Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A C ' V j ^ W S O  VtC >-V = : : . \ " I  S T O S O W A N A  ­  .  .•  A .  4,  15 (1977)  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW  BESSELA­FOURIERA  WYSTĘ PUJĄ CYCH  ;  .....  W ZAGADNIENACH  PRZEWODNICTWA  CIEPLNEGO  M I C H A Ł  C I A Ł K O W S K I  (POZNAŃ)  Oznaczenia  Jp(C), Yg(£)  funkcje  Bessela I i II rodzaju  rzę du fi, argumentu  f,  Ipii),  Kp­(£)  zmodyfikowane  funkcje  Bessela  I  i  II  rodzaju  rzę du  fi,  argu­ mentu  f,  :  rj(i)  funkcja  Heviside'a,  <5(£)  dystrybucja  Diraca,  ip  współczynnik  charakteryzują cy  rodzaj  warunku  brzegowego  (liczba  Biota),  . . .  fi  współczynnik  okreś lają cy  kształt  ciała,  F o  liczba  Fouriera  (bezwymiarowy  czas),  £  bezwymiarowa  współrzę dna  punktu.  W  wielu  zagadnieniach  przewodnictwa  cieplnego  rozwią zanie  odpowiedniego  problemu  wyraża  się poprzez  funkcje  Bessela. I tak np. rozkład  temperatur  w płycie  nieograniczonej  (o zerowej  temperaturze jednej powierzchni)  oraz  symetryczny  rozkład  temperatur w  walcu  nieograniczonym  moż emy  wyrazić  w postaci  bezwymiarowej  nastę pują cym  wzorem:  ĆO  •   (1)  m  F o ) = ­21±1_  V  2v4%(^)e­^Q  f e < 0 ; l >  .  ,.y> .  £  №  + У2 + Щ )/лтА ­1Ы '..  F o e < 0 ; + c o > ,  bę dą cym  rozwią zaniem  r ó w n a n i a  przewodnictwa  cieplnego  „  8&  d2&  1­2/3  д &  £ e < 0 ; l >  dFo~l)łl2  +  J~~ ~dT'  F o e < 0 ; + o o >  z  warunkami:  —  warunek  począ tkowy  Щ ,0)  =  ^ ,  £ е < 0 ; 1 >,  —  warunek  brzegowy  Fo)  as •v'== Щ £ F o ) | | = 1 ,  F o 6 (0; +oo),  y>  =  const.  Parametr fi  wystę pują cy  w równaniu  przewodnictwa  cieplnego  charakteryzuje  kształt  ciała  п р .: fi =  ­ 1 / 2 — kula, fi =  0 —walec, fi =  1/2  — p ł y t a .  476  M .  GAŁKOWSKI  D l a  wartoś ci  parametru  в  w  rozwią zaniu  (1), równanie  okreś lają ce  wartoś ci  własne  stowarzyszonego  zagadnienia  brzegowego  ma  p o s t a ć   (2)  ­  J f i ^  = ̂ ~  Ja­i(fi)  V>'  Kolejne  pierwiastki  r ó w n a n i a  (2)  oznaczamy  przez fi(^,  m =  0,  1 , 2 , . . . . D l a  przejrzy­ stoś ci  zapisu  bę dziemy  opuszczać  indeks  в  przy  wartoś ci  własnej  / 4 f } .  R ó w n a n i e  (2)  wynika  z  powyż szego  warunku  brzegowego  i  dla rozważ anego  r ó w n a n i a  przewodnictwa  moż emy  napisać  go również  w formie  № в Ш  + У >&А(г Ц I -  0  lub  yj„_  t(fi)  + tpjpifi) ш o.  W y n i k a  stą d,  że  równanie  (2)  obejmuje  wszystkie trzy  postacie  w a r u n k ó w  brzegowych:  a)  warunek  brzegowy  I  rodzaju  Jp(fi) =  0, y>  ­»  +oo,  b)  warunek  brzegowy  II  rodzaju  Je­i(fi)  =  0,  y>  = 0,  c)  warunek  brzegowy  II  rodzaju  fiJa­i(ft)+fJe(/*)  =  0, у  > 0.  