Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z1.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  I,  15  (1977)  ANALIZA  ROZWIĄ ZAŃ  KINEMATYCZNIE  DOPUSZCZALNYCH  DLA  ZAGADNIENIA  NAPORU  Ś CIAN  O  RÓŻ NYCH  KSZTAŁTACH*  WiESLAw\  T R Ą M P C Z Y Ń S KI  (WARSZAWA)  1.  Wstęp  Wyraź ny  rozwój  w ostatnich  latach  matematycznej  teorii  mechaniki  oś rodków  sypkich  pozwala  na  uzyskanie  rozwią zań  uwzglę dniają cych  z a r ó w n o  statykę,  jak  i  kinematykę   dla  szeregu  praktycznie  waż nych  procesów.  Oczywiś cie  nadal  istnieje  wiele  poważ nych  trudnoś ci  dotyczą cych  przyję cia  odpowiedniego  modelu  opisują cego  rzeczywiste  własnoś ci  fizyczne  oś rodka  lub nawet  sformułowania  zagadnień  brzegowych  dla konkretnych  przy­ p a d k ó w .  Wiele  efektywnych  rozwią zań  uzyskuje  się  przyjmując  sztywno  idealnie­plastyczny  model  oś rodka  oraz  płaski  stan  odkształcenia.  Rozwią zywanie  z a d a ń  brzegowych dla  tego  typu  zagadnień  ma j u ż dosyć  bogatą  literaturę  (п р. [1, 2, 3, 4]).  M i m o  że  w  wielu  przypadkach  z a u w a ż o no  istnienie  ograniczeń  utrudniają cych  uzyskanie  poprawnych  rozwią zań  (np.  [4, 5]),  brak  było  pełniejszej  analizy  przeprowadzonej  pod  tym  ką tem.  Zazwyczaj  ograniczano  się do prezentowania  rozwią zań  poprawnych,  ewentualnie  krótkiej  dyskusji  trudnoś ci  w ich uzyskaniu.  W  pracy  pokazano  ograniczenia  moż liwoś ci  uzyskania  rozwią zań  kinematycznie  dopuszczalnych  dla  zagadnienia  naporu  ś cian  o  róż nych  kształtach  (odpowiadały  one  kształtom  narzę dzi  do  r o b ó t  ziemnych).  R o z w a ż a n ia  przeprowadzono  dla  o ś r o d ka  waż­ kiego  opisanego  warunkiem  plastycznoś ci  C o u l o m b a ­ M o h r a  ze  spójnoś cią  oraz  stowa­ rzyszonego  prawa  płynię cia.  Szersze  opracowanie  tego  tematu  m o ż na  znaleźć  w  pracy  autora  [6].  V  2.  Statyka  i  kinematyka  procesu  Rozpatrzmy  ruch  oś rodka  ograniczonego  prostoliniowym  brzegiem  swobodnym  nachylonym  pod  ką tem  as,  wywołany  przesuwaniem  płaskiej  ś ciany  tworzą cej  z  pozio­ mem  kąt  о с/ (rys. 1). N a powierzchni  kontaktu  ś ciany,  przesuwają cej  się z  prę dkoś cią  V0,  z  oś rodkiem  wystę puje  suche  tarcie  okreś lone  współczynnikiem  tarcia  /л .  Zagadnienie  to  było  j u ż  przedstawiane  w  róż nych  pracach.  W  zwią zku  z  tym  jedynie  k r ó t k o  zostanie  omówiony  sposób  rozwią zania.  *'  Praca  wykonana  w ramach realizacji  problemu  wę złowego  05.12:  Wytrzymałość  i  optymalizacja  konstrukcji  maszynowych  i  budowlanych.  70  W . TRĄ MPCZYŃ SKI  oraz  warunek  stanu  granicznego  C o u l o m b a ­ M o h r a ,  który  dla  płaskiego  stanu  odkształ­ cenia  ma  p o s t a ć   (2)  [px  ­cos2   =  y(dy±tgodx),  gdzie  e  =  7 1 / 4 ­ g / 2 .  2.2.  Kinematyka.  