Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf


M  E C H A N  I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
1  S T O S O W A N A 

3,  IS (1977) 

OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  NA  PODŁOŻU  SPRĘ Ż YSTYM 
Z  UWZGLĘ DNIENIEM  OGRANICZEŃ  NAPRĘ Ż EŃ  N O R M A L N Y C H 

M A C I E J  M A K O W S K I ,  G W I D O N  S Z E F E R  ( K R A K Ó W ) 

1.  Wstęp 

Przedmiotem  pracy  bę dzie  optymalizacja  kształtu  (szerokoś ci)  belki  spoczywają cej 

na  podłożu sprę ż ystym  Winklera  z uwagi na minimum  obję toś ci  przy ograniczeniu  n a p r ę ż eń  

normalnych. 

W  tym  celu  w  p r o s t o k ą t n y m,  kartezjań skim  układzie  współrzę dnych  Otx  rozważ ymy 
belkę o skoń czonej  długoś ci,  sprę ż ystą,  j e d n o r o d n ą ,  izotropową  o przekroju  p r o s t o k ą t n ym 

(rys.  1). 

p  =kx 

Rys.  1 

•  

L i n i a  ugię cia  belki  opisana  jest  znanym  r ó w n a n i e m  róż niczkowym 

(1.1)  (EJx")" + kx  =  q(t), 

gdzie E oznacza  m o d u ł  Younga,  J—  moment  bezwładnoś ci,  x(t)  —  ugię cie  belki,  q(t)  — 
obcią ż enie,  к — współczynnik  podatnoś ci  p o d ł o ż a. 

Rozważ ać  bę dziemy  belkę  spoczywają ca  na podłożu  o stałym  współczynniku  p o d a t n o ś ci 

к ,  o  stałej  wysokoś ci  i zmiennej,  lecz  symetrycznej  wzglę dem  osi belki,  szerokoś ci. 
Szerokość  belki  moż emy  wyrazić  w postaci 

(1.2) 
\2EJ(t)  12 

*(0  =  ,.3У  =  h
3 E m ( 0 ' h3E 

gdzie  mit)  =  EĄ t). 



360  M .  MAKOWSKI,  G .  SZEFER 

Szukanie  minimum  obję toś ci  belki  przy  takich  założ eniach  r ó w n o w a ż ne  jest  szukaniu 

minimum  f u n k c j o n a ł u ] m(t)dt. 

o 

W  dalszym  cią gu  pracy  belkę  bę dziemy  t r a k t o w a ć  jako  układ  sterowania,  rozwią zując 
nieklasyczny  problem  wariacyjny  na  podstawie  metody  programowania  dynamicznego 
BELLMANA. 

2.  Sformułowanie  problemu 

Rozważ my  belkę  opisaną  równaniem 

(2.1)  M O * " ] "  =   q­kx.  ' 

Warunek  ograniczają cy  naprę ż enie  normalne 

(2.2)  \o\<od; 

funkcjonał  postaci 

(2.3)  J0  =   /   ( O A ; 

Należy  wyznaczyć taki  kształt  belki,  który  przy  spełnieniu  (2.1)  i (2.2)  realizuje  minimum 

funkcjonału  J0. 

3.  Rozwią zanie  problemu 

Ograniczenie  (2.2)  zastą pimy  równoważ nym  ograniczeniem  na  drugą  pochodną  ugię cia. 

Korzystając  ze  wzoru 

n n  „  \M\  \EJx"\  h  \Ex"h\ 
(3.1)  .  a=  w  =  j  •  2  =  •  2  •  

i  uwzglę dniając  (2.2),  otrzymujemy 

(3.2)  \x"\  <  o­o, 

•  •  df  2cr, 
gdzie  OQ  = 

Eh 

Oznaczając  x"  =  v,  k t ó r e  traktujemy  jako  nowe  sterowanie  [1],  m o ż na  sformułowany 

problem  przedstawić  nastę pują co: 

(3.3)  [m(t)x"]"  =  q­kx, 

(3.4)  x"  =  v, 

(3.5)  D  =  {v:  \v\  <  a0), 

i 
(3.6)  min  I  m{t)dt. 



OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  NA  PODŁOŻU  SPRĘ Ż YSTYM  361 

R ó w n a n i e  (3.4)  przedstawiamy  w postaci  u k ł a d u  r ó w n a ń  rzę du  pierwszego: 

(3.7)  i  =  x2,  x2  =  v, 

gdzie  x,  =  x. 
i 

Umiejscawiając  zagadnienie szukania  min/m(t)dt  w szerszej  klasie ze zmienną  dolną  
VSQ  b 

granicą  całkowania,  mamy 

(3.8)  f(x,  t)  =  min  i  m(u)du, 
ч ел  J 

gdzie  x  =  ( x x ,  x2). 

