Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

4,  15  (1977) 

O  PRZYBLIŻ ONYCH  M E T O D A C H  ROZWIĄ ZANIA 
NIELINIOWYCH  RÓWNAŃ  RUCHU  ELASTYCZNIE 

POSADOWIONYCH  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH 

J A N U S Z  K O L E N D A  ( G D A Ń S K) 

li  Wstęp 

Opis  ruchu  elastycznie  posadowionych  silników  tłokowych  z  uwzglę dnieniem  zmien­

noś ci  prę dkoś ci  ką towej  silnika  wymaga  zastosowania  nieliniowych  r ó w n a ń  róż niczko­

wych.  Dodatkowym  ź ródłem  nieliniowoś ci  równań  ruchu  mogą  być  charakterystyki 

sztywnoś ci  i  tłumienia  p o d k ł a d e k  elastycznych.  Liniowe  składniki  r ó w n a ń  ruchu  mają  

z  reguły  wię ksze  wartoś ci  niż  nieliniowe  człony,  co  ułatwia  uzyskanie  przybliż onych  roz­

wią zań.  W  praktyce  najczę ś ciej  wykorzystuje  się  w  tym  celu  liniowe  r ó w n a n i a  ruchu  trak­

tując  prę dkość  ką tową  silnika  jako  stałą  wielkoś ć,  przy  czym  w  przypadku  nieliniowych 

charakterystyk  sztywnoś ci  i  tłumienia  p o d k ł a d e k  zastę puje  się je  liniowymi  charakterysty­

kami  [1,  2,  3].  W  pracach  [4,  5,  6]  uwzglę dniono  zmienność  prę dkoś ci  ką towej  silnika  przy 

zastosowaniu  metod  asymptotycznych.  W  niniejszej  pracy  p o r ó w n a n o  wyniki  obliczeń  

uzyskanych  przy  pomocy  wymienionych  przybliż onych  metod  z  rezultatami  obliczeń  

na  E M C  metodą  Rungego­Kutty.  Ze  wzglę du  na  dużą  czasochłonność  obliczeń  numerycz­

nych  ograniczono  się  przy  tym  do  rozpatrzenia  pionowych  drgań  jednocylindrowego 

silnika.  W y n i k i  obliczeń  mogą  służ yć  do  oceny  dokładnoś ci  i  przydatnoś ci  rozpatrywanych 

przybliż onych  metod  do  analizy  drgań  elastycznie  posadowionych  silników  tłokowych. 

. . .  .....  ,  . . . . . . . . 

2.  Model obliczeniowy 

Schemat  rozpatrywanego  u k ł a d u  drgają cego  przedstawiono  na  rys.  1.  R ó w n a n i a  ruchu 

tego  u k ł a d u  mają  p o s t a ć  [4]: 

(2.1)  v  + b2v  =  ^[­1Ь+тог е \с о ^  +  Х с о %2<р ) + т0г с р
2с о %ф \  + 

m  * 
e2  Г  . . /   .  1 ­ Й )  „i  \  . . .  1 

H  j mpr<plsm<p+  — /stn2t/)l  +m0rc>s\n<p I; 

(2.2)  'ф  =  £  \rT+ £cksm(Ck(p+vk)­B­ Jj Blsm(r)l<p + <r,)­hq>+ 
Ir  к   I 

+  m„rv  |sinc?+  у  Asin2c?|  +  ^ 0 ^ 8 0 1 9 ? +  у mpr<p
2(Xsin<p­2sin2<p­

­ 3 A s i n 3 9 ? ­ A 2 s i n 4 c O + mpgr  |sin9?+  у  Asin2<pj + m „ g r s i n ( p j  + 

+  ~mpг
2'ф  I­Xcos<p + cos2cp +  кcos3?) +  Я2cos4c>j. 

4  Mechanika  Teoretyczna  4 



450  J.  KOLENDA 

D o  obliczeń  przyję to  nastę pują ce  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  u k ł a d u : m  =  4000  [kg]  — 

łą czna  masa  u k ł a d u  drgają cego; mp  =  50  i  100  [kg]  —  masa  niewyrównoważ oną  w  ruchu 

postę powo­zwrotnym,  skupiona  na  osi  sworznia  t ł o k o w e g o ; m0  =  0  i  50  [kg]  —  wirują ca 

masa  niewyrównoważ oną,  skupiona  na  osi  czopa  korbowego; r  =  0,15  [m]  —  długość  

П 411  ii 7, 7777777777777777777777777777777: 

Rys.  1.  Schemat rozpatrywanego układu  drgają cego 
m  —  łą czna  masa  układu т о  —• wirują ca masa  niewyrównoważ oną, skupiona  na  osi  czopa korbowego;  mp  — niewyrównoważ oną  
masa w  ruchu postę powo­zwrotnym, skupiona na  osi  sworznia  t ł o k o w e g o ; L  —  długość korbowodu; r —  długość ramienia  korby; 
c y —^współczynnik  sztywnoś ci  podkładek  elastycznych;  ly  —  współczynnik  wiskotycznego  tłumienia  podkładek  elastycznych; 

u  —  pionowe przemieszczenie układu; rp —  kąt  obrotu  korby 

ramienia  korby; X = r/L  =  0,125  —  wartość  ilorazu  długoś ci  ramienia  korby  i  długoś ci 

l~c~  1  1 

korbowodu;  b  =  1/—  =  у  25т: i  — ­ 2 5 т :  [rad/s']  —  czę stość  d r g a ń  własnych  u k ł a d u ; 

