Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2,  15  (1977) 
i ­

TECHNICZNA  TEORIA  GRUBYCH  TARCZ  ORTOTROPOWYCH 

JERZY  K U J A W S K I  (BIAŁYSTOK) 

Analizę  stanu  naprę ż enia  w tarczach  grubych  należy  przeprowadzać  za p o m o c ą  teorii 
uwzglę dniają cej  pełne  tensory  stanów  naprę ż enia  i  odkształcenia. 

Uś ciś loną  teorię  tarcz  izotropowych  opracował  KACZKOWSKI  [1].  Zgodnie  z tą  teorią  
stany  naprę ż enia  i  odkształcenia  w tarczy  grubej  m o ż na  okreś lić  za pomocą  funkcji  na­
prę ż enia,  analogicznej  do  funkcji  Airy'ego  oraz  funkcji  w  przemieszczenia  powierzchni 
zewnę trznych  tarczy  w kierunku  do nich  prostopadłym. 

Materiały  konstrukcyjne  o  silnej  anizotropii  charakteryzują cej  się tym, że  mię dzy 
współczynnikami  sprę ż ystoś ci  zachodzą  nastę pują ce  zależ noś ci  Ai3  <ś A1X  (a =  1,2) 
i  A3i  <ś An(l  =  4, 5) wykazują  dużą  p o d a t n o ś ć  na poprzeczne  odkształcenia  [2, 3].  Fakt 
ten  wymaga  stosowania  teorii  uś ciś lonych  nawet  w przypadku  cienkich  tarcz o odpowiednio 
duż ej  podatnoś ci  na poprzeczne  odkształcenia. 

Klasyczna  teoria  tarcz  może  prowadzić  również  do  duż ych  błę dów  w  przypadku  analizy 
naprę ż eń  w  pobliżu  otworów,  których  ś rednica  jest  niedużą  w  p o r ó w n a n i u  z  gruboś cią  
tarczy. 

Z  powyż szych  wzglę dów  w  pracy  niniejszej  przedstawimy  techniczną  teorię  grubych 
tarcz  ortotropowych. 

Praca  stanowi  uogólnienie  kinematycznej  metody  uś ciś lonego  obliczania  grubych 
tarcz  o  ortotropii  cylindrycznej  [3]. 

1.1.  Podstawowe  zwią zki  teorii  sprę ż ystoś ci.  Rozpatrzmy  w  ramach  liniowej  teorii  sprę­
ż ystoś ci  tarczę  wykonaną  z  materiału  jednorodnego,  ortotropowego  i  idealnie  liniowo 

sprę ż ystego.  Przyjmujemy,  że  osie  xa  (a =  1,2)  kartezjań skiego  układu  współrzę dnych 
leżą  w płaszczyź nie  ś rodkowej  tarczy,  a  płaszczyzny  ograniczają ce  tarczę  mają  r ó w n a n i a 

x3  =  + h,  gdzie  2h jest  gruboś cią  tarczy.  , 

W  celu  skrócenia  zapisu  formuł  zastosowano  zapis  wskaź nikowy  i  czę ś ciowo  kon­

wencję  sumacyjną.  Wskaź niki  oznaczone małymi  literami  łaciń skimi  /,_/, przyjmują  wartoś ci 

1,  2, 3. Wskaź niki  oznaczone  literami  greckimi  ot, /? przyjmują  wartoś ci  1,  2. 

W  obszarze  tarczy  muszą  być spełnione  podstawowe  zwią zki  teorii  sprę ż ystoś ci,  to 

jest  zwią zki  Cauchy'ego 

'J 

1.  Równania  podstawowe 

(1.1) 



240  J .  KUJAWSKI 

r ó w n a n i a  konstytutywne 

(1.2) 
" O i l  A12  А ц   «11  С 2З   — 2/44 4.  e23> 
6 22  = A 22  А2з   t r 3 i  =  2ASS  e31 > 

А ъ 1 ̂ • 32 ̂33_  . £ 3 3 .  "  012 =  2A66  £12 

oraz  r ó w n a n i a  równowagi 

(1.3)  Oij.j+Xt  =  0,  / J  = 1 , 2 , 3 . 

