Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  '  /  2,  15  (1977)  DRGANIA  WŁASNE  BELEK  Z  UWZGLĘ DNIENIEM  WPŁYWU  Ś CINANIA  S Ł A W O M I R  J A N E C K I  ( G D A Ń S K)  I  1.  Wstęp  W  praktyce  inż ynierskiej,  przy  ocenie dynamicznego  zachowania  się  szeregu  elementów  konstrukcyjnych  zastę puje  się  je  modelami  jednowymiarowymi  (prę ty,  belki).  Klasyczna  teoria  tych  modeli  opiera  się  na  szeregu  hipotez  kinematycznych,  bę dą cych  w  swej  istocie  wewnę trznymi  wię zami  geometrycznymi,  nakładanymi  na  ruch  ciała jako  trójwymiarowego  o ś r o d ka  cią głego.  W  zależ noś ci  od  przyję tych  hipotez  m o ż na  otrzymać  róż ne  modele,  a  na  ich  podstawie  róż ne  r ó w n a n i a  opisują ce  ruch.  Przyjmowane  hipotezy  kinematyczne  mogą  prowadzić  do  modeli,  które  nie  nadają  się   do  opisu  zjawisk  falowych,  bą dź  do  modeli  prowadzą cych  do  równań  falowych.  Przykła­ dem  pierwszych jest  model  belki  Eulera­Bernoulliego,  a  drugich  model  belki  Timoszenki.  M o d e l  Eulera­Bernoulliego,  oparty  na  hipotezie  płaskich  i  prostopadłych  do  osi  belki  przekrojów  po  jej  odkształceniu,  stosuje  się  do  wyznaczania  najniż szych  czę stoś ci  drgań   poprzecznych  belek  smukłych.  M o d e l  ten  nie  obejmuje  drugorzę dnych  efektów  powodo­ wanych  obrotem  przekrojów  poprzecznych  podczas  ruchu  oraz  naprę ż eniami  ś cinają cymi.  D l a  belek  mało  smukłych,  posiadają cych  wymiary  poprzeczne,  porównywalne  z  ich  dłu­ goś cią,  wspomniane  wyż ej  drugorzę dne  wpływy  mogą  mieć  duże  znaczenie,  zwłaszcza  przy  badaniu  rozchodzenia  się  fal  oraz  drgań  o  wyż szych  czę stoś ciach.  P o p r a w k ę  uwzglę d­ niają cą  o b r ó t  przekrojów  poprzecznych  podczas  ruchu  belki  wprowadził  R A Y L E I G H ,  natomiast  p o p r a w k ę  uwzglę dniają cą  wpływ  sił  poprzecznych  na  ugię cie  wprowadził  Т ш о­ S Z E N K O  [1].  Problematyką  zwią zaną  z  modelem  zaproponowanym  przez  T I M O S Z E N K Ę  zajmowało  się  szereg  badaczy.  Charakter  falowy  równań  ruchu  opartych  na  powyż szym  modelu  badano  w  pracach  [2,  3,  4],  drgania  własne  belki  w  [2—13], drgania  wymuszone  w  [14,  15,  16].  Pełniejszy  przegląd  poruszanych  tu  zagadnień  został  dokonany  w  [17].  W  pracach  [18—21]  zajmowano  się  odpowiednim  doborem,  wystę pują cego  w  równaniach  Timo­ szenki,  współczynnika  ś cinania  charakteryzują cego  nierównomierność  rozkładu  naprę ż eń   stycznych  w  przekrojach  poprzecznych  belki.  Szereg  prac  poś wię cono  również  doskona^  leniu  modelu.  Wychodząc  z  trójwymiarowej,  zlinearyzowanej  teorii  sprę ż ystoś ci  przy  ogólniejszych  założ eniach  dotyczą cych  deformacji  w  pracach  [19—24]  otrzymano  nowe  sformułowania  teorii.  W  niniejszej  pracy,  opierając  się  na  ogólniejszych  założ eniach  dotyczą cych  deformacji  przekrojów  poprzecznych,  podano  algorytm  budowania  bardziej  dokładnych  wariantów  S.  JANECKI  teorii  drgań  poprzecznych  belek  uwzglę dniają cych  ś cinanie.  Wyprowadzony  układ  r ó w n a ń   m o ż e  być  stosowany  do badania  dynamicznego  zachowania  się belek  krótkich.  Układ  ten  w  szczególnym  przypadku  sprowadza  się do  układu  Timoszenki.  2.  