Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  ANALIZA  JEDNOWYMIAROWYCH  F A L  UDERZENIOWYCH  I  PRZYSPIESZENIA  W  OŚ RODKU  NIESPRĘ Ż YSTYM  WITOLD  K O S I Ń S KI  (WARSZAWA)  1.  W s t ę p  Liczne  badania  eksperymentalne  wykazują,  że  prawie  wszystkie  materiały  konstruk­ cyjne  przejawiają  w  mniejszym  lub  wię kszym  stopniu  własnoś ci  lepkie  i  plastyczne  —  ogólnie  własnoś ci  niesprę ż yste.  Obok  materiałów  czysto  konstrukcyjnych  istnieje  szereg  materiałów  wykorzystywanych  do  celów  technologicznych  we  współczesnym  przemyś le  i  charakteryzują cych  się  również  własnoś ciami  niesprę ż ystymi.  Uzyskanie  danych  o  za­ chowaniu  się  tego  typu  materiałów  pod  wpływem  obcią ż eń  dynamicznych  ma  —  oprócz  charakteru  poznawczego  i  teoretycznego —  olbrzymie  znaczenie  w  r ó ż n o r o d n y ch  zasto­ sowaniach  praktycznych  we  współczesnej  technice.  Jedną  z  dróg  teoretycznej  analizy  i  weryfikacji  proponowanych  matematycznych  opi­ sów  zachowania  się  realnych  materialnych  oś rodków  odkształcalnych  jest  badanie  fal.  W  oś rodkach  niesprę ż ystych,  podobnie  jak  i  w  sprę ż ystych,  pod  wpływem  obcią ż eń   dynamicznych  rozprzestrzeniają  się  ze  skoń czoną  prę dkoś cią  zaburzenia  mechaniczne,  tj.  fale.  Badania  eksperymentalne  i  teoretyczne  dotyczą ce  sformułowania  i  analizy  r ó w n a ń   konstytutywnych  (zwią zków  fizycznych)  mają  najbogatszą  literaturę  dla  zagadnień  jed­ nowymiarowych 1 '.  Teoretyczne  studia  nad  problematyką  falową  odgrywają  tutaj  główną  rolę  dzię ki  moż ­ liwoś ciom  otrzymania  potrzebnych  i  uż ytecznych  informacji  z a r ó w n o  dla  teoretyków,  jak  i  k o n s t r u k t o r ó w .  M o d e l  jednowymiarowego  niesprę ż ystego  (dysypatywnego)  o ś r o d ka  cią głego  przy­ ję ty  w  pracy  jest  opisywany  odkształceniem  i  wektorem  dodatkowych  zmiennych,  zwa­ nych  parametrami  wewnę trznymi  (albo  wewnę trznymi  zmiennymi  stanu).  Ewolucją   tych  dodatkowych  zmiennych  rzą dzi  równanie  róż niczkowe  pierwszego  rzę du.  M o d e l  o ś r o d ka  przedstawiony  w  pracy  może  być  uż yty  —  po  odpowiedniej  specyfi­ kacji  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  —  do  opisu  szeregu  znanych  materiałów,  poczynając  od  sprę ż ystych,  poprzez  lepkosprę ż yste  do  sprę ż ysto­lepkoplastycznych.  W  teorii  jednowymiarowej  oś rodka  materialnego  dla  opisu  zjawiska  rozprzestrzenia­ nia  się  fal  wprowadza  się  założ enie  o  istnieniu  krzywej  w  płaszczyź nie  zmiennych  X  i  t,  na  której  wielkoś ci  kinematyczne  lub  ich  pochodne  doznają  skokowej  niecią głoś ci.  Rząd  u  Por.  [13]  i  literaturę  tam  c y t o w a n ą .  9 6  W .  K O S I Ń S KI  najniż szej  pochodnej  czasowej  funkcji  ruchu,  niecią głej  na  takiej  krzywej,  decyduje  o  rzę­ dzie  i  nazwie  fali.  I  tak,  jeś li  druga pochodna  ruchu  % lub  przemieszczenia  и jest  niecią gła,  to  mówimy,  że  mamy  do  czynienia  z  falą  przyspieszenia  (falą  drugiego  r z ę d u ) .2 )  Wystę­ powanie  fali  pierwszego  rzę du  łą czy  się  z  niecią głoś cią  pierwszej  pochodnej  przemieszcze­ nia.  M ó w i m y  wtedy  o  fali  prę dkoś ci.  Ponieważ  w  takim  przypadku  gę stość  masy  oś­ rodka,  k t ó r a  wyraża  się  przez  pierwsze  pochodne  ruchu,  jest  też  niecią gła,  więc  falę  pier­ wszego  rzę du  nazywa  się  czę sto  falą  uderzeniową  (udarową ).  W  pracy  zajmiemy  się  tymi  dwoma  rodzajami  fal  w  zakresie  teorii  mechanicznej.  W  przyszłoś ci  rozszerzymy  badania  na  efekty  termiczne.  Zastosowana  w  pracy  metoda  badawcza  opiera  się  na  tzw.  koncepcji  powierzchni  (krzywych)  osobliwych.  Dzię ki  niej  było  moż liwe  zbadanie  zachowania  się  fal  dla  szero­ kiej  klasy  materiałów  i  wykazanie,  że  istotne  i  konkretne  rezultaty  mogą  być  uzyskane  bez  uciekania  się  do  jakichkolwiek  jawnych  reprezentacji  zwią zków  konstytutywnych.  Stąd  uzyskane  wyniki  są  wspólne  dla  wszystkich  materiałów  opisywanych  za  pomocą   przyję tego  modelu  oś rodka  z  parametrami  wewnę trznymi.  Słusznoś ci  rezultatów  otrzymanych  w  niniejszym  opracowaniu  nie  ograniczają  ż adne  założ enia  «małoś ci»  odkształceń  czy  liniowoś ci  zwią zków.  W  pracy  wykazano  ponadto,  że  choć  założ enia  o  o ś r o d ku  materialnym  mają  istotny  wpływ  na  rozprzestrzenianie  się  w  nim  fal,  to  jednak  jest  moż liwe,  że  fale  propagują ce  się  w  róż nych  materiałach  mogą  zachowywać  się  w  ten  sam  s p o s ó b.  W  szczególnoś ci  pokazano,  że  zachowanie  się  fal  przyspieszenia  w  nieliniowych  ciałach  sprę ż ystych,  lep­ kosprę ż ystych,  starzeją cych  się  sprę ż ystych,  a  nawet  sprę ż ysto­lepkoplastycznych  może  być  w  pewnych  sytuacjach  jakoś ciowo  takie  samo.  Literatura  zagadnień  falowych  w  materiałach  opisywanych  modelem  z  parametrami  wewnę trznymi  jest  niewielka.  Powodem  tego jest  fakt,  że  właś ciwy  rozwój  teorii  z  para­ metrami  wewnę trznymi  nastą pił  pod  koniec  lat  sześ ć dziesią tych  dzię ki  jednoczesnym  pracom  COLEMANA i  GURTINA  [9]  oraz  VALANISA  [42].  Natomiast  pierwsza  praca  o  falach  przyspieszenia  w  cieczy  była  autorstwa  BURGERA  [6],  po  nich  ukazała  się praca  COLEMANA  i  G U R T I N A  [10].  Nastę pne  dotyczyły  też  fal  przyspieszenia  [2,  14,  16,  20].  Falę  uderze­ niową  w  cieczy  z  parametrami  wewnę trznymi  rozpatrzyli  C H E N  i  G U R T I N  [8],  BOWEN  i  C H E N  [5].  Analiza  fal  przyspieszenia  i  fal  uderzeniowych  dla  ciał  stałych  została  przedstawiona  w  pracach  [2,  14 ­ 20,  22,  23].  Po  raz  pierwszy  koncepcja  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  została  wykorzystana  do  opisu  materiałów  plastycznych  wraż liwych  na  prę dkość  odkształcenia  w  pracy  PERZYNY  i  WOJNY  [39].  Dopiero  po  niej  pojawiły  się  inne  teorie  oś rodków  niesprę ż ystych3 '  w  ramach  tej  koncepcji 4 '.  U k ł a d  niniejszej  pracy jest­nastę pują cy:  po  zaznajomieniu  czytelnika  z  podstawowymi  oznaczeniami,  opisano  koncepcję  krzywych  osobliwych,  tzn.  fal  przyspieszenia  i  fal  prę d­ 2 )  Przyspieszenie  jest  drugą  p o c h o d n ą  c z a s o w ą  przemieszczenia.  3 )  W  mechanice  kontinuum  k o n c e p c j ę  p a r a m e t r ó w  w e w n ę t r z n y ch  jako  jeden  z  pierwszych  zasto­ s o w a ł  B I O T  [3].  V A L A N I S  w p r o w a d z i ł  ją  do  opisu  materiałów  lepkosprę ż ystych  [42].  *»  Por.  [4,  25,  2 6 ,  31  ­  35,  37,  43].  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H F A L  97  koś ci  (uderzeniowych).  Rozdział  3  wprowadza  koncepcję  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  jako  wielkoś ci  niezbę dnych  do  opisu  zachowania  się oś rodków  niesprę ż ystych  (z  dysy­ pacją ).  Rozdział  4 poś wię cony  jest  analizie fal  przyspieszenia,  a  rozdział  5 porusza  prob­ lem  propagacji  i zachowania  się fal uderzeniowych.  Opracowanie  koń czą  dwa  p r z y k ł a d y :  fali  przyspieszenia  w nieliniowym  materiale  lepkosprę ż ystym  i fali  uderzeniowej  w  o ś r o d ku  sprę ż ysto­lepkoplastycznym.  2.  Krzywe  osobliwe  2.1.  Kinematyka  jednowymiarowych  ruchów  i  prawa  zachowania.  Ograniczenie  rozważ ań  niniej­ szej  pracy  do jednowymiarowych  ruchów  oś rodków  odkształcalnych  powoduje,  że  wszyst­ kie  wielkoś ci  fizyczne,  wystę pują ce  w rozważ aniach,  są funkcjami  tylko  dwóch  zmiennych  niezależ nych:  czą stki  X  i  czasu  t.  Z a r ó w n o  X, jak i  czas  t,  przyjmując  wartoś ci  rzeczy­ wiste,  przebiegają  pewne  odcinki  osi liczbowej R . Przyjmujemy,  że zakresem  zmiennoś ci  X  jest  przedział  0&  cz R , natomiast  czasu — przedział  [0, L), gdzie L może  być  skoń czoną   liczbą  lub  nieskoń czonoś cią.  Jak  zwykle  w takich  przypadkach,  ciało  (oś rodek  materialny)  identyfikujemy  z  prze­ działem  gdyż  tak  go  dobieramy,  aby był obrazem  o ś r o d ka  materialnego  w  pewnej  ustalonej,  jednorodnej  konfiguracji  odniesienia  x o gę stoś ci  masy  Q0 5\  Ruch  ciała  opisuje  funkcja  %,  której  wartość  x  =  %(X, t)  okreś la  miejsce  czą stki  X  w  chwili  t.  Funkcja  ruchu  % jednoznacznie  wyznacza funkcję  przemieszczenia u przepisem  (2.1)  u(X, t)  = y£X,  t)­X.  Pochodne  funkcji  ruchu  %, o ile istnieją,  oznaczamy  nastę pują co:  F(X,  t)  = ~%(X,  t),  v(X, t)  =  0,  (2.2)  8XF(X,  t)  = ­^%(X,  t),  F(X, t)  = ~^%(X,  t),  i(X,  t)=^X(X,  t).  Wartoś ci  funkcji  F(X, t),  v(X, t),  i(X,  t)  nazywamy  odpowiednio  gradientem defor­ macji,  prę dkoś cią  i przyspieszeniem  czą stki  X  w czasie  t.  Pochodne  funkcji  przemieszcze­ nia  (2.1) są  wyraż one  przez  pochodne  %, jak  nastę puje:  E(X,  t)  =  жи (Х ,  t)  = F(X, 0 ­ 1 ,  u(X, t)  = v(X,  t),  • (2.3)  dxE(X,  t)  =  8XF(X,  t),  E(X, t)  = F(X,  t),  u(X,  t)  = i(X,  t).  5 )  Z a ł o ż e n ie  j e d n o r o d n o ś ci  konfiguracji  odniesienia  powoduje,  ż e  g ę s t o ść  masy  Q0 jest  stała.  7  Mechanika  Teoretyczna  9 8  W .  K O S I Ń S KI  Funkcję  E(X,  i)  nazwiemy  odkształceniem.  Jest  to  podstawowa  wielkość  wystę pują ca  w  opisie  efektów  mechanicznych  dla  ciał  o d k s z t a ł c a l n y c h 6 ' .  Obok  odkształcenia,  jako  wielkoś ci  kinematycznej,  naprę ż enie  T  reprezentuje  wiel­ kość  dynamiczną  i jest  drugą  podstawową  zmienną  w  teoriach  mechanicznych  kontinuum  odkształcalnego.  Jeś li  siły  masowe  b(X,  ł)  są  dane,  to  p a r ę  (E(X,  t),  Ц Х ,  t))  dla  (X,  t)e3Sx  [0,  L)  nazwiemy  procesem  dynamicznym  dla  ciała  Ś B w  ruchu  %, jeś li  prawo  zachowania  masy  (2.4)  _ | 5 _ = F ( Z , 0  lub  e(fX,t)  =  Q0[E(X,t)  +  l]­ 1  i  prawo  ruchu  (2.5)  Ж т ( х '  t)+e°b{­x>'}  =  e°i{­x>f)  dla  każ dego  (X,  t)e@x[0,L)  są  spełnione.  