=  1, 2, 3)  oraz  A,m  (n =  4, 5, 6) są  współczynnikami  sprę ż ystoś ci  materiału. 

Warunki  brzegowe  na  powierzchniach  granicznych  x3  =  ±h  mają  postać  

(1.4)  c a 3  =  ±pl,  0 ­3 3  =   p
s

3. 

P$ 

Rys.  1 

Ponadto  obcią ż enie  tarczy  stanowią  siły  masowe  Xa.  Siły  powierzchniowe  działają ce 

na  tarczę  są  dowolnie  zmiennymi  funkcjami  xa. 

1.2.  Pola  przemieszczeń  i  naprę ż eń.  Pole  przemieszczenia  w tarczy  przyjmujemy  w  postaci 

(1.5)  ua  =  «2 + « i ( l ­ 3 C
2 ) ,  и з =  [u°3 +  ul(i­C2)]C, 

С =  x3/h, 

u\(k  =  0,  1) są  nieznanymi  funkcjami  zmiennych  xa. 

Z  w a r u n k ó w  brzegowych  (1.4)  otrzymujemy 

«1  ­  h  /„ o  _  Pi] 

Cl  6 ч  „1 _  1 „о  ^ 3 . /  o  P«  \  ,  ^  Л з*  о  Й  _s 
i  2  6  Л 3 3 \  Gral<a  2  А33  2А33 

gdzie  Tj  =  A5S/G,  т 2  =  AAJG,  G  jest  dowolnie  przyję tym  porównawczym  modułem 

sprę ż ystoś ci  poprzecznej  np.  A66. 



I 
TEORIA  GRUBYCH  TARCZ  ORTOTROPOWYCH  241 

Ze  wzglę du  na  przyję te  pole  przemieszczenia,  pole  naprę ż enia  przedstawimy  w  postaci 

<rr =   <   +   < ( l ­ 3 C 2 ) , 
(1.7)  <r12  =  A66[e°12  +  e\2(l­3C

2)], 

cra 3  = л
х С  +  С гя М1 , а ( 1 ­ С

2 ) С , 

gdzie  składowe  stanu  naprę ż enia  a9(<p  =  11, 22, 33) są okreś lone  przez  wzory  (1.2). 
Siły  wewnę trzne  odniesione  do  płaszczyzny  ś rodkowej  tarczy  zdefiniowane  są  nastę­

p u j ą c o: 

(1.8)  N*B =  h  J  aaadC,  aj  =1,2, 
­1 

1 

stąd  po  podstawieniu  (1.7) i  wykorzystaniu  faktu,  że h  j  (l—3'C2)dC  =  0,  otrzymujemy 
­ 1 

Ntl  =  2hAus?t, 
(1.9)  N22  =  2hA2ie?u 

Nl2  =  2hAb6Ą2. 

1.3.  Układ  równań  róż niczkowych.  Ze  wzglę du  na  założ one  pole  przemieszczeń  (1.5)  rów­

nania  równowagi  zostaną  spełnione  w sensie  całkowym  w nastę pują cej  postaci [3]: 

1  1 

(1.10)  2/7 /  (.<taB.B + <t,3,3+X,)dC =  0,  h f  К з. а + С з З .з МС  =  0. 

ó  o 

N a  podstawie  (1.7) i  (1.10)  dochodzimy do  u k ł a d u  równań  róż niczkowych: 

(1.11)  Luuf=fi, 

gdzie 

Lu  =  2h(Asldl  + A66d
2

2),  Ll2  =  L21  =  Щ А12  +  А66)д
2

12, 

L22  =  2h{A66d\ + A22d
2

2),  La3  =  2Ах 3дл, 

/«  =  ­2{pl  +  hXx), 

h2  A*„  3 (1.12)  L3a=­T^Gda(y
2

r)­~A3ada, 

/л .л  ­~G\­^(A3ld
2

1  +  A32d
2)­3 

3_  Л з з_ 

2  h 

3  ..  h2  G  „ ,  C  /7  „  C 

1  . ^ ( i ^ g  rf+i32.5j 
24  / ł 3 3  \  т х  r2  I 

V2=r,dl  +  z2d
2. 

