Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  15  (1977)  i"  ANALIZA  BARDZO  DUŻ YCH  UGIĘĆ  SPRĘ Ż YSTYCH  Ś CISKANYCH  OSIOWO  POWŁOK  WALCOWYCH  I  STOŻ KOWYCH  W A L E R I A N  S Z Y S Z K O W S K I  (W A R S Z A W A )  1.  Wstęp  Analizę  duż ych  ugięć  prowadzi  się  zwykle  na  podstawie  nieliniowej  tzw.  technicznej  teorii  powłok,  wykorzystując  przy  tym  metody  wariacyjne.  Postać  ugię tej  sprę ż yś cie  powłoki  jest  aproksymowana  układem  funkcji  z  pewną  liczbą  wolnych  p a r a m e t r ó w .  Rozwią zania  uzyskane  tą  drogą  są  bardzo  pracochłonne  rachunkowo,  a  w  wielu  przy­ padkach  dają  dosyć  zasadnicze  rozbież noś ci  w  porównaniu  z  wynikami  prac  doś wiadczal­ nych.  Te  rozbież noś ci  przypisuje  się  przybliż onemu  charakterowi  stosowanych  r ó w n a ń .  Obecnie  brak  jest  teorii  tak  dokładnej,  a  z  drugiej  strony  nie  nazbyt  skomplikowanej  rachunkowo,  która  przy  obecnym  poziomie  wiedzy  matematycznej,  pozwalałaby  uzyskać   efektywne  wyniki.  Dlatego  szeroko  prowadzone  są  próby  innego  podejś cia  do  tego  typu  Taki  nieklasyczny  sposób  rozwią zania  zagadnienia  zachowania  się  powłok  walcowych  i  stoż kowych  poddanych  działaniu  osiowych  sił  ś ciskają cych  przedstawiony jest  w  prezento­ wanej  pracy.  Utracie  statecznoś ci  analizowanych  konstrukcji  towarzyszy  pojawienie  się  bardzo  duż ych  ugię ć,  a  ich  cechą  charakterystyczną  jest  kształt  podobny  do  pokazanego  na  rys.  1.  W  obydwu  przypadkach,  po  utracie  statecznoś ci  powierzchnia  deformuje  się   w  prawie'  płaskie  trójką tne  obszary,  połą czone  w z d ł u ż  powierzchni  silnie  zakrzywio­ nych.  Wiadomo,  że  dla  typowych  materiałów  konstrukcyjnych  dopuszczalne  odkształ­ zagadnień.  Rys.  1  9»  276  W .  SZYSZKOWSKI  cenie  sprę ż yste  jest  niewielkie.  Przykładowo,  dla  stali,  przy  przyję ciu  E  =  2  •  I 0 6  k G / c m 2  Rc  =  4  • 10­ 1  K G / c m 2  otrzymujemy  e m a x  =  2­  10~ 3 .  Oznacza  to,  że  dopuszczalna  sprę­ ż ysta  deformacja  powłok  charakteryzuje  się  zmianą  metryki  powierzchni  ś rodkowej  mniej­ szą  niż  0,2%.  Jeż eli  taka  deformacja  zwią zana  jest  ze  znaczną,  tak  jak  na  rys.  I,  zmianą  po­ staci  powierzchni,  to  rzeczywista  powierzchnia  odkształcona  musi  być  bardzo  zbliż ona  do  powierzchni  przekształconej  izometrycznie  tzn.  otrzymanej  tylko  przez  zginanie  i  charak­ teryzują cej  się  niezmiennoś cią  pierwszej  formy  kwadratowej  powierzchni.  W  pracy  poka­ zano,  w  jaki  sposób  moż na  analizować  zachowanie  się  powłok,  przybliż ając  rzeczywistą   powierzchnię  odkształconą,  nie  układem  funkcji,  ale  pewną  klasą  powierzchni,  tzw.  quasi­ izometrycznych  do  powierzchni  począ tkowej.  