/ 
0,1'  i  0,5  —  bezwymiarowy  współczynnik  wiskotycznego  tłumienia  pod­

v  =  2mb 

kładek  elastycznych; I = I'+mpr a 4­Я 2 ) +m0r2 =.  8  i  12  [kgm2], Г  mo­
ment  bezwładnoś ci  wirują cych  mas  wyrównoważ onych  wzglę dem  osi  w a ł u ; rT 

=  1700  | l —  0,75  Y  25ъ ~  )  —  ś rednia  wartość  momentu  napę dowego  silnika, 

pochodzą cego  od  sił  gazowych;  Д =  4­104  1 ­ 7 ^ ­ ­ )  [Nm]  — ś r e d n ia  wartość  momentu 
\  !  о  \  25т:  / 

cp— 25TC 

25т: 

oporowego  odbiornika  mocy;  C j  =  ­ 4  6,87  • 2 5 2  • 0,15  [Nm],  9,65  x 



O  METODACH  ROZWIĄ ZANIA  NIELINIOWYCH  RÓWNAŃ  R U C H U  451 

X 2 5 2 ­ 0 , 1 5  [Nm],  C 3 =  ­ J 8 , 0 4 • 2 5 2 • 0 , 1 5  [Nm],  C4  =  ~3  • 25
2  • 0 , 1 5  [Nm] — 

amplitudy  harmonicznych  składowych  momentu  napę dowego  silnika  od sił gazowych; 

^ ł  =  Т Ж5 2  [ r a d ] '  & 2  =  W 2 6  [ r a d L  ^ 3 =  W 9   [ r a d ] '  ^   =  W 3 5 7  [ r a d ] ~  

fazy  harmonicznych  składowych  momentu  napę dowego  silnika  od sił  gazowych;  £ =  — •  

liczba  cykli  pracy  silnika  przypadają ca  na jeden  o b r ó t  w a ł u ;  Ą = 0 —  amplitudy  harmo­

nicznych  składowych  momentu  oporowego  odbiornika  mocy;  h =  [Nms/rad] — 

współczynnik  wiskotycznego tłumienia  przy obracaniu  wału  korbowego; g =  9 , 8 1 [m/s2] — 

przyspieszenie  ziemskie. 

3.  Przybliż one  rozwią zania 

D o  obliczeń  wykorzystano: 

1)  rozwią zania  liniowych  r ó w n a ń  ruchu, 

2 )  rozwią zania  uzyskane  metodą  Kryłowa­Bogolubowa­Mitropolskiego  ( K B M ) , 

w  pierwszym  przybliż eniu, 

3)  rozwią zania  uzyskane  metodą  uś redniania  w pierwszym  przybliż eniu. 

A d  1. Przy  założ eniu,  że prę dkość  ką towa  silnika  jest  stała,  równanie  ( 2 . 1 ) posiada 

rozwią zanie 

v  =  v0  =  K + " * o ) ™
2

  c o s ( c o t ­ d l )  + 

™ | / ( 6 2 ­ ш 2 ) 2 + ( / у ­ ^ )
2 

mBrXco
2  .„ 

(3.  +  /  ,  c o s (2wr ­  r32), 

m y V ­ 4 c o 2 ) 2 + ( 2 / , ^ ) 2 

lvco  . . . .  с  2/j,co S ] n  г »! =  y  ,  sin Ó 

myV
2­a>2)2+(ly^f  mj/(b2­4co2)2+{2ly^J 

Prę dkość  ką tową  co  = co0 wyznaczono z  r ó w n a n i a 
(3­2)  : rT(co0)­B(w0)­hco0  = 0 . 

Wynosi  ona co0  =  2 5 т т   [rad/s]. 

A d .  2 . Asymptotyczna  metoda  K B M  daje  w  pierwszym  przybliż eniu  nastę pują ce 

rozwią zania  r ó w n a ń  ( 2 . 1 ) i  ( 2 . 2 ) dla stanów  ustalonych [4 ]: 

(mB  + m0)rco
2 

(3.3)  m(co +  b)y(b­co)
2

+(— /,) 

/„  mBrXco
2 

tgy  =  T ,  .4  "  = 2m(co­b)'  m(b2 ­ 4 a > 2 ) 



452  J.  KOLENDA 

przy  czym  co  spełnia  równanie 
•  

(3.4)  rT(co)­B(oo)­hm­  a2b%(co+b)  =  0. 

A d  3.  Stosując  m e t o d ę  uś redniania  wprowadza  się  zamianę  zmiennych 1 '  zgodnie 

z  wzorami: 

(3.5)  v  =  Acos((p+<j>),  b  =  ­Absm(cp+</>),  <p  =  Q 

i  przekształca  r ó w n a n i a  (2.1),  (2.2)  do  postaci 

(3.6)  A  =  eXR,  ф  =  sYR,  Q  =  sZR. 

