Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf ) '  '  1  t  I  M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  15  (1977)  i  ­  •   ­ O P T Y M A L N E  KSZTAŁTOWANIE  PRĘ TA  Ś CISKANEGO  PRZY  DUŻ YCH  UGIĘ CIACH  METODĄ  PROGRAMOWANIA  DYNAMICZNEGO*)  ­ T A T J  B i . A r . H 4 T  f K u A t r ń wl  1.  Wstęp  •  '  •  J A N  B Ł A C H U T  ( K R A K Ó W )  Rozwój  k o m p u t e r ó w  o  duż ej  pojemnoś ci  pamię ci  operacyjnej  i  krótkim  czasie  dostę pu  do  pamię ci  stałej  sprawia,  że  na  nowo  pojawiają  się  dawniej  niepraktyczne  metody  obli­ czeniowe.  Coraz  bardziej  rozwijają  się  nowe,  bezpoś rednie  metody  obliczeń  numerycznych.  Coraz  bardziej  skuteczne  stają  się  narzę dzia  analizy  numerycznej,  za  p o m o c ą  których  pokonano  wiele  nierozwią zywalnych  uprzednio  p r o b l e m ó w  i  z a d a ń .  Moż liwoś ci  współ­ czesnej  techniki  obliczeniowej  pozwalają  efektywnie  rozwią zać  szereg  zagadnień  teorii  optymalnego  sterowania.  Jedną  z  metod  tej  teorii jest programowanie  dynamiczne,  k t ó r e  pojawiło  się jako  ogólna  metoda  rozwią zywania  zagadnień  wariacyjnych.  Metody  tej  uż ywa  się  również  przy  roz­ wią zywaniu  innych  zagadnień  teorii  optymalnego  sterowania.  •  Ogólnie przez programowanie dynamiczne rozumie się optymalne sterowanie procesami,  czyli  takimi  zjawiskami,  na  któryc h  przebieg  mamy  wpływ.  Oddziaływanie  to  nazywane  sterowaniem  musimy  tak  d o b r a ć ,  aby  otrzymany  rezultat  był  ekstremalny  przy  spełnieniu  wszystkich  ograniczeń  nałoż onych  na  proces.  Idea  programowania  dynamicznego  tkwi  w zamianie jednego zadania  z  wieloma  zmiennymi  na  ciąg  z a d a ń ,  kolejno  rozwią zywanych,  o  mniejszej  liczbie  zmiennych.  Optymalizację  takiego  wieloetapowego  procesu  prowadzi  się  na  podstawie  zasady  optymalnoś ci  B E L L M A N A ,  k t ó r a  jest  szczególnie  wygodna,  jeż eli  rozpatrywany proces cią gły  może  ulec dyskretyzacji  (kwantyzacji).  Zwią zane  to  jest  z  przy­ ję ciem  odmiennych  metod  rachunkowych,  z  wykorzystaniem  E M C ,  w  któryc h  proces  cią gły  zastę puje  się  u k ł a d e m  dyskretnym.  Funkcje  opisują ce  proces  mogą  być  niecią głe  łub  dane  w  postaci  tablic.  N i e k t ó r e  zadania  teorii  sprę ż ystoś ci  rozwią zuje  się  tą  metodą.  W  szczególnoś ci  elementy  konstrukcyjne  z jedną  współrzę dną  stanu  m o ż n a,  uż ywając  programowania dynamicznego,  rozwią zywać  na  dwa  róż ne  sposoby.  W  pierwszym,  numerycznie  całkuje  się  równanie  Hamiltona­Jacobiego­Bellmana. W  drugim,  numerycznie  rozwią zuje  się  formułę  rekuren­ cyjną  zwaną  równaniem  funkcyjnym  Bellmana.  Ten  drugi  sposób  uż ycia  idei  programo­ *'  Praca wykonana  została  w ramach problemu wę złowego  05.12  pt.  «Wytrzymałość  i optymalizacja  konstrukcji  maszynowych  i  budowlanych» — koordynowanego przez  IPPT  PAN.  http://Bi.Ar.H4T 376  J .  