Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  15  (1977)  O  SFORMUŁOWANIU  I POPRAWNOŚ CI  PEWNEJ  KLASY  ZADAŃ   Z  NIELINIOWEJ  DYNAMIKI  LIN  ROZCIĄ GLIWYCH  ANDRZEJ  B L I N O W S K I  (WARSZAWA)  •   1.  Wstęp  i  W  pracy  [1]  autor niniejszej  pracy  wspólnie z S.  G A J D Ą  rozpatrywał  sprzę ż one  zagadnie­ nie,  którego  istotną  czę ś cią  było  nieliniowe,  dwuwymiarowe  zadanie  o  swobodnym  locie  rozcią gliwej  liny.  Przy  okazji  tego  zadania  powstał  problem  poprawnoś ci  sformułowania  zagadnień   brzegowych  na brzegu  ruchomym,  np. przy  wycią ganiu  liny  z zasobnika  lub też  odwijaniu  z  bę bna.  W  niniejszej  pracy  sformułujemy  pełne  zadanie  trójwymiarowe,  zbadamy  typ  równań  i  rozpatrzymy  jeden  z  w a r u n k ó w  poprawnoś ci  sformułowania  pewnej  klasy  za­ gadnień  brzegowych.  2.  Równania  mchu  W  rozdziale  tym, dla wygody  czytelnika,  podamy  wyprowadzenie  równań  ruchu dla  rozcią gliwej  l i n y . 1 '  Linę  t r a k t o w a ć  bę dziemy  jako  sprę ż yste  kontinuum  jednowymiarowe  zanurzone  w  trójwymiarowej  przestrzeni  euklidesowej.  N i e  bę dziemy  tu  uwzglę dniać   skoń czonej  gruboś ci  liny,  tj.  zaniedbamy  jej  sztywność  przy  zginaniu  oraz  moment  bez­ władnoś ci  przekroju  poprzecznego,  nie uwzglę dniamy  również  skrę cenia  liny.  0  Rys.  1  1 1  Równania  te  moż na  znaleźć  np. w  [3], jednakże  «przetlumaczenie»  ich na  stosowaną  w  niniejszej  pracy  symbolikę  byłoby  co najmniej tak samo  pracochłonne,  jak wyprowadzenie  ich od nowa.  228  A .  BLINOWSKI  Przy  tych  założ eniach,  kinematyka  liny  opisana  jest  całkowicie  przez  podanie  wektora  położ enia  R(S, т) jako  funkcji  czasu  т i  współrzę dnej  materialnej  S, o  której  założ ymy,  że  pokrywa  się ona liczbowo  z  miarą  długoś ci  liny  w stanie  nieodkształconym.  Przez  s  oznaczać  bę dziemy  długość  liny  w stanie  odkształconym.  Wprowadzimy  oznaczenia:  ds(S,  r)  F =  t  =  v =  dS  F­l  dR(S,  r)  dS  dR(S,  T)  dS  8R(S,  r)  dr  dv(S,  r)  dr  —  gradient  deformacji,  —  wydłuż enie,  —  jednostkowy  wektor  styczny,  —• prę dkoś ć,  —  przyspieszenie.  Mnoż enie  wektorów  oznaczać  bę dziemy  w zwykły  sposób,  natomiast  czasową  pochodną   materialną  (przy  ustalonym  S) oznaczać  bę dziemy  kropką np.  a  =  v = R.  Korzystać  bę dziemy  z nastę pują cych  znanych  zależ noś ci  z geometrii  róż niczkowej  (2.1)  (2.2)  ds(S,  T)  dS  et(s, r)  8R(S,  r)  dS  = п к ,  gdzie  n jest jednostkowym  wektorem  normalnym,  a x krzywizną  liny.  Jeż eli  Q jest  gę stoś cią   masy  na jednostkę  długoś ci,  to  oczywiś cie  dla  k a ż d y ch  dwu  p u n k t ó w  materialnych  Si,  S2,  S2  >  S,  zachodzi  r  5(S2)  S2  (2.3)  J  gds  =  J  Q0dS,  J(S,)  Si  gdzie  Q0 oznacza  gę stość  w stanie  nieodkształconym.  