Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  15  (1977)  i  INWERSYJNA  METODA  BADANIA  MODELI  E L A S T O O P T Y C Z N Y C H  Z  WIĘ ZAMI  SZTYWNYMI  R O M A N  D O R O S Z K I E W I C Z ,  JERZY  L I E T Z ,  B O G D A N  M I C H A L S K I  (WARSZAWA)  W  artykule  tym  przedstawimy  pewne  zagadnienie  doś wiadczalnej  analizy  n a p r ę ż eń   referowane  przez  a u t o r ó w  w 1974 r o k u 1 ' ,  k t ó r e  m o ż na  rozwią zać  metodą  elastooptyczną   przy  uż yciu  nieco  innej  techniki  od ogólnie  stosowanej.  Tematem  badania  było  wyznaczenie  stanu  naprę ż enia  w  półpłaszczyź nie  sprę ż ystej,  na  brzegu  której  istnieje  sztywna  wię ź.  N a p r ę ż e n ia  te  wymuszone  są  przez  odkształcenia  półpłaszczyzny  w  kierunku  równoległym  do  brzegu.  Głównym  celem  było  znalezienie  składowych  naprę ż enia  na l i n i i  styku  półpłaszczyzny  z  wię zią.  Rozpatrujemy  nieodkształcalną  więź  o  długoś ci  /,  doskonale  zespoloną  z  brzegiem  sprę ż ystej  półpłaszczyzny  w układzie  odniesienia  x, y,  z, jak na  rys.  1.  dj  1 ob •   Rys.  1.  Schemat  modelu  półpłaszczyzny  z  wię zią   W  oddaleniu  od wię zi  półpłaszczyznę  obcią ż amy  r ó w n o m i e r n y m  naprę ż eniem  rozcią ga­ ją cym  a0,  k t ó r e  wywołuje  jednorodne  pole  odkształceń  e 0  =  . N a skutek  usztywnia­ l i  ją cego  działania  wię zi,  w jej  otoczeniu  pole  odkształceń  i  n a p r ę ż eń  przestaje  być  jedno­ rodne,  a na  k o ń c a ch  wię zi  oczekujemy  znacznego  spię trzenia  naprę ż eń.  Z  p o m i a r ó w  elastooptycznych  uzyskujemy  w k a ż d ym  punkcie  płaskiego  modelu:  1)  rząd  izochromy  m =  o1—a2  (naprę ż enia  wyraż amy  dla  wygody  bezwymiarowo  w  rzę dach  izochrom),  2)  parametr  izokliny cp. "  R. S.  Doroszkiewicz,  J. Lietz,  B.  Michalski. Inwersyjna  metoda  badania modeli  elastooptycznych  z  wię zami  sztywnymi.  VI Sympozjum  doś wiadczalnych  badań  w mechanice  ciała  stałego.  Warszawa —  wrzesień  1974.  352  R .  D O R O S Z K I E W I C Z ,  J.  L I E T Z ,  B.  M I C H A L S K I  Szczególna  sytuacja  wystę puje  jednak  na  granicy  połą czenia  pólpłaszczyzny  z  wię zią.  Z  założ enia  nieodkształcalnoś ci  wię zi  i  nierozdzielnoś ci  odkształceń  wynika,  że  wydłuż enie  wzglę dne ex  (rys.  1) musi być równe  zeru. Ten dodatkowy  warunek ex  =  0 wraz z  wynikami  p o m i a r ó w  elastooptycznych m  i cp pozwała  w  pełni  okreś lić  stan  naprę ż enia  na  granicy  wię zi. Z  w a r u n k ó w  równowagi  i prawa  Hooka,  przy  założ eniu  płaskiego  stanu  naprę ż enia  (a.  =  0),  łatwo  wyprowadzić  nastę pują ce  wyraż enia  na  składowe  stanu  n a p r ę ż e n i a:  v  ­  ,  l '  mcoslcp, av  =  — mcoszep, —V  1 ­ е   rxy = — msin2(p. Charakterystyczna,  dla  stanu  naprę ż enia  pod  wię zią,  jest  proporcjonalność  do  siebie  n a p r ę ż eń  normalnych,  gdyż ax = vay. Analizując  wyniki  obliczone  z  powyż szych  wzorów  należy  zwrócić  uwagę  na  całkowy  warunek  równowagi.  