Spis  waż niejszych  oznaczeń   A,  I  pole powierzchni  i moment  bezwładnoś ci  przy zgię ciu  przekrojów  poprzecznych  belki,  hXi,  IXlXj  momenty  bezwładnoś ci  przekrojów  poprzecznych belki wystę pują ce  przy  ś cina­ niu  (/,у =  1,2,  R),  L,  l  długość  i  smuklość  belki,  Q, E, G  gę stość  materiału  oraz moduły  sprę ż ystoś ci  podłuż nej  i  postaciowej,  ita  przemieszczenie  całkowite  punktu  materialnego  znajdują cego  się na  osi  belki,  OJ, у i  ką ty  zgię cia  i  ś cinania  (/' =  1,2,  ..., R),  Q, M, H}  siła  poprzeczna,  moment  gną cy  i momenty  ś cinania,  ej,  m, lij  obcią ż enia  zewnę trzne  belki (j =  1, 2,  R),  p, k„  bezwymiarowa  i wzglę dna  czę stość  drgań  własnych,  xk,  t  współrzę dne  miejsca  i czasu  (k =  1,2,  3),  tu,  У .Ц,  rjj  bezwymiarowe  charakterystyki  geometryczne  przekroju  poprzecznego  belki  charakteryzują ce  wpływ  deplanacji  przy ś cinaniu  (/,/  =  1,2,..., R),  XJ  funkcja  deplanacji  0'=  \ ,2,  R).  3.  Model Timoszenki  W  celu  prześ ledzenia  założ eń  przy  ustalaniu  modelu  zgię cia  belki  z  uwzglę dnieniem  ś cinania  i  m o m e n t ó w  obrotowych  wyprowadzimy  r ó w n a n i a  ruchu  Timoszenki  [1].  A b y  tego  d o k o n a ć  rozważ ymy  elementarny  odcinek  belki  (rys. 1, 2).  D l a  prostoty  ograniczymy  się  do  rozważ ania  odkształcenia  odbywają cego  się w jednej  płaszczyź nie.  Pod  wpływem  obcią ż eń  oś elementu  belki  wygina  się i tworzy  z osią  OX3 kąt  (1)  '  .  a  =  o) + y,  gdzie  с о , у  są  odpowiednio  ką tem  powstałym  w  wyniku  zginania  i  ś cinania  (rys. 1).  Przy  założ eniu  małych  odkształceń,  całkowity  kąt  pochylenia  materialnej  osi  belki  m o ż na  przyjąć   (2)  a  =  —z—,  д хъ   gdzie  u0(x3,  t)  jest  przemieszczeniem  całkowitym  punktu  materialnego  znajdują cego  się   na  osi  belki.  W  teorii  Timoszenki,  przy  utrzymaniu  słusznoś ci  hipotezy  płaskich  przekrojów,  zwią zki  fizyczne  zachodzą ce  pomię dzy  siłami  wewnę trznymi  i  odkształceniami  przyjmuje  się na­ stę pują co  :  (3)  M=EJ^~,  Q =  xGAy,  cx3  gdzie  M,  Q  są  odpowiednio  momentem  gną cym  i  siłą  poprzeczną,  x  współczynnikiem  ś cinania  uwzglę dniają cym  nierównomierny  rozkład  naprę ż eń  stycznych  w  przekroju  po­ przecznym  belki.  D R G A N I A  W Ł A S N E  B E L E K  249  N a  podstawie  rys.  2  m o ż na  ustalić  nastę pują ce  równania  równowagi  elementarnego  odcinka  belki  (4)  +  q  =  0,  dM  +  Q + m  =  0.  Q*dQ  ) ) ) 11  I M   i i  i  V  Rys.  1.  Schemat  odkształcenia  elementu  belki  Rys.  2.  Schemat  obcią ż eń  elementu  belki  Kiedy  obcią ż enia  zewnę trzne  są  obcią ż eniami  masowymi  bezwładnoś ciowymi,  to  wtedy  i  (5)  ą   д2и0  d 2o>  ­QA­dl2~,  m  =  ­ o J ^ ­ Wprowadzając  bezwymiarowe  zmienne  (6)  na  podstawie  zwią zków  (1)—(5)  m o ż na  otrzymać  nastę pują cy  układ  r ó w n a ń :  (7)  Ć )C4  dC4dr2  4 l F i  a4co  o2  v  .  л   +  A 2 ­ a ^ r ( « + y )  =  o,  d2y  dt2  (w + y)  =  0,  dla  ką tów  zgię cia  co  i  ś cinania  y,  albo  równanie  (8)  д у __(  1  \  d* u  J _ d * «  )2d2J±  =  C)  \   +  p j  dl2dr2  +  ji2  д т *+  dr2  dla  przemieszczenia  bezwymiarowego  u.  W  napisanych  wyż ej  równaniach  wprowadzono  nastę pują ce  oznaczenia:  (9)  Я  =  JP  VI/A  G  Q  c2­  E  CE  —  Q  gdzie  Я jest  smukłoś cią  belki,  natomiast  cE  i  cG  są  odpowiednio  prę dkoś cią  rozchodzenia  się  fal  wzdłuż nych  i  poprzecznych.  