Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf


/ 

M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3,  15  (1977) 

PEWNE  PRZYKŁADY  ZASTOSOWANIA  TEORII  KATASTROF 
W  MECHANICE*> 

M .  J .  S  E w  E L L  (READING,  W .  BRYTANIA) 

1.  Wstęp 

Tematem  artykułu  jest  zastosowanie  teorii  katastrof  w  mechanice; jego  celem  podanie 

przykładów,  zrozumiałych  bez  specjalistycznego  przygotowania  matematycznego. 

Wię kszość  podanych  przykładów  jest  oryginalna.  Powstały  one  przy  okazji  wygła­

szania  przez  autora  wykładów  na  temat  zastosowań  teorii  katastrof,  z  któryc h  pierwszy 

miał  miejsce  na  zebraniu  Towarzystwa  Matematycznego  w  Reading  w  1974  г .,  a  póź niej 

m.in.  w  Instytucie  Podstawowych  P r o b l e m ó w  Techniki  w  Warszawie  (w  1975  г .). 

Ze  wzglę du  na  t r u d n o ś ć  i  złoż oność  dowodu  twierdzenia  Thoma  [1]  i  twierdzenia 

o  uniwersalnym  wygładzaniu,  wydaje  się  uzasadnione  najpierw  p o k a z a ć  na  p r z y k ł a d a c h 

co  twierdzenia  te  mówią,  a  do  d o w o d ó w  powrócić  póź niej. 

A r t y k u ł  zawiera  również  opisy  prostych  doś wiadczeń.  Czytelnik  bę dzie  mógł  skon­

s t r u o w a ć  własne  przykłady,  na  wzór  tu  zamieszczonych,  i  przeanalizować  je  metodami 

teorii  katastrof.  .  •  

Stosowanie  tej  teorii  ma  wiele  aspektów,  k t ó r e  powinny  być  przedstawione  zanim 

osią gnie  się  pełne  zrozumienie  jej  gię tkoś ci  interpretacyjnej.  Zadaniem  artykułu  jest  d a ć  

pewne wyobraż enie  o  temacie  bez  szczególowego  zgłę biania  go.  R o z w a ż a ny  jest  problem: 

jeż eli teoria katastrof  może  opisać  zdarzenia  tak  skomplikowane jak  ewolucja  embrionu  [2], 

czy  inne  typy  morfogenezy  biologicznej  [3],  to  czy  m o ż na  ją  zastosować  do  iloś ciowej 

analizy  p r o b l e m ó w  morfogenezy  mechanicznej? 

Prostym  przykładem  tej  ostatniej  może  być  quasi­statyczna  ewolucja  konstrukcji  od 

jej  stanu  «naturalnego»  (beznaprę ż eniowego)  tzn.,  uż ywając  terminologii  biologicznej, 

wyłowienie  jej  « o ś r o d ka  organizują cego».  Teorię  katastrof,  jak  dotychczas,  sformułowano 

jedynie dla  przestrzeni  o  skoń czonej  liczbie  wymiarów.  Dlatego  bezpoś rednie  zastosowanie 

jej  do  p r o b l e m ó w  mechaniki  wymaga  rozważ enia  ich  skoń czenie­wymiarowych  aproksy­

macji.  Pewne  wskazówki  daje  tu  praca  [4]. 

2.1.  Katastrofa  kuchenna.  A b y  wprowadzić  w  temat,  zacznijmy  np.  od  apetytu  i  prze­
ś ledź my  nastę pnie  pewien  schemat  geometryczny  i  zachodzą ce  zależ noś ci.  Przypuś ć my, 

że  ktoś  został  poczę stowany  jedzeniem.  Jakie  czynniki  wpływają  na  R—jego  z a p a ł  do 

*' Pracę  przetłumaczył  z angielskiego dr  S.  Ś wiszczowski,  a  opracował  dr  hab.  J. A . Konig. 

2.  Proste­przykłady  katastrof 



316  M .  J.  SliWLLL 

jedzenia?  Oczywiś cie, jednym  z  najistotniejszych  jest  głód  / / l u b  jego przeciwień stwo — Я  — 

nasycenie.  Istnieje  również  i  drugi  czynnik,  k t ó r y m  jest  smakowitość  jedzenia  P  lub  jego 

przeciwień stwo  —P. 

Funkcja  R{H,  P)  wyraża  j e d n ą  zmienną  stanu  przez  dwie  niezależ ne  zmienne  sterują ce. 

Jeż eli  obie  wartoś ci,  H  i  P,  są  duż e,  to  i  R  bę dzie  d u ż a.  Jeż eli  H  bę dzie  małe ,  a  P  duż e, 

to  R zapewne przyjmie  wartość ś rednią.  G d y jednak  И  ma  duż ą,  a  P  małą  wartoś ć,  powstaje 

sytuacja,  w  której  R  przyjąć  może  wartość  z a r ó w n o  duż ą,  jak  i  małą. 

Danie może  mieć  smak  tak  odstrę czają cy,  że  nie  m o ż na  go  jeść  bez  wzglę du  na  to,  jak 

jest  się  g ł o d n y m ;  moż na  też  być  tak  głodnym,  że  je  się  bez  wzglę du  na  smak  jedzenia. 

Tę  sytuację,  w  której  obie  decyzje:  jeść  lub  nie  jeść  są  moż liwe,  nazywamy  «katastrofą  

k u c h e n n ą »  [5].  Stosując  terminologię  ZEEMANA  [6]  nazwiemy  głód  i  niesmakowitość  
potrawy  czynnikami  konfliktowymi. 

Sytoś ć  

Rys.  1 

Teoria  katastrof  sugeruje,  że  obszar  konfliktowy  ma  na  płaszczyź nie  H,  P  kształt 

ostrza  (rys.  1).  W a r t o ś ć  funkcji  R(H,  P)  może  być  przedstawiona  jako  wysokość  ponad 

płaszczyznę  H,  P;  w  ten  sposób  w  trójwymiarowej  przestrzeni  H,  P,  R  powstanie  pewna 

powierzchnia  (rys.  2).  Jest  ona  g ł a d k a ,  ale  zawiera  fałdę.  Rzut  tej  fałdy  na  płaszczyznę  

H,  P  wyznacza  obszar  konfliktowy.  K a ż d a ' p r o s ta  pionowa,  przechodzą ca  przez  ten  obszar 

przecina  powierzchnię  z  rys.  2  w  trzech  punktach.  Inne  proste  pionowe  przecinają  ją  tylko 

raz. 

Narysujmy  na  tej  powierzchni  pewne  przebiegi  trajektorii  posiłków.  Zwykle  posiłek 

zaczyna  się  w  punkcie  / ,  gdzie  H  i  P  mają  duże  wartoś ci,  a  nastę pnie  postę pujemy,  przy 

stałym  P,  w  kierunku  maleją cych  H,  d o p ó k i  R  nie  dojdzie  do  zera.  Przebieg  ten  omija 

sfałdowanie.  Rozważ my  j e d n a k ż e  przypadek  dziecka  (historia  prawdziwa  3),  które  lubi 

kurczaka  z  sosem  chlebowym,  a  nie  lubi  go  jeść  bez  sosu.  G d y  brak  sosu, przebieg  posiłku 



P E W N L  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T E O R I I  K A T A S T R O F  317 

rozpocznie  się  od  punktu  2,  na  najniż szej  czę ś ci  fałdy,  gdzie  H  ma  dużą  wartoś ć,  ale  R 
i  P  mają  wartoś ci  niskie.  Jeś li  nie  zmieniamy  sterują cej  zmiennej  P,  to  wartość  H  bę dzie 
rosną ć,  podczas  gdy  7?  pozostanie  bliskie  zeru.  N a  szczę ś cie  m o ż na  osią gnąć  wzrost  P 
poprzez  obietnicę  (w  punkcie  3)  dania  dziecku  kanapki  z  kurczę ciem  i  szklanki  mleka 
(mniej wię cej  te  same składniki  co  sosu  chlebowego). Zmienia  to  trasę  trajektorii  w  kierunku 

dolnej  l i n i i  fałdy,  a  gdy  zostanie  ona  osią gnię ta  (w  punkcie  4),  nastą pi  skok  na  tę  czę ść  
powierzchni,  na  której  wartość  R  je;t  duża  (punkt  5).  N a s t ę p n ie  trajektoria  zbliża  się  
do  tej,  którą  omawiano  poprzednio  i  sytuacja jest  uratowana. 

Skok  nastą pił,  ponieważ  ś r o d k o w a,  odwrotnie  nachylona,  powierzchnia  fałdy  po­

wyż ej  obszaru  konfliktu  może  być  uznana  za  powierzchnię  niestabilną,  podczas  gdy  inne 

punkty  na  powierzchni  m o ż na  nazwać  stabilnymi.  G ł a d k a  linia  sfałdowania  (zarówno 

jej  górna,  jak  i  dolna  czę ś ć)  powoduje  w  ten  sposób  «katastrofę »,  w  sensie  nagłej  zmiany 

położ enia  punktu  (w  górę  lub  w  dół)  dla  każ dej  trajektorii,,ktdła  tam  przechodzi. 