Funkcje XR,YR,  ZR  okreś lono  w pracy  [5].  Rozwią zań  r ó w n a ń  (3.6)  poszukuje  się  w postaci 

A  =  a +  eU(a,  ip, co,  <p), 

(3.7)  ф  =  y> +  eV(a,  xp,w,  cp), 

Q  ==  m +  sW(a,  f,  с о,  с ?), 
gdzie  a,  y>,  co  oznaczają  wolnozmienne  składowe,  zaś  U,  V,  W  wibracyjne  składniki.  Po 

podstawieniu  (3.7)  do  r ó w n a ń  (3.6)  i  uś rednieniu  otrzymuje  się  dla  stanów  ustalonych 

rozwią zania  w  pierwszym  «nieulepszonym»  przybliż eniu  [5] 

П й  „  (mp  + m0)rm
2 

(3.8)  a  =  r  ,  tgy  = 
2^ "[/ ('­w)2+(i^ )2 ' 

2m((o  —  b) 

przy  czym  prę dkość  ką towa  co  okreś lona  jest  zależ noś ciami 

(3.9)  rT(m) — B(m)­hm +  ]­(mp  + m0)abrms'mf =  0,  s i n y  ­
  a / ^ v 

2­У 7­  u /   r  '  r  (mp  + m0)rco
2­

W  pierwszym  «ulepszonym»  przybliż eniu  drgania  masy  m  wyraż ają  się  zależ noś cią  

(3.10)  v  =  (a + eU)cos(cp +  ip  +  eV)  S  (a+eU)cos(cp+ip)  — eaVsm(cp +  ip). 

Funkcje  U  i  V  wynoszą  

U  =  |oW^sin2((7J +  y) +  (Wp­fmo)rco2cos(2g9  +  y ) ) ­

— 2mprXm
2 ^cos(c5  —  ip)  —  ­~  cos(3<p­f­y)jj, 

(3.11) 

V  =  Ąafoma)  ^ably cos2(y +  f)  ­  (mp  + m0)roi
2 sin(2y +  y>)  ­

—  2mprXm
2 j^sin( C)­y)  +  У  sin(3c/) +  y ) J J . 

W  wyniku  podstawienia  (3.11)  do  (3.10)  otrzymuje  się  

,~.  ,  co  +  b  ,  .  mDrXm
2  .  ,  .  ,  „ 

(3.12)  v  =  a—=—­cos(ro +  w)  cos2<p  =  a^cos^­l­^)  — b^co52cp. 
2co  ibm 

W  zależ noś ciach  (3.9)  zamiast  amplitudy  a  wystą pi  zatem  w  pierwszym  «uIepszonym» 
co+b 

przybliż eniu  amplituda  ax  =  a­
2co 

"  Analogiczną zamianę zmiennych stosowano w  pracach  [5,  6]. 



O  METODACH  ROZWIĄ ZANIA  NIELINIOWYCH  RÓWNAŃ  RUCHU  453 

4.  Rozwią zanie  numeryczne 

D o  obliczeń  numerycznych  zastosowano  metodę  Rungego­Kutty,  czę sto  uż ywaną  

do  wyznaczania  rozwią zań  u k ł a d ó w  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  [7].  D o k ł a d n o ś ć  

tej  metody  zależy  od  rzę du  zastosowanych  formuł  i  kroku  całkowania.  Przyję to  formuły 

I V  rzę du,  wygodne  do programowania  ze wzglę du  na ich  prostotę  i zapewniają ce  wystar­

czają cą  dokładność  obliczeń  (błąd  w jednym  kroku  jest  rzę du Q5, gdzie Q oznacza  krok 

całkowania).  Przyję to  krok  całkowania Q =  6,67704 • 1 0 " 4 [s], odpowiadają cy  obrotowi 

wału  silnika  o kąt  cp  — 3° przy  prę dkoś ci  ką towej  co0  =  25rc  [rad/s],  (tj.  przy  750  obr/min) 
i  zapewniają cy  wystarczają co  gę sty podział  przedziałów  zmiennoś ci  funkcji  trygonometrycz­

nych,  wystę pują cych  w równaniach  (2.1)  i  (2.2).  R ó w n a n i a  te zastą piono  u k ł a d e m  r ó w n a ń  

róż niczkowych  pierwszego  rzę du 

x, 

AD­BC 

mC­A2  ' 

В  =  x2r[(mp  + m0)coscp + mp Xcos2cp]~ lyz  — cyv, 

С  =  I—mpr
2  \ —  \r  Xcoscp +  ~  cos2c9 +  ­ i  Xco$3cp+­^­ Pcos4cp 

\  2  2  2  o 

D  =  rT(x)  +  Ck smtfkcp + §k) ­  B(x)  ­  hx + m„gr  | s i n cp + у  X sin 2<pj + 

+m0gr sin cp + ­r­ mp г
 2x2  (X sin cp ­  2sin 2cp — 3X sin З с р ­  X2 sin 4cp). 

Wartoś ci  począ tkowe  dla t =  cp= 0 wyznaczano  z  zależ noś ci  (3.1) dla x(0) =  w0  = 
=  25rc  [rad/s].  Stwierdzono,  że  przy  takich  wartoś ciach  począ tkowych  nastę powało 

stosunkowo  szybkie ustalanie  się  obliczeniowych  p a r a m e t r ó w  ruchu  silnika, co umoż liwiło 

przerwanie  obliczeń  po 720 krokach  całkowania. 