Ze  wzglę du  na  z ł o ż o ne  własnoś ci  rzeczywistycli  o ś r o d k ów  sypkich  oraz  brak  dostatecznej  iloś ci  b a d a ń  doś wiadczalnych,  dotychczas  nie  ma  jednolitego  po­ glą du  na  sprawę  formułowania  r ó w n a ń  plastycznego  płynię cia  oś rodka.  Istnieje  szereg  propozycji  praw  fizycznych  (np.  [7,8,9,10,11,12])  z  k t ó r y c h  k a ż da  budzi  kontrowersje.  N i e  wnikając  w  ich przyczyny w niniejszej  pracy  ograniczono  się  do  analizy kinematyki  oś rodka  przy  uż yciu  prawa  płynię cia  zaproponowanego  przez  D R U C K E R A  i  PRAGERA  [7].  Jest  ono  uogólnieniem  na  oś rodki  rozdrobnione  tzw.  stowarzyszonego  prawa  pły­ nię cia  w  postaci  8F  (5)  Ł;,• =  A ­  ,  gdzie  A jest  współczynnikiem  proporcjonalnoś ci  natomiast  funkcja  F  jest  wajunkiem  plastycznoś ci.  R ó w n a n i a  kinematyki,  które  przyjmują  p o s t a ć :  dVx  8Vy\  ;;ty  (dVy  dVx\  „  dV  dV  ~ ~  ( s i n g ­ cos 2) —  0  rozwią zuje  się  metodą  charakterystyk  uzyskując  nastę pują ce  r ó w n a n i a  charakterystyk  oraz  zależ noś ci  wzdłuż  nich :  (7)  ­Ł  =  tg(fp±e),  dVx  + dVytg(  Q  punkt  O*  znaj­ duje  się  na  odcinku  E'A'  i  przesuw  o ś r o d ka  wzdłuż  ś ciany  napierają cej  odbywa  się  do  dołu.  Ponieważ  przystę pując  do  rozwią zania  założ ono  przeciwny  kierunek  tego  ruchu,  co  pocią ga  za  sobą  odpowiedni  zwrot  n a p r ę ż eń  stycznych  na  ś cianie,  moc  dysypowana  w  punkcie  E  jest  ujemna.  Graniczna  wielkość  ką ta  a 2  wynika  natomiast  z  charakteru  rozpatrywanego  pro­ cesu.  N p . w zagadnieniu  przedstawionym  na  rys.  4  a 2  =  0 i  odpowiada  ką towi  nachylenia  dolnej  czę ś ci  łyż ki  ł a d o w a r k i .  G d y  Ś 2i  >  a2  nastę puje  wciskanie  w  oś rodek  dolnej  czę ś ci  łyż ki  co  nie  odpowiada  charakterowi  pracy  tego  typu  narzę dzi.  W  przypadku  naporu  płaskich  ś cian  (np.  rys.  1)  C N >  \ \   \  \  \  \  \ л З Л г К>  • / i '\  \  \  \  \  \  \  \  \  \ "'\  \  \  \  >  \X3v­^c^  j y \ \ \ \ \ \ \ \  \  Y x v v  УУ Х  \  \  \  \  \  \  \  \  \  \  V x S ^  J ^ V\   \   \   \   V V \  \  /f\  \  \  \  \  \  W  \  \  \  г о д   J \  \  W  W W W  \  \  \  v ł £  — ­ ­ — — 1 — i  i  i  i  д  ^  ^  1  i ­ E  У   [cm] as--0.00 aL = UO.C -200 n oc dysyp owa na doda tnia Rys.  3  i  rozwią ż my  zagadnienie  od  nowa  (rys.  3).  D l a  tak  postawionego  zadania  poprawne  roz­ wią zanie  uzyskuje  się  dla  (10)  «*  *S O  <  Q2  gdzie  Q2  jest  ką tem  nachylenia  wektora  przesuwu  oś rodka  wzdłuż  charakterystyki  /3  w  punkcie  A,  bę dą cej  linią  niecią głoś ci  prę dkoś ci.  Uzasadnienie  obu  granicznych  wiel­ koś ci  ką ta  ii  jest  analogiczne  do  poprzedniego.  Poprawne  rozwią zanie  m o ż na  więc  uzy­ 74  W .  