Z tego,  że wypadkowa sił działają cych  mię dzy  wię zią  a  półpłaszczyzną   jest  r ó w n a  zeru  wynika,  że  //2  ł/2  (2)  f xxydx  =  0  oraz j aydx  =  0.  ­Ц 2  ­Ц 2  Pierwszy  z  tych  w a r u n k ó w  jest  spełniony,  gdy  wykres rxy(x)  jest  antysymetryczny,  co  wynika  z  symetrii u k ł a d u .  Warunek  drugi jest  bardzo  dobrym  sprawdzianem  poprawnoś ci  wyznaczenia  naprę ż eń ay.  W y n i k a  z  niego  oczywiś cie,  że  wielkość ay  musi  zmieniać  znak.  T a  zmiana  znaku  wystę puje  w  charakterystycznych  dla  zagadnienia  punktach,  w  których  ax =  0, ay  =  0,  a cp  =  45°. N a  obrazie  elastooptycznym  izoklina  45° wskazuje  te  punkty.  W  rzeczywistoś ci  sprawę  komplikuje  wpływ  skoń czonej  gruboś ci  modelu.  W  zwykłych  badaniach  elastooptycznych  przy  umiarkowanych  gradientach  stanu  naprę ż enia  stosuje  się  modele  o  gruboś ci  do  10  mm  przyjmują c,  że  w  modelach  tych  wystę puje  płaski  stan  naprę ż enia,  ponieważ  mogą  one  swobodnie  odkształcać  się  po  gruboś ci,  a az — 0.  Jeż eli  jednak  z  brzegiem  modelu  zespolona jest  nieodkształcalna  wię ź,  to  narzuca  ona  na  brzegu  nie  tylko  warunek ex =  0  ale  również  ez  =  0.  Zwią zane  z  tym  oddziaływanie  (т ,,:  #  0)  wprowadza  w  są siedztwie  wię zi  trójwymiarowy  stan  naprę ż enia.  W  jego  strefie  obraz  elastooptyczny  jest  nieprawidłowy  i  nieczytelny.  Należy  więc  w  miarę  moż noś ci  dą ż yć   do  zlikwidowania  lub  przynajmniej  ograniczenia tego  oddziaływania.  Najwłaś ciwsza  droga  do  wyeliminowania  wpływu  trójwymiarowoś ci  prowadzi,  jak  wynika  z  licznych  b a d a ń   prowadzonych  przez  a u t o r ó w ,  do  wykonania  modelu  o  małej  gruboś ci,  a  wię zi  o  moż liwie  duż ych  wymiarach. Decyduje  tutaj  stosunek Ijd  gdzie / oznacza  długość  wię zi, d —  grubość   modelu.  Doś wiadczenia  wykazały,  że przy Ijd  rzę du  30 ­ 40  wpływ  gruboś ci  modelu  prze­ staje  odgrywać  rolę.  Istnieje  moż liwość  rozwią zania  postawionego  zagadnienia  metodą  badania  elasto­ optycznego,  ale  nieco  inną  techniką  o p a r t ą  na  zasadzie  superpozycji.  Potraktujmy  stan  naprę ż enia  panują cy  w  rozcią ganej  półpłaszczyź nie  z  wię zią  jako  stan  wynikają cy  z  super­ pozycji  dwu  stanów  naprę ż enia.  Symbolicznie  zapiszemy  to  <У х  =  ­ O) S  =  S,  +  Si  INWERSYJNA  M E T O D A  BADANIA  MODELI  E L A S T O O P T Y C Z Ń Y CH  353  gdzie  5/  oznacza  jednorodny  stan  naprę ż enia  wynikają cy  z  jednoosiowego  rozcią gania,  Sn  — stan  naprę ż enia  wywołany  oddziaływaniem  wię zi,  tzn.  siłami  wywieranymi na  pół­ płaszczyznę  przez  wię ź.  