 1)  =  о.  W  tablicy  1 podano  zestawienie  rozpatrywanych  p r z y p a d k ó w  podparcia  płyty  i  przy­ p o r z ą d k o w a n ie  i m ograniczenia  na funkcje  współrzę dnych.  Przy  założ eniu,  że aiit  = 1  wartoś ci  współczynników  dla i m 1,2, ...,n,  oraz  j  = 0, 1,  t—\  wyznacza  się  roz­ wią zując  n układów  r ó w n a ń  liniowych  o  t  niewiadomych.  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  otrzymanymi  w pracy  [6]  (k2  =  k\  ­  1, i1  =  1, ro =  1/3)  43  1 1  1  ////<  1  1  7777?  X   =  105  p*  1  ^  77777}  X   =   105  p*  Q W   =   0,1  ty  = 0,3  Qw =  °'5  ew  = o,i  Qw  = 0,3  Q W  = 0,5  •  17,542  16,201  29,97  4,83  3,161  2,5772  14,202  14,809  25,52  4,37  3,157  2,4865  14,19  14,801  25,50  4,14  3,157  2,4818  13,92  14,700  25,385  4,08  3,107  2,4687  13,87  14,692  25,384  4,05  3,099  2,4661  13,858  14,691  25,382  4,048  3,097  2,4660  13,848  14,69  25,385  4,043  3,098  2,468  1  '•   6.  Okreś lenie  liczby  ś rednic  wę złowych  D l a  okreś lenia  liczby  ś rednic  wę złowych  m,  której  odpowiada  najmniejsza  wartość   obcią ż enia  krytycznego p*,  zastosowano  metodę  przybliż oną,  p o d a n ą  w pracy  [8]. Zgodnie  z  [8],  problem  sprowadza  się do rozwią zania  r ó w n a n i a  kwadratowego  (6.1)  az2 + bz + c = 0,  gdzie  z  =  ni1.  D l a  przyję tej  postaci  funkcji  współrzę dnych  współczynniki  a, b, с są  r ó w n e :  b =  2­X0YĄ,  С  — Л0  I  2 — Л2  I о ,  <.  i l l  gdzie: A­o  =  f  £  ZiFiQb'  +  FzQ­^ija^iatjQ'+^do,  #2  =  Го  =  Y2  =  pw  ( = 0  y'=0  1  I  't  Pw  i = 0  7 =  0  1  I  »   SE  2  {y't O'­l+^O'-O+^+H'­i)]}^..­^.^^'­ 3 ^  pw  ( = 0  j=0  1  ,  ,  {vKj­l)+k*j+i[k*+v(i­l)]  +  pw  I ­ O  y=0  +  2 ( v ­ / 2 )  ( / ­ 1 )  U­^)}ai.iai.jei+J~3dQ,  • 44  A .  STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  I  i  t  Y*  =  j  ^  ^aUiaUjQ i+J­3d(),  v =  vg  pw  /=0 j=Q  Jako  m  przyjmuje  się:  10  jeś li  r ó w n a p i e  (6.1)  ma  pierwiastki  zespolone  lub  rzeczywiste  i  r ó w n o ­ (6.2)  m =  {  ,  .  Г  .  /  /  ­.  r 4  Iczesme  oba  ujemne,  entier ( ) / m a x ( z I ,  z 2 ) ) ,  w  przypadkach  pozostałych,  gdzie  zlt­z2  są  pierwiastkami  r ó w n a n i a  (6.1).  7.  Opis  algorytmu  obliczeń   Celem  wykonania  obliczeń  numerycznych opracowano program w ję zyku  A L G O L  1900.  W  programie  m o ż na  wyodrę bnić  nastę pują ce  zasadnicze  fazy:  1.  Wyznaczanie  współczynników  atj.  Układy  r ó w n a ń  rozwią zuje  się metodą  Gaussa­ ­Jordana.  2.  Okreś lenie  liczby  m  —  według  wzorów  podanych  w punkcie 6.  3.  Obliczanie  elementów  macierzy  X  i  Y.  4.  Obliczanie  wartoś ci  własnych  r ó w n a n i a  (4.6) w  tym:  A .  obliczanie  macierzy  odwrotnej  do X  metodą  rozszerzania,  B .  obliczanie  współczynników  wielomianu  charakterystycznego  macierzy  Z  =  YX  metodą  Danilewskiego,  C .  