Dalej  pokaż emy,  że znajomość  pierwiastków  r ó w n a n i a  (2) pozwala  na  wyznaczanie  sum  pewnych  szeregów  trygonometrycznych  (gdyż  funkcje  Bessela  rzę du  połówkowego  wyraż ają  się  przez  funkcje  trygonometryczne)  oraz  sum  pewnych  szeregów  zawierają cych  funkcje  Bessela  rzę du  zerowego.  Wyprowadzone  wzory  rozszerzymy  na  sumowanie  innych  szeregów  otrzymanych  przez  wykorzystanie  zwią zków  pomię dzy  funkcjami  Bessela  argumentu  rzeczywistego  i  urojonego.  Przedstawimy  też  sumowanie  szeregu  w  postaci  00  V  Je(timS)Je(jUmQ)  JU  (fil  + s) (ul + y>2 + 2 p »  Ц _ j (fim)  '  który  jest  w  szczególnym  przypadku  transformatą  Laplace'a  (dla a2  =  s)  szeregu  (1).  Podobne  szeregi  wystę pują  również  przy nadaniu  rozkładów  temperatur  dla bardzo  małych  liczb  Fouriera  okreś lonych  wzorem  (1);  mianowicie  dla  F o <  1 mamy  00  , 0 0  2 f  (fi2+y,2+2(3y>)Je­tifiJ  ~  F o  A J  m=0  m=0  (fi2m + y> 2 + 28 f) [fil +AjjJB_1 (ftm)  W  metodzie  sumowania  szeregów  wykorzystujemy  wzory  zachodzą ce  dla dystrybucji  Diraca.  1.  Szereg podstawowy  Ponieważ  u k ł a d  funkcji  Bessela  {Jp(fimŁ)},  gdzie  fim  są  okreś lone  wzorem  (2), jest  zupełny,  przeto  dla  dystrybucji  д =  Ó(£ ­Q)  ma miejsce  zwią zek  ([1],  s.  244)  O)  srt­n) .  26W2  У  ^ Н Щ  e e < 0 ;  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW  BESSELA­FOURIERA  477  Ze  wzglę du  na symetrię  funkcji  delta  mamy  również   (jii+ip2+2py)J^1{/im)  co  m = 0  Ponieważ   (5)  fAbnt­Q)dł  =  jy),  o  to  biorąc  / ( £ ) =  CIB(aĘ )  mamy  (6)  /  a d ­  e ) l/^el) (f|  =  е / д в е ).  o  Zwią zek  (6), na mocy  (3),  przyjmuje  postać   (7)  « л   m=0  2  („  \  ~  00  1  2  t  V  d  rr /  ŁYI  Ja(MmQ)Jp(HmC)  — 0  ^О т е)­4[^С "т й]  lub  (8)  gdzie  m=0  ­ ­  7  1 л £)  oo  (9)  а д ,  <>) =  2 y  2 ,  Т й Т ^ Ж о е тУ   jest  szeregiem  podstawowym.  Zwią zek  (8) traktujemy  jako  równanie  róż niczkowe  z  niewiadomą  funkcją  p)  i  poszukujemy  jego  rozwią zania  w formie  (io)  нв(е ,о )  =  ив(с ,е )Ш )>  stąd  równanie  okreś lają ce  funkcję  uB{C,  Q)  jest w postaci  ( И )  д щ  W*W)  1 1  478  M . ClAŁKOWSKI Nastę pnie  wykorzystując  zwią zek  (wyznacznik  Wroń skiego  funkcji  Ip(a£)  i XffigjS  (12)  W Ą W l ­ P ^ ^ ­ ^ . ^  redukujemy  (11) do  postaci  (13)  M * .  ri­Ą (e9]­^n(eOW.  e ) ­ W ) J  =  o.  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (13) jest  nastę pują ce:  (14)  up(S,Q) =  CIll(aS) + Kp(a^,  C — s t a ł a !   1  Zatem  (15)  Hp(i,  Q) =  Ip(ao)[CI?(aS)+Kfi(ai)].  