Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf .  M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  IS  (1977)  REDUKCJA  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI,  MAS  I  TŁUMIENIA  K R Z Y S Z T O F  D  E M s,  JANUSZ  L I P I Ń S KI  (ŁÓDŹ)  1.  Wstęp  i  bi;i?oq  fi>'j.irtt.5iid'y;viq  [sLymoisb^d  iuworraJaKS  tnotżi  Stosowanie  metody  elementów  skoń czonych  prowadzi  zawsze  do  rozwią zywania  duż ych  układów  równań,  a  w  przypadku  zagadnień  drgań  do  koniecznoś ci  wyznaczania  wartoś ci  własnych  macierzy  o  duż ych  rozmiarach.  M o ż na  tu  n a p o t k a ć  trudnoś ci  natury  numerycznej,  jak  również  należy  się  liczyć  z  czasochłonnoś cią  obliczeń.  Było  to  przyczyną   podję cia  przez  wielu  a u t o r ó w  prac,  mają cych  na  celu  zmniejszenie  rozmiarów  macierzy  wystę pują cych  w  konkretnym  zagadnieniu  [1,  2,  3,  7].  Najczę ś ciej  stosowanym  postę po­ waniem  jest  metoda  kompensacji  niewiadomych,  polegają ca  na  podziale  wszystkich  nie­ wiadomych  na  dwa  zbiory  i  uzależ nienie  jednego  z  nich  od  drugiego,  np.  [2].  Należy  tu  podkreś lić,  że  postę powanie  to  przeprowadzane  jest  po  utworzeniu  układu  równań  dla  całej  rozpatrywanej  konstrukcji.  W  pracy  niniejszej  podję to  p r ó b ę  rozwią zania  zagadnienia  kompensacji  na  etapie  znacznie  wcześ niejszym,  bo  j u ż  na  etapie  tworzenia  macierzy  zwią zanych  z  pojedynczym  elementem,  ograniczając  się  do  rozpatrywania  zagadnień  dwuwymiarowych.  Rozpatry­ wane  ciało  modelować  bę dziemy  elementami  izoparametrycznymi  [3],  wprowadzając  pierwotnie  jako  stopnie  swobody  w  każ dym  wę ź le  siatki  składowe  przemieszczenia,  ich  pierwsze  pochodne  oraz  drugie  pochodne  mieszane.  Zapewni  to  cią głość  funkcji  prze­ mieszczeń  oraz  ich  pierwszych  pochodnych  wzdłuż  krawę dzi  stykają cych  się  elementów.  Przyję to  dalej,  że głównymi  stopniami  swobody  bę dą  jedynie przemieszczenia wę złów  siatki,  a  ich  odpowiednie  pochodne  podlegać  bę dą  kompensacji.  Uzależ nienie  pochodnych  od  głównych  stopni  swobody  dokonano  w  oparciu  o  metodę  róż nic  skoń czonych.  Uzyskano  w  ten  sposób  znaczne zmniejszenie globalnej  liczby  niewiadomych,  którymi  są  teraz  wyłą cz­ nie  składowe  przemieszczeń  wę złów,  co  prowadzi  w  efekcie  do  znacznego  zmniejszenia  rozmiarów  macierzy  opisują cych  dane  zagadnienie.  Stosowanie  metody  elementów  skoń czonych  do  rozwią zywania  zagadnień  drgań   sprowadza  się  w  efekcie  do  rozwią zania  równania  róż niczkowego  w  postaci  macierzowej  i H w l T u w i d s  clb  w o U o ^ . ^ o s s s ^ n w q ­ i  o p w o i b s  u b № ' у л ш г п о Ъ^ fi&S&m  W  K8  +  C  ,  8  +  ,  8 +  F  =  0,  .  ot  otz  ч   (\  4 M  •  ­  n V > .  •  ( С ' + " Г ­С ­ )  :  ­  l 0 U  ч   gdzie  К —  macierz  sztywnoś ci  konstrukcji;  С  —  macierz  tłumienia  konstrukcji;  M —  macierz  mas  konstrukcji;  F  —  macierz  kolumnowa  sił  wę złowych  w  przypadku  drgań  wymuszonych;  6  —  macierz  kolumnowa  uogólnionych  przemieszczeń  wę złów.  4'  196  К .  DEMS,  J .  LIPIŃ SKI  Macierze  К, С, М  powstają  jako  odpowiednie  sumy  macierzy  obliczanych  dla  kolejnych  elementów.  Rozwią zanie  postawionego  problemu  sprowadza  się  przede  wszystkim  do  wyznaczenia  macierzy  К, С i M  dla elementu.  Dalsze  postę powanie  jest  typowe  dla  kla­ sycznej  metody  elementów  skoń czonych.  2.  Funkcje jednostkowe w  elemencie  Rozpatrzmy  prostoką tny  element  w  lokalnym  układzie  współrzę dnych  (rys.  1).  Przyjmijmy,  że  w  elemencie  okreś lona  jest  cią gła  i  róż niczkowalna  funkcja  F($l,  f 2 ) ,  którą  zastę pować  bę dziemy  jej  przybliż eniem  postaci  ( о  щ1,  a  =  Q A ,  22  Rys.  1  gdzie  fe  jest  macierzą  kolumnową  zawierają cą  wę złowe  wartoś ci  przybliż anej  funkcji  i  ewentualnie jej  pochodne,  a  Q jest  macierzą  wierszową  funkcji  jednostkowych.  Funkcje  jednostkowe  wyrazimy  poprzez  wielomiany  Hermite'a  zgodnie  z  zależ noś cią   i, к  =  1,2,  (2)  gdzie  p,q  =  o,  i ,  i —  indeks  wę zła,  dla którego  funkcja  jest  okreś lona,  / —  indeks  wę zła,  w który m  oblicza  się  wartoś ci  funkcji,  p — rząd  wielomianu  Hermite'a,  r —  rząd  pochodnej  wzglę dem  z.  W  szczególnoś ci,  wielomiany  rzę du  zerowego  i  pierwszego  okreś lone  dla  zbioru  dwóch  p u n k t ó w  ( z t  =  — l , z 2  =  +1)  przyjmują  postać   Я 0 1  =  | ( z 3 _ 3 z  +  2 ) ;  H 1 1  =  l ( z 3 ­ z 2 ­ z + l ) ,  Я 0 2  =  ­ ( ­ z 3  + 3z +  2),  Я 1 2  ш   i _ ( _ Z 3 _ z 2  +  z + 1 )  Ich  przebieg  pokazany jest  na  rys.  2.  REDUKCJA  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI  197  Rys.  2  Uwzglę dniając  w  (2)  wspomniane  wyż ej  wielomiany  rzę du  zerowego  i  pierwszego,  ż ą damy  równocześ nie  znajomoś ci  czterech  p a r a m e t r ó w  okreś lają cych  funkcję F w  każ dym  wę ź le,  tzn. wartoś ci  funkcji,  jej obu pierwszych pochodnych  i  pochodnej  mieszanej  wzglę­ dem  zmiennej  I 1  i f 2 .  Zatem  macierz fe  musi  przyjąć  postać   (3) fę —  [fn.fii.$ifii,(2fn,(ą 2,fi2 fi2,c • • • /22,^42], gdzie  symbole  po  przecinku  oznaczają  róż niczkowanie  wzglę dem  odpowiedniej  zmiennej.  Zgodnie  z  przyję tym  założ eniem,  macierz  fe  powinna  zawierać  jedynie  wartoś ci  wę złowe  przybliż anej  funkcji.  Zastą pimy  zatem  pochodne  wystę pują ce  w  (3)  ich  róż nicowymi  Oi Г '  o.?j__  ' f ­ U' 2Ъ 33  71  I  _ _ j 3 2  ­  —  — I J <  (0  '  I  ­  J   1  20  Rys.  3  50  przybliż eniami  zależ nymi  jedynie  od  wę złowych  wartoś ci  funkcji.  W tym celu  dołą czamy  do  rozpatrywanego  elementu  elementy  są siednie  (rys. 3). Pochodne  wę złowe­rozpatrywa­ nej  funkcji  zastą pimy  zatem  przybliż eniami:  1  fik, (i  — ~r(fi+l,k—   /i­i.