Ponieważ  w  ogólnym  przypadku  nie  moż na  zbudować  powierzchni  odkształconej  izometrycznie.  która  jednocześ nie  byłaby  regularna,  jako  przybliż enie  rzeczywistej  po­ wierzchni  odkształconej  F  bę dziemy  przyjmować  powierzchnię  F,  która  jest  izometrycz­ nym  przekształceniem  powierzchni  począ tkowej,  za  wyją tkiem  pewnego  obszaru  5,  nie­ wielkiego  w  stosunku  do  całej  powierzchni  F.  Obszar  jest  tak  dobrany,  że  cała  powierzchnia  F  zawarta  jest  w  klasie  powierzchni  regularnych,  a  więc  jest  cią gła  i  ma  cią głą  pochodną.  Z  izometrycznoś ci  powierzchni  F—S  wynika,  że  jej  krzywizna  Gaussa  jest  równa  zeru,  tak  jak  krzywizna  powierzchni  począ tkowej.  >  Klasę  powierzchni  quasi­izometrycznych  F  opisujemy  skoń czoną  liczbą  p a r a m e t r ó w  qt,  ...,qk­ fch  wartoś ci  wyznaczono  wykorzystując  zasadę  wariacyjną  Lagrange'a,  która  mówi,  że  pod  działaniem  danego  konserwatywnego  obcią ż enia  zewnę trznego,  spoś ród  wszystkich  moż liwych  konfiguracji  F  spełniają cych  warunki  brzegowe,  powłoka  przyjmie  taką,  dla  której  funkcjonał  W(h)  bę dzie  stacjonarny,  W(~)=  щ 7)­А „(Р ),  gdzie:  U(F)  —  energia deformacji  zgromadzona  w konstrukcji  na  wskutek  zmiany  powierzchni  od  konfiguracji  począ tkowej  F0  do  konfiguracji  F.  AP(F)  —  odpowiadają ca  tej  zmianie  praca  sił  zewnę trznych  p.  Pisząc  warunek  stacjonarnoś ci  w  postaci  w  •  | t ­ o ;  ...  4 ­ Ł. O,  ;•   •   ­ dqi  Sqk  otrzymamy  zależ noś ci,  których  odpowiednia  analiza  pozwala  okreś lić  zależ noś ci  mię dzy  parametrami  q{,  ....  qk  a  obcią ż eniem  /;.  2.  Geometria  powierzchni  zdeformowanej  Model  powierzchni  izometrycznych,  przydatny  do  symulacji  rzeczywistych  powłok  odkształconych,  pokazany  jest  na  rys.  2.  Potrzebne  do  dalszych  rozważ ań  wielkoś ci  geometryczne  dla  powłoki  walcowej  przed­ stawiono  na  rys.  3.  i  A N A L I Z A  UGIĘĆ  S P R Ę Ż Y S T Y CH  P O W Ł O K  W A L C O W Y C H  277  Przyjmujemy  oznaczenia:  n  —  liczba  elementów  romboidalnych  na  obwodzie,  w  uję ciu  klasycznym  odpo­ 2.П R  wiada  to  liczbie  fal  w  kierunku  obwodowym,  wtedy  a  =  ;  Д  = -7  stosunek  szerokoś ci  elementu  romboidalnego  do  jego  wysokoś ci;  2ć >,  —  kąt  płaski  mię dzy  płaszczyznami  trójką tów,  mierzony  wzdłuż  krawę dzi  ukoś nych;  2d2  —  kąt  płaski  mię dzy  płaszczyznami  trójką tów,  mierzony  wzdłuż  krawę dzi  poziomych.  /   278  W .  SZYSZKOWSKI  Po  elementarnych  wyprowadzeniach  otrzymamy:  (2)  sinóv =  A t g ­ ­ , .  2n  l ­ ( L + 2 A 2 ) t g 2  cos2<3,  =•   2n  1 + t g 2  • 2n  D l a  powłoki  stoż kowej  model  obliczeniowy pokazano  na  rys.  4.  