(4.1) 

gdzie 

A 

v  =  z,  cp  = 

. _  mD—AB 
X  ~  mC­A2  '  Z ~ 

Ч   r  j (mp + m0)sincp+ — Xmpsin2cp 

5.  Wyniki  obliczeń  

W  obliczeniach  ograniczono  się do  analizy  drgań  u k ł a d u  w stosowanym  w praktyce 

zakresie  wartoś ci  ilorazu  podstawowej  czę stoś ci  wymuszeń  do  czę stoś ci  drgań  własnych 

amortyzowanego  obiektu  ц =  co Ib >  \^2.  Pomimo  że tłumienie  w p o d k ł a d k a c h  elastycz­

nych jest na ogół  małe, zbadano  także  zachowanie  się analizowanego  u k ł a d u  i  p r z y d a t n o ś ć  

wymienionych  w  rozdziale  3  przybliż onych  metod  w  przypadku  silniejszego  tłumienia, 

Przyjmując  wartość  bezwymiarowego  współczynnika  tłumienia  p o d k ł a d e k  v =  ly/2  mb  = 

=  0,5.  W y n i k i  obliczeń zestawiono  w  tablicy  1, a wybrane przebiegi  drgań  silnika  w  funkcji 

czasu  oraz  wyznaczonej  metodą  Rungego­Kutty  prę dkoś ci  ką towej  silnika  w  funkcji 

czasu  przedstawiono  na rys. 2 ­ 5 . 



3 

3  о  
о  » 
>  ы > 

с  

i: 

1 

«u
!e

p
sz

on
e>

 
p

rz
yb

li
ż

en
ie 

3  о  3 

w  «
u

!e
p

sz
on

e>
 

p
rz

yb
li

ż
en

ie 

­o 

[m
m

] 

:t
od

a 
II

 

[m
m

] 

S 

«n
ie

u
le

p
sz

on
e»

 
p

rz
yb

li
ż

en
ie 

& 

3 

К  
CN 

v£> 

1 
о  
3 

«n
ie

u
le

p
sz

on
e»

 
p

rz
yb

li
ż

en
ie 

II 
E 

& 

& 
К  

<N 

\Ć > 
1 

3  о  
3 

to
d

a
 I

I 
V U

 
1

1
 

I 
1 

S  P. 
4 

[m
m

] 

E 
В   [m

m
] 

t: 

vó 

3  o 
3 

od
a
 I

 

•с  

[m
m

] 

M
et

 

[m
m

] 

E 
В   [m

m
] 

k
ła

d
u

 
:o

 

о  
3  ­o 

n
et

ry
 u

 

§ 
3, 

Q. 

5 
"oo 
,g 

О  
S 

" з д  

o o Q n ­ > o o \ o m > n c o 
o\   o  o\    ̂ o\   o\   ON 
о"  o  o"  o"  o"  o"  o" 

N  г ?  *Л  ^  f i  N  <Л  
( N O ' — ' O C h f S m O N 

4   1 0  и '  H .  .  • t̂­5 
vo  vd  чо  vo 

o"  o"  o"  o"  o"  o"  o"  o" 

00  OO 
\D  NO  OO  OO 
• Л  « О  O  O 

N  N  и  и  
 ̂ T t  OO  00 

O  O  cn  m 
m m es cs o o o o o o o o 

( N  <N  Ю  
O  ON  Г ­  Г ­
f >  0 \  N  f S 

r­  o  o 
сч  r l  w­T  irT 

h ­  h  N 
Tf  Tf  Г­  C ­
n  ГЛ  Ю  o 

"П  T t  TT 
t ­" 

о"  сГ  сГ o"  o"  o  o"  o 

— i  —  V£>  Ю  f S  <N  i­ч  
Г ­̂  vOfc  \£>Л  ON  ON  ON  ON 
n  *o  vo  oC  aC  «Г  as 

r ­ ­ r ­ ­ a \ a N i n » n o o o o 
O N O N T f ­ ^ O O O O ­ H — < 
O N O N O N O N O O O O r ­ ^ r ­
O N ^ O N O N O N O N O S O N O N 
o"  o*   o*  o*  o"  o"  o*  o* 4 

o"  o  o"  o  o"  o  o*   o1 

oo  oo 

4.  4, 

Г ­  Г ­  ЧО  H  H  0 0 
\D \D  fN| 
t  t  h 

VO  « П  V N 
00  t ' ­  t ­­
t N  oo  oo 

o  o 
T t  4fr  ЧО  VO 

ON  ON 
0O 00 
» 0  V ł 

r i  ON 
Ю  Ю  M 
» П  V N  O 
>Л  "Л  oo 

OS  O l  M 
m  m  r*­> 
O  T t  T f 
0O i—t i—1 

r j ­ r f o o o o o o o o r ­ ­ r ­ ­
< N < N O O O O < N ( S 

O O ' ­ f r ­ I T ­ H T ­ H l — ł  1­1 
o4  c>  сГ  o  o  o*   o"  o 

m  f i  c i  —i i — i  oo  w 
• n i o N M f o n r t ­ T l ' 
f N  <N  *«t \Q \D  \ 0 

o"  o"  o"  o  o*4  o"  o  o' 

M  f N  M  c N  M  t­Г  i n 

O O f N O O f N O C f N C O f N 

O O O O O O O O 
Ю Ю О О О О ОО  

1  i 

~  II 

i  ' 
S  o 
а  « 

а  

• 

Г: 