BŁACHUT  wania  dynamicznego  nosi  nazwę  dyskretnej  wersji  programowania  dynamicznego  i  z  po­ wodzeniem  stosowany  był  w  celu  rozwią zania  jednowymiarowych  elementów  konstruk­ cyjnych,  w  uję ciu  wariacyjnym,  przez  P O C Z T M A N A  w  pracach  [1,  2].  Metoda  ta  pozwala  przy  uż yciu  współczesnych  E M C  rozwią zywać  również  r ó w n a n i e  funkcyjne  Bellmana  z  dwiema  zmiennymi  stanu.  B A R A N E N K O  [3]  uż ył  dyskretnej  metody  programowania  dynamicznego  do  wyznaczenia  ugięć  sprę ż ystej,  prostoką tnej  membrany,  utwierdzonej  na  brzegu  i  obcią ż onej  równomierni e  na  całej  powierzchni,  przy  równoczesnym  ograni­ czeniu  ugię ć.  W  pracy  [4]  ta  sama  metoda  przeniesiona  została  na  inne  dwuwymiarowe  zadania  teorii  sprę ż ystoś ci.  A N G E L  i  B E L L M A N  [5]  podają  dalsze  moż liwoś ci  stosowania  tej  metody  z  równoczesnym  dołą czeniem  niektórych  procedur  numerycznych  w  ję zyku  fortran.  Autorzy  podają  mię dzy  innymi  l i t e r a t u r ę  dotyczą cą  rozwią zań  szeregu  dwuwy­ miarowych  elementów  konstrukcyjnych  omawianą  metodą.  Również  w  podejś ciu  do  optymalnego  kształtowania  elementów  konstrukcyjnych  tą   metodą  wskazać  m o ż e my  na  dwa  o d r ę b ne  sposoby.  Pierwszy,  polegają cy  na  całkowaniu  r ó w n a n i a  Hamiltona­Jacobiego­Bellmana  [6],  oraz  drugi,  z  wykorzystaniem  r ó w n a n i a  funkcyjnego.  Jak  dotąd  tylko  k i l k a  prac poś wię conych jest zastosowaniu  r ó w n a n i a  funkcyj­ nego  Bellmana  do  optymalnego  kształtowania  w  zadaniach  teorii  sprę ż ystoś ci.  Poszuki­ wanie  minimum  obję toś ci  wspornika  o  przekroju  p r o s t o k ą t n y m,  jednostronnie  sztywno  utwierdzonego,  z  materiału  pełzają cego,  przy  ograniczeniach  geometrycznych  przed­ stawiono  w  artykule  [7].  Tą  samą  m e t o d ę  wykorzystano  w  pracy  [8],  gdzie jako  kryterium  przyję to  minimum  obję toś ci  p r ę ta  sprę ż ystego  poddanego  zginaniu,  z  uwzglę dnieniem  duż ych  przemieszczeń  i  nałoż eniu  dodatkowych  ograniczeń.  Algorytm  programowania  dynamicznego  otrzymany  dla  procesu  dyskretnego  na  podstawie  zasady  optymałnoś ci  m o ż na  stosować  wykorzystując  metody  analityczne,  z  tym,  że  na  ogół jest  to  niemoż liwe,  a  w  przypadkach  kiedy  to  się  udaje,  p o s t ę p o w a n ie  analityczne jest  ucią ż liwe  przy  wię kszej  liczbie  e t a p ó w  [9].  W  niniejszej  pracy  posługiwać  się  bę dziemy  wyłą cznie  bezpoś rednią   metodą  numeryczną.  Posługiwanie  się  dyskretną  wersją  programowania  dynamicznego  ma  wiele  zalet,  które  wynikają  z  odmiennego  sposobu  wyznaczania  ekstremum,  polegają cego  na  prze­ szukiwaniu  skoń czonego  zbioru  wartoś ci.  T a k i  s p o s ó b  wyznaczania  ekstremum  umoż liwia  w  naturalny  s p o s ó b  wprowadzenie  wielu  ograniczeń  lokalnych,  z  k t ó r y m i  spotykamy  się   w  realnych  przypadkach.  Mię dzy  innymi,  ograniczenie  dopuszczalnych  naprę ż eń,  wymia­ rów,  ugię ć.  