Rys.  4  1  W  tym  przypadku  zależ noś ci  geometryczne  mają  bardziej  złoż oną  postać  i  są  nastę pują ce  cos (rp­6'2)  =  A — cos­"­ sina  ­,n  л  A — cos a  s i n —  n  (3)  cos(y+<>2)  A cos  1  sin a  n  sin­ л  Л cos a — 1  cos2<5,  =  л я'  я   1  ­  ­Г  t g —  C O S ( C 7 ­ 0 2 )  l  n  j / l  + t g 2 ^  [sin2 (<р­д Ц +  [~ ff­ł*cos((i)(Axj) +  2(l­v)(AKij) 2]dS,  s  gdzie  S —  pole  powierzchni  izometrycznych,  Axh  Axj, AxtJ  —  zmiany  krzywizny  w  ukła­ dzie ortogonalnym  (1,7)»  Р Г 2У  czym  zmiany  krzywizny  liczymy w sposób  ś cisły jako  róż nicę   krzywizny  powierzchni  począ tkowej  i  krzywizny  powierzchni  zdeformowanej.  Jako  przy­ kład  podamy  obliczenie  energii  dla  elementu  trójką tnego  powłoki  walcowej.  Jeż eli  przyjąć   kierunek  x  wzdłuż  tworzą cej,  to  Axx'=*  0 ­ — =  ­ — ,  А ну  =  Axxy  =  0,  wtedy  D  ab­F  A U B  =  R2  gdzie  F—pole  powierzchni  ż eber  i  wierzchołków  w  jednym  segmencie  obliczeniowym.  Wprowadzając  współczynniki  bezwymiarowe,  otrzymamy  D l a  powłoki  stoż kowej  otrzymuje  się  wyraż enie  nieco  dłuż sze  ,TT  _ 2n  .  ,  / s i n a  ,  I.  / s i n a \ 2 \  >,  gdzie  _  и  Г .  ^ 4 c o s a ­ l l  A2  + l  , , , ,  .  ,  В  = —i~­  s m a +  .  .  .­ •  ;  ­ / K 2 ( A 2  + s i n 2 a + l )  cosa  l  Asm2fig  J A 2  + A  r  v  '  A +  l  ANALIZA UGIĘĆ SPRĘ Ż YSTYCH POWŁOK  WALCOWYCH  283  D l a  obszaru  wierzchołka  wykorzystać  m o ż na  uproszczone  klasyczne  wzory  na  zmian ę   krzywizny  w  postaci  82w  d2w  A K j  ~  ~ ~Щ '  A X l j  ~  7  ­dĘ ć bcj  '  gdzie  w miejsce  w podstawić  należy  funkcję  (4).  Energię  błonową  zgromadzoną  w  wierzchołku  obliczamy ze wzoru  (7)  A U„  =  ~  jj[(У2Ф )2  ­  (1 +v) L(Ф ,  0)]dF,  F  gdzie  funkcję  Ф wyznaczono  z r ó w n a n i a  (5). W z ó r  ostatni  m o ż na  przekształcić  do  postaci  R \  Ł/t Lj  AUb^bDil­v2)^  .­L^Is^,n,fi,q>).  Funkcję  7S  wyznaczono  w  sposób  przybliż ony  aproksymując  wyniki  obliczeń  numerycz­ nych.  M a ona  postać   ­  s i n , ) 4 ( J , + 2 7 5 P ­ 7 9 0 A  +  691  +  ^)  ( L + . ­ ^ J  x  i  Г 1 ­ 6 м  ( 0 . 7 7 5 ­ u )  1 T ,  n „ l  я  \ 2'  x[  J [ 1 + 0 1 2 U H . ­ Błąd  aproksymacji,  w szerokim  zakresie  zmiennoś ci  p a r a m e t r ó w  n,  Я, pi i cp,  nie prze­ kraczał  5%. Szczegóły  obliczeń  m o ż na  znaleźć  w [6].  Pracę  sił zewnę trznych  wyznaczono  jako  iloczyn  siły  osiowej  przez  zmianę  wysokoś ci  całej  powłoki,  łatwą  do  wyliczenia  przy  znanej  geometrii  deformacji.  Przedstawia  się  ona  nastę pują co:  2  sin 2cp  l+A  AB  — 2л к 2п с Т о  ­  ;—  C O S 7 ?  A  (8)  A­l  .  1  1 \  .  ,  . , .  sin cp—  I c o s a ——  I sin (cp+ o2) —  A  .  .  A+l  ,  A2_A2il­m)  A2­l  gdzie:  m — liczba  segmentów  wzdłuż  tworzą cej,  с 0 — ś rednie  naprę ż enia  ś ciskają ce  w  kierunku  tworzą cej.  4.  Analiza  numeryczna  Otrzymaliś my  w ten  sposób  obydwa  człony  funkcjonału  energii  I F j a k o  funkcje  para­ metrów  1,  n  i  u.  