Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  1  S T O S O W A N A  4,  15 (1977)  WPŁYW  SIŁ  BEZWŁADNOŚ CI  NA  PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  W  SZCZELINIE  MIĘ DZY  POWIERZCHNIAMI  OBROTOWYMI:  NIERUCHOMĄ  I  WIRUJĄ CĄ   E D W A R D  W A L I C K I  ( BYDGOSZCZ)  1.  Wstęp  Laminarne  przepływy  cieczy  lepkiej  w  szczelinie  mię dzy  wirują cymi  tarczami  [ 2 ­ 1 0 ,  14,  15] stoż kami  [11, 12] oraz  powierzchniami  obrotowymi  (13, 16, 17] budziły  od  dawna  zainteresowanie ze wzglę du  na moż liwoś ci  szerokich  zastosowań  praktycznych  w  budowie  maszyn.  Róż nego  rodzaju  metody  b a d a ń  teoretycznych  m o ż na  znaleźć  w  literaturze  przyto­ czonej na k o ń cu  pracy. W wię kszoś ci  istnieją cych  b a d a ń  autorzy  ograniczają  się w zasadzie  do  uproszczonej  analizy  wpływu  sił lepkoś ci  na przepływ  cieczy.  N i e k t ó r e  z przytoczonych  prac  uwzglę dniają  czę ś ciowy  wpływ  sił bezwładnoś ci;  wymienić  tu  m o ż na  prace  [7, 9, 12,  14­17].  N a uwagę  zasługuje  również  praca  [13], w której  zbadano  szczególny  przypadek  przepływu  cieczy  lepkiej  w  szczelinie  mię dzy  wirują cymi  powierzchniami  obrotowymi  z  uwzglę dnieniem  wpływu  sił bezwładnoś ci.  Jednak  uzyskane  tam  rozwią zanie  zachowuje  swoją  waż ność jedynie  dla  pewnych,  ś ciś le  okreś lonych  kształtów  powierzchni,  dla któryc h  istnieje  s a m o p o d o b i e ń s t wo  przepływu.  Celem  tej pracy jest  podanie w postaci  ogólnej  rozwią zania  problemu  sformułowanego  w  tytule pracy, bez  dodatkowych  założ eń upraszczają cych  dotyczą cych  kształtu  powierzchni  ograniczają cych  obszar  przepływu.  W  rozważ aniach  uwzglę dniono  wpływ  sił  bezwład­ noś ci  stosując  m e t o d ę  małego  parametru  do  rozwią zania  r ó w n a ń  ruchu  cieczy  lepkiej  podobnie, jak w pracach  [1,  18].  2.  Równania  ruchu  A b y  rozpatrzeć  badany  przepływ  cieczy  lepkiej  w  szczelinie  mię dzy  powierzchniami  obrotowymi  o  wspólnej  osi  symetrii  (rys.  1),  wprowadzimy  krzywoliniowy  ortogonalny  u k ł a d  współrzę dnych  х ,  в ,  у  zwią zany  z  wewnę trzną  powierzchnią.  Oś x  niech  bę dzie  skierowana  wzdłuż  tworzą cej  wewnę trznej  powierzchni,  oś  у — w  poprzek  szczeliny,  prostopadle  do tej  tworzą cej.  Wewnę trzna  nieruchoma  powierzchnia  niech  bę dzie  opisana  funkcją  R  =  R(x)  oznaczają cą  jej  promień,  zaś  grubość  szczeliny  h =  h{x)  — spełnia­ ją cą  zależ ność  h  <ś R — niech  oznacza  odległość  mię dzy  powierzchniami,  mierzoną   wzdłuż  normalnej  do  wewnę trznej  powierzchni.  Parametrami  fizycznymi  przepływu  są  składowe  prę dkoś ci  vx,  ve,  vy  oraz  ciś nienie  p.  