Otrzymamy  stąd  natychmiast  lokalne  prawo  zachowania  masy  (2.4)  QF=Q0:  Natychmiastowym  wnioskiem  z  (2.4)  jest  nastę pują cy  odpowiednik  znanego  wzoru  trój­ wymiarowego  (dla  dowolnego  odcinka  materialnego):  (2.5)  dr  l—  Г  f(s,r)ods=  j  f(s,_r)ods,  gdzie f(s,  r) jest  dowolną  funkcją  (gę stoś cią ).  O  S F O R M U Ł O W A N I U  I  P O P R A W N O Ś CI  P E W N E J  K L A S Y  Ż Ą D AŃ   229  Przy  omówionych  na począ tku  tego  rozdziału  założ eniach,  naturalne jest  postulowanie,  dla  dowolnego  odcinka  materialnego  i  dla  dowolnego  pola  prę dkoś ci,  nastę pują cego  bilansu  energetycznego:  s(.S2)  s(S2)  s(S2)  ( 2 ­ 6 )  ~Ъ Ч i  Q^s  =  afy\srafy\si+  f  r­vds­­±  J  Q ^ . c h ,  lub,  korzystając  z  (2.5), w postaci  (2.7)  J  d  ,  •   QW —~y~  (at  •  v) — г • v +  QV  • v ds =  0,  gdzie a jest siłą nacią gu  liny, w =  w(F)—gę stoś cią  masową  energii  sprę ż ystej, a r  —  gę stoś cią   sił  zewnę trznych  na jednostkę  długoś ci  (opór  oś rodka,  siły  masowe).  Wykonując  róż nicz­ kowanie i korzystając  z tego, że (2.7) obowią zywać  ma  dla  k a ż d e go  odcinka  material­ nego,  moż emy  (2.7)  przepisać  w postaci  (2.8)  (e­w*­*)*• ̂ ­  + « « + ' ­ ? * )  ­  = o­ Skorzystaliś my  tu z  zależ noś ci  (29)  F  ~ J L . t = F * L . t  którą  łatwo  sprawdzić  przez  bezpoś rednie  róż niczkowanie.  Z  niezmienniczoś ci  wzglę dem  transformacji  Galileusza  wynika  natychmiast,  że  oba  te  człony  muszą  oddzielnie  być  równe  zeru  i że wyraż enie  w nawiasie  w drugim  członie  musi  być  toż samoś ciowo  równe  zeru, natomiast z zasady  obiektywnoś ci  materialnej  wynika,  że z kolei  współczynnik  przy ­ —  (pierwszy nawias) jest  toż samoś ciowo  równy  zeru.  M a m y  cs  zatem  równanie  ruchu  der  (2.10)  —  t + crni + r  = Q\  oraz  równanie  konstytutywne  dw(F)  „   dw(F)  (2.11)  tf=e_^F=eo_J^.*>  Przechodząc  od róż niczkowania  po s do róż niczkowania  po S i  oznaczając  BR1  .  dR2  .  8R3  3  (2.12)  dS  '  dS  '  dS  R1  =  u4;  R2  =  u5;  R3  =  u6,  2 >  Wzory (2.10) i (2.11) moż na  traktować  jako  szczególny  przypadek  ogólnej  teorii  Greena i Lawsa  (por.  [3], wzory (4.1) s.  150  i (6.3) s. 153).  230  A .  BLINOWSKI  gdzie  R'  —  składowe  wektora  R  w  pewnej  bazie  kartezjań skiej,  a  także  oznaczając  (2.13)  (2.14)  QF>  a  X,  =  sinOcosy;  =   s i n o   s i n  (   —r  =  COS0,  F  (takie  podstawienie  wolno  nam  zastosować,  ponieważ \ —  t jest  wektorem  jednost­ kowym,  0  i  cp są  ką tami  Eulera),  moż emy  zapisać  (2.10) w postaci  u k ł a d u  6  r ó w n a ń  pierw­ du4  .,  du5  .,  du6'  =  Is"  szego  rzę du  ^dochodzą  3  r ó w n a n i a  u1  (2.15)  dS  du1  dS  ;  u'  dS  '  du6^  8S  r3  0  0  gdzie  (2.16)  Ш  =  0  fa  «и!  o  (2.17)  [«,­;]  =  X2sm20cos2cp +  (Xj­X2)x  +  Al(sin26sin2c3  +  cos2i9)'  xsin2f3sin'  ( A f ­ A i ) x  Xsin6cos0cosc5  a f ­ A i ) x  + Д2 (sin20 cos 2 f/> + cos 2 0)'  X sin0 cosfl sin cp  (?