TRĄ MPCZYŃ SKI  skać  w zakresie  ką tów  nachylenia  wektora  prę dkoś ci  przesuwu  odpowiadają cego  bardziej  wysuwaniu  się  ś ciany  z  oś rodka  nie  zaś  jej  naporowi.  W y n i k a  stą d,  że  dla  poziomego  przesuwu  ś ciany  nie  m o ż na  otrzymać,  w  przypadku  przedstawionym na rys.  1, poprawnego rozwią zania  ponieważ  wartość  =  0 nie zawiera się   w  ż a d n ym  z  zakresów  okreś lonych  nierównoś ciami  9  i  10.  W  zagadnieniach,  w  k t ó r y c h  kierunek  przesuwu  ś ciany  jest  okreś lony  z  góry  maksy­ malny  kąt  jej  nachylenia  ograniczony  jest  wynikają cą  z  rozwią zania  wielkoś cią  ką ta  Qt  w  punkcie  E,  gdyż  spełniony  musi  być  warunek  9.  W  przypadkach,  gdy  ś ciana  napierają ca  wystaje  ponad  brzeg  swobodny  oś rodka  (na  rys.  1 zaznaczono  to  linią  przerywaną)  w  punkcie  A  dodatkowo  musi  być  spełniony  warunek  (dotyczy  to  zagadnień,  w  któryc h  ś ciana  bezpoś rednio  styka  się  z  obszarem  uplastycznionym)  (11)  oc*^Q2,  gdzie  Q2  jest  ką tem  nachylenia  wektora  prę dkoś ci  o ś r o d ka  wzdłuż  charakterystyki  /?  w  punkcie  A,  skąd  otrzymujemy  ograniczenie  ką ta  nachylenia  ś ciany  • f  '  3  >  (12)  a L < ^ ­ 7 u ­ e / 2 +  a s .  W  przeciwnym  razie,  rozkładając  p r ę d k o ść  o ś r o d ka  w  punkcie  A  na  kierunek  normalny  i  styczny  do  ś ciany  otrzymujemy  składową  n o r m a l n ą  skierowaną  do  ś ciany.  Dalsze  rozważ ania  dotyczą ce  wpływu  kształtu  brzegu  swobodnego  i  profilu  narzę dzia  na  moż liwość  uzyskania  rozwią zań  kinematycznie  dopuszczalnych  przeprowadzano  przy  założ eniu,  że  kąt  nachylenia  wektora  prę dkoś ci  ś ciany  spełnia  nierównoś ci  9 i  12.  3.2.  Wpływ  kształtu brzegu swobodnego na  moż liwość uzyskania  rozwią zań kinematycznie  dopuszczal­ nych.  W  przypadku  poziomego  brzegu  swobodnego  o ś r o d ka  uzyskiwano  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne  dla  wszystkich  rozpatrywanych  p r z y p a d k ó w ,  niezależ nie  od  wielkoś ci  obszaru  uplastycznionego.  Znaczy  to,  że  niezależ nie  od  tego czy w  rozwią zaniu  statycznym  wystę powało  tylko  zagadnienie  Cauchy'ego,  czy zagadnienie  Cauchy'ego i za­ gadnienie  z  punktem  osobliwym,  czy też  zagadnienie  Cauchy'ego, zagadnienie  z  punktem  osobliwym  i  zagadnienie  mieszane  (co  jest  zależ ne  od  kształtu  ś ciany  napierają cej)  w  rozwią zaniu  moc  dysypowana  była  dodatnia  (np.  rys.  4).  W  przypadku  płaskiego  brzegu  nachylonego  do  poziomu pod  ką tem  a 5  <  0,  na  skutek  uwzglę dnienia  cię ż aru  obję toś ciowego  oś rodka,  charakterystyki  a  i  /?  w  obszarze  zagad­ nienia  Cauchy'ego  mają  krzywiznę  ujemną  (K  =  lim ——, gdzie  Ł jest  ką tem  pomię dzy  Jj­*0  As  osią  x  a  styczną  do  charakterystyki  w  danym  punkcie,  a  As  odległoś cią  mię dzy  dwoma  są siednimi  punktami.  