R ó w n a n i e  B E L L M A N A  [1]  dla  wyznaczenia  funkcji  /  ma  postać] 

et  cxt  dx2  J 
(3.9)  0 =  min 

Zależ ność  w nawiasie  kwadratowym  od v jest  liniowa,  czyli  minimum  tego  wyraż enia 
bę dzie  osią gnię te  na brzegu Q. 

M a m y  więc  równoważ ną  p o s t a ć  r ó w n a n i a  Bellmana 

dx2 
(3.10)  0 =  i n f \ m + ^ ­  +  ­p­x2 

a  stąd  otrzymujemy  sterowanie  optymalne 

Я  / * 

(3.11)  v  =  ­o­osgn^r—, 

ox2 

k t ó r e  moż na  zapisać  w równoważ nej  postaci 

(3.12)  \x"\  = o­o. 

Rozwią zaniem  optymalnym  postawionego  zadania  jest  więc  belka  r ó w n o m i e r n e j 
wytrzymałoś ci. 

Jakoś ciowy  charakter  sterowania  został  znaleziony  stosunkowo  prosto, jednak  w  dal­

szym  cią gu  należy  p o s z u k a ć  W K W  na  to, aby belka  była  równomiernej  wytrzymałoś ci 

i  p o d a ć  jej  k o n s t r u k c j ę . 

4.  Belki  o  równomiernej  wytrzymałoś ci  na  podłożu  sprę ż ystym 

4.1.  Przypadek  krzywizny  stałego  znaku. Roz w a ż my  począ tkowo  najprostszy  przypadek, 
czyniąc  zastrzeż enie 

(4.1)  x">0  dla  f e < 0 , / > . 

Warunek  okreś lają cy  kształt  belki  ma p o s t a ć :  a =  ad,  k t ó r y  zgodnie  z  (3.1)  m o ż na 
zapisać  

„л  Ex"h 
(4.2)  — ­ — =  ad. 

1 

5  Mechanika  teoretyczna 3/77 



362  M .  MAKOWSKI,  G .  SZEFER 

R ó w n a n i e  l i n i i  ugię cia  belki  po  wykorzystaniu  wzoru  na moment  bezwładnoś ci  przyjmuje 

p o s t a ć  >  t 

6 

Ex"h 
b(t)\  =q­kx 

lub 

—  [adb(t)\"  =  q­kx 

po  wykorzystaniu  zwią zku  (4.2). 

M a m y  stąd 
I 

(4.3) 

D o  wyznaczenia  poszukiwanego  kształtu  belki  mamy  więc  układ  dwóch  r ó w n a ń  (4.2) 

(4.3).  Są  to r ó w n a n i a  róż niczkowe  rzę du  drugiego,  należy  więc  dołą czyć  do  nich  po  dwa 

warunki  począ tkowe  lub  brzegowe  ze  wzglę du  na x(t) i b(t). 

%(t)*ą .0 

Rys.  2 
•  •  ' 

Jako  przykład  rozważ my  belkę  utwierdzoną  na  jednym  i  swobodną  na drugim  koń cu, 

obcią ż oną  w  s p o s ó b  stały  q(t)  = q0  — const. 

Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (4.2)  ma  postać  

Oj 

Eh 

•  

t2  +  Ci  t+C2, 

a  po  uwzglę dnieniu  w a r u n k ó w  począ tkowach  x(0)  =  x'(0)  = 0  otrzymujemy 

(4.4) 
Od  o 

X  =  — t 
Eh 

Po  wstawieniu  zwią zku  (4.4)  do  (4.3)  otrzymujemy  r ó w n a n i e 

6  /  к  а ,  Л  
(4.5) 

k t ó r e g o  rozwią zanie  ma  p o s t a ć  

ti,'A  6  /  k<rd A 

•  •  

(4.6) 
3?o 
h2au  2Eh

3 

Warunki  począ tkowe  dla  b(t)  otrzymujemy  uwzglę dniają c,  że  moment i siła  poprzeczna 

powinny  być  równe  zeru  dla  t = /. M a m y  wię c: 

EJx"\t=l  = 0=>b(l) = 0, 

(EJx"y\t.= ,  = 0=>b'(l)  = 0. 