[454] 



1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

/   И »* 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

/  /  /
  v 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

/ / 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

f  у   / 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

X  i 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 - / 
\   /  / 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 - / /  / / 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

/ /  / / 

6 

V, 

5 
"] 

4 

э  

2 

1 

/  /  / / /  /  /   / 

1 О  0,04  Q08  0.12  QfB  0,20  0,24  0.28  0.32  Q36  0,40  0,44  tlS]  0,50 
­  2.  Wykres  przebiegu  pionowych  drgań  układu  w funkcji  czasu  dla  m0  =  0,  m,  =  50  [kg],  b  = 

=  — 25тг  [rad/s], v =0,  1, /  =  8 [kgm2] 
2 

według  Rungego­Kutty  dla  <p(0)  =  <o0,  „ ( 0 ) — vo(0),  i{0)  =  iolfi); «о —ustalone  drgania  według  rozwią zania  linioweg 
równania  ruchu;  v i  —  ustalone  drgania  według  metody  K B M 

0 0.04 0.08 0.12 0,16  020 0,24 0,23 0,32 0,36 0.40 0,44 t[j] 0,50 

•  3.  Wykres przebiegu  pionowych  drgań  układu  w  funkcji  czasu  dla  m0  =  50  [kg],  mp  — 100  [kg'[ 

b  =  —  25тг  [rad/s],  v =  0,5,  1=8  [kgm2J 
1,6 

według  Rungego­Kutty  dla <p(0)  «ii » o .  w(0)  =  «o(0), 1(0)  — ć o(0);  uo — ustalone drgania  według  rozwią zania  liniowego  rów­
nania  ruchu; « i —  ustalone  drgania  według  metody  K B M 

[455] 



Rys.  4.  Wykres przebiegu  prę dkoś ci  ką towej  silnika  w  funkcji czasu  dla  m0  =  0,  mp  =  50  [kg], 

=  — 25тг  [rad/s],  v =  0,1,  /  =  8  i  12  [kgm2] 

<р (0)  =  o)0 >  „(0)  =  ч о (0),  (1(0)  = x5o(0) 

<?(0)  =  wo,  l)(0)  =  Uo(0),  г >(0)=ё о (0) 

[456] 



O  METODACH  ROZWIĄ ZANIA  NIELINIOWYCH  RÓWNAŃ  RUCHU  457 

6.  Uwagi  koń cowe 

W  przypadku  liniowych  charakterystyk  sztywnoś ci  i  tłumienia  założ enie  o  stałoś ci 

prę dkoś ci  ką towej  pozwala wyznaczyć  z wystarczają cą  w praktyce  dokładnoś cią  parametry 

drgań  silnika  w  oparciu  o  liniowe  równania  róż niczkowe  ruchu.  Rozwią zania  takie nie 

uwzglę dniają  j e d n a k ż e  wpływu  tłumią cych  własnoś ci  p o d k ł a d e k  na  stratę  mocy  i  spadek 

prę dkoś ci  ką towej  silnika,  co może  o k a z a ć  się istotne,  zwłaszcza  przy  wię kszych  wartoś­

ciach  współczynników  tłumienia  podkładek.  Z  r ó w n a n i a  (2.2)  wynika,  że  dodatkowy 

moment  oporowy  na  wale,  wywołany  drganiami  silnika,  wynosi 

(6.1)  | s i n c ? +  —  A S ^ C J J AM = — mprv  (sinc?­!­ lń i\2cp\ — m0rvsincp 

P o  podstawieniu  do  (6.1) rozwią zań  (3.1),  otrzymuje  się stały  składnik  dodatkowego 

momentu  oporowego 

(6.2)  ( Д М )0  = 
(тр  +  т0)

2г2ю4  (mprXto
2)2 

2m у (b2­co2)2  +  [ l y ^  и  j / ( b
2 ­ 4 c o 2 ) 2  + \ l l y ^ 

W  celu  uwzglę dnienia  spadku  prę dkoś ci  ką towej  silnika  na  skutek  tłumienia  w pod­

kładkach  należy  zatem  równanie  (3.2)  zastą pić  r ó w n a n i e m 

(6.3)  rT(co) ­  B(a>) ­hco­  ( A M ) 0  =  0. 

Wyznaczone na podstawie  (3.1) i  (6.3) parametry  ruchu  analizowanego  u k ł a d u  podano 

w  tablicy 2. 

Tablica 2. Wyniki  obliczeń  parametrów ruchu silnika z zależ noś ci (3.1) i  równania  (6.3) 

.  • .   . .  

Lp. 
Parametry  układu  Metoda  I z  uwzglę dnieniem 

Lp. 
drgają cego  dodatkowego  momentu oporowego 

m 
~Y 

V  a  by 
CO  <Ps 
ft>0  6­27Г  

[kg]  [kg]  [mm]  [mm] 

1  0  50  2  0,1  2,4806  0,0624  0,9984 
2  0  100  2  0,5  4,1752  0,1209  0,9771 
3  50  100  2  0,5  6,2921  0,1212  0,9481 
4  50  100  1,6  0,5  6,4862  0,1236  0,9322 

a, bi — amplitudy  pierwszej  i  drugiej  harmonicznej  drgań  silnika,  m — ś rednia  prę dkość  ką towa 
silnika,o)0  =  =  25  71 [rad/s], (ps [rad] — kąt  obrotu  wału  silnika  w  czasie  od  1 =  0 do 1 = 720­
• 6,67704­10­4  [s]. 