R ó w n a n i e  (8)  w  literaturze  przedmiotu  znane jest jako  równanie  Timoszenki.  250  S.  J A N E C K I  4.  Uogólniony model zgię cia poprzecznego  Przy  ustalaniu  modelu  belki  i wyprowadzeniu  równań  ruchu  przyjmować  bę dziemy,  ż e:  1)  rozważ ana  belka jest  prosta  i ma stałe,  bisymetryczne  przekroje  poprzeczne;  2)  belka  jest  wykonana  z  materiału  jednorodnego  i  izotropowego,  dla  którego  waż ne  jest  prawo  Hooke'a;  3)  ruch  belki  odbywa  się  w jednej  płaszczyź nie;  w trakcie  ruchu  przekroje  poprzeczne  pierwotnie  płaskie  obracają  się i deplanują,  nie  zmieniając  swych  wymiarów  poprzecznych;  4)  odkształcenia  i  przemieszczenia  są na  tyle  małe,  że opis  ruchu  zostanie  dokonany  na  stanie  nieodkształconym  belki;  5)  naprę ż enia  styczne  działają ce  w  płaszczyź nie  przekroju  poprzecznego  belki  oraz  naprę ż enia  normalne  działają ce  z tego  przekroju  bę dziemy  uważ ać  za istotne,  natomiast  pozostałe  za drugorzę dne  i bę dziemy  je  pomijać  przy  ustalaniu  zwią zków  fizycznych;  6)  rozkłady  naprę ż eń  w kierunku  poprzecznym  po szerokoś ci  belki  bę dziemy  przyjmo­ wać  jako  niezmienne.  Zgodnie  z  powyż szymi  założ eniami  składowe  przemieszczenia  dowolnej  czą stki  belki  znajdują cej  się przed  odkształceniem  w  miejscu  Р ( л 'х )  przekroju  x3  =  const,  m o ż na  przyjąć   w  postaci  R   (10 )  w, =  u0(x3,  t),  u2  =  0 ,  и 3 =   ­xtco(x3,  t)+  2J   Ł J(*I)M*3 >  ty,  ,'=1  gdzie to(x3,  t), yi(x3, t) są  nieznanymi  funkcjami  okreś lają cymi  sztywny  o b r ó t  i  deplanację   przekroju  wzdłuż  długoś ci  belki,  natomiast  Xt(xi)  4  znanymi  funkcjami,  spełniają cymi  okreś lone  warunki  i charakteryzują cymi  rozkład  deplanacji  w danym  przekroju.  Znając  składowe  przemieszczenia  moż emy  wyznaczyć  składowe  tensora  odkształć   cenią.  Zgodnie  z założ eniami,  ograniczając  się  do teorii  zlinearyzowanej  mamy  £ц  =  «12   =   Ł22   =   Ł23   =   0 ,  gdzie  „ p r i m e m "  oznaczono  pochodną  wzglę dem  zmiennej  x3.  Przyjmują c,  że pochylenie  całkowite  osi  prę ta  jest  R   (12)  ц 'о =  CO+  Ł y i t  to  niezerowe  składowe  tensora  odkształcenia  m o ż na  przepisać   R   R   (13)  e i 3  =  T z E 1  +  T x F '  Ł "  =  ~xiw'+  ^XtYt­ (­1  *  1  '  /­1  N a  skutek  odkształcania  się  belki  pod  wpływem  obcią ż eń  zewnę trznych  pojawiają  się   wewnę trzne  siły  sprę ż ystoś ci.  Uwzglę dniając  założ enia  dotyczą ce  materiału,  z  którego  wykonana jest  belka,  istotne  składowe  tensora  naprę ż enia  moż emy  przyjąć   (14)  т 1 3 =  2 G e 1 3 ,  т 3 3 =  Es33.  D R G A N I A  W Ł A S N E  B E L E K  251  Przy  powyż szych  ustaleniach  i  poczynionych  założ eniach  r ó w n a n i a  zgię cia  belki  wypro­ wadzimy  z  ogólnych  równań  ruchu  ciał  smukłych  opisanych  dowolnymi  modelami  jedno­ wymiarowymi  o ś r o d ka  cią głego  [26].  Wspomniane  r ó w n a n i a  mają  postać   (15)  (II  д х г .  Q * +  h +  h  =  0,  gdzie  H  i  Q *  są  wektorami  uogólnionych  sił  wewnę trznych  wystę pują cych  w  przekrojach  poprzecznych,  natomiast  h  i  h  są  wektorami  obcią ż eń  powierzchniowych  i  masowych.  Wspomniane  wektory  okreś lone  są  nastę pują co:  (16)  H =  Г (FTe3) UdA,  Q * =  Г tr  (TF r GradU)rf/i,  A  A  (1.3)  h  ­f  o(f­vt)VdA,.  