R ó w n a n i a  (1.11)  są  uwikłanym  układem  róż niczkowych  r ó w n a ń  czą stkowych  łą cznie 
ósmego  rzę du. 

7  Mech.  Teoret.  i  Stosowana  2/77 



242  J .  KUJAWSKI 

Układ  r ó w n a ń  m o ż na  rozwikłać  wprowadzając  funkcje  przemieszczeń  spełniają ce 

nastę pują ce  niejednorodne  równania  róż niczkowe: 

(1.14)  d e t l l y ] * , ­ . / , . 

Poszukiwane  przemieszczenia  wyznaczamy  z  zależ noś ci 

(1.15)  м ? = 

<Z>!  L12  L13 
Ф2  L22  L23 
Ф3  L32  L33 

«5  = 

Lu  Ф1  Ll3 
L21  Ф2  L33  u°3 = 

A l  L12 Ф г  
L2l  L22  Ф2 
L3l  L32  Ф3 

N a  podstawie  (1.12)  i  (1.14)  otrzymujemy  układ  r ó w n a ń  róż niczkowych 

(1.16)  A33 

gdzie 

2 ^ i « . 3 2 _ 3 J V 2 + ] 

^ 3 3 
А Ф .+ 

12  A, 
V r

2 ­ 1  L2<Z>; = 
6Л  

fi, 

L ,  =  А ^АЬ ЬЪ \Л­\А1ХА22­A12(A12  + 2A66)]d
2

idl  +  A22A66dt, 

L2  =  A
2

13A66dt+[AllAl3  + A22A
2

l3­2A13A23(A12  + A66)]d
2

1d
2

2  +  A
2

23A66dt. 

W  tarczach  o ś redniej  gruboś ci  i cień szych,  w których  stosunek  gruboś ci  do  mniejszego 
boku  2hja <  1/5, układ  r ó w n a ń  m o ż na  uproś cić. 

Jeś li  <  5  to  człon  równania  róż niczkowego  zawierają cy  //4/36  jest  wielkoś cią  
'33 

małą  w stosunku  do pozostałych,  gdyż  
1 

Too' 

(1.17) 

Po  jego  pominię ciu  otrzymujemy  nastę pują cy  układ  r ó w n a ń  róż niczkowych: 

12  A33 

G d y  siły powierzchniowe  i masowe  są równe  zeru,  funkcję  rozwikłują cą  Ф wyznaczamy 
z  nastę pują cego  równania  róż niczkowego  jednorodnego  szóstego  rzę du: 

(1.18)  G 

I 

A33L№ =  ­ ­y­f,. 

V2­l  (L2­A33L^  =  0. 

(1.19) 

12  A33 

R ó w n a n i e  to  m o ż na  zastą pić  układem  dwu  równań  

12 
^А55д 1  + А4Ад

2­^А3^Ф '  =  0, 

(А д \  + 2В д2  д22 + С д %)Ф "  =  0, 

gdzie 

А   (А \3­А и А33)А66, 

2В =   A11Al3  + A22A
2

3­2A13A23(412  + A66)­A11A22A33  + A12A33(A12  +  2A66), 

С  =  {А23­А22А33)А66, 

ф  =  ф ' +  ф ". 



TEORIĄ  GRUBYCH  TARCZ  ORTOTROPOWYCH  243 

D l a  tarczy  izotropowej  układ  r ó w n a ń  (1.19)  przyjmuje  postać  

(1.20)  j v 2 ­  Щ ф '  =  0,  V 2 V 2 0 "  =  0 , 

gdzie V 2 =  dj + dj. 