obliczanie  zer wielomianu  charakterystycznego  metodą  Bairstowa.  \  Obliczenia  zrealizowano  na  maszynie  O D R A  1305  z  pojedynczą  precyzją  (liczby  p a m i ę t a ne  z  dokładnoś cią  do  11  cyfr  znaczą cych).  8.  Analiza  wyników  obliczeń   Wyniki  obliczeń  dla p r z y p a d k ó w  płyty  obcią ż onej  wzdłuż  brzegu  wewnę trznego  po­ dano  w tablicach  3 ­  5, a  dla pozostałych  przypadków  obcią ż enia  na  rys. 1 ­ 1 2 .  Liczby  nad  krzywymi  oznaczają  liczbę  ś rednic  wę złowych,  dla których  krytyczna  wartość  obcią­ ż enia  jest  najmniejsza.  Obliczenia  prowadzono  dla płyt  obcią ż onych:  a)  ciś nieniem  działają cym  tylko  na brzeg  wewnę trzny  płyty,  tablice  ( 3 ­ 5 ) ,  b)  ciś nieniem  ujemnym  działają cym  tylko  na  wewnę trzny  brzeg  płyty,  tablice  (3 ­  5),  c)  jednakowym  ciś nieniem  działają cym  na  obu  krawę dziach  płyty  tzn. p.  =  pw,  (rys.  1­6),  d)  ciś nieniem  działają cym  na  obu  krawę dziach  płyty,  przy  czym  — =  1000, co  Pw  praktycznie  odpowiada  obcią ż eniu  ciś nieniem  działają cym  tylko  na  zewnę trznym  brzegu  płyty  (rys.  7 ­ 1 2 ) .  W  k a ż d ym  z  podanych  wyż ej  sposobów  obcią ż enia  płyty,  obliczenia  prowadzono  dla  dwunastu  schematów  podparcia  płyty  (patrz  tablica  1). D l a  każ dego  sposobu  obcią­ ż enia  i  podparcia  płyty  obliczono  wartość  siły  krytycznej dla:  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  45  Tablica  3.  Wartoś ci  bezwymiarowego  obcią ż enia  krytycznego p* =  Sposób  obcią ż.  1  317777777771  1 Sposób  obcią ż.  V//JCS­ZZZZZJ*  m  1  = 0  ' / ' "  / / / / i  m  I  ф о   № \  liczba  m  wszę dzie  równa  0  liczbę  m podano  pod wartoś cią p*  przyp.  0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  0,5  348  338  377  479  673  1105  356  5  256  7  215  9  201  11  209  15  237  21  1  1,0  421  375  401  487  686  1124  666  4  448  5  364  6  329  8  331  11  365  15  2,0  738  530  501  560  740  1160  1796  3  1054  4  777  5  662  6  628  8  669  11  0,5  132  128  145  182  258  430  316  5  224  6  188  7  173  10  177  14  198  19  U  1,0  149  135  148  183  258  426  585  4  391  5  305  6  282  8  274  10  298  13  2,0  263  191  182  206  273  441  1468  3  899  4  660  4  552  6  528  8  542  10  0,5  25,3  20,9  21,3  25,0  33,6  53,4  110  2  746  3  60,6  4  56,6  6  54,2  7  59,2  10  III  1,0  39,5  26,7  23,9  26,0  33,5  52,4  154  1  100  2  87,4  3  79,9  3  77,9  5  80,2  6  2,0  143  71,7  48,6  41,4  43,9  59,7  185  1  175  2  137  2  139  3  142  3  162  6  0,5  102  93,9  102  124  162  282  113  2  75,0  3  60,6  4  54,9  5  54,9  7  61,0  10  IV  1,0  143  115  114  132  179  282  155  1  101  2  85,6  3  83,4  4  83,5  5  93,1  7  2,0  378  218  173  170  205  307  184  1  179  1  138  2  142  3  148  4  165  5  46  A .  STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  Tablica  4.  Wartoś ci  bezwymiarowego  obcią ż enia  krytycznego p*  =  D,  Sposób  obcią ż.  P777777XS  1  V777777777E  1  Sposób  obcią ż.  i  m  ­=  0  m ф  0  N r \  к   liczba  m  wszę dzie  równa  0  liczbę  m podano  pod  wartoś cią  p*  przyp.  к   0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  0,5  249  239  266  333  473  779  297  5  217  6  178  7  166  9  170  12  191  17  V  1,0  317  275  290  348  482  794  561  4  371  5  294  4  261  7  259  9  287  13  2,0  614  423  375  411  528  836  1608  3  931  4  638  4  515  5  485  7  521  10  0,5  85,7  81,5  91,0  113  160  257  254  4  180  •  5  151  7  138  8  140  11  156  15  VI  1,0  104  90,1  95,7  116  161  267  465  3  302  4  239  5  212  6  207  8  225  11  2,0  218  145  129  140  178  273  1336  3  740  3  518  4  425  5 "  386  7  393  8  0,5  6,22  3,27  2,06  1,44  1,08  0,840  80,4  2  52,2  2  41,5  3  v  36,4  3  35,1  4  37,3  6  V I I  1,0  25,7  12,8  7,84  5,42  4,02  3,13  95,7  2  73,8  1  54,8  2  49,7  2  45,8  3  46,7  4  2,0  138  63,4  36,7  24,2  17,5  13,4  138  2  105  1  103  2  85,7  2  88,0  3  85,7  3  0,5  43,8  39,2  41,9  50,9  70,3  115  93,5  1  52,5  2  41,4  3  35,7  4  36,2  5  39,7  7  V I II  1,0  88,4  63,3  58,0  63,2  80,7  124  95,3  1  77,4  1  55,5  2  49,0  3  52,3  4  55,7  5  2,0  340  173  120  103  110  147  140  1  105  1  103  2  85,5  2  75,8  3  97,3  4  /   NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  47  Pw'lr z  Tablica  5.  Wartoś ci  bezwymiarowego  obcią ż enia  krytycznego p* = —•   Sposób  obcią ż.  Z777777777F  1 Sposób  obcią ż.  ¥///////**—  ;  m  = ­­  0  i  1  m ф  o  № \  к   liczba  m wszę dzie  równa  0  liczbę  m podano pod wartoś cią p*  przyp.  к   0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  0,21  0,31  0,41  0,51  0,61  0,71  ,5  43,8  39,2  41,9  50,9  70,2  115  71,6  4  46,3  4  40,1  4  39,7  6  42,4  8  47,7  10  IX  1,0  88,5  63,2  58,0  63,2  80,5  124  126  3  69,3  3  55,3  3  51,3  4  57,1  6  64,1  7  2,0  340  173  118  104  110  148  328  2  168  2  128  3  92,7  3  90,0  4  96,1  5  ,5  6,25  3,27  2,06  1,44  1,08'  ,840  43,4  2  31,7  3  26,7  3  25,5  4  26,4  5  29,9  6  X  1,0  25,7  12,8  7,84  5,42  4,02  3,14  64,6  2  41,7  2  38,1  2  29,6  3  29,9  3  31,6  4  2,0  138  63,4  36,7  24,2  17,5  13,4  267  1  107  2  ' 68,2  2  68,9  2  45,6  3  47,5  3  ,5  102  93,9  102  124  170  282  84,9  3  60,2  4  50,9  5  47,9  6  49,4  8  56,5  11  XI  1,0  143  115  114  133  179  274  192  3  114  3  91,4  4  82,1  5  80,1  6  89,1  8  2,0  378  218  173  171  206  307  673  2  383  2  215  3  179  4  155  4  161  6  ,5  25,3  21,0  21,3  25,0  33,5  53,5  68,7  3  47,4  3  38,3  4  35,1  5  35,0  6  39,0  8  XII  1,0  39,5  26,7  23,9  26,0  33,5  52,3  142  2  90,7  3  64,3  3  56,9  54,5  56,9  2,0  143  71,3  48,6  41,3  43,8  59,6  536  2  258  2  175  3  106  4  109  5  112  7    Q'  к   Ci'  1  ca  Pi  С*  Pi  •  - Pi  4*  [51]  52  A .  