Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

4,  15  (1977) 

UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI 
W  PRACACH  Z KOŃ CA XIX I POCZĄ TKU XX WIEKU 

N .  J .  C Y G A N O W A  ( W O L G O G R A D ) 

1. Uogólnione postacie wariacyjnych  zasad mechaniki  zwią zane z uogólnieniem poję cia 
potencjału  kinematycznego 

W  pracy  K Ó N I G S B E R G E R A  [1] z  1897 r. zostały  przedstawione  zasady  mechaniki  w postaci 
wynikają cej  z  uogólnienia  definicji  potencjału  kinetycznego.  Badania  K Ó N I G S B E R G E R A 

zostały  zainspirowane  pracami  H E L M H O L T Z A .  W  pracy  pt.  O fizycznej interpretacji zasady 

minimum  działania  [2]  oraz  w  Wykładach  dynamiki  dyskretnych  punktów materialnych 

[3]  H E L M H O L T Z  zrezygnował  z  charakterystycznego  dla  mechaniki  założ enia,  że  energia 

kinetyczna  jest  j e d n o r o d n ą  kwadratową  funkcją  prę dkoś ci,  a  energia  potencjalna  zależy 

tylko  od  współrzę dnych  punktu  (i  czasu).  Celem  takiego  postę powania  było  jednolite 

mechanistyczne  uję cia  termo­  i  elektromechaniki. 

Róż nicę  energii  potencjalnej  i  kinetycznej,  czyli  podstawową  funkcję  Hamiltona, 

H E L M H O L T Z  nazwał  potencjałem  kinetycznym.  Potencjał  ów  H  =  V— T  w  uję ciu  H E L ­

M H O L T Z A  może  być  dowolną  funkcją  uogólnionych  współrzę dnych,  prę dkoś ci  i  czasu. 

Uzupełniając  H  dodatkowymi  członami,  odpowiadają cymi  siłom  zewnę trznym, 

H E L M H O L T Z  zapisał  zasadę  Hamiltona  i  odpowiednie  r ó w n a n i a  Lagrange'a  drugiego 

rodzaju  w  postaci  uogólnionej  \j  •  

I.  Ir 

(i)  b  J (H+  %  Q,ą \)'dt  =  ó'; 

dH  d  l8H\ 

8qt  dt  \  Cqi  I  ...  ' 

We  wzorach  tych  QT  oznacza  uogólnioną  reakcję  poruszają cego  się  u k ł a d u  na  zmian ę  

współrzę dnych  q{. 

K Ó N I G S B E R G E R  posunął  się  jeszcze  dalej  niż  H E L M H O L T Z  W  uogólnianiu  potencjału 

kinetycznego,  zakładając  go  w  postaci  dowolnej  funkcji  czasu,  współrzę dnych  i  ich  po­

chodnych  po  czasie.  Wynikiem  tego  były  uogólnione  postacie  róż niczkowych  i  całkowych 

twierdzeń  wariacyjnych. 

Uogólniona  zasada  d'Alemberta­Lagrange'a  ma  p o s t a ć  



404  N .  J.  CYGANOWA 

gdzie  H  jest  kinetycznym  potencjałem  —  daną  funkcją  czasu,  współrzę dnych  i  ich  po­
chodnych  po  czasie  (do  f­tej  włą cznie),  Xk  są  danymi  funkcjami  czasu  i  współrzę dnych, 
a  dxk  —  wirtualnymi  przemieszczeniami,  które  spełniają  r ó w n a n i a  holonomicznych  i  linio­
wych  nieholonomicznych  wię zów 

(3)  ^arkóxk  =  0,  (r  =  1,2,  . . . , / ) . 

Z  zasady  (2)  i  r ó w n a ń  (3)  otrzymuje  K O N I G S B E R G E R  za  p o m o c ą  m n o ż n i k ów  nieokreś lo" 
nych  u o g ó l n i o n e  r ó w n a n i a  Lagrange'a  pierwszego  rodzaju  dla  holonomicznych  i  liniowych 

nieholonomicznych  u k ł a d ó w : 

(4) 

oraz  uogólnione  r ó w n a n i a  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  dla  u k ł a d ó w  holonomicznych: 

8H  1  8H 

dxk  dt 

dH  dldH\  d1  I8H\ 
( 5 )  dq,  dt  \  8qt j  +  dt2  \  dq, J 

Q, = -  £ x k ­

— 1 
'  8H 

dt"  1  \  W 

2 , . . .  ,  m) 

We  wzorze  tym 

i *  a  ­. 
ddi  '  { 

jest  funkcją  czasu  i  uogólnionych  współrzę dnych  qt. 
W  przypadku  zwykłego  potencjału  kinetycznego  r ó w n a n i a  (5)  utoż samiają  się  z  uogól­

nionymi  r ó w n a n i a m i  Lagrange'a  (1). 
K O N I G S B E R G E R  otrzymał  również  uogólnioną  zasadę  minimum  wymuszenia dla  u k ł a d ó w 

holonomicznych.  U o g ó l n i o n a  definicja  wymuszenia  ma  p o s t a ć  

~   V  1  \  8H  d  I  8H\  .  d'  I  д Н  \  V Y 

Wymuszenie  Z  traktowane jest jako  funkcja  wielkoś ci  x[2r)  przy  ustalonych  x t ,  x k , 
x ( 2 v _ 1 ) ,  lub  odpowiednio  funkcja  wielkoś ci  q\2v)  przy  ustalonych  . . . ,  <7, 2 , , ­ 1 ) . 

Zakładają c,  że  potencjał  kinetyczny  Я  jest  całkowitą  funkcją  zmiennych  xk
v),  nie  zawiera­

ją cą  ich  pochodnych,  czyli 

<7>  ^ S W = 0 ' 
otrzymujemy 

(8) 

f  , y ­ i  1
  8Z  ­Y\dH  dl8H\  +  к  iYd'  I  8 H \  x]dx[2" 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  405 

Ponieważ  

dxk
2^  Bxk 

dqł2*>  dq,  ' 

m o ż na  sprowadzić  równanie  (8)  do  postaci 

i  dz  _  д н  dldH\  d>l  m 

z  której  na  podstawie  uogólnionych  r ó w n a ń  Lagrange'a  (5)  wynika,  że 

8Z 
(2;.)  =  0. 

