Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4.  15  (1977)  S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  Z  O B W O D O W Y M  Z A Ł O M E M  P R Z Y  Ś C I S K A N IU  O S I O W Y M  STANISŁAW  Ł U K A S I E W I C Z ,  JERZY  T U M I Ł O W I C Z  (WARSZAWA)  1.  Wprowadzenie  Celem  pracy  jest  zbadanie  na  drodze  teoretycznej  wpływu  osiowo­symetrycznego  załomu  (rys.  1) na stateczność  ś ciskanej  p o w ł o k i  walcowej. Tego rodzaju  niecią głość  stycz­ nej  do p o ł u d n i k a  może  powstać  przy  spawaniu  dwóch  odcinków  rur,  jeż eli  nastą pi  przy  tym  tzw.  wcią gnię cie  szwu.  Z a ł o m  ma  zwykle  niewielką  głę bokość  i  charakteryzuje  się   m a ł y m  ką tem  mię dzy  stycznymi do  p o ł u d n i k a  po  obu  jego  stronach.  Nawet  w  pobliżu  załomu  powierzchnia  ś r o d k o wa  m a ł o  róż ni  się od powierzchni walcowej.  Rys.  1  Badania  statecznoś ci  powłoki  walcowej  z  wstę pnymi  niedoskonałoś ciami  kształtu  prowadzono  j u ż od  dawna  (niektóre  rozwią zania  przedstawione  są  w  monografii [1]).  Jednak  autorom  pracy  nie znane są w literaturze  ś wiatowej  opracowania  dotyczą ce  wpływu  na  stateczność  niecią głoś ci  stycznej  do  powierzchni.  Prawdopodobnie  przedstawione  tu  zagadnienie  nie  było  dotychczas  badane  teoretycznie.  W  pracy  przyję to,  że p o w ł o k a jest  cienka, izotropowa i ma stałą  gruboś ć.  Zagadnienie  rozwią zano  korzystając  z r ó w n a ń  technicznej  teorii  p o w ł o k  DONNELLA­WŁASOWA.  W przy­ padku  powłoki  walcowej ze wstę pnymi  niedoskonałoś ciami  kształtu  mają  one  nastę pują cą   p o s t a ć  (rys. 1)  (1)  ° ­  1  8 2 0 YAAw  =  L(w+w0,  д х2  (2)  ­А А Ф  =  ­jL(w,  w+2w0)­­l  e 2w  д х2  538  S.  ŁUKASIEWICZ,  J.  TUMIŁOWICŻ   gdzie  w jest  ugię ciem  powłoki  (dodatnim do wnę trza),  Ф —  funkcją  naprę ż eń,  axx  =  ~  %  dy  д2Ф  д2Ф  „ E h 3  в у у  =  ~ ^ F >  rxy  =  ­  ,  D =  2 2 ( 1 ­ y 2 )  '  —m o d u ł e m  sprę ż ystoś ci  materiału  powłoki,  v —  liczbą  Poissona,  h —  gruboś cią  powłoki,  R —  promieniem  walca  A =  82  82  _  ,  ,  л ч  d 2w  д2Ф  82w  д2Ф  '  3 2 w  3 2 Ф   +  operator  Laplace a,  Z,(w,  Ф)  = - 3 - 5 - ­ g ­ ^ ­  + - 5- 5-  ­  2 ­ dx2  '  a ^ 2  *  3 J C 2  1  ^ 2  A X 2  jest  nieliniowym  operatorem  róż niczkowym.  Kształt  powłoki  został  okreś lony  przez  ugię cie  wstę pne  w0,  które  przyję to  w postaci  ,  4­4 )  L  w0  =  f0e  >   2  л­ < y ,  (3)  w0  = f0e  \   2  x >  — ,  =  fc/0,  Z —  długość  powłoki.  =  i / 2  gdzie  / 0 jest  głę bokoś cią,  załomu,  a 0  oznacza  kąt załomu  pokazany  na  rys.  1,  okreś lony  przez  t g « 0  = -fo- Stosując  r ó w n a n i a  (1) i  (2) przyję to,  że współczynniki  pierwszej  formy  kwadratowej  powierzchni  ś rodkowej  badanej  powłoki  są  stałe  w  całym  obszarze  i  równe  jednoś ci.  Postawione  zagadnienie  rozwią zano  metodą  Ritza.  Przed  podję ciem  rozwią zania  wykonano  doś wiadczenie,  którego  celem było  stwierdzenie  w  j a k i m  stopniu  istnienie  załomu  w powłoce  wpływa  na kształt  pofalowania.  