Z a  kierunek  dodatni  charakterystyk  przyję to  kierunek  zgodny  z ich  wykreś laniem,  tzn.  od  brzegu  swobodnego).  W  zadaniach,  w  których  obszar  plastyczny  ograniczał  się  tylko  do  w/w  zagadnienia  moc  dysypowana  była  ujemna  (*ys.  5).  W  obszarze  zagadnienia  charakterystycznego  z  punktem  osobliwym  zwię ksza  się   ujemna  krzywizna  charakterystyk  a, zaś charakterystyki  /3 są  liniami  o krzywiź nie  dodatniej.  W  zadaniach,  w  k t ó r y c h  obszarze  plastycznym  wystę powało  zagadnienie  Cauchy'ego  oraz  zagadnienie  charakterystyczne  z  punktem  osobliwym,  dla  kierunku  przesuwu  ś ciany  równoległego  do  brzegu  swobodnego,  zależ nie  od  wielkoś ci  ką ta  rozwarcia  wachlarza  i '  A N A L I Z A  R O Z W I Ą Z AŃ  Z A G A D N I E N I A  N A P O R U  Ś C I AN  77  Rys.  8  uzyskiwano  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne  (rys.  7)  lub  nie  (rys.  6).  D l a  tego  przypadku  istnieje  pewna  krytyczna  wielkość  wachlarza,  po  przekroczeniu  które j  m o ż na  o t r z y m a ć  poprawne  rozwią zania.  G d y  w obszarze  uplastycznionym wystę powało  także  zagadnienie  mieszane,  niezależ nie  od  jego  wielkoś ci,  dla  tego  kierunku  ruchu  otrzymywano  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne  (rys.  8).  O  ile  w  zagadnieniach  przedstawionych  na  rys.  5  i  6  moc  dysypowana  jest  ujemna  niezależ nie  od  wielkoś ci  ką ta  Д  o  tyle  w  p r z y k ł a d a c h  przedstawionych  na  rys.  7  i  8  uzy­ skanie  rozwią zań  poprawnych zależy  od jego wielkoś ci. N a rys.  9 i  10 pokazano  rozwią zanie  tych  samych  zagadnień  (co  na  rys.  7  i  8)  z  tym,  że  Q  =  Qx.  W  obu  przypadkach  moc  dysypowana  jest  ujemna.  Dopiero  dla  zagadnienia  naporu  płaskiej  ś ciany  (rys.  11)  uzyskanie  rozwią zań  kine­ matycznie  dopuszczalnych jest  niezależ ne  od  ką ta  nachylenia  wektora  prę dkoś ci  jej  prze­ suwu.  W  przypadku  płaskiego  brzegu  swobodnego  nachylonego  pod  ką tem  a s  >  0, na  skutek  uwzglę dnienia  cię ż aru  obję toś ciowego  oś rodka,  charakterystyki  a  i  /9 w  obszarze  zagad­ nienia  Cauchy'ego  mają  krzywiznę  dodatnią.  W  zadaniach,  w  któryc h  obszar  plastyczny  ograniczał  się tylko  do  w/w zagadnienia  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne  uzyski­ wano  zależ nie  od  wielkoś ci  ką ta  Q.  W  przedstawionym  na  rys.  12 zagadnieniu  dla  Q  =  as  ANALIZA  ROZWIĄ ZAŃ  ZAGADNIENIA  NAPORU  Ś CIAN  81  (przesuw  równoległy  do  brzegu)  moc  dysypowana  jest  ujemna,  natomiast  dla  Q =  Q1  (rys.  13)  jest  ona  dodatnia.  W  przypadkach,  w  któryc h  w  obszarze  plastycznym  poza  zagadnieniem  Cauchy'ego  wystę powało  zagadnienie  charakterystyczne  z  punktem  osobliwym  lub  zagadnienie  cha­ rakterystyczne  z  punktem  osobliwym  i  zagadnienie  mieszane  we  wszystkich  rozpatry­ wanych  zadaniach  uzyskiwano  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne  (rys.  14).  