Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  W Y B O C Z E N I E  U D E R Z E N I O W E  P R Ę TA  O  D U Ż EJ  S M U K Ł O Ś CI  RYSZARD  G  R Y  В O Ś  (GLIWICE)  1.  Sformułowanie  problemu  i  cel  pracy  U t r a t ę  statecznoś ci  prę ta,  wywołaną  uderzeniem  podłuż nym,  okreś la  się jako  stan  ruchu,  podczas  którego  ugię cia  wykazują  tendencję  nieograniczonego  wzrostu.  Wzbudzenie  ruchu  poprzecznego  przez  uderzenie  podłuż ne  wymaga  istnienia pewnych  czynników  inicjują cych,  którymi  są:  odstę pstwa  osi  p r ę ta  od  idealnej  prostoliniowoś ci,  mimoś rodowość  siły  ude­ rzenia,  niejednorodność  materiału,  stan  naprę ż eń  szczą tkowych  (walcowniczych,  spawal­ niczych) i inne. Przyczyną  bezpoś rednią  ruchu  poprzecznego  jest fala  ciś nień  propagują ca  się   wzdłuż  p r ę ta  z  prę dkoś cią  с  = \/E/Q,  gdzie E, Q  oznaczają  m o d u ł  Younga  i  gę stość  ma­ teriału  p r ę t a.  Stan  krytyczny  w  sensie  wyż ej  okreś lonym  wią że  się  z  poję ciem  «krytycznej  strefy  wzbudzenia*.  Jest  to  odcinek  p r ę ta  obję ty  falą  ciś nienia  w  chwili  utraty  statecznoś ci.  Koncepcja  krytycznej  strefy  wzbudzenia  została  wprowadzona  przez  GERARDA  i  BECKERA  w  roku  1952  [1]. Póź niej  posługiwało  się nią jeszcze  kilka  innych  badaczy  [ 2 , 3 ,  4],  próbując  okreś lić  tzw.  krytyczne  parametry  uderzenia.  Autorzy  pracy  [1]  analizując  wyniki  własnych  doś wiadczeń  doszli  do  wniosku,  że  ani  wymienione  powyż ej  czynniki  inicjują ce  ruch  poprzeczny,  ani  smukłość  prę ta,  czy  też   warunki  podparcia  koń ca  nieuderzonego,  nie  wpływają  na  postać  wyboczenia  o  ile  długość   krytycznej  strefy  wzbudzenia  jest  mniejsza  od  długoś ci  prę ta.  D o  analogicznych  wniosków  prowadzą  także  wyniki  póź niejszych  doś wiadczeń  MAŁYSZEWA  [9].  Jednakże  samą  długość  krytyczną  okreś lano  dotychczas  teoretycznie  przez  intuicyjne  kojarzenie  stanu krytycznego  w warunkach  dynamicznych z podobnym  stanem  przy  ś ciska­ niu  statycznym  (tzn.  ze  smukłoś cią  krytyczną  w  sensie  Eulera)  p r ę ta  jednym  koń cem  pod­ partego  przegubowo,  a  na  drugim  sztywno  utwierdzonego  [1, 7].  W  pracy  niniejszej  do  okreś lenia  długoś ci  krytycznej  dochodzi  się  przez  analizę  prę d­ koś ci  (fazowej  i  grupowej)  propagacji  fal  gię tnych  w  prę cie  ś ciskanym  uderzeniowo.  Okazało  się,  iż  faktycznie  smukłość  fal  wyboczeniowych  pozostaje  w  pewnym  przybliż o­ nym  zwią zku  z  eulerowską  smukłoś cią  krytyczną,  jednakże  dla  prę ta  o  nieco  innych  wa­ runkach  brzegowych.  Wyprowadzono  wzory  na  długość  fali  wyboczeniowej  z a r ó w n o  sprę ż ystej,  jak  i  sprę ż ysto­plastycznej.  Konfrontacja  z  wynikami  doś wiadczeń  wykazuje  zadowalają cą  zgodnoś ć.  Obliczenia  poprzedzone  zostały  wyprowadzeniem  równań  róż niczkowych  opisują cych  sprzę ż one  drgania  podłuż no­gię tne,  ponieważ  w  tym  wzglę dzie  istnieją  w  literaturze  pewne  ozbież noś ci  (por.  np.  [2,  5 ­ 8]).  3  Mechanika  Teoretyczna  34  R . GRYBOŚ   2.  Równania  róż niczkowe  problemu  N a  gruncie  hipotezy  płaskich  przekrojów  stan  przemieszczeń  prę ta,  w  k t ó r y m  propa­ guje  się  sprzę ż ona  fala  podłuż no­gię tna,  opisują  trzy  funkcje: u(x, t), w(x, t), ip(x, ł). Pierwsza jest  przemieszczeniem  osiowym  przekroju  o  odcię tej x  w  chwili t,  druga  oznacza  przemieszczenie  poprzeczne  (ugię cie)  punktu  na  osi  centralnej y,  prostopadłej  do  płasz­ czyzny  zginania,  trzecia  oznacza  kąt  obrotu  przekroju  wzglę dem  osi y. Siły  wewnę trzne  w  prę cie  wyraż one  są  przez  przemieszczenia  wzorami  nastę pują cymi:  (2.1)  siła  poosiowa  (ś ciskają ca) N(x, t) = EFu'ix, t), (2.2)  siła  poprzeczna  (tną ca) Q(x, t) = k~1GF[w'(x,t)—f(x,t)], (2.3)  moment  zginają cy M(x,t)= —EIy>\x,t). Przecinek  u  góry  oznacza  róż niczkowanie  wzglę dem x,  k r o p k ą  oznaczać  bę dziemy  róż­ niczkowanie  wzglę dem t; к  jest  współczynnikiem  ś cinania.  