Szereg  (9) jest  szeregiem  symetrycznym  wzglę dem  f  i  Q, wobec tego  otrzymujemy  (16)  Я Д !, g)  =  rj(£­e)L1(C,Q,y,a)  + r](Q­£)L1(o,C,V,a),  f , e e < 0 ; l > ,  gdzie  £ , ( £ ,  o,  y>, a) =  Ifi(aQ)[C(a, rp)Ifi(aS) + Kp(aS)].  Stałą  С  okreś limy  kładąc  teraz  we wzorze  (9)  £ =  1,  czyli  _  V ( i 2 У  Jp(jtm)J/)(MmQ) (17)  [С /Д а) + А >(в )]/,,(«е )  =  2 V 2  _  m = 0  Korzystając  z  ortogonalnoś ci  funkcji  Bessela  z  warunkiem  (2),  po  przemnoż eniu  obustronnym  r ó w n a n i a  (17) przez  QJjj(jimo)  i  scałkowaniu  w  granicach  od 0 do  1  otrzy­ mujemy  '  [C^(a) + ^ ( a ) ] { f l J R ? ( L M m ) / / j _ 1 ( a ) ­ L M m / ^ ( a ) / ^ _ 1 ( i a m ) }  =  Jp(fi„),  a  uwzglę dniając  (2)  (18)  С(а^­Ш +   1  1  W  szczególnym  przypadku  (18a)  C  =  dla  warunku  brzegowego  I  rodzaju,  W)  ~^Q}  +  ­r^r-  Д < т   dla warunku  brzegowego  II  rodzaju.  D l a  warunku  brzegowego  II  rodzaju  w  szeregu  podstawowym  (9)  wykorzystujemy  zwią zek  (2). Zatem  9,  [ ­ W ­ W  + a I J ^ w h { a )  \  ' l  Li(l,  o, f,  a)  =  —=—/.  .  .  .  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA  479  Całkując  zwią zek  (16) z wagą  f + 1  W granicach od Ó do f,  mamy  ;­ (19)  J1(C,e,f)d)=  fl?+ 1Hls(i,o)di=  JP +lL1(i,Q,V,a)dS  +  +  J   P+iLdQ,  i,  V, a)dl  =   ­stf+P^LiiS,  Q, y>, a)],  Ы  .  .  .У Л .  seto  v vt 0 Ъ о  ­ o  gdzie  rr:  ­ . . » . j v . :  : , V 1 ,  . . . ,  . . . .  L 3 ( l ,  e,  V , a) =  aIa(ao)[C(a, y))I0+1(ai)­Kp+1(ai)]  =  g^(ag)  / Д а)  Z  drugiej  strony  (20)  IdS,  Q, W, a) ­ 2y2 2  ( t f ^ W ^ W / ­ ^  =  . ­  co  ta  2 » 2  У  ^+1JP+i(^)Jfi(MmQ)  W  ZJ  {pl+y2  +  2Py)(ixl+a2)ixMJ$_M  Analogicznie  г  1  7x(f,  g, у ,« )  =  J   e f . * ^ ( f ,  =  ­ т [ ^ + ^+ 1 ^ з ( е ,  г, v , « ) ] .  О  Я  .  •  a  z drugiej  strony  JdS, Q,  V » « )  = V  V  ­ 4 *  04 + Y>2 + 2,%)(/4 + aV|­i(/O m = 0  i/4, + W2 + Щ )  G"m + a2)l*mJj)­1 (/O  Stąd  widać,  że funkcje  Ji(£_,  e,y>,d)  i  ^ ( f , o, ip, a) są symetryczne  wzglę dem  zmien­ nych  f  i  Jdi,  Q, y,  d) =  Ą io,  1, y>, a)  oraz  Ą ig,  Ј, y>, а) =  ,  Q ,  ę ,  a).  Wobec  tego  00  120a)  2w2  V  Јfi+1Ji)(j*mQ)Ji)+i(t*n,Ј)..  tŚ o  г >Ж  + У2 + Ш №  +  а2Щ ­М   480  M .  ClAŁKOWSKI  W  szczególnym  przypadku  dla  I warunku  brzegowego  (ip ­*  co)  i /9 = 0,  podstawiając  w  (20a)  f  =  1 otrzymamy  (21)  '• 1  m =  0  1  l*m(A+a2)JAl*m)  a2  1  h(ao)  Ш   Całkując  teraz  Jt(i,  Q ,  y ,  a)  z  wagą  w granicach  od 0 do Q oraz  Ji  ( Ј ,  Q, y>, a)  z  wagą  & + 1  w  granicach  od  0 do  f,  otrzymujemy  symetryczny  wzór  wzglę dem  zmiennych  00  П у .  ~  2  У  ( ^ + 1 ^ + l ( / U m g ) ^ + 1 ( / M m l )  K  }  W  ^ 2 т + Г  + Ш (<  +  а 2)^­М   gdzie  =  rj(i­Q)J2(i,  Q, y>,  a)+r)(Q­$)J2(C,  Q, ip, a),  9,  W,  a)  =  j  Q , y>, a)dl  =  ^ [ | ^ ­  +  (O£Y +1L2(Q,  f,  tp,  a ) J .  