Ą ­X22)x  A 2 c o s 2 0  +  xsinOcosOsinc?'  + A l s i n z 0  a  [dij] jest  macierzą  jednostkową  3 x 3 .  W z ó r  (2.15)  należy  rozumieć  w  sensie  wektorowym  w  pewnej  6­cio  wymiarowej  przestrzeni  u.  3.  Badanie  równań  ruchu  •   >   Zbadamy  wartoś ci  własne  macierzy  [Atj\.  R ó w n a n i e  charakterystyczne przybiera  postać   (3.1)  det  7 W y!  6tj  аи  | —W y  =  0.  O  SFORMUŁOWANIU  I  POPRAWNOŚ CI  PEWNEJ  KLASY  ZADAŃ   231  D l a  wię kszoś ci  zagadnień  fizycznych  moż emy  przyją ć,  że  X\  >  X\  (np.  dla  liniowego  xi  prawa  i  małych  odkształceń  — T  =  e)­  Mnoż ąc  odpowiednio  przez  £  i  dodając  do  siebie  Xi  wiersze  macierzy  [Ay]  oraz  wprowadzając  oznaczenia  V  =  e­x\  (3.2)  det  >   =  0.  Xj­xi  i  korzystając  z  (2.14),  moż emy  (3.1)  sprowadzić  do  postaci  ' i 2 ­ » ? ,  Uh,  tiU  ht3,  t2h,  Ą ­S  Macierz  w  równaniu  (3.2)  ma  postać  reprezentacji  tensora  t ® f — 77I,  czyli  r\ są  wartoś ciami  własnymi  pewnej  diady  t ® t ,  przy  czym,  jak  pamię tamy,  t jest  wektorem  jednostkowym,  zatem  r\ =  0  jest  dwukrotnym  pierwiastkiem  r ó w n a n i a  (3.2),  а  щ =  1 jednokrotnym  i ,  co  za  tym  idzie,  wartoś ci  ±X2  są  dwukrotnymi  pierwiastkami  r ó w n a n i a  (3.1),  natomiast  wartoś ci  ± A j ,  są  jego  pierwiastkami  pojedynczymi.  Rozwią zaliś my  zatem  równanie  6  stopnia  (3.1)  i  stwierdziliś my,  że  wszystkie  jego  pierwiastki  są  rzeczywiste,  jeż eli  tylko  naciąg  liny  jest  nieujemny.  Jeż eli  dodatkowo  istnieją  lewe  jednostkowe  wektory  własne  macierzy  [Аи]  tworzą ce  bazę  przestrzeni  u,  to  układ  (2.15),  a  zatem  i  (2.10),  jest  hiper­ boliczny  [2].  Sprawdzimy  więc  istnienie  wektorów  własnych  //*>  (i,  к  =  1,  2,  3,  4,  5,  6),  tj.  wekto­ rów  spełniają cych  równoś ci:  б  б   (з .з)  •  ­  i > > ł »  is>"  1=1  tworzą cych  bazę  w  u.  Jeż eli  / J p )  są  składowymi  wektora  własnego  przynależ nego  p­tej  wartoś ci  własnej  Ł ( p > ,  to  (3.4)  • £  i/y  1  l/y  ­  [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] .  R ó w n a n i e  (3.4)  sprowadza  się  do  nastę pują cych  w a r u n k ó w :  (3.5)  /<">  =  Ą T;  / ( 2 P ) =  РрЩр ),  l(3 p)  =  P*W  (3.6)  <5y (f»>)'  [0, 0,  0]  macierz  [ay] jest  macierzą  symetryczną  i  ( Ł ( p ) ) 2  są jej  wartoś ciami  własnymi, zatem  istnieje  macierz  ortogonalna  [/?pit]  okreś lone  wzorem:  P=l>2>3>  k  =  4 , 5 , 6 .  Korzystając  z  (3.5)  utworzymy  pełną  macierz  [/Łp )]  (p,k  =  1,  6)  3 )  druga z  tych równoś ci  zależy  od  wyboru jednostek, jednakż e,  jeż eli  da  się ją  spełnić  przy pewnym  wyborze jednostek, to  również  spełnić  się da przy  każ dym  innym.  