Czę sto  te  dodatkowe  warunki  upraszczają  obliczenia,  gdyż  eliminują  z  procesu  «przeszukiwania»  te  wartoś ci  zmiennej  stanu  i  sterowania,  k t ó r e  nie  spełniają  na  danym  etapie nałoż onych  ograniczeń.  Moż liwe  są  również  globalne warunki  ograniczają ce  wartość   energii  czy  też  obję toś ci.  Cytowane  powyż ej  prace  nie  zawierają  szczegółów  obliczeń  maszynowych,  wspólnych  dla  wszystkich  jednowymiarowych  elementów  konstrukcyjnych.  Po  sformułowaniu  pro­ blemu  i  odwołaniu  się  do  r ó w n a n i a  funkcyjnego  podano  w y n i k i  koń cowe.  Celem  tej  pracy  bę dzie  pełniejsze  przytoczenie  szczegółów  obliczeń  maszynowych  uż ytej  metody  w  odniesieniu  do  sformułowanego  poniż ej  zadania  optymalnego  kształtowania  ś ciskanego  s ł u p a ,  przy  duż ych  ugię ciach.  Czę ść  pierwsza  poś wię cona  bę dzie  obcią ż eniu  siłą  skupioną,  w  drugiej  zaś  uwzglę dnimy  dodatkowo  cię ż ar  własny  słupa.  OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  PRĘ TA  Ś CISKANEGO  377  2.  Sformułowanie  problemu  Rozważ ać  bę dziemy  sprę ż ysty  prę t.  o  przekroju  p r o s t o k ą t n y m,  długoś ci  /,  obcią ż ony  stałą  siłą  skupioną  P taką,  że P > Pkr,  zachowują cą  kierunek  działania  (rys.  1).  Sztywność   prę ta  a =  El  bę dzie  opisana  na st ę puj ą c o:  xt  =  Ł / , dla odcinka  [ 0 , / J ,  cc, = EI2  dla  odcinka  (/,, / 2 ] .  Poszukiwać  bę dziemy  takiej  wartoś ci  д =  a2fai,  która  zapewni  minimum  odchylenia  koń ca  prę ta  xk  od stanu  nieodkształconego.  (1)  mm  xk,  deUl  gdzie  иг  =  {<5:0  <  ó ̂  1}.  Równocześ nie  przyjmiemy  nastę pują ce  warunki  ograniczają ce  zwią zane  z :  ograniczeniem  obję toś ci  V0  p r ę ta  (2)  l 7o  =  const,  a 2  —'  *—  ć   О С,  Rys.  1.  Sposób  obcią ż enia  prę ta  —  zapewnieniem  warunku  równowagi,  poprzez  minimalizację  energii  potencjalnej  E  odkształconego  prę ta [10]:  (3)  min.E,  gdzie  U2  =  {R­  gdy  7V+ 1  <  R  <  M.  Obliczenia  rozpoczynamy  od  swobodnego  koń ca  przesuwając  się  ku  utwierdzeniu,  gdzie  dodatkowo  musi  być  spełniony  warunek  c?(0)  =  0.  D l a  N  =  1 z  (11)  otrzymujemy  (13)  Л Ы  =  min  { ^ J ^ _ ^ ) "  +  C I C 0 S Y I J A .  Podzielmy  cały  zbiór  U2  na  i i  równych  czę ś ci.  Elementy  tego  zbioru  oznaczać  bę dziemy  0(/') otrzymujemy  w  koń cu  najmniejszą  wartość  wyra­ ż enia  (13)  dla  zmiennej  stanu  i(2)  i  z  (13)  wyznaczamy  wartość  najmniejszą,  podstawiając  kolejno  za  sterowanie  o('') ze  zbioru  U2.  Obliczenia  w  tym  etapie  koń czą  się  z  chwilą  stablicowania  funkcji  ft(k  0  0,2  0,4  0,6  0,8  1,0  w  funkcji  д  dla trzech  róż nych  wartoś ci  V0  3.  Wpływ  cię ż aru  własnego  W  dalszym  cią gu  rozpatrywać  bę dziemy  optymalne  kształtowanie  p r ę ta  z  uwzglę d­ nieniem  jego  cię ż aru  własnego.  