Stąd  J2(C,Q,f,a)  =  J2(o,C,f,a)  oraz  J2(Q,  C,y>,a)  = J2(£, o,y>,a),  L2(M,  Q, ip,  d)  =  ^ + 1 ( f l g ) [ C ( a ,  ip)Ip+1(a£)­Kp+1(aC)]  =  I  (\  o w a ) ­ ­  W g g j  ^ Г Л   a  a / ^ _ ! ( a ) + ^ ( a )  K ł a d ą c  w (22)  £ =  1 otrzymujemy  zależ ność   - (22а )  2f  00  t*l(tó  + y2  + 2Pf)(ju2, +  a2)Jl_1(jłm)  a 2  [ 2/5 +  2  a  a/^_,  (a)+ipl^a) \ '  lal  > 0.  •   W  szczególnoś ci  dla  warunku  brzegowego II rodzaju  (ip = 0)  (22b)  2JTi Jf>+l(l*mQ)Jp+l(pJ  _  _1  2 0 г 2 + а 2 ) У / 1 (/ ы т )  a 2  1  .2/3+2  W  > 0,  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW  BESSELA­FOURIERA  481  a  dla I  warunku  brzegowego  uzyskujemy  (­Je­i(fim)  =  / s + i C O ) .  0 0   ( 2 3 )  2 У  2 (  j ­ ,  =  ­  w > 0 ,  >  Z J M 2 ( / 4 + 0 2 ) V I ( / O  a  L 2/3 + 2  а / Д а)  J  m= 0  m=0  stąd  dla  Q = 1  co  m = 0  +  a 2 )  l  I l  ш   a2  L 2  а /0 ( а )  /9 = 0,  1  Г _1_  i _ _  ctg/ш   ~a2  [~3+  a2  a~~  ,  p =  —,  \a\ > 0 .  Obliczając  granicę  wyraż eń  po prawej  stronie  zależ noś ci  (23a) dla a ­* 0  otrzymamy  (23b)  co  m = 0  1  •  R  1  T '  p=­~2  1  •  R  1  4 5 '  ^  =  У   Oczywiś cie  wartoś ci  własne  цт  są  rуż ne  dla rуż nych  wartoś ci  parametru B.  Posługując  się wzorem  (22) moż emy  obliczyć  np. sumę  szeregu  typu  (24)  CO  2  2  V _  tfey+1^4­i(A«»e)Vi(A«Mg)  Z f  Z ,  ( M 2 + a 2 ) ( ^ 1 + 6 2 ) ( / . 2 + v 2 " + 2 ^ ) ^ 2 _ 1 0 U m ) '  wykorzystując  zwią zek  1  1  •  1  1  1  1  Zatem  nl  + a2 fii  + b2  b2­a2 fi2  ul + b2  ~b2­a2  /г2т  / Д + а 2  (24a)  2y>  ZJ  (И1+a 2) (fi2,+b2) O J + v 2 + Т в г р ) Jf_ j Щ   =  ,2]_  г  {rj(C­Q)[L2($,  Q, y>, b)­L2($,  Q, %p,  a)] +  + V(o­*£)[L2(e> S> W> b)­L2(g,  f, y>,a)]}.  W  szczegуlnoś ci  dla warunku  brzegowego I  rodzaju  (25) 2 J 5 " m  6  Mechanika  Teoretyczna  4  J  (vi+a2)(jA2+b2)Je+,J/LtJ  ~a 2­b  \  Т Й +Л Ь О )  _  У i(ag)l  [  Ы8ф )  ala(a)  J'  482  M .  ClAŁKOWSKI  a  dla  о = 1  (25а) 2JT  1  1  m=0  (tfn + a 2)(?t2m+b 2)  b2­a2  tgha  tghfe  1  ~a  b  ^ =  T '  al0(a)  bl0(b)  ,  /5 = 0,  ctgha  ctghft  1  1  ~~~a~  ~~Ъ  T2~~'aT'  P  l_  2  '  \a\  >  O,  \b\ > 0.  Przechodząc  w zwią zku  (25a) do granicy  przy  b ~* 0  otrzymamy  wzуr  (23a).  Przed­ stawione  wzory  moż emy  również  wykorzystać  do obliczenia  sum szeregуw  stanowią cych  transformaty  Laplace'a  naprę ż eń  termicznych  stycznych  c ( ( Ј ,  Fo)  i  promieniowych  o>(Ј,  Fo),  wywołanych  działaniem  pola  temperatury  (1) w  walcu  nieskoń czonym.  Wyra­ ż ają  się one  wzorami:  OO  2 в ы *,  F O ) ] = У  , C Z .  