Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  15  (1977)  V.  NIEUSTALONE  P O L E  TEMPERATURY  W WIRUJĄ CYM  WALCU  KOŁOWYM,  WYWOŁANE  UTRZYMYWANĄ  NA JEGO  POBOCZNICY  ODCINKAMI  STAŁĄ   TEMPERATURĄ   K R Z Y S Z T O F  G  R  Y S A  (POZNAŃ)  1.  Postawienie  zagadnienia  W  pracy  rozważa  się rozkład  temperatury  w  długim  walcu  kołowym  w  przypadku,  gdy  jego  powierzchnia  boczna  poddana  jest  działaniu  temperatury  bę dą cej  funkcją  ką ta  opasania,  a sam walec  obraca  się  wokół  swojej  osi ze stalą  prę dkoś cią  ką tową  co.  Z a k ł a d a  się, że  w chwili  począ tkowej  temperatura  walca,  jak  i jego otoczenia  była  stała i wynosiła  T0.  Zagadnienie  to  rozpatrywane  jest  w  cylindrycznym  układzie  współrzę dnych  r,  rp, z,  sztywno  zwią zanym  z walcem.  Rozważ ania  prowadzone są dla  p u n k t ó w  walca  dostatecznie  odległych  od  obu  jego  koń ców,  w zwią zku  z  czym  przyjmuje  się,  że rozkład  temperatury  wewną trz  walca  jest  funkcją  czasu  t i zmiennych  przestrzennych  r i   0 pokazany jest na rys.  1.  A b y  okreś lić  rozkład  temperatury  w przekroju  poprzecznym  walca  w dowolnej  chwili  czasu,  należy  rozwią zać  równanie  przewodnictwa  cieplnego  (1)  ™ ­ I f  = o,  gdzie  0 =  T­To,0  =  0(r, rp,t),  z  warunkiem  począ tkowym  (2)  6(r, if,  0) =  0  216  К .  GRYSA  i  warunkiem  brzegowym  (3)  0(a, ,O  = J ­ ( M « i + 0 a ^ « 2 ) +  Z _ J  Я П   n=l  L  nAcc,  ,  ,.„„ .  nAa2  s i n _  i  +  ( _  i ) » 0 2 S I N _ 2  cos/7(99 —cof)j  2.  Rozwią zanie  równania  przewodnictwa cieplnego  Rozwią zania  r ó w n a n i a  (1) poszukuje  się w  postaci  00  (5)  в (г , tln  dr2  +  r  dr  d2t2n  +  1  dt2n  dr2  +  r  dr  /22  1 dtln na>  1  <3/2п  п с и   t->n  'in  —  "> • z  К  dt  NIEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY  W WALCU  KOŁOWYM  217  których  rozwią zania  muszą  spełniać  warunki:  (9)  f 0 (r, 0) = 0;  /,„(/­, 0) = 0;  t2a(r, 0) = 0;  (10)  t0a  = t0{a,t) =  ~(01Aa1+62Aa2),  (11)  tM  =  f l B ( « ,  0 = A [ 0 l S i n ^ l  + 0 2 ( _ 1 ) n s i n i ^  (12)  ? 2 (a,  0  =  0.  Rozwią zanie  równania  (6) z warunkami  (9)x i  (10)  jest  znane  w literaturze  i  wyraża  się  wzorem  [1,  2]  (13)  t0(r,t)=t0  OO  a ZJ  sMJx(asoi)  j i=i  gdzie  przez  ^0,­  oznaczono  pierwiastki  równania  J0(as) = 0, a —  promień  walca,  J0(x) —  funkcję  Bessela  pierwszego  rodzaju  zerowego  rzę du.  W  celu  rozwią zania  układu  równań  (7),  (8) z warunkami  (9) 2 ,  (9) 3 ,  (11)  i (12)  posłuż ymy  się  skoń czoną  transformacją  Hankela  [4].  W zwią zku  z tym  o funkcjach  r,„(r, t) i t2n(r, t)  należy  założ yć,  że przy  ustalonym  t  spełniają  warunki  Dirichleta,  tzn. mają  skoń czoną   ilość  ekstremów  w przedziale  (0, a) oraz  że  mają  skoń czoną  ilość  skoń czonych  niecią głoś ci  w  tym  przedziale i nie mają  niecią głoś ci  nieskoń czonej.  