Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  15  (1977)  O  SUMOWANIU PEWNYCH  SZEREGÓW  FOURIERA­BESSELA  K R Z Y S Z T O F  G  R Y s A  (POZNAŃ)  Przy  rozważ aniu  zagadnień  termosprę ż ystoś ci,  dotyczą cych  wyznaczania  pól mecha­ nicznych  i pola  temperatury w walcu  kołowym  w przypadku,  gdy  dane  na  jego  pobocznicy  wielkoś ci  są  funkcjami  ką ta,  otrzymane rozwią zania  mają  postać  szeregów  Fouriera­Bessela.  Tego  typu  szeregi  mogą  pojawić  się również  w  innych  zagadnieniach,  zwłaszcza  gdy  są   one  rozpatrywane  w cylindrycznym  układzie  współrzę dnych.  W  pracy  niniejszej  wyznaczono  sumy  szeregów  postaci  W  4i  tó  + a 2 ) / „ 2 + 1 ( > n f )  '  gdzie  « =  0 , 1 , 2 , . . . ,  s,k,l=0,  1,  /uni — /­te  miejsce  zerowe  funkcji  Bessela  J„(ji),  a —  dowolna  stała  rzeczywista  róż na  od zera,  х , у  e  (0, 1>.  Sumy  szeregów  typu  (1)  są  znane  w  pewnych  szczególnych  przypadkach  dla n =  0  oraz x  =  1 (por. [1, 2, 3] i in.).  Jednakże  sumy  szeregów  postaci  (1) nie były  dotychczas —  jak  się wydaje  —  publikowane.  M e t o d ę  wyznaczania  sum  szeregów  tego  typu  podał  W O E L K E  [3],  który  j e d n a k ż e  ograniczył  się tylko  do  przypadku  n =  0.  Polega  ona na  wykorzystaniu  tzw.  całki  L o m ­ mela  [4,  5]  ь   (2)  fxUn(lx)Vn  a >  0,  U„(x),  V„(x) — rozwią zania  równania  Bessela  [2],  df  f ^ ­ d u ­ •   1.  Szereg  podstawowy  Rozważ my  ciąg  funkcji  {t(„)m(x;y)}m=lt2,...,  okreś lony  nastę pują co:  (3)  tMm(x;  y)  Tutaj  у jest  pewną  liczbą  z przedziału <0,1>  2.v  ­  dla  x e < 0 , l >  ,­=i  0  dla  д г е Л < 0 , 1 >.  206  К .  GRYSA  Funkcje  t(n)m(x;y)  są lokalnie  całkowalne  oraz  mają  nastę pują ce  własnoś ci:  О  Л  V I /  kn)m(x;y)dx\  < С dla \x1~y\, \x2­y\  < M  (m =  1,2,  . . . ) ,  Л / > 0 с < + со  xi—  у   ii)  dla dowolnych  xt  ф у , x2  Ф у , х , < x2  lim  /  tWm(x;y)dx  = \ '  ™ i  ? ( " ) m ( A " ; J )  * ~  U ,  gdy (xx­y)(x2  ­y)  <  0.  Własnoś ci  i)  oraz  ii)  funkcji  t(„)m(x;  y)  są  pokazane  w  monografii  WATSONA ([2],  rozdz.  X V I I I ) .  Jak zatem  wynika  ze znanego  twierdzenia  o  cią gach  funkcyjnych  typu 6  (por.  [6], s. 47), ciąg  t(n)m(x;y)  jest  zbież ny  dystrybucyjnie  do d(x­y),  tzn. dla  każ dej  funkcji  ф )  e C 0 M  [6] mamy  + 00  (4)  l i m J  tln)m(x;y)cp(x)dx  = cP(y) =  (d(x­y),;  д (х —y)  —  dystrybucja  ó­Diraca  o przesunię tym  argumencie.  Analogicznie  m o ż na  p o k a z a ć , że  OO  (V\  4„  V  Jn(^uX)J„(flniy)  ( 5 )  2y2j  j n \ ^ n i )   =  8 { y ~ x ) '  i= 1  gdzie x, у e <0,1>.  P o m n o ż y my  teraz funkcje tWm(x; y) przez I„{ax),  (gdzie /„(z) — zmodyfikowana  funkcja  Bessela  я ­tego  rzę du  [2], zaś a —  dowolna  stała  rzeczywista)  oraz  scałkujmy  ten  iloczyn  od  zera  do x, gdzie  x > y.  