Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  ]  S T O S O W A N A  2,  15  (1977)  ZASTOSOWANIE  ZASADY  GAUSSA  W  MECHANICE  OŚ RODKÓW  CIĄ GŁYCH  N .  Ja.  C Y G A N Ó W  A  (WOŁGOGRAD)  Pierwsze  zastosowanie  zasady  Gaussa  w  mechanice  kontinuum  znajdujemy  w  pracy  CZETAJEWA  [1],  poś wię conej  zagadnieniu  ewolucji  idealnej  gasną cej  gwiazdy.  Z a  pomocą   tej  zasady  CZETAJEW  otrzymał  kryterium, pozwalają ce  z  k i l k u  moż liwych  w  okolicy  punktu  bifurkacji  stanów  równowagi  wybrać  taki  stan,  który  odpowiada  rzeczywistej  ewolucji  ciała  ciekłego.  Ewolucja  gasną cej  gwiazdy  polega  na  kolejnym  przechodzeniu  z  jednej  statecznej  konfiguracji  do  drugiej.  CZETAJEW  ujął  to  zagadnienie  w  taki  s p o s ó b :  należy  wyznaczyć   ciąg  statecznych  konfiguracji  dla  stanów  równowagi  jednorodnego  ciała  ciekłego,  obraca­ ją cego  się  w o k ó ł  osi  przechodzą cej  przez  ś rodek  cię ż koś ci  i  kurczą cego  się  ze  stałą  p r ę d­ koś cią  w  kierunku  radialnym  pod  wpływem  wzajemnego  przycią gania  czą stek  cieczy.  T a k i  ciąg  statecznych  konfiguracji  CZETAJEW  otrzymał  za  pomocą  twierdzenia  Lagran­ ge'a  o  statecznoś ci  w  przypadku  istnienia  funkcji  U.  Stan  równowagi  dla  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  zaburzeń  Ax,  A2,  A„ spełniają cych  układ  r ó w n a ń   jest  stateczny,  jeż eli  tym  wartoś ciom  p a r a m e t r ó w  odpowiada  max U. Wartoś ci  p a r a m e t r ó w  i  funkcji  U są  zmienne  w  czasie,  zatem  konfiguracje  stateczne  tworzą  zbiór  cią gły.  Traktując  czas  t  i parametry  A{  okreś lają ce  konfigurację  stanu  równowagi, jako  współ­ rzę dne  w  przestrzeni  n+1­wymiarowej*  moż emy  odwzorować  w  tej  przestrzeni  ciąg  sta­ tecznych  stanów  równowagi  w  postaci  krzywej  przecię cia  powierzchni  (1).  W  ogólnym  przypadku  krzywa  ta  dzieli  się na  k i l k a  gałę zi,  które  mogą  również  przecinać  się.  K a ż d e mu  cią gowi  stanów  równowagi  odpowiada  okreś lona  gałąź  ( C ) . Jeż eli  punkt  M  gałę zi  ( C )  należy jednocześ nie  do  innej  gałę zi,  nazywamy  go  punktem  bifurkacji.  CZETAJEW  p o k a z a ł ,  że  zasada  Gaussa  pozwala  wybrać  w punkcie  bifurkacji  gałąź  stanów  równowagi  odpowia­ dają cą  dalszej  ewolucji  u k ł a d u .  W  rzeczywistym  ruchu  ciała  ciekłego  moment  p ę du  wzglę dem  osi  obrotu  pozostaje  stały.  Jeż eli  oś z jest  osią  obrotu,  to  warunek  ten  m o ż na  zapisać  w  postaci  gdzie  co oznacza  prę dkość  obrotu.  W  przypadku  kurczenia  się  ciała  warunek  (2)  wymaga  wzrostu  co,  a  tym  samym  i  wzrostu  siły  odś rodkowej.  Relację  (2)  m o ż na  t r a k t o w a ć  jako  równanie  wię zów.  Ruchem  swobodnym  w  danym  zagadnieniu  jest  ruch  bez  ograniczenia  (2),  czyli  ruch  ze  stałą  prę dkoś cią  obrotu.  Tak  wię c,  w  ruchu  swobodnym  nie  uwzglę dnia­ (2)  148  N .  Ja.  