P r ó b y  prze­ prowadzono  na  modelach  powłok  wykonanych  z  kartonu  o  wymiarach:  R  = 70  mm,  L  =  325  mm,  h =  0,3 mm.  Z a ł o m  miał  głę bokość  około  1 mm  i kąt około  20°. Po  obcią­ ż eniu  modeli  okazało  się,  że  istnienie  załomu  nie  wpływa  zasadniczo na formę  odkształceń   i  tylko  zmniejsza  liczbę  fal obwodowych,  np. z  6 do 4.  Pofalowanie  było  symetryczne  wzglę dem  płaszczyzn  załomu.  Przeprowadzone  doś wiadczenia  miały  charakter  jedynie  jakoś ciowy  i  obcią ż eń  krytycznych  nie zmierzono.  Biorąc  pod  uwagę  wyniki  doś wiadczeń   postanowiono  przyjąć  ugię cie  w  postaci  funkcji  stosowanych  przy  badaniu  statecznoś ci  walcowej  doskonałej  oraz  powłok  zbliż onych  kształtem  do walca  [2].  Istnienie  załomu  w  powłoce  powoduje  wystę powanie  silnego  zginania  w jego  są­ siedztwie  po  obcią ż eniu  powłoki.  W rozwią zaniu  m o ż na  rozpatrzyć  tylko  jedną  połówkę   powłoki.  Podstawowy  stan  naprę ż eń  błonowych  w powłoce  o  m a ł y m  ką cie  załomu  może  być  zastą piony  przez stan  naprę ż eń  identyczny jak  w  powłoce  bez  załomu  i pewne  dodatko­ we  obcią ż enie  poprzeczne  l/2<7.  Wielkość  tego  obcią ż enia  wynika  z  równowagi  załomu  (rys.  2)  (4)  q =  ­2ax  L  hsma0.  2  Przed  rozwią zaniem  zagadnienia  nieliniowego  okreś lono  siły  krytyczne  na  podstawie  zlinearyzowanego  r ó w n a n i a  (2). Ugię cie  przyję to  w postaci:  (5)  w = fx  sin —j—  sin  — +pwx  (x,y)+f2,  STATECZNOŚĆ  POWŁOKI  CYLINDRYCZNEJ   539  gdzie  m  —  liczba  półfal  na  tworzą cej,  nieparzysta —  odkształcenie  symetryczne  wzglę dem  załomu,  n —  liczba  fal  obwodowych.  Składnik  p  • w±(x,  y)  reprezentuje  stan  zgię ci owy  istnieją cy  przed  wyboczeniem  (rys.  2).  Jego  wartość  obliczono  analizując  ugię cie  powłoki  walcowej poddanej  działaniu  obcią ż enia  q  w  połowie  długoś ci.  Funkcja  w  spełnia  warunki  brzegowe  swobodnego  podparcia.  Przy  Rys.  2  obliczaniu  sił  błonowych  uwzglę dniono  również  składową  pochodzą cą  od  stanu  zgię cio­ wego  przed  pofalowaniem.  Pełna  energia  potencjalna  była  minimalizowana  ze  wzglę du  na  parametr  fx.  Okazało  się,  że  składniki  uwzglę dniają ce  stan  zgię ciowy  przed  pofalowa­ niem  nie  miały  wpływu  na  wartoś ci  sił  krytycznych.  W  dalszych  obliczeniach,  opartych  na  r ó w n a n i a c h  nieliniowych  zrezygnowano  ze  składnika  reprezentują cego  podstawowy  stan  zgię ciowy  w  przewidywanej  postaci  odkształcenia.  Zależ ność  górnej  siły  krytycznej  od  ką ta  załomu  a0  uzyskana  na  podstawie  rozwią zania  zagadnienia  w  uję ciu  liniowym  była  bardzo  podobna  do  zależ noś ci  otrzymanej  z  r ó w n a ń   nieliniowych  i  nie  bę dzie  tu  przedstawiona.  . ' 2.  Rozwią zanie zagadnienia  D o  badania  statecznoś ci  powłoki  w  uję ciu  nieliniowym  przyję to  nastę pują cą  funkcję   ugię cia:  ( e s  ,  .  nmx  .  ny  ,  .  ,  mux  ,  ,  (6)  w  =  Л  sin—­—  s i n ­ ­  +f2  s i n 2  — —  + / 3 ,  J­i  К  L,  x  <  m  —  liczba  półfal  wzdłuż  tworzą cej  walca,  n —  liczba  fal  na  obwodzie.  