Wszystkie  poprzednie  założ enia  pozostają  w  mocy,  z  tym,  że  w  miejsce  kryterium  optymalnoś ci  (1)  przyjmiemy  minimum  ką ta  odchylenia  koń ca  cpk.  (24)  mm  cpk.  F u n k c j o n a ł  (7) przyjmie  postać   (25)  sdzie  S l г   ­ / I  (cp')2 + ( cŁ  + c2) cos cp  «2  C/.S+ j  o  ( У )2  + ( c 1 + , c 3 ) c o s  cp cis,  Si  S2  =  q,dsr;  c3  =  q„dsv,  (26)  q, =  q„  • \2y  Eb  Eb2  012  S l  <  S  ^ *2'  2  0CL  dla  0 ̂   s  ^  .Vj  ,  у  oznacza  cię ż ar  właś ciwy.  ,  Po  podstawieniu  (26)  do  (25)  otrzymamy z dokładnoś cią  do  stałego  czynnika  (27)  E=  f  ~(v')2+(cc+c2  j  dsv  с о м,  \ds+  j J  2  (•  1  ­r  gdzie  (28)  +  •>2  (c1+c3j  dsv  I cos cp I ds,  c­, =  12/3  Eb2  •y;  c3  =  dc2.  384  J .  BŁACHUT  Postę pując  tak samo jak  w czę ś ci  pierwszej  otrzymujemy  nastę pują cą  postać  r ó w n a n i a  funkcyjnego  Bellmana:  (29)  а д *)=  min  )  •+(Д1  +  с 3 а Д Л ) с о 8 у >к | д + / , .1 ( у к _ 1 ) | ;  gdy  0 «с Л «S W, lub  (30)  = y m i n J  { [ y (  У * ~ д * ~'  )  + ( с 1 + С ­ 2 / ? Д ) с о 5̂] д + Л _1 ( у « ­ 1 ) } ,  gdy  7V+ 1  ^  R  M .  Obliczenia  prowadzono  według  schematu  przedstawionego  w  czę ś ci  pierwszej dla  p a r a m e t r ó w  zestawionych  w tablicy 2.  • i  Tablica 2  Lp.  i Rysunek  • 'i  Si  Cl  6  k  od ó dla  róż nych,  stałych  wartoś ci  obję toś ci  V0.  N a  rys.  12  pokazano  linie  ugię cia  jakie  otrzymuje  się  dla  p u n k t ó w  a, b, c, d, e z  rys.  11.  K r z y w a  a odpowiada  cią głemu  rozkładowi  masy  (Ó =  1).  Kolejne  krzywe  b, c, d, e odpowiadają  pogrubianiu  dolnej  czę ś ci  prę ta  (to  jest  przedziału  [0,  j j ) .  Rys.  11. Wykres zależ noś ci  ką ta  odchylenia  koń ca  Rys.  12.  Wybrane  linie  ugię cia  dla  punktów  a,  b,  prę ta  qpk w  funkcji  S dla 6 róż nych  wartoś ci  V0,  c, d, e z  rys. 11  przy  uwzglę dnieniu  cię ż aru  własnego  prę ta  OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  PRĘ TA  Ś CISKANEGO  385  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  I O .  M .  П О Ч Т М А Н,  Б. А.  Б А Р А Н Е Н К О, П р и м е н е н и е  м е т о д а  д и н а м и ч е с к о г о  п р о г р а м м и р о в а н и я  к  и с с л е ­ д о в а н и ю  б о л ь ш и х  п р о г и б о в  с ж а т ы х  с т е р ж н е й ,  П р и к л.  М е х .,  5,  3  (1969),  132—135.  2.  Ю. М . П О Ч Т М А Н,  Б. А.  Б А Р А Н Е Н К О, Д и н а м и ч е с к о е п р о г р а м м и р о в а н и е и  н е л и н е й н ы е з а д а ч и ,  с т а т и к и   т о н к и х  с т е р ж н е й ,  Д А Н, 182,  5  (1968),  1029­  1031.  3.  Б. А.  Б А Р А Н Е Н К О,  Ю. М.  П О Ч Т М А Н,  И с с л е д о в а н и е  д е ф о р м а ц и и у п р у г и х  м е м б р а н ,с т е с н ё н н ы х  о г р а ­ н и ч е н и я м и ,  м е т о д о м  д и н а м и ч е с к о г о  п р о г р а м м и р о в а н и я ,  П р и к л.  м а т. м е х ., 5  (1969),  933—935.  4.  Б. А. Б А Р А Н Е Н К О,  Б. К. Ж У Р А К О В А,  Л. А. Ф и л и п о в,  Д и н а м и ч е с к о е  п р о г р а м м и р о в а н и е в д в у м е р н ы х   з а д а ч а х  т е о р и и у п р у г о с т и ,  П р и к л.  