Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  15  (1977)  PŁASKIE  ZAGADNIENIE  KONTAKTOWE DLA  OŚ RODKA  COSSERATÓW  W  TEORII  NAPRĘ Ż EŃ  CIEPLNYCH  J A C E K  K R A J E W S K I ,  S T A N I S Ł A W  M A T Y S I A K  ( W A R S Z A W A )  1.  Wykaz  oznaczeń   (.v,,  x2,  x3)  układ  współrzę dnych  prostoką tnych,  Q=  {fo,  x2,  Х з ) ё Я 3;Xx  =  0,  x2  e < — a, a),x3  e 3t}  obszar kontaktu,  D  =  {(л ­,, x2)  e  xx  3= 0,  x2  e  Щ ,  A, fi, a, y,  e  stałe  materiałowe,  a,  współczynnik  cieplnej  rozszerzalnoś ci  liniowej  ,  ъг  д2  v  =  (3/ + 2/i)«i,  e  =  divu,  V 2  =  _  +  _ _ ,  CX у  cx2  u(­vi, - ^ 2 ) • ( " 1 , « 2 ,  0)  wektor  przemieszczenia  w  płaskim  stanie  od­ kształcenia,  V(xi,xi)  =  (0,0,  q>3)  wektor  obrotu  w  płaskim  stanie  odkształcenia,  в  ss  0(xt,  x2)  temperatura,  [  0) [1]: r N,-,9  ^  de  „  dw3  30  ć bfi. 5 x 2 3JCX  „  d  co;  3°  warunki  brzegowe  (dla  xt  =  0):  « i ( 0 ,  x2)  =  w(x2)  dla  \x2\  <  a,  ( l  3 )    a,  ol2(0,x2)  =  0,  fil3(0,x2)  =  0,  x2e0t,  6(0,x2)  =  ip{x2)H(a­\x2\),  x2e 0 w  płaskim  stanie  odkształcenia,  na brzegu  której  działają  obcią ż enia  normalne p(x2)  i temperatura  T(x2).  Zagadnienie  to prowadzi do zagadnienia  brzegowego  dla  półpłaszczyzny  D  opisanego  przez:  u k ł a d  r ó w n a ń  (1.1),  warunki  regularnoś ci  w nie­ skoń czonoś ci  (1.2)  oraz  nastę pują ce  warunki  brzegowe:  ^n(0,x2)  = p(x2),  с т12(0,х2)  =  0,  fz13(0,  x2)  = Ó,  { 2 Л )  0(P, x2)  =  T(x2),  x2e®,  gdzie o funkcjach p(x2) i T(x2)  z a k ł a d a m y ,  że są przedziałami  cią głe  i bezwzglę dnie  całko­ walne  dla x2  e 0t oraz  przyjmujemy, że  (2.2)  p(­x2)  =  р (хг),  T(­x2) =  T(x2),  x2eś ł..  PŁASKIE  ZAGADNIENIE  KONTAKTOWE  DLA  OŚ RODKA  COSSERATOW  371  Rozwią zanie powyż szego zagadnienia pomocniczego ma postać [1, 5]: "i  2^oI2  ,  t  ч   l _  ЗА  + 2/л   J ~   2 ( 1 + а д   (2.3)  • Q  'J* / Л   1  « г   t?.­*Xa?fb  2 ( Я + 2 ^ )Л  s l  z l 0  2 ^ i ­ + . , ^ i ­ f ^ o ­ l ) * i ) e ­ « *  9>з (*1г .^з)  1 м +г .у Ш Ш .  *  4 2/л  l  + fx  4  (  A 0  \  p  2(А +/А>  а " ^ 4 1  До  \  0 (xt,  x2)  =  J ^ c {r c(cf) e ­ « *  ;  I  ­  x 2 } .  6  ;  I  .4 N a p r ę ż e n ia moż emy łatwo wyznaczyć z (2.3) i zwią zków konstytutywnych podanych np. w [1]. 1 1 ' \ 3.  Rozwią zanie  zagadnienia kontaktowego  Rozpatrzmy teraz mieszane zagadnienie brzegowe dla półpłaszczyzny  D opisane przez u k ł a d r ó w n a ń równowagi i r ó w n a n i e przewodnictwa ciepła (1.1), warunki wypromienio- wania w nieskoń czonoś ci (1.2) oraz nastę pują ce warunki brzegowe: dla  x2eś t,  (3.1) 0(0, Щ  =  y>(x2)H(a­  \x2\)  dla  x2  e  W,  o ­ 1 2 ( 0 , x 2 )  =  0 1  ^ 1 з ( 0,  x2)  =  0 I  M](0, x2)  =  0  dla  OsC  | x 2 |  <  ą ,  а ц {0,х2)  =  0  . d l a  \x2\  >  a.  О  у (х2) założ ymy chwilowo, że jest funkcją parzystą. D o rozwią zania powyż szego zagadnienia wykorzystamy rozwią zanie zagadnienia pomocniczego okreś lone wzorami (2.3). Z (3.1), oraz (2.3)4 otrzymujemy (3.2) = ~\i — j  у  (x2)  cos  (bej)  dx2  .  f  o  372  J .  KRAJEWSKI,  St.  