Należy  zwrócić  uwagę,  że  lokalna  postać  prawa  ruchu  (2.5)  jest  konsekwencją  całko­ wego  prawa  bilansu  p ę d u.  Prawo  to  ż ą da,  by  dla  każ dych  dwóch  czą stek  Xx,X2e2S  i  każ dej  chwili  czasu  t  e  [0,  L)  zachodziła  r ó w n o ś ć7 '  (2.6)  J  Qov(X,t)dX=  j  Qob(X,t)dX+T(X2,t)­T(Xl,t).  2.2.  Fala  przyspieszenia.  M o ż e my  teraz  wprowadzić  poję cie  fali  przyspieszenia.  D e f i n i c j a  1.  Powiemy,  że  w  procesie  dynamicznym  [E(X,  t),  T(X,  t)],  dla  ciała  wystę puje fala  przyspieszenia,  jeś li  istnieje  cią gle  róż niczkowalna  funkcja  czasu  Y:[0,L)  ­>  ­>• Ś S z nigdzie nie  znikają cą  pochodną,  taka  że  ruch  % (albo  równoważ nie—przemieszczenie  u)  jest  dwukrotnie  cią gle  róż niczkowalnym  polem  z  wyją tkiem  krzywej  E  okreś lonej  rów­ naniem  X  =  Y(t),  na  której  drugie  pochodne  % i  u  posiadają  niecią głość  skokową.  Oz­ nacza  to,  że  wszystkie  trzy  drugie  pochodne  funkcji  % są  cią głe  po  obu  stronach  krzy­ wej  E  i  posiadają  obustronne  granice  dla  każ dego  (A', t)  dą ż ą cego  do  [Y(t),  t].  Granice  te  nie  muszą  być jednak  r ó w n e ,  przy  czym  sama  funkcja  i jej  pierwsze pochodne  są  cią głe.  Jeś li  G(X,  t)  oznacza  którą kolwiek  drugą  p o c h o d n ą  funkcji  %, to  dla  każ dego  [Y(t),  t]  granice  (2.7)  l i m  G(X,  t)  =  G(Y(t)~,t)  m  G~(t),  l i m  G(X,  t)  =  G(Y(t)+,  t)  s  G + ( 0  istnieją,  zaś  ich  róż nica  (2.8)  G ­ ( 0 ­ G + ( 0  =  [G](0  nie  musi  znikać,  tzn.  [Cr]  ф  0.  P o c h o d n ą  funkcji  Y(t)  (2.9)  ±  Y(t)  =  U(t)  6 >  W  pracy  nie  wprowadzamy  ż a d n y ch  o g r a n i c z e ń  o d n o ś n ie  m a ł o ś ci  E.  7 >  Z  postaci  r ó w n a ń  (2.5)  i  (2.6)  w i d a ć ,  że  naprę ż enie  T  w  niniejszej  teorii  odgrywa  tę  s a m ą  r o l ę ,  jak  pierwszy  tensor  Pioli­Kirchhoffa  w  teorii  t r ó j w y m i a r o w e j .  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  99  nazywamy  prę dkoś cią  wewnę trzną  fali;  U  mierzy  p r ę d k o ść  rozprzestrzeniania  się  fali  wzglę dem  materiału,  tj. w  konfiguracji  odniesienia  к .  D l a  dalszych  rozważ ań  potrzebny  jest  jeszcze  jeden  zwią zek.  Niech  f(X,  t)  bę dzie  cią głą  i  cią gle  róż niczkowalną  funkcją  swych  zmiennych  wszę dzie  z  wyją tkiem  27, gdzie  może  doznawać  skoku.  Wtedy  [ / ]  jest  funkcją  tylko  czasu  t. Róż niczkując  ją wzglę dem  t,  pamię tając  o  (2.9)  otrzymamy 8 '  tzw.  kinematyczny  warunek  zgodnoś ci  [7, 11,41]  (2.10)  4FUJ  =  U  8X  +  [/]•   Pochodna d/dt w  (2.10) mierzy  szybkość  zmian  dowolnej  wielkoś ci  zdefiniowanej  na  f a l i 9 '  Przez  pochodne  czą stkowe  i  ~—  wyraża  się  nastę pują co  и л .  Ot  (2.11)  J Ł = U . Ł  + A .  v  '  dt  dX  dt  Zauważ my,  że jeś li  sama  funkcja/jest  cią gła,  to [ / ]  =  0 i (2.10) implikuje  tzw.  twier­ dzenie  Maxwell a  [41]  (2.12)  lfJ=­U{dxfl  gdzie  dla  skrótu  p o c h o d n ą  д /д Х bę dziemy  oznaczać  przez  dx.  Ostatni  zwią zek  jest  bardzo  pomocny  przy  wyprowadzeniu  nastę pują cych  zwią zków  mię dzy  drugimi  pochodnymi  funkcji  ruchu  % w przypadku  istnienia  fali  przyspieszenia  (zauważ my,  że wtedy  pierwsze  pochodne  są  cią głe)  (2.13)  И  =  ­и Щ  =  U2[dxEj.  Wielkość  skoku  przyspieszenia jest  czę sto  nazywana  [7, 11]  amplitudą  a(r)  fali  przy­ spieszenia.  Wykorzystajmy  (2.10),  wstawiając  kolejno  zamiast /  przyspieszenie  i  i  prę dkość od­ kształcenia  E; wówczas  amplituda  fali  przyspieszenia  spełnia  równanie  róż niczkowe  [7,  11]  ( 2 ­ й )  2у Ъ  Ц ^ у щ ­ и ^ щ,  które  może  być  zapisane  w równoważ nej  postaci  (2.15)  ? | ­ ^ й ­ № #  •• , Zauważ my,  że równania  te  są  czysto  kinematyczne.  D o ich  wyprowadzenia  nie  wy­ korzystano  ani r ó w n a ń  ruchu,  ani r ó w n a ń  konstytutywnych  (praw  fizycznych)  o ś r o d k a.  8 )  Pochodna  d/dt  nazywana  jest  p o c h o d n ą  Thomasa  albo  p o c h o d n ą  p r z e m i e s z c z e n i o w ą  [7, 41],  9 >  W  wielu  wypadkach  o g ó ł  zjawisk  z a c h o d z ą c y ch  na  krzywej  osobliwej  (niecią głoś ci)  E  nazywa  się  falą.  100  W .  K O S I Ń S KI  Spełnienie  prawa  Cauchy'ego  w  procesie  dynamicznym  z  falą  przyspieszenia jest  rów­ noważ ne  zachowaniu  zwią zku  (2.16)  dxT+Q0b  =  Q0V  po  obu  stronach  krzywej  27  (fali)  oraz  równoś ci  (2.17)  [dxT\  =  go  и   na  fali  (na  krzywej  27).  Załóż my,  że  siły  b  wystę pują ce  w  (2.16)  są  cią gle  róż niczkowalne  wzglę dem  czasu.  Róż niczkując  (2.16)  otrzymamy  odpowiednio  (2.18)  dxf+Q0b  =  Qov  i  [дхТ }  =  6оЩ .  Zastą pmy  p o c h o d n ą  v  w  równaniu  amplitudy  (2.14)  p o c h o d n ą  mieszaną  naprę ż enia  dxT.  Otrzymamy  wtedy  (2.19)  2 4 ( f )  =^1д*П ­и *1дхЁ 1  Analiza  zachowania  się  fali  przyspieszenia  przeprowadzona  w  nastę pnych  punktach  opiera  się  na  r ó w n a n i u  (2.19).  W  procesie  dynamicznym  ż ą damy  spełnienia  dwóch  praw  zachowania.  Prawo  zacho­ wania  p ę du  zostało  j u ż  zanalizowane.  Jak  wyglą da  prawo  zachowania  masy  w  procesach  z  falami  przyspieszenia?  Ze  wzglę du  na  cią głość  deformacji  na  krzywej  27  równanie  (2.4)  implikuje  [g]  =  0.  Zróż niczkujmy  (2.4)  wzglę dem  czasu  Stąd  na  fali,  po  wykorzystaniu  zwią zku  (2.13),  otrzymamy  (2.20)  И = Т 7 /а ­ 2.3.  Fala  uderzenia.  Fala  drugiego  rzę du  obejmuje  przypadek  niecią głoś ci  przyspiesze­ nia  w  procesie  dynamicznym.  Istnieją  problemy  począ tkowo­brzegowe,  w  których  nie  tylko  pochodne  rozwią zań   doznają  skoku,  lecz  same  rozwią zania  są  niecią głe  wzdłuż  pewnych  krzywych.  Przypadek  taki  wią że  się  z  wystę powaniem  i  rozprzestrzenianiem  się  fal  prę dkoś ci,  fal  uderzeniowych  (pierwszego  rzę du).  Jeś li  w  materiale pojawi  się  taka  fala,  to  niecią głoś ci  doznaje  prę dkość   czą stki  i  jej  deformacja.  Omówimy  teraz  pokrótce  ten  przypadek.  D e f i n i c j a  2.  Powiemy,  że  w procesie dynamicznym  (E(X,  t),  T(X,  f)),  gdzie  (A', t)  e  eSSy. [0,  L),  dla  ciała  SB wystę puje  fala  uderzeniowa, jeś li  istnieje  cią gle  róż niczkowalna  funkcja  czasu  Z : [ 0 ,  L )  ­>  28 z  nigdzie  nie  znikają cą  pochodną,  taka  że  ruch  % (albo  rów­ noważ nie  —  przemieszczenie  u) jest  cią gle  róż niczkowalnym  polem,  z  wyją tkiem  krzywej  Q  okreś lonej  równaniem  X  =  Z(t),  na  której  pierwsze  pochodne  posiadają  niecią głość  sko­ kową.  Zazwyczaj  zakładamy,  w  przypadku  fal  uderzeniowych,  dwukrotnie  cią głą  róż niczko­ walność  x  P o z a  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H F A L  101  Zdefiniujemy  prę dkość  (wewnę trzną)  fali  V(t)10)  uderzeniowej jako  p o c h o d n ą  funkcji  Z  (2.21)  V(t)  =  ­^Z(t).  Wtedy  prę dkość  falowa  w(t),  mierzona  w  konfiguracji  aktualnej,  bę dzie  p o c h o d n ą   (2.22)  w(t)  =  ­^x(Z(t),t).  Zastosujemy  prawo  róż niczkowania  złoż onego  do  r ó w n a n i a  (2.22);  wykorzystując  (2.21),  otrzymamy  (2.23)  A­X(Z(t),t)  =  ­^X(X,t)  X=Z(t)±  stąd  (2.24)  w  =  F+V+v+  =  F­V+V­.  Ostatnia  równość  pozwala  napisać  warunek  (2.25)  V{EJ  =  ­ И ,  gdzie  oczywiś cie  z  definicji  skoku  mamy  [ F ]  =  [FJJ.  Relacja  (2.25)  jest  warunkiem  zgodnoś ci  dla  fali  uderzeniowej.  M o ż e  być  otrzymana  też  w  inny  sposób,  przez  bezpoś rednie  wykorzystanie  ogólnego  kinematycznego  warunku  zgodnoś ci  (2.10),  słusznego  dla  każ dego  rodzaju  fali.  Jedyną  zmianą,  jakiej  należy  do­ k o n a ć  w  (2.10),  jest  zastą pienie  symbolu  U  przez  V.  Korzystając  dalej  z  (2.10)  i  wstawiając  kolejno  w  miejsce /  prę dkość  v  i  odkształcenie  E,  otrzymamy  (2.26)  в  =  К ВД +  И ,  *Ш  =  VldxE]  +  lEJ.  Nazwijmy  wielkość  skoku  odkształcenia  [ F ]  amplitudą  fali  uderzeniowej11'*. D l a  niej  to  zwią zki  (2.26)  pozwalają  wyprowadzić  nastę pują ce  równanie  róż niczkowe  (2.27)  2 Г ­ Я + [ £ ] =̂  V*ldxE\­[v\,  które  może  być  zapisane  w  bardziej  zwartej  postaci  (2.28)  2V^L  (EJ)  =  V*ldxEj  ­  [»].  Przejdź my  teraz  do  analizy  r ó w n a n i a  ruchu  (2.6).  Zapiszmy je  w  postaci  (2.29)  T(X2,t)­T(Xi,t)  =  Z(l)  Х г  ,  X,  =  4 ( J  Qov(X,t)dX+  f  Q0i(X,t)dx\­  f  Qob{X,t)dX  Xi  Z(»)  '  Xi  1 0 )  Jest  to  p r ę d k o ść  mierzona  w  konfiguracji  odniesienia.  u >  Por.  [7,  11].  102  W .  K O S I Ń S KI  przy  założ eniu,  że  Д ГХ  <  Ż ( r)  <  X2  • Dokonajmy  przejś cia  granicznego  X1  ­*. Z(t)~  i X2  ­>  ­>  Z ( r ) + ,  wykorzystując  równanie  na  prę dkość  fali  (2.21),  cią głość  sił  masowych  b(X,  r),  a  także  twierdzenie  o  wartoś ci  ś redniej  dla  całek.  Otrzymamy  wtedy  nastę pują ce  wyraż e­ nie  na  skok  naprę ż enia  [ Г ]  (2.30)  [ Г ]  =  ­QoVfrY  P o  wykorzystaniu  (2.25)  równanie  na  prę dkość  fali  uderzeniowej  w  dowolnym  oś rodku  materialnym  przyjmie  p o s t a ć   (2.31)  Q0V 2  =  m  •   Załóż my,  że  naprę ż enia,  podobnie  jak  prę dkość  v,  są  róż niczkowalnymi  funkcjami  po  obu  stronach  krzywej  Q.  Wtedy  słuszne  są  lokalne  sformułowania  prawa  ruchu  (2.32)  dxT+Qob  =  Q0V  po  obu  stronach  fali  uderzeniowej.  Natomiast  wzdłuż  krzywej  Q  zachodzi  (2.33)  ldxT}  =  g o M ­ Ostatni  zwią zek  zastosowany  do  (2.28)  daje  nastę pują cy  zwią zek:  (2.34)  2 i / F  ±  ( j / f Щ )  =  V\dXE}  ­  ­ L  [ 3 x 7 1 .  N a  k o ń cu  tego  punktu  zatrzymajmy  się  na  chwilę  przy  prawie  zachowania  masy  (2.4).  Ze  wzglę du  na  niecią głość  deformacji  prawo  to  na  krzywej  Q  przyjmie  postać   Q  J  Po  przekształceniach  stwierdzamy,  że  na  fali  uderzeniowej  prawo  zachowania  masy  ma  postać   (2.35)  [ g ]  =  ~ в ~ 6 +  [ Д ].  