Stan  naprę ż enia  taki  sam,  jak  Su,  lecz  przeciwnego  znaku,  moż na  łatwo  zrealizować   poddając  model  równomiernemu  rozcią ganiu  a0  i utrzymując  go  pod  obcią ż eniem  w stanie  •  odkształconym.  D o  tak  odkształconego  modelu  przyklejamy  wię ź,  a  po  całkowitym  zwią zaniu  połą czenia  klejonego  model  odcią ż amy.  W o k ó ł  wię zi  powstanie  wówczas  stan  naprę ż enia  —Sn,  który  m o ż na  zarejestrować  elastooptycznie. D l a tak  przeprowadzonego  badania  przyjmujemy  umownie  nazwę  «badanie  inwersyjne»  ze  wzglę du  na  odwrócenie  czynnoś ci  w badaniu  (najpierw  obcią ż enie,  potem  klejenie), jak  również  odwrócenie  znaku  naprę ż eń.  INWERSYJNA  METODA  UADANIA  MODELI  ELASTOOPTYCZNYCH  355  Wyznaczania  naprę ż eń  na  granicy  połą czenia  półpłaszczyzny  z  wię zią  d o k o n a ć  m o ż na  podobnie  na podstawie  danych  elastooptycznych  m i cp,  z tym, że dodatkowym  warunkiem  na  granicy jest  Rys.  4. Izoklina 0°: a) badanie proste, b) badanie inwersyjne  •   Składowe  naprę ż enia  (3)  dadzą  się łatwo  przeliczyć  na  przypadek  prosty  (nieinwer­ syjny): Oy i rxy  zmieniają  tylko  znak,  a  do  wartoś ci ax  trzeba  ponadto  d o d a ć  wartość   naprę ż enia a0,  z j a k i m  rozcią gany  był  wstę pnie  model.  356 R .  D O R O S Z K I E W I C Z ,  J .  L I E T Z ,  B.  M I C H A L S K I  Rys.  5.  Urzą dzenie  do obcią ż ania modelu  Rys. 6. Stanowisko badawcze  N a p r ę ż e n ia  przeliczone  oznaczamy  gwiazdką:  (4)  OZ = an — a. =- (mcos2(p —  o0),  Wykresy r*y, i a* również  podlegają  sprawdzeniu  wg wzorów  (2).  Korzyś ci  płyną ce  z  przeprowadzonego  dodatkowo  badania  inwersyjnego  są  bez­ sporne.  Otrzymujemy  bowiem  te  same  wyniki  z  zupełnie  róż nych  obrazów  elastooptycz­ nych  (izochromy  na  rys.  2).  Porównanie  wyników  pozwala  ocenić  dokładność  b a d a ń   i  co waż niejsze  w pewnych  obszarach  wartoś ci  naprę ż eń  moż na  dokładniej  okreś lić  w bada­ niu  inwersyjnym  dzię ki  np. lepszej  czytelnoś ci  izoklin  (porównaj  rys. За oraz  3b).  Moż na  łatwo  wykazać,  że  izoklina  o  parametrze  0  w  obu  przypadkach  przebiega  jednakowo,  mimo  iż pola  izoklin  są zupełnie  róż ne.  Potwierdzają  to zdję cia  izoklin  0° (rys. 4a i b).  Wykorzystując  doś wiadczenia  wstę pnych  e t a p ó w  b a d a ń  przyję to  duże  wymiary modelu  (300x580  mm) uzyskując  w ten  s p o s ó b :  a) zmniejszenie  wpływu  pełzania  kleju;  b) lepszą   czytelność  obrazu elastooptycznego  zwłaszcza  w są siedztwie  wię zi; c) wyż sze  rzę dy izochrom  przy  zachowaniu  korzystnego  stosunku  Ijd =  27.  M o d e l  wykonano  ze specjalnie  odlanej  płyty  epoksydowej  gruboś ci  6 mm. Po  ś rodku  dłuż szego  boku  przyklejono  stalową  więź  uż ywając  kleju  epoksydowego  z  wypełniaczem  aluminiowym.  