Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  15  (1977)  NAPRĘ Ż ENIA  I  PRZEMIESZCZENIA  W  WIRUJĄ CYM  WALCU  KOŁOWYM  OGRZEWANYM  NIEOSIOWOSYMETRYCZNIE  NA  POBOCZNICY"  K R Z Y S Z T O F  G  R  Y  S  A  (POZNAŃ)  /  1.  Wprowadzenie  W  pracy  rozważa  się  pole  naprę ż efi  w  obracają cym  się  ze  stałą  prę dkoś cią  ką tową  co,  nieskoń czenie  długim  walcu  kołowym,  którego  pobocznica  poddana jest  działaniu  odcin­ kami  stałej  temperatury,  bę dą cej  funkcją  ką ta  opasania  (rys.  1).  Zagadnienie  rozpatrywane  jest  w  cylindrycznym  układzie  współrzę dnych  r,  cp, z,  sztywno  zwią zanym  z  walcem.  We­ wną trz  walca  panuje  płaski  stan  odkształcenia;  temperatura,  przemieszczenia  i  naprę ż enia  są  zatem  funkcjami  zmiennych  przestrzennych  r,  q>  oraz  czasu  t.  Ponieważ  zagadnienie  rozpatrywane  jest  w  układzie  współrzę dnych  sztywno  zwią za­ nym  z  walcem,  w  r ó w n a n i a c h  ruchu  dodaje  się  człon  uwzglę dniają cy  siłę  odś rodkową.  Pomija  się  natomiast  siłę  cię ż koś ci.  Zagadnienie  to  rozważ ane  jest  na  gruncie  teorii  na­ prę ż eń  cieplnych.  Z a k ł a d a  się,  że  w  chwili  począ tkowej  temperatura  walca  była  równa  T0.  Ponadto  przyjmuje  się,  że  pobocznica  walca  jest  wolna  od  obcią ż eń.  R o z k ł a d  temperatury  w  przekroju  poprzecznym  walca,  wywołany  przytoczonym  zespołem  w a r u n k ó w ,  wyzna­ czony  został  w  pracy  [1].  W  tej  pracy  wyznaczono  dla  rozważ anego  walca  pole  naprę ż eń   cieplnych,  jakie  powstaje  podczas  tzw.  regularnego  reż imu  cieplnego  [por.  1,  U ,  12].  *' Praca nagrodzona III  nagrodą  na  konkursie naukowym na  prace teoretyczne z mechaniki, organizo­ wanym przez Oddział  PTMTS  w  Poznaniu  w  1976  r.  336  К .  GRYSA  2.  Podstawowe  zwią zki  i metoda  rozwią zania  zagadnienia  Punktem  wyjś cia  są r ó w n a n i a  ruchu [2]:  i  da„  1  da,ę  a r r ­ a w  "I  Г Л,  ­    ( O  dr  r  dcp  darv  1  daw  +  2o­„  dr  r  dcp  z  warunkami  brzegowymi  dla r = a  arr(a,  cp, t)  = 0,  orę(a,  cp, t)  = 0.  (2)  Tutaj  wr, u4, oznaczają  współrzę dne  wektora  przemieszczenia,  aaS­—współrzę dne  tensora  naprę ż enia  (ot, /9 mogą  przyjmować  wartoś ci  r, cp,  z), Xr,  X,p— siły  masowe,  o0 — gę stoś ć,  8C)  a — p r o m i e ń  walca,  (') =  dt  Powyż sze  zagadnienie  brzegowe  moż na  — wykorzystując  zwią zki  Duhamela­Neuman­ na  dla płaskiego  stanu  odkształcenia [2]:  (3)  arr  =  (X + 2/л ) srr + ).E„­yO,  arę  =  2/г ег <р,  с т „ =  (?. +  2pi)eq„p+?verr­ye,  •  (Orr  +  f/mm)  ­ 0  oraz  zwią zki  pomię dzy  odkształceniami  i  przemieszczeniami [2]:  du.  1 dutt.  (4)  s „  =  dr '  2  \ r  r  dcp  dUa, dur  ——  H —  0 9 9  dr  —  sformułować  w ję zyku  przemieszczeń.  Przyjmując  ponadto,  że Xr  =  Qo^co 2,  Xę  = 0,  otrzymuje  się nastę pują cą  postać  zagadnienia  (1) ­  (2):  (l')  cr  1  duv  1  5  1  1 /  ­  &/,,  +  ее   (2')  .  1  3  Г 1  du,,  i d  /  Л  \„1  1  /  1 д иг\\  ..  , г   ( я + ^ т f  [ т ­с • + т  * Н + Т ч " ^ Г " ? W / J=  Q o U i p  т   „  ч  д м,  , /  1  й м„  мг Y  „,  .  (Л + 2 / i ) ­ ^  + А  + —  =  у О (а,с р , г ),  dr  \  Г  С е р  Г  I  \г ='а   г  dcp  dr  г  г =  а   NAPRĘ Ż ENIA  I  PRZEMIESZCZENIA  W WIRUJĄ CYM  WALCU  337  gdzie  Л,  /л  oznaczają  stałe  L a mego,  у  =  (ЗА + 2,м )<х ,,  a, —  współczynnik  rozszerzalnoś ci  cieplnej,  0 —  t e m p e r a t u r ę ;  V 2  = —  h  dr2  +  1  d  + •  r  ć r  Г *  CCf,  1  d2  2  dw2  '  Dodanie  do  zwią zków  (l'),  (2'), w a r u n k ó w  począ tkowych  dla naprę ż eń  lub prze­ mieszczeń  zakoń czyłoby  formułowanie  zagadnienia  dynamicznego.  J e d n a k ż e  przy  roz­ wią zywaniu  tego  zagadnienia  otrzymuje  się  niesłychanie  skomplikowane  transformaty  Laplace'a  potencjałów  termosprę ż ystego  przemieszczenia  [11],  któryc h  odwrócenie  jest  bardzo  trudne  nawet  przy  zastosowaniu  metod  przybliż onych.  W  celu  ominię cia  tych  trudnoś ci  w  dalszych  rozważ aniach  dokonuje  się  uproszczeń,  wykorzystując  pewne  własnoś ci  funkcji  0(r,  cp, t),  okreś lają cej  w r o z w a ż a n ym  przypadku  pole  temperatury.  Jak  wspomniano  we wprowadzeniu,  funkcja  ta  została  wyznaczona  w pracy  [1]  i jest  okreś lona  nastę pują co:  (5)  B(r,­cot)),  й ­  I  gdzie  (por.  [1])  | , _ 2  у  Jf^d  ,Ц   L  a  4­1  SoiMasod  \  00  tcn(r,  t)  = ~ntna Ycos<5„,   JnJ!'Sni)  {e­ti*' cos[ncoi+dni]­cosdni}, (6)  tf,(r,')=  ~~tna  У:с о *дп 1  Ą fC" d Y  {e­&*>,sin[m)t+.ó9,)Tm id n,y .  Ы I  W  zwią zkach  (5) i (6) oznaczono:  s i n " ^  +  fla(­l>  sin  2  ,  0,  Tt  — To,  02  =  T2 — T0,  0 =  T—T0;  (por.  rys.  1),  / „ ( " )  —  funkcja  Bessela  pierwszego  rodzaju  //­tego  rzę du  [3,  4], sni  —  pierwiastki  równania  J„(as)  =  0  (// =  0 , 1 , . . . ;  / = 1 , 2 , . . . )  к  współczynnik  przewodzenia  temperatury,  cos/5„;  =  ­ l '  x2s*,+n2o}2  nco  ,  .,  ,  f  ; J'„(x)  s  — — ;  ką ty  Acc1  i Av.2 zaznaczono  na rys.  1.  у  Pi  Sfii"T"ft  O.)  uX  Funkcja  0(r,  cp,  r) jest  rozwią zaniem  r ó w n a n i a  przewodnictwa cieplnego V 2 0 ­ sin  0„:  =  L_  d0  x dt  =  0 z  warunkiem  począ tkowym  0(r,  cp,  0)  =  0 oraz  warunkiem  brzegowym  0(a,  cp, t)  co  = t0a+  Z  t„acosn(cp­cot)  [1].  338  К .  