MATYSIAK  I  Spełniając pozostałe z w a r u n k ó w brzegowych (3.1) dostajemy | n a podstawie (2.3) 3tł  on  \  i zwią zku konstytutywnego  ( Гц =  (2ц +  Я) ­ ­ — ­ +  Я —— ­  vd\ nastę pują ce dualne r ó w n a - nia całkowe na niewiadomą funkcję  pc(Ł)'­ Pcipdi);  Ł ̂   A­2 }  =  0  dla x 2  > a.  Oznaczając teraz przez (3.4) . ^  ( £ ) = ­ ! ­ Л ( ­ 0 + ­ ^ ^ ­ А « « | 7 ; ( * )]  oraz wykorzystując fakt, że (3.5) 0(0,  л ­2)  =  ^ С { Г С ( £ ) ;  £  ­»  x 2 }  =  0  dla  x2  >  a,  dualne  r ó w n a n i a  (3.3) moż emy zapisać w postaci: ( 3  6 )  Ęc  { у  Л ( £ );  I  ­* x2)  =  0  dla  0  <  x2  <  a,  ^C{A0A(^);  £ ­»  x 2 }  =  0  dla  x 2  >  a.  Oczywistym rozwią zaniem r ó w n a ń (3.6) jest funkcja (3.7)  A($) = 0 dla  £  >  0.  Wykorzystując teraz (3.7) i (3.4) otrzymujemy (3.8)  ^ ( £ )  =  ~  3 / + 2 ^  ^ ' f c ( l ) '  gdzie  Г с ( £ ) jest znaną funkcją okreś loną wzorem (3.3). Podstawiając funkcję  рс(£) okreś loną wzorem (3.8) do rozwią zania pomocniczego danego wzorami (2.3), dostajemy: (3.9) « i ( * , , x i ) =  а , ^ { ­ | ­ Гс ( £ )  ( 1 + l x O e ­ ^ ;  £ ­  x 2 } ,  c ^ f o ,  x 2 )  з  0,  0 ( * i ,  x2)  =  Ć FC [fc(i) er**;  £  ­»  x2  }.  Wykorzystując zwią zki konstytutywne dla liniowej teorii termosprę ż ystoś ci oś rodka Cosseratów [1] oraz (3.9), moż emy składowe tensorów naprę ż eń siłowych i momentowych napisać w postaci: f  (З Л О)  PŁASKIE  ZAGADNIENIE  KONTAKTOWE  DLA OŚ RODKA  COSSERATOW  373  i  о ,,(Xl,  x2)  ­ ­   3 ^  /г а ,ZFC  [fc(Ł)  (1 +  ;  3 ? ~f" 2  g i 2 ( * i , * 2 )  =  ­  *+^­itat&S xi.Tc(J;)e­*x'\  f ­ x 2 } ,  tfai(*i»*2)  =  ffi2(*i,  * 2 ) ,   A ­ 2 } ,  2^(31 + 2/*)  X + 2 / i  № з ( * 1,  x 2 )  =  0,  /^3,(^1, л :2)  =  0,  / = 1 , 2 .  4.  Wnioski  koń cowe  Z otrzymanego rozwią zania zagadnienia kontaktowego okreś lonego wzorami (3.9) i (3.10) wynika, ż e: 1 ° Ż a d na ze składowych nie zależy od nowych stałych materiałowych  a,  y,  e.  2° O b r ó t i naprę ż enia momentowe są równe zeru w całej sprę ż ystej półprzestrzeni, . . . . , 1 przy czym spełniony jest zwią zek cp =  — rot u . 3° Składowe  ut,  u2,  atJ,  — 1, 2, 3) mają t a k ą samą p o s t a ć jak^w rozwią zaniu analogicznego zagadnienia kontaktowego rozpatrzonego dla o ś r o d ka Hooke'a. Z rozwią zania opisanego wzorami (3.9) i (3.10) m o ż na więc wysnuć takie same wnioski, j a k np. w [3], mianowicie: naprę ż enia kontaktowe  о ­ц( 0 ,  x2) są proporcjonalne do tem­ peratury, tj. о ­1 Х ( 0 , х 2 )  =  j—/ia.tę (x2)H(a~\x2\),  Ponadto zachodzą zwią zki: ^22( 0 ,  x2)  ­ cr 3 1 (0, x2) dla  x2e0t,  0 -33(^1, x2)  =  — 7 ^ Y ^ 2 ^  6 '  X l )  d k  ^  ' x ^ e ^ ­ W rozdziale 3 pracy przyję to 'założ enie, że temperatura pod stemplem jest rozłoż ona symetrycznie wzglę dem osi 0 x 2 . Jeż eli założ enie to zastą pimy warunkiem  y>(—x2)  —  =  — y>(x2) dla  x2 e (—a,  a), wtedy otrzymamy rozwią zanie róż nią ce się tylko od rozwią­ zania danego wzorami (3.9) i (3.10) rodzajem transformacji ^kosinusową należ ałoby —  —  Г Т  r  \  zamienić na sinusową i na o d w r ó t oraz  Г с ( | ) na  Г Д !) =  1 /  —  f  y> (x2)  sin ( f x 2 ) dx2J.  '  .  o  A więc znowu otrzymamy rozwią zanie w takiej samej postaci, jak dla o ś r o d ka Hooke!a. Przyjmując dalej, że zamiast jednego stempla styka się bez nacisku spowodowanego siłami zewnę trznymi z półprzestrzenią m i k r o p o l a r n ą k i l k a symetrycznie rozłoż onych 374  J.  