Przechodząc  do  ustawienia  r ó w n a ń  ruchu  rozpatrzmy  najpierw  geometrię  odkształcenia  elementarnego  wycinka  p r ę ta  o  długoś ci dx  (rys.  1).  Dwie  płaszczyzny  przekroju  poprzecz­ Rys.  1  nego AB  i CD,  pierwotnie  równoległe,  po  odkształceniu  obracają  się  wzglę dem  siebie  o  kąt y'dx.  Ką ty  w  n a r o ż a ch A, B, C, D,  pierwotnie  proste,  wskutek  odkształceń  posta­ ciowych  zmieniają  się  о  у   w  naroż ach A, B,  zaś  o y + y'dx  w  n a r o ż a ch  są siednich С  i D. Te  same  ką ty  tworzą  wektory  sił  normalnych  z  kierunkiem  stycznej  do  osi  ugię tej.  N a ­ tomiast  wektory  tych  sił  nachylone  są  do  osi x  pod  ką tami ip oraz ip + yt'dx odpowiednio.  Uwzglę dniając  te  fakty  otrzymujemy  nastę pują ce  warunki  równowagi  dynamicznej  elementarnego  wycinka  p r ę t a:  (2.4) oFti =N'­(Qy>y, (2.5) QFW =Q' + (Ny>y, (2.6) QVW = ­M' + Q­N(w'­ip). WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA  35  Podstawiamy  tu  wzory  (2.1),  (2.2),  (2.3) oraz  wprowadzamy  zmienne  bezwymiarowe  _ x ­ ct  _ м  _ и >  , m X = Z T >  t = ~ T '   M = ~ 7 ~ '  w  = J ~ '  ~  W'  W  dalszym  cią gu  bę dziemy  jednak  pomijać  kreski  nad x, t, u, w, ponadto  róż niczkowanie  wzglę dem x  i t  nadal  bę dziemy  oznaczać  przecinkiem  i  k r o p k ą  u  góry.  Podstawowy  u k ł a d  r ó w n a ń  róż niczkowych  problemu  przyjmuje  ostatecznie  p o s t a ć   (2.7)  u­u"  =  y[(w'­tp)y>Y,  (2.8)  'w  — yw"  =  —у у >, + (и,у >У ,  (2.9)  ij)—ip"  — x2(y  — u')(iv' — я р ),  gdzie  G _ lm _ m _ / / 7 'TE' ~ r ­~oW  Г  ~  \  F •  R ó w n a n i a  powyż sze  opisują  sprzę ż ony  ruch  podłuż no­poprzeczny  p r ę ta  bez  krzywizny  wstę pnej  i  pozbawionego  cech  lepkoplastycznych.  3.  Sprę ż yste  fale  wyboczeniowe  Przytoczymy  najpierw  skrótowo  pewne  fakty  i wzory  dotyczą ce  propagacji  fali  podłuż­ nej.  Jeż eli  p o m i n ą ć  wpływ  ruchu  poprzecznego  na  ruch  podłuż ny,  to  zamiast  (2.7)  otrzymujemy  jednorodne  równanie  falowe ii —u" = 0.  Problem  począ tkowo­brzegowy,  j a k i  formułuje  się dla tego  r ó w n a n i a  przy  uderzeniu  ciałem  o  skoń czonej  masie,  posiada  znane  rozwią zanie  (np. [5])  (3.1) u(x,t)  =  ^ ( i ­ e * ­ < )  v xe [0,t], (3.2) u(x, t)  =  i ! l [ e ­ ( * + ' ­ 2 ' ) _ e « ­ r ]  у  xe[t,  21­1]  с   ltd.,  gdzie  / jest  (bezwymiarową)  długoś cią  prę ta, v0  —  prę dkoś cią  uderzenia.  Uderzenie  ciałem  o nieskoń czenie  duż ej  masie  wywołuje  równomierne  ś ciskanie  na odcinku  x e [ 0 , t], Przy  czym  skrócenie  właś ciwe u' = — v0/c  в  — e 0 .  Mając  dalej  na  uwadze  ten  przypadek  rozpatrzymy  warunki  propagacji  sprzę ż onej  fali  podłuż no­gię tnej.  G d y  do  (2.8),  (2.9) podstawić  u'  =  ­ e 0 ( e o  >  0), to  otrzymuje się   układ  r ó w n a ń   (3.3)  w­yw" =  ­ ( y  +  e0)v',  (3­4)  y>­f"  = * 2 ( y +  Ł 0 ) ( w ' ­ v O ,  z  którego,  po  eliminacji  ką ta  y>, wynika  równanie  dla  funkcji  ugięć   (3.5)  w­(\  + y)w,,  + yw™+x2(y  + e0)w + E0x 2(yĄ ­e0)w"  = 0 .  Jest  to  równanie  Timoshenki  uogólnione  na  przypadek  p r ę ta  ś ciskanego  równomiernie  («о  =  const).  36  R . GRYBOŚ   Jeż eli  równanie  (3.5)  ma  opisywać  ruch  falowy,  to  jego  rozwią zanie  powinno  mieć   postać  okresowej  funkcji  argumentu  (cft — x)/A,  gdzie  Л jest  długoś cią  fali,  zaś cf  oznacza  p r ę d k o ść  fazową  (0  ^  cf  <  c).  Niech  > [ « « ­ ^ ­ ( e / / ­ J c ) j , (3.6)  w(x,  I)  ­­­­­  Acxp\iy.  ' j ' (cft­x)  |,  CF  i  =  Podstawienie  w  (3.5)  daje  nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  długoś cią  fali  i  prę dkoś cią  fazową   Л   (3.7)  F a l a  o  długoś ci  Л  propaguje  się więc  z  okreś loną  prę dkoś cią  fazową,  którą  m o ż na  obliczyć   jako  dodatni  pierwiastek  r ó w n a n i a  (3.8)  cf­  [(y + e0)  (A/2nr) 2  + l+y]c)­  [s0(y  + e0)  (A/2nr) 2­y]  =  0  spełniają cy  warunek  cf  <  \/y  (cf  <  \/Glko).  