Wykorzystując  (2) oraz  zwią zek  Jn(iz) =  i"I„(z)  (i =  j /  — 1)  m o ż na  wynik  tego  całkowania  zapisać  w postaci  r ó w n a n i a  róż niczkowego  * tf\  o  ,  „ч  h(flx)  д  Г I„(aC)tWm(Ł;  у )  ,t  * * * * ]  < ; . < » » *  , i b  ^ f ^ ^  v  t̂;  '  .  •  .  .  '  .  U 4 ) , . . „ V  ­ w ­  , T  ; Г ) т 1 рЛ  (t)  m ' ­ 1  \ i;0.­  ulEraanq s pdpfl  prwsq  Й фД  |к Л >Г   O  SUMOWANIU  SZEREGÓW  FOURIERA­BESSELA  207  4  Jak  łatwo  sprawdzić,  ciąg  {Sn,„(x,  y)}m=u  2,...  jest  zbież ny  niemal jednostajnie  dla  х , у e  6<0,1>.  Wykonując  w  równaniu  (6)  przejś cie  z  m  do  oo  otrzymujemy  stąd  —  wobec  zwią zku  (4)  —  równanie  róż niczkowe  aln(ax)  и х  laxln(ax)  Tutaj  (8)  Sn(x,y)  =  lim Sn,m(x,y)  =  У  f r : ^ f y  Rozwią zaniem  równania  (7)  jest  f u n k c j a   (9)  S„(x,  y) =  Anf„(ax)+jUoy)Kn(ax),  х  Ф 0,  gdzie  A„ —  stała,  którą  wyznacza  się z  warunku  (10)  Sn(\,y)  =  0,  wynikają cego  z (8);  zaś  K„(ax)  —  zmodyfikowana  funkcja  Bessela  II rodzaju  /;­tego  rzę du.  Biorąc  pod  uwagę  fakt,  że  funkcja  S„(x,  y) jest  symetryczna  wzglę dem  obu  zmiennych,  oraz  uwzglę dniając  (9) i  (10)  otrzymuje  się  sumę  szeregu (8);  • voo  •  ­O  , < > > H ' X  » ­ < f  *  y y ­ j ^ r t  • ­  '  C l ' 0   /  ­1  gdzie  ??(z) jest  funkcją  Heaviside'a,  oraz  2)  =  ­Ą p2jJ^  {Kn(pz)In(p)~Kn(p)ln(pz)};  x, у e (0,1>.  W  dalszych  zwią zkach  uż ywać  się jeszcze  bę dzie  nastę pują cego  oznaczenia  skracają cego:  F»AP,Z) =  ~А р 2)^Ш р )1п +ЛР2Н к1>+1^),Ш.  Nietrudno  zauważ yć, że  & ' ( ? ,  i )  =   o ,  , i  F»i(,p,  1) =  ­ ^ з ] Г (̂ •  Zwią zek  (11)  jest  podstawą  wszystkich  nastę pnych  wyprowadzonych  zależ noś ci.  D l a  и  =  0 zwią zek  (11)  sprowadza  się do postaci  wyprowadzonej  w pracy [3].  2.  Inne szeregi  typu (1)  Przy  wszystkich  nastę pnych  przekształceniach  bę dziemy  uważ ać,  że х  Ф у  oraz  х , у e  e  (0,1>. W zwią zku  z tym  przeprowadzone  róż niczkowania  dotyczyć  bę dą  funkcji  cią głych  lub  szeregów  zbież nych  jednostajnie  i  bezwzglę dnie  (okreś lonych  dla  x  < у  oraz  у  < x,  przy  czym  x, у e  (0,  1 » i rozumiane  bę dą  w zwykłym  sensie.  • 208  К .  GRYSA  Zróż niczkowanie  zwią zku  (11)  wzglę dem  zmiennej  x  prowadzi  do  nastę pują cej  za­ leż noś ci:  00  / 1 1 1  \ ^  ftniJn+liP­ni^JniP­niy)  ­>  3 r  /  \  т  /  \  f  \  ( 1 2 )  2  (&+*)#+1(*д  =  2 a  ^ ­ ' ) / i ( v ) V e '  * >­ ­  Ji O  ­  x) I„ + j (ax)  Fnl(a,y)}.  Jeś li  w (12)  położ yć  л­ =  1, to otrzymuje  się  zwią zek  CO  V  С а2 ; + а 2 ) Л + 1 0 и Л 1)  2 / „ ( a ) '   v ' 7  Jeś li  w (12)  d o k o n a ć  przejś cia  granicznego  z a do zera,  to otrzymuje  się  wzór  co  Przejś cie  z x  do  1 we wzorze  (14),  lub przejś cie  z a do zera  we wzorze  (Г З ), daje  znany  rezultat  [por.  1]:  M n o ż ąc  zwią zek  (12) obustronnie  przez  — a~2,  zwią zek  (14) przez a ­ 2 1  dodając je  stronami  otrzymuje  się:  + t](y­x)2aTn+1(ax)Fnl(a,  y).  