Ze  wzglę du  na  osiową  symetrię  przepływu  parametry  te nie zależą  od ką ta  в .  г *  420  E .  WALICKI  R ó w n a n i a  ruchu  —  przy  założ eniu,  że h < R —  podane  są dla ogólnego  przypadku  przepływu  w przyję tym  układzie  współrzę dnych  x,6,yw  pracach  [13,  16,  17],  Dokonując  w  tych  r ó w n a n i a c h  oszacowań  charakterystycznych  dla  przepływów  w  cienkich  warstwach  cieczy  otrzymamy  (2.1)  (2.2)  (2.3)  (2.4)  dvx  dvx  R'  A  dp  d 2vx  dv„  R'  d2v0  T * ~ ? ż ^ V x V ° J  z^df'  dy  1  d(Rvx)  +  Svy_ =  0  :  i \ i  . '  R  dx  ' dy  Tutaj  i dalej  w pracy  przecinkiem  oznacza  się  p o c h o d n ą  wzglę dem  zmiennej x.  •  Rys.  1  Z  r ó w n a n i a  (2.3)  wynika  zależ noś ć:  (2.5)  P=p(x).  Warunki  brzegowe  dla  składowych  prę dkoś ci  są  nastę pują ce:  vx  = vy  = 0  dla  у = 0,  у =  It,  v9 = 0  dla  у = 0,  va=  ROJ  dla  у = h.  (2.6)  Ponadto  na wlocie  i  wylocie  ze szczeliny  powinny  być  spełnione  nastę pują ce  warunki  brzegowe  dla ciś nienia:  (2.7)  p = pw  dla  x =  x„  •  •  г,  >ь j  ;  p  — pz  dla  x =  x z .  R ó w n a ń  (2.1)  ­ (2.4)  uż yjemy  do wyznaczenia  p a r a m e t r ó w  przepływu  cieczy  w  szczelinie.  WPŁYW  SIŁ  BEZWŁADNOŚ CI  NA  PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  421  3.  Całki  równań  ruchu  •  Wprowadzając  wielkoś ci  bezwymiarowe  okreś lone  nastę pują cymi  zwią zkami:  x  у  —  R  _  «  Ro'  1  h'  Л 0 '   x  Roco  '  ( З Л )  /  /  \ 2  v0  _  u y  _  p  i  h \  R0co  nco  ц ы  \R01  oraz  oznaczając  symbolem  Re lokalną  liczbę  Reynoldsa  (3.2)  Re  =  е * » " *,  и   moż emy  sprowadzić  r ó w n a n i a  ruchu  (2.1)­(2.4) — przy  uwzglę dnieniu  (2.5) —  do  bez­ wymiarowej  postaci:  (3.3)  x \ v x ­ w + v y ­ d ­ ­ ­ T 1 ¥ v 0 j =  ­Щ ,К Х Щ   n  л \  щ i­  dv0  ­  8v0  1  dR  \  (3.4)  ^*iif+*>­4+R­dr**°j  2  '  "'l  82щ   drj2  (3.5)  l ^ R ^  .  R  di  8i]  gdzie  oznaczono  przez  i ? 0  —• ś rednią  wartość  promienia  powierzchni  wewnę trznej,  R0co —  h  prę dkość  charakterystyczną  przepływu,  Я = Re~s  zmodyfikowaną  liczbę  Reynoldsa.  Ro  Zmodyfikowana  liczba  Reynoldsa w przepływach  laminarnych  spotykanych w praktyce  spełnia  zależ noś ć.  Я < 1.  Z  r ó w n a ń  (3.3) i (3.4) wynika,  że dla przepływów  zachodzą cych  przy  małych  liczbach  Reynoldsa,  Я jest  małym  parametrem  u k ł a d u  (3.3)  ­ (3.5);  zatem jego  rozwią zania  m o ż na  przedstawić  w postaci  szeregów  potę gowych  wzglę dem Я:  (3.6)  vx  =  ^ 0 ) + Я ^1 > + Я 2 ^ 2 > +  ...  (3.7)  щ =  &0 0Ч Ы1)  + Л Ч2)+  ­ (3.8)  vy  =  Ц 0 ) + Щ "  + Х ЧУ2^  +  ...  (3.9)  p =pW + lpw  + X2pw+  ....  