9o  Stąd  w  zastosowaniach  jednowymiarowej  teorii  do  ruchów  podłuż nych,  dla  których  prę dkoś ci  są  dodatnie,  V  >  0,  przyję ło  się  nazywać  falę  uderzeniową  ś ciskają cą  (sprę ż a­ ją cą ),  jeś li  (2.36)  [ £ ]  <  0,  oraz  rozcią gają cą  (rozprę ż ają cą ),  jeś li  (2.37)  {EJ  >  0.  •  Po  przejś ciu  fali  sprę ż ają cej  gę stość  masy  roś nie,  tzn.  Q~ jest  wię ksze  od  Q+,  a  tym  samym  [g]  >  0  oraz  [2TJ  <  0,  natomiast  po  przejś ciu  fali  rozprę ż ają cej  gę stość  masy  maleje,  tzn.  g "  <  g +  i  [g]  <  0  oraz  [ £ ]  >  0.  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  103  3.  M a t e r i a ł  z  parametrami  wewnę trznymi  Celem  niniejszej  pracy  jest  analiza  zachowania  się  fal  uderzeniowych  i  przyspieszenia  dla  szerokiej  klasy  materiałów  niesprę ż ystych.  Przez  materia ł  niesprę ż ysty  rozumiemy  oś rodek  cią gły,  który  oprócz  zachowania  sprę ż ystego  wykazuje  własnoś ci  Teologiczne,  niesprę ż yste,  takie  j a k :  lepkoś ć,  relaksacja,  moż liwość  podlegania  odkształceniom  trwa­ łym  (nieodwracalnym).  Należy  zaznaczyć,  że  oś rodek  taki  nie  musi  być  koniecznie  cia­ łem  stałym.  Istnieje  niewą tpliwie  wiele  matematycznych  modeli  materiałów  niesprę ż ystych.  Jeden  z  nich  zasługuje  na  szczególną  uwagę,  a  to  dzię ki  swej jednoczesnej  uniwersalnoś ci  i  pro­ stocie.  M a m y  tu  na  myś li  model  z  parametrami  wewnę trznymi  (z  wewnę trznymi  zmien­ nymi  stanu).  Wymień my  p o k r ó t c e  podstawowe  zalety  tego  modelu:  —  łatwe  przejś cie  do  modelu  sprę ż ystego  czy  hipersprę ż ystego,  —  moż liwość  opisu  materiałów  lepkosprę ż ystych  [3,42],  —  równoważ noś ć,  przy  pewnych  założ eniach,  z  modelem  materiału  prostego  z  pa­ mię cią  [24,  27,  42],  —  moż liwość  opisu  materiałów  sprę ż ysto­lepkoplastycznych  [33,  39,  43],  —  równoważ noś ć,  przy  pewnych  założ eniach,  z  modelem  prę dkoś ciowym  [34],  —  moż liwość  opisu  cieczy  z  reakcjami  chemicznymi  lub  gazów  z  wibracyjną  relak­ sacją  [2,  4 ­ 6 ,  8 ­ 1 0 ] .  Ogólny  materiał  z  parametrami  wewnę trznymi  jest  ponadto  dogodnym  —  co  jest  nie­ bagatelne  dla  niniejszych  rozważ ań  —modelem  do  analizy  zjawisk  falowych.  Należy  zaznaczyć,  że  r ó w n a n i a  rzą dzą ce  problemem  począ tkowo­brzegowym  dla  tego  modelu  tworzą  układ  quasi­liniowy  hiperboliczny  pierwszego  rzę du  wzglę dem  niewiadomych:  prę dkoś ci  ruchu  czą stki,  deformacji  i  wektora  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  (w  przypadku  ciała  stałego).  M o d e l  z  parametrami  wewnę trznymi  otrzymuje  się  przez  wzbogacenie  opisu  modelu  sprę ż ystego  o  dodatkowe  zmienne  stanu,  tzw.  parametry  wewnę trzne  (lub  wewnę trzne  zmienne  stanu),  dla  których  postuluje  się pewne  r ó w n a n i a  kinetyczne.  Te  dodatkowe  rów­ nania  są  najczę ś ciej  zwyczajnymi  —  przy  ustalonej  czą stce  ciała  —  równaniami  róż nicz­ kowymi  pierwszego  rzę du.  Noszą  one  nazwę  r ó w n a ń  ewolucji.  Potrzebę  wprowadzenia  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  tłumaczy  się  koniecznoś cią  opisu  dodatkowych,  poza  sprę ż ystymi,  własnoś ci  o ś r o d k a.  Czę sto  mówi  się  w  takich  wypad­ kach  o  wzbogaceniu  informacji  o  o ś r o d ku  materialnym  zawartej  w  jego  stanie  odkształ­ cenia  przez  podanie  sposobu  (drogi),  w  j a k i  oś rodek  doszedł  do  tego  stanu.  Jest  to  tzw.  metoda  przygotowania  [21,  33,  34,  38].  Trzeba  od  razu  zaznaczyć,  że  są  róż ne  realiza­ cje  metody  przygotowania.  Uż ycie  w  opisie  reakcji  materiału  pełnej  przeszłej  historii  deformacji  prowadzi  do  mo­ delu  materiału  z  pamię cią.  Uż ycie  chwilowych  prę dkoś ci  deformacji  jako  dodatkowej  informacji  umoż liwia  opis  klasy  materiałów  lepkosprę ż ystych  (np.  model  Maxwella)  z  tak  z w a n ą  lepkoś cią  dyskretną.  Ten  ostatni  przypadek jest  modelem  róż niczkowym.  104  W .  K O S I Ń S KI  Bardziej  wyszukana  zależ ność  reakcji  materiału  od  niepełnej  historii  deformacji  (tj.  historii  z  pewnego  skoń czonego  przedziału  czasowego)  wystę puje  w  modelu  prę dkoś cio­ wym.  Nie  ma  w  nim  skoń czonych  zwią zków  konstytutywnych  mię dzy  bodź cami  a  reakcją.  Zamiast  nich  postuluje  się  równanie  róż niczkowe  na  prę dkość  naprę ż enia,  w  k t ó r y m  pra­ wa  strona  zawiera  deformację  i  jej  p r ę d k o ś ć1 2 ' .  Przejdź my  teraz  do  modelu  nas  interesują cego.  R ó w n a n i e  konstytutywne  materiału  z  parametrami  wewnę trznymi  ma  ogólną  postać   U k ł a d  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  potrzebnych  do  opisu  niesprę ż ystego  zachowania  się  materiału  reprezentuje wektor  а.  Т ак  jak  powiedzieliś my,  zmianą  p a r a m e t r ó w  a  w  pro­ cesie  rzą dzi  równanie  róż niczkowe  z  wartoś cią  począ tkową  x(X,  0)  =  а о (А ').  Wymiar  przestrzeni  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  (ogólnie  bę dzie  to  pewna  przestrzeń  liniowa  V")  zależy  od  konkretnej  interpretacji  geometrycznej  poszczególnych  składowych  wek­ tora  а.  W  przypadku  opisu  modelu  lepkosprę ż ystego  parametry  а  bę dą  miały  za  zadanie  opisać  zjawisko  tarcia  wewnę trznego  w  materiale.  Odpowiednia  teoria  fizyczna  tego  zja­ wiska  daje  rozstrzygnię cie  nie  tylko  kwestii  wielkoś ci  liczby  n,  lecz  także  postaci  funkcji  A  (por.  np.  [31]).  W  tym  miejscu  należy  zrobić  uwagę  natury  ogólnej:  nie  ma  i  nie  może  być  ż adnej  uni­ wersalnej  postaci  r ó w n a n i a  ewolucji  (3.2)  na  parametry  wewnę trzne  (może  tylko  z  wy­ ją tkiem  teorii  liniowej,  w  której  postuluje  się,  że  zwią zek  konstytutywny  (3.1)  i  równanie  (3.2)  mają  być  liniowe  wzglę dem  zmiennych  E  i  а ).  Konkretna  potrzeba  uż ycia  modelu  z parametrami  wewnę trznymi  do  opisu  zachowania  się  wybranego  materiału  decyduje  o  formie  zwią zku  (3.2).  Odwołanie  się  do  fizycznej  strony  zagadnienia,  do  fizycznych  mechanizmów  wywołują cych  niesprę ż ystą  reakcję  ma­ teriału,  jest  najczę stszą  i  najlepszą  drogą  wyprowadzenia  zależ noś ci  na  przyrost  para­ metrów  wewnę trznych.  T a  właś nie  fizyczna  interpretacja  p a r a m e t r ó w  z  jednoczesną  ana­ lizą  mechanizmów  dysypatywnych  (które  z  termodynamicznego  punktu  widzenia  są  od­ powiedzialne  za  niesprę ż yste  zachowanie  się  oś rodka)  jest  niezbę dnym  etapem  przy  bu­ dowaniu  każ dej  fizykalnej  teorii  z  parametrami  wewnę trznymi.  Z a  przykład  takiej  fizykalnej  teorii  niech  posłużą  prace  PERZYNY  [32­35,  37]  o  lepko­ plastycznoś ci.  Przyjmowane  w  nich  parametry  wewnę trzne  а  =  ( Р , А ; , Г( 0 )  są  nastę pu­ j ą c e:  P —  miara  deformacji  nieodwracalnych,  к  —  parametr  wzmocnienia,  Г 0 ) —  układ  tensorów  rozkładu  gę stoś ci  dyslokacji.  Wyprowadzenie  dla  tych  zmiennych  wewnę trznych  r ó w n a ń  ewolucji  oparto  na  fizycznej  teorii  dyslokacji,  analizie  mechanizmów  płynię cia  w  materiałach  plastycznych  i  wynikach  eksperymentalnych.  D l a  innych  materiałów  niesprę ż ystych  (reologicznych)  przykłady  odpowiednich  teorii  mogą  dostarczyć  pozycje  [25,  26,  28,  31,  42,  43]  bibliografii.  (3­D  T(X,  f)  =  3T{E{X,  t),  «{X,  t)).  (3.2)  k(X,  t)  =  A(E(X,  t),  a(X,  0)  P r z y k ł a d e m  takiego  modelu jest  materiał  hiposprę ż ysty  [29,  34].  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H F A L  105  4.  Fale  przyspieszenia  Ten  r o z d z i a ł  poś wię camy  w całoś ci  analizie fal przyspieszenia  w  ogólnym  materiale  opisywanym  modelem  z  parametrami  wewnę trznymi.  Po  wyprowadzeniu  r ó w n a n i a  na prę dkość  fali  przyspieszenia  przejdziemy  do  badania  zachowania  się amplitudy  fali  w czasie.  R ó w n a n i e  róż niczkowe  (2.14)  rzą dzi  zmianą  (ewo­ lucją)  amplitudy  a(f) wzdłuż  k r z y w e j 1 3 )  osobliwej  27. Jest  ono podstawowe  przy  analizie  zachowania  się funkcji  a(r). Po zastosowaniu  zwią zku  konstytutywnego  do wyznaczenia  drugiej  pochodnej  naprę ż enia  w (2.19)  okaże  się, że ewolucja  amplitudy  odbywa  się zgod­ nie  z  równaniem  Bernoulliego.  Analiza  samego  r ó w n a n i a  amplitudy, jak  i jego  rozwią zania,  zostanie  przeprowadzona  w  dwóch  etapach.  Pierwszy bę dzie  dotyczył  sformułowania  w a r u n k ó w  odnoś nie  lokalnego  (w  czasie)  zachowania  się rozwią zania  pełnego  r ó w n a n i a  amplitudy.  W  drugim  etapie,  przez  przyję cie  dodatkowych  założ eń  dotyczą cych  obszaru  przed  frontem  fali,  ustalą się   współczynniki  wystę pują ce  w  równaniu.  Umoż liwi  to  sformułowanie  ś cisłych  kryteriów  globalnego  (w czasie)  zachowania  się amplitudy  fali.  Okaże  się, że równanie  amplitudy  dopuszcza  malenie  do  zera  amplitudy  z(t)  w nie­ skoń czenie  długim  czasie  lub też jej  nieograniczony  wzrost  w  skoń czonym  czasie  i  to  w  zależ noś ci  od  znaku  współczynników  równania  oraz  znaku  i  wielkoś ci  począ tkowej  amplitudy  a(0). T a k i  typ zachowania  jest  konsekwencją  nieliniowoś ci  zwią zku  konsty­ tutywnego.  Analizę  fal  przyspieszenia  zakoń czy  sformułowanie  kryteriów  formowania  się fal  ude­ rzeniowych.  4.1.  Gładkość  parametrów  wewnę trznych.  Rozpatrywany  materiał  ciała  stałego  38  jest  opi­ s y w a n y 1 4 '  modelem  z  parametrami  wewnę trznymi.  Zgodnie  z  poprzednim  rozdziałem  3  jest  to  oś rodek  cią gły  charakteryzują cy  się  zwią zkiem  konstytutywnym  (3.1)  i  r ó w n a n i e m  ewolucji  dla p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  (3.2).  Postacie  funkcji  konstytutywnej  2Г  oraz  funkcji  p r z y g o t o w a n i a 1 5 ' A  zależą  ogólnie od  wyboru  konfiguracji  odniesienia,  a  także  — w  przypadku  materiału  niejednorodnego  —  od  czą stki  X.  