N a  rys.  2  przedstawiony  jest  wykres  zależ noś ci  cf  = f(r/A),  skonstruowany  na  pod­ stawie  r ó w n a n i a  (3.8); jest  to  tzw.  krzywa  dyspersji.  Przyję to  у  =  G\kE  =  0,32,  co  odpo­ wiada  wartoś ci  u ł a m k a  Poissona  0,3  oraz  współczynnikowi  ś cinania  к  =  1,2.  W  zakresie  fal  krótkich  i  ś redniej  długoś ci  (г /Л  >  0,02)  krzywa  nie  róż ni  się  zasadniczo  od  tej,  j a k ą   na  podstawie  ś cisłego  rozwią zania  otrzymał  DAVIES  [12]  bez  uwzglę dnienia  ciś nienia  po­ osiowego. Wpływ tego czynnika  uwidacznia się dopiero  w zakresie  fal długich,  gdzie  krzywa  ulega  rozszczepieniu na  szereg  gałę zi,  z  których  każ da  odpowiada  innej  wartoś ci  ciś nienia.  Ze  wzrostem  długoś ci  fali  krzywa  dyspersji  monotonicznie  opada,  aż  przy  długoś ci  (3.9)  Ak =  2nr­ \'y  2nr  Veo(y + Ło)  Veo  WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA  37  przecina  oś  rzę dnych,  czemu  odpowiada  cs  =  0.  Oznacza  to,  że wzdłuż  belki  uderzonej  poosiowo  (ciałem  o nieskoń czenie  duż ej  masie)  nie mogą  p r o p a g o w a ć  się fale  gię tne  o  dłu­ goś ci  Л  ^  Ak,  bowiem  przy  tej  długoś ci  fali  nastę puje  wyboczenie  dynamiczne.  Dlatego  falę  gię tną  o  długoś ci  Ak  bę dziemy  nazywać  «falą  wyboczeniową ».  Ponieważ  у  ~  0(1),  zaś e 0  ~  0(1O~ 3 ),  więc  zamiast  (3.9) m o ż na  z  dużą  dokładnoś cią   przyjąć   (3.10)  Ak  x  2nr/\/70  =  2nr \lc/v0  .  Fakt,  iż nie wystę puje  tu współczynnik  у ,  a tym samym  współczynnik  kształtu  k,  ś wiadczy  o  tym, że  smukłość  krytyczna  Ak/r  nie  zależy  od  kształtu  przekroju  belki,  a jedynie  od  wzglę dnej  prę dkoś ci  uderzenia.  Tak np. w  belce  stalowej  przy  prę dkoś ci  uderzenia  v0  =  =  1 0 " 3 с wystą pi  fala  wyboczeniowa  o  długoś ci  2л j / 1 0 3 r  K, 200 r. Jak widać  z tego  przy­ kładu,  sprę ż ysta  fala  wyboczeniowa  może  wystą pić  tylko  w  prę tach  o  stosunkowo  duż ej  smukłoś ci  X (w danym  przypadku,  gdy X >  200).  Przejdź my  do okreś lenia  «prę dkoś ci  grupowej»  cg,  lub jej  bezwymiarowego  odpowied­ nika  cg  = cg/c.  W  tym wzglę dzie  korzystamy  ze  znanego  zwią zku  mię dzy  prę dkoś ciami  С /,  cg  i  długoś cią  fali  .  dcf  св  =  с г ­ А ж   lub  po zastosowaniu  wielkoś ci  bezwymiarowych  r  ddf  Cg  =  Cf+  •   Л  d(r/A)  '  Uwzglę dniając  zależ ność  (3.7) otrzymujemy  po  wykonaniu  licznych  r a c h u n k ó w  Przebieg  krzywych  dyspersyjnych  dla rozmaitych  wartoś ci  e 0  wykazuje,  iż w  zakresie  fal  ś rednich  i  krótkich  ciś nienie  nie wpływa  na  prę dkość  przenoszenia  energii  fal  gię tnych  (rys.  2). D l a г /Л  и  0,2  wystę puje  maksimum  bezwzglę dne  (max  cg  x  0,61),  co  oznacza,  że  przy  propagacji  krótkotrwałego  zaburzenia  gię tnego  najszybciej  bę dzie  przenoszona  energia  zwią zana  z falą  o  długoś ci  ~  5 r  (dla  przyję tej  wartoś ci  y).  W  pobliżu  stanu  krytycznego  (Л к  Лк)  słuszne  są  nastę pują ce  przybliż one  wzory na  prę dkość  fazową  i  grupową:  Wyprowadzone z  (3.7)  i (3.11).  Przy  cf  =  | / e 0 / 2  prę dkość  grupowa  osią ga  minimum  (które  wynosi  2c j / 2 e 0 ) ,  po  czym  zaczyna  gwałtownie  wzrastać aż do nieskoń czonoś ci  przy  Л  =  — Ak.  Oznacza  to,  iż  energia  ruchu  poprzecznego  wzrasta  wówczas  nieograniczenie,  chociaż  ruch  nie ma charakteru  falowego  (cf  = 0); jest  to  sytuacja  charakterystyczna  dla  stanu  krytycznego.  Zauważ my,  iż  fali  wyboczeniowej  towarzyszy  skrócenie  dynamiczne  д и /д х  — e 0  ~  «  (2nr/Ak) 2,  które  zarazem  jest  skróceniem  krytycznym,  jakie  wystę puje  przy  «statycz­ nym»  ś ciskaniu  słupa  o  smukłoś ci  Ak/r,  «obustronnie  utwierdzonego)).  Wią że  się  tcz.fak*­ 38  R . GRYBOŚ   tem,  iż  warunki  brzegowe,  jakie  wystę pują  na  czole  fali  gię tnej,  odpowiadają  właś nie  sztywnemu  utwierdzeniu.  