v И ^ ­ +£ } 4 L ­JOM]\  ­ l  4̂  + V)^lC"m)  L  f«mff  J)  m = 0  - rrrr/1 ,г /--Л/о-  " T V 1 ^ ^ ­  ­T­H  s [\/s  / ,  ) +  y / 0  ( K *  ) J   L  V s  £  Vs  J  oraz  X[<*M,  Fo)]  =  J2?j 2y2  N7̂   е ­ ^ г»  Г л со  _  л р ц » ! ) ]!  =  s[]/s Ii(\/s)+y>T0(]/7)  Sumy  tych  szeregów  są przypadkami  szczegуlnymi  wyprowadzonych  wzorуw.  Jako  ilustrację  zastosowania  otrzymanych  zależ noś ci  obliczymy  rozkład  temperatur  (1) w  walcu  nieskoń czonym  dła F o <̂  1.  Wówczas  funkcję  е х р ( ­ ^ т Р о)  moż emy  zastą pić  trzema  pierwszymi  wyrazami  jej rozwinię cia  w szereg  M a c L a u r i n a .  Zatem  m =  u  in = o  i  tOm)  j  |  j^mFo  !  Q 4 F o ) 2  1!  2!  Fo2 Z­i  (112т + у 2)А (/*т)  2 ^  1 ­ /  F o  v i  Л > С " ш Ј)  .  С И т + У2 ) Л С " «)  „ 2  Fo  (/4+у2)­Л ("т)  F o  1 ­ /  F o "  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH SZERJEGÓW BESSELA­FOURIERA  483  Wykorzystując  teraz  wzуr  (20a)  otrzymamy  00  v 2  ­  (pl  +  f^ftmJliftm)  ,  ,  r*mFo  ( ^ F o ) 2  " ' =  +  ~ Т Г~  +  — 2 ! —  =  1 ­ 2  +  Fo~  4 £ )[« U­)"*  ( l / F b )  с ,  l | / F o j  * * U ) ]  [ « и м   м \  л ­i | / F o  а  = 2 1 ' 4  gdzie  D/ J « _ \ _   v _ _ U ^ l  1  у  \ 2 | / F o /  1  i/Fo" j "  2J  № У ­У  l/f  2J  "  ( ( 4 Л + DO2  _1_  y (  " U l / F b )  | / 2 " " Z  ((4Л + 3)!)* +  1/2  A =  0  n  /  l « \  _   у  (  ) \ 2 ł / F o ­ )  1  у  (  M 2 V / F 0 )  2 \ | / F o " / ~ Z "  ( ( 4 Л + 2 ) ! )2  j / ^ Z  ((4A:+1)!)2  +  J _   y '  ' \   2 ]/Fo /  Vi  2J  ( ( 4 Л + 3 ) !)  /  l a  \ 4 *+ 3  /  l a  \  /  f a  \  _  l a  у  t U j/ gJ   \ 2 j / F o )  i  l / F b  /  "  |/?o"  L Z  1  '  (4A:+3)!  (4fc+4;  fc=0  \4fc  +  4  /  | a  \ 4 f e + 2  /  l a  \ 4 *+ 3  1  у  n f c \ 2 l / F Q ­ )  U | / F o )  1/2  ZJ  K  "  (4А:+2)!  (4А :+3)!  +  Г  fc=0  ­•   /  l a  \ 4 k  I  l a  ;  +  T / 2 ^ (  !f  W  (4*+!)!  /  l a \ 4 *  /  l a  \ 4  U l / F o /  \ 2 J / F O /  484  M .  C l A Ł K O W S K I  \ ] / F o /  j/JFo  ^ ( ­ D * W F O  *_o  v  ;  ( 4 / c + l)! 44+1  £g  \ 4 A : + 2  2 ^ F o " )  (4Ar+2)!i­ +  4k + 2  |/2  2  r  fc=0  i/2  Z  1  }  (4Л )!  '  fc=o  \4*: + 3  (4А ­4­2)!  (4A: +  3)!  / _ i a _  Г   \ 2 | / F o /  (4fc+l)!  J '  W  celu  zwię kszenia  dokładnoś ci  wzorów,  funkcję  exp(  — ̂ F o )  moż emy  zastą pić   dla  F o <̂  1 wię kszą  liczbą  wyrazów  rozwinię cia  jej  w szereg  M a c  Laurina.  Dalej  p o s t ę p o­ wanie jest  analogiczne do powyż szego.  2.  Szeregi o sumach wyraż onych przez zwyczajne funkcje Bessela  Zastosowanie  wyprowadzonych  wzorów  moż emy  znacznie  poszerzyć,  wykorzystując  zwią zki  zachodzą ce  pomię dzy  funkcjami  Bessela  argumentu  rzeczywistego  i  urojonego.  