Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS77_t15z1_4\mts77_t15z4.pdf 8  lc  Ш £Ш *Ш &>\  vdi;fclbi>!«>  У   T E O R E T Y C Z N A  i i . S T O S O W A N A ­ f i u n c q  i  k i  4,  15  (1977)  invnKiis  u n o l b i i ł o  t:  L*1 • ­  oś  .  и к п э и ип  bo  vi'jb:>.  •••  :.'  ..  k ' i s i •  >q  i|/j:;"mij',  !rio>!  !  i  TENSOR  TARCIA  COULOMBA*)  A L F R E D  Z M I T R O W I C Z  ( G D A Ń S K)  ­'• ;  i;iv(.';J  .• ;»jfi'<4'jłóq.­w  'J.Ń  .I<$I)V/ IJ>;'  i  (Ł.Ł.)  2.  Zagadnienia  tarcia suchego  og'jJ?byw  utnsmob  O L \ \ \ \ ,  .  \  \]ж л >>­'.  i>«/n!  ;;iiinii  irncini/^iqwi  Д'  '  ^  aisbj;.  Tarciem  suchym  suwnym  nazywa  się  całokształt  zjawisk  wystę pują cych  mię dzy  styka­ ją cymi  się,  niesmarowanymi  powierzchniami  ciał  stałych,  spowodowanych  działaniem  siły  normalnej  dociskają cej  te  ciała  i  siły  stycznej  przemieszczają cej  lub  usiłują cej  je  prze­ mieś cić  [8].  Zazwyczaj  przy  omawianiu  tarcia  przedstawia  się  dwa  jego  mechanizmy:  tarcie  statyczne  i  tarcie  kinetyczne.  W  niniejszej  pracy  rozważa  się  przypadek  poruszają cych  się  wzglę dem  siebie  ciał  znajdują cych  w  styku.  Przyjmuje  się,  że  na  powierzchni  styku  obowią zują  prawa  tarcia  kinetycznego.  Wzglę dne  przemieszczenie  ciał  nazywa  się  poś lizgiem.  Siła  wzajemnego  docisku  ciał  i  prę dkość  poś lizgu  są  tzw.  parametrami  tarcia,  bowiem  stanowią  one  bezpoś rednią  przyczynę  omawianego  zjawiska  i  wpływają  na  jego  charakter.  *>  Praca  wykonana  w  ramach  planu  b a d a ń  M R  I/2fi,  lemat  09.3.  518  A .  ZMITROWICZ  Dotychczas zdaniem autora nie  opracowano  ogólnej  teorii,  k t ó r a  okreś lałaby  jednoznacznie  współczynniki  tarcia  lub  siłę  tarcia  w  zależ noś ci  od  własnoś ci  ciał  i  p a r a m e t r ó w  tarcia.  Podstawowa  t r u d n o ś ć  tkwi  w  duż ej  liczbie  czynników  wpływają cych  w  sposób  istotny  na  przebieg  zjawiska  tarcia  [8].  W  pracy  przyję to,  że  siła  tarcia  okreś lona  jest  znanym  wzorem  Amontonsa  i Coulomba. Stały  w czasie  współczynnik  tarcia  p  zależy  od  materiału  trą cych  się ciał  i  konfiguracji  powierzchni  styku.  Zwykle  zakłada  się, że c h r o p o w a t o ś ć  powierzchni styku  trą cych  się ciał jest  jednorodna  i  izotropowa.  H U B E R  [9]  zauważ ył,  że  współczynnik  tarcia  podłuż nego  może  być  róż ny  od  współ­ czynnika  tarcia  poprzecznego  na  skutek  п р .:  rodzaju  o b r ó b k i  (struganie,  toczenie)  lub  struktury  walcowniczej ciał.  M o ż e my  mówić  zatem  o  chropowatoś ci  ortotropowej  i anizo­ tropowej.  3.  Model  tarcia  ortotropowego  Hubera  Tarcie  odpowiadają ce  chropowatoś ci  ortotropowej  nazywamy  tarciem  ortotropowym.  