Zatem  dla  wartoś ci  q\2v)  okreś lonych  za  p o m o c ą  uogólnionych  r ó w n a ń  Lagrange'a 
(przy  ustalonych  qt,  qt,  ...,  q\

2v~1'>)  i  odpowiadają cych  i m  wartoś ci  xk
2v)  (przy  ustalo­

nych  xk,  xkt...,  xk
2"~ly)  funkcja  Z  osią ga  punkt  ekstremalny.  Jeż eli  wszystkie  pochodne 

d2Hjdx[r)2  są  ujemne,  to  punkt  ten  odpowiada  minimum  Z ,  ponieważ  Z  jest  wówczas 
dodatnie.  W  przypadku,  gdy  H  jest  zwykłym  potencjałem  kinetycznym,  twierdzenie  po­
wyż sze  utoż samia  się  z  zasadą  minimum  wymuszenia  sformułowaną  przez  Gaussa.  Z  po­

wyż szego  dowodu  uogólnionej  zasady  minimum  wymuszenia  wynika,  że  jest  ona  odpo­

wiednikiem  uogólnionych  równań  Lagrange'a  drugiego  rodzaju. 

2.  Modyfikacja  zasady Gaussa  w  «Mechanice»  Macha 

Analityczna  postać  zasady  minimum  wymuszenia  we  współrzę dnych  holonomicznych 
osią gnę ła  kształt  ostateczny  w  wyniku  b a d a ń  uczonych  austriackich  A .  W A S S M U T A , 
E .  S C H E N K E L A  i  P.  L E I T I N G E R A .  Jednak  owe  prace,  jak  również  wcześ niejsze  badania 
uczonych  niemieckich  i  rosyjskich,  poś wię cone  są  zwykłej  gaussowskiej  postaci  tej  zasady. 
Dopiero  w  «Mechanice»  M A C H A  [4]  po  raz  pierwszy  pojawia  się  propozycja  modyfikacji 
twierdzenia  przez  odrzucenie  czę ś ci  wię zów  u k ł a d u .  Chociaż  M A C H  nie  p o d a ł  analitycznej 
postaci  swej  propozycji  i  zajmował  się  jedynie  wię zami  holonomicznymi,  to  jednak  jego 
pomysł  stanowi  waż ne  osią gnię cie  austriackiej  szkoły  mechaniki,  dają ce  impuls  do  dalszych 
uogólnień. 

W  «Mechanice»  M A C H A  p o r ó w n y w a n e  są  odchylenia  ruchów  rzeczywistego  i  wirtual­
nego  nie  od  ruchu  swobodnego,  jak  u  Gaussa,  lecz  od  ruchu  bę dą cego  wynikiem  odrzu­
cenia  czę ś ci  wię zów  u k ł a d u  p u n k t ó w  materialnych.  «Każ dy  z  nowo  wprowadzonych  wię ­
zów  —  pisze  M a c h  —  zwię ksza  odchylenie  sumaryczne,  lecz wzrost  ów jest zawsze  mini­
malny  ...  Jeż eli  zwią ż emy  ze  sobą  dwa  lub kilka  układów,  to  ruch  bę dzie  się  odbywał  z mini­
malnym  odchyleniem  od  ruchów  poszczególnych  podukladów.  Na  przykład,  jeż eli zbudujemy 
wahadło  liniowe  z  kilku zwykłych  wahadeł  to  ruch  wahadła  złoż onego  bę dzie  wykazywał 
najmniejsze  odchylenie  od  ruchów  poszczególnych  wahadel»  [4]. 

N a  podstawie  tak  zmodyfikowanej  zasady  Gaussa,  oblicza  M A C H  przyś pieszenia 
w a h a d ł a  złoż onego. 

«Przy  odchyleniu  a  zwykle  wahadło  wykazuje  przyś pieszenie  g s i n a .  Jeż eli  у sin a jest 
przyś pieszeniem  punktu odległego  o  jednostkę  długoś ci  od  osi  wahadła  złoż onego,  to 



406  N .  J.  CYGANOWA 

Zm(gs'ma — r y s i n a ) 2 ,  lub  Um(g — ry)2  osią ga  minimum. Stą d  Sm{g  — ry)r  =  0  lub 
Emr  ., 

r  * 27m/­2 

Zwracając  uwagę  na  to,  że  taki  sposób  rozwią zania  zagadnienia  о  przyś pieszeniach 

w a h a d ł a  złoż onego jest  najprostszy,  M A C H  objaś nia  to  tym, że «w zasadzie  Gaussa zawarte 
jest  już  cale doś wiadczenie  Huygensa,  Jakuba i  Jana Bernoulli  i  innych»2\  Z a  p o m o c ą  

Rys.  1 

przykładów  M A C H  stara  się wykazać,  że  «zasada  Gaussa  nie zawiera istotnie nowej  treś ci3}, 
że  jest  ona  mowa tylko formalnie,  lecz  nie merytorycznie^. Podobne  zdanie  o  zasadzie 
Gaussa  miał  D U R I N G .  «Nawet  to — kontynuuje  M a c h  —,  ż e  ona  (zasada  Gaussa,  przyp. 
autorki)  obejmuje statyczne  i  dynamiczne  zagadnienia,  również  nie stanowi  o jej przewadze 
nad zasadą  d'Alemberta  w postaci Lagrange''a,  o czym już  wspominaliś my^. 

Pomijając  niesłuszną  krytykę  zasady  Gaussa,  zauważ my,  że  « M e c h a n i k a »  M a c h a  za­

wiera  wiele  przykładów  zastosowań  tej  zasady,  przy  czym  wykorzystywane  są  róż ne 

postacie  wzoru  na  wymuszenie. Pod tym  wzglę dem  praca  ta jest  bardzo  interesują ca,  a  pre­

zentuje  przecież  ponadto  nowy  pomysł  o  odrzucaniu  wię zów. 

Zajmiemy  się  teraz  badaniami  B O Ł O T O W A ,  który  rozwinął  idee  M A C H A . 

I'­:!';  •  i.  i  i  •   : 

3.  Zasada  Gaussa  w  pracach  Bołotowa 

Praca  B O Ł O T O W A  [5] wyróż nia  się  p o ś r ód  wielu  publikacji  dotyczą cych  zasady  Gaussa. 