Przyjmujemy  nastę pują ce  założ enia  gładkoś ci  dla 2Г i  A : funkcja  konstytutywna 3~  jest  dwukrotnie  cią gle  róż niczkowalna  w Ł  i  a,  zaś  funkcja  przygotowania  A jest  cią gła  i  róż niczkowalna  w Ł i  a  oraz  spełnia  warunek  Lipschitza  wzglę dem  a.  Róż niczkowalność  funkcji  ST i A wzglę dem  ich  a r g u m e n t ó w  E i  a nie  pocią ga  za sobą   ich  róż niczkowalnoś ci  wzglę dem  czą stek  i  czasu.  Potrzebna  jest  jeszcze  róż niczkowalność   odkształcenia  i  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  jako  funkcji  dwóch  zmiennych X  i  t.  1 3 )  W  teorii  r ó w n a ń  hiperbolicznych  zwią zki  tego  typu  n o s z ą  n a z w ę  r ó w n a ń  transportu.  1 4 )  Jeś li  3D  b ę d z ie  cieczą  lub  gazem,  to  zmienne  (E,  T)  z o s t a n ą  z a s t ą p i o ne  obję toś cią  właś ciwą  i  c i ś ­ nieniem.  1 5 )  U w z g l ę d n i e n ie  w  r ó w n a n i u  (3.2)  zależ noś ci  od  naprę ż enia  nie  wyprowadza  poza  omawiany  model.  Wystarczy  wtedy  s k o r z y s t a ć  z  r ó w n a n i a  (3.1),  by  s p r o w a d z i ć  z w i ą z ek  do  postaci  (3.2).  Wprowa­ dzenie  natomiast  do  (3.2)  jako  dodatkowej  zmiennej  p r ę d k o ś ci  o d k s z t a ł c e n i a  E  o z n a c z a ł o b y  wyjś cie  poza  klasyczne  s f o r m u ł o w a n i e  teorii  z  parametrami  w e w n ę t r z n y m i.  W i ę k s z o ść  r e z u l t a t ó w  niniejszej  pracy  przestałaby  być  słuszna  dla tak  zmienionej  postaci  r ó w n a n i a  ewolucji.  106  W .  K O S I Ń S KI  •/  ,  i  Gładkość  odkształcenia  E(X,  t)  jest  ograniczona  warunkami  wystę powania  fali  przy­ spieszenia  (por.  definicję  1).  Odmiennie  sprawa  wyglą da  z  wektorową  funkcją  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  a(  •,  • )•   Skoro  w  procesie  dynamicznym  parametry  wewnę trzne  są  okreś lone  poprzez  rozwią zanie  r ó w n a n i a  ewolucji  (3.2),  to  ich  cią głość  i  gładkość jest  cią głoś cią  i  gładkoś cią  rozwią zania.  Z a u w a ż m y,  że  przy  ustalonej  czą stce  X  równanie  ewolucji  (3.2)  jest  zwyczajnym  rów­ naniem  róż niczkowym  pierwszego  rzę du.  Stosując  znane twierdzenie z  teorii  takich  r ó w n a ń   oraz fakt,  że  w procesie dynamicznym  z  falą  przyspieszenia  odkształcenie jest  cią głą  funkcją   czasu  (a  także  i  czą stki),  moż emy  sformułować  nastę pują ce  s p o s t r z e ż e n i e1 6 ) :  w  procesach  dynamicznych  z  falami  przyspieszenia  funkcja  p a r a m e t r ó w  x(X,  t)  jest  cią gle  róż niczko­ walną  funkcją  X  i  t.  Uż ywając  oznaczeń  dla  skoków,  wynik  ten  m o ż na  zapisać  w  postaci  (4.1)  [ a ]  =  [ i ]  =  0.  Spostrzeż enie  powyż sze  jest  dla  dyskusji  fal  przyspieszenia  w  materiale  opisywanym  za  p o m o c ą  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  twierdzeniem  podstawowym.  Rozwią zuje  kwestię   ewentualnego  skoku  pochodnej  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  i  problem  gładkoś ci  funkcji  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych.  4.2.  Równanie  amplitudy.  Rozpatrzmy  zwią zek  konstytutywny  (3.1).  Cią głość  odkształ­ cenia  i  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  w  procesie  dynamicznym  z  falą  przyspieszenia  wraz  z  cią głoś cią  funkcji  konstytutywnej  i m p l i k u j e 1 7 '  [ 7 1  =  0.  Ponadto  róż niczkowalność  E,  a  i  funkcji  konstytutywnych  daje  nastę pują cy  zwią zek  dla  pochodnej  naprę ż enia  na  fali  (4.2)  {dx  71  =  дЁЗ Г  (E,  a)  [dxEj  + длЗ Г (Е ,  a)  [ 3 X « ] .  Zastosujemy  twierdzenie  Maxwella  (2.12)  do  funkcji  x(X,  t).  Otrzymamy  (4.3)  [ i ]  =  ­Ul8xa].  N a  mocy  (4.1)  zwią zek  (4.3)  dowodzi  zerowania  się  skoku  gradientu  dxx,  tj.  (4.4)  {dxą  =  0;  co  w  konsekwencji  upraszcza  (4.2)  do  relacji  (4­5)  [ в , 71  =  дЕ<Г (Е ,  а )1дхЩ .  Posiadając  wyraż enie  na  skok  pochodnej  naprę ż enia  oraz  równanie  ruchu  (2.17), jes­ teś my  w  stanie  u d o w o d n i ć  nastę pują ce  spostrzeż enie:  prę dkość  fali  przyspieszenia  w  ma­ teriale  z  parametrami  w e w n ę t r z n y m i1 8 '  dana  jest  zależ noś cią   (4.6)  eoU 2(t)  =  dE3T[E(Y(t),  t),  a(F(r),  /)).  D l a  wię kszoś ci  znanych  modeli  oś rodków  cią głych  równanie  na  prę dkość  fali  przy­ spieszenia  jest  takie  samo  (por.  [7,  11,  13,  40]).  1 6 )  D l a  homotermicznych  fal  przyspieszenia  ten  sam  rezultat  otrzymano  w  [20].  1 7 >  Por.  punkt  2.2.  1 8 >  D l a  skrótu  materiał  opisywany  modelem  z  parametrami  w e w n ę t r z n y mi  b ę d z i e my  nazywali  ma­ teriałem  z  parametrami  w e w n ę t r z n y m i.  Por.  r o z d z i a ł  3.  "  4  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  107  Jak  wspomnieliś my  w  rozdziale  3,  równanie  róż niczkowe  (2.14),  rzą dzą ce  zmianą   amplitudy  na  czole  fali,  odgrywa  podstawową  rolę  przy  analizie  zachowania  się  fali  przy­ spieszenia.  W  niniejszym  punkcie  skorzystamy  z  postaci  (2.19).  D r u g ą  p o c h o d n ą  mieszaną  naprę ż enia  дх  T  wystę pują cą  w  (2.19)  wyliczamy,  wyko­ rzystując  r ó w n a n i e  konstytutywne  (3.1).  Ze  wzglę du  na  (4.1)  i  (4.4)  na  fali  bę dziemy  mieli  (4­7)  Я Л  TJ  =  д \Г {Е ,  a)  {EdxEj  + 3ЕЗ Г (Е ,  a)  [ 3 Z Ј ]  +  +  дЕдаГ (Е ,  а )(дх*1Е ]  + а дхЕ })  + даГ (Е ,  a ) [ d z i ] .  Pochodna  czasowa  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  spełnia  równanie  ewolucji  (3.2).  Jeś li  tak,  to  druga  pochodna  mieszana  dx  a.  dana jest  zwią zkiem,  poza  27,  дхк  =  дЕ\(Е ,  <х )дхЕ +даА (Е ,  x)dxx.  Stąd  na  fali  mamy  (4.8)  [ 3 z a ]  =  dBX(E,*)ldxE}.  Skorzystajmy  z  w a r u n k ó w  zgodnoś ci,  dostaniemy  wtedy  (4.9)  (dx  f]'==  д \Г (Е ,  а)  {Ё дхЕ }  + dEST'E,  a)  {dxEJ  +  +  ­^{дЕдаЗ Г (Е ,  a)  (a­Udxa)  + da^(E,'a)dxA(E,  a ) } a .  Wstawiając  (4.9)  do  (2.19)  i  wykorzystując  równanie  na  prę dkość  fali  (4.6),  dostajemy  )  + (4.10)  i^uit) 4(т =|=)=i  s ^ e ­  « ) [ ^ ( o ­ +  W^^'  «)  ( « ­ ^ ) ' Н Ж  *)dEA(E,  a)}.  Wystarczy  teraz  skorzystać  z  ogólnie  prawdziwej  równoś ci  dla  skoku  iloczynu  funkcji  fi  h  ( 4 . П )  №  = Ш И +/+ И +л+ Ш.  by  posiadając  równanie  (4.10)  stwierdzić,  że  amplituda  a(?)  fali  spełnia  równanie  [14  ­  16)  (4­12)  ­  ­ ^ ( O a C O + ^ O a ^ O ,  gdzie  współczynniki  /г (г)  i  /?(f)  dane  są  zależ noś ciami  1  L  dU(t)  ,  •  1  , 2 ,  1  ­  д2ЕЗ Г (Е ,  a)  (dxE) +  +  —  dEA(E,  a)  даЗ Г {Е ,  a)  +  ( 4 1 3 ) i 9 )  u\f)  +  jj^j  8Еда^  (E,  a ) ( i ­  C / ( 0 5 x a ) ,  m =  3ir(E.a)  2U(t)dE3T(E,  a)  "  1 9 >  W  pracy  [14]  w  r ó w n a n i u  (3.10)  na  w s p у ł c z y n n i k  p(t)  zamiast  minusa  przed  p o c h o d n ą  ~ ~  ­ dt  powinien  b y ć  nawias  klamrowy.  108  W .  K O S I Ń S KI  W  równaniu  na  współczynnik  fi(t)  wystę puje  pochodna  prę dkoś ci  dU/dt.  Przez  do­ datkowe  obliczenia  może  być  ona  wyznaczona  z w i ą z k i e m2 0 '  (4.14)  ^f=~  2^Jj(d^E'  *)Е+  + дадЕГ (Е ,  a)a)  +  +  J ­ (а %Г (Е ,  «) (дхЕ У  + дадЕЗ Г (Е ,  *)дх  «).  Dzię ki  temu  moż emy  sformułować  podstawowy  rezultat  tego  punktu  w  postaci  twier­ dzenia  [14 ­  16]:  T w i e r d z e n i e  1.  Amplituda  a(r)  fali  przyspieszenia  w  materiale  z  parametrami  spełnia  równanie  (4.12)  z  /u(t)  okreś lonym  przez  (4.15)  M O  =  ­ 2 ^ | щ ^ ( £ '  *)Ё + + дадЕ,Г (Е ,  «)«)  +  +  щ ­  d „ * ­ ( £ ,  <х )дБА (Е ,  а )­  у  ( 5 1 ^ ( £ ,  а)  (3* £ ) +  +  5 а 3 В * ­ ( Е ,  а ) 3 * а)  i  ze  współczynnikiem  /3(0  okreś lonym  przez  (4.13).  Prę dkość  fali  U(t)  spełnia  natomiast  r ó w n a n i a  (4.6)  i  (4.14).  Pochodne  д \2Г ,  да.Т ,  8адЕ^  i  дЕА  są  wzię te  w  (E(Y(t),t),a(Y(t),t)),  zaś  ix i  dxx  w  (Y(t),  t).  Zauważ my,  że  w  równaniu  amplitudy  (4.12)  współczynnik  /z(t)  zależy  od  Teologicz­ nych  własnoś ci  materiału  (tzn.  sprę ż ystych  i  niesprę ż ystych),  a  także  od  wartoś ci  prę d­ koś ci  i  gradientów  odkształcenia  oraz  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  przed  falą.  Natomiast  współczynnik  /3(f)  zależy  tylko  od  nieliniowych  sprę ż ystych  własnoś ci  materiału.  Jest  rzeczą  interesują cą,  że  ogólne  równanie  amplitudy  fali  przyspieszenia  (4.12)  dla  materiału  z  parametrami  wewnę trznymi,  bę dąc  r ó w n a n i e m  typu  Bernoulliego,  jest  takie  samo,  jak  dla  innych  znanych  modeli  materiałów.  R ó w n a n i a  amplitudy  w  materiale  z  za­ nikają cą  pamię cią  [11]  w  nieliniowym  i  niejednorodnym  materiale  sprę ż ystym  [7]  też  są   w  postaci  (4.12).  Róż nią  się  one  mię dzy  sobą  wyraż eniami  na  współczynniki  /x(t)  oraz  /5(0­ N i e  znając  konkretnej  postaci  zwią zku  konstytutywnego  (3.1)  i  r ó w n a n i a  ewolucji  (3.2),  jesteś my  w stanie przeprowadzić  analizę  lokalnego  i globalnego  w czasie  zachowania  się  amplitudy  a  (t)  na  czole  fali.  Analiza  taka  opiera  się na  badaniu  rozwią zania  r ó w n a n i a  Bernoulliego.  I  tak  stwierdzamy,  że jeś li  w danej  chwili  czasu  t albo  /3(0  >  0  i  a(0  <  A(0,  albo  /3(0  <  0  i  a(0  >  A(0  to  <  0;  jeś li  w  danej  chwili  czasu  t  albo  /3(0  >  0  i  a(0  >  A(0  albo  /?(/)  <  0  i  a(0  <  A(0,  to  —jf^~  >  0; natomiast  a(0  =  A(0,  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  *  =  0,  gdzie  oznaczyliś my  iloraz  ^P.  przez  A(0­ dt  '  p(t)  2 0 )  Z a u w a ż y m y,  że  w  p o w y ż s z ym  z w i ą z ku  wzię cie  wartoś ci  z  obszaru  „ — " jest  tak  samo  m o ż l i w e,  p o n i e w a ż  o d k s z t a ł c e n i e  jest  cią głą  funkcją  przy  przejś ciu  przez  krzywą  2.  O g ó l n i e  prawdziwy jest  bowiem  zwią zek  [por.  (2.12)]  f+  +  U(8xf) +  =f­  +  U(8xf)­  o  ile  [/]  =  0.  