STRZELCZYK,  ST.  WOJCIECH  —  płyty  izotropowej  (kj  =  k2  =  1,  v0  =  0,3,  l 2  =  1),  —  płyty  ortotropowej,  wzmocnionej  w  kierunku  promieniowym  (k\  =  k2  =  0,25,  ve  =  0,\,  / 2  =  1),  —  płyty  ortotropowej,  wzmocnionej  w  kierunku  obwodowym  (k2  =  k2  =  4,  ve  =  0,4,  l 2  =  1).  Wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  wyznaczono  dla  QW   zmieniają cego  się  od  0,01 ­4­0,91  co  0,1.  Przedstawiony  w  pracy  sposób  przybliż onego  wyboru  liczby  ś rednich  wę złowych  m,  dla  której  wartość  obcią ż enia  krytycznego  jest  najmniejsza,  w  niektórych  przypadkach  okazał  się  zawodny.  Najwię ksze  błę dy  w  wyborze  liczby  m  wystą piły  dla  płyty  obcią ż o­ nej  tym  samym  ciś nieniem  działają cym  na  obu  krawę dziach  i  podpartej  według  sche­ matu  V.  N a  przykład  dla  płyty  izotropowej,  według  wzoru  (6.2)  otrzymano  m  zmieniają ce  się   od  m  =  1,  dla  QW  =  0,01,  do  m  =  6 dla  gw  =  0,91.  W  rzeczywistoś ci,  najmniejszą  wartość   obcią ż enia  krytycznego  w  tym  przypadku  otrzymuje  się  przy  m  =  1 dla  QW  =  0,01,  0,11,  0,21  i przy  m  =  0  dla  gw  ^  0,3.  W  innych  przypadkach  wartość  m  była  wybierana  prawi­ dłowo,  w  sporadycznych  jedynie  przypadkach  róż niła  się  od  właś ciwej  o  jednoś ć.  Dla  opisanych  wyż ej  przypadków  niewłaś ciwego  doboru  liczby  m,  wartość  najmniej­ szego  obcią ż enia  krytycznego  wyznaczono  metodą  p r ó b  i  błę dów.  Porównując  otrzymane  wyniki  z  wynikami  podanymi  w  znanych  pracach,  należy  wnioskować,  że  przy  uwzglę d­ nieniu  odpowiednio  duż ej  liczby  wyrazów  szeregu  funkcyjnego,  przybliż ają cego  funkcję  W,  m o ż na  otrzymać  wyniki  z  błę dem  wzglę dnym  <  0.1%  (przy  pojedynczej  precyzji  obliczeń,  w  niektórych  przypadkach,  tylko  dla  gw  ^  0,8).  Dla  otrzymania  wyników  z  błę dem  nie  wię kszym  niż  1%  wystarcza  uwzglę dnić  3,  4  wyrazy  szeregu  funkcyjnego.  Najmniej  do­ kładne  wyniki  otrzymano  dla  płyt  obcią ż onych  od  wewną trz.  W  tablicy 2 przedstawiono  p o r ó w n a n i e  otrzymanych  wyników  z  wynikami  zamieszczo­ nymi  w  pracy  [6]  (rezultaty  tej  pracy  należą  do  najdokładniejszych,  jakie  spotkano  w  do­ stę pnej  literaturze)  dla  płyty  izotropowej.  Badając  ciąg  róż nic  S„ =  pt­pt­i  (Pn oznacza  wartość  siły  krytycznej  uzyskanej  przy  założ eniu  funkcji  W  złoż onej  z  n  wyrazów  sze­ regu  (4.2))  stwierdzono,  że  ciąg  ten  dą ży  do  zera  przez  wartoś ci  dodatnie.  