Miała  ona  duży  wpływ  na  póź niejsze  badania  tej  zasady.  Właś nie  ta  praca  zainteresowała 

zasadą  Gaussa  C Z E T A J E W A .  Wystarczy p o r ó w n a ć  pracę  B O Ł O T O W A  Z  pierwszą  publikacją  

C Z E T A J E W A  [6]  o  zasadzie  Gaussa,  aby  stwierdzić  jej  znaczenie  dla  uogólnień  C Z E T A J E W A . 

Przedstawimy  teraz  w  skrócie  wyniki  b a d a ń  B O Ł O T O W A i  p o r ó w n a m y  tok jego  rozumo­

wania  z póź niejszym  uogólnieniem  na  przypadek u k ł a d ó w  nieliniowych  w pracach  C Z E T A ­

J E W A . 

"  por.  [4]  s.  306­307 
2 )  tamże  s.  307 
3 )  tamże  s.  311 
4 )  tamże  s.  312 
5 )  tamże  s.  312­  .  '  ".  .  , 

i  •  



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  407 

3.1.  Zasada  minimum  wymuszenia  w  postaci  Bolotowa.  BoLOTOW  uogólnił  zasadę  Gaussa 
uwzglę dniając  nowe  koncepcje  odrzucania  wszystkich  wię zów  jednokierunkowych  oraz 
czę ś ci  wię zów  dwukierunkowych.  W  sformułowaniu  B O L O T O W A  u o g ó l n i o n a  zasada  Gaussa 
brzmi  nastę pują co:  «odchylenie  ruchu  rzeczywistego  od ruchu  układu,  w którym  zostały 
odrzucone  wszystkie jednokierunkowe  wię zy  oraz  dowolna  liczba  wię zów  dwukierunkowych 
jest mniejsze  niż odchylenie  dowolnego  ruchu  wirtualnego)*. 

W  zasadzie  uogólnionej  zamiast  Z  mamy  sumę  

di*  \ ~ i  dt*  •  
(1)  2jm  lv?* ~ j k x ) 2 + { j i y ~jky)2+w»« ~/w =   T  S IK' 
k t ó r a  jest  miarą  odchylenia  A>tego ruchu  od  /­tego.  Symbole jkx>jky>jkz  oraz  odpowiednio 

Jix>Jiy>Jiz  oznaczają  rzuty  na  osie  u k ł a d u  współrzę dnych  przyś pieszeń  punktu  material­
nego  dla  ruchów  A>tego i ('­tego w chwili  czasu  t  (ruchy  te nie  muszą  być  wirtualne).  Oba 
rodzaje  ruchu  zachowują  przy  tym  identyczne  współrzę dne  i prę dkoś ci  p u n k t ó w  material­
nych  w chwili  /.  i 

Jeż eli  i­ty ruch jest  ruchem  ukła d u  swobodnego  w wyniku  działania  sił  zewnę trznych, 
a  /с ­ty  ruch jest jednym z wielu  moż liwych  dla  danego  u k ł a d u ,  to wzór  (1) jest  identyczny 
ze  wzorem  na  wymuszenie Z  w zasadzie  Gaussa.  B O L O T O W  rozważa  odrzucenie  wszystkich 
jednokierunkowych  wię zów  holonomicznych  u k ł a d u 

(2)  <PM(t,x,y,z).>  0 ,  (ji =  1 , 2 ,  .!. m) 

wraz  z pewną  liczbą  wię zów  dwukierunkowych  .  , 

(3)  Mt,x,y,z)  =  0 ,  ( Л ­  1 , 2 , . . . / ) . 

D o w ó d  zmodyfikowanej  zasady  opiera  się  na dwóch  nastę pują cych  założ eniach: 
1)  Wirtualne  przemieszczenia  układu  z wię zami  (2) i  (3)  należą  do wirtualnych  prze­

mieszczeń  układu,  pozbawionego  wszystkich  jednokierunkowych  i  czę ś ci  dwukierunko­
wych  wię zów. 

2)  Istnieją  przemieszczenia  wirtualne,  których  rzuty  są proporcjonalne  do  róż nic 
Jkx—JixJky~Ji.yJkz—j\z­  Faktycznie  bowiem  z w a r u n k ó w ,  jakie  wynikają  z wię zów dla 
przyś pieszeń  w  ruchu  rzeczywistym  (Bolotow  nazywa  go ruchem  «pierwszym»)  oraz 
w k­iym ruchu  wirtualnym,  o identycznych  współrzę dnych  i prę dkoś ciach  p u n k t ó w  w  chwili 
t  wynikają  zależ noś ci:  .  . 

E  [жи к х~Л х )++~­Ukz­jiz)]  = o,  (я =  i,  2 , . . . ,  o , 

S  \~dfUkx~hx)+  ^dj  Mi^U*^rU«^Ą  > °'  ^  =  1'  2 ' ­ > m ) ­

Porównując  je z warunkami  dla przemieszczeń  wirtualnych  i 



408  N .  J.  CYGANOWA 

m o ż na  założ yć  

б х  =  a(jkx­jlx),  by  =  a(jky­j\y),  6z  =  a(jkz­jlz), 

gdzie  a jest  dowolnym  mnoż nikiem  dodatnim.  Wówczas  z zasady  d'Alemberta­Lagrange'a 
mamy 

(4)  X  [ ( ^ ­ w 7 ' i x ) 0 ' * x ­ y i J  + ( ^ ­ w A y ) ( A y ­ y ^ ) + ( Z ­ W 7 \ z ) ( j t z ­ ^ z ) ]  < 0 . 

Załóż my,  że u k ł a d  został  pozbawiony  wię zów  jednokierunkowych,  a  spoś ród  dwu­

kierunkowych  zostało  zachowane jedynie lt  wię zów.  Ruch  takiego  u k ł a d u ,  z zachowaniem 
poprzednich  prę dkoś ci  i sił  zewnę trznych  w  chwili  B O Ł O T O W  nazywa  ruchem  «zerowym». 

Przyś pieszenia  jox,joy,joz  dla takiego  ruchu  wynikają  z  r ó w n a n i a 

(5)  [(X­mj0x)Ax  + (Y­mj0y)Ay+(Z­mj0z)Az]  = 0, 

przy  czym  AX, AY, AZ muszą  spełniać  warunki 

N a  podstawie  pierwszego  z podstawowych  założ eń  m o ż na  przyjąć  

Ax  =  a(jkx­jlx),  AJ  =  a(jky­jly),  Az  =  a(jkz­jlz), 

co  pozwala  zapisać  równanie  (5) w postaci 

(6)  ]?  [(X­mj0x)(jkx­jix)  + (Y­mj0y){jky­jly)  + (Z­m  =  0. 