G R Y S A  Ze  wzorów  (5) i  (6) wynika,  że po pewnym  czasie  t, okreś lonym  nierównoś cią  t >  >  0,5a2jx (podczas  tzw.  regularnego  reż imu  cieplnego  [por.  1, 11,  12]),  pole  temperatury  opisane  bę dzie  funkcją,  w której  wpływ  członów  eksponencjalnych  jest  pomijalnie  mały.  Funkcja  ta zależy  w tym  przypadku  od dwóch  zmiennych: /•  oraz  cp—cot.  Przechodząc  do  nowych  zmiennych,  okreś lonych  transformacją   •  (7)  ;*  = r,  cp* = cp — cot,  1" =  t,  •   łatwo  m o ż na  zauważ yć,  że  człon  inercyjny w obu  r ó w n a n i a c h  ( Г ) przyjmuje  p o s t a ć   в о   c"2  ­2co­ д2  \  dt'*2  8t*dcp*  w  której  — wobec  powyż szych  uwag —  m o ż na  dla t'* > 0,5a2/x pominąć  pochodne po  zmiennej  t*. Zatem  dla r* >  0,5a2/x  d2ux  2  d 2ux  r ó w n a n i a  (I') zaś  przyjmują  p o s t a ć   (8)  ( Я + /0  8  1 ć \  dr l r  dcp*  1  d  + —  dr  (ruĄ +/ûW2ur­^\ur  + 2  duę   8 2  =  d2u.  dO  1  8  r  8qf  dcp*2  '  dr  [j  ^  + 7 ­ | r ( » o ] + ^ [ v 4 ­  у А̂Г^Ш  =  у dO 82uw  QOC0­ 8cp*2  r  dcp* '  W  zwią zkach  (2')  w miejsce  zmiennej  cp należy  położ yć  cp*.  W  r ó w n a n i a c h  (8), a t a k ż e  w  nastę pnych  zależ noś ciach,  pominię to  gwiazdkę  przy  r oraz  przy  operatorze  V ,  gdyż   nie  prowadzi to do  n i e p o r o z u m i e ń .  Funkcję  0(r,  cp*,  t*)  dla  t* > 0,5a2/x  zapisać  m o ż na  w postaci  (9)  gdzie  (10)  Tutaj  ( П )  fl(f,  cp*, Г *)|,.>о.5.>/к = tOa + 0*(r,  cp*),  в *(г ,с р *)  =  {&c„(r)cosncp* +  &s„(r)sinncp*}.  i  co  I  « 0 0  = ­  2  t„ У  cos 2 óni   Jn('',Si ni)  ­ St'Jr,  tfX\nfwb  *SW = l­t„.  У  s i n 2 ó n i  v  Щ Ф ,  t*)\t.>wlx.  /   N A P R Ę Ż E N IA  I  P R Z E M I E S Z C Z E N I A  W  W I R U J Ą C YM  W A L C U  339  Rozwią zań  równań  (8) poszukiwać  bę dziemy  w postaci  sumy  (12)  ua  =  u l£H"i/д  ­+­w*  ( « =  /•,  = 0 ,  gdzie  /и =  — ­ 2 ­ ,  p =  —,  =  asoi,  F o =  —j­  jest  liczbą  Fouriera  (bezwymiarowy  Qo^i  ci  и   czas). Z ograniczenia  narzuconego  na  czas  t  wynika,  że n a p r ę ż e n ia  podane  w  zwią zkach  (17)  są  pomijalnie  małe  (Fo >  0,5), wobec  czego  w zwią zku  (13) m o ż na  pominąć  skład­ nik  o­°/;  .  Ponadto  z  p o r ó w n a n i a  zwią zków  (12), (14) i  (16) oraz  (13), (15) i  (17)  wynika,  że  u* =  uv  oraz  0% =  atrf.  i  ­ 340  К .  GRYSA  D o  wyznaczenia  pozostały  nastę pują ce  wielkoś ci:  u* i а *р  (a,  (i  =  r,  cp).  A b y je  znaleź ć,  należy  rozwią zać  układ  r ó w n a ń   .  d  I  1  д и *  l  8:  .  4 . 1  1  и м*  (18)  2  .  д О *  82и *  в е р **  ,  82и *  у  е в *  z  warunkami  (19)  1  5м*  и*  1  д и *  д и *  _  и %  г  д е р *  dr  г   =  у О * (а , <р *),  =  0.  