gdzie  F ,  T,  Q, f  są  kolejno  gradientem  deformacji,  symetrycznym  tensorem  naprę ż enia  Pioli­Kirchhoffa,  gę stoś cią  materiału  i  intensywnoś cią  rozkładu  obcią ż eń  masowych.  Nadto  tensor  (17)  U  =  Su  'H'  gdzie  (18)  и  =  Ф ( х , а ( х 3 , / ) ) .  Funkcja  wektorowa  Ф  jest  funkcją  znaną,  x  jest  wektorem  pozycyjnym  w  obszarze  A  przekroju  poprzecznego  belki  w stanie  nież deformowanym,  q jest  wektorem  współrzę dnych  uogólnionych.  Przyjmując  w  rozważ anym  przypadku  wektor  współrzę dnych  uogólnionych  nastę­ pują co:  O 9 )  q  =  с о 1(и0 ,co,  yt,  y2,  ...;yR),  składowe  tensora  U  na  podstawie  (17)  m o ż na  napisać   (20)  U"  =  1,  0 , 0 ,  o  o,  o  ,  o  ,  o  0,  ­xx,  %i,  X R .  Wtedy  ze  zwią zków  (16)  dla  przypadku  zlinearyzowanego  otrzymujemy  definicje  składo­ wych  sił  wewnę trznych:  Q=  j  rl3dA,  M  =  ­  jx{r3idA,  (21)  Xjt33dA,  Q^  i ­  i t ­ ,dA,  ( y =  1 , 2 ,  ;..,R).  252  S.  JANECKI  Z  ogólnych  r ó w n a ń  (15) otrzymujemy  skalarne  r ó w n a n i a  ruchu:  Q' + q + q = 0,  (22)  M'+Q+m+m  = 0,  H'j­Qj+hj+hj  =  0,  ( j =  1,2,  ...,R).  Wykorzystując  zależ noś ci  (13) i (14) siły  wewnę trzne  (21)  m o ż na  uzależ nić  od  odkształ­ ceń.  Otrzymujemy^  R  к   Q  =  G  % S I Y I ,  M  =  E(M­  ŁllXiy'i),  (23)  gdzie  (24)  Hj  =  E(­I1XJ  m  =  ­^7772­'  hi  =  oraz  bezwymiarowe  parametry  (3D  x­fa,  =  „ = ̂ ,  ( / , / =  1,2  Д )  Wyprowadzone  wyż ej  równania  (22)  i  zwią zki  (12),  (23),  (26),  (28)  i  (29)  m o ż na  przed­ stawić  w  postaci  bezwymiarowej.  Zwią zek  kinematyczny  (32,  t  =  R ó w n a n i a  ruchu:  (33)  Щ .+ ( ] =  о ,  4^(­co+  2 V i y l ) ­ > \ 2 ± T ( ( 0 + g Vl)   =  o,  (=1  " ъ  i=i  " v  ; = i  R  R  (41)  ­^4 ­ ( ­ Vi "  +  £  £ i J  y)  ~  f j ?  (­Ъ с о  +  > £  eu  у ­ i = i  i = i  1=1  1=1  0  =  1 , 2 , . . . ,  i?).  DRGANIA WŁASNE  BELEK  255  Kładąc  w nich  R =  1, r]t — etJ  =  O  otrzymujemy  układ  r ó w n a ń  (7) wynikają cy  z  teorii  Timoszenki,  gdzie  (42)  X»  = X  = ̂ j(l­­lk )dA­ W  przypadku  ogólniejszym  teorii  rzę du  pierwszego  (R =  1), mamy  do  czynienia  z  sześ cioma  niewiadomymi  Q,  M,  H,u,u>\ y. M o ż na je  wyznaczyć z układu  r ó w n a ń  róż nicz­ kowych  :  du  Щ  77  2  П  ,  (43)  dco  e  MA­ Ж  =  e — r]2  MA­ dy  V  MĄ ­ж =  e — r]2  MĄ ­ 8Q  dC  1  д х2  f  dM  Ж  ~  ­Q  +  d2oj  dr2  e — r]  H,  e — r}2  dr2  dH  ­  „(cG\ 2  d 2co  82y  (e  =  «u>  V =  Vi>  x=  xu)>  napisanych  na podstawie  (32)  ­ (35)  oraz  odpowiednich  w a r u n k ó w  począ tkowych  i  brze­ gowych.  W  dalszym  cią gu  wykorzystamy  powyż sze  r ó w n a n i a  przy  badaniu  wpływu  p a r a m e t r ó w  e,  T] i  A na czę stoś ci  drgań  własnych  belki  wspornikowej.  Teorię  rzę du  wyż szego  (R >  1) zbadamy  na  przykładzie  drgań  swobodnych  harmonicz­ nych  belki  obustronnie  podpartej  przegubowo.  Rozwią zania  poszukiwać  bę dziemy  w  po­ staci  /  co =  i 3 c o s a „ f COS/)T,  yt  = J 1; cos  a„£ COST,  (44)    k­  =  ~Ш '  gdzie  '  cG  Wprowadzając  macierze:  (47)  A =  ( e y ) ,  В =  (bu),  gdzie  2 A 2  ГА u  (48)  f  1  ^71  / 7 1  "̂/1  7  ­i  ^71  "11  —  ~^~12~'  =  "1+1.1  =  1 —  Vi^T*  =  1+£'/~Д 2~  oraz  wektor  (49)  x  =  co\{Q,I\,r2,...rR),  r ó w n a n i a  (45)  m o ż na  przepisać  w postaci  macierzowej  (50)  (A­Ar„ 2 B)x  =  0.  