I 



OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTYM  363 

Uwzglę dniając  te warunki  mamy  poszukiwany  kształt  belki 

D o  wyniku  (4.7)  moż emy  dojść  również  inną  metodą.  Z założ enia  x" =  a0,  otrzymu­

k 
jemy  reakcję  p o d ł o ż a  r ó w n ą ­  ­  a0t

2.  Oznaczmy 
2 

к  
(4.8)  q(t) =  a0­—cr0t

2. 

Moment  od obcią ż enia  q(t)  liczony  z prawej  strony  przekroju  ma p o s t a ć  

//  к  \ 
(4.9)  ,  M(t) =  ­  J  U o ­  —  a0u

2\(u­t)du. 

P o  wykonaniu  całkowania  otrzymujemy 

(4.10)  M W . _ , 0 J ' ­ t + _^(_C_4'+jl). 
Powyż szy  wynik  otrzymaliś my  przy  założ eniu  x" >  0, czyli  M(t) jest ujemne  dla  t e <0,  /). 

Poszukiwany  kształt  belki  otrzymamy,  wykorzystując  wzór  •> 

(4.11)  b{t)=  ­ £ ­ W ( t ) \ . 

na л  
Ponieważ  \M(t)\  — —M(t), otrzymujemy  ostatecznie  wzór 

•  

(4  12)  b(t) = 'Ж **  H « 4 M Ł ^ x i L ^ ­ J « ! Ą  

identyczny  ze wzorem  (4.7)  otrzymanym  w poprzedniej  metodzie. 
Otrzymaliś my  optymalny  kształt  belki  przy  uczynionym  a priori założ eniu  x" > 0 

d l a / e ( 0 , / > . 

Wyprowadzimy  obecnie  warunek  konieczny  i  wystarczają cy  na to, aby x" > 0  dla 

t  e  (0,/>. 

Twierdzenie  (4.1) 

Z a ł o ż e n i e:  x"  >  0  dla  r e ( 0 , / > . 

•  k 

Teza:  q 0 ­ ^ o 0 l
2  Ss 0. 

D o w ó d :  x " > 0 => x " =  cr0  x =  ~
0 ­ / 2  => /ex =  ­ y ° o ' 2 ­

,  ч  df  к  , 
Oznaczmy  q(t) =  с 70 ­ у ­ о ­0 Г

2 . 

Ponieważ  q(t) jest  funkcją  maleją cą,  musi  przyjmować  wartoś ci  dodatnie dla t e <0,  / ) , 
gdyż  w przeciwnym  przypadku  nie byłoby  spełnione  założ enie  x " > 0.  Z a u w a ż m y, że 



364  M .  MAKOWSKI,  G . SZEFER 

wartość  równą  zeru  może  przyjmować  q{t) jedynie  dla t = l i że prawdziwa  jest  nastę­

pują ca  implikacja: 

к  к  
q0­IT­(f0t

2>0  dla  t e <0,  /> => q0—^­a0l
2  5* 0,  cbdo. 

A  Z 

Twierdzenie  (4.2) 

Z a ł o ż e n i e: 

Teza: 

D o w ó d : 

qo­^­<yol
2>0. 

x">0  dla  r e < 0 , / > . 

4o­~o0l
2  ^ 0 =>  9 ( 0 f  q0­Ł^0fi  > 0  dla  r 6 < 0 , / ) . 

Moment  obliczony  od  obcią ż enia  q(t)  przyjmuje  wartoś ci  ujemne,  czyli  x"  przyjmuje 

wartoś ci  dodatnie,  cbdo. 

Otrzymaliś my  więc  warunek  konieczny  i  wystarczają cy  na to, aby x" było  dodatnie 

w  postaci  nierównoś ci 

(4.13)  q0­^<r0i
2ź O. 

W z ó r  (4.12)  przedstawia  więc  optymalny  kształt  belki  przy  założ eniu,  że parametry: 

к  

q0,  k, a0 i /  spełniają  relację:  q0—— aal
2  ^  0. Z a u w a ż m y,  że jeż eli  we wzorze  (4.12) 

przejdziemy  w granicy z к do  zera  otrzymamy  znane  rozwią zanie  Galileusza: 

(4.14)  6(0 
3ffo  {2  6q0l  3l

2q0 
h2ad  h

2ad  h
2ad 

4.2.  Przypadek  zmiany  znaku  krzywizny.  R o z w a ż ać  teraz  bę dziemy  przypadek  z  jedno­

k r o t n ą  zmianą  krzywizny  parabol w przedziale  (0,0; z a k ł a d a m y  wię c,  ż e: 

(4.15) 
f  cr0  dla  0 ̂   t ^  at, 

c  ~ 1 — cr0  dla  a x  < t < /, 

gdzie ax jest  nieznanym  punktem  leż ą cym  wewną trz  przedziału  (0,  /). 

