Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  15  (1977)  NIESTOWARZYSZONE  PRAWO  PŁYNIĘ CIA  ANIZOTROPOWYCH  PLASTYCZNIE  STOPÓW  ALUMINIUM  A N D R Z E J  L I T E W K A  ( P O Z N A Ń )  1.  Wstęp  Badania  plastycznego  płynię cia  przeprowadzone  dla  blachy  wykonanej  ze  stopu  alu­ minium  P A 4  [2]  wykazały  rozbież ność  pomię dzy  odkształceniami  plastycznymi  pomie­ rzonymi  doś wiadczalnie  a  uzyskanymi  w  oparciu  o  stowarzyszone  prawo  płynię cia.  W  wy­ niku  p o m i a r ó w  granic  plastycznoś ci  przy  rozcią ganiu  w  płaszczyź nie  blachy  stwierdzono,  że  granica  plastycznoś ci  jest  niezależ na  od  orientacji  p r ó b k i .  Natomiast  równoczesny  pomiar  odkształceń  plastycznych  wykazał,  że  odkształcenia  plastyczne  zmieniają  się   w  zależ noś ci  od  kierunku,  w  k t ó r y m  p r ó b k a  została  wycię ta.  Zaobserwowane  odchylenie  od  stowarzyszonego prawa  płynię cia  wyniknę ło  więc  stą d,  że przy pomiarze granic plastycz­ noś ci  stwierdzono  izotropię  transwersalną  [3],  natomiast  pomiar  odkształceń  plastycznych  wykazał  istnienie  ortotropii  plastycznej.  W  takim  przypadku  stowarzyszone  prawo  pły­ nię cia  nie  może  dać  poprawnego  opisu  plastycznego  płynię cia,  gdyż  stałość  granicy  pla­ stycznoś ci  wymaga,  aż eby  warunek  plastycznoś ci  dla  naprę ż eń  w  płaszczyź nie  blachy  był  izotropowy,  natomiast  potencjał  plastycznoś ci  musi  być  anizotropowy,  z  uwagi  na  stwier­ dzoną  anizotropię  odkształceń  plastycznych.  W  niniejszej  pracy  przedstawiono  opis  począ tkowego  plastycznego  płynię cia  przy  osiowym  rozcią ganiu  p r ó b e k  wykonanych  ze  stopów  aluminium  P A 2  i  P A 4 ,  uzyskany  w  oparciu  o  niestowarzyszone  prawo  płynię cia,  w  k t ó r y m  jako  potencjał  plastycznoś ci  wykorzystano  anizotropowy  warunek  plastycznoś ci  zaproponowany  przez  O T A ,  S H I N D O  i  F U K U O K Ę  [4].  2.  Sformułowanie problemu  Warunek  plastycznoś ci  O T A ,  S H I N D O  i  F U K U O K I ,  stanowią cy  modyfikację  znanego  anizotropowego  warunku  H I L L A  [1],  uwzglę dniają cą  odmienność  własnoś ci  m a t e r i a ł u  przy  ś ciskaniu  i  rozcią ganiu,  ma  postać   (2.1)  2/(<7y)  =  Г ( о '2 2 ­ о ­ з з ) 2  +  С 7 ( о ' з з ­ о '1 1 ) 2 + Я ( ( Г1 1 ­ о '2 2 ) 2  +  2̂ (т 1з  +  2М( г 11 +  + 2Na\2-Call-Da22-Ea3i  =  1,  492  A .  L l T E W K A  gdzie:  n r .  1  1  1  2F  =  ;  1  7  ;  ,  X22X22  ­ ^ 3 3 ^ 3 3  Х ц Х ц   2 G = '  +   1  1  ^ 3 3 ^ 3 3  Х ц Х ц  X22X22  1H­ ' + . 1 (2.2)  Х ц Х ц  X22X22  X33Xl3  л 1 1 л ц Л  2 3  г>  ­^2 2 ~  ­ ^ 2 2  т .,  1  D  =  ,  2М  =  --2—,  л 2 2 л 2 2  л 3 1  ­^з з ^зз  X 1 2  gdzie  Х Ц ,  Z 2 2 ,  Х33  oraz  Х 'У 1,Х22,  Х 'з ъ  są  granicami  plastycznoś ci,  odpowiednio,  przy  rozcią ganiu  i  ś ciskaniu  w trzech  wzajemnie  p r o s t o p a d ł y c h  kierunkach  okreś lonych  przez  osie u k ł a d u  współrzę dnych  x 1 , x 2 , x 3 ,  natomiast X 1 2 , X23,  X31  są  odpowiednimi  granicami  plastycznoś ci  przy  ś cinaniu.  