Kierunek  siły  tarcia  w  tym  przypadku  jest  przeciwny  kierunkowi  poś lizgu  przy  ruchu  w  kierunkach  ortotropii.  Jeś li  poś lizg  nastę puje  w  innych  kierunkach,  kierunek  siły  tarcia  nie pokrywa się z nimi.  M ó w i m y  wtedy,  że siła  tarcia zbacza  z kierunku prę dkoś ci  poś lizgu.  Niech  osie  х ,  у  u k ł a d u  Oxy  pokrywają  się  z  głównymi  kierunkami  ortotropii  na  pła­ szczyź nie  styku.  Niech  px  i  p2  są  współczynnikami  tarcia  wzdłuż  osi  x  i  y,  natomiast  fix  współczynnikiem  odpowiadają cym  poś lizgowi  w  kierunku  tworzą cym  kąt  a  z  osią  л ­.  H U B E R  W  [9]  przyją ł,  że  (3.1)  /гх  —  COS2 a.+fi2 s i n 2  a .  Postulując  zależ ność  (3.1)  Huber  wzorował  się na  zależ noś ci  mię dzy  naprę ż eniami  normal­ nymi  w  płaskim  stanie  naprę ż enia  (3.2)  ax  =  o­^cos 2a +  o'j,sin2a,  gdzie  0Х,  ax  i  ay  są  naprę ż eniami  normalnymi  na  bokach  trójką tnego  elementu  wycię tego  z  napię tej  płaszczyzny.  Ką t, o  który  musi zbaczać  kierunek  siły  tarcia  od  kierunku  poś lizgu  przy  a  e  (0,  т с /2),  oznacza  się  przez  fi.  Wyznaczając  kąt  fi  H U B E R  wykorzystał  analogię   z  ką tem,  o  k t ó r y  zbacza  naprę ż enie  całkowite  pa  okreś lone  wzorem  (3.3)  P a  =  \/~a* +  r£,  od  kierunku  naprę ż enia  normalnego  ax  w  płaskim  stanie  naprę ż enia.  Tangens  tego  ką ta  wynosi  (3.4)  tg/3  =  £  ­  у  (ax  +  o­y) +  у  {ax  ­  óy)  cos 2a  TENSOR  TARCIA  COULOMBA  519  Zgodnie  z  powyż szymi  założ eniami  składowe  Tx  i  Ty  siły  tarcia  dane  są  wyraż eniami  у   2  ,  (3.5)  Tx  =  ^ / V c o s ( a ­ / S )  =  —f 1  r  ^u./Vcosa,  | /  (/*,  cos  a ) 2  +  ( « 2  sin  a ) z  (3.6)  Ty  =  ^ / V s i n ( a ­ / > )  =  A » i C O » a « + A » a t i n » « _  ] /  (,w  i  cos  a ) 2  +  ( / t 2 s i n a ) 2  Z  wzorów  (3.5)  i  (3.6)  nie  m o ż na  wydzielić  czę ś ci  zależ nej  tylko  od  funkcji  ką ta  a  charakteryzują cego  kierunek  poś lizgu  na  powierzchni  styku.  4.  Tensor tarcia suwnego  i jego  własnoś ci  Weź my  dwie  dwuwymiarowe  przestrzenie  wektorowe    "  "  I­  • I  = 0  ;>i  //Oloi'l'JW  9.4j;d  £Г |1ш П ОП   ,d  , . \ 0 , ? >  =  t \ .  jw/oio.nai  п э г и г э з па  rfosiH  Rys.  1.  Analogia  tarcia  ortotropowego  z  płaskim  stanem  naprę ż enia  bin  A  Naprę ż enia  px  okreś la  wzór  (3.3),  w  k t ó r y m  (4.5)  ax  =  —   ­ (o­ccos2  dx  +  9 iw   gdzie  (4.14) /t l t fi 2  e<0,  +co>  i  E x , £,,  e  <0,  т с /2>.  Nadto  musi  być  spełniony  warunek  (4.15)  (ex  +  б ,,)  6  <0,  т с /2).  Utworzony  w  ten  sposób  tensor  Q  oraz  ogólny  tensor  tarcia  mają  nastę pują ce  wła­ snoś ci:  1.  M o c  siły  pochodzą cej  od  czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia jest  r ó w n a  zeru.  D o w ó d :  Reprezentacją  macierzową  antysymetrycznej czę ś ci tensora tarcia jest macierz  uiA  (4.16)  gdzie  (4.17)  (QA)  l  " о ].  