Jaki  jest  poż ytek  z  modelu  «katastrofy  kuchennej»?  Po  prostu  wprowadza  on  nas, 

w  sposób  elementarny,  w  teorię  katastrof.  Począ tkują cy  powinien  s k o n s t r u o w a ć  swoje 

własne przykłady, w których  zostałyby  zidentyfikowane  «podstawowe  zmienne  sterowania». 

Nastę pnie  m o ż na  tworzyć  przykłady  o  bogatszej  zawartoś ci.  Jedną  z  podstawowych 

trudnoś ci  jest  d o b ó r  danych.  Prawidłowy  model  teorii  katastrof  musi  wyraź nie  identyfi­

k o w a ć  podstawowe  zmienne  sterowania.  Ś cisłość  tej  identyfikacji  zależy  od  rodzaju  pro­

blemu. 

2.2.  Obwiednią  normalnych  do  paraboli.  Jak  wiadomo  [7],  obwiednią  normalnych  do  p  ara­
boli  jest  ostrze.  Ostrze  to  moż emy  interpretować  jako  rzut  na  płaszczyznę  x,  у  gładkiej, 

\ 

i  Ros.  2 



318  M .  J.  SEWELL 

sfałdowanej  trójwymiarowej  powierzchni  w przestrzeni  X,  y,  t,  gdzie  t jest  parametrem 

paraboli. 

N o r m a l n ą  do paraboli  y1  =  4x, na  płaszczyź nie  х ,  у  w punkcie  t2,  2t, jest  krzywa 

(2.1)  (y­2t)(x­t2)  =  ­t 

lub  inaczej 
(2.2)  M(x, y,  t)  = t3  ­  t(x­2)  ­  у  = 0. 

Rys.  3 

Powierzchnię  tę przedstawiono  na rys.  3. Sama  linia  fałdowa  jest  gładką  krzywą  prze­
strzenną,  wzdłuż  której  płaszczyzna  styczna  do M  =  0 jest  pionowa. Jej r ó w n a n i e  znaleźć  
m o ż na  przez  rozwią zanie  u k ł a d u  д М /д Т  =  0 w połą czeniu  z M  — 0, co daje 

(2.3)  x­2  M  3r 2 ,  =  ­ 2 f 3 , 
i 

F o r m a  parametryczna x  = t2,  у  =  2t paraboli  może  być  rozpatrywana  (niekonwencjonal­
nie)  jako  inna  krzywa  przestrzenna,  k t ó r a  także  leży  na powierzchni  M  =  0. 

R o z w a ż my  teraz  rzut  powierzchni  M  =  0  na  płaszczyznę  x,  y.  Po  wyeliminowaniu 
t  okazuje  się,  że  rzut  l i n i i  fałdowej  jest  krzywą  o kształcie  ostrza  I 

(2.4)  4 ( x ­ 2 ) 3  = 21'y2, 

a  rzutem  paraboli  przestrzennej  jest  jej  parabola  p ł a s k a  y2  =  4x.  Rzuty  te  pokazano 
w  niż szej  czę ś ci  rys.  3. Niech  r 0  bę dzie  dowolną  daną  wartoś cią  parametru  r.  Płaszczyzna 
pozioma  t =  t0  przecina  powierzchnię  sfałdowaną  M  =  0  wzdłuż  l i n i i  prostej.  L i n i a  ta 
przecina  wznoszą cą  się  linię  fałdową  tylko  raz i jej rzut  jest  styczny  do ostrza.  A l e ten 
rzut jest  t a k ż e  normalny  do  (płaskiej)  paraboli w punkcie  odpowiadają cym  parametrowi  t0. 
Wobec  tego  krzywa  o kształcie  ostrza jest  obwiednią  normalnych do paraboli. 



PEWNE  PRZYKŁADY  ZASTOSOWANIA  TEORII  KATASTROF  319 

Przez  każ dy  punkt  płaszczyzny  A',  у  przechodzi  jedna  normalna,  natomiast  przez 
każ dy  punkt  wewną trz  ostrza  przechodzą  trzy  normalne.  Odpowiadają ce  im wartoś ci  / 

znaleźć  m o ż n a,  znajdując  wartoś ci  np. tl}  t2,  t3,  dla  k t ó r y c h  oś /  przechodzi  przez po­
wierzchnię  sfałdowaną  (rys. 4). 

Istnieje  kwadratowy  potencjał  generują cy 

(2.5)  V=  1 4 / , 4 ­ 1 2 / 2 ( x ­ 2 ) ­ 0 i + 1 4 ( . v 2 + > ­ 2 ) 

t,  t2  t3 
x,y  wewną trz  ostrza  x,y  na  ostrzu 

(rys.  3) 

Rys.  4 

х , у  poza  ostrzem 

taki,  że \\V  jest  odległoś cią  pomię dzy  dowolnym  punktem  х , у  na  płaszczyź nie  x, y, 

a  punktem  t2,  2t  na  paraboli.  Funkcja  V(t;x,y)  ma przy  tym nastę pują ce  własnoś ci: 

(2.6)  M  =  dYjct,  dMjdt =  d2V/dt2 

Stacjonarne  ze wzglę du  na t  wartoś ci  tej  odległoś ci  (np.  gdy  położ enie  paraboli  ulega 
zmianie  poprzez  zmianę  t w granicach  od  — oo  do  + oo)  odpowiadają  wobec  tego,  jeś li 
rozpatrujemy  po  kolei  k a ż dy  punkt  (x,y),  wszystkim  punktom  (x,y,  t)  powierzchni 
M  =  0.  G d y  zmieniamy  położ enie  paraboli,  kwadrat  odległoś ci  do niej  z  punktu  (x, y) 
zachowuje  się jak  jedna z funkcji  kwadratowych  pokazanych  (dla  у  <  0) na rys.  4,  które j 
wartoś ci  stacjonarne  odpowiadają  punktom  począ tkowym  normalnych. 

L i n i a  fałdowa  na  M =  0  oddziela  punkty  o  maksymalnej  odległoś ci  (dVjdt = 0, 
d2V/dt2  <  0,  wewną trz  fałdy)  od  p u n k t ó w  o  odległoś ci  minimalnej  (dVjdt = 0, 
d2V/dt2  >  0  na  zewną trz  fałdy). 

W  teorii  katastrof parametr t uznaje  się za  zmienną  stanu, а х , у za  zmienne sterowania. 
W  terminologii  mechanicznej  dV/dt  może  być  u w a ż a na  za  siłę,  a  fałdowa  powierzchnia 
M  =  0  może  być  uznana  za «powierzchnię  równowagi».  Oczywiś cie,  przy  rozważ aniach 
czysto  geometrycznych  wprowadzanie  takiej  terminologii  nie  jest  konieczne. 

Podstawą  komputerowych  obliczeń  obwiedni  (tak zwanych  zbiorów  bifurkacyjnych) 

jest  metoda  tworzenia  kolejnych  przekrojów  poziomych  poprzez  powierzchnię  sfałdowaną  

i  rzutowanie  tych  prostych  na powierzchnię  sterują cą.  Metoda  ta została  zastosowana do 

wszystkich  elementarnych katastrof  o wymiarze  <  4, badanych przez  W O O D C O C K A  i  P O S T O ­

N A  [8]. M o ż e  ona być  p o r ó w n a n a  z  metodą  analityczną  eliminacji  t  z  r ó w n a ń  M = 
dMjdt = 0. 

Istnieje  tu wyraź ny  zwią zek  z teorią  optymalizacji,  przejawiają cy  się  w szukaniu  m i n i ­

malnej  odległoś ci  od zbioru  wypukłego  (parabola)  nie tylko  p u n k t ó w  na zewną trz,  lecz 

również  i  wewną trz  zbioru.  Problemy  dualne  i  przytoczone  problemy  punktu  siodłowego 

mogą  być  również  rozpatrywane z punktu  widzenia  teorii  katastrof. 



320  M .  J.  SEWELL 

3.  Co  to  jest  teoria  katastrof? 

Teoria  katastrof  zajmuje  się,  w  szczególnoś ci,  okreś laniem  pewnych  podstawowych 
lokalnych  cech  jakoś ciowych  rozwią zań  r ó w n a ń  typu 

(3.1)  8V/dx  =  0  (/  =  1,  ...,//) 

otrzymanych  z  danego  gładkiego  potencjału  generują cego  V(x  ,  A e )  z  //  zmiennymi  stanu 
Xi  i  к  parametrami  sterują cymi  A a  (a  =  1,2,  ...,k).  Tych  n  r ó w n a ń ,  wią ż ą cych  n +  k 
zmiennych,  okreś la  A>wymiarową  «rozmaitość  katastrofy»  [8],  lub  «powierzcłmię  równo­

wagi»  [9].  N a  tej  powierzchni  istnieje  pewna  «granica  stabilnoś ci»  [9],  na  której  zeruje 

się  wyznacznik 

d2V  I 
(3.2)  =  0, 

dxi  dxj 

(np.  linia  fałdowa  na  rys.  3,  na  której  płaszczyzna  styczna  do  powierzchni  równowagi  jest 

p r o s t o p a d ł a  do  przestrzeni  sterują cej).  W  tym  sensie  granica  stabilnoś ci  okreś la  stany 

«równowagi  krytycznej»,  dla  któryc h  V  może  przestać  być  lokalnym  minimum,  co  odpo­
wiada  osobliwoś ciom  rzutu  powierzchni  równowagi  na  przestrzeń  sterowań.  Jako  kon­

sekwencja  tego  rzutowania  —  granica  stabilnoś ci  w  przestrzeni  sterowania  —  (otrzymana 

w  zasadzie  przez  wyeliminowanie  n  p a r a m e t r ó w  x  z  kolejnych  n+l  r ó w n a ń )  jest  k—l 
wymiarowym  «miejscem  u p a d k u »  uzależ niają cym  к  p a r a m e t r ó w  sterują cych  (np.  samo 
ostrze  na  rys.  3).  To  miejsce  upadku jest  nazywane  w  teorii  katastrof  «zbiorem  bifurkacji». 