Przemieszczeń  uf  i  и *  poszukuje  się  przy  pomocy  przedstawienia  Lamego  [2]:  u*  д Ф   1  1  &P  ~~dT  r  dep*  —  1  д Ф   д Ч >  r  dep*  ~  dr  (20)  Postać  naprę ż eń,  przy  wyznaczonych  potencjałach  Ф i  W,  uzyskuje  się  ze  zwią zków:  (21)  \  dr2}'  3.  Wyznaczenia  potencjałów  Ф i XV  Potencjały  Ф i  4'  muszą  spełniać  r ó w n a n i a  (/  c y 2  J H ~ (22)  oraz  warunki  1   +14­+(Л­»»{   o  i  (23)  (1 ­ 2 с 2 ) У 2 Ф  + 2 с 2  V 2 Y ' +  2 ­ ^ ­ 0  Г ЗФ  1  8WV  [er.  +  r  dep*\\  • ]\  ­0.  dr  L dr  r  dep*  1  dФ  "_dҐ  r  dep*  dr  =  inO*  (a,  cp*),  N A P R Ę Ż E N IA  I  P R Z E M I E S Z C Z E N I A  W  W I R U J Ą C YM  W A L C U  341  Funkcji  Ф i Ф—  wobec  (10)  —  poszukiwać  bę dziemy  w  postaci  (24)  \W(r,ę *)}  =  B =  I  !FS(r)j  cos ncp* +  \Ф 1  (г)  smncp"  Współczynniki  Фс„, Ф *п, W$i  SPjj  spełniają  nastę pują ce  r ó w n a n i a :  (25)  U 2  ,  l«fr a ­  r dr  +  1 1  1  „ 2 ( ­ A B 2 ) ­ 1 ,  rm  Pn(U*„)B°n­2c 2nRn(^  C e„  =  ­Ama2c2t„  V i  c o s ć )n i s i n t ) n i  2  _  ; 2  ni  л л   2c2nRn{K)B>n­P„  (l, Aj  q  =  4Anf l 2c2«rBe ̂   ^f­tf"  342  К . GRYSA  gdzie  oznaczono:  Pa(y,x) =  [2c 2n(n­l)­(yXn) 2]Jn(xy)  +  2c 2xyJn+1(xy),  =  (ń ­i)J„(x)­xJn+1(x))  ano.)  f­n  =  ,  //,„•  =  CIS,,;.  с   U k ł a d  r ó w n a ń  algebraicznych  (29)  otrzymano  wykorzystując  wzory na sumy  szeregów  Fouriera­Bessela,  wyprowadzone  w pracy  [13].  Rozwią zania  tego  u k ł a d u  są  nastę pują ce:  (30)  С   CO  n)  vi(cosf5„,sin  f3„,l  •|  =  ­4т п а2с \а5­'[Р Л 1,Х ,д  + 2с 2Я А К )]^\с о &2д п 1  )  № ~  Я Г 1.  gdzie  S„ =  P „ ( 1 , A„) P„  | l ,  ­  j ­ 4 t A n 2 R „  (A„)/?„  j .  Wykorzystując  zwią zki  (30),  (27),  (26)  i (23)  otrzymuje  się nastę pują cą  postać  potencja­ łów  Ф i  W:  0 0  CO  *  ,  ł 4  ­  2  V | ,  Г V  Л (gf%.)  cosó*icos  ( я р* + д щ )| , *<*, л  = w 2 {42  / ( й ч а д ы—г   л =  i  <—i  CO  oo  « / / ( e ,  c,*)  =  ­4ma 2c2  J T " ltnanS­ l[P(i,  ).n) + 2c 2Rn(K)\ *  0 0   к Л  c o s ó n i s i n ( / ł y * + ( 3 n i ) |  +  2 c 2 / M / n  i ­ i  *  co  xJ„\t>  gdzie  cos  o,..­  =  ,  = ­ ,  sin  0 . |   =   .  — ­ L=r^r,  .  •   •   4.  Przemieszczenia  i  naprę ż enia  Przemieszczenia  и *, u* oraz  naprę ż enia  a * , crjc,, ffr* uzyskuje  się, wstawiając  do  wzorów  (20)  i  (21) wyznaczone  postaci  potencjałów  Ф i  W. Podwójne  szeregi  Fouriera­Bessela,  poprzez  k t ó r e  wyraż ać  się bę dą  poszukiwane  wielkoś ci,  m o ż na  sprowadzić  do  pojedyn­ czych  szeregów  Fouriera,  wykorzystując  wzory [13]:  NAPRĘ Ż ENIA  I  PRZEMIESZCZENIA W WIRUJĄ CYM  WALCU  343  Jn  ( g / O  =  j £ _  /»(ę A«)  W  Л ­и (о А „)  (32)  Ј  i = i  \  2L2X$Mn([  LX„)  ^  (fA+L*%)J'a(ped  2LXnl/LXnMn()/LXn)  L  " V l  4.J'  00  ^  ( ^ , + 2 : 2 А 2 ) а д  2 l / Z A n M „ ( y L A n )  I  ' V ­ '  '  4I  Tutaj  Mn(z)  =  ]/ber 2z  + b e i 2 z ,  0„ (z) =  arc tg  bei„:  ber„z  '  gdzie  ber„z,  bei„z  oznaczają  funkcje  K e l v i n a  [3,  4].  