м е х .,  7,  11 (1971),  5 9 ­ 6 4 .  5.  Е.  A N G E L ,  R.  BELLMAN,  Dynamic programming  and partial differential equations,  NY 1972.  6.  M .  MAKOWSKI,  Optymalizacja belek  na podłoż u  sprę ż ystym  jako  problem  teorii sterowania,  piaca dok­ torska,  Kraków  1972.  7.  Ю. М .  П О Ч Т М А Н,  Д и н а м и ч е с к о е  п р о г р а м м и р о в а н и е  в  з а д а ч а х  о п т и м и з а ц и и  к о н с т р у к ц и и  п о д в е р ­ ж с н н ы х  п о л з у ч е с т и ,  С о в ет  Ф и з ик  Д о к л а д ы,  16,  1  (1970),  2 9 ­ 3 0 .  8.  J'.  BŁACHUT, Optymalne  kształtowanie  prę ta  metodą  programowania  dynamicznego,  MTiS,  1,15(1977).  9.  W. FINDEISEN,  J . SZYMANOWSKI,  A.  WIERZBICKI,  Metody obliczeniowe optymalizacji,  Warszawa  1973.  10.  T.  KOZŁOWSKI,  S.  PIECHNIK,  Z .  STOJEK,  Zastosowanie  rachunku  wariacyjnego  do zagadnień  mechaniki  budowli,  Warszawa  1967.  Р е з ю ме   О П Т И М А Л Ь Н ОЕ  П Р О Е К Т И Р О В А Н ИЕ  С Ж И М А Е М О ГО  С Т Е Р Ж НЯ  П РИ   Б О Л Ь Ш ИХ  П Р О Г И Б АХ  М Е Т О Д ОМ  Д И Н А М И Ч Е С К О ГО   П Р О Г Р А М М И Р О В А Н ИЯ   Р а с с м а т р и в а е т ся  о п т и м а л ь н ое  р а с п р е д е л е н ие  м а с сы  д ля  д в ух  у ч а с т к ов  с т е р ж ня  р а в н ой   д л и ны  п ри з а д а н н ом  о б ъ е м е.  С е ч е н ие  с т е р ж ня  п р я м о у г о л ь н о е.  К р и т е р и ем  о п т и м а л ь н о с ти  я в л я­ е т ся  м и н и м ум  п е р е м е щ е н ия  к о н ца  с т е р ж ня  и ли  м и н и м ум  у г ла  н а к л о на  к а с а т е л ь н ой  к о си  с т е р ж ня   в  э т ой  т о ч к е.  С о с т о я н ие  р а в н о в е с ия  д ля  п о с л е к р и т и ч е с к ой  д е ф о р м а ц ии  о п р е д е л е но  м е т о д ом   д и н а м и ч е с к о го  п р о г р а м м и р о в а н ия  из  у с л о в ия  м и н и м у ма  п о т е н ц и а л ь н ой  э н е р г и и.  О п т и м а л ь н ое   р а с п р е д е л е н ие  м а с сы  н а й д е но  на о с н о в а н ии  п о л у ч е н ых  к р и в ых  п р о г и б а.  S u m m a r y  OPTIMAL  DESIGN  OF A  COMPRESSED  ROD  WITH  L A R G E  DEFLECTIONS  BY  MEANS  OF  DYNAMIC  PROGRAMMING  In  this paper the  method of determining the  optimal  ratio of the rigidities of two  parts of  the rod is  presented. The rectangular cross­section is discussed. The flat­tapered rod compressed by a constant axial  force  or by an axial force and own weight at  a fixed  volume was considered. The aims of  this paper are  to minimize the displacement of the free end (in the first case) or to  minimize  the  angle  of  deflection  at  that  point  (in  the  second case).  The post­buckling  equilibrium  state  has  been found  by minimizing  the  potential energy by means of  the  dynamic programming,  Bellman's functional  equation  being used. The  optimal mass diatribution is obtained by analyzing the deflection lines.  POLITECHNIKA  KRAKOWSKA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  29 grudnia  1976 r.  7  Mechanika  teoretyczna  3/77