Zależ ność  (6.2)  przedstawić  m o ż na  w postaci 

(6.4)  ( Д М )0  =  —  (mp+m0)
2r2w2nl+  —  w

2 r 2 w 2 T t 2 
m  m 



458  J.  KOLENDA 

4 A V 

gdzie  oznaczono 

Щ  ~  (l­ft2)2+4fi2v2  '  *2  ~  0 ­ 4 / л 2 ) 2 + 1 6 / А 2  * 

Bezwymiarowy  współczynnik TZ2 ma w praktyce  znacznie  mniejszą  wartość  niż współ­

czynnik  П х .  Zależ ność  wartoś ci  współczynnika  TC]  od wartoś ci  ilorazu  czę stoś ci  /л = m/b 
dla  róż nych  wartoś ci  bezwymiarowego  współczynnika tłumienia v = ly/2 mb  przedstawiono 
na  rys. 6. Maksymalne  wartoś ci  7it wystę pują  przy 

(i  =  i / 2 i ­ 2 ­ l +  J/(2J> 2 ­1) 2 + 3  . 

77, 
501 

2Q0 

tao 

50 

2.0 

1.0 

Ц 0 

02 

OJ 

005  П Н /  \ 
0.02  II1II / 
0.01  li/I / 

0.005  II i 
0.002 II  i 
0.001 II11 1 1  1  !  1  1  1  1  1  1  ,M 

0,0  0,2  0.4  0.6  0.8  1,0  1.2 (4  16  1.8 2.0  22 

Rys.  6. Zależ ność  wartoś ci  współczynnika TCJ od  wartoś ci  ilorazu czę stoś ci ц = co/b dla róż nych  wartoś ci 
bezwymiarowego  współczynnika  tłumienia v =  lyj2mb 

W  ogólnym  przypadku  drgań  silników  rzę dowych z cylindrami w układzie  V równanie 
(6.3)  przyjmuje  p o s t a ć  

2л  

(6.5)  crT(co) — B(m) — hm — 
O) 

2n 

w 

Л МЛ  = o, 

gdzie  с jest  liczbą  wykorbień  wału  korbowego,  przy  czym  zgodnie z [4] i przyję tymi  w tej 
pracy  oznaczeniami  zachodzą  zależ noś ci: 

A M  =  ­mplP1­mp2P2­m0P3, 



O  METODACH  ROZWIĄ ZANIA  NIELINIOWYCH RÓWNAŃ  R U C H U  459 

Pm  =  ­  у  ^4cr2mco  | i + i  A 2 ) + Ę  ^2r2f2f3(o
2(y2cos2  д ±в у &Ь 2д  + 

+ / 5 2 s i n 2  <J) +  2 r V i « ( 2 y y c o s 2 a ± / t y s m 2 ó ± y 0 s i n 2 d + ^ ^ 

±P&ind)­2rb1  f3  у (у cos <5 ± /3sin <5) + 2/r, / 3  cos д ± fi sin <5)+2rf3i(a  sin c5 ± 

±  cos d) ­  2r 2 / j f3  (y cos c5 + /9 sin r5) (7 cos б ± в sin <5) ­  г
 2 w 2 а2  | y  A sin(0 +  $ ) ­

­  sin2(0 + 6) ­  j  Asin3(0 + <5) ­  ­  A 2 sin4(0 + (5)J + 4r2oma \j  Acos(0 + (3) ­

­  у c o s 2 ( 0 + < 5 )­  у  Acos3(0 + ó ) ­ ~  A 2 cos4(0 +  c5)J   + 2 / ­ ( a „ ± e ) / 3 7 ( a s i n c 5 ± 

±  cos д ) ± 2rcx f3  a(a sin (5 + cos <5) — 2r
 2/t  f3  aa + 2r (a„ ± e) f3  /?(a cos 6 + sin (5) — 

— 2rf3iv(<xcos д + sin 6) — 2rb1f3'd(txcos 6 + sin  t5)J   J , 

>3  ~  ­  \­\2cr2yyw  + 2cr2PP(o­2cr4  + cr2(Py^y^)+  £  ­ 2 r 2 y > W o s 2 0 + 

+ r 2y2co 2  sin 20 + 2r2$?a> cos 20 ­  r2B2co2  sin 20 + 2ryu sinO ­  2r/?Mcos 0  ­

— 2/7j>o У У sinO + 2rb0 By cosO + 2rc0 y/? sin 0 ­  2rc0  cos 0 ­  r
 2 y y sin 20 + 

+r2 f3y cos 20+r2yficos26  ­  2r2y'Bco sin 20 ­  2/­2/9yw sin20 ­  2r2fiyco2 cos 20+ 

+ r 2p'B sin 20 ­  2TO sin(0 ­  a) + 2 / r 0 a sin(0 ­  a) ­  2an ry sin(0 ­  a)  ­

— 2 w c o s ( 0 ­  a) + 2 r a „ / ? c o s ( 0 ­ a ) ­ 2 & 0 r a c o s ( 0 ­  a)JJ , 

/ ,  =  cos(0 + <5) + j A c o s 2 ( 0 + <5), 

/ 2  =  cos(0 +д ) + Л cos2(0 + c5),  '.
 ; . 

