Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  15 (1977)  TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  Z  WIĘ ZAMI  LINIOWYMI  DLA  DEFORMACJI  WIESŁAW  K U F E L ,  STANISŁAW  M A T Y S I A K  (WARSZAWA)  W  pracy  konstruuje  się model  tarcz i płyt  sprę ż ystych w oparciu  o mechanikę o ś r o d k ów  cią głych  z  wię zami [1].  Z a ł o ż o n o,  że  funkcja  deformacji  dź wigara jest  liniowa  wzglę dem  nieznanych  funkcji,  opisują cych  ruch  powierzchni  dolnej  i  górnej  dź wigara,  oraz  wyróż nionej  zmiennej  prze­ strzennej у  opisują cej  kierunek  prostopadły do tych  powierzchni.  Ograniczenia  te nazwano  wię zami  liniowymi dla deformacji.  Wykorzystując  znane  metody  wariacyjne,  otrzymano  podstawowy  układ  r ó w n a ń  modelu.  Nastę pnie  sformułowano  kryterium  szacują ce do­ kładność  otrzymanych  rozwią zań  oraz  podano,  dla ogólnej  klasy  obcią ż eń,  rozwią zanie  zamknię te  płaskiego  stanu  odkształcenia  N a zakoń czenie  rozpatrzono  dwa  zagadnienia  brzegowe  dla warstwy  sprę ż ystej  obcią ż onej  samozrównoważ onymi układam i  sił, działa­ ją cymi  równolegle do osi y.  Wykaz  oznaczeń   BA  brzeg zbioru A,  {a}  zbiór jednopunktowy,  В  obszar w przestrzeni fizycznej  równy  iloczynowi (ąlt  bi)x(a2,  b2)x(0,  h) z ukła­ dem współrzę dnych,  Z1,  Z2,  y, konfiguracja odniesienia,  f(x)\xgA  obcię cie  funkcji /  do zbioru A,  я  iloczyn kartezjań ski,  (at,b1)x{a2,b2),  ?t0, 7t\  powierzchnia  dolna i  górna  powłoki,  8л0  podparta czę ść  brzegu, tj. zbioru д я х  {0},  /  przedział czasu,  h  grubość  powłoki  w konfiguracji odniesienia,  n  wektor  zewnę trznie  normalny do  8B,  n  wektor  zewnę trznie  normalny do  'ón,  X  funkcja deformacji,  b  siła masowa,  zależ na  od Z , y, t,  p  obcią ż enia  powierzchniowe,  zależ ne  od Z , yy  t,  Po,  p!  obcią ż enia  powierzchniowe  powierzchni ?г0, я и   P  obcią ż enie  powierzchniowe  brzegu  on х <0, Л >,  к  energia kinetyczna,  a  tensor  naprę ż enia,  e  tensor  odkształcenia,  Ч Р , 4"  funkcje  deformacji powierzchni dolnej i górnej,  r  masowe siły  reakcji, zależ ne od Z , y, t,  s  powierzchniowe  siły  reakcji, zależ ne  odpowiednio  od (Z, у ) e  8B,  t e I,  u  siły reakcji podpór,  \  I  •   180  W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  \a\  wartość  bezwzglę dna  a,  Q  gę stość masy,  А, ц  stale Lamć go,  f°,fl  uogólnione  siły masowe, okreś lone  wzorami (2.4),,2  i ­ 0 ,  i'1  uogólnione  siły  bezwładnoś ci,  okreś lone  wzorami (2.4)3.  1.  Liniowa  aproksymacja  funkcji  deformacji  Załóż my,  że  konfiguracją  odniesienia  rozpatrywanego  dź wigara  powierzchniowego  jest  obszar  B, równy  iloczynowi  kartezjań skiemu  przedziałów  bi)x(a2,  b2)x(0,  li).  Punkty  należ ą ce  do tych  przedziałów  oznaczać  bę dziemy  kolejno  przez  Z 1 ,  Z 2 ,  y.  Niech  X = X ( z , . y ,  0,  gdzie  Z =   ( Z K ) ,  К =  1,2,  t e I =  Oo, h>,  bę dzie  funkcją   deformacji  dź wigara,  a  V F °(Z,  t),  4 " ( Z ,  t)  funkcjami  opisują cymi  ruch  jego  powierzchni  dolnej i górnej,  tj.  powierzchni  л х  {O} oraz  л х  {h},  gdzie  л =  (at,  bl)x(a2,  b2)  4?