T o  samo  powiedzieć  m o ż na  o  brzegu  uderzonym,  jeś li  ciało  uderzają ce  uniemoż liwia  swobodę  obrotu  czołowego  przekroju  prę ta.  4.  Plastyczne  fale  wyboczeniowe  Przy  uderzeniu  z  prę dkoś cią  >  epc  (ep  oznaczają  skrócenie  właś ciwe  na  granicy  pla­ stycznoś ci)  pojawiają  się  wyboczeniowe  fale  plastyczne.  Ich  amplitudy  są  stosunkowo  duż e,  tak,  że  fale  wyboczeniowe  dają  się  łatwo  obserwować  gołym  okiem  jako  trwałe,  faliste  wygię cia  prę ta.  A n a l i z a  teoretyczna  tego  przypadku  jest  znacznie  bardziej  skomplikowana  niż  przy­ padku  sprę ż ystego.  Zasadniczym powodem jest  nieliniowość  charakterystyki  a(e)  materiału  i  zwią zana  z  tym  zmienna  p r ę d k o ść  propagacji  fali,  nieliniowy  rozkład  naprę ż eń  od  zgina­ nia  w  przekroju  poprzecznym  i  inne  efekty  w t ó r n e .  Poszukując  rozwią zania  przybliż onego  przyjmiemy  do  rozważ ań  charakterystykę   sprę ż ysto­plastyczną  ze  wzmocnieniem  liniowym  (rys.  З а ). W  zwią zku  z  tym  rozkład  na­ prę ż eń  w  przekroju  poprzecznym  bę dzie  opisany  linią  łamaną  (rys.  3b).  Jednakże  dalsze  rozważ ania  ograniczymy  do  fazy  silnie  rozwinię tych  odkształceń  plastycznych,  dzię ki  a)  b)  Q  i  Д   V.  i Ш   \  )  1  M  R y s .  3  czemu  m o ż n a:  po  pierwsze —  rozkład  naprę ż eń  a p r o k s y m o w a ć  prostą  o  nachyleniu  proporcjonalnym  do  m o d u ł u  wzmocnienia Ep,  po  drugie  —  założ yć,  iż  naprę ż enia  w  war­ stwach  skrajnych  (a  więc  także  w warstwie  odcią ż onej  przez  zginanie)  przekraczają  granicę   plastycznoś ci  (ap  <  aB  <  aA).  Nierównomierny  rozkład  naprę ż eń  w  przekroju  implikuje  istnienie  momentu  zgina­ j ą c e g o:  Mp  =  —Eplf'  [por.  (2.3)].  Ponadto  wystą pi  tam  siła  ś ciskają ca  N  =  Fa  (ciś nie­ nie  osiowe  a  >  ap)  oraz  siła  poprzeczna,  okreś lona  nadal  wzorem  (2.2),  w  k t ó r y m  jedynie  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  G  zastą pimy  odpowiednim  m o d u ł e m  wzmocnienia  Gp.  Przy  tych  założ eniach  r ó w n a n i a  dynamiczne  p r ę ta  w  fazie  aktywnego  płynię cia  za­ chowują  postać  (2.5),  (2.6).  G d y  siły  wewnę trzne  wyrazimy przez  przemieszczenia  i  wpro­ wadzimy  nowe  wielkoś ci  bezwymiarowe  _  w  _  /­  x  a t  a  Gp  г  г  у /йЕр  r  E„  ko  WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA  39  to  otrzymamy  (4.1)  w­Pw"+­^J­y>'  =  0,  ]/s  (4.2)  s'y>­y>"­(\ + (})(v7w'­ip) = 0;  ( | г ­ з ( . )\  = (•)'),  przy  czym  kreski nad w opuszczamy.  Wyeliminowanie  ką ta  ^  daje  ostatecznie  jedno  podstawowe  r ó w n a n i e  zagadnienia  (4.3)  w ­ ( l + i35)iv" + / 9 v v I V + ( l + /S)vO + ( l + /S)iv''  = 0 .  Rozwią zania  falowego  poszukujemy  w postaci  (4.4)  w(x,  t)=A  exp j­f  — j =  (cft­  x)J,  | c r =  •   nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  dług  г  71L  ^i+/?)(i+^)  J  D l a  С / = 0  otrzymujemy  długość  plastycznej  fali  wyboczeniowej  Ponieważ  na  ogół  o­ <ś  Gp,  к  ~  0(1), więc  p~ l  =  ka/Gp  ­4 1 i  m o ż na  napisać   Podstawienie  w  (4.3) daje  nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  długoś cią  fali  i  prę dkoś cią  fazową   (4.5')  Ak  x  2л г \/Ер/(г  .  We  wzorach  tych  prę dkość  uderzenia  nie wystę puje  jawnie,  ale długość  fali  wyboczenia  zależy  od v0  poprzez  ciś nienie  a.  A b y  wyznaczyć  tę  zależ ność  weź my  pod  uwagę  elementarny  odcinek  p r ę ta  o  masie  QFdx.  P o  przejś ciu  fali  naprę ż eń  pęd odcinka  wzrasta  o  (oFdx)dv,  gdzie  v  =  du/dt jest  prę dkoś cią  czą stek  w ruchu  podłuż nym.  Przyrost  pę du  nastę puje  pod działaniem  impulsu  d(Fo)dt.  Fala  ciś nienia  poruszając  się z  prę dkoś cią   (4.6)  X  Q  de  przebiega  przez  rozważ any  odcinek  w czasie dt  =  dx/c.  N a  podstawie  zasady  pę du  i impulsu  dx  (qFdx) dv  =  d(Fa)­^­.'  