N a  podstawie  założ enia  (4.15)  mamy 

*i(0 
1 

a0t
2  dla  0 < t < at, 

a  po uwzglę dnieniu  w a r u n k ó w  zszycia: 

=  x2(a1),  x[(at)  = x'2(aj). 

Otrzymujemy 

x2(t) = —Y
a o t 2  + 2a0a1  t­a0a\  dla  ax < t < /. 



OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE  BELKI  NA  PODŁOŻU  SPRĘ Ż YSTYM  365 

Przyjmując 

(4.16)  q(t) = 

к  
­q0­2

ato2  d l a  o < 

1°~k{—Y't2  +  2<JoOit­a0alj  dla  at  <  / <  /, 

sprowadzamy  zagadnienie  do  belki  statycznie  wyznaczalnej.  Moment  od  obcią ż enia  q(t) 
dla ax <  ? < / ma  postać  

W =  ­  J  ^ o ­ / c ( ­ ^ M
2 + 2 c r o a l M ­ f f 0 a 2 j ] ( M ­ / ) r f M . 

Po  wykonaniu  całkowania  otrzymujemy 

/  l2  t2  \  к  IP  1*  t*\ 
(4.17)  M{t)  =  (r/0 + A:o­0«f)^/ —­2~  2~j

 +  ^ ( " З ­ ' —4  Г2 /  + 

Podobnie  w przedziale  0 < t < ax mamy 

, ,  . . .  .  ( a , —  t)2  к а01а *  a]  f 4 \  
(4.18)  M ( 0  =  ­ g o ± l ­ ^ + ^ ± ­ ­ j ­ t + ^ + 

,J  ,  l2  a\\  k i l 3  1*  crt\ 
+  (q0 + k o­o a\)  l a , / —2   H  + у  "o \ T  0 l  — 4  12*/  

l'3  'l2  a?\ 

I  + 2 ^ ( T 0 a 1 l ­ ^ — • y
f l I l + _ 6 _ / ­

Wartość  momentu w punkcie t = ax wynosi  . 

(4.19)  M(ax) = («o+^ o a
2 )( a i /­_C­­^| + A­o­0(­Ja i­­^­­^­] + 

+  2к (т0  а Л —  2T
AI+~6~}' 

Na  podstawie  zwią zku  EJx"  =  ­ M i  założ enia,  że  w  punkcie ax  nastę puje  skok x" 
oraz faktu, że moment od  obcią ż enia  cią głego jest funkcją  cią głą,  wnioskujemy, że M(at)  = 
= 0. 

Warunek  M(ax)  = 0 pozwala  wyznaczyć  nieznaną  wartość  odcię tej  punktu,  w  którym 
nastę puje  zmiana  krzywizny.  Po  przekształceniach  wyraż enia  (4.19) i  przyrównaniu do 
zera  otrzymujemy  równanie  stopnia  czwartego 

Ш  ^ ­ , » + ( ^ + ^ ) . ; _ ( ^ + 4 , ) 0 l + ( j | ^ 4 , f  o. 

Rozwią zanie  tego  równania  ze  wzglę du  na ax  pozwoli  wyznaczyć  optymalny  kształt  belki 

po  wykorzystaniu  zwią zku  b(t)  =  , f  ­ \M(t)\. 



З бб  М . MAKOWSKI,  G . SZEFER  ' 

Pierwiastki  r ó w n a n i a  stopnia  czwartego  okreś lają  znane  wzory,  jednak  w  naszym 

przypadku  istotne jest  znalezienie  W K W na to, aby  r ó w n a n i e  (4.20)  posiadało  dokładni e 

jeden  pierwiastek  rzeczywisty  w przedziale  (0,  /).  W tym  celu  oprzemy  się na  nastę pują cej 

definicji  i  twierdzeniu [2]: 

Definicja: Jeż eli  w  cią gu  skoń czonym  liczb  rzeczywistych  С1г  C2,  ••, Cn  zachodzi 
dla  1 < к <  n — l  nierówność  Ckx Ck+1  < 0, to mówimy,  że  para  liczb  Ck, Ck+l  stanowi 
o d m i a n ę . 