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  109  Zauważ my,  że  własnoś ci  wyż ej  sformułowane  są  prawdziwe  przy  założ eniu,  że  współ­ czynnik  /3(0  jest  róż ny  od  zera  dla  wszystkich  t.  Bę dzie  to  spełnione,  o  ile  funkcja  n a p r ę ­ ż enia  ST  pozostanie  cały  czas  na  fali  nieliniowa  wzglę dem  odkształcenia.  Innymi  słowy,  kiedy  sprę ż yste  własnoś ci  materiału  bę dą  nieliniowe.  W  ogólnym  przypadku  współczynniki  r ó w n a n i a  amplitudy  (4.12)  są  funkcjami  czasu,  tzn.  nie  są  stałe.  Sytuacja  taka  powoduje,  że  dyskusja  zachowania  się  rozwią zania  rów­ nania  (4.12) jest  bardziej  złoż ona  od  dyskusji  w  przypadku  ustalonych  ^  i  /3 0 .  Dlatego  też  przeprowadzona  przy  ogólnych  założ eniach  [zmiennych  fx{t)  i  /3(0]  przez  BAILEYA  i  C H E N A  [1]  analiza  równania  Bernoulliego  nie  bę dzie  tutaj  powtarzana.  D l a  przypadku  fali  w  materiale  z  parametrami  wewnę trznymi  zaadaptowane  wyniki  BAILEYA  i  C H E N A  wraz  z  nowymi  rezultatami  m o ż na  znaleźć  w  pracy  [15].  Z  tego  wzglę du  pełną  dyskusję  zachowania  się  rozwią zania  ograniczymy  do  przy­ padku  ustalonych  współczynników  /л0  i  /3 0 .  Sytuacja  taka  wystę puje  przy  rozprzestrze­ nianiu  się  fali  przyspieszenia  w  materiale  bę dą cym  w jednorodnym  stanie  równowagi.  Z a ­ łóż my  ponadto,  że  fala  propaguje  się  w  kierunku  wzrastają cych  X.  Wtedy  prę dkość  fali  (wewnę trzna)  U(t)  =  ­ r ­  Y(t)  bę dzie  d o d a t n i a 2 1 ' ­ Powiemy,  że  fala  rozprzestrzenia  się  w  jednorodnym  stanie  równowagi,  jeś li  odkształ­ cenie  i  wektor  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  w  obszarze  przed  falą  (tj.  w  obszarze  ,, +  ")  mają  wartość  stałą,  tzn.  E(X,  0  =  E0,    7(0,  t  ^  0,  (4.16)  8XE0  =  0,  Bxa0  =  0,  E0  =  0,  a 0  =  0.  Znikanie  pochodnej  czasowej  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  oznacza,  ze  wzglę du  na  (3.2),  zerowanie  się  prawej  strony  równania  ewolucji  w  ( Ł 0 ,  a 0 ),  tzn.  A(E0,  a 0 )  =  0.  Cią głość  odkształcenia  i  p a r a m e t r ó w  wewnę trznych  na  fali  pocią ga  dla  obecnego  przy­ padku  (4.17)  E(Y(t),t)  =  E0,  а ( П О , 0= « о ,  co  oznacza,  że  prę dkość  fali  przyspieszenia  propagują cej  się  w  jednorodnym  stanie  rów­ nowagi  jest  stała.  Zwią zki  (4.16)  dla  pochodnych  E  i  a  dają,  dzię ki  (4.15)  i  cią głoś ci  i  [por.  (4.1)  i  (4.3)]  na  fali,  nastę pują ce  wyraż enie  na  stały  w  tej  sytuacji  współczynnik  ( .  1 8 ч  „  даЗ Г (Е0,  ч0)дЕА {Е0,  a 0 )  2дЕУ (Е0>  O  Podobnie,  zamiast  /3(0  otrzymamy  /30  wyraż one  przez  d\9­{E0,  a 0 )  (4.19)  /S 0  =  2UdE£T{E0,  O '  2 1 >  Z a u w a ż m y,  że  wtedy  obszar  przed  falą  bę dzie  obszarem  ,, +  ",  natomiast  za  falą  bę dzie  obszarem  п о   W .  K O S I Ń S KI  a  to  oznacza,  że równanie  amplitudy  fali  przyspieszenia  propagują cej  się w jednorod­ nym  stanie  równowagi  jest  typu  Bernoulliego  (4.20)  ­ ^ ­ =  ­/<0a(0+/?oa 2(0  o  stałych  współczynnikach.  Zwróć my  na chwilę  uwagę  na równanie  na prę dkość  fali  (4.6).  Jeś li  fala  ma istnieć,  czyli  prę dkość  ma być  rzeczywista i nie  znikają ca,  to koniecznie musi  zachodzić  nierówność   (4.21)  дЕГ (Е0,  a 0 ) > 0.  D o d a t n i o ś ć  pochodnej  funkcji  naprę ż enia  wzglę dem  odkształcenia  w  stanie  r ó w n o ­ wagi  (E0,  a 0 )  gwarantuje  rozprzestrzenianie  się fali  w materiale.  Jeś li  zmienimy  wartość   przed  frontem  fali  na (Et,  a j , to  gwarancją  nie znikają cej  i rzeczywistej  prę dkoś ci  fali  przyspieszenia  bę dzie  dodatniość  pochodnej  dE^'(E1,  aj),  czyli  warunkiem  propagacji  fali  przyspieszenia  w dowolnym  stanie  materiału  (niekoniecznie  równowagi)  jest  dodat­ niość  pochodnej  czą stkowej  dEST  jako  funkcji  odkształcenia  i  wektora  p a r a m e t r ó w  we­ wnę trznych.  4.3.  Rozwią zania  równania  amplitudy.  Dyskusję  zachowania  się  rozwią zania  równania  (4.20)  rozdzielimy  na  przypadki.  P r z y p a d e k  1. /?„ =  0. Sytuacja  taka  może  wystą pić  tylko  wtedy,  gdy druga po­ chodna  funkcji  naprę ż enia  wzglę dem  odkształcenia  znika  w stanie  równowagi  (E0, _},  • gdzie  a(0)  jest  począ tkową  wartoś cią  a. Ze wzglę du  na róż ny  znak ц0  może być   l i m  a(/) ­  1°  J e Ś l i  d ' ^ E ° '  *o)dEME0,  *o) < 0,  ,_oo  ~  \sgna(0)  oo  jeś li  даУ (Е0,  а0)дЕА (Е0,  a 0 ) > 0.  D o  powyż szego  przypadku  należy  dołą czyć  z n i k a j ą c e g o,  tj.  даУ (Е0,  л0)дЕА (Е0,    0,  zaś  l i m  a(r)  =  ­ c o ,  gdy  a(0)  <  0.  / ­ • 00  f ­ » o o  Podsumowując  dyskusję  powtórzmy,  że  wyprowadzone  równanie  amplitudy  (4.20)  opisuje,  w  przypadku  zerowania  się  ц0,  propagację  fali  przyspieszenia  w  nieliniowym  materiale  sprę ż ystym,  w  przypadku  zaś  znikania  obu  współczynników  /л0  i  /?„ —  falę   w  liniowym  materiale  sprę ż ystym.  Ostatnia  sytuacja  została  opisana  r ó w n a n i e m  (4.24).  P r z y p a d e k  3.  Globalna  analiza  pełnego  r ó w n a n i a  amplitudy.  M a m y  teraz  do  czynienia  z  pełnym  r ó w n a n i e m  amplitudy  (4.29)  ^  ­ ^ a + p ^  Ł a t w o  zauważ yć,  że  jeś li  począ tkowa  amplituda  a(0)  zeruje  się,  to  rozwią zaniem  po­ wyż szego  równania  bę dzie  a(f)  =  0  dla  wszystkich  t.  Poszukajmy  nietrywialnych  rozwią zań.  W p r o w a d ź my  nową  zmienną  oraz  nowy  współ­ czynnik  (4.30)  W ) ­ ' 4 r ,  *°  =  i r ­ a(0  Po  2 2 )  E w o l u c j ę  p a r a m e t r ó w  w e w n ę t r z n y ch  w  czasie  bez  w p ł y w u  o d k s z t a ł c e n i a  i  naprę ż enia  (tzn.  waru­ nek  дЕ  A  =  0  i  А  ф  0)  n a l e ż y  interpretować  jako  efekt  czasowy  nie  w y w o ł a n y  z m i a n ą  o d k s z t a ł c e n i a  czy  naprę ż enia.  M o ż e  to  b y ć  t ł u m a c z o n e  zjawiskiem  starzenia  się  materiału.  112  W .  K O S I Ń S KI  Wtedy  równanie  (4.29)  w  nowej  zmiennej  przyjmie  postać   =  j i 0 h ( / ) ­ A > .  Rozwią zaniem  tego  r ó w n a n i a  jest  funkcja  h(0  =  е " о ' ( Ь ( 0 ) ­ Яо )  + А о ,  gdzie  h(0)  jest  począ tkową  wartoś cią  h.  Ze  wzglę du  na  podstawienie  (4.30)  rozwią zanie  równania  (4.29)  może  być j u ż  bezpoś rednio  podane  nastę pują cą  funkcją  czasu  (4.31)  a ( 0 = —  V  8 d z i e  Х°  =  1Г >  a(0)  przy  czym  należy  p a m i ę t a ć,  że  czas  w  tym  zwią zku  jest  parametrem  krzywej  osobliwej 27,  na  której  przyspieszenie  doznaje  skoku.  Mając  ogólną  postać  rozwią zania  r ó w n a n i a  amplitudy,  moż emy  przejść  do  dyskusji  jego  zachowania  w  czasie.  Zwróć my  uwagę,  że  podobnie  jak  dla  przypadku  2,  prawa  strona  w  (4.31)  dopuszcza  przy  pewnym  układzie  wielkoś ci  A 0 , a(0)  i  czasu  t  zerowanie  się  mianownika.  Pocią gnie  to  nieskoń czoną  wartość  amplitudy  a(r).  Z  drugiej  strony,  przy  odpowiednim  doborze  a(0),  a  ś ciś lej,  wtedy  gdy  a(0)  pokryje  się  z  A 0 , mianownik  dla  każ dego  czasu  /  utrzyma  stałą  jednostkową  wartoś ć,  co  da  w  efekcie  stałe  rozwią zanie  a(r)  =  A 0 .  Uporzą dkujmy  te  spostrzeż enia  w  postaci  twierdzenia  [16].  T w i e r d z e n i e  2.  W  materiale  z  parametrami  wewnę trznymi  fala  przyspieszenia  propagują ca  się  w  jednorodnym  stanie  równowagi  (E0,  a 0 )  z  dodatnią  prę dkoś cią  U  podlega  ewolucji  czasowej  rzą dzonej  równaniem  amplitudy  (4.29).  Rozwią zaniem  tego  r ó w n a n i a  jest  funkcja  a(r)  dana  zależ noś cią  (4.31)  przy  warunku  а(0)/< о Д о  Ф 0.  Globalne  zachowanie  się  w  czasie  amplitudy  a(r)  jest  scharakteryzowane  nastę pują co:  1.  Jeś li  да^(Е0,    albo  sgna(0)  =  sgndE$~(E0,  a 0 ),  to  l i m  a(r)  =  0  (w  spo­ sób  monotoniczny);  b)  jeś li  a(0)  =  A 0 , to  wtedy  a(r)  =  a(0)  dla  t  >  0,  tzn.  amplituda  jest  stała  w  czasie;  c)  jeś li  |a(0)|  >  |A 0 j i sgna(0)  =  — s g n S f ^ ^ o ,  a 0 ),  to  istnieje  skoń czony  czas  tk  >  0,  (4.32)  tk  U n ( l  "  Ho  \  a(0)  2d  даЗ Г (Е(  taki,  że  lim |a(r)|  =  co.  дЕУ (Е0,  a 0 )  /  Uda#­(E0,  it0)dEA(E0,  a 0 )  \  o,  ao)dBA(E0,  « 0 )  \  д 2 ЕЗ Г {Е0,  ao)a(0)  j  2.  Jeś li  да$~(Е0,  a0)dEA(E0,  a 0 )  >  0,  to  istnieją  także  trzy  moż liwoś ci:  a)  jeś li  a(0)  =  A 0 ,  to  a(r)  =  a(0),  t  >  0;  b)  jeś li  sgna(0)  =  — s g n ^ f ^ ^ o ,  a 0 ),   t 0  istnieje  czas  krytyczny  tk  dany  zwią zkiem  (4.32),  taki,  że  Iim|a(r)|  =  co,  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  113  c)  jeś li  sgna(0)  =  sgadEr(E0,  « 0 )  i  a(0)  ф  Я 0 ,  to  Udaf(E0,  «0)dEA(E0,  a 0 )  (4.33)  I i r a a ( 0 = A 0 =  ,2  q­(F  r V  ( ­ 0 0  ( £ 0 >   ao,)  D o w ó d  twierdzenia jest  prosty  i  polega  na  analizie  rozwią zania  (4.31),  p o n i e w a ż  jest  ucią ż liwy  więc  nie  bę dziemy  go  przytaczać.  Jest  oczywiste,  że  twierdzenie  2  wymaga  k i l k u  słów  komentarza.  P o  pierwsze,  fakty  w  nim  zawarte  (punkt  1)  są  podobne  do  wyprowadzonych  przez  COLEMANA  i  G U R T I N A  [11,11]  dla  materiału  prostego  z  zanikają cą  pamię cią.  Bogatszą  literaturę  na  ten  temat  m o ż na  znaleźć  w  artykule  C H E N A  [7].  W  znanych  materiałach  opisywanych  modelem  z  parametrami  w e w n ę t r z n y m i2 3 )  wa­ runek  punktu  1  да&~(Е0,  х0)дЕА (Е0  ,  a 0 )  <  O jest  spełniony.  Odpowiada  to  w  teorii  C O ­ LEMANA  i  GURTINA  [11]  dodatnioś ci  począ tkowego  nachylenia  funkcji  relaksacji  n a p r ę ­ ż enia  (G'(0)  >  0).  Ze  sformułowań  punktu  1 wnioskujemy,  że  m o d u ł  współczynnika  A 0 , tj.  | A 0 | gra  rolę   pewnej  wielkoś ci  granicznej  (krytycznej).  Przy  odpowiednim  doborze  znaków  współ­ czynników  r ó w n a n i a  (4.31)  i  wielkoś ci  począ tkowej  amplitudy  fali  w  stosunku  do  |A 0 I  rozwią zanie  równania  jest  ograniczone  na  całej  półosi  rzeczywistej  bą dź  roś nie  nieogra­ niczenie  w  skoń czonym  czasie.  