Przedstawione  powyż ej  ograniczenia  nie  dotyczą  o ś r o d ka  nieważ kiego.  Charaktery­ styki  a  w  całym  obszarze  plastycznym  są  liniami  prostymi  natomiast  charakterystyki  /?  bą dź  są  liniami  prostymi  bą dź  ich krzywizna jest  dodatnia  (zagadnienie  charakterystyczne  z  punktem  osobliwym). D l a takiego  o ś r o d k a,  niezależ nie  od  ką ta  nachylenia  brzegu  swo­ bodnego,  otrzymuje  się  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne.  W  przypadku  brzegu  swobodnego  wklę słego  (rys.  15)  charakterystyki  a  mają  krzy­ wiznę  ujemną  natomiast  krzywizna charakterystyk  /3 jest  dodatnia.  Pozwala to  na  uzyski­ wanie  we  wszystkich  przypadkach  rozwią zań  poprawnych.  Natomiast  jeż eli  brzeg  swobodny  oś rodka  jest  wypukły,  charakterystyki  /?  mają  krzy­ wiznę  ujemną  w  obszarze  zagadnienia  Cauchy'ego  i  zagadnienia  mieszanego,  a  dodatnią   300  x  [cm]  a  = 100.0°  moc  dysypowana  ujemna  Rys.  16  w  obszarze  zagadnienia  charakterystycznego  z  punktem  osobliwym.  K r z y w i z n a  chara­ kterystyk  a  we  wszystkich wspomnianych  obszarach  jest  dodatnia.  Powoduje  to  uzyski­ wanie  mocy  dysypowanej  ujemnej  we  wszystkich zadaniach  (np.  rys.  16).  3.3.  Wpływ kształtu ś ciany napierają cej na  moż liwość otrzymania rozwią zań kinematycznie  dopuszczal­ nych.  Przedstawiając  wpływ  kształt u  ś ciany  napierają cej  na  rozwią zanie  r o z p a t r y w a ć   bę dziemy  zagadnienia  w  których  swobodny  brzeg  oś rodka  jest  płaski  natomiast  pod  poję­ ciem  kształtu  ś ciany  rozumieć  bę dziemy jedynie  konfigurację  tej  jej  czę ś ci,  na  której  k o ń ­ czą  się charakterystyki  /?  (odcinek  RA  na  rys.  4).  W  przypadku  koń czenia  się ich na  l i n i i  niecią głoś ci  prę dkoś ci  (odcinek  RE  na  rys.  4),  kształt  ś ciany  znajdują cej  się za  nią  nie  ma  wpływu  na  rozwią zanie  kinematyczne.  Kąt  a,  w  punkcie  A,  musi  być  na  tyle  duż y,  by  spełniony  był  warunek  (13)  ci, >  cpc  (epi — kąt  cp na  ś cianie  w  punkcie  A,  ( — a),  a„  =  Gi(l +sinQCos2(q>i­  c ­ « )  skąd  (16)  1 + cos2(c?c—a)  <*z >  (pc — a r c t g / i + T t / 2 .  •  px°  100.0  Py '40.  a,­o.o  •  Л  ',.1  i / " * ,  , O J U :  ' i ' " !  y i n r ,  i'  Rys.  17  ANALIZA  ROZWIĄ ZAŃ  ZAGADNIENIA  NAPORU  Ś CIAN  83  Uzyskanie  rozwią zań  kinematycznie  dopuszczalnych  w  przypadku  naporu  ś cian  o  krzywiź nie  ujemnej  (analogicznie jak  poprzednio  za  kierunek  dodatni  uważ ać  bę dziemy  kierunek  od  począ tku  u k ł a d u  współrzę dnych,  na  rys.  17  zaznaczono  to  strzałką,  i  К  =  =  l i m  —j^­  gdzie  f  i  jest  ką tem  pomię dzy  osią  x  a  styczną  do  ś ciany  w  danym  punkcie,  As^­a As  natomiast  As jest  odległoś cią  pomię dzy  dwoma  punktami)  zależ ne jest  od  wielkoś ci  krzy­ wizny.  