°(Z,  t) =  x ( Z ,  O , t),  ( U )  4 " ( z , r )  =  X ( Z , A , 0 ­ Załóż my,  że  funkcja  deformacji  x  dź wigara  zależy  od  T 0 ,  Ч Р1  w nastę pują cy  sposób  (1.2)  X ( z ,  у ,  0  =  ( i ­  j)  « r ° ( z ,  0 +  ^ 4 Z ,  0 .  Przyjmujemy  wię c,  że trójwymiarowy  ruch  ciała  materialnego  opisany  jest  ruchem po­ wierzchni  dolnej i górnej  tak,  by  składowe  deformacji  włókien  materialnych  prostopadłych  do  л0  były  funkcjami  liniowymi  zmiennej y. Inaczej  mówią c,  gdy  znamy  ruch  powierzchni  dolnej  i  górnej  dź wigara,  znamy  też,  przez  zwią zki  (1.2),  ruch  całego  ciała.  Funkcjami  poszukiwanymi  są tutaj  funkcje  4?°,  4 " ,   które  spełniają  taką  samą  rolę, jak  współrzę dne  uogólnione  w  mechanice  analitycznej.  Dodając  do prawej  strony  (1.2)  wielomian  w«(y)  =  \l­j)(any n+an_ly n­1+  ...  +aty),  gdzie a,, / =  1, 2, . . . ,  n są pewnymi  ustalonymi  stałymi,  otrzymujemy,  że  składowe  defor­ macji  włókien  materialnych  prostopadłych  do л0  nie są  wtedy  funkcjami  liniowymi  y,  ale  dowolnymi  wielomianami  stopnia  n.  Przypadkiem  tym  nie  bę dziemy  się tutaj  zajmować.  Ograniczenia  (1.2)  funkcji  deformacji  x  są przykładem  wię zów  wewnę trznych [1].  Obcią ż enia  powierzchniowe  tarczy  lub płyty  p =  p ( Z ,  y,  t),  (Z,y)  e  dB  składają  się   z  obcią ż eń  powierzchni  dolnej  i  górnej,  które  oznaczymy  przez  p 0 i  P i ,  obcią ż eń  brzegu  д л х (0,  li), oznaczonych  przez P oraz  obcią ż eń  brzegu  д л0  =  д л X {O}, które  oznaczymy  przez u.  W  przypadku  podparcia  brzegu  płyty  w  punktach  należ ą cych  do 8л0  с  8л0,  rozważ ać   bę dziemy  ograniczenia  funkcji  deformacji  (wię zy  brzegowe)  w postaci  (1.3)  X ( Z , 0 , f ) |  = Ą ° ( Z , 0 |  ­  = * ° ( Z , / ) .   [ 35 6 0710  |я е О ЛО   Obcią ż enia  u  brzegu  д л0  są wtedy  równe  nieznanym  oddziaływaniom  podparcia  brzegu,  które  wyznaczymy  w dalszym  cią gu.  TARCZE  I PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE z  WIĘ ZAMI  181  2.  Równania  ruchu  Podstawowy  układ  równań  dla  funkcji  VP 0 , W1  otrzymuje  się z zasady  prac  wirtualnych,  którą  zapisać  m o ż na  w postaci  (2.1)  /[e(b­#­divo]dx  nie  spełnia  na ogół  r ó w n a ń  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  tj.  r ó w n a ń   (3.1)  gdzie  QX~  dive — о Ъ  = О,  o n ­ p  = О,  tr  =  2^€ +  A t r e 8 .  Lewe  strony  (3.1),  w przypadku x  =  X*>  n ' e  s a ­ w ' ? c n a  ° g ° i  równe  zeru.  Oznaczymy je  odpowiednio  przez r i s.  Funkcje te w mechanice  oś rodków  cią głych  z wię zami  nazywa się   siłami  reakcji [1].,  N o r m y  sił reakcji  (3.2)  ы  =  !|°«л  ­Pokl  Ki«'­/>iJ  Wkini­Pk\\  WklHl­UkW  W l  =  \\QXk­aki.i­Qbk\\,  dla  (Z,y)en0,  dla  {Z,y)Bn1,  dla  '  (Z,y)  e  д л х (0,  If)­dn0,  dla  (Z,y)edn0  charakteryzują  róż nicę  mię dzy  ruchem  x *  (ruchem  przybliż onym),  a  ruchem  x  spełnia­ ją cym  (3.1).  