Po  ż m u d n y ch  rachunkach  i  wykorzystaniu  wzorуw  (32)  otrzymuje  się  nastę pują ce  postacie  przemieszczeń  i  n a p r ę ż e ń:  00  ! /  I  (n7  \Л ­  R  (ni  \  sin  (rup* — a,)— (33)  u; (L>,4 :::)  =  | r n a c o s a,  U , / „ ( Л ,)  LA„A/„(|/L; Ł „)  + . g ^ ' ( e / H )  s i n L * ­ a „ + 0 n + 1 ( P | / Z r „ ) ­ o ^ i / Z X ) ­ f l ­ sin  ( « ^ ­ a „ ) +  . j f o  sin  U * ­ a „ ­ ­ < ? . + i (|/и „)+0п(У м ;)+f ]} sr 1 {[л ( i ­ ф ) + 2 с2 « 2 л „  ( x  x  Un{eK) + Rn(Qh)]­n 2Jn\Q~f\  {Pn(hK)  +  2c 2Rn(Xn)]\\l,  344  К  ­  GRYSA  (34)  и * (о ,  cp*)  =  т а  V"l  ntm cos ct„  Jni'jL)  ,  *  ч   U,JA?,)  COS('"/­3f")­ ­  cos  [ncp* ­  a„ ­0„(Q  I / L  A„) + 0„(\/LXN)] + L A „ M B ( i ' L A „ )  +  2c­ {  cos  (ncp* ­  a„) ­  •  — '  .  „  cos  /./„(/„)  ^;.„м „((/я)  ncp'­cca­ } S,71  {[P„ (1,  An) + 2c 2 i?„ (/,,)]:  (35)  e?,(e,y*)  ==­Jr̂ '( 2  / , , ? „ „  cos  a„ j  г  ,  г  ^  4,  sin (ncp* ­  a„) •  М , Л ( Л .)  Л  Mn(o)/TQ  [2c2n  (n­I)­  (о лп) 21  • • ' "V ^ 7 ­ Z i r ­  sin  [ , J ? ; * ­ a „ ­ 0 „  (  0,5a2x~l.  W  poszczególnych  wzorach  zastosowano  dodatkowe  oznaczenia:  t  L  .  /.„  cosa„  =  —,  sina„  =  s*(e)  ­  Р Л е ,  K)Pn  ( i ,  4 п ]­4Л; 2 /г „(/л )я„  (e  A b y  otrzymać  rozkład  naprę ż eń  i  przemieszczeń  w  rozważ anym  na  wstę pie  walcu,  należy  zwią zki  (33)  ­  (37)  oraz  (14)  ­  (16)  wstawić  do  wzorów  (12)  i  (13).  Otrzymane  sumy  bę dą  okreś lać  odpowiednio  pola  przemieszczeń  i  n a p r ę ż e ń,  jakie  powstaną  w  walcu  podczas  regularnego  reż imu  cieplnego.  Wyznaczone  w  ten  sposób  przemieszczenia  i  naprę ż enia  są  funkcjami  d w ó c h  zmien­ nych:  bezwymiarowego  promienia  Q =  rja  oraz  ką ta  cp*  =  ep—eot.  Ponadto  zawierają   trzy  stałe  parametry  bezwymiarowe:  с  =  — ,  L  =  ——,  Л  =  —  A„ =  .  Istotną  rolę   Ci  У ­  П  Ci  odgrywa  t a k ż e  wielkość  F o  =  — j ­  (liczba  Fouriera),  gdyż  przedstawione  wyż ej  wyniki  mają  sens  fizyczny  dla  czasu  t  okreś lonego  nierównoś cią  F o  >  0,5  [1,  11,  12].  v  /   346  К.  GRYSA  I  Wspomniane  wielkoś ci  bezwymiarowe,  a  więc  Q, cp*, F o ,  c,  L  oraz  A  utworzone  są   przez  dziewięć  p a r a m e t r ó w :  r, .  Rozważ my  przypadek,  gdy  w  ~  10 2  rad/s.  Przyjmijmy  również,  że  a  ~  10  cm.  W ó w ­ czas  L  ~  107,  Л  ~  10~ 2 ,  LA  ~  105,  ]/LA  ~  3 x l 0 2 .  Ponadto,  ograniczając  się  do  pierwszych  N  (gdzie  N  ~  103)  wyrazów  rozpatrywanych  szeregów,  m o ż na  przyjąć  oc„ ta  0.  