Charakterystyki  a  wychodząc  ze  ś ciany  pod  zmieniają cym  się  wzdłuż  jej  konturu  ką tem  mają  tendencję  do zbiegania  się, natomiast  charakterystyki [3 w obszarze  zagadnienia  mieszanego  stają  się  liniami  o  krzywiź nie  ujemnej  (na  granicy  z  obszarem  zagadnienia  charakterystycznego  z  punktem  osobliwym  wystę puje  punkt  przegię cia,  np.  punkt  M  na  rys.  17).  Powoduje  to  uzyskiwanie  mocy  dysypowanej  ujemnej.  Uwzglę dnienie  cię ż aru  84  i  W .  T R Ą M T C Z Y Ń S KI  \ obję toś ciowego  o ś r o d ka  powoduje,  że  istnieje  pewna  dla  danego  zagadnienia,  krzywizna  krytyczna  nie  przekraczając  której  charakterystyki  /3 w  obszarze  zagadnienia  mieszanego  mają  krzywiznę  dodatnią  i  moż emy  uzyskać  rozwią zania  kinematycznie  dopuszczalne.  D l a  przypadku  przedstawionego  na  rys.  18  numerycznie  okreś lona  wielkość  krzywizny  krytycznej  wynosi  rk  =  5500  cm  przy py  =  200  cm  (gdzie  rk  jest  promieniem krytycznym).  D l a  r  <  rk  moc  dysypowana  jest  ujemna  (rys.  18),  a  dla  r  ^  rk  jest  dodatnia  (rys.  19).  W  przypadku  o ś r o d ka  nieważ kiego,  w  obszarze  zagadnienia  mieszanego  charaktery­ styki  a  są  liniami  prostymi,  a  kąt  pomię dzy  nimi  a  styczną  do  ś ciany  napierają cej  jest  wielkoś cią  stałą.  Niezależ nie  od  wielkoś ci  ujemnej  krzywizny  ś ciany  charakterystyki  te  zbiegają  się,  natomiast  charakterystyki  /3  mają  krzywiznę  ujemną.  Taka  konfiguracja  charakterystyk  powoduje,  że  moc  dysypowana  jest  ujemna.  Oznacza  to,  że  dla  oś rodka  nieważ kiego  mamy  rk  =  co  i  poprawne  rozwią zania  m o ż na  uzyskać  jedynie  dla  płaskiej  ś ciany.  W  przypadku  dostatecznie  duż ej  krzywizny  ś ciany,  z a r ó w n o  dla  oś rodka  waż kiego  (rys.  17), jak  i nieważ kiego,  charakterystyki  a przecinają  się w zakresie  obszaru  uplastycz­ nionego  co  powoduje  powstanie  l i n i i  niecią głoś ci  naprę ż eń  (odcinek  MN),  a  to  unie­ moż liwia  zbudowanie  poprawnej  kinematyki.  W  punktach  3.1,  3.2,  3.3  pokazano  osobno  wpływ  kierunku  ruchu  ś ciany,  kształtu  ś ciany  napierają cej  i  konfiguracji  brzegu  swobodnego  na  uzyskanie  rozwią zań  kinema­ tycznie  dopuszczalnych.  Ponieważ  jednak  w  konkretnych  przypadkach  praktycznych  wpływy  poszczególnych  elementów  nakładają  się, przedstawione  w punkcie  3  ograniczenia  należy  t r a k t o w a ć  jedynie  jako  tendencję  zachowania  się  rozwią zania  pod  wpływem  oma­ wianych  czynników.  N p .  dobierając  odpowiedni  kształt  brzegu  swobodnego  moż emy  uzyskać  poprawne  rozwią zania  dla  ś ciany  o  krzywiź nie  wię kszej  od  krytycznej  (rys.  20).  