Przy  tych  założ eniach  transformata  Hankela  funkcji  ma postać  [4]  a (14)  / ( * „ , )  = f  rf(r)Jn(rsni)dr,  o  natomiast  funkcja  przez  swoją  transformatę  wyraża  się wzorem  OO  1= 1  gdzie  sBi  oznacza  pierwiastki  równania  Jn(as) = 0,  J„(x)  —  funkcję  Bessela  pierwszego  rodzaju  /2­tego  rzę du.  Po  przetransformowaniu  wymienionych  wyż ej  równań  i  warunków  otrzymuje się   układ  równań  róż niczkowych  zwyczajnych:  /  1  dt,„  nm ­  .  (16)  ­  sfi t, „ - — ­jp  + —  t2n  = tna asni Jn (asei),  , ­  1 dt2„  no) ­ 0 7 )  ' . ­ ­ 0 .  y. których  rozwią zania  muszą  znikać  dla t ­ 0.  218  К .  GRYSA  Rozwią zaniem  układu  r ó w n a ń  (16), (17) są  funkcje  tjn(sni,t)  (y'= 1,2)  wyraż ają ce  się  nastę pują cymi  zwią zkami:  (18)  finfat,  O = xtna  4  2  2  2  e  »'  { ^ i ­ c o s n w f ­ n c o s m w t u f ­ ^ e  »•  },  'S'/jf  ^  "T~ W  W  (19)  h„(s„i,t)  =  ­xt„„  ^"^"(^­e­'lt{„cocognwt  +  xs2sinnmt­ncoe'"*'}.  ni ^  I  ^  Po  zastosowaniu  do (18) i (19) wzoru  (15) otrzymuje  się rozwią zania  u k ł a d u  r ó w n a ń   (7),  (8):  co  2  V  /  (rs •)  (20)  tln(r,  t)  = —tm  >  cos«5n i  ч {exp(­j,, 2,x/)cos[;ico/+  A J ­ c o s Ą , , },  a  ^ ­ J  \flsni)  i=  i  oo  (21)  f 2 „ ( r , r )  = ­ 2 ­ t m Vcos(5 B <  / "  { e x p C ­ ^ x O s i n M f + ^ J ­ s i n ^ } ,  gdzie  oznaczono  s i n d n i  =  ,  ,  cosć >„; =  | / и 2 ^  + н 2 ш 2  yx2s*i+n2co2  Korzystając  ze zwią zków  (5), (13), (20),  (21) i  wprowadzając  bezwymiarową  współ­ rzę dną  Q — r/a otrzymujemy  rozkład  temperatury w przekroju  poprzecznym  walca  (22,  e ^ , 0 . . Ą r ­ 2 X ^ L r ^ ]  +  OO  oo  + 2  У Ц­  V  / " ( g , ^ ; )  COgJ.,COS[H(y­tt,/)  + 3.J  i=l  i=l  +  y e ­ ^ F o  / у  C O S ( L . c o s [ + d J  Tutaj  [ini  = ay n i  — miejsca  zerowe  funkcji  J (p),  F o  = —j  liczba  kryterialna  Fouriera  (bezwymiarowy  czas),  0 6 < O , 1 ) .  3.  Analiza  otrzymanego  rozwią zania  Ze  wzglę du  na charakter  zmian  pola  temperatury  w czasie niektórzy  autorzy  (por.  [5, 6])  wprowadzając  podział  stanu  nieustalonego na:  •—  czysto  niestacjonarny  reż im  cieplny  (Fo <  0,5),  —  regularny  reż im  cieplny  (Fo >  0,5).  NIEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY  W  WALCU  KOŁOWYM  219  W  czysto  niestacjonarnym  reż imie  pole temperatury  w sposób  złoż ony  zależy  od  fizycz­ nych  własnoś ci  ciała, jego  geometrii, rozmiarów  oraz  od  w a r u n k ó w  począ tkowych  i brzego­ wych.  