Przy  takich  założ eniach  moż liwe jest  przedstawienie  naprę ż eń  о *р (a,  /9  =  /•, cp)  w  postaci  prostszej,  dobrze  przybliż ają cej  ich  wartość  ś cisłą  dla Q  e<0,5;  1>.  Pomijając  mianowicie  w  szeregach,  okreś lają cych  te  naprę ż enia,  składniki  proporcjonalne  do  Z r 1  jako  małe  w  p o r ó w n a n i u  ze  składnikami  proporcjonalnymi  do  L~0,S  oraz  wykorzystując  wzory  przybliż one  dla  funkcji  Mn(z)  i  0„(z)  duż ego  argumentu  [3,  4]:  z  ч  e x p ( z / | / 2 )  D  .  \  z  Tx  nn  M„(z)  =  .  ®n(z) =  —=  ­  т  +  ­ у ­,  ] / 2 л 2  |/2  «  2  otrzymuje  się  dla  n e  (0,5;  1>:  N  /  (38)  a*r (Q,  cp*)  *  tm  I  ­  | /   Д ­  exp [ ­  (1 ­ Q) j / ^ ­  ] s i n  \п ф *  ­ х  I Р „ (L>,  А „) л„ | ф )  ­  Р „ (1,  А „)/?„[е  ,  /  (39)  < г *9 ( е , ? * )  *  ­  i p l  J T 1 , . , ,  l / g e x p [ ­ ( l ­ g ) l / ^ | n ­ ] { e c o s [ « < r / ' +   sin(/ic>*+­?­)  Щ 1  А„  ­  Р . (1,  А „) * „  ( е § |  4­ 2 (1 ­  с 2 )  (о А „)2Л (о А „) [ p .  ( l , А)  +  2 с 2 * „  (Щ  ,  NAPRĘ Ż ENIA  I  PRZEMIESZCZENIA W WIRUJĄ CYM  WALCU  347  ДГ  /  •  (40)  &„(?, A)  A'„, ;.„) с   Z w i ą z k i.  (38) ­ (40)  są  dobrymi  przybliż eniami  wyraż eń  (35) ­ (37)  dla  w e  e (ex 10 2 ; e x 104) rad/s,  gdzie e ~  1. W y n i k a  z nich,  że przy  wzroś cie  prę dkoś ci  kałowej  w,  obszar,  w k t ó r y m  naprę ż enia  główne  przyjmują  wartoś ci  róż nią ce  się istotnie  od zera,  lokalizuje  się coraz  bliż ej  powierzchni  bocznej  walca.  Jednocześ nie  maleją  naprę ż enia  ­­  sin k * ­ M « | U )  + « » ( l 7 ­ 4 ) ] j ­  — /   / — . x  Л / Л ( | / / . Я Л )  J  | / Х Яп М п ( | / Ł Я „)  x  { л /я +1  (e l / Ш sin  [я с .* +0a+ ,(o  | / Z T „ ) ­ в . ( | / Ш ­ ~ ]­ ­ Ł ? n + 1 A / „ + 1 ( | / Z I „ ) s i n  [Й 9>*+оп +, (,/ 1я „)­en(i  LQ­  ^  (42)  *  Т^'Е ,'"  ( " 1 T ^ { e ' ! s i n " ? ' * "  —  +  Sin  L * ­ e . ( t , , / ^  + i  +  К  ( l / Ud  L  , 2 м  ( e j / i O  c o s [ / ; ? ; * _ 0 л ( „  2 Х ) + ^ ( 1 / Ш ]­ +  + ( 2 я  4­1)  л /и + 1  (j/ZX„)  sin  [ и ? * + 0 „+ 1  (|/ZX„)  ­ в Д у ВД  ­  ­ j ] } ) i  4»  /  i  348  К . GRYSA  л­ (43)  <•('_','/•'%>  i ­  ^ 2  / ^ " ' " ­ j  "r /  {e''cos"lr7* Q  M„(ov/ZX„)  M  ( j / Z T )  ­0„(s  |/LA„) + 0 „ ( | / Z A „ ) | } +  \LlnMn\yLX„)  {  T  G d y  a> = O,  otrzymujemy  с г *д = 0  (a, /? = r, cp).  5.  Podsumowanie  wyników  Wyznaczone  w pracy  naprę ż enia  i przemieszczenia  składają  się z dwóch  zasadniczych  s k ł a d n i k ó w :  pierwszego —  pochodzą cego  od  ruchu  obrotowego  walca,  oraz  drugiego  —  bę dą cego  skutkiem  ogrzewania  jego  powierzchni  bocznej.  