D l a  zmodyfikowanych  funkcji  Bessela  argumentu  urojonego  mamy  nastę pują ce  zwią zki:  ni  • •  '  [J№ )­iY№ )]­ Weź my  teraz  pod  uwagę  nastę pują ce  wyraż enia  wystę pują ce  po  prawych  stronach  wzorów  (16),  (20) i (22).  Podstawiając  ai w miejsce  a  otrzymujemy  (26)  (27)  L2(S,  Q,  f,  ai) =  т с   JB+l(aQ)  2  JB(a)  Ma)  YB+  j (ai)  ­  Je+,  (c|) YB(a)  ­ Jf>+i(aC)  re  aJ^i^  + yJei' Я ­ (28)  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW  BESSELA­FOURIERA  485  W  szczególnoś ci  dla £ = 1  (26a)  Ll(l,e,V,aO  = ­,~   M a & )  2  . J ( 1 . 1 ( e ) + r t ( a )  (27a)  Ldl,e,V,ai)­  _ ^ >  f  + *  (28a)  £ 3 ( l , e , V . e ' ) =  ­ ^ ( e g ) ­   1  aJf,_l(a)  +  yJp(a)'  Otrzymaliś my  w ten  sposób  sumy  nastę pują cych  szeregów:  Г 2 9Л  Ъ „2  V  _  Jp(MmS)Jp(HmQ)  _  =  v(S~e)Li(i,  Q,y>,ai)+rj(Q­f)Li(g,  C,y,ai),  (3(Ti  2™2 V  —­ ^+1JMn9)Jn+1(rtmi)  J  W  ZJ   № ­a*)№  + v* +  20y>)pmJi_M  = ­ч (Ј­е)  ^  l^+^+1L3(i,Q,y>,  at)]  ­  V(Q ­ i) Jr{&+E"+   ^ ( E , s, ?,«)], oo  .  ­•_ j  ' ' j.• .. Г 31)  2  2  V  (°C)P+lJtl+l(rtmQ)Jfl+l(rimC)  }  ? 4  (p2m­a 2)(^  + f2  +  2 M ^ ­ i ^ m )  m — O  +  (С р У+1Ь2(С ,о ,г р ,а А ­ ę 2 ^ 2  20 +  2  Ł2/9+2  I  [y^  +  (iQy +iL2(Q>i,f,ai)^  W  szczególnym  przypadku, gdy f  =  1, wzory powyż sze  mają  stosunkowo  prostą  p o s t a ć .  Weź my  jeszcze  pod uwagę  wyraż enie  (24a).  Podstawiając  b ­  a \  mamy  Jf)+ 1 O m  e)/ <3+lPmЈ)  (U)  2W  2J  № ­а *)№ +у г *  +  2 Р №М   m=0  1  2д2 {>?(f­~e).Ua(fi  V . a)­L2(S,  Q, y>, ai)] +  + rj(Q­£)[L2(Q,  Ę ,ip,a)­L2(g,  C,y>,ai)]}.  D l a  I warunku  brzegowego  ­> oo) oraz  Ј =  1 wzór  (32)  przyjmie  postać   00  _  (  .  ,  V  jg+iCKgg)  =  _ J  ­ V i (ag)  _  W fog)  486  M .  G A Ł K O W S K I  Podstawiając  z kolei do (32a) w miejsce a wielkość  \/i  a dochodzi się do  funkcji  K e l v i n a .  W  szczególnoś ci  dla в  =  0 na podstawie  powyż szych  wzorów  otrzymuje  się  zależ ność   m\  ? V  JiiPmO)  =  _ J  (bera­beia)ber t (ag) +  (bera+beia)beix(ag)  1  J  Z  W + ^ / i W  , / 2 a 3  "  b e r 2 a + b e i 2 a  m = 0   '  а  w granicy  dla a ­» 0  OO  Jii/tmO)  g ( 2 ­ g 2 )  (33a)  2 V  =  16  m = 0   D o k o n u j ą c  analogicznych  podstawień  w  zwią zkach  (20a)  i  (30),  przez  ich  odję cie  i  dodanie  stronami  otrzymamy  2  0 0  r  У  JoiPmO)  _  1  | |  ber  a  • ber ag  +  bei a­bei  ag  Z ł /  O* + a 4 )//„Л ОО  ~  a 4  L  b e r 2 a + b e i 2 a  OO  2  V 1  Pm'Jo(PmQ)  1  bei a­beiap — bera^beiac  Om+^/iCwm)  "  ber 2 a + b e i 2 a  '  m=0   gdzie  funkcje  ber ag,  bei ag  i  ber x  ag,  bei x  ag  są  funkcjami  K e l v i n a  odpowiednio  rzę du  zero  i jeden.  3.  