KRAJEWSKI,  St.  MATYSIAK  '••  ­ wzglę dem  osi  0 x 2  stempli,  otrzymamy  rozwią zanie  opisane  wzorami  (3.9)  i  (3.10),  gdzie  za  TM)  należy  wstawić   Tc^)~y~  J   4>(хт )cos(Јx2)dx2,  (gdy  xp(x2) jest  parzysta)  ­  г т  .  lub r s ( | ) =  1 / —  j  f(x2)ń n(i;x2)dx2,  (gdy  y>(x2)  nieparzysta,  wtedy  w  (3.9)  i  (3.10)  zmieniamy  transformacje  kosinusową  na  sinusową  i  na  o d w r у t ) ,  co jest  sumą  odcinkуw  zaję tych  przez  stemple  na  pуlprostej  xx  =  0,  x 2  ^  0.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W.  NOWACKI,  Teoria  niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci,  PWN,  Warszawa  1971.  2.  Z . OLESIAK,  O pewnych  własnoś ciach  naprę ż eń  cieplnych,  Mech. Teor.  i Stos., 5,  2  (1967).  3.  Z . OLESIAK,  Some remarks on  the contact problem  of thermoelasticity for  a semi­space,  Bull. Acad. Polon.  Sci.,  Serie Sci.  Tecbn.,  13.  8  (1965).  4.  Z . OLESIAK, J.  Ś LIŻ EWICZ, Stresses and strains in a semi­space heated on  a constrained part of  the boundary  plane,  Bull. Acad. Polon. Sci.  Sć rie  Sci.  Techn.,  13,  8  (1965).  5.  J.  DYSZLEWICZ,  S.  MATYSIAK,  Osobliwoś ci  naprę ż eń  siłowych  i  momentowych  w  ciele  mikropolarnym  wywołane  obcią ż eniami,  Mech. Teor.  i Stos.,  11,  4  (1973).  6.  D.  L.  GEORGE, I.  N.  SNEDDON,  The axisymmetric Boussinesq problem for  a heated punch,  J. Math. Mech.,  11,  5  (1962).  7.  S.  MATYSIAK,  Płaskie  zagadnienie kontaktowe  w niesymetrycznej teorii  sprę ż ystoś ci,  Mech. Teor. i Stos.,  13,2  (1975).  /  Р е з ю ме  ,  П Л О С К АЯ  К О Н Т А К Т Н АЯ  З А Д А ЧА  Д ЛЯ  С Р Е ДЫ  К О С С Е РА   В  Т Е О Р ИИ  Т Е Р М И Ч Е С К ИХ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЙ   В  р а м к ах  т е о р ии  т е р м о н а п р я ж е н ий  д ля  л и н е й н ой  с р е ды  К о с с е р а,  р а с с м о т р е на  д в у х м е р н ая   з а д а ча  о  к о н т а к те  м е ж ду  у п р у г им  п о л у п р о с т р а н с т в ом  и  н а г р е т ым  ж е с т к им  ш т а м п о м.  Р а с п р е д е­ л е н ие  т е м п е р а т у р ы,  не  з а в и с я щ ее  от  к о о р д и н а ты  х3и  в р е м е ни  t,  и з в е с т но  а  ш т а мп  с в о б о д но  л е­ ж ит  на  п о л у п р о с т р а н с т в е.  П о л у ч е н н ое  р е ш е н ие  д ля  с р е ды  К о с с е ра  и м е ет  т а к ой  ж е  в и д,  к ак  р е ш е н ие  а н а л о г и ч н ой   з а д а чи  д ля  с р е ды  Г у к а.  )  S u m m a r y  PLANE  C O N T A C T  PROBLEM  OF  A  COSSERAT  MEDIUM  SUBJECT  TO  T H E R M A L  STRESSES  The  problem  of  contact between an  elastic half­space  and  a  heated rigid  punch  is  considered within  the  theory of  thermal stresses of  a linear Cosserat medium.  The  temperature distribution under the  punch  is  assumed to  be  a known function independent of  x3  and  time t,  the  punch resting load­free at  the  surface  of  the  halfspace.  The  solution obtained  for  a  Cosserat medium has  the  same form  as  that referring to  an  analogous problem  of  a  Hooke's body.  '  '  '  INSTYTUT  M A T E M A T Y K I  I  STATYSTYKI  SGGW­AR  WARSZAWA  INSTYTUT  MECHANIKI  UNIWERSYTETU  WARSZAWSKIEGO  Praca została  złoż ona  w Redakcji dnia 24 listopada  1976  r.