*)>  (4)  fik. (fi,k+l~fi,k­l)>  f i k . W  —  ­ J j r ( f i + l , k + l + f i ­ l , k ­ l — f i + l , k ­ l — f i ­ l , k + l ) ­ 198  К .  DEMS,  J .  LIPIŃ SKI  Wykorzystując  (2) i (4) w  zależ noś ci  (1), otrzymamy  (5)  >  F ( f , f 2 )  =  Q f e )  gdzie  fe  jest  macierzą  zawierają cą  jedynie  wę złowe  wartoś ci  funkcji  w  rozpatrywanym  elemencie  i  elementach  są siednich,  natomiast  Q jest  macierzą  przekształconych  funkcji  jednostkowych  o  postaci  (6)  Qiką ,  a  =  л ч т ч а,  / , Ј  =  0 , 1 , 2 , 3 ,  gdzie  funkcja  R wyraż ona  jest  poprzez  wielomiany  Hermite'a  RO  =  i t f 1 1 ,  /?* = ­LH21­H10, R2  =  ­  ­ Я 1 1 ­ / / 2 0 ,  4  •   ­—  4 H2'­ 1 141 /Ь 4вЯ  //  "Л Э (э з 1п и1  (Ь /j'HiiU­л Ло  .'/01)а ш :п ы;  г 1о э т э 1хэ  b . ; o m o i j i i K  ain«3\oofi//rji  vrriJ ibsx  D l a  elementu z rys.  3 funkcje  te mają  postać   R°(z)  = ­~(z3­ j  ; 2 ­ z + l ) ,  nlj­ji.v7  ж ! . ; ф/ 1 \ з т& 1  г ц н х э в п хо  у Л п юэ   л  =  ­ , 7 ­ ( ­ 3 z 3  +  z 2 ­ f  l l z ­ 9 ) ,  16  i m v w o o i n x o j  r b i łf.>  ••/  w p r u  Л 2 ( г )  = — ( 3 z 3 +  z 2 ­ l l z ­ 9 ) ,  16  lasrq  oq  'slodrriva  ­ / Л .,  R\z)  =  —{­z*­z2+z+\).  Postę powanie  opisane  powyż ej  powoduje,  że  rozpatrywana  funkcja,  ktуrej  przybliż enie  dane  jest  przez  (5),  przy  przejś ciu  z  elementu  do elementu  zachowuje  cią głość  swojej  wartoś ci,  obu  pierwszych  pochodnych  i drugiej  pochodnej  mieszanej.  i  1  Г  1  3.  Transformacja  układu  współrzę dnych  Przyjmujemy,  że rozpatrywany  obszar  podzielony  został  na krzywoliniowe  elementy  czworoką tne  (rys.  4). W każ dym  elemencie  wprowadzony  został  lokalny  układ  wspуł­ swnieqsóT4»wołsy»  3flborJ3ałL.(t  jfp)  einbsiajja Д О п э г п М а ш п э ш о Ь  о &п к щ л т р т .  ob  ,  . " ч   * ' L .  m a le s  1 +л   \Т   " ' L .  ­ ł . I + Л ,—  1 ­ * , 1 ­ Д +   l+ i.t + Л .) V f  Rys.  4  REDUKCJA  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI  199  rzę dnych  f ' f 2 ,  przy  czym  transformacja  z  układu  globalnego  do  lokalnego  nastę puje  według  zależ noś ci  [ V  1  f x ' l  (7)  2  =  Q  2  >  Ó ­ P  - gdzie  x\  x2e  są  macierzami  współrzę dnych  wę złów  w  układzie  globalnym, x l  i  x2  są  współ­ rzę dnymi  dowolnego  punktu  elementu,  a  macierz  Q  ma  postać   0  Q  Biorąc  pod  uwagę  wspomnianą  wyż ej  transformację,  wykazuje  się, że  dowolna  funkcja  o  postaci  (5),  okreś lona  poprzez  zmienne  lokalne,  zachowuje  cią głość  swojej  wartoś ci  wzdłuż  krawę dzi  są siednich  elementów  krzywoliniowych  i  obu  pierwszych  pochodnych  wzglę dem  zmiennych  globalnych.  •  •  i  4. Wyznaczanie macierzy sztywnoś ci, mas  i tłumienia  Składowe  przemieszczenia  wewną trz  elementu  okreś lać  bę dziemy  w  lokalnym  układzie  współrzę dnych,  przyjmując  je  w  postaci  podobnej  do  (5)  Г 7̂ „ i T S n (8)  Q  o  0  Q  gdzie  Q jest  macierzą  funkcji  jednostkowych  (6),  a  8 e  jest  macierzą  przemieszczeń  wę złów  elementu  rozpatrywanego  i  elementów  są siednich  (rys.  3).  Tak  okreś lone  przemieszczenia  zachowują  cią głość  swoich  wartoś ci  i  obu  pierwszych  pochodnych  wzglę dem  zmiennych  globalnych  wzdłuż  krawę dzi  są siednich  elementów.  Wykorzystując  funkcję  przemieszczeń  (8),  macierz  sztywnoś ci  przedstawimy  w  znanej  postaci  [3]  к  =  (  [  BTDBdx4x2  !  ''  gdzie  D  jest  macierzą  sprę ż ystoś ci,  а  В  macierzą  okreś lają cą  zwią zek  mię dzy  odkształce­ niami  w  dowolnym  punkcie  elementu  i  przemieszczeniami  wę złowymi  8,,.  Szczegółowe  wyznaczanie  współczynników  tej  macierzy  dla  elementów  tarczowych  i  płytowych  podane  jest  w  pracach  [5,  6].  Macierz  mas  elementu  okreś lona  jest  zależ noś cią  [3]  (9)  (10)  m e = J Q T SQdV. 1  • • 1.  gdzie  Q  jest  macierzą  funkcji  jednostkowych  (6),  a Q masą  właś ciwą.  Macierz  tłumienia  okreś lamy  z  kolei  jako  [3]  ( П )  ,  C e = j  Q TfiQdV,  г /Г ц alb  э а д ш ^ш  rt^melw  uegib mot^p  bSonsw oaomsiass  Г. Ł  ,j  rlocatWfil.W  gdzie  Q  jest,  jak  poprzednio,  macierzą  funkcji  jednostkowych,  a  ц  współczynnikiem  tłu­ mienia.  200  К .  DEMS,  J . LIPIŃ SKI  5. Przykład numeryczny  Celem  sprawdzenia  przydatnoś ci  proponowanej  metody,  wykorzystano  ją  do wyzna­ czania  czę stoś ci  drgań  własnych  i postaci  drgań  cienkich  płyt.  W tym  przypadku  funkcje  ugię cia  (8)  upraszczają  się do  postaci  (12)  w t f 1 ,  i 2 )  =  Qw Ł .,  gdzie  w e jest  macierzą  kolumnową  przemieszczeń  wę złów  (tj. ugięć  prostopadłych  do  po­ wierzchni  płyty)  elementu  i jego  są siadów  (rys.  3), a Q jest macierzą  funkcji  jednostkowych.  Zakładają c,  że rozpatrywać  bę dziemy  elementy  izotropowe o stałej  gruboś ci,  współczynniki  macierzy  sztywnoś ci  okreś lone  na  podstawie  zależ noś ci  (9)  otrzymujemy  w  postaci  [5]  +  i  + i  (13)  к ""  =  /  f  D[(Q%lxl + Q\x2xl)(Q%xi  +  ^)­ ­ l  ­ i  gdzie J  jest  jakobianem  przekształcenia  (7), D —  sztywnoś cią  elementu  płyty,  a  drugie  pochodne  funkcji  jednostkowych  wzglę dem  zmiennych  globalnych  wyznaczymy w oparciu  o  pochodne  tych  funkcji  wzglę dem  zmiennych lokalnych  I 1 , f 2  i wzór  transformacyjny  (7).  Współczynniki  macierzy  mas okreś lonej  wzorem  (10) przyjmują  postać   (14)  т Ур 9= j f QtQ}vQjąJdŁldŁ7, gdzie Q jest  masą  właś ciwą,  / — gruboś cią  elementu  płyty  oraz  /  — jakobianem  prze­ kształcenia.  Obliczenia  zostały  zrealizowane  w pojedynczej  precyzji  na  E M C O D R A  1305,  wyko­ rzystując  biblioteczny  podprogram  obliczania  wartoś ci  własnych  oparty  na  metodzie  HOUSEHOLDERA.  