Reż im  regularny  przedstawia  sobą  stadium  procesu  u p o r z ą d k o w a n e g o,  kiedy  czasowo­przestrzenne  zmiany  temperatury  zależą  od  geometrii  ciała,  jego  fizycznych  własnoś ci,  rozmiarów  i w a r u n k ó w  brzegowych, natomiast  nie  zależą  od  w a r u n k ó w  począ t­ kowych.  W  celu  przeanalizowania  zwią zku  (22)  przedstawmy  go w postaci  (23)  e(g,  cp, t) =  6N(Q,  ­ft>0­ n = l  Poszczególne  wyróż nione  wyraż enia  mają  sens  nastę pują cy:  ­6N(Q,  cp, Fo)  opisuje  zmianę  temperatury  poszczególnych  p u n k t ó w  walca  wskutek  nagrzewania,  na którą  nie  ma  wpływu  ruch  obrotowy  walca;  — 6B(Q,  cp, t) opisuje  bezwładnoś ć  termiczną ,  bę dą cą  wynikiem  ruchu  obrotowego  walca  wokół  swojej  osi.  Wyraż enie  to  bę dzie  nieco  szerzej  o m ó w i o n e  w  dalszej  czę ś ci  pracy,  a  wpływ  jego  na rozkład  temperatury  w przekroju  poprzecznym  walca jest  zilustrowany  rysunkiem  3;  —0s(g, cp—cot)  jest  właś ciwie  funkcją  dwóch  zmiennych:  bezwymiarowego  promienia  Q oraz  róż nicy  cp — cot.  Zmiana  czasu  t o At powoduje  p o d o b n ą  zmianę  wartoś ci  funkcji  220  К .  GRYSA  6 s ,  jak  zmiana  ką ta    0,5)  funkcja  0(Q, cp, t)  opisują ca  pole  temperatury  przyj­ muje  znacznie  prostszą  postać.  M o ż na  bowiem  pominąć  wszystkie  wyraż enia  zawierają ce  exp( — uliFó)  oprócz  najwię kszego,  tzn.  exp( — / ^ F o ) .  Wyróż nione  w zwią zku  (23)  wyra­ ż enia  przyjmą  postaci  (24) R R  0»(e, cp, Fo)  =  ~2t0a   J ° ( e / i o i )  .e­»"F0  =  0 > ,  F o ) ,  M'Oi­iixf^oi)  (25) B R  6 b(Q,   0,5 przedstawić  nastę pują co  (23) B R  в (о ,   1,5  człon 0N(g,  Fo) wnosi we wzorze  (23) R R  p o p r a w k ę   rzę du  1 0 ~ 4 ? 0 „ ,  którą  m o ż na  pominą ć.  Wprowadzając  poję cie  czasu  charakterystycznego  т 0  =  a 2/y.juli (jest  to  czas  charak­ teryzują cy  szybkość  nagrzewania  się walca  w  reż imie  regularnym)  zauważ yć  moż na,  że  warunek  F o >  0,5,  okreś lają cy  czas,  dla  którego  reż im  cieplny  nazywany jest  regularnym,  oznacza  /  >  З т0 ,  natomiast  F o >  1,5, dla  którego  we  wzorze  (23) I l R  m o ż na  pominąć   pierwszy  składnik,  oznacza  t  >  9r0.  NIEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY  W WALCU  KOŁOWYM  221  Przy  braku  ruchu  obrotowego  (co =  0)  zwią zek  (23)  przekształca  się  do  postaci  oo  oo  co  (30)  6(e,  cp,  t)  = t0a­2  У  Lcosncp  У   J'^>e­^ Fo\  + У  tnao»cos„cp.  n=0  i=l  n=I  N a  osi  walca  temperatura  zmienia  się  w sposób  niezależ ny  od  ruchu  obrotowego.  Podstawiając  we  wzorze  (22)  Q =  0  otrzymujemy  00  (31)  0(0,  v , t) ­  d l ­  У   2 ^ # ' ^ 1  = A(Fo).  / =  l  Identyczną  funkcję  opisują cą  zmianę  w czasie  temperatury  na  osi  walca  otrzymuje  się   w  przypadku  rozważ ania  rozkładu  temperatury  opisanego  zwią zkiem  (13)  lub  (30).  