Stąd  dv  = do/gc i po  scałkowaniu  z uwzglę dnieniem  wzoru (4.6)  Znając  charakterystykę  a(e)  m o ż na  całkę  powyż szą  efektywnie  obliczyć,  a  nastę pnie  równanie  (4.7) rozwią zać  wzglę dem  a. W ten  sposób  otrzymamy  poszukiwaną  zależ ność   40  R . GRYBOŚ   Obliczenia  są  szczególnie  proste  w  przypadku  charakterystyki  dwuliniowej,  jak  na  rys.  З а;  wówczas  д а /de  =  E  dla  0  <  ar  <  ap  oraz  д а /de  =  Ep  dla  ap  <  at  <  a,  wobec  czego  а  a­ap  а  с   v0  =  —&=  +  — ­  dla  v0  >  ­ | r ­ ,  ]/oE  \  QEP  E  stąd  F a l a  p o d ł u ż na  o  takiej  intensywnoś ci  propaguje  się  z  prę dkoś cią  c p  =  )/EP/Q.  Wzór  (4.5)  ma  charakter  przybliż ony  z  powodu  k i l k u  uproszczeń  przyję tych  podczas  jego  wyprowadzania.  Najpoważ niejszym  ź ródłem  błę du  jest  faktyczne  pominię cie  fazy  sprę ż ystej  w  równaniu  falowym  (4.3),  dzię ki  czemu  we  wzorze  k o ń c o w ym  wystą pił  tylko  m o d u ł  wzmocnienia  E P .  W  rzeczywistoś ci  fale  wyboczeniowe  tworzą  się  w  warunkach  sprę ż ysto­plastycznego  stanu  odkształcenia,  przy  czym  E  >  E P . Omawiany  wzór  pozwala  więc  tylko  na  oszacowanie  długoś ci  fali  wyboczeniowej  z  «niedomiarem».  Badania  eksperymentalne  nad  wyboczeniem  dynamicznym  prę ta  wykazują  pewien  rozrzut  wartoś ci  Лк  zmierzonych  na  jednej  próbce,  a  wyniki  p o m i a r ó w  cytowane  w  litera­ turze  (np.  [11])  dotyczą  wartoś ci  ś rednich.  Dlatego,  chcąc  skonfrontować  te  wyniki  z  teorią,  wydaje  się  słuszne  podstawienie  w  (4.5')  zamiast  E P , ś redniej  wartoś ci  m o d u ł u  w  prze­ dziale  [0,  e j  ct  ek  J  de  gdzie  ek  jest  maksymalnym  skróceniem  sprę ż ysto­plastycznym.  W  przypadku  charaktery­ styki  dwuliniowej  otrzymujemy  Ek  =  —  [Eep  + Ep(ek  ­  Ł„)],  przy  czym  £" = Ep lub  po  podstawieniu  (4.8)  ­ ^ ­ ( l / ­ I : ­ ' H ­ Jeż eli  zatem  we  wzorze  (4.5')  zamiast  Ep  podstawimy  Ek  =  a/ek,  to  otrzymamy  Лк  «  »  2nrek^ 2  lub  (4.10,  ^ ­ Ч ^ ­ ^ ­ ' К Г­ Jest  to  przybliż ony  wzór  na  ś rednią  długość  plastycznych  fal  wyboczenia,  wywołanych  uderzeniem  z  prę dkoś cią  v0  >  apc/E.  WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA  41  5.  Konfrontacja  z  doś wiadczeniem  Spoś ród  licznych  eksperymentów,  dotyczą cych  uderzeniowego  wyboczenia  p r ę t ów  [1,  3,  7,  9,  10,  11]  omówimy  tu  jedynie  doś wiadczenia  MAŁYSZEWA  [9]  oraz  ABRAHAMSONA  i  GOODIERA  [11],  w  których  mierzono  długoś ci  fal  wyboczeniowych,  z a r ó w n o  sprę ż ystych  jak  i  plastycznych.  Eksperymenty  MAŁYSZEWA  przeprowadzone  były  na  p r ó b k a c h  w  postaci  kilkumetro­ wego  odcinka  drutu  stalowego  (o  ś rednicy  d  =  3  mm)  lub  miedzianego  (d  =  2,6  mm),  spoczywają cego  swobodnie  na  płaskim,  poziomym  podłoż u.  Smukłość  prę tów  próbnych  przekraczała  wielokrotnie  smukłość  fal  sprę ż ystych,  dzię ki  czemu  m o ż na  było  rejestrować,  za  pomocą  ultraszybkiej  fotografii,  przebieg  procesu  wyboczenia  nie  zakłócony  działaniem  fali  odbitej  (która  powracała  do  miejsca  uderzenia  po  upływie  ~  3,5  ms).  Uderzenia  realizowano  przy  pomocy  młota  wahadłowego  (dla  prę dkoś ci  ^  5  m/s)  oraz  m ł o t a  wirują cego  (5  <  v0  <  60  m/s).  N a  p r ó b k a c h  miedzianych,  przy  prę dkoś ci  uderzenia  5  m/s,  tworzyły  się  sprę ż yste  fale  wyboczeniowe  o  długoś ci  od  11  do  22  cm.  Ze  wzoru  (3.10)  dla  r  =  d/4  =  0,065  cm,  с  =  3,7  •  10 5  cm/s,  v0  =  5 • 1 0 2  cm/s  wynika  Лк  «  11,1  cm,  co  się  dobrze  zgadza  z  dolną   granicą  obserwowanych  długoś ci  fal.  Wystę powanie  fal  dłuż szych  tłumaczy  się  odmiennym  niż  przyję to  w  obliczeniach  rozkładem  naprę ż eń  w  strefie  wzbudzenia.  Przyczyny  tego  stanu  rzeczy  są  dwojakiej  natury:  po  pierwsze —  skoń czona  masa  ciała  uderzają cego,  po  drugie  —  efekty  lokalne.  