CYGANOWA  my  siły  powodują cej  promieniowe  kurczenie  się ciała.  Odchylenie  ruchu  rzeczywistego  od  swobodnego  dla czą stki  masy  dm ma  nastę pują ce  współrzę dne  (pomijamy  wielkoś ci  infinitezymalne  trzeciego  r z ę d u ):  xcoecodt2,  ycodojdt2,  0.  Wymuszenie  dla całego  ciała  wynosi  Z  =  dń co2(doj)2J  (x2+y2)dm.  Z  warunku  minimum  wymuszenia  wynika,  że rzeczywistej  zmianie  konfiguracji  stanu  równowagi  odpowiada  minimalny  przyrost  prę dkoś ci  obrotowej  do>. Ponieważ  z  warunku  (2)  mamy  U  (x2+y2)dm]2  to  m o d u ł  przyrostu  momentu  bezwładnoś ci  ciała  wzglę dem  osi obrotu  \d j  (x2  +y2)dm\  również  osią ga  minimum.  W takim  razie  rzeczywistą  gałąź  ewolucji  w punkcie  bifurkacji  okreś la  maksimum  momentu J (x2  +y2)dm.  1.  Prace  Tamuża  W  pracy  T A M U Ż A  [2]  zasada  minimum  wymuszenia  została  przeniesiona  na  ciało  sztywno­plastyczne  bez wzmocnienia.  A u t o r  rozważa  ciało  sztywno­plastyczne,  którego  obję tość  V  ogranicza  odcinkowo  gładka  powierzchnia  S.  N a czę ś ci  tej  powierzchni  ST  dane  są  siły  powierzchniowe  Tt,  a  na pozostałej  czę ś ci  Sv  —  prę dkoś ci  vt.  W  okreś lonej  chwili  czasu  t  =  t0  znane są prę dkoś ci  vf  (x, y,  z,  t) w obszarze  V, czyli  znane  są  również   prę dkoś ci  odkształceń   efj =  Yv*J+uf.t)­ Prę dkoś ciami  dopuszczalnymi  są  takie  vlt  które  spełniają  warunki  kinematyczne  na  S„,  warunek  nieś ciś liwoś ci  w  V i  postulat  cią głoś ci  ciała.  W chwili  t  = t0  dopuszczalne  prę dkoś ci  są jednocześ nie  rzeczywistymi:  Vi(x,  y,  z,  0(=(0  =  vf(x,  y, z,  t0).  Dopuszczalne  prę dkoś ci  odkształceń  e(J­  i  kinematycznie  dopuszczalne  naprę ż enia  в ц   spełniają  prawo  płynię cia  dla danej  funkcji  Д <Г у ):  df  1  д а .  Dopuszczalne  przyś pieszenia  w,­ i dopuszczalne  przyś pieszenia  odkształceń  ёу  definiowane  są  nastę pują co:  dvt(x,  y,  z,  t)  1  ,  .  w t  =  —   jf  — ,  e y  =  у  (w,j  +  w„).  ZASTOSOWANIE ZASADY GAUSSA  149  W  dalszej  czę ś ci  pracy  analizowane  są ograniczenia  na e'l7,  wynikają ce  z prawa  płynię cia  dla  róż nych  przypadków  powierzchni  płynię cia  [3].  Jeż eli  powierzchnia  / К )  = o  jest  gładka  i wypukła,  to prawo  płynię cia  ma postać   Sf  [ X = 0, jeż eli  f  < 0,  (1.1)  e y  =  X­  >  dOjj  у X ^  0, jeż eli  /  = 0.  Róż niczkując  po  czasie,  otrzymujemy:  (1.2)  su  =  X­£­ dJ­+xM­V­\  leu  dt  \  dotj  I  X =  0,  X =  0,  jeż eli  / <  0,  X > 0,  jeż eli  / = 0 ,  X = 0,  A  dowolne,  jeż eli  źl >  0.  W  dalszym  przypadku  dla X =  0  mamy  5 /  czyli  dopuszczalne  przyś pieszenia  odkształceń  spełniają  prawo  płynię cia.  W trzecim  przy­ padku  brak  ograniczeń  na  ёи.  Uogólnione  prawo płynię cia  dla  odcinkowo­liniowej  powierzchni  płynię cia  fk  =  aUk­au  ma  postać   е .­,­  =  Aka, '•к "цк   Róż niczkując  wzglę dem  czasu,  otrzymujemy  Xk  = 0  ,  jeż eli  fk  < 0,  Xk>0  ,  jeż eli  Л  =  0.  (1.3)  *ец =  Xkdi  Xk  = 0  ,  jeż eli  Л  < 0,  I  Л* ̂   0  ,  jeż eli  /* =  0,  Xk = 0,  Д4 —  dowolne, jeż eli  Xk > 0.  Tak  więc  dla AA =  0 przyś pieszenie  odkształcenia  ёи  spełnia  uogólnione  prawo  płynię cia.  W  przypadku  Xr ф 0,  Xk =  0, fk  < 0(k Ф /•),  przyś pieszenie  'itJ  jest  prostopadłe  do  po­ wierzchni  fr  = aiJr­ajj,  lecz  może  mieć  zwrot  w  kierunku  wnę trza  obszaru  wypukłego.  Jeż eli  stan  naprę ż eń  odpowiada  wierzchołkowi  powierzchni  płynię cia,  to nie ma  ż adnych  ograniczeń  na'iu.  Zasada  minimum  wymuszenia  ma  w  tym  przypadku  taką  p o s t a ć :  funkcjo­ nał  wymuszenia  /=  J"­^dV­  jpiWidV­  I  T,wt3S+  f  aUEi}dV,  (V)  (V)  (Sr )  (V)  gdzie  Pi są siłami  masowymi,  a m gę stoś cią  materiału,  osią ga  minimum  dla  rzeczywistych  wf,  Щ , a*j  w klasie  wartoś ci  kinematycznie  dopuszczalnych  w­,, еи,  <ти.  Dowód  tego  twierdzenia  oparty  jest  na  analizie  róż nicy  wartoś ci  funkcjonału  / * ­ /  dla  pól  rzeczywistych  i dopuszczalnych.  Wykorzystując  fakt,  że rzeczywiste  przyś pieszenia  wf  i  naprę ż enia  dfj spełniają  równania  ruchu  o*j + Pi — mwf  =  0,  150  N .  Ja.  CYGANOWA  a  fffj  dodatkowo  — statyczne  warunki  brzegowe  m o ż na  wyraż enie  / * —/  sprowadzić  do  postaci  (^)  (V)  N a  podstawie  w a r u n k ó w  (1.2),  (1.3),  które  spełniają  dopuszczalne  przyś pieszenia  odkształceń  dla  róż nych  powierzchni  płynię cia,  m o ż na  wykazać,  że  wyraż enie  ё у ( ° у ­ у)  nie jest  dodatnie.  W  takim  razie  I* ­1  <  0,  czyli  / *  <  / .  Nastę pnie  udowodniono  jedno­ znaczność  pola  przyś pieszeń  w  dowolnej  chwili  czasu.  W  pracy  T A M U Ż A  zawarte  jest  również  waż ne  z  punktu  widzenia  zastosowań  prak­ tycznych  uogólnienie  zasady  minimum  wymuszenia  dla  pól  przyś pieszeń  mają cych  nie­ cią głoś ci  na  powierzchniach,  dzielą cych  ciało  na  skoń czoną  liczbę  p o d o b s z a r ó w  o  cią głych  przyś pieszeniach.  2.  Prace Reitmana  . Zasada  Gaussa  została  uogólniona  dla  szerokiej  klasy  ciał  odkształcalnych  w  dwóch  publikacjach  REITMANA  [4,  5].  Funkcjonał  wymuszenia  dla  dowolnego  ciała  odkształcal­ nego  przyję to  w  postaci  (2.1)  / =  j f  Я Ш ­dV­  fpjtijdV­  j  TjUjdS+.  J  0JkeJkdV,  (У )  (V)  (Sr)  (V)  którą  m o ż na  otrzymać  biorąc  za  punkt  wyjś cia  wzór  na  wymuszenie  dla  u k ł a d u  p u n k t ó w  materialnych  3n  Ponieważ  siły  i  masy  nie  podlegają  wariacji,  prawą  stronę  tego  wzoru  m o ż na  zapisać,  jako  3n  •  / ­ i '  '  W  przypadku  ciała  stałego,  zamiast  poszczególnych  mas  skupionych, mamy  elementy  obję toś ci  dV.  Zatem  sumę  >  ­^­Щ х }  zamieniamy  na  całkę   w  której  wystę pują  gę stość  p i  składowe  щ  przyś pieszeń.  ZASTOSOWANIE ZASADY GAUSSA  151  Sumowanie  .1/7  jest  równoważ ne  trzem  pozostałym  członom  całkowym  we  wzorze  (2.1).  