Twierdzenie  Thoma  [1,  3,  6]  identyfikuje  moż liwe  zbiory  bifurkacji  jako  r ó w n o w a ż n e, 

w  okreś lonym  sensie  technicznym,  z  jedną  z  małej  liczby  katastrof  nazwanych  « k a t a s t r o ­

fami  elementarnymi)).  Liczba  ta  jest  skoń czona  (w  rzeczywistoś ci  <  11),  jeż eli  к  <  5, 
niezależ nie  od  wartoś ci  n  (która  w  takim  razie  może  wynieść  wiele  tysię cy;  pozwala  to 
rozważ ać  układy,  które  j u ż  zostały  zdyskretyzowane, np.  przez  podział  na  elementy  s k o ń ­

czone  i  stosować  zasady  wariacyjne). 

Jeś li  wymiar  przestrzeni  sterowania  к  <  4,  to  wtedy  istnieje  co  najwyż ej  7  katastrof 
elementarnych.  Są  one  wyraż alne  [10]  poprzez  «wygładzenie»  zwykłych  wielomiarowych 

«zarodków»  dla  jednej  lub  dwu  zmiennych  stanu.  W  tablicy  1  przytoczono  listę  Thoma 

moż liwych  katastrof.  Zmienne  sterowania  zostały  w  przedstawionej  wersji  ograniczone 

do  u,  v,  w,  t. 

Przykład  ostrza  z  poprzedniego  rozdziału  m o ż na  otrzymać  przez  prostą  zmianę  zmien­

nych:  (x,  n,  v)  ­>  (r,  2—x,  y). 

Przy  stosowaniu  teorii  katastrof  do  konkretnego  problemu  nasuwa  się  pytanie,  ile 

wystę puje  w  nim  podstawowych  p a r a m e t r ó w  sterowania  i  jaka  jest  ich  interpretacja? 

Jeś li  mamy  do  czynienia  z  zastosowaniem  mechanicznym,  V  może  być  energią  potencjalną  
systemu  z  x  j a k o  współrzę dnymi  uogólnionymi,  a  w  mechanice  konstrukcji,  na  przykład, 
parametry  sterowania  mogą  być  kombinacją  obcią ż eń,  wymiarów,  niedokładnoś ci  lub 

m o d u ł ó w  [9].  Elastyczność  spojrzenia  jest  sprawą  na  tym  etapie  zasadniczą,  ponieważ  

zmienne  sterowania  pokazane  na  powyż szej  liś cie  wygładzeń  mogą  nie  mieć  prostych 

interpretacji,  np.  mogą  być  algebraiczną  kombinacją  prostych  sterowań  fizycznych.  C o 

wię cej,  nawet  w  kontekś cie  mechanicznym,  V  nie  musi  być  energią  potencjalną.  W  rzeczy­
wistoś ci  może  przedstawiać  (po  dyskretyzacji)  dowolny  funkcjonał  wynikają cy  z  zasad 

wariacyjnych.  Ten  ostatni  może  być  rodzaju  «mieszanego»  i  mieć  jako  zmienne  z a r ó w n o 



PEWNE  PRZYKŁADY  ZASTOSOWANIA  TEORII  KATASTROF  321 

Tablica  1.  Tablica  Thoma 

Nazwa  Centrum organizacyjne  Uniwersalne  wygładzenie 

Zwykle  minimum  V  =  ­v
2 

V=  —— л '3 
3 

V  = 

X3 + и х  

3 
Fałda 

V  =  ­v2 

V=  —— л '3 
3 

V  =  X3 + и х  
3 

Ostrze 
1 

V  =  —  x* 
4 

V  = 
1  1 
X  ~\  и х2 

4  2 
+ VX 

Jaskółczy  ogon  V  =  —  X
s 

5 
v  =  —  X5  Ą  и х  

5  3 

1 
-1  ZJX2+ wx 

2 

Motyl  V  =  —  x6 
6 

V  =  —x6  +  —ux* 
6  4 

1  1 
H  w­r  H  WX2  +  fA' 

3  2 
Umbilik  hiperboliczny  V  = x3 + y3  V  =  x3+y3  + wxy­

Umbilik  eliptyczny  V  =  x3­3xy2  K  =  x3 —  3xy2 + w.\ 2  +  .v2  — и х —vy 

Umbilik paraboliczny  V  = xy2 + x*  V  =  xy2 + X* +  wxx + ty2 —  ux—vy 

wielkoś ci  kinematyczne, jak  i  dynamiczne  (takie jak  przemieszczenia  i  naprę ż enia).  W  tym 
sensie wydaje  się, że  nie  ma  powodu,  by  zmienne  stanu  musiały  być  koniecznie  zmiennymi 

konfiguracji,  ale  szczegółowe  przykłady  muszą  dopiero  zostać  przebadane. 

Zakładają c,  że  wielkość  к  została  prawidłowo  ustalona,  wybieramy  z  tablicy  Thoma 
te  wygładzenia  uniwersalne,  k t ó r e  zawierają  к  p a r a m e t r ó w  sterowania  (zauważ my,  że 
wszystkie  one  wystę pują  liniowo).  Lokalny  zbiór  bifurkacyjny  w  począ tkowym  układzie 

/j­wymiarowym,  w  przestrzeni  sterowań,  powinien  być  r ó w n o w a ż ny  j a k o ś c i o wo  jednemu 

z  u k ł a d ó w  narzuconych  przez  wybrany  rodzaj  wygładzenia.  A n a l i z a  tego  ostatniego  jest 

łatwiejsza,  ponieważ  duża  liczba  mniej  waż nych  zmiennych  stanu  została  usunię ta  podczas 

sekwencji  rzutowali  zawartych  w  dowodzie  twierdzenia  Thoma.  Zbiory  bifurkacyjne 

wyprowadzone  z  potencjałów,  zawartych  w  tablicy  Thoma,  zostały  d o k ł a d n i e  przebadane 

przez  WOODCOCKA  i  POSTONA  [8]. 

Jeś li  к  =  2,  to  istnieją  co  najwyż ej  dwa  wygładzenia  do  wyboru,  jeś li  к  — 3 jest  ich 
co  najwyż ej  5.  W  praktyce  wybór  może  być jeszcze  bardziej  zawę ż ony  przez  spodziewany 
stopień  wyraż eń  w  funkcji  stanu.  N a  przykład  przy  nieliniowych  «małych,  ale  skoriczo­

nych»  odkształceniach  sprę ż ystych,  energia  odkształcenia  wyraż ona  w  naprę ż eniach  jest 

formą  kwadratową,  a  naprę ż enia  są  z  kolei  formami  kwadratowymi  gradientu  przemiesz­

czeń.  Dzię ki  temu  moż emy  nie  spodziewać  się  wystę powania  wyraż eń  o  stopniu  wyż szym 

niż  4. 

Idea  wygładzenia  jest  waż na  również  z  p o w o d ó w ,  k t ó r e  wymienimy  poniż ej.  N i e  tylko 

każ dy  z  centrów  organizują cych  m o ż na  otrzymać  przez  nadanie  zmiennym  sterowania 

z  tablicy  wartoś ci  zero,  ale  i  odwrotnie —  istnieje  topologiczna  równoważ noś ć,  w  której 

k a ż da  zmienna  każ dego  z  tych  centrów  może  być  reprezentowana  przez  odpowiednie 

wygładzenie  uniwersalne.  Oznacza  to,  że  centrum  organizują ce,  w  rzeczywistoś ci,  rozdziela 

wygładzenie  na  zwykłe  wielomiany  ze  współczynnikami  liniowymi.  W  mechanice,  w  odróż­
nieniu  od  biologii, centrum  organizują ce  może  być  nazwane fundamentalnym,  naturalnym 

albo  podstawowym.  Z a k ł a d a  się,  że  np.  konstrukcja  inż ynierska,  albo  sieć  krystaliczna 

zawierają  w  sobie  pewne  trywialne  stany  bę dą ce  ź ródłem  ich  lokalnej  ewolucji,  k t ó r a 

musi  być  opisana j a k o ś c i o wo  przez  uniwersalną  energię  wygładzenia. 