W dalszych  rozważ aniach  przyję to,  że  osie xt  i x2  leżą  w  pła­ szczyź nie  blachy,  przy  czym  oś  x^  pokrywa  się z kierunkiem  walcowania  blachy,  natomiast  oś  x3  jest  p r o s t o p a d ł a  do płaszczyzny  blachy.  W  dalszym  cią gu  rozważ ań  wygodnie  było  się posłuż yć  stosunkami  przyrostów od­ kształceń,  które  w przypadku  rozcią gania  p r ó b k i  nachylonej  pod ką tem  a  do  kierunku  osi  X j  mają  dla  potencjału  plastycznoś ci  wyraż onego  r ó w n a n i a m i  (2.1)  i  (2.2)  nastę pują cą   p o s t a ć :  Vii (2.3)  2  A, — y4 2 cos 2 2a  r ­ ^ C s i ^ a ­ b ­ D c o s 2 ! * )  de?2,2.  _  o~(«)  dep, ,  2  1  1'  A3+A2  cos 2 2a — A 4  cos 2a  •—  ( C c o s 2  a + D s i n 2 a)  tf(a)  ^ 5  + / ł 4 c o s 2 ­ •   «fef<3.  o­(a)  1 1  ^ 3 + / 4 2 c o s 2 2 a —/44cos2a  т ­г­ ( C c o s 2  a + Ł s i n 2 a)  o­(a)  gdzie   v2l  oraz  v%x f>  v3l  dla  ef»i<  ­*• 0,  poszukiwane  wartoś ci  v2l  i  v31  znajdowano  z  rys.  4 jako  punkty  przecię cia  krzywych  z  osią  pionową.  Z  b a d a ń  doś wiadczalnych  [2]  otrzymano  również  granice  plastycznoś ci  dla  ś ciskania  dla  a  =  0°  i  90°. Ze  wzglę du  na  małą  grubość  blachy  (5  mm  dla  P A 4 i  2  m m  dla P A 2 )  nie  m o ż na  było  przeprowadzić  p o m i a r ó w  granic plastycznoś ci  X33  i X33,  natomiast  pomiar  X12  był kłopotliwy  ze  wzglę du  na  konieczność  realizacji  czystego  ś cinania.  Doś wiadczalnie  pomierzono  więc  tylko  cztery  spoś ród  dziewię ciu  granic  plastycznoś ci,  które  wystę pują   w  równaniu  (2.1),  ponieważ jednak  w przypadku  płaskiego  stanu  naprę ż enia  nie  wystę pują   stałe  L  i  M  (porównaj  równania  (2.3))  brakuje  tylko  trzech  granic  plastycznoś ci  X33,  X'i3  oraz  Xl2.  D o jakoś ciowego  p o r ó w n a n i a  wyników  doś wiadczeń  z  wynikami  otrzymanymi  z  równań  (2.3)  stałe  te  nie  są jednak  potrzebne.  Pamię tają c,  że  granica  plastycznoś ci  a(a)  jest  stała  dla wszystkich  ką tów  a,  co  również  pocią ga  za  sobą  równość  F  =  G oraz  С  =  D,  otrzymujemy  z  r ó w n a ń  (2.3),  biorąc  również  pod  uwagę  równanie  (2.4),  stałe  wartoś ci  vz\  i  ^31, niezależ ne  od  ką ta  a.  Jest  to  oczywiś cie  sprzeczne  z  przedstawionymi  na  rys.  3  wynikami  p o m i a r ó w  przyrostów  odkształceń  plastycznych.  (2.5)  [494]  200  a(o.) MN/m 160  120  40­ 30  PA 4  PA 2 J  L  60  ex, stopnie 90 0,2­ J  I  I  L  b)  0,8  0,6  0,4  0,2  30  60  ex,  stopnie  90  Wyniki v°' \ dos'wiadczalne teoretyczne J  L  30  60  a,  stopnie  90  Rys.  2.  