Jak  zatem  widać,  w  rozważ anym  zagadnieniu  ruch  obrotowy  nie  ma  wpływu  na  temperatur ę   p u n k t ó w  leż ą cych  na  osi  walca.  Głę bsza  analiza  wzoru  (31)  podana  jest  m.in.  w  mono­ grafiach  [1,  3].  N a  koniec  rozważ my  przypadek  duż ych  prę dkoś ci  ką towych  co.  Funkcję  0b(Q,  cp — cot),  daną  dla  F o  > 0,5  zwią zkiem  ( 2 5 ) R R ,  przekształć my  w  tym  celu  do  postaci  co  oo  (32)  0B(o,  cp­cot)  =  ­ 2 ^ k e s i n « ( c > ­ w 0  ^ V  s i n ó „ ; c o s ( 5 n i  J _  n = 1  1=1  oo  co  У  Lacosn("COSn(q} — (Ot) +  n­ 1  oo  +  У  tm  Щ  !   / , ' ; )  cos\n((p­o)t) +  en(\/An­)­en(Q]/M)},  Łf  Mn(]/An)  której  zbież ność  dla  Q e<0,l)  wykazano w pracy  [10].  Podstawiając  (35)  do ( 2 3 ) E B  otrzymujemy  nastę pują cą  postać  funkcji,  opisują cej  roz­ kład  temperatury  w przekroju  poprzecznym  walca  w czasie  reż imu  regularnego:  (36)  0(s,cp,t)  =  e N(Q,Fo)  +  t0a+  У  tna^MM±  coĄ n{(p­mt)  +  QX\/An)­OMA~n%  ^  ­  M^An)  +  gdzie  6N(o, Fo)  okreś lone  jest  zwią zkiem  ( 2 4 ) E R .  Składnik  ten nie zależy  od  prę dkoś ci  ką towej  co.  Z  postaci  (36)  funkcji  0(o,  ę , t)  wynika,  że  zasadniczy  wpływ  na zmienność  tempera­ tury  w czasie  w punktach  przekroju  poprzecznego  walca  ma suma,  zawierają ca  funkcje  M„(z)  i  0„(z),  przy  czym  ułamek  t n a  M " \ } ^ " —  decyduje  o  amplitudzie  tych  zmian,  zaś   MĄ }/An)  funkcja  coĄ n(cp­(i)t)  + 0„([/An)­On(°V An)\  —  0  szybkoś ci  oscylowania  temperatury  wokół  wartoś ci  t0a  (składnik  6 N(g, Fo)  dla F o >  1,5 wnosi  do tej  wartoś ci  pomijalnie  małą  poprawkę ).  Jeś li  prę dkość  ką towa  co bę dzie  odpowiednio  duż a,  to  —  biorąc  pod  uwagę  tylko  skoń­ czoną  liczbę  wyrazów  rozważ anego  szeregu  — m o ż na  funkcje  Mn(\/~An)  zastą pić  ich  roz­ winię ciem  asymptotycznym  [7,  8]:  (37)  Mn(\/An)  J_  1   Л /А̂ Р̂  + Х Ш АТ )  ,   V2n\/An  NIEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY  W  WALCU  KOŁOWYM  223  gdzie  oo  r  Г=1  5=1  oo  г   r = l  s=l  o  ile  tylko  ]/An  P  n2  dla  wszystkich  n  ^  N0  (N0  —  ilość  rozważ anych  składników  szeregu)­ Ułamek  może  osią gać  wartoś ci  z  przedziału  (O,  t„u).  Jednakże  postać   Mn{yAn)  (37)  rozwinię cia  asymptotycznego  funkcji  M„{]/An)  wskazuje,  że  dla  duż ych  wartoś ci  A  rozważ any  ułamek  może  osią gać  bardzo  małe  wartoś ci  nawet  dla  wartoś ci  Q  zbliż onych  do  jednoś ci.  Zatem  wewną trz  walca  temperatura  bę dzie  w  rozważ anym  przypadku  oscylo­ wać  wokół  t0a.  Jednakże  przy  brzegu  walca  pozostanie  widoczny  efekt  bezwładnoś ci ter­ micznej.  