Powyż szy  układ  r ó w n a ń  posłuży  nam  do  wyznaczenia  wzglę dnej  czę stoś ci  drgań   własnych k„.  Macierze  A i В są symetryczne i nieosobliwe,  stąd  wartoś ci  własne  równania  (50) bę dą   rzeczywiste.  6.  Przykłady  Wykorzystując  przedstawione  powyż ej  równania  wykonano  obliczenia  numeryczne  czę stoś ci  wzglę dnych  (51)  k„  ­ P_  Po  In  dla  harmonicznych  drgań  własnych  poprzecznych  belki  wspornikowej  według  teorii  rzę du  R  =  1  oraz  belki  podpartej  obustronnie  przegubowo  dla R ^  1.  Wielkość  p0  jest  bez­ wymiarową  czę stoś cią  własną  drgań  poprzecznych  belki  wyznaczoną  z  teorii  Eulera­ Bernoulliego  (bez wpływu  m o m e n t ó w  obrotowych  i sił tną cych).  W y n i k i  obliczeń  dla R  =  1 i  róż nych  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  e =  e 1 1 (  rj =   ,nl,  przy  ustalonej  wartoś ci  JL2  =• x(cG/cE) 2  =  1/3  w  funkcji  smukłoś ci  belki  A, zostały  przedsta­ wione  na  rys.  3 dla belki  wspornikowej  i  na  rys.  4 i  5 dla belki  podpartej  przegubowo.  Przegląd  otrzymanych  wyników  prowadzi  do  nastę pują cych  stwierdzeń.  DRGANIA WŁASNE  BELEK  257  Rys.  4.  Wpływ  parametrów  geometrycznych  na  wzglę dne  czę stoś ci  drgań poprzecznych belki  pod­ partej przegubowo  I R  =  1,  Ji2 (R  =  1,  у  ­  i )  Rys.  5.  Wpływ  parametrów  geometrycznych  na  wzglę dne  czę stoś ci  drgań poprzecznych belki  pod­ partej  przegubowo  ^R  =  1,  Ji2  —  —­J  —  Momenty  obrotowe  przekrojów  poprzecznych  i  ś cinanie  powodują  zmniejszanie  wartoś ci  czę stoś ci  drgań  własnych.  Obniż enie  to jest  wię ksze  dla  belek  krę pych  i  harmonik  o  numerach  wyż szych.  Stwierdzenie  to  potwierdza  wnioski  uzyskane  we  wcześ niejszych  pracach  [1,  5,  6,  10,  15].  —  Wpływ  p a r a m e t r ó w  e  i  r\ wystę pują cych  w  teorii  ogólniejszej  od  teorii  Timoszenki  (s  =  0,  r\  =  0)  na  czę stoś ci  drgań  własnych  jest  nastę pują cy:  wzrost  wartoś ci  parametru  E powoduje  podwyż szenie  czę stoś ci,  natomiast  wzrost  parametru  r\ ich  obniż enie.  D o  przeprowadzenia  obliczeń  czę stoś ci  wzglę dnych  kn  według  równań  (50)  dla  R  >  1,  niezbę dne  są  charakterystyki  geometryczne  ty,  е ^,  щ  okreś lone  wzorami  (28)  i  (31),  zależ nymi  od  funkcji  deplanacji  %t­  Stąd  pierwszym  krokiem  jest  ich  wyznaczenie  dla  8  Mech.  Tcorct.  i  Stosowana  2/77  258  S.  JANECKI  konkretnego  przekroju  poprzecznego.  D l a belki  posiadają cej  prostoką tne  przekroje po­ przeczne  o  wymiarach  bx2h,  funkcje  y, powinny  s p e ł n i a ć  n a s t ę p u j ą ce  warunki:  1.   Xi(­Xi)  =  ­Xi(*i)>  (52)  2.  T 1 3 / * 1 = ± „  =  0,  3.  $i  ——  JcA.  gdzie b i h są odpowiednio  szerokoś cią  i połową  wysokoś ci  przekroju.  Napisane  wyż ej  warunki  spełniają  funkcje  o k r e ś l o ne  wzorami  (53)  ^ =  i ^ ­ 1 ) ( 3 ­ a + ^ I ^ ]  ,  m =  l  (/ =  \,2,...,R),  gdzie  !  = ^ ­ ,  £ e < l , ­ l > .  Ze  wzorów  (28) i (31) oraz  zależ noś ci  (53) dla belki  o przekrojach  prostoką tnych  mamy  9 ł  = y ( * ­ i ) . + # > ,  (54)  e „ =  ^ ( * _ i ) * + 3 ( * ­ l )  («;+«,)+«][/>,  * ц  =  2{k­\)+  65­(k­\Y+  ~{к ­\){к1  +  х ,) +  А }\  gdzie  3  у v  ('I)  2  Z J   (2* + 3 ) ( # и ­ 1 )!  '  V  v i Z 1 i i i  Z J   ZJ  ( I B ­ 1 ) !  (2y+3)(2*+5)  /71=1  J=0  (55)  I  I I I  =  _з V V y ^  4 Z J Z / Z ;  (#И ­1)!(И ­1)!(2$ + 3)  '  m=»l  n = l  j = 0  I  ли _  «1; —  V  У  (  Г  1  2 w + l  1  KK  ZJ  ZJ   (m­.l)\  I2s+l  2s+3  J '  •  lm + n — 2\  L  У  У  У  \  ­У _J f_J  2(m + n+\)  (2/я ­Ц )(2и + 1 ) ]  4  ZJ ZJ  Z  (/и ­1)!(л ­1)!  lzs+1  2^+3  +  2s + 5  J  DRGANIA  WŁASNE DULEK  259  Liczbę  к  wyznaczymy  z  warunku  niewystę powania  wewnę trznej  sprzecznoś ci  teorii  w jej  szczególnym  przypadku  gdy  R  —  1 i в =  r) =  0. Wtedy z ostatniego  r ó w n a n i a  ruchu  (43)  jest  (56)  Q = xxi*2\^­)  У ­ Z  drugiej  strony na podstawie  zależ noś ci  (26)  okreś lają cej  silę  poprzeczną  dla  R =  1 mamy  (57)  Q =  k?Ą ^)2y.  Z  p o r ó w n a n i a  powyż szych  zależ noś ci  i  wzoru  (28)  otrzymujemy  (58)  / ^ ^ / ( l ­ i f L J V  A  Z  powyż szego  warunku  dla  belki  o przekroju  p r o s t o k ą t n ym  po uwzglę dnieniu  (53)  otrzy­ mujemy  к  = 5/6.  Identyczną  wartość  we wzorze  (3) okreś lają cym  siłę  poprzeczną  dla  belki  o  przekroju  prostoką tnym  proponuje  C O W P E R  [20].  >  W  zależ noś ci  od wartoś ci  parametru  к  funkcje  deplanacji  Xi(xi,  k)  mają  róż ny  kształt.  N a  rys.  6 wykreś lono  Xi(xi)  dla к  =  1 /2,  2/3,  5/6,  1  i 3/2  natomiast  na  rys.  7 ул  dla к  = 5/6.  Rys.  6.  Funkcja  deplanacji  %i  *  5  Rys.  7.  Funkcje  deplanacji  yj  dla к  = —  Obraz  przedstawionych  rozkładów  deplanacji  jest  jakoś ciowo  zgodny  z  deplanacjami  dla  p r ę ta  o  przekroju  kołowym,  otrzymanymi  na podstawie  teorii  P O C H H A M M E R A ­ C H R E E  przy  róż nych  stosunkach  promienia  przekroju  do długoś ci  fali [25].  Z  p o r ó w n a n i a  krzywych  deplanacji.podanych  na ryś.  6 i w pracy  [25]  m o ż na  wnosić,  że  liczba  к  —  2/3  proponowana  przez  T I M O S Z E N K Ę jest  wartoś cią  graniczną,  rozdzielają cą   deplanacje  odpowiadają ce  falom  długim  od  deplanacji  dla fal  dostatecznie  k r ó t k i c h .  Nadto  obserwuje  się,  że dla к  mniejszych  deplanacja  przekroju  poprzecznego  staje się   mniejsza.  i  8*  260  S. JANECKI  4  Mając  okreś lone  charakterystyki  geometryczne  m o ż na  przystą pić  do  wyznaczenia  czę stoś ci  drgań  własnych  belki  podpartej  przegubowo  o  prostoką tnych  przekrojach  po­ przecznych.  Rozważ ając  równanie  (50) i  uwzglę dniając  zależ noś ci  (54) i  (55) w przypadku  R  =  1, m o ż na  pokazać,  że wzglę dne  czę stoś ci  drgań  własnych  к(п г )  nie zależą  od liczby  к   charakteryzują cej  rozkład  deplanacji  w  przekroju.  W  rozważ anym  przypadku  z  (50)  otrzymamy  równanie  czę stoś ci  v  (59)  (bilb22­b\2)K  + (allb22  + a 2 2 b l l ­ 2 a l 2 b l 2 ) k l ­ ( a l l a 2 2 ­ a l 2 )  =  0.  Uwzglę dniając  (48), (54) i  (55)  mamy:  ,60)  „ , , 6 „ +  „ ] A , ­ 2 « , A ,  ­  ( « * ) { , . [ , + ( ± ) ]  + [ . Ł + J ^ ) ' ] } ,  ° " » " ­ в " ­ ( т * 2 ) [ т я + ' ' 1 Ш ]­ Stąd  widać,  że dla R  — 1 bezwymiarowe  czę stoś ci  k^  (r =  1,2) nie zależą  od k.  Podobnie  jest  dla R >  1.  