Jak  wiadomo,  siły  zwią zane  z  dowolnym  ciałem  odkształcalnym  m o ż na  podzielić  na  zewnę trzne  i  we­ wnę trzne.  Z  kolei  siły  zewnę trzne  dzielimy  na  masowe  Pj  i  powierzchniowe  7}.  Odpowia­ dają  im  druga  i  trzecia  całka  w  wyraż eniu  (2.1).  Natomiast  trzecia  całka  zwią zana  jest  ze  stanem  sił  wewnę trznych,  czyli  naprę ż eń.  Zamiast  składowych  przyś pieszeń  przemiesz­ czeń  wystę pują  w  niej  przyś pieszenia  odkształceń  'iJk.  Kinematycznie  dopuszczalne  przy­ ś pieszenia  odkształceń  zwią zane  są  równaniami  (2.2)  'ijk =­jQijk  +  ukJ)  z  przyś pieszeniami  przemieszczeń,  a  rzeczywiste  przyś pieszenia  spełniają  r ó w n a n i a  ruchu  Ojk.k+pj­QUj  =  0­ Róż nica  wartoś ci  funkcjonału  /  dla  ruchu  rzeczywistego  i  kinematycznie  dopuszczalnego  może  być  zapisana  w  postaci  (h  eh  Z  tego  wzoru  REITMAN  otrzymał  warunek  dostateczny  na  minimum  funkcjonału  wymu­ szenia.  Warunek  ten  ż ą da  identycznoś ci  naprę ż eń  odpowiadają cych  ruchowi rzeczywistemu  i  dopuszczalnemu  w  rozważ anej  chwili  czasu:  (2.3)  ajk  =  ofk.  Warunek  ten  jest  spełniony  w  ciałach  sprę ż ystym  i  sprę ż ysto­plastycznym  opisanym  w  ra­ mach  teorii  deformacyjnej,  jeż eli  w  danej  chwili  czasu  okreś lone  są  odkształcenia.  Nato­ miast  dla ciała  sztywno­plastycznego  bez wzmocnienia, opisanego  w ramach  teorii  płynię cia,  wystarczy  ustalić  prę dkoś ci  odkształceń  zwią zane  z  naprę ż eniami  przez  prawo  płynię cia.  W  przypadku  o ś r o d ka  lepkiego,  w  który m  do  jednoznacznego  okreś lenia  naprę ż eń  po­ trzebne  są  odkształcenia  i  prę dkoś ci  odkształceń,  należy  założ yć  wartoś ci  prę dkoś ci  od­ kształceń,  j  Reitman  stosuje  zasadę  minimum  wymuszenia  do  zagadnienia  proporcjonalnego  obcią ż enia  ciała  sztywno­plastycznego,  które  jest  waż ne  z  praktycznego  punktu  widzenia.  Ciało  zachowuje  przy  tym  swój  kształt,  czyli  spełnia  warunek  (2.4)  uj = ftt)r)j,  •   i ' /   gdzie  t]j  nie  zależy  od  л   Podstawienie  wzoru  (2.4)  do  (2.1)  z  uwzglę dnieniem  (2.2)  prowadzi  do  warunku  (2.5)  (K+N­Zy­jM  =  max.  152  N . J a .  CYGĄ NOWA  Wprowadzono  w nim  takie  oznaczenia:  =  J  QVJdV,  Z  =  у  J  ajk(rjjk+rjkj)dV,  (V)  (V)  K=  j  TjVjdS,  N=  f  PjrijdV.  (ST)  (V)  W  przypadku  Pj =  0 warunek  (2.5) redukuje  się do  postaci  (K­Z)2/M  = max,  k t ó r a  wyraża  warunek  Rż anicyna  dla sztywno­plastycznych  belek  i  płyt  [6],  otrzymany  z  zasady  minimum  Lagrange'a.  Zasadę  Gaussa  zastosował  Reitman  również  dla zagadnień  powłok  sztywno­plastycz­ nych.  Wymuszenie  sił  wewnę trznych  w  przypadku  takich  powłok  ma postać   /* 1  o';  (  '  |/2  у ­ q z p ^ +  Z 2p;,  3  (V)  gdzie  or( oznacza  intensywność  naprę ż enia,  a pi,  p­e—, p  są  kwadratowymi  wielomianami  Iliuszyna,  w których  wystę pują  przyś pieszenia  odkształceń.  