322  M .  J.  SEWELL 

' t ' 

W  n a s t ę p n ym  rozdziale  zostaną  opisane  proste  modele  matematyczne,  dają ce  precy­

zyjną  ilustrację  katastrofy  ostrzowej,  z  rozmaitą  interpretacją'  zmiennych  sterowania 

i  energii  wygładzenia.  Istnieje  w analizie  problem  pewnych  z a d a ń  mechanicznych,  k t ó r e 

nie  pasują  dokładni e  do ż adnej  z energii  wygładzeń  zestawionych w tablicy  1. 

' i , 
4.  Przykłady  zastosowania  teorii  katastrof  w  mechanice 

4.1.  Łuk mało  wyniosły.  Wieczko  puszki  z  herbatnikami  może  być  w przybliż eniu  roz­
patrywane jako  m a ł o  wyniosła  p o w ł o k a  sferyczna  podparta  przegubowo  wzdłuż  obwodu. 

Naciś nię ta  w ś r o d ku  może  nagle  «przeskoczyć»  przez  płaszczyznę  oparcia  przegubowego 

do  drugiego  położ enia  równowagi  o  przeciwnej  wypukłoś ci  i  pozostać  w  tym  położ eniu 

mimo  braku  obcią ż enia. 

\P 

Rys.  5 

Pokazany  na  rys.  5  płaski  model  składa  się z  dwu  sprę ż ystych  prę tów  ś ciskanych, 

o  równej  długoś ci,  opartych przegubowo na  podporach,  połą czonych  i obcią ż onych  w  wę ź le 

ś rodkowym.  Konfiguracja  modelu  opisana jest  przy  pomocy  ką ta  x i  «strzałki»  ł u k u  a = 
=  2 / / ­ c o s a l  ca a2  >  0 dla  małych  a, gdzie x  — ±a  (lub  zero),  gdy  obcią ż enie p  = 0. 

Unormowana  eiergia  potencjalna,  wyprowadzona  w sposób  przybliż ony  dla  małych 

ugię ć,  ma  p o s t a ć  .  y 

(4.1)  V=  ^­x4­l~ax2+px. 
4  2 

Powierzchnia  równowagi  M w  przestrzeni x, a, p jest  dana  r ó w n a n i e m 



P E W N E  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T E O R I I  K A T A S T R O F  323 

wyprowadzonym z warunku  dV/ д х  =  0  i przedstawionym  na  rys.  6.  Jak  widać,  przedstawia 
ona  powierzchnię  fałdową.  Rzut  l i n i i  fałdowej  na  płaszczyznę  a,  p  ma  kształt  ostrza. 

M o d e l  ten  może  być  więc  rozpatrywany  jako  prosty  przykład  uniwersalnego  wygła­

dzenia,  k t ó r e m u  odpowiada  katastrofa  ostrzowa  z  tablicy  Thoma.  Zmiennymi  sterują cymi 

są  obcią ż enie  p  i «strzałka»  a  4,  1.  W  ten  sposób  m o ż na  rozpatrzyć  rodzinę  ł u k ó w .  Ilustruje 
to  elastyczność  podejś cia,  k t ó r a  może  być  wymagana  przy  korzystaniu  z  teorii  katastrof; 

nie  wszystkie  parametry  muszą  być  zmiennymi  w  pojedynczym  zadaniu.  K r z y w a  obcią ż e­

nie­ugię cie  powstaje  jako  prz e kró j  powierzchni  M  z  płaszczyzną  p r o s t o p a d ł ą  do  osi  a, 
co  pokazano  na  rys.  7.  Katastrofą  jest  gwałtowny  przeskok; zaciemniony  obszar  wewną trz 

fałdy  na  rys.  6  reprezentuje  niestabilne  stany  równowagi.  Ten  sam  kształt  rzutu  (ostrze) 

wywiera  wpływ  na  formę  rys.  16,  podanego  dalej,  w  obszarze,  w  k t ó r y m  A  =  0  i  a  ­*  0. 

Rys.  7 

M o ż na  by  się  spytać,  czy  dyfuzja  lub  zagę szczenie  defektów  punktowych  w  wyniku 
działania  siły  na  barierę  potencjału  pomię dzy  dwoma  atomami  siatki  krystalicznej  ma 
podobny  model  lokalny,  k t o ś  inny  mógłby  zauważ yć,  że  charakterystyka  napię cia  prą du 
elektrycznego  w  diodzie  tunelowej jest  topologicznie  podobna  do  krzywej  na  rys.  7. 

4.2.  Maszyna  katastroficzna  Zeemana.  Jest  to  prosty  przyrzą d,  który  również  ilustruje 
przeskok  przy  utracie  statecznoś ci.  M o ż e  on  być  łatwo  wykonany  przy  pomocy  trzech 
pinesek,  dwu  pasków  gumowych  i  koła  ze  sztywnej  tektury.  Całość  powinna  być  złoż ona 

•  

jak  na  rys.  8.  Urzą dzenie  to  umoż liwia  szybką  demonstrację  powstawania  ostrza  w  prze­
strzeni  sterowań.  Pineski  A  i  D  są  przymocowane  do  p o d ł o ż a,  k ó ł k o  może  się  obraca ć  
d o o k o ł a  punktu  D  (np.  dzię ki  małej  p o d k ł a d c e  pomię dzy  kołem  a  podłoż em).  Pineska 
В  wpię ta jest  w  k o ł o  w  pobliżu  jego  brzegu.  Jeden  z  pasków  gumowych  rozpię ty  jest  po­
mię dzy  punktami  A  i  B.  Jeden  z  koń ców  drugiego paska  przymocowany jest  do  punktu  B, 



\  

324  M .  J .  SEWELL 

a  drugi  koniec tego  paska  С  służy jako  punkt  sterują cy  (np.  przy  pomocy  szpilki  przecho­

dzą cej  przez pasek  w punkcie C ) . 

Poruszając  powoli  koń cem  С  m o ż na  znaleźć  takie  położ enie,  w  który m  nastą pi  gwał­
towny  przeskok  na  odwrotną  stronę  l i n i i  AD.  Jeś li  zrobimy  to  wielokrotnie  i jeś li  zazna­
czymy  igłą  te punkty,  w któryc h  nastą pił  przeskok,  wtedy  okaże  się, że na  papierze  powstała 

krzywa  ostrzowa.  Czułość  urzą dzenia  zależy  od  wielkoś ci  tarcia  na  osiach  o b r o t ó w .  D o ­

godnoś cią  tego  przyrzą du  jest  to,  że zmiennymi sterowania  są  dwie  współrzę dne  punktu  C , 

a  zatem,  płaszczyzną  sterowania jest  tu  płaszczyzna,  na  której  wykonuje  się  doś wiadczenie. 

Dzię ki  temu  krzywą  ostrzową  otrzymuje  się  bezpoś rednio.  W  ż argonie  mechaniki  stoso­

wanej  został  tu  uż yty  «przyrząd  o  sztywnym  obcią ż eniu)),  który  pokazuje  nie  wartość  

przyłoż onego  obcią ż enia,  lecz jego  położ enie.  Fizyczna  interpretacja  zmiennych  sterowania 

jest  wobec  tego  całkiem  inna  niż ta,  k t ó r a  dotyczyła  zmiennych /;  i  a  w  poprzednim  przy­
kładzie. 

Omawiany  przykład  został  d o k ł a d n i e  zanalizowany  w  [11]  i  [12].  Rozwią zanie  ogólne 

powierzchni  równowagi  ma  linię  fałdową  oddzielają cą  obszary  stateczne  od  niestatecz­

nych  [11],  taką  że jej  rzut  ma  cztery  ostrza, jak  to  pokazano  na  rys.  8.  Dwie  czę ś ci  QPQ' 
i  QP'Q! tego  rzutu  (lub  zbioru  «bifurkacji»  jak  m o ż na  by  to  nazwać  w  teorii  katastrof, 
lecz  nie  w  mechanice)  odpowiadają  przeskokom  odpowiednio  po  lewej  i po  prawej  stronie 

punktu  D. 
4.3.  Ewoluta  elipsy.  Obwiednią  normalnych  do  elipsy  (ewolutą)  jest,  jak  wiadomo  [7], 

krzywa  z  czterema  ostrzami  w  płaszczyź nie  sterowań  x,  y,  jak  to  pokazano  na  rys.  9. 
M o ż na  postawić  pytanie:  jaka  powinna  być  rozmaitość  katastroficzna  M  w  trójwymiaro­
wej  przestrzeni  x,  y,  t, jeż eli  / jest  parametrem  elipsy?  Rozwią zanie  globalne  dla  paraboli, 
podane  wcześ niej,  okazało  się  takie  same  jak  rozwią zanie  lokalne,  gdy  'istnieje  tylko 

jedna  fałda.  Globalna  obwiednią,  albo  zbiór  bifurkacji,  dla elipsy ma  cztery  ostrza  i  bardzo 
przypomina  konchoidę  Nikomedesa  (rys.  8)  otrzymaną  dla  maszyny  katastroficznej. 
Czy  istnieje  więc  ś cisły  zwią zek  pomię dzy  gładką  sfałdowaną  rozmaitoś cią  ( M  maszyny) 
pokazanej  w  [ U ]  (i elipsy)?  Czytelnik  łatwo  znajdzie  na  to  odpowiedź. 