Pierwszy  składnik  był znany  w  literaturze;  drugi  został  wyznaczony  dla chwil  czasu  odległych  od  chwili  począ tkowej.  Sprowadzenie  zagadnienia  dynamicznego  przy  pomocy  transformacji  układ u  współ­ rzę dnych  do  quasi­statycznego  pozwoliło  okreś lić  wielkoś ci  и *,  а *р  (a, /3 = r, cp)  na  stosunkowo  prostej,  c h o ć  rachunkowo  ż mudnej  drodze.  Otrzymane  wyniki  wskazują,  że  naprę ż enia  w  wirują cym  walcu,  grzanym  na  pobocznicy,  są  periodycznymi  funkcjami  czasu  (gdyż  cp* = cp—cot).  W  zależ noś ci  zatem  od  róż nicy  temperatur  działają cych  na  pobocznicę  (por.  rys.  1) naprę ż enia  bę dą  oscylować  w czasie z mniejszą  lub  wię kszą  ampli­ tudą.  W przypadku,  gdy temperatura  pobocznicy jest  stała,  naprę ż enia  o­a/i są równe  zeru  (gdyż tM  =  0).  Interesują ce  są wnioski  wynikają ce  z  rozważ ań  dotyczą cych  duż ych  oraz  małych  prę d­ koś ci  ką towych  co.  W przypadku  duż ych  prę dkoś ci  ką towych  mamy  do czynienia  ze  spię­ trzeniem  n a p r ę ż eń  obwodowych  przy  pobocznicy  walca,  naprę ż enia  zaś  promieniowe  i  ś cinają ce  są bardzo  bliskie  zera.  N a brzegu  walca  wartość  a*v jest  w przybliż eniu  r ó w n a  ­2yc2(0(a,  cp,  t)­t0a).  D l a  co bliskiego  zeru  również  najwię ksze  wartoś ci  osią ga  o*^ ; gdy co = 0, mamy  w  całym  przekroju  poprzecznym  walca  a*p = 0  (a, fi = r, cp).  Ten  ostatni  wynik  jest  zgodny  z  twierdzeniem  dotyczą cym  naprę ż eń  cieplnych  przy  ustalonym  reż imie  cieplnym  (por.  np.  [15],  s. 161).  Przedstawione  w y n i k i  mają  postać  szeregów  Fouriera  o  dosyć  skomplikowanych  współczynnikach.  Zaletą  jednak  takiego  przedstawienia  jest  fakt,  że  współczynniki te  zależą  tylko  od czterech  bezwymiarowych  p a r a m e t r ó w ,  w tym od  bezwymiarowego  pro­ mienia  Q. Otrzymane  wyniki  stanowią  zatem  wygodne  narzę dzie  do  b a d a ń  modelowych.  NAPRĘ Ż ENIA  I  PRZEMIESZCZENIA  W  WIRUJĄ CYM  WALCU  349  /   Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  K.  GRYSA,  Nieustalone pole  temperatury  w  wirują cym  walcu  kołowym,  wywołane  utrzymywaną  na jego  pobocznicy odcinkami  stalą  temperaturą ,  Mech. Teoret.  i  Stos., 2,  15  0  977).  2.  W.  NOWACKI,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa  1970.  3.  G. N .  WATSON,  A  treatise  on  the  theory  of  Bessel functions,  Cambridge  University  Press, Cambridge  1962.  4.  N .  W.  M C L A C H L A N ,  Funkcje Bessela  dla  inż ynierów,  PWN,  Warszawa  1964.  5.  S.  TIMOSHENKO,  I.  N .  GOODIER,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  Arkady,  Warszawa  1962.  6.  Y.  C.  