Obie  krótsze  krawę dzie  obcią ż ono  oś mioma  siłami  skupionymi za  pomocą   u k ł a d u  dź wigniowego  (rys. 5).  358  R .  D O R O S Z K I E W I C Z ,  J .  L I E T Z ,  B .  M I C H A L S K I  Badania  prowadzono  w  polą ryskopie  z  równoległą  wią zką  ś wiatła,  rzutując  obrazy  elastooptyczne  na  ekran.  Zdję cie  stanowiska  badawczego  widoczne jest  na  rys.  6.  N a  rys.  7  przedstawiono  wykresy  —  wzdłuż  wię zi,  uzyskane  z  badania  prostego  i  inwersyjnego.  Ich  zgodność  jest  wysoka.  D l a  p o r ó w n a n i a  linią  przerywaną  pokazano  wyniki  obliczenia  numerycznego,  k t ó r e  przeprowadzono  metodą  elementów  skoń czonych  p o d a n ą  przez  О.  C .  ZIENKIEWICZA,  dzieląc  badany  obszar  na  skoń czoną  liczbę  wieloką tów.  Wykresy  na  rys.  8  przedstawiają  ostateczne  wyniki  badania  półpłaszczyzny  z  wię zią,  uzyskane  z  uś rednienia  wyników  b a d a ń  prostych  i  inwersyjnych.  Autorzy  uważ ają,  że  zaproponowany  sposób  badania  warto jest  stosować  w  pewnych  przypadkach,  jakimi  mogą  być  np.  pasma  z  wię zami  usztywniają cymi,  inkluzjami  itp.  P  e 3   io л с   О Б Р А Т Н ЫЙ  М Е Т ОД  И С С Л Е Д О В А Н ИЯ  Ф О Т О У П Р У Г ИХ  М О Д Е Л ЕЙ   С  Ж Е С Т К И МИ  С В Я З Я МИ   А в т о ры  п р е д л а г а ют  м е т од  и с с л е д о в а н ия  п л о с к их  ф о т о у п р у г их  м о д е л ей  с  ж е с т к и ми  с в я з я м и.  С у ть  е го в  т о м,  ч то с к л е и в а н ие  с в я зи  с  м о д е л ью  п р о и з в о д и т ся  и од н а г р у з к ой  а с а мо  ф о т о у п р у г ое   и с с л е д о в а н ие  — б ез  н а г р у з к и.  В  р а б о те  п о к а з а ны  п р е и м у щ е с т ва  т а к ой  м е т о д и к и ",  о с о б е н но  п ри   п а р а л л е л ь н ом  п р о в е д е н ии  о б ы ч н о го  о п ы т а.  М е т од  и л л ю с т р и р у е т ся  п р и м е р ом  р а с т я н у т ой  в  о д н ом  н а п р а в л е н ии  п о л у п л о с к о с т и,  К к о т о р ой   п р и к р е п л е на  ж е с т к ая  с в я зь  к о н е ч н ой  д л и н ы.  ­ I S u m m a r y  INVERSIONAL  METHOD OF INVESTIGATION  OF PHOTO­ELASTIC  MODELS  The  authors  present a  certain  method  of  investigation  of  two­dimensional  photoelastic models with  rigid constraints.  It consists in the  fact that cementing of  constraints with the  model  is  performed  under  load,  and photoelastic investigation — without external loads.  In  the  paper  are  presented advantages  of  the  method,  particularly  when  being  used  together with  a conventional investigation.  The  method is  presented on  an example of  a half­plane  under  uni­axial  load,  the  boundary  of  which  is attached to a rigid constraint of finite length.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N  W A R S Z A W A  Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  15 listopada  1976 r.