Warunki  (1) zapiszą  się teraz  w  postaci  dW  dW  dW  »  # ­ 0 :  T F = 0 ;  ­ ^ ­ 0 ;  I .  284  W .  SZYSZKOWSKI  Te  trzy  równania,  po  wykonaniu  róż niczkowania,  przedstawiają  układ  trzech  nieliniowych  o  R  R  równań  algebraicznych,  wią ż ą cych  pięć  wielkoś ci  bezwymiarowych  n,  А, [л ,  °  ,  —­  s i n y .  W  obliczeniach  układ  (9)  praktyczniej jest  doprowadzić  do  postaci  k t ó r a  pozwala,  przy  zadanej  wartoś ci  ­j­  i    пт л х.  Siłę  odpowiadają cą  wartoś ci  n  =  nmix  oznaczono  pN.  W  dalszej  czę ś ci  pokaż emy,  że  ma  ona  istotne  znaczenie  w  teorii  statecz­ noś ci  sprę ż ystej  powłok.  ANALIZA UGIĘĆ SPRĘ Ż YSTYCH  POWŁOK  WALCOWYCH  285  Inny  wariant  obliczeń  wykonano  odrzucając  trzeci  z  w a r u n k ó w  (9).  Rys.  9  pokazuje  obliczone  zależ noś ci  dla  jednej  zadanej  wartoś ci  ~ ­  sin 9 9 =  500;  jest  wzglę dną   zmianą  wysokoś ci  powłoki.  л a,  0,5  0,4  0,3  0,2  0,1  Liniowe  rozwią zanie  B/h­575  tp­  ж /3  ,n­9  W  ч   MS.  H  h  10  20  30  40  50  Rys.  9  60  Wykres  ten  pokazuje  przebieg procesu  deformacji  powłoki.  Najbardziej  na  lewo,  prawie  pionowa  linia  odpowiada  procesowi  w  zakresie  małych  odkształceń  przed  utratą  statecz­ noś ci.  Po  przekroczeniu  obcią ż eń  krytycznych,  powierzchnia  powłoki  gwałtownie  faluje  się, przy jednoczesnym  gwałtownym  spadku  obcią ż enia.  Liczba  fal  w  kierunku  obwodowym  spada do  wartoś ci  odpowiadają cej  pierwszej statecznej  postaci  (/?m a x), przy  dalszym  wzroś cie  skrócenia  nastę puje  przeskok  na  nastę pną  stateczną  postać  z liczbą  fal  o jeden  mniejszą,  itd.  W  badaniach  eksperymentalnych jako  wartość  tzw.  dolnego  obcią ż enia  krytycznego  podaje  się  zwykle  wartoś ć,  do  której  zmniejsza  się  obcią ż enie  w  momencie  utraty  statecznoś ci  formy  pierwotnej  (np.  [7],  [8],  [9]).  W  przedstawionych  rozważ aniach  jej  odpowiednikiem jest  więc  wartość  .  N a  rys.  10  pokazano  jej  zależ ność  w  f u n k c j i ™  s i n y .  Zwraca  się  uwagę  na  nastę pują ce  fakty:  1.  Krzywe  dla  róż nych  9? praktycznie  pokrywają  się.  Wskazuje  to  na  moż liwość  prze­ liczenia  wyników  b a d a ń  uzyskanych  dla  powłok  walcowych  na  dowolne  powłoki  stoż­ kowe.  Ten  wniosek  był  wysuwany  przez  wielu  a u t o r ó w  prac  eksperymentalnych  (np.  [9]),  nie  został  jednak  dotąd  właś ciwie  teoretycznie  udokumentowany.  2.  W  p o r ó w n a n i u  z  wynikami  b a d a ń  doś wiadczalnych,  szczególnie  licznych  dla  powłok  walcowych  ([7,  9,  12]),  krzywa  z  wykresu  10  wykazuje  zadowalają cą  zgodnoś ć.  3.  Rozwią zania  klasyczne  (za  pomocą  równań  technicznej  teorii  powłok)  jako  wartoś ci  współczynnika  dolnego  obcią ż enia  krytycznego  podają  zawsze  wartość  stałą,  niezależ ną   od  stosunku  R/h,  natomiast  bardzo  czułą  na  postać  funkcji  aproksymują cej.  