I  A =  T ( e 2 l ­ e 1 2 ) ­ 522  A .  ZMITROWICZ  Siłą  tarcia przy jednostkowym  docisku,  pochodzą cą  od czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia jest  (4.18)  tA  =  ­QA\.  Wersor  v w bazie ( е ъ e2)  może  być przedstawiony  nastę pują co  (4.19)  v =  [vl,v2]T.  Stą d,  otrzymujemy  moc siły  tA  (4.20)  M=  ­ v r ( Q ^ ) =  ­ b \ * 2 ] [ °  ~ o ] [ l 2 ] = ° ­ Siła  odpowiadają ca  czę ś ci  antysymetrycznej  tensora  tarcia ma charakter zachowawczy.  2.  Szczególnym  przypadkiem  tensora  tarcia  o  ortotropii  zgodnej  z  osiami  u k ł a d u  0xy  jest  tensor  tarcia  ortotropowego  (4.21)  Q  =  /г1к1®е1+ц2к2®е2,  i  tensor  tarcia  izotropowego  (4.22)  Q  =  / / ( к , ® et  + k 2 ®  e2).  D o w ó d :  W przestrzeni S2  wybrano  o r t o n o r m a l n ą  bazę  wersorów  (e,,  e2).  Elementy  2  reprezentacji  tensora  tarcia  ortotropowego  otrzymano  wprost  z  (4.13)  zakładając  sx  =  =  ey  =  0,  fi t  Ф ц2  ф 0.  Ponadto  przy  wyznaczaniu reprezentacji  tensora  tarcia  izotro­ powego  z  (4.13)  przyję to  dodatkowo  /гх =  ix2 = /л .  3.  K a ż dy  tensor  tarcia  ortotropowego  i  izotropowego jest  tensorem  symetrycznym.  D o w ó d :  Ponieważ  w przypadku tensora  tarcia  ortotropowego  i izotropowego  (4.23)  Q T  =  Q ,  więc  czę ś cią  symetryczną  tensora  tarcia jest  (4.24) CP =  I ( Q  + Q r )  =  Q .  Czę ść  antysymetryczna  tego  tensora  r ó w n a  jest  zeru.  4.  K a ż dy  tensor  tarcia ortotropowego  (4.13) którego  elementy  reprezentacji utworzono  przy  zachowaniu  w a r u n k ó w  (4.14)  i  (4.15)  ma  dwie  rzeczywiste  wartoś ci  własne  i dwa  wektory  własne.  D o w ó d :  Wartoś ci  własne  tensora  tarcia  Q  okreś la  równanie  (4.25)  d e t ( Q ­ * I )  =  0.  Stąd  po łatwych  przekształceniach  otrzymuje  się dla tensora  (4.13)  równanie  kwadratowe  postaci  (4.26)  X2cos2(ex  + sy)  — X(fit+ /n2)cos(ex + Sy)—  ­r  (JM1 s i n 2 e x+jM2 s i n 2 e y ) 2 +  +  O i C o s 2 £ * + ^ 2 s i n 2 £ y ) ­ ( / z 1 s i n 2 e * + ^ 2 c o s 2 e y )  =  0.  TENSOR  TARCIA  COULOMBA  523  Przy  spełnieniu  w a r u n k ó w  (4.14)  i  (4.15)  wyróż nik  tego  r ó w n a n i a  jest  nieujemny  ( A  >  0),  więc  pierwiastki  są  liczbami  rzeczywistymi.  5.  Każ dy  tensor  tarcia  ortotropowego  (4.21)  ma  dwie  wartoś ci  własne,  którymi  są   liczby  fi t  i  fi2  oraz  dwa  wektory  własne  postaci  (4.27)  m 1 = [ J ]   i  m 2  =  [ ° ] .  D o w ó d :  W  przypadku  tensora  tarcia  ortotropowego  r ó w n a n i e  (4.25)  sprowadza  się  do  postaci  (4.28)  0 " < ­ A ) G u 2 ­ A )  =  O.  Pierwiastkami  tego  równania  są  /ц  • М г • Stąd  j u ż  łatwo  okreś lić  wektory  własne  spełniają ce  równanie  (4.29)  Qm  =  Я ш.  6.  