Spełnia  ona  warunki  brzegu  swobodnie  podpartego.  540  S.  ŁUKASIEWICZ,  J .  TUMIŁOWICZ  Jeś li  m  jest  liczbą  nieparzystą  m o ż na  przyją ć,  że  druga  połowa  powłoki  odkształca  się  w  sposób  opisany  identyczną  funkcją;  odkształcenia  bę dą  symetryczne  wzglę dem  za­ ł o m u .  W przypadku m parzystego,  gdy rozpatrywana  czę ść powłoki  odkształca  się w  s p o s ó b  okreś lony  przez  (6)  a  deformację  drugiej  połowy  opisuje  wzór  ,_N  ,  .  т л х  .  ny  ,  .  ,  т л х  ,  .  (7)  w  =  sm —j—  s i n —  + / 2  s i n 2  — —  + / 3 ,  w jest  cią głe  wraz  z  pochodnymi  na  całej  powłoce,  a  pełna  energia  potencjalna  drugiej  powłoki  jest  opisana  identycznym  wzorem  jak  pierwszej.  Jednocześ nie  z  rozpatrywaną   czę ś cią  odkształcać  się bę dzie  pozostała  czę ść  powłoki.  M a m y  wtedy  wyboczenie  o  postaci  niesymetrycznej  wzglę dem  płaszczyzny  załomu.  Odpowiadają cy  przyję tym  odkształceniom  rozkład  naprę ż eń  błonowych  został  obli­ czony  z  r ó w n a n i a  cią głoś ci  odkształceń  dla  powłoki  cylindrycznej:  (8)  _ Д Д Ф  =  _ _ Д „ , „ ) _ __  d2Wo  d2w  R ó w n a n i e  to  róż ni  się od  (2)  brakiem po  prawej  stronie  składnika  —  r­^­.  д х2  д у2  Przy  małej  krzywiź nie  p o ł u d n i k a  w  okolicy  załomu  (mały  kąt  2)­(l+v)L(  Jr "0­ oil  dS2  Ze  wzorów  (24)  otrzymano  w przypadku  f i ф 0 (odkształcenie  nieosiowo­symetryczne)  zależ ność  p  od f 2 :  (25)  £  =  ­  4Ey  E6 £2 + (E2  i 2  + E3C2  + EA)  (2E2  f a  +  £ 3 )  ( 2 £ 7  f j  +  E 8 )  ­  E5  (2E2  £2 +  E3)  oraz  zależ ność  | t  od f 2  i j?:  £ 2  _  2 £ 6 f 2 4 ­ 2 £ 7 g 2 j p + £ 8 p  ( i 6 )  h ~  2E2C2+E3  '  Powyż sze  wzory  opisują  rodzinę  krzywych  równowagi  o  d w ó c h  parametrach:  n  oraz  #  (#  jest  zmienną  dyskretną,  odpowiada  całkowitym  wartoś ciom  m i и ).  STATECZNOŚĆ  POWŁOKI  CYLINDRYCZNEJ   543  (27)  Krzywe  przedstawiono  w  układzie  współrzę dnych  e—p,  gdzie  2AR  Lh  jest  bezwymiarowym  parametrem  charakteryzują cym  skrócenie  powłoki .  Korzystając  ze  wzorów  (17)  i  (27),  założ onej  postaci  ugię cia  i  obliczonej  funkcji  naprę ż eń  otrzymuje  się  wzór  wią ż ą cy  p  oraz  e  (28)  W  ramach  założ onego  modelu  odkształcenia  powłoki  (6)  pozostaje  zbadanie  przy­ padku,  gdy  I ł  =  0.  Odkształcenie jest wtedy  osiowo­symetryczne:  (29)  1  ,  Ъ п п х  1  ,  w  =  ­  у  fz  cos  — у —  +  j / 2  + / 3 .  (30)  Pierwsze  z  r ó w n a ń  (24) jest  spełnione  toż samoś ciowo,  drugie  daje  zależ ność   E8P  2(E6+ElP)  D l a  każ dego  m  istnieje  krzywa  osiowo­symetrycznych  s t a n ó w  równowagi,  rozpoczy­ nają ca  się  w  punkcie  p  =  0,  e  =  0,  od  której  odłą czają  się  linie  opisują ce  odkształcenia  o  róż nych  liczbach  fal  na  obwodzie  powłoki  (rys.  3).  0.6  0.7  0,8  0.0  w  U  1,2  1,3  1,4  W  Rys.  3.  Krzywe  równowagi  stanów  osiowo­symetrycznych  przy  a 0  =  2°52'  544  S.  ŁUKASIEWICZ,  J .  TUMIŁOWICZ  3.  Wyniki  obliczeń  numerycznych  Obliczenia  przeprowadzono  dla  v  =  0,3;  h/R  =  0,01;  L/R  =  4.  