Podstawiając  przewidywane  rozwią zania  (3.6)  ­ (3.9)  do  u k ł a d u  (3.3)  ­ (3.5)  oraz  grupując  wyraż enia  stoją ce  przy  tych  samych  potę gach  Я otrzymamy  u k ł a d y  r ó w n a ń   róż niczkowych  liniowych  wzglę dem  niewiadomych  funkcji  vx l),  t $ ł ) , vy ,}  oraz p(i).  Ograni­ czając  się do liniowego  przybliż enia  i wracając  do wielkoś ci  wymiarowych  moż emy  napisać   ( з л о)  ..  .  И *1  1 * "  8y2  p.  dx  ( З .П)  ­ 8 У ­ 0 '  422  E .  WALICKI  (3.12)  (3.13)  (3.14)  (3.15)  й о <°>  By  d2vx"  1  ф <»>  д у2  82v^  д у2  dv™  + ц  dx  (О)  ^ _ + W ( 0 ) _ 4 T f L .  д у   д х   i  а   Е М1 » ] ­ (3.16)  R  д х   Warunki  brzegowe  zgodnie z (2.6) i  (2.7) przyjmują  teraz  p o s t a ć :  Djto)  =  =  o ( 0 )  =  =  o  d l a  =  0 )  y  =  л >  ojo> =  =  0  dla  ^  =  0, wj°>  =  7?co, г >̂  =  0  dla  у  = Л,  n(0)  Pw,P(l)  =  0  dla  x  =  x„  /><0)=7>*,  p^  =  0  dla  x = x z .  Całkując  r ó w n a n i a  (3.10) ­ (3.15)  przy  spełnieniu  w a r u n k ó w  brzegowych  (3.16) —  podobnie jak uczyniono  to w pracach  [16, 17] — otrzymamy:  В  1  (3.17)  «£°>  =  2^  7?/i3  3 ­ ( ^ ­ j 2 ) ,  (3.18)  vj?»  =  e , ^ ,  (3.19)  < >  (3.20)  (3.21)  (3.22)  < >  (3.23)  » < "  h  [A(x)­Az]pw­[A(x)­Aw]pt  2ц  Rh  Aw  —  Az  (yh­y2)­ C  1  ,  ,  , ч  р с о 2 Л Л'  60/ih2  QB2  (Rh)'  mofj,3  R3h  (4yh3­9y2h2  + 5y*) +  ' r  (­  2yh 5 + 9y2h*­ 35y*h2+42ysh ­  I4y6),  QBCO2  (Rh)'  _ lc_ и __  ~  \ 2[i Rh*  Qco2RR'h'  10/j.h  (y2h­y3)  +  QC02  1  !R 2R'  60,и  R  \  h2  ,  +  QB2  т о р   [ i  1(Щ '\  [R  [RW j  (2y2h3­3y3h2+y5)  +  (y2hs ­  3y3h*+7y5h2­  ly6h+2f)  +  +  ­ ^ T " (5y2h* ­\2y3h3  + I4ysh ­  ly6)j ,  (3.24)  ,(i)  =  D(x)­ [A(x)­Az]Dw­[A(x)­Aw]Dz  A„  A,  WPŁYW  SIŁ  BEZWŁADNOŚ CI NA  PRZEPŁYW CIECZY  LEPKIEJ  423  gdzie  dla  uproszczenia  zapisu  oznaczono:  dx  (3.25)  A(x) =  J  R(x)h3(x)  '  d­ipCyj,  A2  —  A(xz);  D { ? c )  =  To  Q O } 2 R 2  ~  D w  =  D ( X w ) '  D z  =  D { X z ) ;  B _  Pw­Pz  c _  Dz­Dw  Az  Aw  Az  AH  Rozwią zanie  okreś lonego  zagadnienia,  zgodnie  z  wzorami  (3.6)  ­  (3.9),  stanowią  sumy  rozwią zań  czą stkowych.  4.  Dyskusja  otrzymanych  wyników  Podane  w  poprzednim  punkcie  pracy  wzory  dla  składowych  prę dkoś ci  m o ż na  przed­ stawić  w  uproszczonej  postaci  niezależ nie  od  kształtu  powierzchni  ograniczają cych  prze­ p ł y w :  (4­1)  vx  =  FJM+F2f2(r,)+F3f3{rj),  (4­2)  v0  =  F4fAri)  +  F5fs(r)),  (4­3)  vy  =  F6f6  (ry) +  F7f,  (r])+Fafs  (rj)+F9f9  (г т ),  gdzie  dla  uproszczenia  oznaczono:  / i 0?)  = »?­»?2,   fi(v) = ^­9^  + 5^,  / з ( » ? )=  ­2rj+9r)2­35r]*+42r)5­l4r)6,  / 4 (г ?)  =  щ ,  fs(rj)  = 2Г7­5Г74 + 3>75,  fein)  =  П2­П3>  М ч )  =  2г )2­3г ]3  +  г )5,  fH(rj)  =  г 7 2 ­ 3 г )3 4 ­ 7 г ) 5 ­ 7 г 76  +  2г 77,  f9(rj)  =  5r? 2 ­12r? 3 +  14»?5­7»7 6.  