D l a  przypadku  czaszy  kulistej  z  materiału  sztywno­plastycznego  bez  wzmocnienia  Reitman  otrzymał  wzory  obliczeniowe,  stosując  minimalizację  funkcjonału  wymuszenia.  3. Zastosowanie zasady minimum wymuszenia w teorii filtracji  W  pracy  KILCZEWSKIEGO  i  SZEPELEWSKIEJ  [7] pokazano,  że zasada  Gaussa  w  postaci  zmodyfikowanej  wynika  z  równania  ruchu  , ч  h  dv  У ­  л  T  (3.1)  — ­jt  =  ­kV­grz&p­ky  dla  przepływu  filtracyjnego  cieczy.  We wzorze  tym у  =  gg oznacza  cię ż ar  właś ciwy,  v —  prę dkość  czą stki  cieczy,  p — ciś nienie  hydrodynamiczne,  к —  wektor  jednostkowy  w  kie­ runku  pionowej  osi z,  к —  współczynnik  filtracji,  a —  porowatość  oś rodka  filtrują cego.  Jeż eli  ciecz  jest  nieś ciś liwa  a  oś rodek  filtrują cy  —  nieodkształcalny,  to  (3.2)  div(ÓM)  = 0,  gdzie  д й oznacza  wektor  wirtualnych  przemieszczeń  czą stek  cieczy.  Z  twierdzenia  Ostro­ gradskiego  warunek  ten m o ż na  przepisać  w postaci  globalnej  (3.3)  ///  di\(du)dV =  ff  ń óiidS  = 0.  (У )  (S)  ZASTOSOWANIE ZASADY GAUSSA  153  у   Warunki  (3.2) i  (3.3) są  równaniami  wię zów.  Siły  j~vAV  działają ce  na  element  obję­ toś ci  AV traktowane  są jako  aktywne,  a  siły  grad/? •  AV  — jako  reakcje  wię zów/  Nastę pnie  wprowadza  się poję cia  wię zów  idealnych.  Wię zy  zdefiniowane  warunkami  (3.2)  i  (3.3)  są idealne, jeż eli  wirtualna  praca  reakcji  tych  wię zów jest  nieujemna:  (3.4)  SA  =  ­  jjj  dugradpdV ^ 0.  N a  podstawie  relacji  (3.2)  i  (3.3)  moż emy  napisać   (3.5)  dA =  ­  / / pnSudS.  OS)  Z a ł o ż o n o,  że powierzchnia  ograniczają ca  przepływ  filtracyjny  składa  się z  czę ś ci po­ wierzchni  warstwy wodoszczelnej,  sztywnych  ś cian,  powierzchni  depresji,  odcinków  wycieku  oraz  z  przepuszczają cych  ciecz  granic  basenów  wodnych.  Jeż eli  ciecz  przepływa  z basenu  A  o głę bokoś ci  H, do basenu  В o głę bokoś ci  H2  i warstwa  wodoszczelna jest  pozioma,  to  warunek  idealnoś ci  wię zów  (3.4)  jest  spełniony, gdy  (3­6)  / /  (Hl ­  z)  • I bu„\  • dSA  > ff  (tf 2 ­  z) • I c 4 l  • dSB.  W  ten sposób  wię zy  idealne  muszą  spełniać  warunki  (3.3),  (3.2)  i  (3.6).  Wymuszenie  2  —  ni j  i­ 1  gdzie  Rt  oznacza  reakcje  wię zów  idealnych,  dla  przypadku  cieczy  filtrują cej  ma postać   n  Z  =  1  lim  V  — J ^ ­  (grad/7,­ • A  Vi)2,  в   lub  (3.7)  z = T i f f f ^ 2 d v ­ (V)  Wykorzystując  równanie  ruchu  (3.1)  m o ż na  zapisać  wymuszenie  w postaci  ,  (V)  lub  pomijając  siły  bezwładnoś ciowe  i stały  mnoż nik  zredukować  do wzoru  nastę pują cego:  (3.9)  Z  =  t J 7 T  № +v2y+(Vz+k)2]dV,  (V)  gdzie vx,  vy,v:  oznaczają  składowe  wektora  prę dkoś ci v w układzie  współrzę dnych,  którego  punkt  począ tkowy  usytuowany jest  na warstwie  wodoszczelnej.  154  N .  Ja.  CYGANOWA  Nastę pnie  wykazano  nieujemność  wariacji  wymuszenia:  (3.10)  dZ = jjj  [vx dvx+vy toy + {vt+k) toĄ dV >  0.  