Podobne  r ó w n a n i a  otrzymał  na  innej  drodze  K A C Z K O W S K I  (por.  [1] s. 873),  z tym, 

l­v  24 
ze  zamiast  współczynnika  ­ — —  ­j­r­  znajduje  się  nieco  wię kszy  współczynnik 

1 — 2v  li 

l­v  30 
l~2v  h2' 

Poszukiwane  przemieszczenia po pominię ciu  sił masowych i powierzchniowych wyzna­

czamy z  zależ noś ci 

IĄ  =  (Li2L23 —  Ь13Ь22)Ф , 

(1.21)  «2=  ­ ( L n Ł j j ­ I j ^ u ) * , 

u°3 =  ( J L U L 2 2 ­ L 2 1 I , 1 2 ) 0 . 

N a  podstawie  (1.12)  i  (1.21)  mamy 

и?  =  4И д1[А23(А12  + А66)д
2

2­А13(А66д
2  +  А22д

2

2)]Ф , 
(1.22)  u°2=  ­4!г д2[А23(А11д

2

1+А66д
2

2)­А13(А12  +  А66)д
2

1]Ф> 
II°  ­  4п2{АпА66д *1+[А11А22­А12(А12  + 2Аь 6)]д

2д22  +  А22А66д *}Ф . 

1.4.  Warunki  brzegowe.  W  warunkach  brzegowych  na  pobocznicy  walca  ograniczają cej 

tarczę  mogą  wystę pować  w róż nych  kombinacjach  trzy  wielkoś ci  geometryczne 

(1.23)  u„,us,u3 

i  trzy  statyczne 

(1­24) a„, <x„s, an3. 

Indeksami  n i s  oznaczono  wielkoś ci  statyczne  i  geometryczne  w kierunku  normalnej 

i  stycznej  do brzegu  tarczy. 

Z a r ó w n o  warunki  geometryczne,  jak i  statyczne  moż emy  spełnić  jedynie  w  s p o s ó b 

całkowy. 

Z  uwagi  na założ one  pole  przemieszczeń  otrzymaliś my  układ  r ó w n a ń  róż niczkowych 

łą cznie  ósmego  rzę du.  Pozwala  to  spełnić  po  cztery  warunki  brzegowe  na  pobocznicy 

tarczy. 

M o ż e my  zatem  dokładniej  spełnić  te warunki  brzegowe,  które  mają  najbardziej  istotny 

wpływ  na stany  naprę ż enia  i  przemieszczenia  w tarczy. 

Przyjmujemy  więc  cztery  wielkoś ci  geometryczne 

(1.25)  u°n,ul,u
0

s,u
0

3, 

i  cztery  statyczne 

(1.26)  « t f i ' . o i , o J „ an3. 

G d y  korzystamy z uproszczonego  równania  (1.17),  spełniamy  po trzy  spoś ród  wymie­

nionych  wyż ej  w a r u n k ó w  brzegowych. 



244  J . KUJAWSKI 

2.  Uwagi  koń cowe 

W  pracy  przedstawiono  techniczną  teorię  grubych  tarcz  ortotropowych,  obcią ż onych 

w  sposób  moż liwie  ogólny. 

Teoria  ta  pozwala  na  spełnienie  wszystkich  zwią zków  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  dla 

ortotropowego  ciała  trójwymiarowego  z  wyją tkiem  r ó w n a ń  równowagi,  które  są  spełnione 

w  sensie  całkowym. 

W  rezultacie  otrzymano  uwikłany  układ  trzech  r ó w n a ń  róż niczkowych  czą stkowych 

łą cznie  ósmego  rzę du  do  wyznaczenia  trzech  wielkoś ci  geometrycznych —  uś rednionych 

po  gruboś ci  tarczy,  przemieszczeń  w°  (a  =  1,2)  oraz  przemieszczenia  M°  powierzchni 

zewnę trznych  tarczy,  w  kierunku  do  nich  prostopadłym. 

U k ł a d  równań  rozwikłano,  wprowadzając  funkcje  przemieszczeń  Ф ;  (j  =  1 , 2 , 3 ) , 

metodą  wyznacznikową  dla  u k ł a d ó w  róż niczkowych  r ó w n a ń  liniowych. 