232  (3.7)  A.  BLINOWSKI  ­ я л1 ' ,  ­  А ^ б1 ' ,  ' 4  ?  7(1)  ' 5 >  Л1  ' 5 ^  Х Л1\  7(1) '4  >  7(1) ' 5  >  / б 1 '  —  ;  /<2>  л 2'4  !  ­ А 2 / 5 2 ) ,  ­ А 2 / 6 2 ) ,  /4 2 > ,  7(2)  ' 5  )  /(62 )  ;  /<2)  л 2'4  >  А 2 / 5 2 > ,  А 2 / ( 6 2 > ,  /(42 >,  7(2)  '5  >  П ,2)  — 5  /<3>  —  ;  / ( 3 >  ­ А 2 / 6 3 > ,  7(3) '4  )  7(3)  '5  >  л 2  ' 4  >  Л  / ( 3> л 2'  5  >  А 2 / ( 6 3 ) ,  t4  ,  7(3)  '5  >  / б 3 )  Jeż eli  wyznacznik  tej  macierzy jest  róż ny  od  zera  to,  przy  ustalonym  wyborze  jednostek,  jesteś my  w  stanie  znaleźć  liniowo  niezależ ny  układ  jednostkowych  wektorów  własnych  (chociaż  na  ogół  nie jest  to  układ  ortonormalny).  Odejmując  od  siebie  odpowiednie  wiersze  i  kolumny  macierzy  łatwo  dochodzimy  do  zależ noś ci  0  (3.8)  det[/^>]  =  ­ о Л, A|det  0  /?yj  Ponieważ  det[/5;j]  # 0  i  Aj  #  0,  to  wyznacznik  róż ny  jest  od  zera,  gdy  A 2  Ф  0.  Zatem  warunkiem  hiperbolicznoś ci  układu  jest  A 2  >  0.  Widzimy  zatem,  że  dla  liny  roz­ cią gliwej  r ó w n a n i a  pozostają  hiperboliczne  tak  długo,  jak  długo  naciąg  jej  jest  róż ny  od  zera.  Powstaje  pytanie:  czy  układ  zachowuje  hiperboliczność  dla  liny  nierozcią gliwej?  M o ż na  by  się  spodziewać,  że  układ  pozostanie  hiperboliczny,  ponieważ  skrajnym  przy­ padkiem  liny  nierozcią gliwej  jest  struna,  a  równanie  struny jest  równaniem  hiperbolicznym.  Wykaż emy  tu  na  przykładzie  zadania  płaskiego  (bierzemy  zadanie  płaskie  w  celu  zmniejszenia  pracochłonnoś ci  obliczeń ),  że  przypuszczenie  to  nie  jest  słuszne,  a  hiper­ boliczność  równania  struny  jest  wynikiem  linearyzacji.  W  przypadku  liny  nierozcią gliwej  lewa  strona  równania  (2.6)  bę dzie  równa  zeru  i  w wy­ niku  analogicznego  rozumowania  otrzymujemy  równanie  ruchu  (2.10)  w  niezmienionej  postaci,  natomiast  zamiast  prawa  konstytutywnego  (2.11)  otrzymujemy  warunek  (3.9)  dv  ds  •t  =  0,  S i F  =  1). Warunek  ten jest  spełniony  toż samoś ciowo,  wynika  on  bowiem  dR  (oczywiś cie  s  natychmiast  z  warunku  nierozcią gliwoś ci  F  =  =  1 •   Warunek  ten  dla  przypadku  płaskiego  moż emy  zapisać  również  w  postaci  (3.10)  dS  =  cos  9 9 ,  dR2  s i n y ,   gdzie   • o+/ • o+/  (/>  • o + i i p )  • o  =  o •  / у >  jest  spełnione  automatycznie  i  pozostają  trzy  r ó w n a n i a :  ­ у / зр >  +  а / 1р )  =  0,  (3.17)  a  a  a  a  2  234  A .  BLINOWSKI  /   Drugie  i  trzecie  z  tych  r ó w n a ń  zawiera  jedynie  l[p)  i l(2 p), przy  czym  wyznacznik  układu  tych  dwu  r ó w n a ń  jest  róż ny  od  zera:  (3.18)  ,det  =  а ф О ,  д ,  ­<5  fi,  а   wynika  stą d,  że  / f  =  l\  =  0.  »  Zatem  wszystkie  cztery  wektory  w ł a s n e  mają  pierwszą  składową  równą  zeru,  czyli  nie  mogą  być  one  liniowo  niezależ ne  i  układ  (3.15)  n i e  j e s t  h i p e r b o l i c z n y .  Zauważ ymy  natomiast  że  r ó w n a n i a  (3.11)  moż emy  zapisać  w  postaci  dę  .  ..  . . .  c r ­ ^  +/­1cosg? — r1smcp  =  Q(v1cosy> — v2smcp),  ( З Л 9)  S«  Г   D l a  zamocowanej  na  koń cach  struny,  pozostają cej  w  spoczynku  przy  pewnym  stałym  nacią gu  począ tkowym  wzdłuż  pewnej  prostej  (np.  osi  xt  kartezjań skiego  układu  współ­ rzę dnych)  i  przy  braku  sił  masowych,  jak  łatwo  wykazać,  wektor  małego  przemieszczenia  od  położ enia  równowagi  oraz jego  pochodne  czasowe  są  prostopadłe  do  t  z  dokładnoś cią   do  małych  wyż szego  rzę du.  W  zwią zku  z  tym  z  (3.19)  mamy  1  da  —,—  =  0,  tj.  a  =  const,  natomiast pierwsze równanie  przybiera  postać  liniowego  równania  hiperbolicznego  o  stałych  współczynnikach  wzglę dem  przemieszczenia  u2,  (ul  =  0),  mamy  bowiem  du2  i  stąd  (3.20)  а ф ­ ­е и 2  =  0,  zatem  w  wyniku  linearyzacji  odzyskujemy  własność  hiperbolicznoś ci.  4.  Poprawność  warunków  brzegowych na  brzegu ruchomym  W  wielu  zagadnieniach,  w  których  rozpatrywany  jest  lot  liny,  mamy  do  czynienia  z  wycią ganiem  liny z zasobnika,  rozwijaniem  z bę bna  itp.,  przy  czym  w  skali  całego  zadania,  wymiary  zasobnika  (lub  bę bna)  są  niewielkie  i  moż emy  je  zaniedbać  przyjmując  np.  dla  zasobnika  x  =  0,  tak  jakby  lina  przechodziła  w  tym  miejscu  przez  blok  lub  oczko  (kip).  Przy  formułowaniu  w a r u n k ó w  brzegowych  należy  w  tym  przypadku  zachować  okreś loną   ostroż ność  i  zdanie  się  wyłą cznie  na  inż ynierską  intuicję  może  się  okazać  zawodne,  tym  bardziej  że  mamy  do  czynienia  nie  tylko  z  ruchomym  lecz  wrę cz  nieznanym  brzegiem  (na  ogół  nie  znamy  wartoś ci  współrzę dnej  S  w  punkcie  przestrzennym  x  =  0).  Ponieważ  mamy  do  czynienia  z  układem  hiperbolicznym,  moż emy  się  spodziewać,  że  rozwią zanie  zagadnienia  metodą  «krok  po  k r o k u »  doprowadzić  nas  moż e,  przy  odpo­ O  SFORMUŁOWANIU  I  POPRAWNOŚ CI  PEWNEJ  KLASY  ZADAŃ   235  wiednim  algorytmie,  do  celu.  W  tym przypadku  nieznany  brzeg  moż emy  b u d o w a ć  w  trakcie  rozwią zania  i  na  każ dym  nastę pnym  kroku  odcinek  brzegu  t r a k t o w a ć  moż emy  jako  dany  z  kroku  poprzedniego.  Powstaje  pytanie  — ile musimy  założ yć  w a r u n k ó w  brzegowych,  aby  dla  każ dego  kolej­ nego  kroku  zagadnienie  począ tkowo­brzegowe  było  poprawnie  sformułowane.  Z a  ROŻ DIESTWIENSKIM  i  JANIENKĄ  [2]  wprowadzimy poję cie  charakterystyk  wychodzą­ cych  i  przychodzą cych.  