Zbliż ony  do  osiowosymetrycznego  rozkład  temperatury  wewną trz  walca  przy  duż ych  prę dkoś ciach  ką towych  jest  efektem  «rozmycia»  zmiennych  w a r u n k ó w  termicznych  na  brzegu.  Odległość  nw  od  brzegu  walca  taką,  że  dla  Q <  1— QW  temperatura  p u n k t ó w  walca  bę dzie  się  róż nić  od  t0a  o  mniej  niż  0,1 t0a,  nazwiemy  głę bokoś cią  wnikania  temperatury.  Z  przytoczonej  analizy  funkcji  0(Q,  cp, t)  wynika,  że  przy  ustalonych  к  i  a  głę bokość  wnika­ nia  QW  bę dzie  malała  ze  wzrostem  prę dkoś ci  ką towej  co.  4.  Przykład  liczbowy  Rozważ my  pole  temperatury  w  walcu  ze  stali  wę glowej.  Warunki  brzegowe  dla  tego  walca  przyjmujemy  nastę pują ce:  T,  =  300°C,  T2=  T0  =  20°C,  z\a,  =  ~ ,  Aa2  =  0.  Stąd  di  =  280°,  02  =  0°.  Dane  charakteryzują ce  walec  są  nastę pują ce:  ;  :  x  =  0,119  c n r / s ,  a  =  5  c m .  Stąd  F o  =  0,00476?  [s],  t0a  =  70  [deg],  560  .  nn  r J  .  nn  4  Czas  charakterystyczny  r0  =  37,4  s.  Regularny  reż im  cieplny  rozpocznie  się  zatem  po  czasie  З т0  =  112,2  s.  „  .  224  К .  GRYSA  Pole  temperatury  w  przekroju  poprzecznym  obliczono  dla  walca  nieruchomego  (rys.  2),  dla  walca  obracają cego  się  wokół  swojej  osi  z  prę dkoś cią  ką tową  co  =  1 obr./min.  (rys.  3)  oraz  dla  walca  obracają cego  się  z  prę dkoś cią  ką tową  co =  120  obr./min.  (rys.  4).  N a  rysunkach  3  i  4  jest  dobrze  widoczny  efekt  bezwładnoś ci  termicznej.  Rysunek  4  pokazuje  Rys.  2.  Rozkład temperatury w przekroju poprzecz­  Rys.  3.  Rozkład temperatury w przekroju poprzecz­ nym  nieruchomego walca dla  /  >  9r 0  nym  walca  obracają cego  się  z  prę dkoś cią   ką tową  co =  1 obr./min.  dla  t  >  9 т 0  nieco  zafałszowany  obraz  temperatury  w  przekroju  walca  (dane  numeryczne  dla  1201  p u n k t ó w  przekroju  poprzecznego  okazały  się  niewystarczają ce  dla  zrobienia  dokładniej­ szego  rysunku),  ale  widać  na  nim,  że  ze  wzrostem  prę dkoś ci  ką towej  maleje  głę bokość   wnikania  temperatury  do  walca.  Rys.  4.  Rozkład  temperatury w  przekroju  poprzecznym  walca  obracają cego  się  z  prę dkoś cią  ką tową   co =  120  obr./min.  dla  t  >  9r0  NIEUSTALONE  POLE  TEMPERATURY  W  WALCU  KOŁOWYM  225  Obliczenia  wykonano  na  maszynie  cyfrowej  O D R A  1204. Dane  dotyczą ce  zer  funkcji  Bessela  wzię to  z  tablic  [11].  W  zakoń czeniu  pragnę  serdecznie  podzię kować  mgr  mgr  M a r i i  K W I E K  i  Jackowi  NEUMANNOWI  za  przeprowadzenie  obliczeń  numerycznych.  i  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  П . П.  Ю ш к о в,  Ф у н к ц и и  Б е с с е л я  и  и х  п р и л о ж е н и я  к  з а д а ч и  о б  о х л а ж д е н и и  ц и л и н д р а ,  И з д.  