Granice  plastycznoś ci  przy  rozcią ganiu  Rys. 3. Stosunki przyrostów odkształceń plastycznych  dla  stopów  aluminium  PA2  i  PA4 v2l  i v3l  dla róż nych  ką tów  a dla stopów aluminium:  a)  PA4, b)  PA2  0,8  0,6 0,4  0,2  ­%  К   oe­ ­45° o  0°  » 23'  + 67,5°   * 90° J  1 4r  0  2  4  6  8  10  12  %  Rys.  4.  Zależ ność  stosunków  ł'$i i v j t  od  odkształceń  s{n,  [495]  496  A .  L l T E W K A  D l a  przeprowadzenia  iloś ciowej  analizy  wyników  konieczne  było  znalezienie  brakują­ cych  stałych  А 'з з,  Л 'зз i X12.  W  tym  miejscu  należy  wyraź nie  rozgraniczyć  dwa  nastę pują ce  problemy:  a)  obliczenie  brakują cych  granic  plastycznoś ci  dla  warunku  plastycznoś ci  /(crf /)  zapisa­ nego  r ó w n a n i e m  (2.1),  wyspecyfikowanego  dla  przypadku  izotropii  transwersalnej,  b)  obliczenie  brakują cych  stałych  dla  potencjału  plastycznoś ci  g(c/y,  a)  zapisanego  r ó w n a n i e m  (2.1),  dostosowanego  do  szczególnego  przypadku  anizotropii,  przy  k t ó r y m  zachodzą  równoś ci F = G  i  С  =  D.  Wyznaczone  w  ten  sposób  brakują ce  stałe  umoż liwią  znalezienie  ostatecznej  postaci  potencjału  plastycznoś ci.  3.  Obliczenie  brakują cych  stałych  3.1.  Stałe  dla  warunku  plastycznoś ci.  Brakują ce  granice  X33,  X'33  i  X12  obliczone  zostały  przy  wykorzystaniu  nastę pują cych  w a r u n k ó w :  a)  warunek  nieś ciś liwoś ci  materiału,  który,  biorąc  pod  uwagę  stwierdzone  doś wiad­ czalnie  równoś ci  Xit  =  X22  oraz  X'lt  =  X'22  pocią ga  za  sobą  równość   / ­ j  , \  X33—X33  ^  Xn—Xlt  ^ л 3 3 л 3 3   л ц Л ц   b)  warunek,  aż eby  dla  a  =  0°  stosunek v2l,  wyraż ony  r ó w n a n i e m  (2.3)t  był  równy  doś wiadczalnie  pomierzonej  wartoś ci.  Po  przekształceniu  równań  (3.1)  i (2.3)t  otrzymujemy  nastę pują ce  zależ noś ci  а д  к ,,  Х ™  —  ~ч >—VT~~   л з з  — l — o ,  л и л и   1  4 - 2 ^ i ~ X ' 1 1  Y' 1  + z ^ e ? — у *— Л 3 3  służ ą ce  do  obliczenia  wartoś ci X33  oraz  Л 'з з,  gdzie  v2°? jest  wartoś cią  stosunku  przyrostów  odkształceń  dla  cc =  0;  c)  warunek  stałoś ci  granicy  plastycznoś ci  tf(a),  który,  biorąc  pod  uwagę  równanie  (2.4)  ma  p o s t a ć   (3.3) N=F+2H, skąd  m o ż na  obliczyć X12. 3.2.  Stale  dla  potencjału  plastycznoś ci.  Z  równań  (2.3)  i  (2.4)  widać,  że  o  istnieniu  stwier­ dzonej  doś wiadczalnie  anizotropii  decyduje  w  rozpatrywanym  przypadku  tylko  stała N. W  zwią zku  z  tym  wartoś ci X33  i X33  bę dzie  m o ż na  obliczyć  z  równania  (3.2),  natomiast  wartość N  musi  być  inna  niż  okreś lona  równaniem  (3.3).  Poszukiwaną  wartość N  obliczono  N l E S T O W A R Z Y S Z O N E  P R A W O  PŁYNIĘ CIA  S T O P Ó W  ALUMINIUM  497  z  warunku,  że  stosunek  v3l,  przedstawiony  r ó w n a n i e m  (2,3)2  musi  być  dla  ką ta  a  =  45°  równy  zmierzonej  doś wiadczalnie  wartoś ci.  D l a  a  =  45°  równanie  (2.3)2  ma  p o s t a ć   ­2F­ (3.4)  „(45)  _ 31^  —  tf(45)  F+N- C  tf(45)  gdzie  c(45) jest  wartoś cią,  k t ó r a  musi  spełniać  równanie  (2.4).  