Odejmując  stronami  równanie  (6) i nierówność  (4), otrzymujemy 

(7)  J V m(j0xjkx  +j0yjky  +jozjkz)  ~  Ł  rnUlxjkx  +jlyjky  +jl  zjkz)  ­

­  ^m(JoxJix­JoyJiy+jozJiz)+  ^m(jlx+jly+jh)  < 0­

Wprowadzając  energię  przyś pieszeń  

m o ż na  wykazać, że 

2]  mUixJkx+jiyjky+jizjkz) =  Si +  Sk­Sik. 

W  takim  razie  relacja  (7)  przyjmuje  postać  

$ik~Sok  + Soi  ^  0>  lub  S10  ^  Sk0  —  Sik. 

Ponieważ  Slk  > 0 to S10  < Sk0,  czyli  odchylenie  ruchu  rzeczywistego od  ruchu  u k ł a d u 

czę ś ciowo  pozbawionego  wię zów  jest  mniejsze  niż odchylenie  dowolnego  ruchu  wirtual­

nego  od ruchu  u k ł a d u  czę ś ciowo  pozbawionego  wię zów. 

D o w ó d  powyż szy  zachodzi  również  w przypadku  liniowych  wię zów  nieholonomicznych. 

D w a  podstawowe  założ enia,  wykorzystywane  w  dowodzie  B O Ł O T O W A ,  są  również  naj­

waż niejszą  czę ś cią  dowodu  Czetajewa 6 ) . 

•  
6 )  por. [6]  s.  70. 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  409 

3.2.  Zastosowanie  uogólnionej  zasady  minimum wymuszenia  w zagadnieniu  osłabienia  wię zów  jedno­

kierunkowych.  Załóż my,  że układ  o wię zach  dwukierunkowych 

f,(t,x,y,z)  = 0,  (A = 1 , 2 , . . . / ) 

ma  s  współrzę dnych  qx, q2,  • • .,  qs •  Dodatkowe  wię zy  jednokierunkowe 

с>Д г, x,y,z)  > 0,  (LI = 1, 2, ...  m) 

wprowadzają  m  ograniczeń.  Zawsze m o ż na  okreś lić  współrzę dne  uogólnione  w taki  s p o s ó b , 
aby  te ograniczenia  miały  postać  

qi >0,q2>  0, ...,qm  > 0. 

Niech  w chwili  t wię zy  jednokierunkowe  są aktywne.  Wówczas 

4i = 0,q2  = 0, ...,qm  = 0. 

Z a k ł a d a m y  dodatkowo, ż e7 ) 

qi  =0,9г  = 0,  qm =  0. 

W  takim  razie drugie pochodne współrzę dnych  uogólnionych  dla  dowolnego ruchu  wirtual­

nego  spełniają  warunki: 

qik —  Pik,  qik  —  Pik, • • •,  kmk ~  Pmk, 
gdzie ptk  > 0 (por.  [7]). 

A b y  otrzymać  warunki  na osłabienie  (pasywnoś ć)  wię zów  jednokierunkowych,  B O Ł O ­
T O W  rozważa  sytuację,  w  której  odrzucone  są wszystkie  wię zy  jednokierunkowe  przy 
jednoczesnym  zachowaniu  wię zów  dwukierunkowych.  Wówczas  odchylenie  /с ­tego  ruchu 
wirtualnego  od zerowego  ruchu  ukła d u  o zredukowanych  wię zach 

Sko = 4  m [(jkx ­j0x)
2  + (jky ­j0y)

2  + (jkz  ­j0l)
2] 

m o ż na  otrzymać  z  wyraż enia  energii  kinetycznej  dla tego  u k ł a d u .  W tym  celu  należy 
zamienić  w tym  wyraż eniu  człony  drugiego  rzę du  wzglę dem  qt, q2,...,  qa  na  róż nice 
'4ik— '4ю , qik — 'qw, ••• qsk — 'qso­ W y n i k a  to z p o r ó w n a n i a  wyraż eń  na róż nice  przyś pieszeń  

д х  ..  д х ...  ..  .  д х  ...  ..  . 
Jkx­Jox  = ­g^­(4ik­qio)+  ­ g ^ ­ ( ? 2 * ­ ? 2 o ) +  ••• +­^­(«7s*­?»o)» 

i  pochodne 

dx  д х  д х  .  д х .  д х  • 
dt  dt  dqt  dq2 *  dqs 

Przyś pieszenia  q10,'q20,  • • • ,'qso,  wystę pują ce  we wzorze  dla  odchylenia  Sok,  są obli­
czane z równań  Lagrange'a  dla  ukła d u  o zredukowanych  wię zach.  Natomiast  przyś pieszenia 
w  ruchu  rzeczywistym  ukła d u  wyjś ciowego  wynikają  z  warunku  minimum  odchylenia 

7 )  Jeż eli 'qi > 0, q2 > 0, ...,qm  > 0,  to  nie  moż na  niczego  powiedzieć  o  drugich pochodnych 

Ч и Ч *  Ч т (Р О Г­ И s ­  l 8 8 ) ­



410  N.  J.  CYGANOWA 

Poszukiwanie  tego  minimum  B O Ł O T O W  dzieli  na  dwa etapy. Najpierw  okreś la  się  mini­

mum  S0k dla ustalonych  wartoś ci  przyś pieszeń:  q\k = fjlk, q2k  = fj2k,  qmk = fjmk. 
Wartoś ci  pozostałych  przyś pieszeń  qm+l,k>  qsk  obliczane  są z  w a r u n k ó w 

=  0 , . . . ,  =  p. 
Sq,„+i,k  d'<is, 

Wyraż ając  w tych  r ó w n a n i a c h  qm+i,k>  • • • • >'4sk  przez  [Jlk, fj2k, ..., fjmk  i  wstawiając 
je  do Sok,  otrzymujemy  minimalną  wartość  odchylenia  Ś0k. 