R ó w n i e ż  w  przypadku,  gdy jest Ckx  C t + P + I  <  0,  przy  czym  Ck+S  = 0 dla  s = 1,2,  ... 
...,p  (1 < к , 1 < p, k+p <  «), to mówimy,  że  para  liczb  stanowi  o d m i a n ę . 

W  cią gu  2, 3,  —5,  —1, 0,  —2,  7, 0, 0,  — 9,  —5  o d m i a n ę  tworzą  pary:  3, —5; —2,1; 

7,  —9.  M a m y  więc  trzy  odmiany  w tym  cią gu. 

Reguła  Fouriera.  Tworzymy  dla  danego  wielomianu  f(x)  stopnia  n ciąg  jego  pochod­
nych:  f(x), f'(x),  f"(x),  fm(x).  Pochodna fw(x)  jest  stała.  Oznaczmy  przez N(x0) 
ilość  odmian w cią gu  liczb f(x0),  f'(x0),  ...,f

m(x0). 

Twierdzenie  Budana­Fouriera.  Niech  f(x)  bę dzie  wielomianem  rzeczywistym  i  niech 
a < P,f{a)  ф 0,  f(fi)  ф 0. Wtedy  ilość  zer wielomianu  f(x) w przedziale  (a,/S)  wynosi 
N(a)—N((}),  lub  jest  od tej liczby  mniejsza  o liczbę  parzystą. 

Rozważ ając  ­M(ax)  zauważ amy,  że / jest  dwukrotnym  pierwiastkiem  tego  wielomianu 

(gdyż  M(l) = 0 i M'(l) =  0).  Wielomian  M ( c x )  m o ż na  więc  rozłoż yć  na  czynniki: 

,  1 4 ,  i2<?0  ,  3  , 2 \ 
M ( a j  =   ( a i ­ / ) ^ ­ ­ ^ ] + ^   +   T P | . 

Wystarczy  teraz  z b a d a ć  zera  drugiego  czynnika  w przedziale  (0,  /);  opierając  się na 
twierdzeniu  Budana­Fouriera  mamy: 

14 
/ J ' ( « I )  =  2at  ­  —l, 

A"(«i)  =  2, 

л (о)  = 4^+4-/ 2 >°. 
5к ап  5 

• " . . . • 

Л '(0)  =  ­ ~i <  о , 
5 

Л "(0)  = 2 >  0. 

M a m y  więc  N(0)  =  2. 

4 

h"(l)  = 2 >  0. 



OPTYMALNE  KSZTAŁTOWANIE BELKI  NA PODŁOŻU  SPRĘ Ż YSTYM  367 

Jeż eli  /?(/)  bę dzie  ujemne,  wtedy  N(l)  =  1  i  zgodnie  z  twierdzeniem  Budana­Fouriera 

ilość  zer  h(ai)  w przedziale  (0, /)  wynosić  bę dzie  N(0)­N(l)  =  1. 
Otrzymaliś my  więc W K W na  to,  aby  r ó w n a n i e  (4.20)  miało  d o k ł a d n i e jeden  pierwiastek 

leż ą cy  w  przedziale  (0, /)  w  postaci 

5  5ka0 

lub  po  przekształceniu 

(4.21)  qo­~aoF­<0. 

Rozwią zując  r ó w n a n i e  kwadratowe  1 

,  14  ,  12<7o  3  „ 
a\—z­la.+­=1­±—   + ­z­l

2  =  0, 
1  5  1  5A:cr0  5 

otrzymujemy  dokładni e  jeden  pierwiastek  leż ą cy  w  przedziale  (0,/) 
. . . 

(4 22)  =  ­ ­ ­  /  ­  ­ ­ ' l /  ­^­l2  ­
5  2  у  25  5ka0 

Jeż eli  rozważ ymy  przypadek  ogólny,  gdy  obcią ż enie  jest  dowolną  funkcją  q(J)  i  z a ł o ­

ż ymy,  że x"  zmienia znak  w przedziale  (0, /) n razy w punktach  al,a2,  a„, to dochodzi­

my  do  nastę pują cego  u k ł a d u  r ó w n a ń : 

/  л  

­  jq(u)  (u­an)du­ke0  ^V  ( _  Щ  Li­  JL  ­  Ш  

a„  fc­1  "  ' 

,  7  P  I"  a{\ 

л  

+ 2 K 2 ( ­ 1 ) l + 4  y ­ y « , + Y  =°­

« „­,  * ­ i "  i 

+ ( ­ i y ­ i 4 a0(­4
f l«­+­4'