N a  rys.  4 ­ 7  przed­ stawione  są  krzywe  stanów  równowagi  odpowiadają ce  róż nym  liczbom  fal.  N i e  pokazano  wykresów  dla  n  —  1,  2  oraz  n  >  6  gdyż  odpowiadają  one  d u ż ym  siłom  i  odkształceniom  i  opisują  nie  realizują ce  się  stany  równowagi.  Z  tego  samego  wzglę du  nie  przedstawiono  wykresów  dla  m  >  9.  Krzywe  nieosiowo­symetrycznych  stanów  równowagi  rozpoczynają  się  blisko  prostej  p  =  e,  dalej  przy  wzroś cie  f 2  na  ogół  przebiegają  w  kierunku  zmniejszają cego  się  pie,  Rys.  4.  Krzywe  stanów  równowagi  przy  a 0  =  1°09'  dla  n =  3, 4, 5  Rys.  5.  Krzywe  stanów  równowagi  przy  a 0  =  Г 0 9' dla  и =  6  STATECZNOŚĆ  POWŁOKI  CYLINDRYCZNEJ   545  Rys. 6.  Krzywe stanów  równowagi  przy a 0  =  2"52' dla n =  3, 4  У  I  !  J  1  I  !  I  I  [  .  I  i  I  I  I  I  0  0.1  0,2  0.3  0,4  0,5  0.6  Q7  08  0Q  W  V  12  %3  14  15  Rys.  7.  Krzywe  stanów  równowagi  przy  a0  =  2°52'  dla n = 6  osią gają  minimum  i  dą żą  ku  rosną cym  p  i  e.  Wyją tek  stanowią  krzywe  odpowiadają ce  m  =  1  oraz  n  — 3 ч­ 6  przy  a 0  =  2°52'  —  są  one  stale  rosną ce.  W a r t o ś ć  ką ta  załomu  najbardziej  wpływa  na  przebieg  linii  odpowiadają cych  małym  m  oraz  n.  Ze  wzrostem  a0  linie  te  przesuwają  się do  dołu  i wyprostowują  się.  Z przebiegu  linii  okreś lonej  parametrami  a 0  =  2°52',  m  =  1,  w =  3  wynika,  że  może  istnieć  stan  równowagi  powłoki  pofalowanej  bez  obcią ż enia.  Przy  obcią ż eniu  powłoka  począ tkowo  odkształca  się  osiowo­symetrycznie.  Krzywe  równowagi  stanów  osiowo­symetrycznych  rozpoczynają  się  w  począ tku  u k ł a d u  współ­ 10  Mechanika  Teoretyczna  4  546  S.  ŁUKASIEWICZ,  J .  TUMIŁOWICZ  rzę dnych  i przebiegają  począ tkowo  (co  najmniej  do  p  ~  0,57)  bardzo  blisko  prostej p  =  e.  Powyż ej  k a ż da  z  nich  ma  asymptote  poziomą  przy  p  zależ nym  od  m,  a  niezależ nym  od  ką ta  załomu.  Z a  asymptotą  poziomą  przy  dalszym wzroś cie p  krzywe zbliż ają  się nieograni.  czenie  do  prostej  stanów  niepofalowanych.  N i e k t ó r e  linie  równowagi  przedstawione  są   na  rys.  3.  D l a  ustalonego  m  przebieg  krzywej  stanu  osiowo­symetrycznego  zależy  od  wielkoś ci  ką ta  załomu.  G d y  maleje  on  do  zera,  krzywa  dą ży  do  pokrycia  się z  linią  p  =  e­ W  przypadku  doskonałej  powłoki  cylindrycznej,  osiowo­symetryczne  stany  równowagi  są  moż liwe  na  prostej  stanów  niepofalowanych  oraz  na  prostych  równoległych  do  osi  e.  Siły  krytyczne  przy  osiowo­symetrycznych  odkształceniach  powłoki  doskonałej  okreś lają   położ enie  asymptot  w  przypadku  powłoki  z  załomem.  Ich  zależ ność  od  m  przedstawia  tabl.  1 (2m  oznacza  tam  liczbę  półfal  wzdłuż  tworzą cej  walca — wzór  (29)).  N a  podstawie  przedstawionych  wyników  obliczeń  m o ż na  okreś lić  spodziewany  przebieg  zależ noś ci  mię dzy  siłą  a  skróceniem  powłoki  przy  ś ciskaniu.  