Nastę pnie  oblicza  się wartoś ci  j3lk, fi2k  fimk,  dla których  o0;t osią ga  minimum. 
B O Ł O T O W  pisze:  «Jeż eli  minimum  Sok  odpowiada  dodatnim  wartoś ciom  fj,  to  odpowiednie 
wię zy  w chwili t ruchu  rzeczywistego  są pasywne, podczas  gdy  pozostałe  są aktywne».  Tak 
wię c,  problem  podziału  wię zów  jednokierunkowych  na aktywne  i  pasywne  w  podejś ciu 

B O Ł O T O W A  jest  teoretycznie  prosty.  Jednakże  obliczenia  praktyczne  są bardzo  ż m u d n e. 

Biorąc  to pod  uwagę,  Bołotow  w § 4 swej  pracy  podaje  kilka  wskazówek  usprawniają cych 

obliczenia. 

Z  tego,  że Sok  jest  j e d n o r o d n ą  kwadratową  funkcją  róż nic  qlk  — ql0,  'q2k  — q20, 
'Łk­q\o,  wynika  j e d n o r o d n o ś ć  S0k  wzglę dem  róż nic  в1к­'д \0,  f32k­q20,  •••,§т к ­'4т о ­

M o ż na  zatem  obliczać  Sok  w sposób  nastę pują cy.  We  wzorze  energii  kinetycznej  u k ł a d u 
o  zredukowanych  wię zach  należy  wyróż nić  zbiór  T2  członów  kwadratowych  wzglę dem 
uogólnionych  prę dkoś ci  qt, q2,  qs.  Nastę pnie  należy  wyrugować  z  T2  prę dkoś ci 

qm+1,  ...,<7S  za  p o m o c ą  rownan 

д Т2  „  д Т2 „  8T2 
=  0,  ­ t e ^ r r . = 0,  = 0. 

dqm+i  "  dqm+2  ' '"' dqs 

Wreszcie  prę dkoś ci  pozostałe  qlt  q2, ... qm  należy  zastą pić  róż nicami  Pik — 'qio, 

fi2k~'q2o>  • •• >  Pmt
—vmo­

M i n i m u m  absolutne funkcji  5 0 i t j e s t r ó w n e z e r u i  osią gane  illa/З ц  = q\0,  fi2k  = q20> 
••• > Pmk  =  qmo­  Lecz fJik 5= 0 dla ruchu  wirtualnego.  Zatem  minimum zerowe Sok,  odpowia­
dają ce  ruchowi  rzeczywistemu,  otrzymamy  wtedy,  gdy  wszystkie  przyś pieszenia  qi0,'q2o, 
qm0  są nieujemne.  Jeż eli  zaś  niektóre  wartoś ci  tych  przyś pieszeń  są ujemne,  to  należy 
szukać  minimum  SQk  na granicy  obszaru  dopuszczalnych  wartoś ci  zmiennych  fiik  (tzn. 
zakładać,  że  niektóre  z nich  mogą  być zerowe).  ; 

Niech  flhk = Pik = ' . . . = 0, a [3pk > 0, (}rk>  0, ....  Wówczas  wartoś ci  Bik  minimali­
zują ce  Ś0k  na obszarze  dopuszczalnym  moż emy  obliczyć z  w a r u n k ó w 

dS0k  _  dSok  _  dSok  dSok 

Nastę pnie  B O Ł O T O W  wykazał,  że  nie  mogą  istnieć jednocześ nie  dwa  minima  na granicy 

obszaru. 

Jako  przykład  zastosowania  swej  teorii,  B O Ł O T O W  przytacza  takie  zagadnienie.  Jedno­

rodny  pręt  o masie  m oparty  jest  w  chwili  ; jednym  koń cem  o płaszczyznę  (x 0 y),  drugim 
zaś  o oś z (rys.  2).  Dopuszcza  się  moż liwość  utraty  kontaktu  mię dzy  oporami  a  prę tem. 

W  chwili  począ tkowej  pręt jest  w stanie  spoczynku i działa  n a ń  siła  F(X,  Y,  Z ) , zaczepiona 
w  ś rodku  cię ż koś ci  prę ta.  Należy  ustalić,  w jakich  okolicznoś ciach  może  nastą pić  w  chwili 

/  utrata  kontaktu  mię dzy  jednym z koń oów  prę ta  a płaszczyzną  podpierają cą.  , 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  411 

Oznaczmy  przez  x, y, z  współrzę dne  ś rodka  cię ż koś ci,  cp  =  ^х О А ,  0 =  ^ABz i przez 
l  połowę  długoś ci  prę ta.  Wówczas  wię zy  jednokierunkowe  mają  postać  

(1)  ż + lcosO  ^ 0,  x  — /cosresinO >  0,  y­lsincpsind  > 0. 

Rys.  2 

W  chwili  t  są one spełnione  r ó w n o ś c i o we  Energia  kinetyczna  u k ł a d u  bez wię zów ma 
postać  

i  . . .  i 
T  =  ­ i ­ m (x2 + y2 + ż2) +  — R2m(02 + cp2 s i n 2 0), 

gdzie  R oznacza  promień  bezwładnoś ci  p r ę ta  wzglę dem  osi,  poprowadzonej  prostopadle 
do  prę ta  przez  jego  ś rodek  cię ż koś ci.  Wybierając  jako  współrzę dne  uogólnione  wielkoś ci 
хв ,  У BI ZA,  dla  których  zachodzą  relacje 

xB  =  x — lcoscps'mO,  yB  = y — lsincpsin6,  zA  =  ż + /cos(9, 

moż emy  zapisać  warunki  (1) w postaci 

*в >  0 ,  yB>  0,  zA  >  0. 

Sposób  układani a  funkcji  S0k  został  omówiony  poprzednio.  Ze  wzoru  na  energię  
kinetyczną  w zmiennych xB, yB,  zA,  cp,  0: 

T  = ­­m[x2B+y
2

B+z
2

A  + cp
2ń n2Q(R2  + l2)+^^ 

— yB/sin  0 cos cp) + 20(lxB cos 0 cos 95 + lyB  cos 6 sin cp +  żA/sinO)], 

redukujemy  cp i Ó  na  podstawie  r ó w n a ń  

cep 

Nastę pnie  xB,  yB,  żA  zastą pimy  róż nicami 

XB  — XB0.  )'В—У В 0­  z A ~ Z A O t 
. . . .  

gdzie  xB0,  yB0,  zA0  oznaczają  przyś pieszenia  u k ł a d u  swobodnego,  czyli 



412  N .  J.  CYGANOWA 

Otrzymujemy  zatem  wzór  nastę pują cy: 

,2  /  v i 2  /  _ i 2 
­  1  m 
>JQk — 

2  R2 + l2 

N a  podstawie  tego  wzoru  B O Ł O T O W  okreś la  warunki,  które  powinna  spełniać  siła 

F(X,  Y, Z ) ,  aby  w chwili  t nastę powała  utrata  kontaktu  mię dzy  koń cami  p r ę ta  i płaszczyz­
nami  podpierają cymi. 