W y n i k i  obliczeń  w  przypadku  R =  1  według  modelu  Timoszenki  (e =  97 =  0) dla  к  =  2/3, 5/6, 1 oraz  według  modelu  uogólnionego  dla smukłoś ci  Я =  10, 25 i 50 przed­ stawiono  w tablicy  1. Z  przeglą du  otrzymanych  wyników  widać,  że k^  liczone z  r ó w n a ń   Tablica 1. Bezwymiarowe czę stoś ci drgań k^(r  = 1, 2) belki podpartej przegubowo o przekroju prostoką tnym  (v = 0.25)  Model  belki Timoszenki  \e = 0, и = 0[  A  n  =  2  '  T  /с  =  5  "  "б"  к  = 1  Model  uogólniony  \R = 1|  *» *<"­ J U D  K.„  /c<2>  1  0,80805  5,79150  0,85327  6,85575  0,88094  7,96845  0,85355  6,82108  2  0,57716  2,02709  0,64781  2,25753  0,69680  2,51853  0,64951  2,24883  10  3  0,43184  1,20410  0,50287  1,29253  0,55642  1,40175  0,50660  1,28879  4  0,34048  0,85906  0,40530  0,90208  0,45276  0,95949  0,41122  0,90011  5  0,27946  0,66984  0,33725  0,69383  0,38574  0,72792  0,34533  0,69267  1  0,95838  30,51909  0,97016  37,68564  0,97674  176,55547  0,97017  37,46993  25  2  0,86215  8,48140  0,89693  10,19062  0,91756  44,91814  0,89707  10,13657  25  3  0,75499  4,30453  0,80875  5,02296  0,84265  20,51761  0,80924  4,99883  4  0,65833  2,77679  0,72350  3,15836  0,76677  11,95379  0,72452  3,14474  5  0,57716  2,02709  0,64781  2,25753  0,69680  7,96845  0,64951  2,24883  1  0,98899  118,29765  0,99222  147,39126  0,99398  176,55547  0,99222  146,52850  50  2  0,95838  30,51909  0,97016  37,68564  0,97674  44,91814  0,97017  37,46993  50  3  0,91356  14,22325  0,93708  17,34043  0,95037  20,51761  0,93711  17,24450  4  0,86215  8,48140  0,89693  10,19062  0,91756  11,95379  0,89707  10,13657  5  0,80805  5,79150  0,85327  6,85575  0,88094  7,96845  0,85355  6,82108  DRGANIA WŁASNE  BELEK  261  Timoszenki  przy  współczynniku  к  =  5/6  rekomendowanym  przez  C O W P E R A  [20],  mają   wartoś ci  bliskie  w p o r ó w n a n i u  z wartoś ciami  czę stoś ci  wyznaczonymi na podstawie  modelu  ogólniejszego,  zwłaszcza  dla wię kszych  smukłoś ci  A.  W y n i k i  obliczeń  w przypadku  R ^  1 według  modelu  uogólnionego  dla  X =  10  zostały  zestawione  w  tablicy  2. N a podstawie  otrzymanych  wyników  widać,  że dla każ dego  R  istnieje  r =  1,2, ...,R+l  gałę zi  czę stoś ci  drgań  własnych.  Nadto  dla każ dego  n  przy  ustalonym  r czę stoś ci  /V n r ) maleją  ze  wzrostem  i są ograniczone  od dołu.  Tablica  2. Bezwymiarowe czę stoś ci  drgań k^  belki podpartej przegubowo o przekroju  prostoką tnym  (Л =  10,  v = 0,25)  \  R  n  \  1  2  3  4  5  .1  0,853548  6,82108  0,853541  6,81700  18,0939  0,853541  6,81700  17,7382  31,4361  0,853541  6,81700  17,7328  29,3617  47,3689  0,853541  6,81700  17,7328  29,2355  41,3318  2  0,649512  2,24883  0,649362  2,24768  4,73632  0,649362  2,24768  4,65047  7,98125  0,649362  2,24768  4,64918  7,47048  11,9212  0,649362  2,24768  4,64918  7,44027  10,4203  3  0,506605  1,28879  0,505992  1,28826  2,25317  0,505992  1,28826  2,21696  3,63587  0,505992  1,28826  2,21641  3,41423  5,35815  0,505992  1,28826  2,21641  3,40084  4,74438  4  0,411217  0,900108  0,409772  0,899814  1,37502  0,409768  0,899814  1,35589  2,11292  0,409768  0,899814  1,35560  1,99212  3,05985  0,409768  0,899814  1,35560  ,  1,98488  2,70088  Czę stoś ci  wzglę dne  /c„r )  d r g a ń  własnych  belki  dwustronnie  podpartej  przegubowo  zależą  od stosunku  /г2  prę dkoś ci  rozchodzenia  się  fal  poprzecznych  i  wzdłuż nych  oraz od  ilorazu  c„(A) — ­^p­.  Z  uwagi  na  równość  ckn(kX)  =  c„(A)  (k,n=  1,2,...)  