K a ż dy  tensor  tarcia  izotropowego  ma  wartość  własną  podwójną  równą  współczyn­ nikowi  tarcia  ju, a  jego  wektorem  własnym  jest  dowolny  wektor.  Prosty  d o w ó d  pominię to.  W  przypadku  tarcia  ortotropowego  (4.21),  współczynnik  tarcia  odpowiadają cy  poś lizgowi  w  kierunku  okreś lonym  ką tem  a  wynika  z  wzoru  (4.7)  po  podstawieniu  sx  =  sy  =  0  i  у  =  n/2,  (4.30)  цх  =  ] / ( i a 1 c o s a ) 2 +  0 2 s i n a ) 2  .  W  przypadku  tarcia  izotropowego  (4.22)  współczynnik  tarcia  /лх  m o ż na  o t r z y m a ć   z  (4.7)  po  podstawieniu  ex  =  sy  =  0,  у  =  т с /2  oraz  =  ц2  =  М ­  Stąd  (4.31)  ца  =  ц .  D l a  róż nych  formuł  matematycznych  współczynnika  цх  (3.1)  i  (4.30)  wynikają  róż ne  zależ noś ci  na  składowe  wektorów  siły  tarcia,  (3.5)  (3.6)  i  (4.9)  (4.10). Sposoby  wyznaczenia  ką ta  В w  [9]  i  niniejszej  pracy  są  identyczne.  D l a  p o r ó w n a n i a  uzyskanych  wyników  z  pracą  [9]  przeprowadzono  obliczenia  błę du  wzglę dnego  mię dzy  formułami  matematycznymi  ца  okreś lonymi  wzorami  (3.1)  i  (4.30).  W  tym  celu  utworzono  nastę pują cą  funkcję  błę du  (4.32)  A ( « ,  *)  =  rt»b"<0»W«  _  '  v  '  ?  stąd  к  e  <1,2;  0,83>,  b)  stali  o  ż eli­ wo  —  ni,  ц2  е < 0 , 1 7;  0,11>  więc  x  e  <1,55; 0,65>, c)  skóry  o  drewno —  ц1,  fj,2e <0,5;  0,3>,  * e < l , 6 7 ; 0 , 6 > .  524  A .  ZMITROWICZ  Maksymalny  błąd  oszacowano  przez  okreś lenie  kresu  górnego  funkcji  błę du  przy  róż nych  przedziałach  zmiennoś ci  współczynnika  x,  otrzymując  (4.33)  (4.34)  (4.35)  sup  Д ( а, к ) <  0,0612  =  6,12%,  а  e <0;  л /2>  x.  e <0,5;  2>  sup  А ( а, и) <  0,343  щ 34,3%,  « е ( 0;  я / 2>  Х Е  {0,2;  5>  sup  Д ( а, и ) <  0,7403  =  74,03%.  а  <=  <0; я / 2>  х  е <0,1  ; 10>  ;iv/'i'jiq  ­ją iw  .(U <  А )  , co jak wykazano  wystarczy dla praktyki  inż ynierskiej.  M o ż na  więc  stwierdzić,  że  model  tarcia  H U B E R A  i  prezentowany  w  niniejszej  pracy,  okreś lają   zbliż one  co do  wartoś ci  siły  tarcia  gdy współczynniki  i fi2  nie róż nią  się zbytnio.  Przyję ty  opis sił tarcia na powierzchni styku należy  skonfrontować  z wynikami  doś wiad­ czalnymi.  [J­­*)  ­n{X3łóqżw  pnwói  pnjpwboq  в г ш ;1//  6Ć QJII>W  ш  ogawoqo'[)o.\i  uioiłjJ  т о г пЫ  (Ь х в .Н .d  л  OJ Л  о у/  Л   5.  Przykład numeryczny  ai'j'ioJ.'ov/  c m i i ; ,\v в г л и!  iwo>lin  W  celu  sprawdzenia  uż ytecznoś ci  wprowadzonego  opisu  tarcia  wykonano  szereg  testo­ wych  przykładów  numerycznych dla ruchu punktu  materialnego  po chropowatej  płaszczyź­ nie  opisanego  prostym  r ó w n a n i e m  (5.1)  na =  F + T ,  gdzie  m masa  punktu,  r  wektor  położ enia,  F  siła  czynna, T  o p ó r  tarcia.  