Pi  oznaczają  współczynniki  zależ ne  od  lokalnego  położ enia  przekroju  poprzecznego  szczeliny,  róż nicy  ciś nień  mię dzy  wlotem  i wylotem  ze  szczeliny  oraz  od  prę dkoś ci  ką towej  wirują cej  powierzchni.  Z  postaci  wzorów  opisują cych  składową  wzdłuż ną  prę dkoś ci  vx  wynika,  że  główną   jej  czę ś cią jest paraboliczny  profil  płaskiego  przepływu  Poiseuille'a  [funkcja  /i(r?)  na  rys.  2]  uwarunkowany  istnieniem  róż nicy  ciś nień  na  wlocie  i  wylocie  ze  szczeliny  i  ruchem  wiro­ wym  powierzchni  zewnę trznej.  N a  główną  czę ść  składowej  prę dkoś ci  wzdłuż nej  n a k ł a d a  się przepływ  wtórny,  wywołany  ssą cym  działaniem  wirują cej  powierzchni  zewnę trznej.  Przepływ  w t ó r n y  opisany  jest  drugim  składnikiem  prę dkoś ci  vx  i  prę dkoś cią  vy;  profile  przepływu  w t ó r n e g o  reprezento­ wane  są  przez  funkcje  f2(rj)  na  rys.  2  oraz f6(rf),  ...  f9(t])  na  rys.  4.  Profile  prę dkoś ci  obwodowej  v0  opisane  funkcjami  Л (д)  i fs(t])  przedstawione  zostały  na  rys.  3,  przy  czym  główną  czę ś cią  prę dkoś ci  jest  profil  identyczny  z  profilem  przepływu  424  E .  WALICKI  Couette'a  mię dzy  płaszczyznami, z  których  jedna  jest  w  spoczynku, a  druga  porusza  się   z  lokalną  prę dkoś cią  równą  co • R(x).  W  pracach  [16,  17]  rozwią zano  podobne  zagadnienia  z  czę ś ciowym  uwzglę dnieniem  sił  bezwładnoś ci.  Porównując  otrzymane  wyniki  z  wynikami  tych prac  moż na  stwierdzić,  że  siły  bezwładnoś ci  powodują  symetryczne  wzglę dem  osi  szczeliny  zmiany  w  głównych  czę ś ciach  profilów  prę dkoś ci  wzdłuż nej  (funkcja  f3(rj)  na  rys. 2)  i  prę dkoś ci  obwodowej  (funkcja  f5(rj)  na  rys. 3).  Ponadto  siły  bezwładnoś ci  powodują  również  stosunkowo  duże  zmiany w wypadkowym  profilu  prę dkoś ci  poprzecznej  vy.  Zmiany  wywołane  wpływem  sił bezwładnoś ci  są stosunkowo  niewielkie  dla przepływów  powolnych  (A  «4 1) i mogą  być pominię te. Natomiast dla przepływów charakterystycznych  Rys.  2  i  'j  •   i  i  i  WPŁYW  SIŁ BEZWŁADNOŚ CI NA PRZEPŁYW CIECZY  LEPKIEJ  425  Rys.  4  dla  szybkoobrotowych  wzdłuż nych  łoż ysk  ś lizgowych  zmiany  te  mogą  osią gać  lub  nawet  przewyż szać  rząd  wielkoś ci  głównych  profilów  prę dkoś ci  wzdłuż nej  czy  obwodowej.  Iloś ciowe  okreś lenie  wielkoś ci  tych  zmian  jest  moż liwe  tylko  dla  okreś lonych  kształtów  powierzchni  ograniczają cych  przepływ,  róż nicy  ciś nień  na  wlocie  i  wylocie  ze  szczeliny  oraz  prę dkoś ci  ką towej  wirują cej  powierzchni.  