T o  spostrzeż enie  pozwala  nazwać  wielkość  | A 0 |  krytycz­ ną  amplitudą  począ tkową2^.  I  tak  punkt  1 mówi,  że jeś li  począ tkowa  amplituda  fali  jest  mniejsza  w  wartoś ci  bez­ wzglę dnej  od  amplitudy  krytycznej  albo  jeś li  począ tkowa  amplituda  ma  ten  sam  znak,  co  druga  pochodna  funkcji  naprę ż enia  wzglę dem  odkształcenia,  to  amplituda  fali  [czyli  rozwią zanie  równania  (4.31)]  stanie  się dowolnie  mał a  w  odpowiednio  długim  czasie.  Jeś li  natomiast  począ tkowa  amplituda  jest  wię ksza,  co  do  wartoś ci  bezwzglę dnej,  od  ampli­ tudy  krytycznej  i  ma  znak  przeciwny  do  znaku  drugiej  pochodnej  funkcji  naprę ż enia,  to  fala  bę dzie  miała  też  nieskoń czoną  amplitudą  w  skoń czonym  czasie.  T o  ostatnie stwierdzenie  sugeruje,  że w materiale  powstanie  fala  uderzeniowa.  W  zwią z­ k u  z  tym  czas  krytyczny  tk  podany  zależ noś cią  (4.32)  m o ż na  uważ ać  za  czas  formo­ wania  się  fali  uderzeniowej  na  czole  fali  przyspieszenia,  albo — inaczej  mówiąc  — za  c z a s 2 5 )  przejś cia  fali  przyspieszenia  w  falę  uderzeniową  (por.  [12,  18]).  Zauważ my,  że  podobny  rezultat,  o  istnieniu  czasu  krytycznego,  uzyskaliś my  dla  przy­ padku  2,  gdzie  tylko współczynnik  ц0  zerował  się, natomiast  /?0  było  róż ne  od  zera.  Współczynnik  /?0  jest — w  pewnym  sensie  —  miarą  nieliniowoś ci  rozpatrywanych  zwią zków  konstytutywnych.  Oznacza  to,  że  warunkiem  istnienia  (koniecznym,  a  nie  wy­ starczają cym)  wystę powania  czasu  krytycznego  przy  propagacji  fali  przyspieszenia  w  ma­ teriałach,  ogólnie,  dysypatywnych­niesprę ż ystych  jest  nieliniowość  funkcji  naprę ż enia  w  odkształceniu.  4.4.  Kryteria  formowania  się fal  uderzeniowych.  Przejdź my  do  warunku  wystarczają cego  dla  wystę powania  czasu  krytycznego.  Podpunkt  l c  oprócz  ż ą dania  przekroczenia  amplitudy  2 3 )  N p .  materiały  lepkoplastyczne,  lepkosprę ż yste  czy  asprę ż yste.  2 4 )  Por.  [1,  6,  7,  10,  11,  14­16].  2 5 )  Prace  [2,  6]  zawierają  pierwsze  wyliczenia  i  dyskusję  c z a s ó w  krytycznych  przy  propagacji  fal  przyspieszenia  w  gazach  z  t e r m o d y n a m i c z n ą  relaksacją.  8  Mechanika  Teoretyczna  114  W .  K O S I Ń S KI  krytycznej  przez  amplitudę  począ tkową  wymagał,  by  znak  począ tkowej  amplitudy  był  przeciwny  do  znaku  drugiej  pochodnej  funkcji  naprę ż enia  wzglę dem  odkształcenia.  Załóż my  na chwilę,  że sgndE.T(E0,    0 w kryterium  propagacji  (4.21), że przy  ustalonym  parametrze  a 0 ,  krzy­ w a 2 6 '  T =  2Г {Е ,  a 0 )  jest  wypukłoś cią  skierowana  do  dołu.  A b y warunek  sgna(0)  =  =  sgn дЕ ST(E0,  a 0 )  był spełniony,  znak  począ tkowej  amplitudy  fali  musi  być dodatni.  Przypomnijmy  w tym miejscu  p o s t a ć  prawa  zachowania  masy  na  fali  przyspieszenia.  Zgodnie  z  równaniem  (2.20)  mieliś my  W i d a ć ,  że jeś li  a <  0  to  i  [p]  <  0,  ze  wzglę du  na  dodatniość  współczynników  prawej  strony, a że znak  amplitudy  fali jest  stały, więc jeś li  tylko  a(0) jest mniejsze  od  zera, to  i skok  pochodnej  gę stoś ci  też bę dzie  mniejszy  od zera.  Ten ostatni  fakt  wskazuje,  że fala  przy­ spieszenia  bę dzie  rozprę ż ają ca  (rozcią gają ca).  N a  o d w r ó t ,  jeś li  założ ymy  na  moment,  że s g n d f ^ i T o .  &o) =  — U  czyli  krzywa  T =  =  ST{E,  a 0 )  jest  wypukłoś cią  skierowana  do  d o ł u 2 7 ' ,  to  wtedy  warunek  podpunktu  l c  wymaga,  by  sgna(0)  =  + 1 , a w konsekwencji  [g] >  0. Oznacza  to  dla tego  przypadku,  że  fala  musi  być sprę ż ają ca  (ś ciskają ca).  Powyż sze  spostrzeż enia  m o ż na  t r a k t o w a ć  jako  kryterium  formowania  się fal uderze­ niowych  w  materiałach  z  parametrami  wewnę trznymi.  Należy  tylko  podkreś lić,  że  do­ datkowo  wymaga  się dla tych  materiałów  spełnienia  nierównoś ci  (4.34)  даЯ Г (Е0,    0.  Zauważ my,  że  według  podpunktu  2b  warunkiem  wystę powania  czasu  krytycznego  jest  tylko  niezgodność  znaków  amplitudy  i  pochodnej  naprę ż enia.  N i e  n a k ł a d a  się ż ad­ nych  ograniczeń  na wielkość  a(0) (z wyją tkiem  jej  nieznikania).  Zwróć my  uwagę,  że w obu przypadkach,  tj. dla materiałów  spełniają cych  nierówność   (4.34)  czy (4.35),  wymagamy  tylko  lokalnej  wypukłoś ci  lub lokalnej  wklę słoś ci  krzywej  T  =  ST{E,   0  i  A 0  =  0  dla  /x0 < 0.  Po  5.  Fale  uderzeniowe  5.1.  Cią głość  parametrów  wewnę trznych.  Niecią głość  odkształcenia  w  procesie  dynamicz­ nym  z falą  uderzeniową  (por.  definicję  2) wymaga  zaję cia  się  r ó w n a n i e m  ewolucji  dla pa­ r a m e t r ó w  wewnę trznych  (3.2).  A b y  m ó c  je  zanalizować,  trzeba  rozszerzyć  poję cie  roz­ wią zania  do  funkcji  odcinkami  gładkiej.  Zastą pmy  równanie  ewolucji  (3.2)  równoważ nym  równaniem  całkowym  (wektorowym)  T  (5.1)  «(T)  ­    0,  а 0  e  "f n,  że  E(X,t)  =  E0+v0t,  Ż (X,t)  =  v0,  dxE(X,t)  =  0,  dx  0  dla  każ dego  (E,  a),  które  zabezpiecza  hiperboliczność  problemu  począ tkowego  dla  rozpatrywanego  materiału.  3 1 )  Warunek  E+  <  0  m ó w i ,  że  materiał  przed  frontem  fali  jest  ś ciś nię ty.  W .  K O S I Ń S KI  Zauważ my,  że  nierówność  (5.16)  jest  jednocześ nie  warunkiem  koniecznym  istnienia  rzeczywistej  prę dkoś ci  fali  uderzeniowej,  a  to  ze  wzglę du  na  zwią zek  (5.17) ­  g y ? , ­  r(E­,*)­jT(E+,  «)  ?  w  k t ó r y m  prawa  strona  musi  być  dodatnia.  Nierówność  (5.15)  ma  wpływ  na  znak  współczynnika  r  w  r ó w n a n i u  (5.10),  albowiem  przy  tych  założ eniach  otrzymamy  (5.18)  r  =  Q0V 2­dBy~(E­,  a)  <  0.  Nierówność  (5.18)  oznacza,  że  prę dkość  fali  uderzeniowej  jest  p o d d ź w i ę k o w a3 3 )  wzglę­ dem  obszaru  za  frontem  fali.  Zauważ my,  że  przy  propagacji  ś ciskają cej  fali  uderzeniowej  obserwuje  się  nastę pują ce  zachowanie  amplitudy  w  każ dej  chwili  czasu  [ 5 , 9 ,  16,  18]:  d  (dxE)­  >  e , o _ | [ Ł ] |  >  0,  (5.19)  (дхЕ )­    0  i  E+  >  0  oraz  wypukłoś ci  od  dołu  (tzn.  wklę słoś ci)  krzywej  T  =  2T[E,  a),  dla  każ dego  a  (5.21)  Ъ \9­(Е ,  a)  >  0  dla  każ dego  E  i  każ dego  a.  Z  w a r u n k ó w  lokalnego  zachowania  się  amplitudy  fali  wnioskujemy,  że  dla  obu  typów  fal  wielkość co  gra  rolę  krytycznego  gradientu  odkształcenia,  podobnie jak  | A 0 | w  poprzed­ niej  analizie.  Podane  własnoś ci  fali  są  prawdziwe  przy  założ eniu,  że  materiał  przed  falą  jest  w  jed­ norodnym  stanie  równowagi  bą dź  nierównowagi.  W  przypadku  równowagi  podobne  własnoś ci  mogą  być  sformułowane  dla  prę dkoś ci  fali  [16].  W  pracy  [16]  może  czytelnik  znaleźć  analizę  infinitezymalnych  fal  uderzeniowych.  Ponadto  w  [16]  wykazano,  że  graniczna  wartość  krytycznego  gradientu  odkształcenia  co  fali  uderzeniowej,  przy  amplitudzie  zmierzają cej  do  zera,  r ó w n a  się  podwojonej  kry­ 3 2 )  R ó w n a n i e  to  m ó w i ,  że  p r ę d k o ść  fali  uderzeniowej jest  proporcjonalna  do  k ą ta  nachylenia  siecz­ nej  łą czą cej  punkty  o  r z ę d n y ch  E+  i  E~  l e ż ą ce  na  krzywej  T  =  &~(E,  et),  przy  a  ustalonym.  3 3 )  Jest  to  znany  fakt  z  dynamiki  g a z ó w  [12].  3 4 )  Por.  rozdział  4.  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  119  tycznej  począ tkowej  amplitudzie  | A 0 | fali  przyspieszenia.  Taką  samą  własność  zaobser­ wowano  dla  innych  typów  materiałów  [ 7 , 8 ,  11,40].  5.3.  Fala  prę dkoś ci  w  materiale  o  liniowej  reakcji  sprę ż ystej.  Wyprowadzając  równanie  ampli­ tudy  (5.10)  w  ogólnym  materiale  odrzuciliś my  przypadek  zerowania  się  współczynnika  r  [por.  (5.13)].  W  tym  punkcie  rozpatrzymy  ten  szczególny  wypadek.  Zaniedbajmy  ogólny  zwią zek  konstytutywny  (3.1)  na  korzyść  szczególnego,  liniowego  wzglę dem  odkształcenia,  prawa  fizycznego  [17,  19]  (5.22)  2T(E,  a)  =  b ( a ) Ł + c ( a ) .  Materiał  o  takim prawie  fizycznym  charakteryzuje  się liniową  reakcją  sprę ż ystą.  Funk­ cję  b(a)  m o ż na  t r a k t o w a ć jako  uogólniony  m o d u ł  Younga,  k t ó r y  podlega  zmianie w trakcie  procesów  ze  zmieniają cymi  się  parametrami  w e w n ę t r z n y m i3 5 ' .  Wstawiając  (5.22)  do  r ó w n a n i a  na  prę dkość  fali  uderzeniowej  (5.17)  otrzymamy  spe­ł  nienie  pierwszej  równoś ci  (5.9),  a  tym  samym  zerowanie  się r  w  (5.13).  Amplituda  fali  [ Ł ]  uderzeniowej  propagują cej  się  w  takim  materiale  bę dzie  spełniać   równanie  [17,  19]  (5.23)  ' И  =  ­^\^да!Г (Е ,*)дхА  + ^дадЕЗ Г (Е \  [£]},  które  po  wykorzystaniu  (5.22)  może  być zapisane  w  postaci  (5.24)  И  =  ­ ~ { ( b : ( a ) £ ­ ­ r c 4 a ) ) [ 5 x « ]  +  [ £ l b 4 a ) ( i ­ ( 5 x « ) +  +  ^ ) } .  Prę dkość  fali  jest  dź wię kowa  V  =  \/ь Щ о .  Załóż my,  że  przed  falą  materiał  znajdował  się  w  jednorodnym  stanie  równowagi  {E0,  a0),  wtedy  mamy  dE~  1  (5.25)  —  =  — ( Ь ' ( « о ) £­  + c ' ( a 0 ) ) A ( £ ­ ,  a0),  gdzie  skorzystaliś my  z  równoś ci  IEJ  =  E­­E0,  ^ ° ­  =  0.  at  Widzimy  z  tego  nawet  prostego  równania,  że  dyskusja  zachowania  się  amplitudy  fali  uderzeniowej  [ £ ]  (czy E~)  jest  moż liwa  tylko wtedy,  gdy  znana jest  p o s t a ć  funkcji  A , tzn.  prawa  strona  równania  ewolucji.  Nawet  w przypadku  liniowego zwią zku  konstytutywnego  nie jesteś my  w stanie  przewi­ dzieć  zachowania  się  amplitudy  fali  uderzeniowej.  Inaczej  ta  sprawa  wyglą da  w  przypad­ k u  fali  przyspieszenia,  gdzie  nawet  dla  ogólnie  nieliniowych  zwią zków  byliś my  w  stanie  p o d a ć  postać  rozwią zania  r ó w n a n i a  amplitudy.  