Podstawiając  w (16) x =  1, otrzymuje  się  w z ó r :  М Л  V  Jn^my)  1  Г •  /,(g>')  1  }  ZJ  f*M  + a2)Jn+i(Mnt)  2a 2Y  I„(a  ,  ye  (0,1),  l*ni(j*2i + a2)Jn+1(jt„i)  2a 2[  I„(a)  Zwią zek  (17)  m o ż na  również  łatwo  wyprowadzić  na innej  drodze,  rozkładając  na  ułamki  proste  [7, 8] funkcję  f(a)  =  I„(ay)/aln(a).  Zróż niczkowanie  zwią zku  (16)  po у  pozwala  uzyskać  zależ ność  (у ф  x):  00  (18)  У JZ^J+^\y)  ­  2 ^ { Ч ( * ­ Й̂ » ( ^ ­ Й .  *>+  + rj(y­x)In+1  (ax)  Fn2(a,y)}.  Jeś li  w (18)  położ yć  x =  1, to otrzymuje  się  zwią zek  v  O  S U M O W A N I U  S Z E R E G Ó W  F O U R I E R A ­ B E S S E L A  209  Przejś cie  w (19) z a do  zera  daje  w wyniku  [por. 1]:  00  (20)  У  J^f\  =  у e  (0,I>,  zaś  przyjmując  w (19) у  =  1, otrzymuje  się   co  (21)  V  L_  In+x(a)  '  Z  tii  + a2  2aln(a) '  1= 1  Przechodząc  z a do  zera  w  (21)  bą dź  z у do jednoś ci  w (20)  dostaje  się znany  zwią zek  00  V  1  1  (22)  Z­t  ^2,­  4 ( и + 1)  '  Rozważ my  jeszcze  szereg  postaci  00  V  Jn+k(Mi4X)J„+K(ji„iy)  Ł J  tу+a2)(^„2,+A2)/,2+1(^0  gdzie  A: =  0,1, а ф b, b — nowa  dowolna  stalą.  Szereg ten  m o ż na  zapisać  w postaci  00  (23)  Z J  С ы2; + а 2 ) С «2 ( + 6 2 ) / п 2 + 1 ( ^ п ;)  1  J»+k(M„ix)J„+k(/tniy)  tу+A2.  Biorąc  pod  uwagę  (23),  (18) i (11)  łatwo jest  uzyskać  sumy  nastę pują cych  szeregуw:  00  ( 2 4 )  Z  +  +  =  * W  {^­jO[a 2 / n (  V 1  Jn+APniy)  _  1 ­" t . ­­•­< ­  r ,  C 2 6 )  Z ^ + f l W .  +  ftV.+  . W  "  2(b2­a2)  .  alM  Ып(Ь ) J '   y ­ e ^ l >  5  Mech.  Teoret.  i  Stosowana 2/77  2n+  1  210  К .  GRYSA  D o  wyprowadzenia  dalszych  zależ noś ci  potrzebne  są wzory [2]:  Kn{ip)  =  ­ji­"{Y»(P)+V«(P)},  Ш )  =  i"Up),  gdzie  Y„{p) — funkcja  Bessela II rodzaju  и ­tego  rzę du.  Korzystając  z tych  zwią zków  otrzy­ mujemy  Fnl(ip,z) =  ­i nGnl(p,z),  Fn2(ip,z)  =  i­"+ 1Gn2(p,z),  gdzie  Gnl (p, z) =  8p2jfp)  [YnWnipz)~  Y(Pz)Jn(p)],  TC  G„2(p,z)  =  ­^j~^[Yn(p)Jn+1(pz)­Yn+1(pz)J„(p)].  Korzystając  z  powyż szych  wzorów  i  zwią zków  (11)—(13),  (16)—(19),  (24)—(26)  m o ż na  —  zastę pując  w nich  stałe  a i b  stałymi  urojonymi  ia oraz  ib —  uzyskać  nastę pu­ ją ce  zależ noś ci:  00   (=1  +fj(y­x)Gnl(a,y)  J„ (ax)},  (28)  У  ^ ; / r l ( t w 2 / n ^ " f )  =  2 « 3 {r,{x­y)Jn{ay)Gn2{a, x) +  1=1  + rj(y­x)Jn+1  (ax) Gnl (a, y)},  00   (29)  V  ^ Л ( )̂  W > ,  ye  (0,1),  /=i  (30)  г  V =  r,(x­y)\2aJn(ay)Gn2(a,  x) +  l — 1  1  У   2a2x \ x  + rj(y­x)2aJn+1(ax)  Gnl(a,  y),  0 0  г   rcn  у  