Zależą  one od stałych  materiałowych  X, ц ,  stałych  okreś lają cych  obcią ż enia  zewnę trzne,  równania  wię zów  oraz  stałych  charakteryzują cych  kształt  ciała.  Oznaczmy  wszystkie  te parametry  przez  dt, .&i.e0i,  i =  1, Ź,  Mówimy,  że rozpatrywany  model jest  stosowalny,  jeż eli  istnieją  takie  przedziały  Al,  n =  1, 2,  /;„, « 0  5= 1, że dla  ót e zl"  spełnione  są  nierównoś ci  (3.3)  gdzie  e jest  daną  liczbą  taką,  że 0 <  s  <ś 1.  Liczba  ta  powinna  być ustalona  dla każ dego  problemu  brzegowego  w  zależ noś ci  od  norm  sił b  i  p,  takich  samych  jak  normy  (3.2).  /  e °  e °  \  D l a  przykładu,  w  przypadku  gdy b ф  0, p Ф 0,  e  może  być  równy  m i n \7|b[T"'  Tfpff/"  a  e° równe  np.  0,05.  W  przypadku,  gdy nie istnieją  przedziały  zlf,  w  których  zachodziłyby  zwią zki  (3.3),  rozwią zanie  nie aproksymuje  rozwią zania  wzorcowego  i  przedstawiony  model  nie  może  być  stosowany.  184  W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  4.  Rozwią zanie  ogólne  dla  płaskiego  stanu  odkształcenia  Załóż my,  że funkcja  deformacji x zależy jedynie od  Z 1 , у oraz у л  =  const. Oznacza to,  że  poszukiwane  funkcje  są  funkcjami  jednej  zmiennej  przestrzennej  Z 1 , która  oznaczać   bę dziemy  przez Z ;  W\{Z\Z2)  =  X¥\(Z),  4Jl{Z\Z2)  =  const,  4*l(Z\Z2)  =  !Pf(Z),  « =  0,1.  Niech  ponadto  siły  masowe,  wraz  z  powierzchniowymi  obcią ż eniami  zewnę trznymi,  spełniają  warunek  bk  = 0, p\  =  0.  Równania  (2.3) przyjmą  wtedy  postać   П л 1  + \х1'\л г  + (А ­В )Ч'1,+(А  + В )Ч \1­С (Т °­Ч '{)+Й  =  0,  (4.1)  Г . . . + ! Р, . | , 1 1 ­ ( / ( + г ) П г ( / 1 ­ я ) П.  + С ( У ? ­ ! Р ! ) т /1 1  =  о ,  П 1 1  + ­ j  П 11 + ( л ­  Ј )  П ,  + ( л + Ј)  У , '  ., ­  W  ­  ' / ' i ) + / з °  =  о,  } П п  +  У 1. 11 ­  ( Л + Ј ) П  : ­ ( / ) ­ Ј )  S4,, + F ( f § ­  П )  +Л1  =  о ,  gdzie  (4.2)  З /г   В  =  ЗА   С  =  З ц   1г2(Х +  2/г )'  D  =  ЗА   2/?/л '  3(А +  2^)  Dodając  stronami  (4.1)j  i  (4.1)2  oraz  (4.1)3  i  (4.1)4,  a nastę pnie  odejmując  od (4.1)j  równanie  (4.1)2  oraz od (4.1)3  równanie  (4.1)4  otrzymujemy:  (4.3)  gdzie  и. 11­ 2 ^ . 1  =   ­  ( / ? + # ) .  4 > > 1 X ­ 2 Ј W . ,  =   ­ < / ? + / }) ,  w,yi  + 2AvA­2Cw  =  f}­f?,  У .и +Wu.t­lFy  =/3'­/3 0,  TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  Z WIĘ ZAMI  185  U k ł a d  równań  (4, 3)  rozwią ż emy  najpierw  w  przypadku,  gdy znane są wartoś ci  funkcji  u, w, v, у oraz  ich pochodnych  w danym  punkcie  Z 0 e ( a t , bt)  "(Zo), c ( Z 0 ) ,  w ( Z 0 ) ,  y(Z0),  (4.4)  u,i(Z0),  vtl(Z0),  w , , ( Z 0 ) ,  J>,i(Z 0 ).  Całkując  dwukrotnie  równanie  (4.3) i uwzglę dniając  warunki  (4.4) otrzymujemy  z  (4.5)  u(Z) = u(Z0) + u,1(Z0)(Z­Z0)+jB  Jy(Z)dZ­Z 0  4  У   By{z0) (z ­  z 0 ) ­ | J [ [  (Л0 +//)rfz]  rfZ'.  