Uwagi  koń cowe  W  wielu  przypadkach  technicznych  mamy  do  czynienia  nie  z  pełnym  walcem,  kulą   czy  symetrycznie  ogrzewaną  (chłodzoną)  płytą  lecz  z  walcem  wydrą ż onym,  kulą  wydrą­ ż oną  i  niesymetrycznie  ogrzewaną  (chłodzoną)  płytą.  Zjawisko  jednowymiarowego  prze­ wodnictwa  cieplnego  dla tych  ciał  m o ż na  ująć  jednym  wspólnym  r ó w n a n i e m  róż niczko­ w y m :  (34)  ^ = ™ + ± f ­ M _ ,  | e < l i ; 1 > ,  S L > 0 ,  F o e < 0 ; + o o ) ,  z  warunkami:  —  warunek  począ tkowy  # ( i , 0 ) = l ,  f e < ! , ; l > ,  —  warunek  brzegowy  na  powierzchni  wewnę trznej  [  ( g | F 0 )  , Fo)]  '  =  0,  F o 6 (0; oo),  V l  =  const,  —  warunek  brzegowy  na  powierzchni  zewnę trznej  [  ^ ( g ' / 0 )  +4>№ >  Fo)]^  i  =  0;  F o e (0; oo);  y>2  =  const.  SUMOWANIE  NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA  487  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (34)  z  podanymi  warunkami  wyraża  się  wzorem  0 0   m =  0  gdzie  funkcja  ap(fłm^)  jest  funkcją  walcową  w  postaci  l*m ifi­  1 (Mm) +  У >2  1  fiKMm)  a  współczynniki  Am  są  okreś lone  wzorem  i  A - S l <*fi­l (Mm) +  ! J  ~" 0>­1 O m  ! l )  у  ! > | O m )  ­  O fi­ 1 (Mm) +  1 O m )  ~ OfiiPm ! l )  +  O fi­ 1 O m  ! l )  0>+  I O m  f  l ) ]  oraz  równanie  okreś lają ce  wartoś ci  własne  ma  postać   <*fi№ i)  _  _И _  C / 3 ­ l O f l )  Vi  '  U k ł a d  funkcji  Op jest  układem  ortogonalnym  i  zupełnym.  Zatem  dystrybucję  Diraca  moż emy  wyrazić  przez  funkcje  { 0 ­ Z  drugiej  zaś  strony  co  у  Л О У е К О т0 ! )  L _ _  m=0  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (36)  jest  nastę pują ce:  (37)  я „ ( £,  e )  =  4 ( f ­ e ) L i ­ > ( i , e ,  *  в ) + ч ( е ­ 0 Д " > ( е , 1 , у , в ),  488  M .  GAŁKOWSKI  gdzie  L^,Q,W,a)=IMQ)  • к м ш )+кп{а с)ш + r/:(f\,  л   al„(a)  +  wln{a)  Ш   Zwią zek  (37)  może  być wykorzystany  dla  znalezienia  sum  innych  szeregów  po  dokona­ niu  identycznych  operacji  jak  w  czę ś ci  pierwszej  pracy.  Tutaj  rolę  parametru  odgrywa  całkowita  liczba  n.  Przy  rozpatrywaniu  symetrycznych  rozkładów  temperatur  w  walcu  nieskoń czonym,  kuli  i  płycie  nieograniczonej  (z  warunkiem  począ tkowym  #(1,0)  =  1  i  brzegowym  jak  w  czę ś ci  pierwszej  pracy),  bezwymiarowy  rozkład  temperatur  m o ż na  wyrazić  wzorem  oo  2  Щ ,  Fo)  =  У  2J  2,Л \—j  7 — г , f  e<0;  1>,  F o 6<0;  oo),  a  wartoś ci  własne  stowarzyszonego  zagadnienia  brzegowego  okreś la  równanie  J-p(ft) = J± Wtedy  dla  wartoś ci  własnych  okreś lonych  powyż szym  wzorem  należy  zmienić  w wypro­ wadzonych  poprzednio  wzorach  znak  wskaź nika  rzę du  przy  funkcjach  Bessela  na  prze­ ciwny.  