Ciąg  ten  nie  jest  jednak  ś ciś le  maleją cy.  Dlatego  przy  ocenie  dokładnoś ci  wyników  nie  m o ż na  ogra­ niczyć  się  do  sprawdzenia  wartoś ci  jednej  róż nicy  S„.  N a  przykład,  dla  płyty  izotropowej  utwierdzonej  na  brzegu  zewnę trznym  i  obcią ż onej  ciś nieniem  przyłoż onym  na  brzegu  wewnę trznym  płyty  (p w  =  0,5,  v  =  1/3)  ciąg  róż nic  jest  nastę pują cy:  0,071,  0,467,  0,070,  0,004.  Gdyby  w tym  przypadku  d o k o n a ć  oceny  dokładnoś ci  wyników  pierwszego  przybli­ ż enia,  ograniczając  się  do  pierwszej  róż nicy,  to  w  rezultacie  otrzyma  się  błę dny  wniosek,  że  błąd  bezwzglę dny  jest  w granicach  0,1  wobec  błę du  rzeczywistego  około  0,61.  W  wię k­ szoś ci  p r z y p a d k ó w  najwię kszą  p o p r a w ę  wyników  uzyskano  w drugim  przybliż eniu  (w  gra­ nicznych  przypadkach  błąd  kilkuset  procent  zmniejszył  się  do  kilkudziesię ciu  procent).  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  53  9.  Uwagi  koń cowe  Z  analizy  uzyskanych  wyników  wynikają  nastę pują ce  wnioski:  A .  Najmniejszą  wartość  obcią ż enia  na  ogół  otrzymuje  się przy założ eniu  niesymetrycz­ nej  postaci  wyboczenia  płyty  (w  #  0).  B.  Rzeczywista  liczba  ś rednic  wę złowych  m  zależy  o d :  —  sposobu  obcią ż enia  płyty  (przy  ciś nieniu  ujemnym  działają cym  na  wewnę trzny  brzeg  płyty  otrzymuje  się  zawsze  niesymetryczną  postać  wyboczenia),  —  sposobu  podparcia  płyty,  —  bezwymiarowej  wartoś ci  wewnę trznego  promienia  płyty,  —  wartoś ci  starych  ortotropii  k\  i  k2,  (z  wyją tkiem  p r z y p a d k ó w  I X  i  X ,  mniejszym  wartoś ciom  k]  =  k2  odpowiadają  wię ksze  liczby  ś rednic  wę złowych),  C .  Dla  małych  nw  zmiana  m  o  1  powoduje  otrzymanie  wyników  róż nią cych  się  od  prawidłowych  nawet  o  kilkaset  procent.  D .  G d y  c>ń ,  ­ > l i  poprawna  wartość  m jest  rzę du  kilkudziesię ciu,  zmiana  m  o  k i l k a  jednostek  nie  ma  wię kszego  wpływu  na  wynik.  E .  W  niektórych  przypadkach  przyję cie  W  =  fxr\y  (g)  pozwala  obliczyć  wartość  kry­ tyczną  z  wystarczają cą  dla  celów  praktycznych  dokładnoś cią.  I  tak  dla  płyty  izotropowej  i  р и , >  0,1  (dla  płyty  ortotropowej  otrzymuje  się podobne  wyniki): błąd  wzglę dny  nie  prze­ kracza  10%  w  nastę pują cych  przypadkach  płyt  obcią ż onych:  —  tylko  ciś nieniem  wzdłuż  brzegu  wewnę trznego  i  podpartych  według  schematu  II  (tylko  dla  QW <  0,5),  III  i  X I I ;  —  ciś nieniem  ujemnym  wzdłuż  brzegu  zewnę trznego  i  podpartych  według  schematu  I V ,  V I , V I I I ,  X , X I ,  X I I ;  —  ciś nieniem  działają cym  tylko  wzdłuż  brzegu  zewnę trznego  i  podpartych  wzdłuż   schematu  I,  I V , X ,  X I I ;  —  ciś nieniem  działają cym  z  taką  samą  wartoś cią  na  oba  brzegi  płyty  i  podpartych  według  schematu  I,  I V , V I I , X ,  X I I .  