Analogicznie,  z równania  (4.3)2  otrzymujemy  z  (4.6)  » ( Z ) = » ( Z 0 ) + f . i ( Z o ) ( Z ­ Z 0 ) + ­ j £ :  f  w(Z)dZ­ Zo Z  Z'  ­±EW(Z0)(Z­Z0)­~  f[j  (j$+fjjdz]dz:  Zo ZQ  Z  kolei z równań  (4.3) 3 , 4  wyznaczymy funkcje  w(Z), y{Z). Podstawiając  do (4.3) pochodną   funkcji  v{Z)  okreś loną  wzorem  (4.6),  dostajemy  (4.7)  ±.Will­2Cw+jAEw  =  ~2AvA{Z0)  +  z  ,  +  ±EAW (Z0)+ĄA  j  W+fł)dZ­f?+fł  Zo g  Uwzglę dniając  równość у  AE— 2C = 0, gdzie  А ,  С , E okreś lone  są wzorami  (4.2),  rów­ nanie  (4.7) otrzymujemy  w postaci  •  z  (4.8)  wtii  =  ­4Av,1(Z0)  + ̂ ­AEw(Z0)+jA  j  (f3°+fi)dZ+2(f}­/»).  Zo  Całkując  dwukrotnie  zwią zek  (4.8) wzglę dem  Z i uwzglę dniając  warunki  (4.4)  znajdujemy  funkcję   (4.9)  w(Z) =  ­4Av,l(Z0)(~  ­  ­ ^  + 4Av,l(Z0)Z0(Z­Z0)  +  +  ™ AEw(Z0)  AEw(Z0)Z0(Z­Z0)  +  Z  Z'  Z"  Z  Z'  + jA  j'  { j'  [ j  if! +fł)dz]dZ"]dZ'  ­  2 j' [ f  (ff­fftdz]  dZ'  Zo  Zo  Zo  Zo  Zo  186 W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  Podstawiając  do  (4.3)4  pochodną  funkcji  u(Z),  okreś loną  wzorem  (4.5)  otrzymujemy  (4.Ю)  \yA1+l*DB­2F\y=  ­2Du,1(Z0)  +  +  j  BDy(Z0) +  1  f  (/°  +fł)dZ+fi  ­f3°.  Za  g  W  tym  przypadku  wyraż enie  у  DB­2F,  stoją ce  przy  y{Z),  jest  mniejsze  od  zera  (co  łatwo  sprawdzić  wykorzystując  zwią zki  (4.2)).  Wprowadzając  oznaczenia  3  h2(k  +  2fi)  ,  (4.11)  z  g(Z)=  ­4Du,dZo)+~DBy(Z0)+j  f  (f?+fł)dZ­2{f2­fl),  Za  równanie  (4.10)  zapisać  m o ż na  w  postaci  (4.12) .  yA1(Z)­m 2y(Z)  =  g(Z).  Rozwią zanie  ogólne  (4.12)  ma  p o s t a ć ;  [3],  s.  457—458:  z  z  „mZ  f  p­mZ  r  (4.13)  y(Z)  =  —  J  e­mZg(Z)dZ­­—­  J  emZg(Z)dZ+Ci  e m*+ C2e~ mZ,  Zo  Zo  i  emZ0  gdzie  C ,  =  2 ^ e ~ m z ° [ m y ( Z 0 )  +y,,(Z0)],  C 2  =  [my(Z0)­y,l(Z0)].  Funkcje  (4.5),  (4.6),  (4.9)  i  (4.13)  są  rozwią zaniami  ogólnymi  układu  (4.3).  Podsta­ wiając  je  do  zwią zków  17/0  _  u + w  _  u­w  ­ ' i  s—>   r   i  »  (4.14)  v±y  mi  v  +  y  2  otrzymujemy  rozwią zania  ogólne  u k ł a d u  (4.1).  W  przypadku  braku  w a r u n k ó w  (4.4),  funkcje  u,  w,  v,  у  zależą  od  oś miu  stałych  at,  i  =  1,2,  8,  które  wyznaczamy  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (2.5)  lub  (2.5)2  i  (2.6):  u(Z)  =aiZ+a2+jBJ  y{Z)dZT  j  j  [j  (Л 0  +fł)dz]dZ,  v(Z)  =  a3Z+aa  +  jEJ  w(Z)dZ­~  f[j  (f3°  +f3 l)dz\dZ,  (4.15)  »v(Z)=  jA  f  [f[j(f?+fł)dz\dz\dZ­ ­ 2  f  [ f  (f?­tt)dĄ dZ­2Aa3Z 2+a6Z+ai,  mZ  /•  , , ­ m Z  Л   H Z )  =  ^  )  e ­ " z g ( Z ) r f Z ­ ­ = ^ ­  J  e m Z g ( Z ) c / Z + a 4 e m Z  + a 5 e ­ ' " z  / TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  Z  WIĘ ZAMI  187  gdzie  m jest  okreś lone  zwią zkiem  (4.1 l)l,  a  g(Z)  =  i  j  {f?+n)dZ­2(f°­ti)­  1  Da,.  Wystę pują ce  w  (4.15)  całki  nieoznaczone  powinny  być brane  ze  stałymi  równymi  zero,  gdyż  stałe  róż ne  od zera  dodano j u ż do  stałych  at.  Oznaczając  z  kolei  składowe  obję toś ciowych  sił reakcji  przez  rlt  r2,  a  składowe  po­ wierzchniowych  sił reakcji  przez  st,  s2  oraz  korzystając  z definicji  sił reakcji  mamy  (4.16)  ' ' l =  ­(<*11.1+<*13.