Jest  to  jedną   z  istotniejszych  wad  tych  rozwią zań.  286  W.  SZYSZKOWSKr  tu?  0,24  0,16  CMS  Po/sin  p 0 u ) l — j ^ ­ W z ó r  (14)  pokazuje  w j a k i  sposób  wykorzystać  zależ ność  opisują cą  powłokę  walcową   do  obliczenia  siły  przenoszonej  przez  dowolną  powłokę  stoż kową.  Mianowicie  w  miejsce  argumentu  RJhw  należy  przyjąć  Rssin

  Q/h­800  V  У /   ф >2я /п Л   l  i  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  0,9  1,0  Rys.  14  W  pracy  [6]  wykazano,  że  wpływ  długoś ci  tworzą cej  powłoki  jest  do  pominię cia,  jeż eli  tylko  «mieś ci  się»  tam  jeden  rząd  pofalowań  o  parametrach,  które  m o ż na  wyznaczyć  na  podstawie  prezentowanej  analizy.  Ogranicza  to  klasę  rozpatrywanych  powłok  do  takich,  które  spełniają  warunek  1  I  (16)  i.  >  Я  *  / s i n a  / .  s i n 2 a  \ 2  COS Cp  gdzie:  L  — d ł u g o ś ć  tworzą cej,  а,  A — wielkoś ci  charakteryzują ce  deformację  powłoki  o  danych  parametrach.  290  J.  SKŁADZIEŃ   D l a  powłok  walcowych  warunek  ten  upraszcza  się do  postaci  L  2TZ  ~R>~nT'  Wartoś ci  graniczne dla R/h  =  200 i R/h  =  800 zostały na rys. 14 zaznaczone  liniami  piono­ wymi.  Widać,  że na prawo  od  tych  linii  wartoś ci  obcią ż eń  są praktycznie  stałe  niezależ nie  od  długoś ci  powłoki.  Inne  ograniczenie  wynika  ze  skoń czonej  sprę ż ystoś ci  materiału.  Pewne  wyniki  wstę p­ nych  rozważ ań  przedstawiono  w  [5].  Sprowadzają  się one  do  wyznaczenia  dopuszczalnej  minimalnej  liczby  fal  nmin,  przy  której  koń czy  się  proces  deformacji  czysto  sprę ż ystej.  Dalsze  skracanie się powłoki  moż liwe jest  tylko  poprzez  pojawienie  się przegubów  plastycz­ nych  tworzą cych  się wzdłuż  ż eber  geometrycznych.  Literatura  cytowana  w tekś cie  1.  N .  J.  HOFF,  W.  A.  MADSEN,  J. MAYERS,  Post­buckling equilibrium  of axially  compressed circular cylin­ drical shells,  A J A A  Journ.,  14 (1966)  126  ­ 133.  2.  Y .  Y O S H I M U R A ,  On the mechanism of buckling of circular cylindrical shell under axial compression, Repts.  Inst.  Sci.  and  Tech.  Univ.  Tokyo, 5 (1951).  3.  A .  P.  COPPA,  Inextensional buckling configurations  of  conical shells,  A J A A  Journ., 4 (1967) 913  ­  920.  4.  W.  SZYSZKOWSKI,  Geometrical  analysis  of  the post­buckling  behaviour  of thin  cylindrical  and  conical  shells under axial compression,  Arch.  Bud.  Masz.,  1 (1975) 3 ­ 26.  5.  S. ŁUKASIEWICZ,  W.  SZYSZKOWSKI,  Metody  geometryczne  w nieliniowej  teorii  powłok,  Mat.  Symp.  Konstr.  Powl.,  Kraków  1974.  "N,  6.  W.  SZYSZKOWSKI,  Statecznoś ć  powłok  obrotowych  w uję ciu  geometrycznym.  Praca  doktorska,  Polit.  Warszawska, 1973.  7.  R.  L .  