Zagadnienie  to  ilustruje  rys.  4.  W  zakresie  sprę ż ystym  rozkład  równomierny  (krzywa  1)  Wystą piłby  tylko  przy  uderzeniu  ciałem  nieskoń czenie  wielkim.  Uwzglę dnienie  skoń czonej  masy prowadzi  do  wykładniczego  spadku  naprę ż eń  od  wartoś ci  Ev0/c  na  czole fali  (x  =  ct),  do  wartoś ci  E{v0jc)  exp(  — oFct/m)  na  brzegu  uderzonym  (krzywa  2).  1  Rys.  4  Wpływ  odkształceń  lokalnych  na  rozkład  naprę ż eń  w  strefie  wzbudzenia  jest  bardzo  istotny,  ale  okreś lenie  go  na  drodze  teoretycznej jest  problematyczne  z  uwagi  na  t r u d n o ś ć   sprecyzowania  rzeczywistych  w a r u n k ó w  brzegowych, jakie  istnieją  na  powierzchni  czołowej  podczas  zderzenia.  Ograniczymy  się  do  przypomnienia  najważ niejszych  wniosków,  które  wynikają  z  rozwią zania  podobnego  lecz  nieco  uproszczonego  zagadnienia  kontaktowego  42  R . GRYBOŚ   teorii  uderzenia  (por.  np.  [13]).  O t ó ż  przebieg  (w  czasie)  siły  stykowej  zależy  od  geometrii  powierzchni  w  obszarze  zetknię cia  oraz  od  charakterystyki  sprę ż ysto­plastycznej  materiału.  Wpływ  podatnoś ci  lokalnej  przejawia  się  przede  wszystkim  w  złagodzeniu  ostroś ci  maksi­ mum  fali  ciś nienia  oraz  w  nieznacznym  jego  opóź nieniu.  Pewną  rolę  odgrywa  tu  także  lepkość  materiału.  W  rezultacie  rzeczywisty  rozkład  naprę ż eń  w strefie  wzbudzenia jest nie  tylko  nierówno­ mierny,  ale  i jego  maksimum jest  mniejsze  od  przyję tego  w  obliczeniach  (krzywa  3).  Po­ nieważ  zaś  mniejszym  naprę ż eniom  towarzyszą  dłuż sze  fale  wyboczeniowe,  przeto  mamy  wyjaś nienie  przyczyn  powstawania  także  dłuż szych  fal  sprę ż ystych  niż  to  by  wynikało  ze  wzoru  (3.10).  Nieco  mniejszej  rozbież noś ci  wyników  m o ż na  oczekiwać  w  przypadku  fal  plastycznych,  bowiem  wówczas  rozkład  naprę ż eń  jest  bardziej  równomierny.  Korzystając  ze  wzorów  rozdziału  4  obliczono  długoś ci  fal  plastycznych  w  drucie  miedzianym  dla  nastę pują cych  danych: E  =  10 5  M N / m 2 ,  E„  =  1,8  • 10 3  M N / m 2 ,  Q  =  8,95  • 10 3  k g / m 3 ,  ap  =  150  M N / m 2 ,  ep  =  0,15%,  cp  =  456  m/s.  W y n i k i  obliczeń  przedstawia  krzywa  1  na  rys.  5,  obrazują ca  zależ ność  AJr  =  f(v0).  Miedź  jest  materiałem  wraż liwym  na  p r ę d k o ść  odkształcenia,  dlatego  w  obliczeniach  dokładniejszych  należ ałoby  uwzglę dnić  zależ ność  ap  od  v0.  Kr zywa  (pkt . pom. )  Mat er i al   Pr óbka  (ś r edni ca  mm)  Ź r ódło  danych  1  •   C u dr ut   Ф 2, 6  m  2  e  Ф   A l 6061­T6  pr ę t   Ф П , 5; Ф 5, 3  PO  3  o  A l 2024­T3  r ur a  Ф 11, 5/ 7, 8  i m  50  100  Rys.  200  [m/s]  Doś wiadczenia  opisane  w  pracy  [11]  wykonano  na  p r ę t a ch  aluminiowych  (pełnych  i  rurowych),  które  rozpę dzone  do  stosunkowo  duż ych  prę dkoś ci  (30 н ­200  m/s)  uderzały  poosiowo  w  sztywną,  nieruchomą  przegrodę.  Przy  prę dkoś ci  ~  22  m/s  stwierdzano pierw­ sze  objawy  wyboczenia  plastycznego.  D o  obliczeń  przyję to  nastę pują ce  dane:  10 3  M N / m 2 ,  Q  = dla  materiału  A l  6061­T6:  E  =  0,694­10 5  M N / m 2 ,  Ep  =  1,24  =  2,70  x  1 0 3 k g / m 3 ,  ap  =  310  M N / m 2 ,  sp  =  0,43%,  cp  =  678  m/s;  dla  materiału  2024­T3:  WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA  43  E  =  0,694 • 1 0 5 M N / m 2 , Ep  =  2,76  • 10 3  M N / m 2 ,  Q  =  2,70  • 10 3  k g / m 3 ,  ap  =  360  M N / m 2 ,  ep  =  0,51%,  cp  =  1000 m/s.  W y n i k i  obliczeń  oraz  p o m i a r ó w  długoś ci  fal (oznaczone ф, 0 , 0  n &  rys.  5)  wykazują   d o b r ą  zgodność  w  duż ym  przedziale  prę dkoś ci  uderzenia.  Rozbież noś ci  należy  głównie  przypisać  ograniczonej  masie  ciała  uderzają cego  oraz  wraż liwoś ci  aluminium  na  prę dkość   odkształcenia.  Pewien  wpływ  ma tu także  rozpę czanie  p r ó b e k  w pobliżu  brzegów  uderza­ ją cych.  6.  