Rozważ one  w  pracy  przybliż enie  liniowe  zachowuje  swoją  waż ność  dla  małych  wartoś ci  X;  dla  wartoś ci  X bliskich  jednoś ci  należy  uwzglę dnić  dalsze  wyrazy  szeregów  (3.6)­(3.9).  Literatura  cytowana  w  tekś cie  • ',  i\y\ ,l  TO  1.  W.  KAHLERT,  Der  Einfluss  der  Tragheitskrafte  bei  der hydrodynamischen Schmiermitteltheohe, Igenr —  Arch.,  16  (1948),  321  ­  342.  2.  Т.  VANNERUS,  Rotierende  Scheiben  fur  Luftvorwarmer  mit  geblasen —  wirkung,  Ang.  Warmetechn.,  6  (1955),  251  ­  262.  3.  W.  RICE,  An  analytical  and  experimental investigation  of  multiple disk pumps  and  compressors,  J .  Eng.  for  Power, Trans.  ASME,  Ser.  A ,  3,  85  (1963),  191  ­  200.  4.  W.  RICE,  An analytical and experimental investigation  of multiple disk turbines,  J. Eng.  for  Power, Trans.  ASME,  Ser.  A,  1,  87  (1965), 29  ­  36.  5.  J . ­ L . PEUBE,  F .  KREITH, Ecoulement  permanent  d'un fluide visqueux incompressible entre deux disques  paralleles  en rotation,  J . Mecanique,  2,  5  (1966),  260  ­  281.  6.  F .  KREITH,  H .  VIVIAND,  Laminar  source flow  between  two  parallel  coaxial disks  rotating  at  different  speeds,  J . Appl.  Mech., Trans.  ASME,  Ser.  E ,  3,  34  (1967),  541  ­  547.  426  E.  WALICKI  7.  L .  MATSCH, W.  RICE,  An asymptotic solution for  laminar flow  of  an incompressible fluid between rotating  disks,  J. Appl.  Mech., Trans.  ASME,  Ser.  E ,  1,  35  (1968),  155  ­  159.  8.  К.  E .  BOYD,  W.  RICE,  Laminar  inward flow  of  an  incompressible fluid between  corotating  disks  with  fullperiphera admission,  J. Appl.  Mech., Trans. ASME,  Ser.  E , 2,  35 (1968), 229  ­  237.  9.  H . J.  SNECK,  The eccentric face seal with  a tangentially varying film thickness,  J. Lubric. Technol., Trans.  ASME,  Ser.  F,  4,  91  (1969), 748  ­  755.  10.  R.  G.  ADAMS,  W.  RICE,  Experimental investigation  of  the flow between corotating disks,  J. Appl.  Mech.  Trans. ASME,  Ser.  E ,  3,  37  (1970), 844  ­  849.  11.  W.  RICE,  K . W.  MCALISTER,  Laminar  throughflow  of  Newtonian fluid between  coaxial  rotating  cones,  J.  Appl.  Mech., Trans.  ASME,  Ser.  E ,  1,  37  (1970), 210  ­  212.  12.  A.  SZANIAWSKI,  Przepływ  lepkiej cieczy  nieś ciś liwej  w szczelinie  stoż kowego  łoż yska  ś lizgowego,  Prace  IPPT  PAN,  15  (1970).  13.  K.  W.  MCALISTER,  W.  RICE,  Throughflows  between  rotating  surfaces  of  revolution,  having  similarity  solutions,  J. Appl.  Mech., Trans.  ASME,  Ser.  E ,  4,  37  (1970), 924  ­  930.  14.  L . L.  TING,  J. E.  MAYER,  Jr.,  The effects  of  temperature  and  inertia  on hydrostatic thrust  bearing per­ formance,  J. Lubric. Technol., Trans. ASME,  Ser.  