Rys.  20  A N A L I Z A  R O Z W I Ą Z AŃ  Z A G A D N I E N I A  N A P O R U  Ś CIAN  85  "  /  1  4.  Wnioski  Przedstawiona  analiza  wskazuje,  iż  wprawdzie  teoria  mechaniki  o ś r o d k ów  sypkich  pozwala  na  rozwią zanie  bardzo  duż ej  klasy  z a d a ń ,  j e d n a k ż e  w  wielu  przypadkach  prak­ tycznych  istnieje  szereg  ograniczeń  uniemoż liwiają cych  uzyskanie  rozwią zań  kinema­ tycznie  dopuszczalnych.  Tak  więc  ograniczenia  wystę powały  w  przypadku  swobodnego  brzegu  nachylonego  pod  pewnym  ką tem  do  poziomu  brzegu  wypukłego,  ś ciany  napie­ rają cej  o  krzywiź nie  ujemnej  oraz  dla  pewnych  k ą t ów  nachylenia  wektora  p r ę d k o ś ci  przesuwu  ś ciany.  Wydaje  się,  że  j e d n ą  z  istotnych  przyczyn  tego  jest  przyję cie  silnego  założ enia,  że  cały  materiał,  łą cznie  ze  swobodnym  brzegiem,  znajduje  się  w  stanie  pla­ stycznym.  Prawdopodobnie  w  takich  przypadkach  wystę pują  ruchome  obszary  sztywne,  nie  bę dą ce  w  stanie  plastycznym  i  dochodzą ce  do  swobodnego  brzegu  (zjawisko  to  zau­ w a ż o no  np.  w  pracy  [19]).  Zbudowanie  rozwią zań  teoretycznych  w  takich  warunkach  jest  bardzo  trudne  i  jak  d o t ą d,  tego  rodzaju  rozwią zań  brak.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W.  W.  S O K O Ł O W S K I ,  Statyka  oś rodków  sypkich,  PWN,  Warszawa  1958.  2.  Z.  M R Ó Z ,  A.  D R E S C H E R ,  Podstawy  teorii  plastycznoś ci  oś rodków  rozdrobnionych,  Wyd.  PAN,  1972.  3.  E .  D E M B I C K I ,  Stany graniczne  gruntów:  teoria  i  zastosowanie,  Gdań skie  Tow.  Naukowe,  1970.  4.  W.  S Z C Z E P I Ń S K I,  Stany graniczne  i kinematyka  oś rodków  sypkich,  PWN,  Warszawa  1974.  5.  A.  D R E S C H E R ,  O pewnych  rozwią zaniach  kinematycznych  płaskiego  płynię cia  oś rodków  rozdrobnionych,  Prace IPPT 31 (1972).  6.  W.  T R Ą M P C Z Y Ń S K I,  Mechanika procesów  urabiania  gruntów jako zagadnienie teorii plastycznoś ci,  Praca  doktorska,  IPPT PAN,  1975.  7.  D.  C.  D R U C K E R ,  W.  P R A G E R ,  Soil mechanics  and plastic  analysis  of  limit  design,  Quart.  Appl.  Math.,  10,  157­165 (1952).  8.  A.  W.  J E N I K E ,  R.  T.  S H I E L D ,  On  the plastic flow  of  Coulomb  solids  beyond original failure,  J .  Appl.  Mech,  26,  599  ­ 602  (1959).  9.  Z.  M R Ó Z ,  On  a  theory  of  density­hardening  media,  Acta  Mech.,  1972.  10.  G.  de.  JOSSELIN  de  J O N G ,  Statics  and kinematics  in  the failable  zone  of  a  granular  material,  Waltman  Delft  1959.  11.  A .  J .  M .  S P E N C E R ,  A theory  of kinematics  of ideal soil under plane strain conditions,  Journ.  Mech. Phys.  Solids,  12,  337  ­  351  (1964).  12.  Г .  А.  Г Е Н Е В,  В о п р о с ы  д и н а м и к и  з е р н и с т ы х  с р е д ,  А к а д.  С т р о и т.  А р х и т е к т.  