W y n i k a  to  z tego,  że  warunek  (3.4)  m o ż na  zapisać  w  postaci  (3.11)  jjj  [vxdwl+v>dw7+(vz + k)dwt]dV2>  0,  zakładając  д й = ^­{At)2Sw,  gdzie  dw  oznacza  wariację  przyś pieszenia,  i  pomijając  siły  bezwładnoś ciowe.  Przy  tym  wariacje  dwx,  ewy,  dwz  spełniają  warunki  wię zуw  (3.2),  (3.3)  i  (3.6).  Zamieniając  wariacje  przyś pieszeń  we  wzorze  (3.11)  na  wariacje  prę dkoś ci  spełniają ce  identyczne  warunki, otrzymano  warunek  (3.10). Wyraża  on zmodyfikowaną  zasadę  Gaussa:  wartość  wymuszenia  (3.9)  dla  pola  rzeczywistych prę dkoś ci  cieczy  filtrują cej  jest  mniejsza  od  wartoś ci  wymuszenia  otrzymanej  dla  dowolnego  pola  prę dkoś ci  spełniają cego  warunki  (3.2),  (3.3),  (3.6).  Stąd  na  podstawie  wzoru  (3.7)  wypływa  wniosek,  że  całka  jjj(gmdp)2dV  CV)  osią ga  dla  przepływu  rzeczywistego  wartość  minimalną.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  H . Г .  Ч Е Т А Е В,  О б  у с т о й ч и в ы х  ф и г у р а х  р а в н о в е с и я  н е к о т о р о й  о д н о р о д н о й  м а с с ы  в р а щ а ю щ е й с я   ж и д к о с т и  п о д  д е й с т в и е м  с и л  л у ч и с т о г о  с ж а т и я  к  ц е н т р у  т я ж е с т и ,  И з в е с т ия  ф и з и к о ­м а т е м а­ т и ч е с к о го  о б щ е с т ва  п ри  К а з а н с к ом  У н и в е р с и т е т е,  1,  3,  К а з а нь  1926.  2.  В . П . Т А М У Ж,  О б о д н о м  м и н и м а л ь н о м  п р и н ц и п е  в д и н а м и к е  ж е с т к о ­п л а с т и ч е с к о г о  т е л а ,  П . М . М .,  24,  4  (1962).  3.  В .  П Р А Г Е Р,  П р о б л е м ы  т е о р и и  п л а с т и ч н о с т и ,  М о с к ва  1958,  25—27,  47—49.  4.  М .  И .  Р Е Й Т М А Н,  О б  о д н о м  м е т о д е  р е ш е н и я  з а д а ч  д и н а м и к и  т в е р д о г о  т е л а  и  е г о п р и л о ж е н и и  к  н е ­ у п р у г и м  о б о л о ч к а м ,  И з в е с т ия  АН  С С С Р,  М е х а н и ка  и  м а ш и н о с т р о е н и е,  1964.  5.  М.  И .  Р Е Й Т М А Н,  О б щ и й  в а р и а ц и о н н ы й  п р и н ц и п  в м е х а н и к е  с п л о ш н о й  с р е д ы и  е г о п р и м е н е н и е ,  С т р о­ и т е л ь н ая  м е х а н и ка  и  р а с ч ет  с о о р у ж е н и й,  М о с к ва  1965, 9—12.  6.  А.  Р .  Р ж а н и ц ы н,  Э к с т р е м а л ь н о е  с в о й с т в о  ф о р м ы  д в и ж е н и я  ж е с т к о ­п л а с т и ч е с к о й  с и с т е м ы ,  н а г р у ж е н н о й  з а  п р е д е л о м  н е с у щ е й  с п о с о б н о с т и ,  И з в е с т ия  АН  С С С Р,  О т д е л е н ие  т е х н и ч е с к их   н а у к,  М е х а н и ка  и  М а ш и н о с т р о е н и е,  2  (1959).  7.  Н .  А .  К И Л Ь Ч Е В С К И Й,  Н .  Н .  Ш Е П Е Л Е В С К А Я,  П р и н ц и п  н а и м е н ь ш е г о  п р и н у ж д е н и я  и  н е к о т о р ы е  е г о   п р и л о ж е н и я  в  т е о р и и  ф и л ь т р а ц и и ,  Н а у ч н ые  д о к л а ды  в ы с ш ей  ш к о л ы,  Р а з д ел  „С т р о и т е л ь­ с т в о ",  4,  (1958).  P O L I T E C H N I K A  W  W O Ł G O G R A D Z 1 E  \  ­  1  Praca została  złoż ona  w  Redakcji  dnia 13  sierpnia  1975  r.