czę stoś ci  wzglę dne  /с и ­tej  harmoniki  drgań  belki  o  smukłoś ci  kX,  r ó w n e  są  czę stoś ciom  w­tej  har­ moniki  drgań  belki  o smukłoś ci  A, dla  danej  gałę zi  rozwią zań  i ustalonej  wartoś ci /л2.  7. Uwagi koń cowe  /  N a  podstawie  przytoczonych  powyż ej  rozważ ań  i  wyników  obliczeń  widać,  że przed­ stawiony  model  zgię cia  belki  umoż liwia  obliczenie  czę stoś ci  drgań  własnych  dla  skoń czo­ nego  cią gu  gałę zi  rozwią zań.  D l a R funkcji  deplanacji  przekroju  otrzymuje  się R +1  gałę zi  262  S.  JANECKI  czę stoś ci,  zależ nych  od  R(R  +  2)  współczynników liczbowych  r\i,  etJ  i  xtJ,  (i,  j  =  1,  2,  . . . ,  R)  charakteryzują cych  kształt  i  rozkład  deplanacji  przekrojów  poprzecznych  belki.  W  przy­ padku  szczególnym  R  =  1  i  przyję ciu  jjj  =  е ы  =  0  otrzymuje  się  model  belki  Timoszenki.  Badając  drgania  belki  dwustronnie  podpartej  przegubowo  o  przekrojach  prostoką tnych  stwierdzono,  że  czę stoś ci  drgań  własnych  nie  zależą  od  liczby  к  charakteryzują cej  rozkład  deplanacji  w  przekroju,  w  odróż nieniu  od  teorii  Timoszenki.  Najlepsza  zgodność  wyników  otrzymanych  na  podstawie  modelu  bę dą cego  przedmiotem  pracy  i  modelu  Timoszenki  wystę puje  przy  przyję ciu  liczby  к  =  5/6  rekomendowanej  przez  C O W P E R A .  Niezbę dne jest  doś wiadczalne  potwierdzenie  istnienia  czę stoś ci  drgań  własnych  znajdu­ ją cych  się  na  gałę ziach  r  ^  2  proponowanego  modelu.  Dalsze  badania  teoretyczne  winny  polegać  na  doskonaleniu  przedstawionego  modelu  poprzez  włą czenie  do  rozważ ań  wpływu  odkształcenia  poprzecznego  belki  i  wzajemnego  sprzę ż enia  ugięć  wystę pują cych  w  dwu  płaszczyznach  oraz  na  zastosowaniu  tego  modelu  do  zagadnień  drgań  wymuszonych  i  falo­ wych.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  S.  P.  TIMOSZENKO,  On  the  correction for  shear  of  the  differential equation for  transverse  vibrations  of  prismatic bars,  Phil.  Magazine,  Ser.,  6,  41 (1921).  2.  J. PRESCOTT, Elastic waves  and vibrations  of thin rods,  Phil.  Magazine,  Ser.  7,  33  (1942).  3.  W .  F L U G G E ,  Die  Ausbereitung  von Biegungswellen  in Staben,  Z A M M ,  22  (1942).  4.  Я .  С .  У Ф Л Я Н Д,  Р а с п р о с т р а н е н и е  в о л н  п р и  п о п е р е ч н ы х  к о л е б а н и я х  с т е р ж н е й  и  п л а с т и н ,  П р и к л.  м а т.  м е х .,  12  (1948).  5.  Е .  Т .  KRUSZEWSKI,  Effect  of  transverse shear  and rotary  inertia  on  the  natural frequency  of  a  uniform  beam,  N A C A  T N  No  1909,  1949.  6.  R .  W .  TRĄ IL­NĄ SH,  A.  R .  COLLAR,  The  effects  of  shear flexibility  and  rotary  inertia  on  the  bending  vibrations  of beams,  Quart.  J.  Mech.  Appl.  Math.,  2,  6 (1953).  7.  R.  A. ANDERSON,  Flexural  vibrations  in  uniform  beams  according  to  the  Timoshenko  theory,  J.  Appl.  Mech.,  20 (1953).  8.  M .  III.  Ф Л Е К С Е Р,  О б у ч е т е  в л и я н и я  и н е р ц и и в р а щ е н и я  и  п е р е р е з ы в а ю щ и х  с и л  н а  п о п е р е ч н ы е к о л е ­ б а н и я  с т е р ж н я  к о н е ч н о й  д л и н ы ,  И г о к.  с б о р н и к,  23 (1956).  9.  D.  RASKOVIC,  Wartoś ci funkcji  własnych  dla  drgań poprzecznych  belek jednorodnych  z  uwzglę dnieniem  wpływu  ś cinania  i  bezwładnoś ci  obrotowej,  Rozpr.  Inż .,  6 (1958).  10.  Т .  C .  HUANG,  77г