L +4r)+ 

?  /  а 2  а2  \ 
­  J  9 ( « ) ( « ­ « 2 ) ^ ­ ^ 0 ( ­ «

2 + а
2 )  ( f l 2 f l 3 ­ _ J L _ _ ^  + 

, k  I  <4  a*  a%\  „,  ,  J e j  a?  a |  \  „ 



368  M .  MAKOWSKI,  G.  SZEFER 
\  

/  Ci  u  \ 

q(u)  (u­a^du­kcToi­a2)  (OjOz —~ ­  чГ  + 

к  I  al  a\  a\  \  „, 
+  ­ 2 ­ cr0l  ^­Oj  +  ­~  +  2k a0  a Ł  (  =  0  . 

Jeż eli  istnieje  rozwią zanie  tego  u k ł a d u  r ó w n a ń  spełniają ce  warunek  0  <  ax  <  a2  < 

, < . . . <  a„  <  l,  to  daje  ono  poszukiwane  punkty  zmian  krzywizny  parabol. 

W  pracy  wykazano,  że  optymalne  kształtowanie  belek  na  podłożu  sprę ż ystym,  z  uwagi 

na  minimum  obję toś ci  przy  ograniczeniu  naprę ż eń  normalnych,  prowadzi  do  belek  r ó w n o ­

miernej  wytrzymałoś ci.  W  odróż nieniu  od  znanych  rozwią zań  u k ł a d ó w  statycznie  wyzna­

czalnych  —  wyznaczenie  kształtu  belki  na  podłożu  winklerowskim  nastrę cza  poważ ne 

t r u d n o ś c i.  W  pracy  ograniczono  się  jedynie  do  przypadku  belki  jednoprzę słowej,  otrzy­

mując  ś cisłe  analityczne  rozwią zanie.  Poszukiwanie  optymalnego  rozwią zania  dla  belki 

cią głej  pa  podłożu  Winklera  wymagałoby  j u ż  odpowiedniej  procedury  numerycznej. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  R.  BELLMAN,  S.  DREYFUS,  Programowanie dynamiczne,  PWE,  Warszawa  1967. 
2.  A .  FELDBAUM, Podstawy teorii optymalnych  układów  sterowania automatycznego,  PWN,  Warszawa  1967. 
3.  J. Tou, Nowoczesna teoria sterowania,  WNT,  Warszawa  1967. 
4.  A.  TUROWICZ,  Geometria  zer  wielomianów,  PWN, Warszawa  1967. 

О П Т И М А Л Ь Н ОЕ  П Р О Е К Т И Р О В А Н ИЕ  Б А Л КИ  НА  У П Р У Г ОМ  О С Н О В А Н ИИ  
П РИ  О Г Р А Н И Ч Е Н ИИ  В Е Л И Ч И НЫ  Н О Р М А Л Ь Н ЫХ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЙ  

В  р а б о те  р а с с м о т р е на  з а д а ча  об  о п т и м а л ь н ой  ф о р ме  б а л к и,  л е ж а щ ей  на  у п р у г ом  о с н о в а н ии  
В и н к л е р а.  И с к о м ым  я в л я е т ся  м и н и м ум  о б ъ е ма  п ри  о г р а н и ч е н ии  в е л и ч и ны  н о р м а л ь н ых  н а п р я­
ж е н и й.  П ри п о м о щи  д и н а м и ч е с к о го  п р о г р а м м и р о в а н ия  п о л у ч е но  р е ш е н ие  в  в и де  р а в н о п р о ч н ой  
б а л к и.  Д ан м е т од  п о с т р о е н ия  т а к ой  б а л к и,  л е ж а щ ей  на у п р у г ом  о с н о в а н и и. 

S u m m a r y 

OPTIMUM  SHAPE  DESIGN  OF A  B E A M  RESTING  ON ELASTIC 
FOUNDATION  WITH  N O R M A L STRESS  RESTRICTIONS 

In the  paper  the  problem of shape optimization  of a beam resting on elastic foundation  is  formulated. 
The  problem of minimum weight is considered,  under the condition  of limited normal stresses. The solution 
is  obtained  by means of  dynamic  programming.  The problem  of  a beam resting on  a Winkler­type elastic 
foundation  of uniform strength is considered in detail. 

P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A 

5.  Zakoń czenie 

Р е з ю ме  

Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  15 listopada  1976 r.