Uwagi  koń cowe  Jest  godne  podkreś lenia,  iż do wzoru  na długość  fali  wyboczeniowej  doszliś my  (w roz­ działach  3 i 4) przez  ogólną  analizę  w a r u n k ó w  propagacji  fal podłuż no­gię tnych,  a  więc  bez  formułowania  problemu  brzegowo­począ tkowego.  Konfrontacja  teorii  z  wynikami  doś wiadczeń  potwierdza  słuszność  takiego  podejś cia,  a tym samym  niezależ ność  długoś ci  krytycznej  od w a r u n k ó w  brzegowych.  Jeż eli  smukłość  p r ę ta  jest  mniejsza  od Ak/r  lub p r ę d k o ść  uderzenia  jest  mniejsza od  с (2л г /Лк) 2,  wówczas  wyboczenie  sprę ż yste  nie może  nastą pić  podczas  przebiegu  pierwszej  fali  ciś nienia.  Stan  krytyczny  może  jednak  zaistnieć  podczas jednego  z  nastę pnych  prze­ biegów  fali  ciś nienia,  bowiem  kolejne  odbicia  tej  fali  (od brzegu  utwierdzonego)  intensy­ fikują  począ tkowo  stan  naprę ż enia,  wię kszym  zaś ciś nieniom  towarzyszą  coraz  krótsze  fale  wyboczeniowe.  Analizę  dynamiki  procesu  wyboczenia w póź niejszej  fazie  uderzenia  komplikuje  nader  złoż ony  obraz  rozkładu  ciś nień,  j a k i  wytwarza  się wskutek  nałoż enia  fal  wielokrotnie  odbitych.  D o d a t k o w ą  komplikację  rachunkową  stanowi  lepkość  materiału,  której  wpływ  musi  być  bezwzglę dnie  brany  pod  uwagę  przy  analizie  póź niejszej  fazy  procesu.  Trudnoś ci  te  m o ż na  zasadniczo  p o k o n a ć  stosując  metodę  charakterystyk.  N a  zakoń czenie  wypada  przypomnieć,  iż każ dy  p r ę t  rzeczywisty  posiada  pewną  krzy­ wiznę  wstę pną  lub  inne  czynniki  warunkują ce  wzbudzenie  drgań  gię tnych.  Dlatego  wybo­ czenie  uderzeniowe,  rozumiane  jako  wzbudzenie  ruchu  poprzecznego  elementów  prę ta,  wystę puje  zasadniczo  przy  każ dej  prę dkoś ci  uderzenia.  Jednakże  przy  prę dkoś ciach  mniej­ szych  od с (2п г /Лк) 2  ma ono charakter  lepkosprę ż ysty,  a  więc  po  upływie  pewnego  czasu  od  uderzenia  (rzę du  kilkunastu  okresów  drgań  poprzecznych)  odkształcenia  zwią zane  z  falą  gię tną  zanikają.  Jest  to  więc  przypadek  asymptotycznej  statecznoś ci  i jako  taki nie  stwarza  niebezpieczeń stwa  uszkodzenia  konstrukcji.  Dopiero  pojawienie  się plastycznych  fal  wyboczeniowych  stanowi  zagroż enie  dla noś noś ci  konstrukcji  poddanej  obcią ż eniom  uderzeniowym.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  G . GERARD,  H . BECKER,  Column behaviour  under  conditions  of  impact,  Journ.  Aeronaut.  Sci.,  1,  1 9  (1952),  5 8 ­ 6 0 .  2.  S. KALISKI,  Statecznoś ć  udarowa prę ta,  Biul.  W A T ,  1 4  (1955).  3 .  О . И . К А Ц И Т А Д З Е,  Т е о р е т и ч е с к о е  и  э к с п е р и м е н т а л ь н о е  и с с л е д о в а н и е  у д а р н о г о  п р о д о л ь н о г о  и з г и б а ,  Т р у ды  К у т.  с . ­х и н ­ та  1 ( 1 9 5 6 ) ,  151  ­  1 6 8 .  4 .  Г . Н . Р А З М А Д З Е,  О . И . К А Ц И Т А Д З Е,  О  п р о б л е м е  у д а р н о й  п р о д о л ь н о й  у с т о й ч и в о с т и ,  Т р.  К у т.  с . ­ х.  и н ­ та  2  (1957),  381  ­  3 8 6 .  44  R. GRYBOŚ   5.  С . Д . П О Н О М А Р ЕВ И  д р .,  О с н о в ы  с о в р е м е н н ы х  м е т о д о в  р а с ч е т а  н а  п р о ч н о с т ь  в  м а ш и н о с т р о е н и и >  т .  И ,  М о с к ва  1952.  6.  N . J . HUFFINGTON, Response oj'elastic columns to axialpulse loading, A I A A  Journ.,  9,1 (1963), 2099­2104  7.  А .  С . В О Л Ь М И Р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  М о с к ва  1967.  8.  Б . А . Г О Р Д И Е Н К О,  В ы п у ч и в а н и е  с т е р ж н е й  п р и  у д а р н о м  п о г р у ж е н и и ,  И з в.  А Н  С С С Р,  М е х.  т в е р д,  т е л а,  1 (1969),  185  ­  187.  9.  Б . М . М А Л Ы Ш Е В,  У с т о й ч и в о с т ь  с т е р ж н е й  п р и  у д а р н о м  с ж а т и и ,  и н ж. ж .,  М е х.  т в е р д,  т е л а,  4  (1966),  137  ­  142.  10.  М .  Е . К А Г А Н,  Н .  