з)  dla  (Z,y)eB,  ''3 = ­ ( о зы  + О з з .з)  dla  (Z,y)eB,  •vi  =  ai3nl­pl  /dla  (Z,y)en\  st  =  s* =  a l i n i ­ P i  dla  ( Z ,  у ) e д л х (0,  li) — dnQ,  dla  (Z,y)e  dn0,  4 =   О 33П 3­Р 3  dla  (Z,y)en\  Si = dla  (Z,y)^dnx(fi,h)­ д л0,  ,s3  =  a31n­u3  dla  (Z,_v)  e  д л0.  • Podstawiając  do (4.16)  wielkoś ci  (2.2),  otrzymamy  (4.17)  si  4  4  s.  =  ­ Ł ^ Y b ­ t ^ l i ­ P l ,  (A+2/*)  ;.+2//  — л   С Рз  ­  * з ) +   ^ i  . ' i  ­Р з .  ± ( А +  2^)  1 ­  j \  f i  г + \ П ,.  I + J  CP i ­  П )  ~  Л  ,  ±4 ( i  1  *3 =  ±/«  | ­ n i  +  J ^ . i  + 7 7 ( ^ ­ ^ 1 )  ­ ? з ,  Wzory  (4.17)  wykorzystamy w dalszym  cią gu  do oceny  rozwią zań  szczegółowych.  188  W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  5.  Przykłady  a)  Rozpatrzmy  warstwę  sprę ż ystą  z  obcią ż eniem  postaci:  p\  =p{  =  0,  p% =  PH(a­\Z\),  n1  —  — n°  Р з  —  Р з >  gdzie  (1  \Z\  < a (1  \Z\  < a  H(a—\z\)  =  i,  , _ ,  —funkcja  Heaviside'a.  [0  \Z\ >  a  . . . . i u  1  I  z  (­ą h)  (­0,0) (o,0) h  z  i  1 i  1  !  !  i  W  Rys. 1  Oznacza  to,  zgodnie  ze  wzorem  ( 2 . 4 ) L T 2 ,  że  uogólnione  siły  zewnę trzne  f °  i  f 1  są   postaci  f°  =  fi  =  o,  Uwzglę dniając  zwią zki  (5.1) w równaniach  (4.15),  otrzymujemy  (5.1)  4  Г   M ( Z )  =  a ^ + a j  + y  5 J  y(Z)dZ,  (5  2)  W ( Z )  =   A3Z+fl8 + l Ј j w ( Z ) ( / Z ,  u>(Z)  =  ­ 2 ^ a 3 Z 2  +  fl6Z+a7,  ­mZ  gdzie  g(Z)=  ­4pH(a­\Z\)­jDav.  Rozpatrywana  warstwa  sprę ż ysta jest tak obcią ż ona,  że funkcje  deformacji  powierzchni  dolnej  i  górnej  powinny  być symetryczne  wzglę dem  osi y, tj.:  . V | ( Z )  =  m­Ż ),  V1(Z) =  V0A­Z).  TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  z  WIĘ ZAMI  189  Skoro  =  v  oraz  Ч '1­Wl  =  y,  to  (5.3)  v(Z)  =  v(­Z),  y(Z)  =  y(­Z).  Całkując  zwią zek  (5.2)4,  otrzymujemy  (5.4)  4  Dat  y(Z)  = ­Ą.H(a­\z\)+­—1­+Ъг   nr  3  m1  e"'z + e'  +  b2  2  ' "z  2  gdzie  bl  =  aA  + a5  i  b2  =  a 4 ­ a 5 .  Z  warunku  (5.3)2  otrzymujemy  b2  =  0.  Z  kolei  z  warunku  lim  y ( Z )  =  0  otrzymuje­ Z ­ > ± o o  my  * i =  0  i  U !  =  0.  Podstawiając  funkcję  (5.4),  po  uwzglę dnieniu  bY  =  b2  =  я х  =  0,  do  (5.2)x  otrzy­ mujemy  (5.5)  16>  3 w 2 «(z)  =  « 2 + ^ ­ * z t f ( a ­ | z | ) .  Funkcja  )f(Z)  okreś lona  zwią zkiem  (5.2)3  powinna  także  znikać  w  nieskoń czonoś ci.  Oznacza  to,  że a3  =  a6  =  a7  =  0,  czyli  w(Z)  =  0.  Uwzglę dniając  te  warunki  w  równaniu  (5.2)2  oraz  l i m  v(Z)  =  0,  otrzymujemy  a8  =  0,  czyli  v(Z)  =  0.  Z ­ » ± o o  Stałą  a 2  wystę pują cą  w  (5.5)  wyznaczymy z  warunku  4*1(0)  =  0,  co  wobec  znikania  funkcji  w(Z)  daje  warunek  u(0)  =  0.  Stąd  a2  =  0.  Poszukiwane  funkcje  mają  więc  postać   w(Z)  =  v(Z)  =  0,  (5.6)  « ( Z )  =  y ^ ­ ^ ( a ­ | Z | ) ,  y(Z)  =  ^H(a­\Z\).  Uwzglę dniając  (4.14)  i  (5.6),  otrzymujemy  (5.7)  yn  =  ­^m2BpZH(a­\Z\),  ' W  =  ­4'%.  