Л (/л „­у)  1  Ш  _  ­ 1  ;  Z '  M G * ­  FL2)­/«+12Й 2  L Л ( а)  '  ,  J ' е (0,1),  +  7](y­x)J„+1(ax)G„2(a>  у )},  O  SUMOWANIU  SZEREGÓW  FOURIERA­BESSELA  211  (33)  (34)  0 0   2  1  =  Л +1  (a)  № ­ a2  2a/„(a)  1=1  (35)  /=  i  ,  / ) 2  { ч ( ж ­ у ) [ в 2 Л ( в у ) < ? .1 ( в , x)­b 2Uby)Fnl(b,  x)] +  + V(y­x)[a 2Jn(ax)Gnl(a,  y)­b%  (bx) Fnl(b,y)]},  (36)  co  V  Л +l  ((*niX)J„+ ,  ( « „ ,  J )  {fj(x­y)[a2Jn+l(ay)G„2(a,  x)­b 2In+l(by)Fn2(b,  x)] +  2  a2 + b2  + r](y•­x)[a2Jn+  l(ax)Gn2(a,  y)­b 2In+1(bx)Fn2(b,  y)]},  • i  ю  i  •' r ­i П 7ч  у  Jn+y(Pniy)  1_  Jn+Ą ay)  _  In+ijby)  K  }  ZJ  )+n (У ­  x)] ̂ Щ­  sin [On (а х ) + On (ay)+фя  (a) ­  0„ (a)]  ­ N  (ax)  V(x­y)  ы п [Оп(а у )  + фп(а х )]  +  + ч(У­х)§^™1и а х )  +  Ф м А .  212  К.  GRYSA  Wykonując  takie  samo  podstawienie  we wzorze  (36) dostajemy  0 0   (39)  £  Mn+i(ax)Mn+i(ay)  | r  .  .  .  NJa)  .  „  ,  „  +e,+i(ey)+  ­ в . ( в )]  +фп +1(а х )]+ф ­х )™~(^y  sin[fl.+ 1(ax)+^+ 1(e^)]]}.  Podobnie — podstawiając  w zwią zkach  (17) i (30) wielkość  у i a w miejsce  a, nastę pnie  zaś  dodając  lub odejmując  stronami  otrzymane  wyniki — uzyskujemy  wzory  00   ш  V  PmJniPniy)  1  M„(ay)  co  Tutaj  ^ « ( z )  =  j / b e r 2 z  +  b e i 2 z ,  N „ 0 0  =  j / k e r 2 z + k e i 2 z ,  ( kci  z  ber„z,  bei„z,  k e r n z ,  k e i n z — funkcje  Kelvina  я ­tego  rzę du.  Są one powią zane  ze zmody­ fikowanymi  funkcjami  Bessela  zwią zkami  [9]:  Uzi1/2)  =  ( ­ / ) " [ b e r „ z  + /bei„z]  =  (­i)nMn(z)e le"M,  Kn(zi4 2)  =  /"[ker„z + /kei„z]  =  iB./VB(z)e<*»«.  4. Uwagi koń cowe  Przedstawione  w  niniejszej  pracy  wzory  sumacyjne  dla  szeregów  Fouriera­Bessela,  zależ nych  od dwóch  zmiennych,  są  uogólnieniem  wyników  pracy  [3]. Wzory  te,  sprowa­ dzają ce  się w szczególnych  przypadkach do znanych w literaturze"zwią zków,  wyprowadzono  na  gruncie  teorii  dystrybucji.  Otrzymane  w tej  pracy  wyniki  mogą  znaleźć  zastosowanie  przy  rozwią zywaniu m.in.  p r o b l e m ó w  teorii  sprę ż ystoś ci  czy termosprę ż ystoś ci.  O  SUMOWANIU  SZEREGÓW  FOURIERA­BESSELA  213  Jako  przykład  zastosowania  niektórych  z  wyprowadzonych  zależ noś ci  w  teorii  termo­ sprę ż ystoś ci  rozważ my  zwią zek  (1—25) J U I ,  przedstawiony  na  s.  12  w  pracy  [10],  opisują cy  bezwładnoś ć  termiczną  pola  temperatury  w  nieosiowosymetrycznie  grzanym,  obracają cym  się  walcu:  co  co  0 B (  0  =  ­ 2  У  La  У  *т дл 1в \п [п (<р ­т Г)+  с У  ­   Jn^f  1,  4—? \  Г ­!  f*ntJn+l\J*nl)  I i = l  1=1  gdzie  sin  COS  Ł)„;  =  \/х2ц Ъ  + п2ы2а *  '  ]/x2rii  + n2w2a*  '  е е ( 0 , 1 ),  <р е (0,2я ),  t  >  T0,  tna,  co, x,  a,  T0  —  stałe.  Korzystając  ze  wzorów  (40)  i  (41)  po  prostych  przekształceniach  otrzymuje  się   0b(Q,