Wektory  r ó w n a n i a  (5.1)  m o ż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci  (5.2)  gdzie  T=[x,yf,  V={Fx,Fy] T,  iwoqoijosi  uioiBJ  ujlbsq^siq  W  T  =  ­ 7 V Q v ,  cose,.  sine.  [cose­  s i n e . l  r c o s a x l  = sine y  cos eyJ  |_cos xt  J  Stąd  wektor  siły  tarcia  m o ż na  przedstawić  w  postaci  /^cose*  /^sinej,  V(x)2+(y)2  У   (5.4)  T  = —N  cos(ex + £j,)  cos(ex + ey)  /г t  sine*  fi2cosey  cos(ex + ey)  cos(ex + ev)  V(x)2  +  (y)  in  i  i  J  / fij;.J /̂.г  u  eifl  ,..Ы вш  ш ш Ь л пк   cose­  sine  (IE.*)  в 1�]  ВП  I'M  sine v  cose v  x  i/(*)2+(i)2  j  j / ( * ) 2 + ( y ) 2  ..'j*jfil;yh;s   UwvAA  и  Ж У!  <>ц  t/i*  У  л   ooicrrlew  rl'j/'jcnaiis  utfiiil  и ш и п о Я /у/  оЧ   i i ' n n t r n  m o i / h ; mai> i  '  у >  <  • i'  /о /r/g izotropowe  tarcie  ortotropowe  tarcie  ort ot ropowe  е ,­еи­15'  / \ Rys.  3.  Tor punktu  poruszają cego  się po  chropowatej  płaszczyź nie  pod  działaniem  stałego  wektora  siły  nachylonego  do  osi  x  pod  ką tem 45°  ­ o ' l t o t T )  г п э 1э '1Ł1  s  w i r i  f o w s l q  o q  , i ' j f i l j i ' U ; r j o  N a  rys.  4,  5,  6 podano  wyniki  rozwią zania  r ó w n a n i a  ruchu,  gdy  F  =  — kr  (k —  stała),  a  charakterystyki  tarcia  izotropowego  (rys.  4),  ortotropowego  (rys.  5)  i  ortotropowego  (rys.  6)  są  jak  w  przykładzie  poprzednim.  Warunki  począ tkowe  ruchu  dobrano  tak,  aby  torem  punktu  był okrąg  w przypadku  braku  sił oporu.  Po  chropowatej  płaszczyź nie  punkt  .?.  ,\2­ш ,г  .ч  у .  /  a  ' . . ' H ' J / H  .1  . 0 !  Rys.  4.  Tor punktu  poruszają cego  się pod  wpły­  Rys.  5.  Tor punktu  poruszają cego  się pod  wpły­ wem  siły  centralnej,  po  płaszczyź nie  z  tarciem  wem  siły  centralnej,  po  płaszczyź nie  z  tarciem  izotropowym  ortotropowym  ex  =  ey. = 0°  porusza  się  ruchem  opóź nionym  i  ostatecznie  zatrzymuje  się  w  miejscu  wskazanym  na  rysunkach.  Przedstawione  na  rysunkach  punkty  odpowiadają  jednakowym  o d s t ę p om  czasu  (At  =  0,2  [s]).  Przeprowadzone  eksperymenty  numeryczne  wykazały,  że gdy  wartoś ci  współczynników  tarcia  na  kierunkach  głównych  znacznie  róż nią  się,  w  przykładzie  z  ex  =  ey  =  15°  526  A.  ZMITROWICZ  ponad  3 razy  (rys. 6), punkt  dą ży  do poruszania  się po  torze  o  kierunku  prawie  pokrywa­ j ą c ym  się  z  kierunkiem  najmniejszego  tarcia.  P o  wykonaniu  k i l k u  gasną cych  wahnięć   na  tym torze,  ostatecznie zatrzymuje się.  Rys.  6. Tor  punktu  poruszają cego  się  pod  wph/wem  siły  centralnej,  po  płaszczyź nie  z  tarciem  ortotro­ powym  ex  =  er  =  15°  Literatura  cytowana  w tekś cie  1.  S.  W.  E .  EARI  «,  E .  J.  WILLIAMS,  A linearized analysis for  fictionally  damped systems,  Jour, of Sound  Vibr., 24 4, (1972) 445  ­  458.  2.  A.  