4.4.  Słupy  i  tarcze. Jest  to  klasa  konstrukcji,  k t ó r e ,  jeś li  są  obcią ż one  m i m o ś r o d o wo 
podczas  idealnego  eksperymentu  (bez  «niedokładnoś ci»),  pozostają  najpierw  proste, 
ale  mogą  zachowa ć  pewną  wytrzymałość  nawet  po  rozgałę zieniu  się  (bifurkacji)  drogi 
równowagi  narysowanej  we  współrzę dnych  obcią ż enie­przemieszczenie  w  stanie  wybo­
czonym.  Najbardziej  znanym  przykładem  są  tzw.  elastica  (patrz  [13],  gdzie  zamieszczono 
nowoczesną  interpretację  tego  zjawiska).  M o d e l  teoretyczny  pokazany  na  rys.  10  składa 
się  ze  sztywnego  elementu  w  kształcie  litery  T  mają cego  na  k o ń cu  wspornika  małą  p ó ł k ę  
o  długoś ci  7], na  k o ń cu  której  przyłoż ono  pionowo  siłę  skupioną  P,  [9].  O b r ó t  d o o k o ł a 

Rys.  9 



P E W N E  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T E O R I I  K A T A S T R O F  325 

punktu  0 jest  ograniczony  przez  dwie  sprę ż yny,  k t ó r e  przenoszą  tylko  siły  pionowe.  Cał­

kowita  energia  potencjonalna  (unormowana)  wynosi 

(4.3)  .  V  =  ­ ^ t g 2 O ­ / ; ( l ­ c o s O +  ^sin0) 

i  dla  małych  ką tów  0 przyjąć  m o ż na 

(4.4)  V=3s0*­±­(p­\)0
2­pr,0. 

Rzut  oka  na  tablicę  Thoma upewnia,  że jest  to jeszcze jeden  przykład  katastrofy  ostrzo­
wej.  Zmiennymi  sterują cymi  są  tym  razem  obcią ż enie  p—l  i  «niedokładnoś ć »pi].  Teoria 

Rys.  10 

wygładzenia  może  z  powodzeniem  wskazać  wyraż enie,  k t ó r e  m o ż na  z i n t e r p r e t o w a ć  jako 

efekt  nieuniknionego  powstania  małej  pary  sił,  natychmiast  po  przyłoż eniu  głównego 

obcią ż enia.  Historycznie rzecz  biorą c,  takie  niedokładnoś ci  były  czasem  pomijane  w  po­

czą tkach  analizy  mechanicznej. 

Powierzchnia  równowagi  M j e s t  dana  r ó w n a n i e m  dV/д О  — 0,  co  prowadzi  do 

(4.5)  1^в3­(р ­1)0­р  =  0. 

Pokazano ją  na rys.  11. Podobnie jak  na rys. 7, ilustrują cym  zachowanie  się mał o  wyniosłego 

łuku  płaskiego,  stany  równowagi  chwiejnej  (maksimum  potencjału  V  wzglę dem  0,  przy 



326  M .  J.  S E W E L L 

ustalonych  p  i  • >])  pokrywają  się  z  zakreskowanym  obszarem  powierzchni  M  (wewną trz 

fałdy),  podczas  gdy  stany  stateczne  znajdują  się  po  drugiej  stronie  fałdy. 
•  T o ,  że  ostrze jest  rzutem  gładkiej  powierzchni  fałdowej,  zostało  pokazane  w  pracy  [9], 

gdzie  również  wprowadzono  poję cie  powierzchni  równowagi  w  sensie  mechanicznym. 

Przekroje  powierzchni  M  płaszczyznami  pi]  =  const  pokazano  na  rys.  12.  Wytrzyma­

łość  układu  po  rozgałę zieniu  (wspomnianym  powyż ej)  pokazano jako  przekrój  powierzchni 

M  płaszczyzną  prj  =  0.  « N i e d o k ł a d n e »  drogi  równowagi  (obydwa  znaki  prj)  wykazują  

te  same  tendencje,  ale  nie  ma  tu  rozgałę zienia.  M o ż na  (o  z a d e m o n s t r o w a ć  obcią ż ając 

i  Rys.  12 

kwadratową  r u r ę  z  materiału  gumopodobnego  (rys.  13).  Wykonano  ją  w  ten  sposób,  że 

każ dy  z  jej  czterech  b o k ó w  zachowuje  się  jak  sprę ż ysta  tarcza  p r o s t o k ą t n a,  o  brzegach 

swobodnie  podpartych,  poddana  ś ciskaniu  m i m o ś r o d o w e m u.  Doś wiadczenia  na  takich 

rurach  opisano  w  pracy  [14]. 

4.5.  Tarcze  zakrzywione  i  powłoki.  Jest  to  klasa  konstrukcji,  których  własnoś ci  zależą  w 
znacznym  stopniu  od  wielkoś ci  pewnych  p a r a m e t r ó w  geometrycznych.  D l a  pewnych  ich 

wartoś ci  wytrzymałość  wyboczeniowa  rzeczywistej  konstrukcji  jest  bardzo  czuła  na  nie­



P E W N E  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T E O R I I  K A T A S T R O F  327 

dokładnoś ci  wykonania.  Konstrukcje  o idealnych  wymiarach,  bez  niedokładnoś ci  wykazują  

po  rozgałę zieniu  znacznie  zredukowaną  wytrzymałoś ć.  Powodem  tego  jest  niestabilność  

samego  punktu  rozgałę zienia  [15,  16],  odwrotnie  niż  ma  to  miejsce  w  przypadkach  opisa­

nych  w  poprzednim  rozdziale. 

Ilustracją  tej  własnoś ci  może  być  tarcza  zakrzywiona,  ś ciskana  równolegle  do  tworzą­

cych,  o  dostatecznie  duż ej  krzywiź nie  [17].  W  przypadku  małej  krzywizny  punkt  roz­

gałę zienia  jest  stabilny. 

Jako  prosta  ilustracja  służ yć  może  konstrukcja  wykonana  przez  dodanie  pionowych 

sprę ż yn  (w  miejsce  stałych  p o d p ó r )  do  ramion  elementu  T  [9],  jak  to  przedstawiono  na 

•  

•  

•  

rys.  14.  Rozpię tość  p o d p ó r  może  się  teraz  zmniejszyć  podczas  obcią ż enia,  a  nie  pozostaje 

zawsze  stała,  jak  to  było  w  przypadku  konstrukcji  pokazanej  na  rys.  10.  Unormowana 

energia  odkształcenia  wynosi  teraz,  dla  małych  0: 

(4.6)  V  =  ~  s i n 2 0 — p ( l  — cos(9) +  ?7sin0  =  ­  1  0 4 ­ ! • ( / » ­ 1 ) 0 2 ­ » э О. 
2.  o  2  . 

Zmiana  znaku  członu  z  0 4  ma  bardzo  duży  wpływ  na  kształt  powierzchni  równowagi  M 
(rys.  15).  F a ł d a  zawiera  teraz  punkty  stabilne,  a  nie  niestabilne  jak  poprzednio.  Zwrot 
osi  p  uległ  zmianie  i jest  teraz  skierowany  od  ostrza.  Wskazuje  to,  że  małe  niedokładnoś ci 

П  •   4.  T 
Pkryt Jest czule  no 

niedokładnoś ci 

Rys.  15 



328  M .  J.  SEWELL 

p  wywołują  teraz  znaczne  zmniejszenie  pkr  (tj.  wartoś ci  p  na  l i n i i  fałdowej)  w  stosunku 

do  wartoś ci p  =  1 dla  punktu  rozgałę zienia.  Uż ycie  poję cia  ostrza jest analitycznym  uję ciem 

czułoś ci  na niedokładnoś ć  tak jak zostało  ono uż yte  przez  KOITERA  [15, 16],  k t ó r y  również  
narysował  «separatrysę »,  czyli  rzut  l i n i i  fałdowej  na płaszczyznę  pr]  =  0, ale  nie  w p r o w a d z i ł . 

trójwymiarowej  powierzchni  równowagi. 

4.6.  Wyboczenie drugoplanowe  i  pewne  zwią zane  z  nim problemy.  Dotychczas  skoncentrowano 

uwagę na katastrofie  ostrzowej, by podkreś lić  rozmaitość  interpretacji  moż liwą  dla  jednego 

przypadku.  Punktem  krytycznym  jest  tutaj  punkt  równowagi,  dla  k t ó r e g o  układ 

V * /  d2V  \ 

(4.7)  2  Ы  Щ  ­°JmiJ  P i  =  °'  i = l ' 2 '  " 
j=i  *  .  1  '  \ 

ma  w­krotną  zerową  wartość  własną  (/Иц  jest  macierzą  dodatnio  okreś loną ).  Jeś li  m  — 1, 
to  zagadnienie jest  proste,  a  rzutowanie  prowadzą ce  do ostrza  po prostu  zbiera  wszystkie 

niekrytyczne  współrzę dne  w  pojedynczą  zmienną  stanu  x,  k t ó r a  wystę puje  w  ustalonym 
wygładzeniu  (podobnie  dzieje  się w  przypadku  innych  elementarnych  katastrof  o  wymia­

rach jeden).  Ł a t w o jest  p o k a z a ć  rzutowanie  dla  m =  \,  np. przez  zastosowanie  [18]  metod 
rozwinię tych  w mechanice  konstrukcji  [19, 20].  Trzeba  pamię tać,  że w jakoś ciowym  kon­

tekś cie  mechaniki  rzeczywista  «wytrzymałoś ć»  osobliwoś ci,  tj. wielkość  krzywizny  w punk­

cie  ostrza,  może  być  znaczna  [13, 21],  i wobec  tego  klasyfikacja  jakoś ciowa  w twierdzeniu 

Thoma  nie rozwią zuje  całego  problemu,  nawet jeś li  porzą dkuje  go  czę ś ciowo. 