•i 

/ з  =  sin(0 + ó) + y A s i n 2 ( 0 + <5), 

0  = cot + ndniz. 

Wielkoś ci  и, v,  w, a,  /? i  у  są  rozwią zaniami  liniowych  r ó w n a ń  róż niczkowych  ruchu, 
które  m o ż na  uzyskać  m.in.  z  podanych  w pracy  [4] r ó w n a ń  (4.1) przez  podstawienie 
Ф ~  co, cp  =  wt. 

Wyraż enia  opisują ce  funkcje  Plt2  i P3  upraszczają  się dla  silników  wielocylindrowych. 
Przykładowo,  dla  silników  o u k ł a d a c h  wykorbień  podanych  w tabl. 3 otrzymuje  się: 

dla  silnika 4/1 

P1/2  =  SK,(smcot­coscot + 2?.sin2cot)+K2, 

P3  =  rS[(y­ctp) (sincur­coscyr)­(/) + ay)  (coscor+sincuj)], 

­



J .  KOLENDA 

dla  silnika 4/2 

Р ц2  =  SKi(3s'mmt + coscot) +  K2, 

p3 =  rS[(y —a/S)  (3sina)r + cosa)i)­(/9+a7)  (3coswf­sincor)], 

dla  silnika 5/1 

P 1 / 2  =  SAT, | o , 2 6 4 s m « f + 0 , 3 6 4 c o s u > f + y  A(4,736sin2cor+l,528cx)s2eoOj, 

P3  =  rS[(y­<xJ3)  ( 0 , 2 6 4 s i n c o r + 0 , 3 6 4 c o s a ) 0 ­ ( / Ś ' + « y)  (0,264cosa>f­0,364sincoO]; 

Tablica 3 

Liczba 
w у kor ­
bień  

Oznacz, 
silnika 

4/1 

4/2 

5/1 

6/1 

Układ  ( 
wykorbień  

1 

3" 

t 
2.SK^34 

Liczba 
wykor­
bień  

Oznacz, 
silnika 

8/1 

8/2 

8/3 

8/4 

Układ ; 
wykorbień  

1.8 

14.6 

2.7 

1.8 

3.6^^2. 

4.5 

dla  silnika 6/1 

P L L 2  =  jr
2X[(ycosd±p'smd)  (y cos <5 ± fi sin 3) ­  2co2 ( y 2  cos 2 <5 ± fiy sin 2ó + /32 s i n 2 <5 + 

+  a 2 ) + aa] sin З шг ­  Ъ г 2co(2yy cos2(5 ±  fry sin2(3 ± y/ 3 sin 26 + 2fip sin215 +  

+ 2aa)  | l + i ­ X2­Xcos3cofj  , 

i 

dla  silnika 8/3 

P L L 2  =  SKt [ ( 3 ­ 2  (/2)  sincof +  ( l ­  |/2~) coscor],  P 3  = 0, 

Р ъ  = 0, 
dla  silnika 8/1 

Л / 2  =  2 f 2 ,  P 3 = 

dla  silnika 8/2 

Pll2  =  2A:2 ) P3 = 



O  METODACH  ROZWIĄ ZANIA  NIELINIOWYCH RÓWNAŃ  RUCHU  4 6 1 

dla  silnika  8/4 

Р ф  =  5 ^ 1 [ ( 3 ­ 2 i / 2 ) s i n t w r ­ ( l ­ l / 2 ) c o s t y r ] ,  P3  =  0. 

W  powyż szych  zależ noś ciach  oznaczono: 

Ki =  ' ' [ y ( « s i n ( 3 ± c o S ( 5 ) ­ ^ ( a c o s c ) + s i n у ) ] , 

K2 =  ^ / •
2 A 2 [ ( y c o s у ± J Ś s i n у ) ( y c o s < 5 ±/ 3 s i n f 3 ) ­ 4 «

2 ( y 2 c o s 2 ( 5 + j S y s i n 2 ( 3  + 

+ P2sin2  6 + a2)  + aa]sin4cot­ ~  r2co(2yy cos 2  6± fiysin26±y^sin26  + 

+2/S/J s i n 2  <5+2aa) (4 + X2 ­ X2  cos 4a>0, 

S  oznacza  odległość  osi  są siednich  cylindrуw,  leż ą cych  w  jednej  płaszczyź nie.  Rуż nica 
pomię dzy  funkcjami  Pll2  dla  silnikуw  8/3  i  8/4  wynika  z  przeciwnego  kierunku  o b r o t у w 
w  tych  silnikach. 