Rozwią zano  przykładowo  zagadnienie  drgań  własnych  prostoką tnej  płyty  utwierdzonej  jedną  krawę dzią,  przy  uwzglę dnieniu  róż nych  stosunków  długoś ci  b o k ó w ,  wprowadzając  dwa  sposoby  podziału  płyty  na elementy  (rys. 5).  Podział  /  Podział l  Rys.  5  W  tablicach  1, 2, 3  zestawiono  wartoś ci  czę stoś ci  drgań  własnych  uzyskane  dla płyt  o  stosunku  b o k ó w  L/h  =  1,2, 5 oraz p o r ó w n a n o je z wynikami  uzyskanymi przez  BARTONA  [4],  PLUNKETTA  [3]  i  ZIENKIEWICZA  [3].  Tablica  1  L\h = 1  m\\ D/gtL*  Postać   drgań   wg metody  prezentowanej  w pracy  wg Bartona  Postać   drgań   Podział  met.  Ritza  Doś wiad­ I  II  met.  Ritza  czalna  1  2,995  3,427  3,494  3,37  2  7,900  8,244  8,547  8,26  3  20,089  21,864  21,44  20,55  4  27,475  28,627  27,46  27,15  5  29,803  30,959  31,17  29,75  6  55,701  55,385  7  8  62,721  71,020  68,146  72,089  Tablica  2  L\h = 2  eo/j/zO/orL4  Postać   drgań   wg metody prezentowanej  w pracy  wg Bartona  Doś wiad­ czalnie  Plunketta  wg  Zienkiewicza  64 elem.  Postać   drgań   podział  met.  Ritza  Doś wiad­ Doś wiad­ czalnie  Plunketta  wg  Zienkiewicza  64 elem.  I  H  met.  Ritza  czalna  Doś wiad­ czalnie  Plunketta  wg  Zienkiewicza  64 elem.  1  3,341  3,471  3,472  3,36  3,50  3,44  2  14,574  14,801  14,93  14,43  14,50  14,77  3  22,528  23,026  21,01  20,86  21,70  21,50  4  48,851  49,281  48,71  46,90  48,10  48,19  5  65,150  68,194  94,49  93,99  60,50  60,54  6  93,807  98,199  92,30  91,79  7  97,876  99,016  92,80  92,78  8  123,435  130,066  118,70  119,34  Tablica  3  Ljh = 5  — (ol\/DlotL*  Postać   drgań   wg metody prezentowanej  w pracy  wg Bartona  Postać   drgań   Podział  met. Ritza  Doś wiad­ I  II  met. Ritza  czalna  1  3,490  3,458  3,45  3,32  2  23,845  23,133  21,52  20,88  3  34,109  34,045  34,73  32,40  4  68,362  69,592  105,9  97,35  5  105,841  104,998  •   6  125,002  139,442  7  190,907  185,953  • 8  278,957  229,001  1201]  202  К .  DEMS,  J .  LIPIŃ SKI  Rys.  6  przedstawia  przykładowo  cztery  pierwsze  postacie  drgań  dla  płyty  o  stosunku  b o k ó w  L/h  — 2  przy  II  sposobie  podziału.  Postać  I  Rys.  6  Jako  dane  liczbowe  przyję to:  m o d u ł  Younga  E W 2 , 1  l x  1 0 "  [ N / m 2 ] ,  liczba  Poissona  v  —  0,3,  gę stość  o  =  7,83  x  103  [kg/m 3 ],  grubość  płyty  t  =  2,54  x l 0 ~ 3  [m],  długość  płyty L  =  5,08  x l O " 2  [m].  i  •  6.  Wnioski  koń cowe  Przedstawiona  metoda  obliczeń  stwarza  nową  moż liwość  redukcji  stopni  swobody  w  zagadnieniach  drgań  rozwią zywanych  metodą  elementów  skoń czonych.  W  klasycznym  uję ciu,  stosując  elementy  izoparametryczne,  w  których  funkcje  jednostkowe  okreś lone  są   przez  wielomiany  Hermite'a,  w  każ dym  wę ź le  siatki  wprowadza  się  dla  każ dej  składowej  przemieszczenia  cztery  nie  znane  począ tkowo  parametry  (przemieszczenia  i  odpowiednie  pochodne).  