С С С Р,  �о с к ва  1958.  13.  Praca  zbiorowa,  Teoria  plastycznoś ci,  PWN,  Warszawa  1965.  14.  A .  P.  G R E E N ,  A  theoretical investigation  of  the  compression  of  a  ductile  material between  smooth flat  dies,  Phil.  Mag.,  42,  900  ­ 918  (1951).  15.  H .  F O R D ,  Advanced  mechanics  of  materials,  Longmans  Green,  London  1960.  16.  L.  D I E T R I C H ,  W.  T R Ą M P C Z Y Ń S K I,  Przedłuż enie  stanu  naprę ż enia  w obszar sztywny dla pewnych rozwią zań   w  mechanice  gruntów,  Rozpr.  Inż .,  22,  4,  631  ­644  (1974).  17.  M A S S A U ,  Memoire  sur Pintegralion  graphią ue  des  equations  aux  deucrees partolles,  Gand., 1900,­  1903.  18.  A .  D R E S C H E R ,  Some  remarks  on plane flow  of  granular  media,  Arch.  Mech. Stos.,  24,  5 ­ 6,  837  ­  848  (1972).  19.  A.  D R E S C H E R ,  G.  de  JOSSELIIS  de  J O N G ,  Photoelastic  verification  of  a  mechanical model  for  the flow  of  a  granular  material,  J . Mech. Phys. Solids,  20  (1972).  86  W.  TRĄ MPCZYŃ SKI  Р е з ю ме   З А Д А ЧИ  Н А П О РА  С Т Е Н ОК  Р А З Л И Ч Н О ГО  П Р О Ф И ЛЯ   И С С Л Е Д О В А Н ИЕ  К И Н Е М А Т И Ч Е С КИ  Д О П У С Т И М ЫХ  Р Е Ш Е Н ИЙ Д ЛЯ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е ны  о г р а н и ч е н ия  с у щ е с т в у ю щ ие  д ля  к и н е м а т и ч е с ки  д о п у с т и м ых  р е ш е н ий   з а д а чи  о  н а п о ре  с т е н о к,  и м е ю щ их  п р о ф и ль  и н с т р у м е н т ов  д ля з е м л я н ых  р а б от  (н а п р.  к о вш п о­ г р у з ч и ка  и ли о т в ал  б у л ь д о з е р а ).  И с с л е д о в а н ие  п р о в е д е но  на  о с н о в а н ии  м а т е м а т и ч е с к ой  т е о р ии   п л а с т и ч н о с ти  д ля  в е с о м ой  с р е д ы,  у д о в л е т в о р я ю щ ей  у с л о в ию  п л а с т и ч н о с ти  К у л о н а ­М о ра  с у ч е т ом   р а б о ты  на р а с т я ж е н ие  и а с с о ц и и р о в а н н о му  з а к о ну  т е ч е н и я.  О с н о в а н и ем  д ля  в ы в о д ов  б ыл  а н а л из   ч и с л е н н ых  р е ш е н ий  р я да  к о н к р е т н ых  к р а е в ых  з а д а ч.  S u m m a r y  ANALYSIS  OF K I N E M A T I C A L L Y  ADMISSIBLE  SOLUTIONS  OF EARTH­MOVING  PROCESSES  IN  T H E  CASES  OF VARIOUS  PUSHING  W A L L  FORMS  In  the  paper  kinematically  admissible  solutions  for  earthmoving processes  due  to  various  buckets  of  loading machines are presented.  On  the basis  of the mathematical theory of plasticity, theoretical solu­ tions  are obtained by means  of the associated  flow  rule and the  Coulomb­Mohr limit state, mass density  being taken into account. Analysis of numerical solutions  of several boundary problems makes it possible  to  draw certain  general  conclusions.  INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN  WARSZAWA  Praca została  złoż ona  w Redakcji  dnia  30 marca  1976 r.