Po  przekształceniu  r ó w n a ń   (3.4)  i  (2.4)  otrzymujemy  nastę pują ce  zależ noś ci:  (3.5)  1  2 ^ ­ ™ ( c + ­ ^ r ) < r ( 4 5 ) + l  ­ 0 ,  "31iJ  1  V31u  *  \  *­31|  с  „  1  TV:  tf(45)  • F—  P 3 1  2F4­   dla  a  =  45°.  Zbież ność  wyników  doś wiad­ czalnych  z  wartoś ciami  obliczonymi  z  r ó w n a ń  (2.3)  dla  potencjału  plastycznoś ci  g ( ° i j >  a)  jest  wyraź niej  widoczna  na  rys.  3,  gdzie  przedstawiono  stosunki  przyrostów  odkształceń   plastycznych  v21  i  v31  dla  stopów  aluminium  P A 2 i P A 4 .  Istotnym  brakiem  przedstawionych  tu  b a d a ń  jest  fakt,  że  ograniczają  się  one  tylko  do  osiowego  rozcią gania  p r ó b e k ,  to  znaczy  ograniczają  się do  stanu  w  dwóch  punktach  A  i  В   przestrzeni  naprę ż eń.  Analiza  byłaby  pełniejsza,  gdyby  moż liwe  było  przeprowadzenie  b a d a ń  dla  stanu  naprę ż enia,  w  k t ó r y m  wystę pują  obydwa  naprę ż enia  główne.  N i e  jest  jednak  praktycznie  moż liwe  przeprowadzenie  takich  b a d a ń  z  wymaganą  dokładnoś cią.  Odpada  tutaj  moż liwość  badania  na  p r ó b k a c h  rurkowych, gdyż  nie jest  moż liwe  wykonanie  p r ó b k i  rurkowej,  k t ó r a  mogłaby  zachowa ć  badane  własnoś ci  blach,  natomiast  badanie  na  p r ó b k a c h  krzyż owych,  dwukierunkowo  rozcią ganych  wymaga  specjalnej  maszyny  wytrzymałoś ciowej  i  nie  zapewnia  dostatecznie  jednorodnego  stanu  naprę ż enia.  Przedstawione  w  niniejszej  pracy  wyniki  mogą  być  nieco  zniekształcone  z  uwagi  na  fakt  wystę powania  plastycznych  odkształceń  postaciowych  e j ' 2 '  przy  rozcią ganiu  osiowym  p r ó b e k  wykonanych  z  materiału  plastycznie  anizotropowego.  Problem  polega  mianowicie  na  tym,  że  w  przypadku  rozcią gania  osiowego  sposób  mocowania  p r ó b k i  utrudnia  lub  uniemoż liwia  powstanie  odkształceń  postaciowych,  przez  co  stan  naprę ż enia  przestaje  być  stanem  osiowym.  Przyrost  odkształceń  postaciowych  obliczony  dla  potencjału  plas­ tycznoś ci  (2.1)  przedstawia  się  nastę pują co:  Al  (4.1)  de\.v  =  ­ ­ ^ { [ F ­ G ­ ( F + c 7 + 4 F ­ 2 7 V ) c o s 2 a ] s i n 2 a ­ c r ( a ) ­ ( C ­ Z ) ) s i n 2 a } .  gdzie  dl  jest  mnoż nikiem.  Z  r ó w n a n i a  (4.1)  wynika,  że  de?v2. =  0  dla  a  =  0°,  45°  i  90°  przy  F  -  G  i  С  =  D.  Otrzymane  wyniki  b a d a ń  doś wiadczalnych  mogą  być więc  zakłócone jedynie  w przypadku  p r ó b e k  wycinanych pod  ką tami  a  =  22,5°  i  67,5°,  dla  k t ó r y c h  odkształcenia  postaciowe  przybierają  wartoś ci  ekstremalne.  N i e  wystą pi  jednak  z  tego  tytułu  ż adne  zniekształcenie  wyników  dla  a  =  45°,  gdzie  zaobserwowano  najwię ksze  odchylenie  od  stowarzyszonego  prawa  płynię cia.  