Stosując  postę powanie  opisane  w  punkcie  2,  redukujemy  liczbę  nie  znanych  p a r a m e t r ó w  dla  każ dej  składowej  przemieszczenia  do  jednego  (wartość  przemieszczenia).  Zatem  globalna  liczba  niewiadomych  dla  wszystkich  wę złów  siatki  maleje  czterokrotnie.  Prowadzi  to  do  operowania  macierzami  o  czterokrotnie  mniejszych  wymiarach.  Jest  to  główną  zaletą  proponowanej  metody.  Uzyskane  wyniki  numeryczne  wykazały  zadawala­ ją cą  zgodność  z  wynikami  uzyskiwanymi  przez  róż nych  a u t o r ó w  na  drodze  teoretycznej  i  doś wiadczalnej,  co  pozwala  wnioskować  o  przydatnoś ci  proponowanej  koncepcji.  REDUKCJA  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI  '203  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  B . IRONS, Eigenvalue economisers  in vibration problems,  J.  Roy.  Ae.  Soc,  67,  (1963),  526.  2.  R.  J.  GUY  AN,  Reduction  of stiffness  and mass matrices,  J.A.I.A.A.,  3,  (1965),  380.  3.  О . C . ZIENKIEWICZ,  Metoda  elementуw  skoń czonych.  Arkady,  Warszawa  1972.  '  4.  M . V.  BARTON,  Vibration  of  rectangular atui skew cantilever plates,  J. Appl.  Mech.,  18,  (1951),  129  ­  34.  5.  К .  DEMS,  J.  LIPIŃ SKI,  Zastosowanie  rуż nic  skoń czonych  do  tworzenia  macierzy  sztywnoś ci  w  metodzie  elementуw  skoń czonych  na przykładzie  zginanej płyty,  Mech. Teoret. Stos.,  4,  12,  (1974), 547  ­  60.  6.  K .  DEMS,  J.  LIPIŃ SKI,  Application  of finite differences for  solving  the  two­dimensional elasticity problem  by  means  of  the finite element method,  С о т р.  Meth.  Appl.  Mech.  Eng.,  6,  (1975), 49  ­  58.  7.  R.  BATHE,  E .  WILSON,  Large eigenvalue problems  in dynamic analysis,  Proc.  Am.  Soc.  Civ.  Eng.,  EM6,  98  (1972).  Р е з ю ме   С О К Р А Щ Е Н ИЕ  Р А З М Е Р ОВ  М А Т Р ИЦ  Ж Е С Т К О С Т И,  М А СС   И  Д Е М П Ф И Р О В А Н ИЯ   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  с п о с об  с о к р а щ е н ия  р а з м е р ов  м а т р иц  ж е с т к о с т и,  м а сс  и  д е м п ф и р о в а н и я,  и с п о л ь з у е м ых  п ри  р е ш е н ии  з а д ач  д и н а м и ки  с п л о ш н ой  с р е ды  м е т о д ом  к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  Т а к ое   с о к р а щ е н ие  д о с т и г н у то  п у т ем  и с п о л ь з о в а н ия  к о н е ч н ых  р а з н о с т ей  п ри  п о с т р о е н ии  э т их  м а т р и ц.  S u m m a r y  REDUCTION  OF  T H E  STIFFNESS,  MASS  AND  DAMPING  MATRICES  The  paper deals with  the  problem  of  reduction  of  the  stiffness,  mass and  damping  matrices, which  are  due  to  the  application of  the  finite element method  to  solving the  dynamic problems of  continua.  Re­ duction of  the  dimensions of  the  matrices is obtained by means of  the  finite differences used for constructing  the  matrices in question.  POLITECHNIKA  ŁУDZKA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 25 czerwca  1976  r.