1.  Przyś pieszenia  koń ców  p r ę ta  xB,  yB,  zA  są dodatnie,  gdy koń ce  te  oddalają  się  od 
płaszczyzn  oporowych.  Zgodnie  z  uogólnioną  zasadą  Gaussa,  przyś pieszenia  te  m o ż na 

okreś lić  z  w a r u n k ó w  na minimum  funkcji  Sok: 

d^ok _  Q  ć )Sok  _  Q  dSpk  _ Q 
dxB  '  dyu  dz. 

Otrzymujemy  zatem 

X  ..  _  Y  ..  Z 
%B = > j ' B >  2A  —  •  

m  m  m 
Wartoś ci  te są dodatnie,  gdy  rzuty  siły  F na osie  u k ł a d u  współrzę dnych  są dodatnie. 

Tak  więc  oba koń ce  p r ę ta  tracą  kontakt  z oparciem, gdy 

Z > 0 ,  У > 0,  Z > 0 . 

W  podobny  sposób  m o ż na  z b a d a ć  pozostałe  przypadki. 

2.  Punkty  A i В tracą  kontakt  z płaszczyznami  xOy i yOz  (lecz В pozostaje  w kontakcie 
z  płaszczyzną  xOz),  gdy 

r < o ,  x > ­ * Ę  _ „  z >  ^ 

3. Punkt  В traci  kontakt z płaszczyznami  j O z  i xOz  (lecz punkt  /4 pozostaje na płaszczyź­
nie  xOy),  gdy 

Z < 0 ,  F > ­  Z ^ 
7 ? 2 + 3 c 2 + j 2 '  i ? 2 + P + j 2 , 

4.  Koniec  prę ta  fi  traci  kontakt  z  płaszczyzną  _yOz  (lecz  pozostaje  na  płaszczyź nie 
xOz,  a koniec A — na płaszczyź nie  xOy),  gdy  co najmniej  jeden z rzutów  Y, Z jest  ujemny. 

3.  Zastosowanie  uogólnionej  zasady  minimum wymuszenia w teorii uderzenia 

W  §§ 6 i 7 swej  pracy  B O L O T O W  udowadnia  stosowalność  uogólnionej  zasady  Gaussa 

w  teorii  uderzenia,  obejmują cej  działanie  zewnę trznego  impulsu  uderzeniowego  lub nagłe 

wprowadzenie  nowych  wię zów  (moż liwe  jest  też jednoczesne  obu  tych  oddziaływań ). 

Sformułowanie  zasady  minimum  dla uderzenia  poprzedzone  jest  pewnymi  nowymi  defi­

nicjami. 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  413 

Jeż eli  na  począ tku  uderzenia  układ  ma  wię zy  cp(t,x,y,z)  ^  0, to  pełna  róż niczka 
funkcji  cp po  czasie 

dcp^_ć kp_  yi/89.  , ^ L V + ^ L V \ 
dt  ~  dt  +  ZJ \8X   X +  8y  V y +  dz  Vz) 

jest  w  trakcie  uderzenia  ujemna  i nazywa  się  prę dkoś cią  odkształcenia  wię zów. 

Jeż eli  na koń cu  uderzenia  ograniczenie  cp(t, x,y,  z)  >  0 staje  się  pasywne,  to  zupełna 
róż niczka  dcp/dt  uzyskuje  wartość  dodatnią,  zwaną  prę dkoś cią  osłabienia  wię zów. 

Ruchem  czę ś ciowo  swobodnym  (lub ruchem  drugim)  nazywany  jest  ruch  u k ł a d u 
pod  wpływem  identycznych  impulsów  i  nagle  n a k ł a d a n y c h  wię zów  co w ruchu  rzeczy­
wistym,  lecz  po zredukowaniu  wszystkich  wię zów  jednokierunkowych  i  dowolnej  liczby 
dwukierunkowych. 

Uogólniona  zasada  minimum  wymuszenia  dla uderzeń  formułowana  jest  w  sposób 
nastę pują cy:  «Odchylenie  rzeczywistego  ruchu  po  uderzeniu  od ruchu  zwanego  drugim jest 
najmniejsze  poś ród  odchyleń  ruchów  wirtualnych,  które  mają  identyczne  z  ruchem  rzeczy­
wistym  prę dkoś ci  osłabienia  wię zów  jednokierunkowych}  (por. [6] s.  35  ­  36).  B O L O T O W 
przytacza  dowód  tej zasady  dla  wię zów  holonomicznych  (w  ogólnym  przypadku  nieustalo­
nych).  M o ż na  ów  dowód  rozszerzyć  na przypadek  liniowych  wię zów  nieholonomicznych­
Rozważ any jest ruch  u k ła d u  n p u n k t ó w  materialnych M{ o masach mt.  Niech  przed  uderze­
niem  układ  ma /  wię zów  dwukierunkowych. 

(!)  A(t,x,y,z)­0,  ( A =  1 , 2 , . . . , / ) 

oraz  m wię zów  jednokierunkowych 

(2)  F„(t,  x,'y, z)  >  0,  (>  ­  1 , 2 , 

W  ogólnym  przypadku  uderzenie  składa  się z  zewnę trznych  impulsów  F(X,  Y, Z ) 
i  nagle  wprowadzanych  nowych  wię zów 
(3)  cpv(t,x,y,z)>0,  v =  ( 1 , 2 ,  ...,p). 

N a  począ tku  uderzenia  (w  chwili  t) znane są prę dkoś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u ,  a tym  samym 
i  prę dkoś ci  odkształcania  nowych  wię zów 

=.«,',  (У =  1 , 2 , . . . , / , ) . 