Ponieważ  przy  założ eniu,  że  W  =  / }  I]I(Q)  okreś lenie  wartoś ci  krytycznej  prowadzi  do  prostych  i  stosunkowo  nielicznych  operacji  matematycznych,  m o ż na  do  obliczeń  wyko­ rzystać  zwykły  kalkulator  elektroniczny.  F .  Zamieszczone  w pracy  wykresy  pozwalają  nie  tylko  na  okreś lenie  wartoś ci  obcią ż eń   krytycznych,  ale  dają  pewne  wskazówki  co  do  wyboru  ow  (szczególnie  waż ne  dla  płyt  podpartych  według  schematu  V I I  i  X ,  obcią ż onych  wzdłuż  brzegu  zewnę trznego),  przy  któryc h  płyta  jest  najbardziej  stateczna.  G .  D l a  płyt  konstrukcyjnie  ortotropowych  wzmocnionych  ż ebrami,  lepszą  statecz­ ność  zapewnia  wzmocnienie  w  kierunku  promieniowym.  Zastosowana  metoda  obliczania  obcią ż eń  krytycznych  teoretycznie  zapewnia  otrzy­ manie  wyników  z  dowolną  dokładnoś cią.  Praktycznie  otrzymane  rozwią zania  obarczone  są  błę dami  wynikają cymi  z faktu,  że obliczenia  prowadzono  z pojedynczą  precyzją.  Stwier­ dzono,  że  pojedyncza  precyzja  pozwala  otrzymywać  wyniki  wystarczają co  d o k ł a d n e  dla  QW <  0,8.  D l a QW >  0,8  wydaje  się celowe  wykonywanie obliczeń  z  podwójną  precyzją.  D l a  kompletnoś ci  przedstawionych  wyników  przy  wykonaniu  wykresów  dla  p w  =  0,8,  0,9  i  podparciu  płyty  według  schematu  nr  I,  wykorzystano  wyniki  z  pracy  [8].  54  A .  STRZELCZYK,  ST. WOJCIECH  Literatura  cytowana  w tekś cie  1. Э. Ф .  Б у р м и с т р о в,  X .  M .  М А С Л О В,  У с т о й ч и в о с т ь  к р у г л ы х  к о л ь ц е в ы х  о р т о т р о п н ы х  п л а с т и н о к ,  Н е к о т о р ые  з а д а чи  т е о р ии  у п р у г о с ти  о к о н ц е н т р а ц ии  н а п р я ж е н ий  у п р у г их  т е л,  3 (1967), 144­ 162.  2.  С. Г.  Л Е Х Н И Ц К И Й,  А н и з о т р о п н ы е  п л а с т и н к и ,  Г о с т е х и з д а т,  М о с к ва  1947.  3.  S.  MAJUMDAR, Buckling of a thin annular plate under uniform compression,  AIAA.  Journal, 9, 9 (1971)  1701  ­1707.  4.  E . H .  MANSFIELD,  On  the  buckling  of an  annular plate,  Quart.  Journ.  Mech.  and  Applied  Math., 13,  1 (1960) 16­23.  5.  G . K . RAMAIAH,  K . VIJAYAKUMAR, Buckling  of polar  orthotropic  annular plates  under  uniform  internal  pressure,  AIAA  Journal, 12, 8 (1974) 1045  ­ 1050.  6.  E .  PYTEL,  Z.  WASZCZYSZYN,  Numeryczna  analiza  symetrycznego  wyboczenia  sprę ż ystej  płyty  pierś cie­ niowej  na  tle istnieją cych  rozwią zań ,  Czasopismo Techniczne, 76, 4 (1972)  36  ­ 42.  7.  M .  ROZSA, Stability analysis of thin annular plates compressed along  the outer or inner edge  by uniformly  distributed  radial forces,  Acta  Technica  Academiae  Scientianum  Hungariacae,  53  (1966)  359­377.  8.  A .  