Katastrofa  fałdowa  może  być  rozpatrywana  w podobny  sposób  w przypadkach, w k t ó ­

rych  w wyraż eniu  na energię  pomijamy  człony  sześ cienne.  Wtedy  powierzchnia  równowagi 

jest  pojedynczą  gładką  fałdą,  zawierają cą  zmianę  statecznoś ci  typu  Poincarego  w punkcie, 

w  którym  dwie  drogi  równowagi  przecinają  się na linii  fałdowej.  Ponieważ jednak  odległość  

mierzona  wzdłuż  l i n i i  fałdowej  nie oddaje  teraz  ż adnych  zmian  jakoś ciowych,  mamy  tu 

w  istocie  rzeczy  do  czynienia  tylko  z jedną  zmienną  sterują cą  (np. w kierunku  poprzecz­

nym  do  fałdy  lub  punktu  granicznego),  a  zmienna  u —  w  wygładzeniu  1/3(A'3) + «.V  — 
może  mieć  złoż oną  interpretację  mechaniczną  [22]  (np. niedokładność  minus  kwadrat 

obcią ż enie). 

Katastrofa  ostrzowa  może  być  tu  rozpatrywana jako  «organizują ca»  dwie  fałdy  (kata­

strofa  wyż szego  rzę du  organizuje  katastrofę  niż szego  rzę du  w  sposób  hierarchiczny  [8]). 

Zwykłe  minimum  w tablicy  Thoma  może  być  rozpatrywane jako  ilustracja  twierdzenia 

o  jednoznacznoś ci  rozwią zań  w teorii  sprę ż ystoś ci.  Rozpatrzmy  np.  sprę ż ynę  (o  długoś ci 

/ i  module  A) podpierają cą  masę  m, przemieniają cą  się  o y, dla której  energia 

„,  '  , 1 л ­  1  A /  mglV  •  \ 
(4.8)  V —  —  ­fy

2­mgy  =  ­  j  ly­  ­jL\  ­fconst. 

Jeś li  dwie  lub  wię cej  wartoś ci  własnych  co  znajdzie  się  w tym samym  lub bliskich  sobie 
punktach  na powierzchni  równowagi,  m o ż na  wtedy  mówić  o  wyboczeniu  wielomodulnym, 

albo  o  pierwszoplanowym  i  drugoplanowym  wyboczeniu  o  pewnej  sekwencji;  mogą  tu 

powstać  róż ne  problemy  zwią zane  z  oddziaływaniem  na siebie  róż nych  schematów  wybo­

czenia  (np.  [13,  23]).  Teoria  katastrof  gwarantuje,  że jeż eli  liczba  sterowań  nie przekracza 

czterech,  to  w  jakoś ciowym  lokalnym  opisie  zbioru  bifurkacji  wszystkie  moż liwe  postacie 



M .  J.  SEWELL  329 

wyboczenia  mogą  być  opisane  nie  wię cej  niż  dwoma  (odpowiednio  dobranymi)  zmiennymi 

stanu.  G d y  k r o t n o ś ć  zerowej  wartoś ci  własnej  co jest  m  ^  2,  konieczne  staje  się  uwzglę d­
nienie  nowych  powierzchni  fałdowych,  mianowicie  trzech  umbilików  wymienionych 

w  tablicy  1  Thoma. 

Oczywiś cie,  gdy  m  >  2  rzutowanie,  k t ó r e  zmniejsza  liczbę  zmiennych  problemu, 
redukuje  nie  tylko  wszystkie  niekrytyczne  współrzę dne,  lecz  również  pewne  współrzę dne 

krytyczne  do  dwu  (lub  jednej)  zmiennych  stanu  pojawiają cych  się  w  wygładzeniach. 

Wspomniane  powyż ej  metody  bezpoś redniego  rozwią zywania  p r o b l e m ó w  nie  korzystały, 

jak  dotychczas,  z  tego  ostatniego  typu  redukcji  i  prawdopodobnie  d o k ł a d n e  zrozumienie 

go  leży  w  przestudiowaniu  sekwencji  r z u t o w a ń  stosowanych  w  dowodzie  twierdzenia 

Thoma  [1].  Powstaje  pytanie,  jak  z  mechanicznego  punktu  widzenia  i n t e r p r e t o w a ć  bez­
p o ś r e d n io  dwie  zmienne  stanu  x  i  у  'w  problemach  wielowymiarowych.  Wydaje  się,  że 
mogą  one  reprezentować  pewne  ogólne  cechy  np.  form  deformacji,  takie  jak  symetryczna 

(rys.  6)  i  antysymetryczna  postać  wyboczenia. 

Wycinek  powłoki  kulistej  (niezbyt  płaski)  przechodzi  w  p o s t a ć  antysymetryczna,  zanim 

zostanie  osią gnię te  maksymalne  obcią ż enie,  wynikają ce  z  wykresu  na  rys.  17.  Obcią ż ona 
siłą  skupioną  k o p u ł k a  winylowa  wyboczy  się  według  «trójroż nego»  schematu  utraty 

statecznoś ci  (model  ten  przedstawił  prof.  LECKIE  Z Uniwersytetu  w  Leicester). 
P r ó b ki  rozcią gane  (zarówno  prę ty  metalowe  [24],  jak  i  monokryształ y  [25,  26,  27]) 

mogą  tracić  stateczność  na  skutek  powstania  szyjki  lub  ś cię cia,  przed  lub  po  osią gnię ciu 

obcią ż enia  maksymalnego. 

Istnieją  dane,  że  przykłady  te  są  ilustracjami  umbiliku  hiperbolicznego  ze  zmiennymi 

x  i  у  stowarzyszonymi  odpowiednio  z  przemieszczeniami  normalnym  i  stycznym.  Szeroka 
tarcza z usztywnieniami, może wykazywać  z a r ó w n o  lokalną,  jak  globalną  postać  wyboczenia 

i  jeś li  x  i  у  są  ich  kombinacją  [28]  umowna  energia  potencjalna  redukuje  się  wtedy  [18] 
do  takiej,  jak  dla  umbiliku  hiperbolicznego.  Praca  [18]  zawiera  jednak  również  mylą ce 
stwierdzenia i nieprawdziwe interpretacje, np.  stwierdza  ona,  że  tylko  mechaniczne zmienne 

sterowania  (poza  obcią ż eniem)  mogą  być  niedokładnoś ciami.  Przykłady  przytoczone 

powyż ej  i  poniż ej  przeczą  temu  wyraź nie. 

[JJ  Dwupostaciowe  przybliż one  rozwią zanie  HUTCHINSONA  [29]  dla  począ tku  pokrytycz­
nego  zachowania  się  zamknię tej  powłoki  sferycznej  poddanej  ciś nieniu  zewnę trznemu 

jest  ogólnie  uważ ane  za  akceptowalne.  N i e  ogranicza  się  ono  do  przemieszczeń  obrotowo­

symetrycznych  i  jego  zredukowane  r ó w n a n i a  równowagi  mogą  być  rozpatrywane  jako 

wyprowadzone  z  energii  unormowanej 

i 
(4.9)  V  —  —3xy2 + wx2+y—ux  — vy. 

Tutaj  w  oznacza  nadwyż kę  obcią ż enia  ponad  wartość  odpowiadają cą  p o d w ó j n e m u  punk­
towi  rozgałę zienia,  a  u  i  v  są  parą  niedokładnoś ci  począ tkowych.  N i e  zachodzi  tu  liniowe 
rzutowanie,  k t ó r e  przeprowadziłoby  xy2  w  centra  organizują ce  wymienione  dla  umbiliku 
eliptycznego  i  hiperbolicznego.  J e d n a k ż e jest  to  zbyt  m a ł o ,  aby  m o ż na  było  domniemywać, 

że  problem  ten  może  być  ilustrowany  umbilikiem  parabolicznym. 