Spoś ród  wielu  otrzymanych  rozwią zań  (dla  róż nych  m i n),  spełniają cych  warunek  minimum pełnej  energii  potencjalnej  wzglę dem  p a r a m e t r ó w  / ,  oraz f2,  należy  wybrać  te,  k t ó r e  mogą  się zrealizować.  Przyjmując  jako  kryterium  wyboru  krzywych  ich  wysokość  położ enia  na  wykresie  e—p  otrzymano  wykresy  ś ciskania  p o w ł o k  o  ką cie  załomu  Г 0 9'  oraz  2°52'  przedstawione  na  rys.  8  i  9.  P i  Rys.  8.  Krzywa  obcią ż enia  powłoki  z  załomem  o  ką cie    0,688 0,649 0,621 0,606 0,608  O 0,631  a \  0,683  oo   r - 0,938  j  0,778  Ч О 1,208 1,679 4,523  2,571  r l 10,15 40,57  s  [547]  548  S.  ŁUKASIEWICZ,  J . TUMIŁOWICŻ   skrócenie  (lub  leż  zmienia  się jedno  i  drugie —  w  zależ noś ci  od  urzą dzenia  obcią ż ają cego  powłokę ).  Dalej  stan  powłoki  zmienia  się  według  krzywej  giiiandowej.  Dolna  siła  krytyczna  wynosi  рл  =  0,125.  W  przypadku  załomu  o  ką cie  a0  =  2°52',  j u ż  przy  p  =  0,0234  nastę puje  przejś cie  w  stan  niesymetryczny.  Nastę pnie  siła  i  skrócenie  rosną  przy  m  —  1,  n  =  4;  widać  wyraź ne  zmniejszenie  sztywnoś ci  powłoki.  G ó r n a  siła  krytyczna  ma  w  tym  przypadku  wartość  0,200.  Dalej  nastę puje  przeskok  lub  p o w ł o k a  deformuje  się  według  przedstawionej  krzywej  —  w  zależ noś ci  od  sposobu  obcią ż enia.  Dolna  siła  krytyczna  wynosi  p  =  0,122.  Interesują ce  zjawisko  zachodzi  przy  odcią ż aniu  powłoki.  Ostatnia  faza  odcią ż ania  przebiega  inaczej  niż  pierwsza  czę ść  obcią ż ania.  Po  usunię ciu  obcią ż enia  p o w ł o k a  pozostanie  pofalowana,  odkształcenie  pozostanie  także  przy  niezbyt  silnym  rozcią ganiu.  N a  obu  wykresach  ś ciskania  powłoki  widoczna  jest  tendencja  wzrostu  stosunku  m/n  przy  zbliż aniu  koń ców  powłoki.  Oznacza  to  zmianę  proporcji  zaklę ś nięć  —  wzglę dne  zwię kszenie  ich  wymiaru  obwodowego  i jest  zgodne  z  wynikami  doś wiadczeń  przeprowa­ dzonych  na  p o w ł o k a c h  «doskonałych»  [1].  Zależ ność  górnej  siły  krytycznej  od  wielkoś ci  ką ta  załomu  przedstawia  rys.  10.  Przy  małych  ką tach  górną  siłę  krytyczną  okreś la  punkt  przecię cia  linii  stanów  symetrycznych  oraz  niesymetrycznych.  W  tym  zakresie  zależ ność  jest  przedstawiona  linią  cią głą.  G d y  LV  о  'даз о '  T>  ]W'  Y  2°з о '  F  *~  Rys.  10.  Zależ ność  górnej  siły  krytycznej  od  ką ta  załomu  kąt  załomu  a 0  ­»  0  rozwią zania  zagadnienia  wyznaczenia  sił  krytycznych  przechodzi  w  znane  rozwią zanie  dla  powłoki  doskonałej  (p  =  0,605).  Jeż eli  kąt  załomu  jest  wię kszy,  przejś cie  powłoki  w  stan  niesymetryczny  nie  wyznacza  górnej  siły  krytycznej  (w  przeci­ wień stwie  do  powłoki  walcowej  doskonałej).  Z a  punktem  bifurkacji  siła  roś nie  dalej  i  osią ga  najwię kszą  wartość  przy  wię kszych  odkształceniach.  W  tym  przypadku  górną   STATECZNOŚĆ  POWŁOKI  CYLINDRYCZNEJ  54')  siłę  krytyczną  okreś la  najwyż ej  położ ony  punkt  wykresu  ś ciskania  p o w ł o k i ;  odpowiedni  odcinek  zależ noś ci  pg(