ZMITROWICZ, Ruch plaski dwóch bryl sztywnych z prostą  styku, Zeszyty Naukowe Inst. Maszyn Przepł.  1 (1977).  3.  Z. OSIŃ SKI,  Wpływ  tarcia  suchego  na  ruchy  drgają ce  układów  mechanicznych,  Arch.  Bud.  Masz., 7,1,  (1960) 99­ 116.  4.  J. WIĘ CKOWSKI, Dynamika  belki  warstwowej  z  tarciem  suchym,  Biuletyn  Inst.  Masz.  Przepł.,  21/689  (1971).  5.  H .  Г .  К А Л И Н И Н,  Ю .  А.  Л Е Б Е Д Е В,  В .  И.  Л Е Б Е Д Е В А,  Ю .  Г .  П О Н О Б К О,  Г .  И.  С т р л х о в,  К о н с т р у ­ к ц и о н н о е  д е м п ф и р о в а н и е в  н е п о д в и ж н ы х  с о е д и н е н и я х ,­  И з д а т.  А к а д.  Н а ук  Л С С Р,  Р и г а,  1960.  6.  W.  GRZESIKIEWICZ, Opis tarcia suchego  w  układach  mechanicznych,  VII  Sympozjum  «Drgania  w Ukła­ dach Fizycznych)), Blaż ejewko,  maj 1976.  7.  K .  WOLSKI,  Współczynnik  tarcia jako  wektor,  Arch.  Bud.  Masz., 3, 11 (1964) 581  ­ 584.  8.  P. SOLSKI, S. ZIEMBA, Zagadnienia tarcia suchego,  PWN,  Warszawa 1965.  9.  M . T.  HUBER, Opory tarcia i ich rola  w  niektórych  zagadnieniach kolejnictwa,  Pisma t. III, PWN,  War­ szawa 1957.  10.  I.  RYCHLEWSKI,  Tensory  i funkcje  tensorowe,  Biuletyn  Instytutu  Masz,  Przepl.,  681 (1968),  Р е з ю ме   Т Е Н З ОР  Т Р Е Н ИЯ  К У Л О М БА   В  р а б о те  д а но  о п р е д е л е н ие  т е н з о ра  т р е н и я.  С о в м е щ е н ие  э т о го  т е н з о ра с е д и н и ч н ым  в е к т о р ом   с к о р о с ти  с к о л ь ж е н ия  д а ет  в е к т о р,  п р о т и в о п о л о ж н ый  в е к т о ру  с и лы  т р е н ия  на  п о в е р х н о с ти  к о н­ т а к та  т в е р д ых  т е л.  П р и в е д е ны  с в о й с т ва  т е н з о ра  т р е н ия и е го  о с о б е н н о с т и.  Р а з р а б о т а н н ая  м а т е м а­ т и ч е с к ая  м о д е ль  т р е н ия  с р а в н и в а е т ся  с м о д е л ью  Г У Б Е РА [9].  П р и в е д е ны  р а с ч е ты  д ля  т о ч к и,  д в и ж у щ е й ся  по  ш е р о х о в а т ой  п л о с к о с ти  п од  д е й с т в и ем  п о­ с т о я н н ой  и ли  з а в и с я щ ей  от п о л о ж е н ия  т о ч ки  с и л ы.  TENSOR  TARCIA COULOMBA  527  S u m m a r y  TENSOR  OF COULOMB  FRICTION  The  paper presents a definition of a friction tensor. If that tensor is composed with a versor of a slip  speed vector, then vector will  be obtained which is reverse to  the  vector of friction  force  on the contact  surface of solid bodies. The  properties of the  friction tensor and  its particular cases are  given. The  presented  model is compared with the model of  Huber  [9].  An examplary calculation of a motion of a point on a rough surface with exciting force either constant  or  position — dependent  was made.  I N S T Y T U T  M A S Z Y N  P R Z E P Ł Y W O W Y C H  P A N  G D A Ń S K ­ W R Z E S Z CZ  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  4 marca  1977 r.