W  ogólnoś ci,  niedokładność  może  być  wprowadzona  od  począ tku  do  każ dej  postaci 

wyboczenia,  tj.  stowarzyszona  z  k a ż d ym  wektorem  własnym  odpowiedniego  problemu 

wartoś ci  własnych.  Oznacza  to  istnienie  wzajemnie  jednoznacznego  zwią zku  pomię dzy 

3  Mechanika  teoretyczna  3/77 



330  P E W N E  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T E O R I I  K A T A S T R O F 

niedokładnoś ciami  i  n —  począ tkowymi  zmiennymi  stanu.  C o  wię cej,  niedokładnoś ci 
mogą  być  sterowaniami i fakt  ten  musi  być j a k o ś  omijany  w  procesie  redukcji  zmiennych, 

jeś li  mamy  zidentyfikować  ^  4  pierwszoplanowych  zmiennych  sterowania,  a  n a s t ę p n ie 

p o d a ć  zwią zek  pomię dzy  nimi  a co  najwyż ej  dwiema  efektywnymi  zmiennymi  stanu. 

Jest jeszcze  za  wcześ nie,  by  powiedzieć  d o k ł a d n i e  jak  to w y k o n a ć .  Ro zważ my  jednak 

najczę ś ciej  chyba  omawiany  z  p r o b l e m ó w  sprę ż ystej  niestatecznoś ci  przykład  długiego 

walca  poddanego  ś ciskaniu  osiowemu.  W  pracy  [30]  wykazano,  przy  dość  ogólnych  zało­

ż eniach,  że w  rzeczywistoś ci  m o ż na  s p o t k a ć  tylko  pięć  kombinacji  algebraicznych  nie­

dokładnoś ci  kształtu.  Problem  redukuje  się,  w  pewnym  stadium,  do dwu  r ó w n a ń  r ó w n o ­

wagi,  które  mogą  być  wyprowadzone z unormowanego  potencjału 

(4.10) 
у  _  t0W  +  tW +  t2y  ­wx2+y2  — uw — vy. 

w*—x2+y2 

T u  również  przez  w oznaczono  nadwyż kę  obcią ż enia  ponad  jego  wartość  dla  punktu 
rozgałę zienia,  podczas  gdy  u, v,  / „ ,  tlt  t2  są członami  typu  obcią ż enie  niedokładnoś ci 
(podniesione  do  kwadratu  w  przypadku  r j .  Problem  ten  wymaga  dalszych  studiów. 

_ 

• 

umu 
Obcią ż enie krytyczne 
Pkryt 

! 
•  

Strzałka  a 

Rys.  16 

Bardzo  interesują ce  jest  prześ ledzenie  zmiany  powierzchni  równowagi  powłok  i kulistej 

(np.  rys.  16),  jeś li  zwię ksza  się  strzałka  a.  Jak  j u ż  wspomniano,  może  się tu  pojawić  bifur­
kacja  antysymetryczna.  W  przypadku  wycinka  powłoki  kulistej,  utwierdzonej  na  obwodzie, 

przebadano  nie tylko  efekt  zmiany  strzałki  a,  lecz  również  efekt  zmiany  powierzchni 
obcią ż onej  A  [31].  (Gdy  A = 0, to obcią ż enie  wystę puje  tylko  w jednym  punkcie;  A = 1 
oznacza  r ó w n o m i e r n e  obcią ż enie  na  całej  powierzchni).  Trzy  przekroje  globalnego  zbioru 

bifurkacji  (z wygładzonymi  stanami  przejś ciowymi)  w przestrzeni  sterowania  (P, a,  A) 
przedstawiono łą cznie  na  rys.  16.  P jest  tu  obcią ż eniem  całkowitym.  Czwartym  parametrem 
sterowania  może  być  antysymetryczna  (nie  symetryczna)  n i e d o k ł a d n o ś ć;  tu  przyję to ją  

równą  zeru. Wydaje  się, że  istnieją  co  najmniej  trzy zasadnicze, łą czą ce  się obszary:  a)  długa 

dolina  utraty  statecznoś ci  przez  przeskok  bez  bifurkacji  oraz  rozdzielają ce  obszary  b) i  c), 

tj.  powierzchnię  stabilnej  bifurkacji  dla  obcią ż eń  rozłoż onych  na małej  powierzchni  i  po­

wierzchnię  niestabilnej  bifurkacji  dla  obcią ż eń  rozłoż onych  na duż ej  powierzchni. 

M o ż na  zauważ yć,  że  wygładzenie  ostrzowe  może  być  osadzone  w  umbiliku  parabolicz­



M .  J.  SEWELL  331 

nym  (przez  przyję cie  у  — 0).  Pamię tając  r ó w n a n i e  zilustrowane  rys.  6,  m o ż na  przyją ć, 
że  istnieją  podstawy,  by  interpretować  у  jako  p o s t a ć  asymetryczną.  Istnieje  jednak  nie­
bezpieczeń stwo,  że jakiekolwiek  uproszczone  rozważ anie  o odpowiednim umbiliku  mogłoby 

być  nieuzasadnione. 

Jako  ostatni  przykład  mechaniczny  rozpatrzmy  gumowy  bałon  meteorologiczny  i  jego 

zachowanie  się  podczas  napełniania .  Jak  każ dy  balon  stawia  on  znaczny  o p ó r  w  począ t­

kowej  fazie,  d o p ó k i  nie  osią gnie  się  maksymalnego  ciś nienia  gazu.  W  tym  stadium  balon 

jest  kulisty  (rys.  17a),  lecz  zaraz  potem  ciś nienie  zaczyna  s p a d a ć ,  a  rozmiary  balonu  rosną  

(napełnianie  okreś lone jest  masą  gazu,  a  nie jego  ciś nieniem),  a jego  kształt  staje  się  wyraź­

nie  asferyczny  (rys.  17b).  Stan  ten  trwa  d o p ó k i  ciś nienie  nie  osią gnie  bardzo  płytkiego 

minimum,  przy  znacznie  powię kszonych  rozmiarach  balonu,  po  czym  balon  powraca 

do  kształtu  kulistego  [32]. 

Jeż eli  niedokładnoś ci  kształtu  balonu  (wzglę dem  idealnej  sfery)  przyjąć  za  r ó w n e 

zeru,  to  m o ż na  by  przypuszczać,  że  trajektorie  globalnej  równowagi  balonu  wzglę dem 

konfiguracji  kulistosymetrycznej  (л ­) i  asymetrycznej  (y)  są  takie, jak  pokazano  na  rys.  18. 



332  PEWNE  PRZYKŁADY  ZASTOSOWANIA  TEORII  KATASTROF 

Powstaje  pytanie,  czy  m o ż na  to  r o z p a t r y w a ć  jako  rozwinię cie  sytuacji  z  rys.  7. 
M o ż na  by  również  uważ ać,  że  wersja  lokalna  sytuacji  z  rys.  12  każ dej  z  obu  bifurkacji 
jest  właś ciwa  z  punktu  widzenia  teorii  katastrof. 

w ' 
л ,,.  5.  Zakoń czenie 
Щ  ^  •  ' 

Jak  widać,  m o ż na  p o d a ć  szereg  zadziwiają co  dokładnych  przykładów  mechanicznych 

dla  wygładzeń  wymienionych  w  tablicy  Thoma.', W  zwią zku  z  tym,  wię kszego  znaczenia 

nabiera  badanie  r z u t o w a ń  potrzebnych  do  klasyfikowania  przykładów  bardziej  złoż onych. 

Pozwoli  to  lepiej  ocenić  moż liwoś ci  zastosowania  teorii  katastrof  w  nieliniowej  teorii 

sprę ż ystoś ci,  k t ó r a  jest  obecnie  przedmiotem  licznych  b a d a ń  i  stwarza  wiele  moż liwoś ci 

takich  zastosowań. 

Pytanie,  czy  teoria  katastrof  doprowadzi  do  nowych  rozwią zań  (a  nie  tyjko  nowych 

sformułowań)  pozostaje  na  razie  otwarte. 

N a  zakoń czenie  spróbujemy  odpowiedzieć,  w  terminach  teorii  katastrof,  na  nieuniknio­

ne  pytanie:  j a k i  jest  poż ytek  z  teorii  katastrof.  Wydaje  się,  że  jedną  z  jej  właś ciwoś ci  jest 

to,  że  dzieli  ona  m a t e m a t y k ó w ,  dosyć  silnie,  w.  opiniach  o  jej  uż ytecznoś ci,  zależ nie  od 

ich  z a a n g a ż o w a n ia  w  podejś cia  jakoś ciowe  lub  iloś ciowe.  C i , którzy  podchodzą  do  proble­

mów  z  bardziej  otwartym  umysłem  znajdują  się  w  pobliżu  granicy  obszaru  konfliktpwego. 

Mogą  zatem  zostać  nawróceni  na  wiarę  w  teorię  katastrof  (wzrost  zaangaż owania)  lub 

się  do  niej  zniechę cić  (spadek). 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  D.  J. A.  TROTMAN,  E . C.  ZEEMAN,  The  classification  of  elementary  catastrophes  of  codimensioii  <  5j 
Warwick University, Preprint,  1974. 

2.  E . C.  ZEEMAN,  Primary  and secondary waves  in developmental biology,  Lect.  on  Math,  in  the  Life Scien­
ces,  7,  Amer.  Math.  Soc,  Providence,  USA,  1974. 