STRZELCZYK,  Wyboczenie  płyt  pierś cieniowych  cylindrycznie  ortotropowych,  Arch.  Bud.  Maszyn,  22,  4 (1975) 437­449.  9.  M .  TROMBSKI,  Zagadnienia płyt  pierś cieniowych  o ortotropii cylindrycznej  w  uję ciu nieliniowym,  Zeszyty  Naukowe PŁ,  nr 156,  Mechanika,  z. 32,  Łódź 1972.  10.  E .  B .  UNTHGENANNT,  R . S. BRANT,  Buckling  of orthotropic annular plates,  AIAA  Journal, 8, 11 (1970)  2102­2104.  11.  N. YAMAKI, Buckling  of annular plate under uniform compression,  J. Appl.  Mech.,  25E  (1958) 267 ­ 273.  Р е з ю ме   •   Ч И С Л Е Н Н ОЕ  Р Е Ш Е Н ИЕ  З А Д А ЧИ  ОБ  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  К О Л Ь Ц Е В ОЙ   П Л А С Т И НЫ  С  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ОЙ  О Р Т О Т Р О П И ЕЙ   В  р а б о те  п р и в е д е но  р е ш е н ие  з а д а чи  о  к р и т и ч е с к их  н а г р у з к ах  д ля  к о л ь ц е в ых  п л а с т ин  с  ц и­ л и н д р и ч е с к ой  о р т о т р о п и е й,  н а г р у ж е н н ых  о с е с и м м е т р и ч но  д а в л е н и ем  на к р а я х.  Д о с их  п ор р е­ ш е н ия  т а к ой  з а д а чи  и м е л и с ь  л и шь  д ля  н е к о т о р ых  с л у ч а ев  н а г р у ж е н ия  и  о п и р а н ия  п л а с т и н ы.  П о л у ч е н н ое  п р и б л и ж е н н ое  р е ш е н ие  (м е т од  Р е л е я ­Р и т ц а) и ч и с л е н н ые  р е з у л ь т а ты  о т н о с я т ся к п л а­ с т и н ам :  —  н а г р у ж е н н ым  р а з л и ч н ы ми  д а в л е н и я ми  на  в н у т р е н н ем  и  в н е ш н ем  к о н т у р а х;  —  и м е ю щ им  12  с п о с о б ов  о п и р а н и я;  —  и з о т р о п н ым  и  о р т о т р о п н ы м.  П р и в е д ен  с п о с об  р а с ч е та  ч и с ла  у з л о в ых  д и а м е т р о в,  о т в е ч а ю щ е го  м и н и м а л ь н о му  з н а ч е н ию   к р и т и ч е с к ой  н а г р у з к и.  S u m m a r y  NUMERICAL  SOLUTION  OF  T H E  PROBLEM  OF  STABILITY  OF  A N  ORTHOTROPIC  A N N U L A R  PLATE  The  problem of calculating the critical load of cylindrically orthotropic annular plates under uniform  pressure is solved  by the Rayleigh­Ritz  method.  Up to now the problem was solved only under certain  loading and  supporting conditions. The  approximate solution presented and  the numerical results of com­ putation  obtained  contain  the following  examples  of plates:  NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  STATECZNOŚ CI  PŁYTY  55  —  loaded  by different  pressures applied  to  the  inside  and at  the  outside edges;  —  supported  according  to  12 various  schemes;  —  isotropic  and  orthotropic.  The  method of calculating  the  number  of  diametral  nodal  lines  corresponding  to  the  least critical  value  was  given.  INSTYTUT  MECHANICZNO­KONSTRUKCYJNY  FILIA  POLITECHNIKI  ŁÓDZKIEJ  w  BIELSKU­BIAŁEJ  /   I  Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  10 marca  1976 r.  •  . \ I