Niech  bę dzie  dane  równanie  róż niczkowe  charakterystyki  prze­ chodzą cej  przez  pewien  punkt  brzegu  (4.1)  dS  Rozwią zanie  tego  równania  moż emy  przedstawić  w  postaci  parametrycznej  (4.2)  S  =  S(0),  T  =  T(0)  przy  czym,  niech parametr 0 ustalony  bę dzie  tak  aby  na  brzegu  0  =  0 oraz  aby  dr  (в )  г о   i­  >  o.  Charakterystyką  przychodzą cą  nazywamy  taką  charakterystykę,  k t ó r a  leży  wewną trz  obszaru  dla  0  <  0,  w  przypadku  przeciwnym  charakterystykę  nazywamy  charakterystyką   wychodzą cą  (por.  rys.  2).  Jeż eli  na  rozpatrywanym  brzegu  dane jest  к  zależ noś ci  (4.3)  C,(Ś ,  т , и)  =  0,  to  warunkiem  koniecznym  poprawnoś ci  sformułowania  problemu  (por.  [2]) jest,  aby  (4.4)  к  =  n­p,  gdzie  n  jest  liczbą  równań,  a. p  —  liczbą­  p r z y c h o d z ą c y ch  charakterystyk.  D l a  zagadnienia  płaskiego  macierz  naszego  układu  ma  p o s t a ć :  (4.5)  gdzie  [Atj]  =  0,  o,  ­ 1 ,  0  o,  o,  o,  ­ 1  ­ « 1 >  ­ « 2 >  o,  0  a 3 ,  o,  0  ~~d~S~  u2  3  8x2  ds  Из   И 4  =  X2  «1  =  ­Ei^Wi  +  bltĄ ),  4>Q?,f)>  natomiast  przypadek  (b)  —  odwrotnej  nierównoś ci.  W  przypadku  (a)  wystarczą  nam  dwa  warunki  brzegowe,  natomiast  w  przypadku  (b)  wymagane  są  t r z y  warunki,  czyli,  oprócz  (4.9),  należ ałoby  dać jeszcze  np.  kierunek  stycznej  na  wyjś ciu  z  oczka.  Przy  warunku  a  =  const  mamy  analogiczną  sytuację,  tj.  moż emy  mieć  przypadek  (a)  lub  (b)  i ,  co  wię cej,  sytuacja  może  się  zmieniać  w  trakcie  jednego  procesu.  Wracając  do  «energetycznego»  warunku,  widać  jasno,  że  przy  dostatecznie  duż ej  sile  tarcia  bę dziemy  mieli przypadek  (a).  Jeż eli  zaniedbamy  siłę  tarcia,  to  (4.11) przyjmie  postać   (4.12)  2 t v ­ ^ F = a ( F ) ,  gdzie  a(F)  >  0.  O  SFORMUŁOWANIU  I  POPRAWNOŚ CI  PEWNEJ  KLASY  ZADAŃ  237  Jeż eli  rozwią ż emy  (4.12)  z  warunkiem  w(\)  =  0,  to  otrzymamy  i  (4.13)  w  =  p2f,  4 ? ^ ­ F  Jednakże  wyraż enie  to  dla  dowolnego  F  >  1 ma  wartość  ujemną,  zatem  nie może  opisywać   gę stoś ci  energii.  T  Rys.  2  N i e  istnieje  zatem  takie  sprę ż yste  prawo  konstytutywne,  przy  którym  mógłby  być   spełniony  warunek  (4.11)  bez  siły  tarcia.  Fizyczna  interpretacja  faktu,  że  w  sytuacji  (b)  potrzebny  jest  dodatkowy  warunek,  jest  nastę pują ca:  12  jest  prę dkoś cią  propagacji  wzdłuż  liny  małego  sygnału  «gię tnego»  (wzglę dem  długoś ci  w  stanie  nieodkształconym),  zatem  " i / — j e s t  realną  prę dkoś cią  pro­ pagacji  tego  sygnału.  Jeż eli  prę dkość  wypływu  z  «oczka»  przekracza  tę  wartoś ć,  to  «infor­ macja»  o  ką cie  nachylenia stycznej  nie  dociera  do  oczka  i kąt  ten  musi  być w x  =  0 dodat­ kowo  dany,  co  jest  dość  oczywiste,  np.  w  skrajnym  przypadku  kiedy  wypychamy  linę   z  oczka  zamiast  ją  wycią gać.  