F,  2,  93 (1971), 307  ­  312.  15.  E .  M A K A Y ,  P.  R.  TRUMPLER,  Inertia  effects  in fully developed axisymmetric  laminar flow,  J.  Lubric.  Technol., Trans.  ASME,  Ser.  F,  3,  93  (1971), 408  ­  414.  16.  E .  WALICKI,  Przepływ  cieczy lepkiej  w szczelinie  mię dzy  wirują cymi powierzchniami obrotowymi,  Mech.  Teoret. i Stos.,  1,  12 (1974), 7­  16.  17.  E .  WALICKI,  Viscous fluid flow  in a slot  of  the  curvilinear thrust bearing,  Mec.  Appliquee,  Rev.  Roum.  Sci.  Tech., 4,  20  (1975), 483  ­  493.  18.  E .  REINHARDT,  J. W.  L U N D ,  The influence  of fluid inertia  on  the dynamic properties  of journal bearings,  J.  Lubric. Technol., Trans.  ASME,  Ser.  F,  2,  97  (1975),  159  ­  167.  Р е з ю ме   В Л И Я Н ИЕ  С ИЛ  И Н Е Р Ц ИИ  НА  Т Е Ч Е Н ИЕ  В Я З К ОЙ  Ж И Д К О С ТИ  В  Щ Е ЛИ   М Е Ж ДУ  Н Е П О Д В И Ж Н ОЙ  И  В Р А Г Д А Ю Щ Е Й СЯ  П О В Е Р Х Н О С Т Я МИ  В Р А Щ Е Н ИЯ   В  р а б о те  р а с с м о т р е но  с т а ц и о н а р н о е,  л а м и н а р н ое  т е ч е н ие  в я з к ой  ж и д к о с ти  в  щ е ли  м е ж ду   п о в е р х н о с т я ми  в р а щ е н ия  с  о б щ ей  о с ью  с и м м е т р и и:  н е п о д в и ж н ой  и  в р а щ а ю щ е й с я.  Д ля  р е ш е н ия   з а д а чи  п р и м е н я ю т ся  у р а в н е н ия  п о г р а н и ч н о го  с л оя  д ля  о с е с и м м е т р и ч е с к о го  т е ч е н ия  в  с и с т е ме   к р и в о л и н е й н ых  к о о р д и н ат  х ,  0,  у ,  с в я з а н ых  с  о д н ой  из  э т их  п о в е р х н о с т е й.  У р а в н е н ия  п о г р а н и ч­ н о го  с л оя  р е ш а ю т ся  м е т о д ом  м а л о го  п а р а м е т р а.  П о л у ч е ны  ф о р м у л ы,  о п р е д е л я ю щ ие  т а к ие  п а р а­ м е т ры  т е ч е н и я,  к ак  к о м п о н е н ты  с к о р о с ти  vx,  vo,  v,  и  д а в л е н ие  р.  S u m m a r y  INERTIA  E F F E C T  IN  T H E  FLOW  OF  VISCOUS  FLUID  T H R O U G H  A  SLOT  BETWEEN  FIXED  A N D  ROTATING  SURFACES  OF  REVOLUTION  In  this paper  is  considered the  steady laminar flow  of  viscous fluid  through a  slot between the  fixed  and  rotating surfaces  of  revolution  having  a  common axis  of  symmetry.  The  boundary  layer equations  are  expressed in  terms of  the  intrinsic curvilinear orthogonal coordinate system x,  в ,  у  linked with one  of  these surfaces.  The  method  of  perturbation  is  used  to  solve  the  boundary  layer equations.  As  a  result,  the  formulae defining such parameters of  the  flow as  the  velocity components vx,  vo,v,  and  pressure p  are  obtained.  A K A D E M I A  T E C H N I C Z N O ­ R O L N I C Z A  W  B Y D G O S Z C Z Y  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  9 sierpnia  1976  r.