3.  R.  T H O M ,  Stabilite Structurelle  et  Morphogenese,  Benjamin,  New  York  1972. 
4.  D.  CHILLINGWORTH,  77ге catastrophe  of buckling beam,  Proc. Symp. on  Appli.  of  Topology and  Dyna­

mical Systems, University of  Warwick, 1973/4. 
5.  M . J .  SEWELL,  Kitchen  catastrophe,  Reading  University,  Preprint,  1974. 
6.  E . C.  ZEEMAN,  Applications  of catastrophe theory,  Tokyo Int.  Conf.  on  Manifolds,  1973. 
7.  A.  W . SIDDONS.  K . S.  SNELL,  J . B.  MORGAN,  A  New  Calculus,  Cambridge University Press,  1952. 
8.  A .  E. R.  WOODCOCK,  T.  POSTON,  A Geometrical Study  of  the Elementary Catastrophes,  Springer­Verlag, 

Berlin  1974.  i 
9.  M . J . SEWELL,  On  the connexion between stability and the shape of  the equilibrium surface  J .  Mech. Phys. 

Solids,  14  (1966) 203  ­  230. 
10.  R.  THOM,  Topological models  in biology.  Topology,  8 (1968) 313  ­  335. 
11.  E . C.  ZEEMAN,  A  catastrophe  machine,  Towards a  Theoretical  Biology,  4  (1972) 276  ­  282. 
12.  T.  POSTON,  A.  E. R.  WOODCOCK,  Zeeman's  catastrophe  machine,  Proc.  Camb.  Phil.  Soc,  74  (1973) 

217­226. 
13.  B . BUDIANSKY,  Theory of buckling and post­buckling of elastic structures, Advances in Applied Mechanics, 

14 (1974). 



I 
) 
M .  J.  SEWELL  333 

14.  M .  J.  SEWELL, Interaction between  the effects  of local and overall imperfections  on  the buckling  of elastic 
columns,  J.  Mech. Phys. Solids,  22  (1974) 519  ­  540. 

15.  W.  T .  KOITER,  Elastic  stability  and  post­buckling  behaviour,  in:  Nonlinear  Problems,  University  of 
Wisconsin Press, Madison  1963. 

16.  W.  T .  KOITER,  On  the stability  of  elastic  equilibrium,  NASA  Tech.  Trans.  FI0­833,  1967  (tłum.  pracy 
dokt.  z  г. 1945). 

17.  W.  Т .  KOITER,  Buckling  and  post­buckling  of  a  cylindrical panel under  axial compression,  Trans.  Nat. 
Aero. Inst. Amsterdam,  20  (1956)  71. 

18.  J. M . T.  THOMPSON,  Towards a unified bifurcation theory,  Univ. College London, Preprint,  1974. 
19.  M . J.  SEWELL,  Private communication to  J. M . T . Thompson describing the  'Static perturbation techni­

que',  22  July,  1964.  (See  J. Mech. Phys. Solids,  13,  247  (SEWELL)  and  13,  295  (THOMPSON),  1965. 
20.  M .  J.  SEWELL,  A  general  theory  of  equilibrium paths  through  critical points,  Proc.  Roy.  Soc.  Lond., 

A  306  (1968), 201  ­ 238,  A  315  (1970) 499  ­  518. 
21.  J. W.  HUTCHINSON,  B.  BUDIANSKY,  Analytical  and numerical study  of  the effects  of  initial imperfections 

on  the  inelastic  buckling  of  a  cruciform  column,  Proc.  1UTAM  Symp.  Buckling  of  Struct.,  Harvard 
Univ.,  1974. 

22.  M .  J.  SEWELL,  Elastic  and plastic bifurcation  theory,  Lectures  to  the  Seminar  on  the  Plasticity Theory 
and  its  Application  in  Techniques,  University  of  Ni§,  Yugoslavia,  1975. 

23.  M . J .  SEWELL,  A  method of post­buckling analysis,  J.  Mech.  Phys. Solids,  17 (1969), 219­233. 
24.  R.  H I L L ,  J. W.  HUTCHINSON,  Bifurcation phenomena  in  the plane  tension  lest,  Harvard  Report  DEAP 

S­12,  1975. 
25.  N .  H .  MACMILLAN,  A.  K E L L Y ,  The  mechanical properties  of  perfect  crystals,  Proc.  Roy.  Soc.  Lond., 

A  330  (1972) 309­317. 
26.  J. M . T .  THOMPSON,  P.  A.  STURROCK,  Bifurcational  instability  of  an  atomic  lattice,  J.  Mech.  Phys. 

Solids, 23  (1975) 21  ­  37. 
27.  R.  H I L L ,  On  the elasticity  and stability  of perfect crystals  at finite strain, Math. Proc. Camb. Phil.  Soc, 

77  (1975) 225­240. 
28.  V.  TVERGAARD,  Imperfection­sensitivity  of  a  wide  integrally stiffened panel  under  compression.  Int.  J. 

Solids Struc,  9  (1973)  177. 
29.  J. W.  HUTCHINSON,  Imperfection  sensitivity  of  externally pressurized spherical  shells,  J.  Appl.  Mech., 

34  (1967) 49­55. 
30.  J.  HANSEN,  Influence  of  general  imperfections  in  axially  loaded  cylindrical  shells,  Report  26,  Danish 

Center for  Appl.  Math,  and  Mech..  1974. 
31.  J. R.  FITCH,  B.  BUDIANSKY,  Buckling  and post­puckling  behaviour  of  spherical caps under axisymmetrlc 

load,  AIAAJ,  8  (1970) 686­  693. 
32.  H.  ALEXANDER,  Tensile instability  of initially spherical balloons,  Int.  J.  Engng.  Sci.,  9  (1971)  151. 

Р е з ю ме  

П Р И М Е РЫ  И С П О Л Ь З О В А Н ИЯ  Т Е О Р ИИ  К А Т А С Т Р ОФ  В  М Е Х А Н И КЕ  

Ц е л ью  р а б о ты  я в л я е т ся  о з н а к о м л е н ие  н е с п е ц и а л и с т ов  с  о с н о в н ы ми  и д е я ми  т е о р ии  к а т а с т р оф  
и  в о з м о ж н о с т я ми  ее  п р и м е н е н и я.  Т е о р ия  к а т а с т р о ф,  п р е д с т а в л я ю щ ая  с о б ой  р а з д ел  к а ч е с т в е н­
н о го  а н а л и за  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н и й,  м о ж ет  н а й ти  п р и м е н е н ие  в  р а з н ых  о т р а с л ях  н а у к и, 
п о з в о л яя  н а й ти  н о в ые  т о ч ки  з р е н ия  на  м н о г ие  з а д а ч и. 

В  н а ч а ле  р а б о ты  п р е д с т а в л е ны  п р о с т ые  п р и м е ры  к о н ф л и к т н ых  с и т у а ц ий  и  их  к а ч е с т в е н н о го  
а н а л и з а.  В  р а з д е ле  3 д а но  б о л ее т о ч н ое  о п р е д е л е н ие  п р е д м е та  т е о р ии к а т а с т р о ф.  П р о в е д е на  т а б л и ца  
Т о м а,  в  к о т о р ой  п р е д с т а в л е ны  в о з м о ж н ые  о с о б е н н о с ти  р е ш е н ий  у р а в н е н ий  с о с т о я н и я.  Р а з д ел  4, 
о с н о в н ой  в д а н н ой  р а б о т е,  в к л ю ч а ет  а н а л из  н е с к о л ь к их  п р о с т ых  п р и м е р ов  з а д ач  м е х а н и ки  т в е р д ых  
д е ф о р м и р у е м ых  т ел  с  т о ч ки  з р е н ия  т е о р ии  к а т а с т р о ф.  Э ти  п р и м е ры  о т н о с я т ся  в  о с н о в н ом  к  з а­
д а ч ам  п о т е ри  у с т о й ч и в о с т и,  б и ф у р к а ц ии  и  т.  п.  В  к о н це  р а б о ты  п р и в е д ен  о б ш и р н ый  п е р е ч е нь  
л и т е р а т у р ы. 



334 P E W N E  P R Z Y K Ł A D Y  Z A S T O S O W A N I A  T O E R H  K A T A S T R O F 
I 

i 

S u m m a r y 

SOME  MECHANICAL  ASPECTS  OF CATASTROPHE  THEORY 

The  paper  is  aimed  at  introducing non­specialists  into  the  catastrophe  theory.  Though  the  theory 
is a part of the qualitative analysis of differential equations,  it seems to be applicable in various other fields 
since  it allows for considering several problems from a new point of view. 

Initial  two  chapters  give  some  simple  examples  of  conflict  situations  and  present  their qualitative 
study.  Chapter 3 defines  the  subject  of  the  catastrophe  theory.  The table  of  possible  local singularities, 
given by Thorn, is presented. In Chapter 4 several examples of problems are analysed in terms of the theory. 
The  problems are taken from mechanics  of deformable  bodies  and concern mainly  such phenomena like 
loss of stability, bifurcation etc.  The paper contains a large number of references  dealing with the subject. 

U N I W E R S Y T E T  W  READING  (W.  BRYTANIA) 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  16 czerwca  1976 r. 
•  •  

•  

•  

•  

•  

V