3 5 )  Jeś li  u ż y j e my  (5.22)  i  p a r a m e t r ó w  w e w n ę t r z n y ch  do  opisu  materiału  lepkoplastycznego  i  u t o ż ­ samimy  jeden  z  nich  z  n i e o d w r a c a l n ą  deformacją  ( l e p k o p l a s t y c z n ą ),  to  funkcja  b(a)  reprezentuje  zmia­ n ę  m o d u ł u  Younga  w  wyniku  nieodwracalnych  deformacji  o ś r o d k a.  120  W .  K O S I Ń S KI  Koń cząc  ogólną  teorię  jednowymiarowych  fal  uderzeniowych  chcę  zwrócić  uwagę   czytelnikowi  na  fakt,  że  w  przypadku  istotnie  nieliniowych  zwią zków  konstytutywnych  (tzn.  gdy  8\2Г {Е ,  а)  Ф 0)  jest  moż liwe  rozprzestrzenianie  się  i  powstawanie 3 6 '  fal  ude­ rzeniowych  nawet  przy dowolnie  razy  cią gle  róż niczkowalnych  warunkach  począ tkowych.  Fale  uderzeniowe  mogą  się  generować  w  takich  materiałach  (nawet  dysypatywnych)  (por.  punkt  o  formowaniu  się  fal  uderzeniowych).  Inaczej  sprawa  wyglą da  dla  p r z y p a d k ó w  zwią zków  liniowych  (tzn.  gdy  d\ST  =  0)  postaci  (5.22). Tutaj  fala  uderzeniowa  nigdy nie powstanie  w oś rodku.  M u s i  być  wywołana  przez  zewnę trzny  impuls, przez  niecią głe  warunki  począ tkowe.  Ponadto  w  przeciwień stwie  do  materiałów  nieliniowych,  gdzie  prę dkość  fali  uderzeniowej  jest  całkiem  inna  od  prę d­ koś ci  fali  przyspieszenia  (dź wię kowej)  [por.  (5.18)],  w  materiale  o  liniowej  reakcji  sprę­ ż ystej  prę dkoś ci  fali  uderzeniowej  (prę dkoś ci)  i  przyspieszenia  pokrywają  s i ę 3 7 ) .  6.  P r z y k ł a d y  Przedstawioną  dotąd  teorię  jednowymiarowych  fal  w  oś rodkach  niesprę ż ystych  zilu­ strujemy  przykładami.  6.1.  Fala  przyspieszenia  w  nieliniowym  materiale  lepkosprę ż ystym.  Rozpatrzmy  funkcję  konsty­ tutywną  ST i  funkcję  przygotowania  A  [14,  15]  taką,  że  r ó w n a n i a  konstytutywne  i  ewo­ lucji  bę dą  miały  p o s t a ć   (6.1)  T  =  biE+b2oi  + b3E 2  + b0,  a. =  ciE+c2a  +  c0.  Jest  to  materiał  lepkosprę ż ysty,  o  nieliniowej reakcji  sprę ż ystej.  Zauważ my,  że  układ  (6.1)  jest  równoważ ny  nastę pują cemu  zwią zkowi  funkcjonalnemu  dla  naprę ż enia  (6.2)  Г(0  =  blE(t)  + b3E 2(t)  + b2e^\a(0)­—(e­^ t­l)+  Г  схе ~ с*Е (т )й %  l  °2  о   Policzmy  potrzebne  pochodne  dEST'E,  a)  =  bi+2b3E,  8ХЗ Г (Е ,  a)  =  b2,  ( 6 ­ 3 )  д2ЕЗ Г {Е ,  a)  =  2b3,  8EA(E,  a)  =  c t .  Warunek  propagacji  wymaga,  by  (por.  (4.21))  (6.4)  дЕЗ Г 'Е ,  a)  >  0  tzn.  bl+2b3E  >  0  dla  każ dego  E.  Wiemy,  że  odkształcenie  E  może  przyjmować  wartoś ci  z  przedziału  (—1,  oo).  Stą d,  aby  utrzymać  nierówność  (6.4)  potizeba  i  wystarczy,  by  (6.5)  by  >  2b3  0.  Interesuje  nas  oś rodek  nieliniowy,  więc  nie znikają ce  b3:b3  >  0.  Stąd  mamy d\3~(E,  a)  >  >  0,  czyli  przecię cie  powierzchni  &~{E, а ) ­ Г=  0  płaszczyzną  а  =  const  przedstawia  krzywą  wklę słą.  3 6 )  Fakt  znany  z  nieliniowych  r ó w n a ń  hiperbolicznych  [12].  3 7 )  Matematycznie  oznacza  to,  ż e  charakterystyki  u k ł a d u  liniowego  (które  są  krzywymi  Z,  tzn.  fa­ lami  przyspieszenia)  są  j e d n o c z e ś n ie  krzywymi  niecią głoś ci  rozwią zania  (tzn.  falami  p r ę d k o ś ci  Q).  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  121  Niech  (E0, OJ0)  bę dzie  jednorodnym  stanem  równowagi,  tzn.  takim, że  A{E0,   0, to  l i m  a(r)  = 0;  /­•CO  c)  jeś li  |a(0)|  >  | Я 0 |  i  a(0)  < 0, to Iima(r)  =  ­  oo,  gdzie  (68^  / ­  1  l n ( l  X°  \ _  2(b1+2b3E0)  I  b2Cl  / b ^ 2 b ^ \  ( 6 . 8 )  t k =  _ _ l n ^ i _ _ _ |  _  b j i _ _ _ y _ _ j .  P r z y p a d e k  2.  Niech Ł>2̂i  >  0,  wtedy  Я 0 > 0 i  a)  jeś li  a(0)  =  Я 0 ,  to  a(r)  s  a(0);  b)  jeś li  a(0)  <  0,  to lima(r)  = — oo,  gdzie  tk  dane  jest  przez  (6.8);  c)  jeś li  a(0)  > 0 i  a(0)  #  Я 0 , to  b2Ci  ­,  /b1+2b3E0  Po  Widzimy  wyraź nie,  że  ze  wzglę du  na wklę słość  krzywej  naprę ż enie­odkształcenie  wy­ stę powanie  krytycznych  czasów  propagacji  tk  jest  moż liwe  tylko  dla  rozcią gają cych  fal  przyspieszenia.  6.2.  Fala  naprę ż enia  w  materiale  s p r ę ż y s t o ­ I e p k o p l a s t y c z n y m3 8 ) ,  przy  duż ej  prę dkoś ci  odkształcenia.  Rozpatrywany  tutaj  oś rodek  niesprę ż ysty  charakteryzuje  się  nastę pują cym  zachowaniem:  jest  liniowo  sprę ż ysty  do pewnej  wartoś ci  naprę ż enia  / с ,,  powyż ej  której  zachowuje  się   w  sposób  nieodwracalny,  wykazując  mocne  własnoś ci  lepkie.  W  zakresie  trwałych  defor­ macji  (tzn.  dla  174  > kt)  jego  własnoś ci  lepkie  są tak  zróż nicowane,  że  m o ż na  wyróż nić   trzy  obszary  zależ noś ci  prę dkoś ci  odkształcenia  plastycznego  od n a p r ę ż e n i a3 9 ' .  Ponie­ 3 S >  Fale  naprę ż enia  w  takich  o ś r o d k a ch  rozpatrywano  w  [13,  30,  36,  37].  3 9 )  Z fizykalnego  punktu  widzenia  za istnienie  r ó ż n y ch  o b s z a r ó w  są odpowiedzialne  r ó ż ne  mecha­ nizmy  płynię cia  lepkoplastycznego,  np. termicznie  aktywowane  procesy,  s t ł u m i o n y  ruch  dyslokacji na  skutek  l e p k o ś ci  fononowej  czy rozpraszania  f o n o n ó w .  Por.  [22,  28,  35,  37].  122  W .  K O S I Ń S KI  waż  naszym  celem  jest  analiza  fal,  zainteresowanych  fizyczną  stroną  tego  zagadnienia  odsyłam  do  prac  PERZYNY  [35,  37]  i  cytowanej  tam  bogatej  literatury.  Zanim  podamy  pełny  u k ł a d  założ eń  konstytutywnych wprowadzonego  materiału,  przyj­ mijmy  nastę pują ce  oznaczenia:  kl  granica  plastycznoś ci  (przy  prostym  ś cinaniu),  k2  granica  pierwszego  obszaru,  k2>  ky,  k3  granica  drugiego  obszaru,  k3  >  k2,  j  m o d u ł  Younga  materiału,  yx  współczynnik  lepkoś ci  dla  pierwszego  obszaru,  y2  współczynnik  lepkoś ci  dla  drugiego  obszaru,  y 3  sprowadzona  do  ruchu  dyslokacji  prę dkość  d ź w i ę k u 4 0 ' .  Przyjmując  jeden  parametr  wewnę trzny  a  i  utoż samiając  go  z  odkształceniem  trwałym  (lepkoplastycznym)  postulujemy  nastę pują cy  zwią zek  konstytutywny  i  równanie  ewolucji  (por.  [22,  23])  (6.9)  (6.10)  T_  \T\  T  \T\  dla  \T\  <  klt  dla  ki  <  \T\  <  k2,  dla  k2  <  \T\  <  k3,  dla  \T\  >  k3,  gdzie  ­­4('­t)fe­)­tfe­')T'  Dodajmy,  że  graniczna  wartość  k3  odpowiada  prę dkoś ci  odkształcenia  rzę du  1 0 4 s ­ 1 ,  natomiast  y3  jest  rzę du  10 s —106  s ­ ł .  Rozpatrzmy  falę  (prę dkoś ci)  uderzeniową  propagują cą  się  w  tym  o ś r o d ku  w  stanie  niezaburzonym  (równowagi).  Liniowość  zwią zku  (6.9)  sprawia,  że należy  skorzystać  z  rów­ nania  amplitudy  w  postaci  (5.23).  R ó w n a n i e  na  prę dkość  V daje  (6.11)  V  =  / X  Qo  Równanie  zaś  amplitudy,  po  wykorzystaniu  (5.25),  przyjmie  prostą  postać   (6.12)  dE­  1  s  it  т л ( £  , a o ) ­ 4 0 '  Zgodnie  z  [28]  y3  , ­ f ,  gdzie  gm  —  g ę s t o ść  ruchomych  dyslokacji,  b —  wektor  Burgersa,  |V3  с  —  p r ę d k o ść  d ź w i ę ku  w  materiale.  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  123  Zwróć my  uwagę,  że równanie  ewolucji  (6.10)  zostało  podane  w postaci  zależ noś ci od  naprę ż enia.  Skłania  nas to  do  zastą pienia  zmiennej  poszukiwanej  E~  w  (6.12)  naprę ż e­ niem  T~.  Dzię ki  (6.9),  (6.10)  i  (6.12)  m a r n y 4 1 '  0  (6.13)  d\T~  dt  ­ д а ­ ) "  -JYi 2  \  k2  ­JYs  '  ­ 1  2  U i  '  dla  \T~\ <  kl3  dla  kt  ^  \T~\ <  k2,  dla  k2  < \T\­  <  k3,  dla  | Г ­|  >  k3.  Jasne  jest,  że jeś li  chcemy  znać  wpływ  wszystkich  obszarów  na czole  fali  uderzeniowej,  począ tkowy  impuls  \T~(0)]  musi  być wię kszy  od  k3.  Rozwią zując  równanie  (6.13)  dla obszaru  trzeciego  otrzymamy  exp  (6.14)  |Г­(01  =  ­ ­ B i n  exp  iv  = In  ­I г ­(0)1  В   Naprę ż enie  | Г ~ ( / )|  maleje,  więc  istnieje  skoń czony  czas  t0  taki,  że  zostanie  osią gnię ta  graniczna  wartość  k3  \T­(to)\  =  k3.  M o ż na  ten  czas  wyznaczyć   •   (6.15)  2B  ,  t 0  =  —  l n  JYi W  drugim  obszarze  stosujemy  tę samą  procedurę  wyznaczając  | Г ~ ( / )|  oraz  czas  przejś­ cia  granicy  obszaru  k2.  W efekcie  otrzymamy  nastę pują ce  rozwią zanie  (6.13)  na  war­ tość  naprę ż enia  | Г "| na  czole  f a l i :  (6.16) | г ­ ( / )|  =  5 h i + e x p)(u f + ^)­u'­4  k3+  k  Y2  \  kt  1 ­ я   +  g 4 ' ­ ' 1 ) ( « ­ i ) ) 1 ­ n ,  0  < t < t 0, t o^t ^t . t >t . . 4 1 )  U ż y l i ś my  wartoś ci  bezwzglę dnej  naprę ż enia,  g d y ż  chcemy  w  ten  s p o s ó b  j e d n o c z e ś n ie  r o z p a t r z y ć   rozcią gają ce  i  ś ciskają ce  naprę ż enia.  124  W .  K O S I Ń S KI  Zauważ my,  że lim \T  (t)\ = kv,  co oznacza,  że w nieskoń czenie  długim  czasie  osią­ » ­ > 0 0  gniemy  statyczną  granicę  plastycznoś ci  /с,  na czole  fali.  Interesują ce  jest  podanie  szacunkowych  wartoś ci  czasów  przejś cia  poszczególnych  obszarów.  W  [23] podano  obliczenia  dla p r ó b k i  aluminiowej.  Przyjmując  począ tkowy  impuls  o wielkoś ci  | Г " ( 0 )|  =  19,62­  108 d y n / c m 2  otrzymano  r 0  =  l , 0 3 x l 0 ­ 7 s ,  f,  =  3 , 7 0 x l f J ­ 7 s .  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  P. B.  B A I L E Y , P. J .  C H E N , On local and  global behaviour of acceleration  waves,  Arch.  Rat.  Mech.  Anal.,  41  (1971),  121 ­  131.  2.  E . B E C K E R ,  H .  S C H M I T T ,  Die Entschung  von eben,  zylinder und  kugelsymmetrischen  Verdichtungsstdfien  in  relaxierenden  Gasen, Ing. Arch.,  3 6 (1968),  335 ­347.  3.  M . A .  B I O T ,  Theory of stress­strain  relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomena  J .  App. Phys.,  2 5 (1954),  1385 ­  1391.  4.  R. M .  B O W E N ,  Thermochemistry  of reacting materials, J . Chem.  Phys.,  4 9 (1968),  1625­1637,  Erra­ tum,  ibid.,  5 0 (1969), 4601.  5.  R. M .  B O W E N ,  P. J .  C H E N ,  A  note  on shock waves  in fluids  with  internal state  variables, Arch.  