Pokazaliś my  tu,  że  liczba  koniecznych w a r u n k ó w  «na  oczku»  może  być róż na,  a  nawet  może  się  zmieniać  w  trakcie  jednego  procesu.  Oczywiś cie  zagadnienie  liczby  w a r u n k ó w  brzegowych  nie  wyczerpuje  kwestii  poprawnoś ci  zagadnienia  brzegowego.  N i e  bę dziemy  tu  jednak  badać  pozostałych  w a r u n k ó w  poprawnoś ci  (por.  [2]  s.  95),  ponieważ  na  ogół  bywają  one  spełnione  nieomal  przy  każ dym  rozsą dnym  sposobie  postawienia  w a r u n k ó w  brzegowych.  Otwarta  również  pozostaje  sprawa  poprawnoś ci  w a r u n k ó w  brzegowych  w  przypadku  liny  nie  rozcią gliwej.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  A .  BLINOWSKI,  S.  GAJDA,  Zagadnienia lotu  cię gna  rozcią gliwego,  Biul.  PTU­WITU,  15/76.  2.  В . Л .  Р О Ж Д Е Ц С Т В Е Н С К И Й,  H . H . Я Н Е Н К О,  С и с т е м ы  к в а з и л и н е й н ы х у г а в н е н и й  и и х  п г и м е н е н и я к  г а ­ з о в о й  д и н а м и к е ,  Н а о к а,  М о с к ва  1968.  3.  А. Е.  GREEN, N.  LAWS,  A general theory of rods.  Proc.  Roy.  Soc,  London,  Ser. A293 (1966), 145  ­  155.  238  A .  BLINOWSKI  Р е з ю м е,  О  Ф О Р М У Л И Р О В КЕ  И  К О Р Р Е К Т Н О С ТИ  Н Е К О Т О Р О ГО  К Л А С СА  З А Д АЧ   ПО  Н Е Л И Н Е Й Н ОЙ  Д И Н А М И КЕ  Т Р О С ОВ   Р а с с м а т р и в а е т ся  н е л и н е й н ая  з а д а ча  д и н а м и ки  р а с т я ж и м о го  г и б к о го  т р о са  (н а п р.  р а з м а т ы­ в а ю щ е г о ся  из  к о н т е й н е р а ).  П р и в о д и т ся  в ы в од  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  д и н а м и к и,  а н а л и­ з и р у е т ся  т ип  у р а в н е н и й,  н а х о д я т ся  х а р а к т е р и с т и ки  и у к а з ы в а е т ся  их ф и з и ч е с к ий  с м ы с л.  На о с н о­ ве  о б щ ей  т е о р ии  г и п е р б о л и ч е с к их  с и с т ем  р а с с м а т р и в а е т ся  к о р р е к т н о с ть  п о с т а н о в ки  к р а е в ых   у с л о в ий  на п е р е м е н н ом  к о н т у ре  (в  т о ч ке  в ы х о да  т р о са  из  к о н т е й н е р а ).  .  i  S u m m a r y  i '  O N  T H E FORMULATION  A N D  T H E CORRECTNESS  OF  SOME  CLASS  OF  PROBLEMS  CONCERNING  NONLINEAR  DYNAMICS  OF STRINGS  Nonlinear dynamic problem of  a string with variable mass is considered.  The derivation  of the  diffe­ rential equations of string dynamics is given, and  also the type and the characteristics  of the system are deter­ mined.  The physical  meaning  of  the  characteristics  is  pointed  out.  On the  basis of  the  general  theory  of  hyperbolic systems, the correctness of the boundary value problem with the  variable boundary is  discussed.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I P A N  Praca zasiała  złoż ona  w Redakcji  dnia  11 sierpnia  1976  r.