Z a k ł a d a  się,  że  wię zy  (3)  pozostają  aktywne  w trakcie  uderzenia. 
Zgodnie  z  zasadą  d'Alemberta­Lagrange'a,  zachodzi 

(4)  £  {[X+mivo^v^dx+lY+mivoy­v^dy+lZ+mivo.­v^dz}  < 0, 

gdzie v0x,  v0y)  v0z  są rzutami  prę dkoś ci  p u n k t ó w  Mi  na  począ tku  uderzenia, vlx,  vly,  vlz 
oznaczają  rzuty  rzeczywistych  prę dkoś ci  tych  p u n k t ó w  po  uderzeniu, а д х ,  by,  dz  oznaczają  
rzuty  wirtualnych  przemieszczeń  p u n k t ó w  u k ł a d u ,  spełniają ce  warunki: 

1,2,  . . . , / ) , 

1,2,  m), 

1,2  p). 



414 N .  J.  CYGANOWA 

W  stanie  czę ś ciowo  swobodnym  u k ł a d  ma lt  wię zów  typu  (1) oraz  wię zy  typu  (3), 

które  pozostają  aktywne  w  trakcie  uderzenia.  Według  zasady  1'Alemberta­Lagrange'a 

dla  tego  ruchu  mamy 

(8)  {[X+m(v0x­v2x)]Ax  + [Y + m(v0y­v2y)]Ay  +  [Z + m(v0z­v2z)]Az}  = 0, 

gdzie v2x,  v2y,  v2l  są rzutami  rzeczywistych  prę dkoś ci  p u n k t ó w  u k ł a d u  czę ś ciowo  swobod­

nego,  a Ax, Ay, Az  oznaczają  rzuty  wirtualnych  przemieszczeń,  spełniają ce  warunki: 

Si 

Warunki  te  odpowiadają  wię zom  zachowanym  w  układzie  czę ś ciowo  swobodnym. We 

wzorze  (8)  wystę puje  znak  równoś ci,  ponieważ  wszystkie  stare  wię zy  jednokierunkowe 

zostały  odrzucone,  a  wię zy  nowe  są aktywne. 

Biorąc  pod  uwagę  fakt,  że  wirtualne  przemieszczenia  u k ł a d u  rzeczywistego  należą  

do  zbioru  wirtualnych  przemieszczeń  u k ł a d u  czę ś ciowo  swobodnego  (pierwsze  założ enie 

podstawowe),  m o ż na  zapisać  równanie  (8) w postaci 

(9)  ^{[X+m(v0x­v2x)]ex+[Y+,ir(v0y­v2y)]dy+[Z+m(v0z­v2z)]6z}  = 0. 

Odejmując  stronami  relacje  (9) i (4) otrzymujemy 

(10)  Łm[(v2x­vlx)dx+(v2y­vly)dy  + (v2z­vlz)dz]  0. 

Nastę pnie,  rozważ ając  warunki  na  prę dkoś ci  rzeczywistego  i  wirtualnego  ruchów 

układu  po uderzeniu,  B O Ł O T O W  wykazał,  że  istnieją  przemieszczenia  witualne  proporcjo­

nalne  do  róż nicy  tych  prę dkoś ci.  Rzuty  prę dkoś ci  p u n k t ó w  w  ruchu  rzeczywistym  po 

uderzeniu  spełniają  warunki,  wynikają ce  z r ó w n a ń  (1)  dla  wię zów  dwukierunkowych: 

W  +  2J \1X ­­Vlx+~dJ­Vi'+~W 
( I D  ^ + > , ( ^ т ^ Р 1 , + ^ 1 м (  (^   =   1, 2 , . . . , / ) , 

oraz  wynikają ce  z relacji  (3) i (2 ): 

< i2>   < ­ . . 2 , . . . . P ) , 

Jeż eli  rozpatrujemy  tylko  takie  rodzaje  ruchu,  że  prę dkoś ci  osłabienia  wię zów (3) 

są  takie  same,  jak  w  ruchu  rzeczywistym,  a  prę dkoś ci  osłabienia  wię zów  (2) są nie 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  415 

mniejsze  od odpowiednich  wartoś ci  rzeczywistych, to prę dkoś ci  wirtualne  po uderzeniu 

spełniają  warunki: 

8F 

06) « Ł + 
V  /  Ś F„  8FU  8FU  \  , ^  Ł  „ 
2 ;  ( i f  ~dy^Vky +  ~dłVkzJ  =  r " * 7 " '  ^  = ^  2, .... m). 

Odejmując  stronami  relacje  (11),  (12),  (13)  oraz  odpowiednio  (14),  (15),  (16),  otrzymujemy 

( 1 7 )  E  l~dit(Vkx~vix)+  4y(^­^)+4f(^~wiz)]= °' 
° 8 )  ^ [ ^ ( ^ ­ ^ x )  + 4 y ' ( ^ ­ ­ ­ ^ )  +  ^ ­ ( ^ z ­ . ; l z ) ] = 0 , 

( 1 9 )  E [ ^ ( v ^ ­ v ^ + ^ ^ ­ v ^ + ­ d § < v ^ ­ v ^ Ą = y i ­ y>  > °­

Porównując  to z warunkami  (5),  (6), (7) dla  przemieszczeń  wirtualnych, dochodzimy 
do  wniosku,  że  m o ż na  założ yć  

(20)  д х = k(vkx­vlx),  д у = k(vky­vly),  dz =  k(vkz­vlz). 

Podstawienie  wyraż eń  (20)  do wzoru  (10)  daje 

(21)  j ^ m K ^ ­ f l ! ^  ^  0. 
Z  relacji tej  wynika potwierdzenie  uogólnionej  zasady  Gaussa  dla uderzenia.  Faktycznie 

w  przypadku  uderzenia  odchyleniem  /­tego  ruchu  od  /с ­tego jest 

dt2 £m[(vix­vkx)
2  + (viy­vky)

2  + (viz­vkz)
2]  =  2dt2Tik, 

gdzie 
•  •  ".  . 

(22)  Tik =  \ E
m

  l(Vix tVkxY + (V" ~ "P* + {Vi* ~ Vk>)2] •  
Pomijając  stały  mnoż nik  2dt2,  moż emy  przyjąć  jako  odchylenie  Tik,  czyli  energię  

kinetyczną  prę dkoś ci  utraconych  przy  przejś ciu  z г '­tego  do k­tego  ruchu. 
N a  podstawie  oczywistego  zwią zku 

JT m(vixvkx  + viyvky  + vizvkz) =  Ti +  Tk­Tik, 

moż emy  przedstawić  (21)  w postaci 

(23)  T12<Tki­Tkl, 

Ponieważ  Tkl  > 0, z warunku  (23)  wynika 

(24)  T12  <  Tk2, 

czyli  odchylenie  rzeczywistego  ruchu  od  czę ś ciowo  swobodnego  jest  mniejsze  niż odchyle­

nie  dowolnego  ruchu  wirtualnego. 