Ilustracja  omówionej  teorii  prostymi  przykładami  jest  przedstawiona  w  pracach  [3, 4]. 

Literatura  cytowana  w tekś cie 

1.  Z. KACZKOWSKI,  Theory of thick plates,  Arch.  Mech. Stos., 6, 23, (1971). 
2.  Ю. М .  Т А Р Н О П О Л Ь С К И Й,  А. В.  Р О З Е,  О с о б е н н о с т и р а с ч е т а  д е т а л е й и з а р м и р о в а н н ы х п л а с т и к о в ) 

И з д.  „З и н а т н е ",  Р и га  1969. 
3.  J .  KUJAWSKI, Obrotowo­symetryezny  stan  naprę ż enia  w grubych  tarczach  o  ortotropii  cylindrycznej, 

Rozpr.  Jnż ., 3, 23, (1975). 
4.  J . KUJAWSKI,  Ś redniej  gruboś ci  tarcze  wirują ce,  Arch.  Bud. Maszyn, 3, 24, (1971) 

'  .' .  •  l 

Р е з ю ме  

Т Е Х Н И Ч Е С К АЯ  Т Е О Р ИЯ  Т О Л С Т ЫХ  О Р Т О Т Р О П Н ЫХ  Д И С К ОВ  

В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  у т о ч н е н н ый  с п о с об  р а с ч е та  т о л с т ы х,  о р т о т р о п н ых  д и с к о в,  п о д в е р г н у­
т ых  д е й с т в ию  п о в е р х н о с т н ых  с ил  со  в с е ми  т р е мя  с о с т а в л я ю щ и ми  и  м а с с о в ых  с и л.  П р о б л е ма  
р е ш е на в п е р е м е щ е н и я х,  ч то  д а ло  в о з м о ж н о с ть  т о ч но  у д о в л е т в о р и ть  о т н о ш е н и ям  л и н е й н ой  т е о р ии  
у п р у г о с т и,  за  и с к л ю ч е н и ем  у р а в н е н ий  р а в н о в е с и я,  к о т о р ые  б у д ут  у д о в л е т в о р е ны  в и н т е г р а л ь н ом  
с м ы с л е. 

В  р е з у л ь т а те  п о л у ч е на  с и с т е ма  т р ёх  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  с о в м е с т но  в о с ь м о го  п о­
р я д ка  д ля  о п р е д е л е н ия  н е и з в е с т н ых  ф у н к ц ий  п е р е м е щ е н и я.  Э то  п о з в о л я ет  у д о в л е т в о р и ть ч е­
т ы р ем  г р а н и ч н ым  у с л о в и ям  на б о к о в ой  п о в е р х н о с ти  ц и л и н д р а,  о г р а н и ч и в а ю щ ей  д и с к.  В д и с к ах  
с р е д н ей т о л щ и ны  с о в м е с т н ый п о р я д ок  с и с т е мы  у р а в н е н ий  м о ж но  у м е н ь ш и ть  до  ш е с т о го  п о р я д ка  
п у т ем  о т б р а с ы в а н ия  м а л ых  ч л е н о в. 

S u m m a r y 

TECHNICAL  THEORY  OF STRETCHING  THICK  ORTHOTROPIC  PLATES 
i 

The  paper  presents an improved  calculation method of thick  orthotropic  plates subject to the action 
of arbitrary surface and body forces. The problem is solved in displacements what makes it possible to satisfy 
precisely the relations of the  theory of linear  elasticity for orthotropic  three­dimensional body,  except the 
equilibrium equations which are satisfied in the general sense. 



TEORIA  GRUBYCH  TARCZ  ORTOTROPOWYCH  245 

The  obtained  system of three eighth  order differential  equations allows for determining the unknown 
of  displacement  functions  satisfying  three boundary conditions  on the cylinder surface  bounding the  plate. 
In moderately thick plates the equation order may  be reduced to six  by disregarding the small terms of higher 
order. 

P O L I T E C H N I K A  B I A Ł O S T O C K A 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  16 sierpnia  1976 r.