Przedstawione  w  pracy  wzory  m o ż na  również  uzyskać  przez  róż niczkowanie  szeregów  podstawowych.  Takie  postę powanie  przedstawione  jest  w  pracy  [2]  (dla  fi  =  0,  n  =  0,  w­+  co)  i  [6]  (dla fi  =  0, n >  0,  w ­>  oo).  Zaletą  wyprowadzonych  wzorуw  jest  ich  ogуlność  w  sensie  w a r u n k ó w  brzegowych  (ujmują  wszystkie  trzy  warunki  brzegowe),  jak  rуwnież  moż liwość  sumowania  szeregów  trygonometrycznych  wystę pują cych  przy  rozwią zywaniu  zagadnień  brzegowych  z  zakresu  przewodnictwa  cieplnego.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  A. N. TICHONOW, A. A. SAMARSKI, Równania fizyki matematycznej,  PWN, Warszawa 1963.  2.  S.  WOELKE, Summation  of certain Bessel series occuring  in elasticity  problems,  Arch.  Mech. Stos., 3, 22  (1970).  3.  N . W. Mc  LACHLAN,  Funkcje Bessela dla inż ynierów,  PWN, Warszawa 1964.  4.  J . MUSIELAK,  Wstę p  do analizy funkcjonalnej,  PWN, Warszawa 1976.  5.  H .  MESCHKOWSKI,  Reihen  entwicklungen  in  der mathematischen  Physik,  BI  Hochschultaschenbiicher,  Band  51,  Mannheim 1963.  6.  K . GRYSA,  Rozkład  temperatury  i  naprę ż eń  w  walcu  kołowym,  wywołany  ruchomym  niesymetrycznym  ogrzewaniem pobocznicy,  praca  doktorska,  Poznań 1975.  Р е з ю ме   С У М М И Р О В А Н ИЕ  Н Е К О Т О Р ЫХ  Р Я Д ОВ  Б Е С С Е Л Я ­Ф У Р ЬЕ  В Ы С Т У П А Ю Щ ИХ   В  З А Д А Ч АХ  Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С ТИ   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  м е т од  с у м м и р о в а н ия  н е к о т о р ых  р я д ов  Б е с с е л я ­Ф у р ье  с  п а р а м е т р о м,  в ы с т у п а ю щ их  в  з а д а ч ах  1е п л о п р о в о д н о с т и.  В  з а в и с и м о с ти  от  з н а ч е н ия  п а р а м е т р а,  м о ж но  п о л у­ ч и ть с у м му р я д ов  д ля ф у н к ц ий  Б е с с е ля  п о р я д к ов 0 и 0,5. М о ж но  и с п о л ь з о в а ть э т от м е т од и к о п р е­ д е л е н ию  с у м мы  р я д ов  с  ц и л и н д р и ч е с к и ми  ф у н к ц и я ми  д р у г их  п о р я д к о в.  SUMOWANIE NIEKTÓRYCH  SZEREGÓW BESSELA­FOURIERA  489  S u m m a r y  SUMMATION  OF  CERTAIN FOURIER­BESSEL  SERIES  OCCURRING  IN  HEAT  TRANSFER  PROBLEMS  The  method  of summation of some Bessel­Fourier series with a parameter occurring  in heat­transfer  problems is described. Depending on the value  of the  parameter, the  sums of zero and half order Bessel  functions are obtained. The  methods of derivation of the formulae for the Bessel  functions  of other orders  are also given.  P O L I T E C H N I K A  P O Z N A Ń S KA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  28 stycznia  1977  r.