Д . Г Е Н Я,  Э к с п е р и м е н т а л ь н о е  и с с л е д о в а н и е  р а б о т ы  д е р е в я н н ы х  с т е р ж н е й  н а   п р о д о л ь н ы й  у д а р ,  И з в. в ы с ш.  у ч е б н.  з а в.  С т р о и т е л ь с т во  и  а р х и т е к т у р а,  3  (1961),  33  ­  38.  11.  G .  R. ABRAHAMSON,  J . N . GOODIER, Dynamic flexural buckling of rods within an  axial plastic compression  wave,  Trans.  A S M E ,  Journ.  of  Appl.  Mech.,  E 33,  2 (1966), 214­247.  12.  R.  M . DAVIES,  Stress  waves  in solids,  Cambr.  Univ.  Press,  1956.  13.  R. GRYBOŚ,  Teoria  uderzenia  w dyskretnych  układach  mechanicznych,  P W N ,  Warszawa  1969.  Р е з ю ме   У Д А Р Н ОЕ  В Ы П У Ч И В А Н ИЕ  С Т Е Р Ж НЯ  С  Б О Л Ь Ш ОЙ  Г И Б К О С Т ЬЮ   В ы в е д е ны  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  у р а в н е н ия  о п и с ы в а ю щ ие  с о п р я ж е н н ое  д в и ж е н ие  п ри п р о д о л ь­ н ом  и з г и бе  с т е р ж ня  и з  и д е а л ь но  у п р у г о го  м а т е р и а ла  и ли и з у п р у г о ­ п л а с т и ч е с к о го  м а т е р и а ла  с л и­ н е й н ым  у п р о ч н е н и е м.  Т а к о го  р о да  д в и ж е н ие  в о з н и к а ет  в с л е д с т ве  п р о д о л ь н о го  у д а ра  п о  о д н о му   и з  к о н ц ов  с т е р ж н я.  Н а  о с н о ве  у п о м я н у т ых  у р а в н е н и й,  п ри  п р е д л о ж е н ии  о  р а в н о м е р н о с ти  с ж а т ия  в  з о не  в о з м у щ е­ н и я,  и с с л е д о в а ны  у с л о в ия  р а с п р о с т р а н е н ия  п р о д о л ь н о ­ и з г и б ц ых  в о л н.  О к а з а л о с ь,  ч то  к а ж д о му   з н а ч е н ию  н а п р я ж е н ия  с ж а т и я,  а  с л е д о в а т е л ь но  и  к а ж д ой  с к о р о с ти  у д а р а,  с о о т в е т с т в у ет  н е к о т о р ая   д л и на  и з г и б н ой  в о л н ы,  п ри к о т о р ой  ф а з о в ая  с к о р о с ть  п а д а ет  д о  н у л я,  а  г р у п п о в ая  с к о р о с ть  н е­ о г р а н и ч е н но  в о з р а с т а е т,  э то  я в л я е т ся  п р и з н а к ом  д и н а м и ч е с к ой  н е у с т о й ч и в о с ти  с т е р ж н я.  С о п о с т а в л е н ие  ф о р м ул  д ля  д л и ны  в о л ны  в ы п у ч и в а н ия  с  п р и в е д е н н ы ми  в  [9]  и  [11]  э к с п е­ р и м е н т а л ь н ы ми  р е з у л ь т а т а ми  п р и в о д и т,  к ак  д ля  у п р у г и х,  т ак  и д ля  п л а с т и ч е с к их  в о л и,  к  х о р о ш е му   с о в п а д е н и ю,  о д н а ко  д л и на  п л а с т и ч е с к ой  в о л ны  л у ч ше  о п и с ы в а е т ся  ф о р м у л ой  в  к о т о р ой  м о д у ль   у п р о ч н е н ия  з а м е н ен  у с р е д н е н н ым  п о  д и а п а з о ну  у п р у г о ­ п л а с т и ч е с к их  д е ф о р м а ц ий  к а с а т е л ь н ым   м о д у л е м.  S u m m a r y  I M P A C T  B U C K L I N G  O F  A  S L E N D E R  R O D  Differential  equations  of  coupled  longitudinal­flexural  vibrations  of  a  rod  have  been  developed.  Such  a  motion  is excited  by the  longitudinal impact  of a rigid  body. The material of the  rod may be ideally elastic  or  exhibit  linear  strain­hardening.  The  conditions  of  the  propagation  of longitudinal­flexural  waves have  been investigated  for a  homoge­ neous compression  in the excitation  zone.  It  has  been  shown  that  to  each  compression,  i.e.  to  each  impact  velocity  corresponds  a certain wavelength  of bending, for which the phase velocity  decreases to  zero and  the  group  velocity  increases  infinitely.  That  is  characteristic  for  instability  in  the  dynamic  sense.  A  confrontation  of  the  formulas  for  the  buckling  wavelenegth  with  the  test  results  described  in  [9],  [11]  shows  a  good  agreement  in  the  range  of  both  elastic  and  plastic  waves.  In  this  second  case  a  better  agreement  with  the  experiment  is  obtained  by  means of formula  (4.5), in which  i nstead  of  the  strain­har­ dening  modulus,  the  average  tangent  modulus  is  substituted.  P O L I T E C H N I K A  Ś LĄ SKA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  12  lutego 1975  r.