Funkcje  (5.7)  są  w tym  przypadku  rozwią zaniami  układu  (4.2).  Podstawiając  (5.7)  do  (1.2)  otrzymujemy  funkcję  deformacji  dla  płaskiego  stanu  odkształcenia  w  postaci  (5.8)  Xi  ^BpZH(a­\Z\),  2p  Х з  ~  m2  И   H(a­\Z\).  190  W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  Obliczają c,  po  uwzglę dnieniu  (5.7),  siły  reakcji  (4.17),_6,  mamy  rx  =  r 3  =  0,  (5.9)  »? =  Ą  =  0,  • 4X2  48 (X +fi)  (5­1 \н (а ­ \Z\),  ­4°  gdzie  д =  А /а.  Siły  reakcji  (5.9) są funkcjami  stałych  materiałowych  А, /г,  intensywnoś ci  obcią ż eń  p  oraz  parametru  opisują cego  stosunek  wysokoś ci  do długoś ci  przedziału,  w k t ó ­ rym  działają  obcią ż enia.  W p r o w a d ź my  nastę pują cą  n o r m ę  sił  reakcji  (5.10)  № ||  =  m a x № |  =  ZeR gdzie  (X +  2fi)2­4X2  Щ Х +/и )  Parametrem  opisują cym  tutaj  granice  stosowalnoś ci  otrzymanego  rozwią zania  jest  д .  Jeż eli 2/j,  ф  X, tzn. (X + 2/u)2 — 4X2  ф 0, funkcja  (5.10) jest liniowa  wzglę dem  <5 i dla  ó*  =  —  OJ  mamy  ||$з ||  =  0.  D l a  tego  przypadku  rozwią zanie  (5.8)  jest  także  rozwią zaniem  r ó w n a ń   (3.1),  tj.  r ó w n a ń  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  Z  kolei  dla  S e  (d* — e,  d* + s),  e > 0,  rozwią zanie  (5.8) aproksymuje  nieznane  rozwią zanie  u k ł a d u  (3.1) z  błę dem  r ó w n y m ea>.  W i d a ć  stą d,  że  z a r ó w n o  przy  h ­> oo, jak  i  a ­* 0,  rozwią zanie  (5.8) jest  coraz  gorsze  (wartość  bezwzglę dna  siły  reakcji  s°  dą ży  do  nieskoń czonoś ci).  W  przypadku  2/г =  X mamy  s° = — pH(a— | Z | ) .  Powierzchniowa  siła  reakcji  s° jest  tutaj  rzę du  obcią ż enia  zewnę trznego  (s° = —pi)  i  rozwią zanie  nie  może  być stosowane  do  opisu  problemu  w  ramach  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  b)  Rozpatrzmy  teraz  obcią ż enie  warstwy  postaci:  P°x=p\=  0,  p°3 =  pe  'c  ,  p\  =  ­pi,  gdzie  С =  const  >  0  (rys. 2).  ­ ^ r r r t f  У   )  \ 1  z  — ­ i l  Rys.  2  •  г   TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  Z  WIĘ ZAMI  191  W  tym  przypadku  uogólnione  siły f 0  i f 1  są postaci  7i° =  / i ' =  o,  f3°=p°3i f ł = P l Poszukiwane  funkcje  u, w,  V, у są teraz  równe  w(Z) = v(Z) = 0,  f  (5.11)  \6pBc3  _ _ M  w(Z)  =  ­  ,  , — p ­ s g n Z e  с  ,  3 ( / ? r c 2 ­ l )  4nc2  ]­Z]  У Ю  ­  ^ ­ 1 * "  с2т2Ф \.  Podstawiając  (5.11)  do (4.14)  otrzymujemy  (5.12)  ,„„  SpBc3  •  _ i E L  4 ? - - i / i i  .v­sgnZe  с  3(c2m2—1)  2 я с2  1г1  c2m2— 1  Postę pując  podobnie  jak  w przypadku  a), otrzymamy  siły  reakcji w postaci  4р /г с3 l z l  г ,  =  r3  =  (5.13)  ' i  A ( c 2 m 2 ­ 1 )  Ipcy.  m2c2—\  2pftc  sgnZe"  1 ­ C 2 / 7 ( 2  — 1  sgnZe"  2 ^ \ л _  Ж   А   I*  s$=pe  c  4{Х +  2ц )с2  +  s g n Z  4 P c 2  A ( C 2 W J 2 ­ 1 )  '  " е " " \ Л ( с2 « 1 2 ­ 1 ) ( Д  +  / а)  j |  = Ц ,  m2c2  Ф 1.  Wprowadzając  analogiczne  do (5.10)  normy  sił reakcji,  z równań  (5.13)  otrzymujemy  4р ц {).  +  2ц )д   r,  =  I  (Х + 2ц )д2­Щ Х  + ц )\'  (5.14)  I  Ц г з 11  = ­ j IMI,  IKII =  INI,  s%\\ = maxilp  4[(Л + 2{г )2  + Р ]д   (А + 2 ^ ) 0 2 ­ 4 8 ( Я  + Л )  +  1  •г   4 [ ­ ( А  + 2 / И ) 2 +  Я2  (Л +  2ц )д2­4Щ +ц )  gdzie  д =  h/c jest  parametrem  opisują cym  stosowalność  otrzymanego  rozwią zania.  + 1  .  file:///6pBc3 192  W .  K U F E L ,  S.  MATYSIAK  Składowe  obję toś ciowych  sił  reakcji:  podłuż na  r,  i  poprzeczna  r3  dą żą  do  zera,  jeż eli  grubość  warstwy jest  coraz  mniejsza  (lub  с  ­*  co).  Podobnie  zachowują  się  podłuż ne  po­ wierzchniowe  siły  reakcji  s°,  s\.  W  przypadku  składowych  poprzecznych  powierzchnio­ wych  sił  reakcji  s°,  s\  otrzymamy  dla  <5 =  0,  s3  =  1.  Oznacza  to,  że  przy  zmniejszeniu  gruboś ci  warstwy  (lub  zwię kszeniu  с  przy  ustalonym  li)  rozwią zanie  (5.13)  nie  opisuje  zachowania  się  warstwy  pod  danym  obcią ż eniem.  Ponadto,  ze  wzorуw  (5.14)4  wynika,  że  \\s°\\  >  1  dla  ё  ф  0.  Otrzymane  rozwią zanie  (5.13)  nie  może  więc  być  stosowane  dla  ż adnej  (5 (poprzeczne  siły  reakcji  powierzchniowych  są  wię ksze  od  sił  przyłoż onych).  6.  Uwagi  koń cowe  Rozważ ane  w  pracy  tarcze  i  płyty  stanowią  szczegуlną  klasę  ciał  sprę ż ystych  z  wię zami  dla  deformacji.  Z a ł o ż o n o,  że  funkcja  deformacji  dź wigara  jest  liniowa  wzglę dem  niezna­ nych  funkcji  opisują cych  ruch  powierzchni  dolnej  i  gуrnej  dź wigara  oraz  wyrуż nionej  zmiennej  przestrzennej  opisują cej  kierunek  prostopadły  do  tych  powierzchni.  Podstawowy  układ  rуwnań  otrzymuje  się  z  zasady  d'Alemberta.  Rozwią zując  pod­ stawowy  układ  r у w n a ń  wraz  z  odpowiednimi  warunkami  brzegowymi  (tj.  wyznaczając  niewiadome  funkcje  W 0 ,  Ч ?1,  opisują ce  ruch  powierzchni  dolnej  i  gуrnej)  moż emy,  wyko­ rzystując  funkcję  wię zуw  dla  deformacji,  okreś lić  ruch  dź wigara  traktowanego jako  ciało  trуjwymiarowe.  Otrzymana  funkcja  deformacji j e s t  okreś lona  w  każ dym  punkcie  ciała  i  na  ogуł  rуż ni  się  od  funkcji  deformacji,  j a k ą  otrzymalibyś my  w  ramach  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci.  W  pracy  formułuje  się  kryterium  stosowalnoś ci  modelu,  pozwalają ce  ocenić   rуż nicę  mię dzy  otrzymanym  rozwią zaniem  modelowym,  a  nieznanym  rozwią zaniem  linio­ wej  teorii  sprę ż ystoś ci.  W  przypadku  płaskiego  stanu  odkształcenia  otrzymuje  się,  dla  dowolnego  obcią ż enia  zewnę trznego,  rozwią zanie  zamknię te.  Praca  zilustrowana  jest  dwoma  przykładami  warstwy  sprę ż ystej  obcią ż onej  samo­ zrуwnoważ onymi  układami  sił  działają cych  pionowo  na  dź wigar.  Sformułowany  model  tarcz  i  płyt  sprę ż ystych  jest  szczegуlnym  przypadkiem  modelu  warstwowego  powłok,  ktуrego  opis  znajduje  się  w  [2].  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  Cz.  WOŹ NIAK,  Wstę p  do  elastokhietyki form  konstrukcyjnych,  (w:)  Dź wigary  powierzchniowe,  Ossoli­ neum,  1975.  2.  