Mech.,  2 5  (.1973),  702­708.  6.  W. B O R O E R ,  Zur  Entschung  von  Verdichtungsstdfien  in  Gasen  mit  thermodynamischer  Relaxation,  Z .  Angew.  Math.  Mech.,  4 6 (1966),  149­ 151, T  187­  189.  7.  P. J .  C H E N ,  Growth and decay of  waves  in solids,  Handbuch  der Physik,  VI a/3,  Springer  Verlag,  1973,  303­402.  8.  P. J .  C H E N ,  M .  E .  G U R T I N ,  Growth of one­dimensional shock waves  in fluids  with  internal state  variab­ les, Phys.  Fluids,  14 (1971),  1091 ­  1094.  9.  B. D .  C O L E M A N ,  M .  E .  G U R T I N ,  Thermodynamisc with internal state  variables, J . Chem.  Phys., 4 7  (1967),  597­613.  10.  B. D .  C O L E M A N ,  M .  E .  G U R T I N ,  Growth and decay of discontinuities  in fluids  with  internal  state  var­ iables, Phys.  Fluids,  1 0 (1967),  1454­  1458.  11.  B. D .  C O L E M A N ,  M . E . G U R T I N ,  I.  H E R R E R A ,  R.  С .  T R U E S D E L L ,  Wave  propagation in  dissipative  ma­ terials, Springer  Verlag, 1965.  12.  A . J E F F R E Y , T .  T A N I U T I ,  Non­linear wave  propagation, Academic  Press, 1964.  13.  J .  K L E P A C Z K O ,  Doś wiadczalne  badania sprę ż ysto­plastycznych  procesów  falowych  w  metalach, Prace  IPPT,  61/1970.  14.  W .  K O S I Ń S K I,  Acceleration waves  in a  material with internal variables, Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Ser.  Sci.  Techn.,  2 2 (1974),  423  [655].  15.  W. K O S I Ń S K I,  On  the global behaviour of one­dimensional acceleration  waves in a material with  internal  variables, Arch.  Mech.,  2 7 (1975),  231  ­243.  16.  W. K O S I Ń S K I,  Behaviour  of  the  acceleration  and shock waves  in materials with  internal state  variables,  Int.  J . Non­Linear  Mech.,  9  (1974),  481  ­499.  17.  W. K O S I Ń S K I,  Shock wave propagation  in materials with  internal  variables.  I. Basic theorem  and ampli­ tude equation in a  material with  linear elastic response,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci., Ser. Sci. Techn., 2 2  (1974) ,  507 [839].  18.  W . K O S I Ń S K I,  One­dimensional  shock  waves  in solids with internal state variables, Arch.  Mech., 2 7  (1975) ,  445­458.  19.  W. K O S I Ń S K I,  On shock  wave  propagation in a  material  with internal variables, Proc.  Vibr.  Probl.,  IS  (1974),  206­215.  20.  W. K O S I Ń S K I,  P.  P E R Z Y N A , Analysis of acceleration  waves  in materials with  internal parameters,  Arch.  Mech.,  2 4 (1972),  629­643;  także  Prace  IPPT  59/1971.  A N A L I Z A  J E D N O W Y M I A R O W Y C H  F A L  125  2 1 .  W .  K O S I Ń S K I,  P.  P E R Z Y N A ,  The unique  material  structures,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci., Ser. Sci. Techn.  21  (1973),  655  [1025].  2 2 .  W .  K O S I Ń S K I,  К . S Z M I T ,  Stress  wave  in an elastic viscoplastic  body at high strain rates, J . Tech.  Phys.  (dawn.  Proc.  Vibr.  Probl.),  1 6  (1975)  43  ­ 5 6 .  2 3 .  W .  K O S I Ń S K I,  К .  S Z M I T ,  Shock  wave  propagation  in materials with  internal variables. II. Stress  wave  in  one dimensional  elastic viscoplastic body,  Bull. Acad.  Polon. Sci., Ser. Sci. Techn., 2 3  (1975),  57  [111].  2 4 .  W .  K O S I Ń S K I,  W .  W O J N O ,  Remarks on internal variable and history descriptions of material,  Arch.  Mech.,  2 5  (1973),  7 0 9 ­ 7 1 5 .  25.  J .  K R A T O C H V I L ,  D . W.  D I L L O N ,  Thermodynamics  of elastic­plastic  material as a theory with  internal  state variables, J . Appl.  Phys.,  4 0  (1969),  3 2 0 7 ­ 3 2 1 8 .  26.  J . K R A T O C H V I L ,  Finite­strain theory  of inelastic behaviour  of crystalline solids, Foundations  of Plasti­ city,  (Warsaw  1972),  ed. A .  S A W C Z U K ,  Noordhoff  International  Publishing,  Leydtn  1973, 401  ­ 4 1 5 .  2 7 .  P.  M A Z I L U ,  W.  K O S I Ń S K I,  On materials with  parametrical memory,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci., Ser.  Sci.  Techn.  21  (1973),  3 7 9  [561].  28.  F . R. N .  N A B A R R O ,  Theory of crystal dislocations,  Oxford  Univ.  Press, London 1967.  29.  W .  N O L L ,  A new mathematical  theory of simple materials, Arch.  Rat.  Mech. Anal.,  4 8  (1972),  1 ­  50.  30.  W. K .  N O W A C K I ,  Zagadnienia falowe w teorii plastycznoś ci,  P W N 1974.  31.  A . S.  N O W I C K ,  B. S.  B E R R Y ,  Anelastic relaxation in crystalline solids, Academic  Press,  1972.  32.  P.  P E R Z Y N A ,  Thermodynamics  of rheological materials  with internal changes, Jour.  M e c ,  1 0  (1971),  391  ­  4 0 8 .  33.  P.  P E R Z Y N A ,  Internal variable description of plasticity,  Problems of Plasticity,  (Warsaw  1972), ed.  A .  S A W C Z U K ,  Noordhoff  International  Publishing,  Leyden  1974, 1 4 5 ­  170.  34.  P.  P E R Z Y N A ,  On material  isomorphism in description of dynamic plasticity,  Arch.  Mech., 2 7  (1975),  473  ­  484.  35.  P.  P E R Z Y N A ,  The constitutive  equations describing thermomechanical  behaviour of  materials at high  rates of strain, Proc.  Conf.  Behav.  Materials at High Rates of Strain, Oxford, Institute of Physics  Conf.  Ser.  2 1 ,  (1974),  1 3 8 ­ 153.  36.  P.  P E R Z Y N A ,  J .  B E J D A ,  The propagation of stress  waves  in a rate sensitive  and work­hardening plastic  medium, Arch.  Mach.  Stos.,  1 6  (1964),  1 2 1 5 ­  1244.  3 7 .  P.  P E R Z Y N A ,  J .  K L E P A C Z K O ,  J .  B E J D A ,  W. K .  N O W A C K I ,  Т .  W I E R Z B I C K I ,  Zastosowania  lepkoplas­ tycznoś ci,  Ossolineum,  1971.  38.  P.  P E R Z Y N A ,  W.  K O S I Ń S K I,  A  mathematical theory of  materials,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci., Ser.  Sci.  Techn.,  21  (1973),  6 4 7  [1017].  39.  P.  P E R Z Y N A ,  W.  W O J N O ,  Thermodynamics  of rate sensitive  plastic  material,  Arch.  Mech.  Stos.,  2 0  (1968)  4 9 9 ­ 5 1 1 .  4 0 .  К . W .  S C H U L E R ,  J .  N U N Z I A T O ,  E .  K . W A L S H ,  Recent  results  in non­linear  viscoelastic  wave propagation,  Int.  J . Solids  Struct.,  9  (1973),  1 2 3 7 ­  1281.  4 1 .  C .  T R U E S D E L L ,  R. A . T O U P I N ,  The  classical field  theories,  Handbuch der Physik  H I / 1 , Springer Verlag,  1960,  2 2 6 ­ 7 9 3 .  4 2 .  К . C .  V A L A N I S ,  Unified theory  of thermomechanical  behaviour  of viscoelastic  materials, Symp.  Mech.  Behav.  Mater.  Dyn. Loads  (1967),  Springer  Verlag,  1968,  343 ­  364.  4 3 .  К . C .  V A L A N I S ,  A  theory of viscoplasticity  without a yield surface,  Arch.  Mech., 2 3 (1971),  517 ­  551.  Р е з ю ме   А Н А Л ИЗ  О Д Н О М Е Р Н ЫХ  У Д А Р Н ЫХ  В О ЛН  И  В О ЛН  У С К О Р Е Н ИЯ   В  Н Е У П Р У Г ОЙ  С Р Е ДЕ   В  р а б о те  и с п о л ь з о в а на  м о д е ль  н е у п р у г ой  ( д и с с и п а т и в п о й)  с р е д ы,  к о т о р ая  о п и с ы в а е т ся  ч е р ез   д е ф о р м а ц ию  и к о н е ч н ое  ч и с ло  д о п о л н и т е л ь н ых  в е л и ч и н,  н а з ы в а е м ых  в н у т р е н н и ми  п е р е м е н н ы ми   с о с т о я н ия  ( и ли  в н у т р е н н и ми  п а р а м е т р а м и ).  П у т ем  с о о т в е т с т в у ю щ е го  п о д б о ра  в н у т р е н н их  п а р а­ м е т р ов  м о ж но  у с п е ш но  п р и м е н и ть  э ту м о д е ль  к о п и с а н ию  с т а р е ю щ их  в я з к о ­ у п р у г их  и ли  у п р у г о­ 126  W.  K O S I Ń S KI  в я з к о ­ п л а с т и ч н ых  м а т е р и а л о в.  П од в о л н а ми  в  р а б о те  п о д р а з у м е в а ю т ся  н е к о т о р ые  к р и в ые  в  ф а з о­ в ом  п р о с т р а н с т ве  X—/,  на к о т о р ых  и м е ют  м е с то  р а з р ы вы  в е л и ч и н,  о п и с ы в а ю щ их  с о с т о я н ие  с р е ды   ( и ли  р а з р ы вы  п р о и з в о д н ых  э т их  в е л и ч и н ).  П о л у ч е ны  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  у р а в н е н и я,  о п и с ы в а­ ю щ ие  и з м е н е н ие  п о  в р е м е ни  а м п л и т уд  у д а р н ых  в о лн  и  в о лн  у с к о р е н и я.  О б н а р у ж е но  с у щ е с т в о­ в а н ие  « к р и т и ч е с к и х»  а м п л и т у д.  С ф о р м у л и р о в а ны  в ы в о д ы,  к а с а ю щ и е ся  л о к а л ь н о го  и  г л о б а л ь н о го   п о  в р е м е ни  п о в е д е н ия  а м п л и т у д.  П р е д л а г а е м ый  м е т од  а н а л и за  п р и м е н ен  к  и с с л е д о в а н ию  р а с п р о­ с т р а н е н ия  в о лн  в  н е л и н е й н ом  в я з к о ­ у п р у г ом  и  у п р у г о ­ в я з к о ­ п л а с т и ч н ом  м а т е р и а л а х.  S u m m a r y  A N A L Y S I S  O F  O N E ­ D I M E N S I O N A L  S H O C K  A N D  A C C E L E R A T I O N  W A V E S  I N  I N E L A S T I C  M E D I U M  The  model  of  the  inelastic  (dissipative)  continuous  media  assumed  in  the  paper  is  described  by  the  strain  and  by  the  finite  set  of  additional  variables,  called  the  internal state  variables  or  internal parame­ ters.  After  appropriate  specification  of  internal  variables  the model may be used  to describtion  viscoelastic,  ageing  or  elastic­viscoplastic  materials.  In  the  paper  the  waves  are  understood  as  some  special  curves  in  the  phase  space  X­I,  on  which  the  variables  describing  the  behaviour  of  the  medium,  or  their deriva­ tives,  suffer  jump  discontinuities.  The  explicit  expressions  for  the  change  in  the  amplitudes  of  accelera­ tion  and  shock  waves  arc  derived.  These  expressions  established  the  existence  of  «critical»  amplitudes.  The  propositions  on  the  local and global  (in  time)  behaviour of  the  amplitudes  are formulated. The above  analysis  is  applied  to  the  wave  propagation  in  non­linear  viscoelastic  and  elastic­viscoplastic  materials.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M У W  T E C H N I K I  P A N  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 5  marca  1975  r