F U N O ,  Podstawy mechaniki  ciała  stałego,  PWN,  Warszawa  1969.  7.  T.  M U R A ,  Dynamical thermal stress  due  to  thermal shocks,  Res.  Rep.  Faculty  of  Engng.,  Meiji  Univ.,  8,  1956.  8.  W.  DERSKI,  A  dynamical problem  of  thcrmoelasticity  concerning  a  thin  circular plate,  Arch.  Mech.,  2,  13 (1961).  9.  К .  GRYSA,  M .  KWIEK,  Stan  naprę ż enia  w walcu  kołowym  wywołany  przyłoż eniem  stałej  temperatury  na  pobocznicy,  Mech. Teoret. Stos.,  1,  15 (1977).  10.  H .  PARKUS,  Instationare  Wdrmespannungen,  Springer­Verlag, Wien  1958;  tłum.  ros.,  Moskwa  1963.  11.  K .  GRYSA,  Rozkład  temperatury  i  naprę ż eń  w  walcu  kołowym,  wywołany  ruchomym  niesymetrycznym  ogrzewaniem pobocznicy,  Rozpr.  doktorska,  Politechnika  Poznań ska,  1975.  12.  А.  Г.  Х А Р Л А М О В,  И з м е р е н и е  т е п л о п р о в о д н о с т и  т в е р д ы х  т е л ,  А Т О М И З Д А Т,  М о с к ва  1973.  13.  К.  GRYSA,  О sumowaniu pewnych  szeregów  Fouriera­Bessela,  Mech. Teoret. Stos.,  2,  15  (1977).  14.  L . I.  SIEDOW,  Analiza  wymiarowa  i teoria podobień stwa  w mechanice,  WNT,  Warszawa  1968.  15.  H .  И .  М У С Х Е Л И Ш В И Л И,  Н е к о т о р ы е  о с н о в н ы е  з а д а ч и  м а т е м а т и ч е с к о й  т е о р и и  у п р у г о с т и ,  И з д.  Н а у к а,  М о с к ва  1966.  , .  Р е з ю ме   [.  Н А П Р Я Ж Е Н ИЯ  И  П Е Р Е М Е Щ Е Н ИЯ  В  К Р У Г Л ОМ  В Р А Щ А Ю Щ Е М СЯ   Ц И Л И Н Д РЕ  П РИ  Н Е С И М М Е Т Р И Ч Е С К ОМ  Н А Г Р Е ВЕ  Е ГО   Б О К О В ОЙ  П О В Е Р Х Н О С ТИ   i  В  р а б о те  п р и в е д е ны  н а п р я ж е н ия  и  п е р е м е щ е н ия  в  к р у г л ом  в р а щ а ю щ е м ся  ц и л и н д ре  во  в р е мя   р е г у л я р н о го  т е п л о в о го  р е ж и м а.  П о л у ч е н н ое  р е ш е н ие  и м е ет  в ид  р я д ов  Ф у р ь е,  п р е д с т а в л е н н ых   п ри  п о м о щи  б е з р а з м е р н ых  к о о р д и н ат  и  п а р а м е т р о в,  с о д е р ж а щ их  ф и з и ч е с к ие  к о н с т а н т ы.  S u m m a r y  T H E  STRESSES A N D  DISPLACEMENTS  IN  A  ROTATING  CIRCULAR  CYLINDER  D U E  TO  A X I A L L Y  NON­SYMMETRICAL  HEATING  OF  ITS  L A T E R A L  S U R F A C E  The  problem  of  stress and  displacement distributions a rotating circular cylinder heated  on  its  lateral  ^  surface is  dealt with in case of  a regular thermal process. The  solution is  given in  a form  of  Fourier series  involving dimensionless variables and  dimensionless parameters determined by  the  mechanical and  thermal  properties  of  material.  INSTYTUT  MECHANIKI  TECHNICZNEJ  POLITECHNIKI  POZNAŃ SKIEJ  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  20 paź dziernika  1976  r.