Porуwnując  wyniki  obliczeń  p a r a m e t r у w  ruchu  analizowanego  silnika  metodami K B M 
i  uś redniania  z  wynikami  uzyskanymi  metodą  Rungego­Kutty  stwierdzono,  że  rezultaty 
obliczeń  metodami  K B M i  Rungego­Kutty  rуż nią  się  stosunkowo  mał o  (por.  rys.  2  i  3), 
natomiast  wartoś ci  amplitud  pionowych  d r g a ń  silnika  w  obszarze  ponadrezonansowym, 
obliczone  metodą  uś redniania  w  pierwszym  «nieulepszonym»  przybliż eniu,  są  wię ksze 
od  analogicznych  wartoś ci  uzyskanych  pozostałymi  metodami  (por.  tabl.  1).  Mniejsze 
rуż nice  w  p o r у w n a n i u  do  rezultatуw  otrzymanych  metodami  K B M  i  Rungego­Kutty 
wykazują  wyniki  obliczeń  metodą  uś redniania  w  pierwszym  «ulepszonym»  przybliż eniu. 
Stwierdzono  takż e,  że  w  miarę  zbliż ania  się  do  rezonansu  rуż nice  pomię dzy  wynikami 
obliczeń  poszczegуlnymi  metodami  maleją. 

Przeprowadzone  obliczenia  dają  moż liwość  wzglę dnego  p o r у w n a n i a  i  oceny  przydat­
noś ci  rozpatrywanych  metod  do  analizy  drgań  elastycznie  posadowionych  silnikуw  tłoko­
wych.  Należy  przy  tym  zaznaczyć,  że  metody  K B M i  uś redniania  umoż liwiają  uwzglę d­
nienie  nieliniowoś ci  charakterystyk  sztywnoś ci  i  tłumienia  podkładek.  Mogą  one  być  
także  stosowane,  podobnie  jak  metoda  Rungego­Kutty,  do  analizy  procesуw  przejś cio­
wych  [4]. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1­  В.  К Э Р, В и л ь с о н,  В и б р а ц и о н н а я  т е х н и к а ,  Г о с.  Н а у ч н о ­Т е х н.  И з д.  М а ш и н о с т р.  Л и т .,  М о с к ва  
1963. 

2.  О.  К .  Н А Й Д Е Н К О,  П .  П .  П Е Т Р О В,  А м о р т и з а ц и я  с у д о в ы х  д в и г а т е л е й  и  м е х а н и з м о в ,  С у д п р о м г и з, 
Л е н и н г р ад  1962. 

3.  Z . PIETRAS, Drgania  wymuszone  okrę towych  silników  spalinowych  tłokowych  ustawionych  na elastycznych 
podkładkach,  Budownictwo Okrę towe,  3  (1973). 

4.  J .  KOLENDA,  Nieliniowe drgania elastycznie posadowionych silników  tłokowych  z  cylindrami  w układzie  V, 
Mech. Teoret. i Stos., 4,  13  (1975). 

5.  J .  KOLENDA,  Nieliniowe  drgania  elastycznie posadowionych  silników  tłokowych  przy  szerokopasmowych 
wymuszeniach  stochastycznych.  Mech. Teoret.  i  Stos.,  3,  14  (1976). 

6.  J .  KOLENDA,  Nieliniowe  drgania  elastycznie  zawieszonych  silników  tłokowych  przy  kinematycznych  wy­
muszeniach stochastycznych.  Mech. Teoret.  i Stos.,  1,  15  (1977). 

1­  3.  LEGRAS,  Praktyczne metody analizy numerycznej,  WN­T,  Warszawa  1974. 



462  J.  KOLENDA 

Р е з ю ме  

О  П Р И Б Л И Ж Е Н Н ЫХ  М Е Т О Д АХ  Р Е Ш Е Н ИЯ  Н Е Л И Н Е Й Н ЫХ  У Р А В Н Е Н ИЙ  
Д В И Ж Е Н ИЯ  А М О Р Т И З И Р О В А Н Н ЫХ  П О Р Ш Н Е В ЫХ  Д В И Г А Т Е Л ЕЙ  

В  р а б о те  п р и в о д я т ся  р е з у л ь т а ты  р а с ч е т ов  в е р т и к а л ь н ых  к о л е б а н ий  и у г л о в ой  с к о р о с ти  о д н о­
ц и л и н д р о в о го  д в и г а т е л я,  у с т а н о в л е н н о го  на  а м о р т и з а т о р а х.  П р и м е н я ю т ся  р е ш е н ия  л и н е й н ых  
у р а в н е н ий  д в и ж е н и я,  м е т од  К р ы л о в а ­Б о г о л ю б о в а ­М и т р о п о л ь с к о го  и  м е т од  у с р е д н е н и я,  а  т а к же  
м е т од  Р у н г е ­К у т т а.  П о л у ч е н н ые  р е з у л ь т а ты  м о г ут  с л у ж и ть  д ля о ц е н ки  т о ч н о с ти  и  п р и г о д н о с ти  
р а с с м а т р и в а е м ых  п р и б л и ж е н н ых  м е т о д о в. 

• 

S u m m a r y 

O N  APPROXIMATE  SOLUTION  METHODS  OF  T H E  NON­LINEAR  MOTION 
EQUATIONS  OF ELAST1CALLY  MOUNTED  PISTON  ENGINES 

In  this  paper vertical vibrations and  rotation  speed  of  an  one­cylinder,  elastically  mounted  piston 
engine  are  considered.  The  solutions  of  linear  motion  equations,  the  Krylov­Bogolubov­Mitropolskij 
and  the  averaging methods  as  well  as  the  Runge­Kutta method  are  applied. The results  of  calculations 
can  be used  for the  estimation  of the  accuracy and applicability of  the  approximate methods  presented. 

P O L I T E C H N I K A  G D A Ń S KA 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  19 stycznia  1977  r.