А к а д е м ии  Н а ук  Б С С Р,  М и н ск  1962.  2.  Н.  PARKUS,  Instationdre  Warmespannungen,  Wien,  Springer­Verlag  1959;  tłum.  ros.  Moskwa  1963.  3.  А. В.  Л ы к о в,  Т е о р и я  т е п л о п р о в о д н о с т и ,  Г о с т е х и з д ат  1952.  4.  I. N .  SNEDDON,  Fourier transforms,  McGraw­Hill  Bool  Company  Inc.,  1951.  5.  Г. M .  К О Н Д Р А Т Ь Е В,  Р е г у л я р н ы й  т е п л о в о й р е ж и м ,  Г о с. И з д. Т е х .­Т е о р е т.  Л и т .,  М о с к ва  1954.  6.  А. Г.  Х А Р Л А М О В,  И з м е р е н и е  т е п л о п р о в о д н о с т и  т в е р д ы х  т е л ,  А Т О М И З Д А Т,  М о с к ва  1973.  7.  G . N .  WATSON,  A treatise  on the theory  of Bessel functions,  Cambridge at  the  University Press.  1962.  8.  N. W.  M C L A C H L A N ,  Funkcje  Bessela  dla inż ynierów,  PWN,  Warszawa  1964.  9.  К.  GRYSA,  O sumowaniu pewnych  szeregów  Fouriera­Bessela,  Mech. Tcoret. Stos., 2,  15, (1977).  10.  K . GRYSA,  Rozkład  temperatury i naprę ż eń  w długim walcu kołowym,  wywołany  ruchomym niesymetrycz­ nym ogrzewaniem pohocznicy,  Rozprawa  doktorska,  XI,  1975.  П .  Т а б л и ц ы  н у л е й  ф у н к ц и й  Б е с с е л я ,  Б и б л и о т е ка  М а т е м а т и ч е с к их  Т а б л и ц,  В ы п.  44,  М о с к ва  1967.  Р е з ю ме   Т Е М П Е Р А Т У Р Н ОЕ  П О ЛЕ  ВО  В Р А Щ А Ю Щ Е М СЯ  К Р У Г О В ОМ  Ц И Л И Н Д РЕ   П РИ  К О С О Ч Н О ­П О С Т О Я Н Н ОЙ  Т Е М П Е Р А Т У РЕ  Е ГО Б О К О В ОЙ   П О В Е Р Х Н О С ТИ   В  р а б о те  р а с с м а т р и в а е т ся  н е с т а ц и о н а р н ое  т е м п е р а т у р н ое  п о ле  в н е о г р а н и ч е н н ом  в р а щ а ю щ е м ся   к р у г о в ом  ц и л и н д ре  п ри у с л о в и ях  н а г р е ва  е го  б о к о в ой  п о в е р х н о с ти  и м е ю щ их  в ид  T(y,t).  З а­ д а ча  р е ш е на  п у т ем  и н т е г р а л ь н ых  п р е о б р а з о в а н и й.  П о л у ч е но  р е ш е н ие  в  в и де  с у м мы  т р ех  с л а г а е­ м ы х,  к о т о р ые  и м е ют  о п р е д е л е н н ый  ф и з и ч е с к ий  с м ы с л.  В  к о н це  р а б о ты  п р и в е д ен  ч и с л о в ой  п р и­ м е р,  и л л ю с т р и р у ю щ ий  з а в и с и м о с ть  м е ж ду  р а с п р е д е л е н и ем  т е м п е р а т у ры  в  ц и л и н д ре  и  е го у г л о­ в ой  с к о р о с т ь ю.  S u m m a r y  NON­STEADY  STATE  OF TEMPERATURE  IN A  ROTATING  CIRCULAR  CYLINDER  D U E  TO PIECE­WISE  CONSTANT  T E M P E R A T U R E  ON ITS  SURFACE  In this paper non­steady distribution of  temperature  in a rotating  circular  cylinder  is considered  for  the case, when its lateral surface undergoes a sudden change of temperature. The function  T((p, t) describing  the  boundary condition satisfies  Dirichlet's conditions  for