Oznacza  to,  że  odchylenie  wyników  doś wiadczalnych  od  stowarzyszo­ nego  prawa  płynię cia  nie  jest  spowodowane  czynnikiem  ubocznym,  j a k i m  mogłoby  być   zniekształcenie  osiowego  stanu  naprę ż enia.  5.  Wnioski  Z  przeprowadzonych  rozważ ań  wynika,  że opis  plastycznego  płynię cia  anizotropowych  blach  wykonanych  ze  stopów  aluminium  P A 2  i  P A 4  może  być  przeprowadzony  przy  zastosowaniu  niestowarzyszonego  prawa  płynię cia.  W  przypadku  badanych  materiałów  zaobserwowane  odchylenie  od  stowarzyszonego  prawa  płynię cia  nie  jest  spowodowane  zakłóceniami  osiowego  rozcią gania  p r ó b e k ,  wywołanymi  powstawaniem  plastycznych  odkształceń  postaciowych.  N l E S T O W A R Z Y S Z O N E  P R A W O  P Ł Y N I Ę C IA  S T O P Ó W  A L U M I N I U M  499  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  R.  HI LL,  A  theory  of  the yielding  and plastic flow  of  anisotropic  metals,  Proc.  Roy.  Soc.  A193  (1948),  281  ­  297.  2.  A .  LITEWKA , Nieprawidłowoś ci  plastycznego  płynię cia  anizotropowego  stopu  aluminium  PA4,  VII  Sym­ pozjum Badań  Doś w.  w  Mech.  Ciała  Stałego,  Warszawa  1976,  322  ­  332.  3.  W.  OLSZAK,  W.  URBANOWSKI, The plastic potential  and  the generalized distortion  energy  in  the  theory  of non­homogenous anisotropic elastic­plastic bodies,  Arch.  Mech. Stos., 4,  8  (1956), 671  ­  694.  4.  Т.  OTA, A.  SHINDO, H .  FUKUOKA,  A  consideration  on  anisotropic  yield criterion,  Proc.  9th  Jap.  Nat.  Congr. Appl.  Mech.,  1959,  117  ­120.  Р е з ю ме   Н Е А С С О Ц И И Р О В А Н Н ЫЙ  З А К ОН  Т Е Ч Е Н ИЯ  Д ЛЯ  А Н И З О Т Р О П Н ЫХ   А Л Ю М И Н И Е В ЫХ  С П Л А В ОВ   В  р а б о те  р а с с м о т р е но  п р и м е н е н ие  н е а с с о ц и и р о в а н н о го  з а к о на  т е ч е н ия  д ля  п л а с т и ч е с к о го   т е ч е н ия  а н и з о т р о п н ых  а л ю м и н и е в ых  с п л а в ов  Р А2  и  Р А 4.  В  к а ч е с т ве  п л а с т и ч е с к о го  п о т е н ц и а ла   и с п о л ь з о в а но  а н и з о т р о п н ое  у с л о в ие  т е ч е н и я,  п р е д л о ж е н н ое  О т о й,  Ш и н до  и  Ф у к у о к о й.  В  р а б о те   о п и с ы в а е т ся  с п о с об  в ы ч и с л е н ия  п о с т о я н н ы х,  д ля  к о т о р ых  п о л у ч а е т ся  н а и л у ч ш ее  с о в п а д е н ие   р е з у л ь т а т ов  в ы ч и с л е н ий  с  о п ы т о м.  S u m m a r y  NON­ASSOCIATED  FLOW  LAW  FOR  PLASTICALLY  ANISOTROPIC  ALUMINIUM  ALLOYS  The  application  of  non­associated flow  rule  for  plastic flow  of  anisotropic aluminium  alloys sheets  PA2  and  PA4  is  presented.  The  anisotropic yield  criterion proposed  by  Ota,  Shindo  and  Fukuoka  was  used as  a plastic potential. The  method of  calculation of  constants to  obtain the  best fit  with experimental  results of  plastic strain increment ratios is  described.  POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  7 lutego  1977  r.