DE NEUFVILLE, Influence  of geometry  on  the number of buckles  in cylinder,  AJAA  Journ., 2 (1965)  364  ­ 365.  (  8.  R.  L .  De  NEUFVILLE, 1.1. CONNOR,  Post­buckling behaviour  of thin cylinders,  J. Eng.  Mech. Div.,  1968,  E M  2,  585  ­  603.  9.  V .  I. WEINOARTEN,  E . I.  MORGAN,  P. SEIDE, Elastic stability  of thin  walled cylindrical and conical shells  under axial compression,  A J A A  Journ., 5 (1965) 913 ­ 920.  10.  P. С.  В О Л Ь М И Р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  М о с к ва  1967.  11.  А.  В.  П О Г О Р Е Л О В,  Г е о м е т р и ч е с к и е м е т о д ы в н е л и н е й н о й т е о р и и у п р у г и х  о б о л о ч е к ,  М о с к ва  1967.  12.  Э . И .  Г Р И Г О Л Ю К,  В.  В.  К А Б А Н О В,  У с т о й ч и в о с т ь  к р у г о в ы х  ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к ,  И т о ги  Н а у к и,  М о с к ва  1967.  13.  В.  О.  ALMROTFT,  Influence  of edge  conditions  on  the  stability  of axially  compressed  cylindrical  shells,  A J A A  Journ.,  1 (1965),  134­ 140.  •   Р е з ю ме   Р А С Ч ЕТ  С Ж И М А Е М ЫХ  В  О С Е В ОМ  Н А П Р А В Л Е Н ИИ  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ИХ   И  К О Н И Ч Е С К ИХ  У П Р У Г ИХ  О Б О Л О Ч ЕК  П РИ  Б О Л Ь Ш ИХ  П Е Р Е М Е Щ Е Н И ЯХ  ­ В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  а н а л из  и з о т р о п н ых  ц и л и н д р и ч е с к их  и  к о н и ч е с к их  о б о л о ч е к,  п о д в е р­ г н у т ых  о с е в о му  с ж а т и ю.  В о с н о ву  м е т о да  в з ят  в а р и а ц и о н н ый  п р и н ц ип  Л а г р а н ж а,  в  к о т о р ом  и с­ п о л ь з о в а но  к и н е м а т и ч е с ки  д о п у с т и м ое  п о ле  п е р е м е щ е н и й.  Д ля  о п р е д е л е н ия  э т о го  п о ля  и с п о л ь з о­ в а ны  с в о й с т ва  к в а з и ­и з о м е т р и ч н ой  т р а н с ф о р м а ц ии  п о в е р х н о с т и.  Э то  п о з в о л и ло  р е ш и ть  з а д а чу   б ез  о г р а н и ч е н ий  о т н о с и т е л ь но  в е л и ч и ны  п е р е м е щ е н и й.  ANALIZA UGIĘĆ SPRĘ Ż YSTYCH POWŁOK WALCOWYCH I  291  ,  S u m m a r y  ANALYSIS OF  L A R G E  ELASTIC DEFLECTIONS  OF  A X I A L L Y  COMPRESSED  CYLINDRICAL  A N D CONICAL  SHELLS  N  The  paper  presents an analysis  of  the  post­buckling  behaviour  of  isotropic  cylindrical and conical  shells subject  to axial compression.  The  starting point of the paper is the Lagrange variational principle,  the application of which consists  in  assuming a kinematically admissible strain and displacement  fields.  The fields  are determined by consi­ dering the  geometry  of  quasi­isometric  deformations  of  the shell  after  buckling. That enables us to solve  the problem with no limitation on the magnitude of the  displacements.  INSTYTUT  MECHANIKI  STOSOWANEJ  POLITECHNIKI  WARSZAWSKIEJ  Praca została  złoż ona  w Redakcji dnia  16 paź dziernika  1976 r.  I