416 N .  J .  CYGANOWA 

Jeż eli  przed  uderzeniem  układ  miał  tylko  wię zy  dwukierunkowe,  to relacje  (21) i  (23) 

stają  się równoś ciowe.  Jeż eli  ponadto  ruchem  «drugim»  jest  ruch  u k ł a d u  bez  wię zów, 

to  nierówność  (24) wyraża  klasyczną  postać  zasady  Gaussa.  Faktycznie,  podstawiając 

do  wzoru  (24)  wyraż enia  T12  i  TK2  dla  u k ł a d u  swobodnego,  otrzymamy 

7Л о+  ^  № « ­ B I» ) T F K ­ » . , ) T Z ( % ­ 5 U ) ]  < r w + 2[X(v0x­Vkx)  + 
+ X(v0y  ­  vky)  + Z(v0z  ­ vkz)], 

skąd  wynika,  że  funkcja 

TK0  +  2J   Щ ^ОХ ~Щх)  + X(v0y­vky)  +Z(v0z  ­vkz)] 

osią ga  minimum  dla ruchu  rzeczywistego  w klasie  ruchów  wirtualnych. 

B O L O T O W  zwraca  uwagę  na to, że  A P P E L  [8] nazywa  w swej  ksią ż ce  ten wynik  twier­

dzeniem  Robina,  gdy faktycznie  jest  to  tylko  postać  zasady  Gaussa  dla uderzenia.  Appel 

przeprowadza  dowód  zasady  Robina,  wykorzystując  twierdzenie  Carnota,  które  zachodzi 

tylko  dla wię zów  ustalonych 8 '  na począ tku  uderzenia.  Uważa  przy  tym,  że ograniczenie 

to  dotyczy  również  zasady  Robina.  Wykazują c,  że twierdzenie  Robina  jest  szczególnym 

przypadkiem  zasady  Gaussa,  B O L O T O W  udowodnił  słuszność  zasady  Robina  również dla 

p r z y p a d k ó w ,  gdy twierdzenie  Carnota  nie może  być  stosowane. 

Zauważ my,  że z  relacji  (23) wynika  nie tylko  nierówność  (24) wyraż ają ca  uogólnioną  

zasadę  Gaussa,  lecz  również  nierówność  

(25)  TKL  <  TK2. 

W y r a ż a  ona  twierdzenie,  że  odchylenie ruchu  rzeczywistego po uderzeniu od ruchu  wirtual­

nego  jest  mniejsze  niż odchylenie  ruchu  wirtualnego  od ruchu  czę ś ciowo  lub  całkowicie 

swobodnego.  Bołotow  nie zauważ ył  tego  wniosku. 

W  §  10 swej  pracy  B O L O T O W  pokazuje  zastosowanie  uogólnionej  zasady  Gaussa na 

przykładzie  zadania  o  zderzeniu  dwóch  ciał. 

D o w ó d  zasady  Gaussa,  podany  w pracy  B O L O T O W A  tylko  dla  wię zów  holonomicznych, 

przechodzi  również  w przypadku  liniowych  wię zów  nieholonomicznych. 

Rozpatrując  szeroką  klasę  zagadnień,  zwią zanych  z  uogólnioną  zasadą  minimum 

wymuszenia,  poję ciem  czę ś ciowej  redukcji  wię zów,  postacią  analityczną  i  dowodem 

zasady  minimum,  zastosowaniem jej w  teorii  uderzenia,  skomplikowanym  zagadnieniem 

osłabienia  wię zów  jednokierunkowych,  B O L O T O W  pozostawał  jednak  cały  czas  w  krę gu 

holonomicznych  i liniowych  nieholonomicznych  u k ł a d ó w .  Układy  z wię zami  nieliniowymi 

i  nieholonomicznymi  nie  były  rozpatrywane  w jego  pracy.  Pozostawiło  to otwartą  kwestię  

dalszego  uogólnienia  zasady  Gaussa.  Zagadnienie  to  stało  się  przedmiotem  b a d a ń  C Z E T A ­

J E W A ,  absolwenta  Uniwersytetu  Kazań skiego. 

Literatura  cytowana w  tekś cie 

1.  KÓNIGSBERGER,  Ober  die  Prinzipien  der  Mechanik,  Crelle's Journal,  B .  118  (1897). 
2.  H .  HELMHOLTZ,  Uber  die  physikalishe  Bedeutung  d. Prinzips  d.  kl.  Wirkung,  Crelle's  Journal,  B .  100 

(1886),  137­ 166,  213 ­222. 

8 )  por.  [8] str. 452. 



UOGÓLNIONE  POSTACIE  WARIACYJNYCH  ZASAD  MECHANIKI  417 

3.  H . HELMHOLTZ,  Vorlesungen iiber d. Dynamik diskreter Massenpunkte,  Leipzig  1898. 
4.  Э.  МА Х,  М е х а н и к а ,  И с т о р и к о ­к р и т и ч е с к ий  о ч е рк  её  р а з в и т и я,  1909,  с т р.  306. 
5.  Е.  А .  Б о л о т о в,  О  п р и н ц и п е  Г а у с с а ,  И з в.  ф и з .­м а т.  о б ­ва  п ри  К а з а н с к ом  у н и в е р с и т е т е,  21,  3 

(1916). 
6.  Н . Г .  ЧЕ Т А Е В,  О  п р и н ц и п е Г а у с с а ,  И з в е с т ия  ф и з и к о ­м а т е м а т и ч е с к о го  о б щ е с т ва  п ри  К а з а н с к ом  

у н и в е р с и т е т е,  с е р.  3,  т.  V I ,  1932—1933. 
7.  Г.  К.  СУ С Л О В, Т е о р е т и ч е с к а я  м е х а н и к а , М о с к в а ­Л е н и н г р ад  1946,  с т р.  188. 
8.  П .  А П П Е Л Ь,  Т е о р е т и ч е с к а я  м е х а н и к а ,  ч.  II.  М о с к в а,  ф и з м а т г и з,  1960,  с т р.  452. 

P O L I T E C H N I K A  W W O Ł G O G R A D Z I E 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  16  sierpnia  1975  r. 

2 Mechanika Teoretyczna 4