W . K U F E L ,  Modele warstwowe grubych płyt  i powłok,  Rozpr.  Inż .,  4 (1976).  3.  H . M .  М А Т В Е Е В,  М е т о д ы  и н т е г р и р о в а н и я  о б ы к н о в е н н ы х  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х  у р а в н е н и й ,  М и н ск   1974.  Р е з ю ме   У П Р У Г ИЕ  Д И С КИ  И  П Л А С Т И НЫ  С  Л И Н Е Й Н Ы МИ  С В Я З Я МИ   Д ЛЯ  Д Е Ф О Р М А Ц ИЙ   1  В  с т а т ье  к о н с т р у и р у е т ся  м о д е ль  у п р у г их  д и с к ов  и  п л а с т ин  в  т е р м и н ах  м е х а н и ки  с п л о ш н ой   с р е ды  с  п р я м ы ми  с в я з я м и.  П р и н я т о,  ч то  ф у н к ц ия  д е ф о р м а ц ии  д и с ка  и ли  п л а с т и ны  л и н е й н ая   по  о т н о ш е н ию  к  н е и з в е с т н ым  ф у н к ц и я м,  о п и с ы в а ю щ им  д в и ж е н ие  н и ж н ей  и  в е р х н ей  п о в е р х н о с ти   TARCZE  I  PŁYTY  SPRĘ Ż YSTE  Z  WIĘ ZAMI  193  к о н с т р у к ц ии  а т а к же  по о т н о ш е н ию  к  в ы д е л е н н ой  п р о с т р а н с т в е н н ой  п е р е м е н н о й,  о п и с ы в а ю щ ей   н о р м а л ь н ое  к  э т им  п о в е р х н о с т ям  н а п р а в л е н и е.  Т а к ие  о г р а н и ч е н ия  н а з в а ны  л и н е й н ы ми  с в я з я ми   д ля  д е ф о р м а ц и й.  С п о м о щ ью  и з в е с т н ых  в а р и а ц и о н н ых  м е т о д ов  п о л у ч е на  о с н о в н ая  с и с т е ма  у р а в­ н е н ий  м о д е л и.  С ф о р м у л и р о в ан  к р и т е р и й,  о ц е н и в а ю щ ий  т о ч н о с ть  п о л у ч е н н ых  р е ш е н ий  и п р и в е д е ны  т о ч н ые   р е ш е н ия  п л о с к о го  с о с т о я н ия  д е ф о р м а ц ии  д ля  о б щ е го  с л у ч ая  н а г р у ж е н и я.  В з а к л ю ч е н ие  р а с с м о т­ р е ны  д ве  к р а е в ые  з а д а чи  д ля  у п р у г о го  с л о я,  н а г р у ж е н н о го  с а м о у р а в н о в е ш е н н ы ми  с и с т е м а ми   с и л,  д е й с т в у ю щ и ми  п а р а л л е л ь но  к  о си в ы д е л е н н ой  п р о с т р а н с т в е н н ой  п е р е м е н н о й.  S u m m a r y  ELASTIC  PLATES  WITH  LINEAR  CONSTRAINTS  OF  DEFORMATION  A  model of elastic plates is constructed  on the  basis of continuum mechanics  with simple  constraints.  The  function  of deformation of the plate is assumed,  to be linear in the  unknown functions  describing the  motions  of its lower and upper surfaces  and in the coordinate  normal  to those surfaces.  These  limitations  are called  the linear constraints  of deformation.  The fundamental  equations  of  the  model  are derived by  means  of  variational  methods.  A  criterion of  estimating  the  accuracy  of  the  solutions  derived  is  then  formulated and closed  form solutions of the  plane strain cases are given  for a general case of loading. In  conclusion,  the  boundary value  problems  are considered  for  an elastic  layer  loaded  by  self­equilibrated  forces  normal to the surfaces.  INSTYTUT  MECHANIKI  UNIWERSYTETU  WARSZAWSKIEGO  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  19 maja  1976  r.  4  Mech.  Teoret.  i  Stosowana  2/77