Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  S T E R O W A N A  D Y S K R E T Y Z A C J Ą  P Ł Y T  I  P O W Ł O K  WIESŁAW  K U F E L  (WARSZAWA)  Przedmiotem  rozważ ań  są  piyty  i  powłoki  poddane  dyskretyzacji  rozumianej  jako  umowne  narzucanie  na ich  ruch  wię zów  szczególnego  typu,  niezależ nie  od sił masowych,  powierzchniowych  czy  od  rozkładu  masy  [1].  Wprowadzając  w  zbiorze  dyskretyzacji  płyt  i  powłok  relację  równoważ noś ci  oraz  wykorzystując  powstają ce  w  wyniku  działania  wię zów  siły  reakcji,  uzyskuje  się moż liwość  oceny,  k t ó r a  z  przeprowadzonych  dyskrety­ zacji  jest  lepsza,  tj.  przy  której  dyskretyzacji  otrzymane  rozwią zanie  zagadnienia  brzego­ wego jest  dokładniejsze  w stosunku  do nieznanego  rozwią zania  «wzorcowego».  Wybieranie  lepszych  z  punktu  widzenia  tego  rozwią zania  dyskretyzacji  ciała  nazywamy  sterowaniem  dyskretyzacją .  W  pracy  opisuje  się sposób  sterowania  dyskretyzacją  płyt  i  powłok,  podaje  kryterium  szacują ce  wiarygodność  otrzymanego  rozwią zania  oraz  formułuje  zagadnienie  sterowania  optymalnego.  •  Wykaz  oznaczeń   W  pierwszej  czę ś ci  wykazu  umieszczono  oznaczenia  znanych  pojęć  matematycznych,  ich objaś nienie  m o ż na  z n a l e ź ć  np.  w  [7].  8 A  brzeg  zbioru  А ,  п р. 8П ,  At  '<=  В  A jest  podzbiorem  B, A jest zawarte w B,  AxB  iloczyn  kartezjań ski  z b i o r ó w  A  i  B,  A  d o m k n i ę c ie  zbioru  A,  np.  BR,  {a}  z b i ó r  jednopunktowy,  np.  {f0}.  0  z b i ó r  pusty,  / U  Ac  suma  z b i o r ó w  A^Az^J  ...  CIAI,  piszemy  także  [_) Ac,  jeż eli  wiadomo,  c*= 1  с   jaki  z b i ó r  i n d e k s ó w  przebiega  c,  np.  \^JIIC,  A  =  {у ;  Щ у )}  z b i ó r  tych  y,  k t ó r e  mają  w ł a s n o ś ć  W, np.  Q0  =  {Z;  Z  e  l_J i a u  KJ  Zi)  a  i  z b i ó r  tych  p u n k t ó w  powierzchni  ś r o d k o w e j,  k t ó r e  należą  do  sumy  linii  i  p u n k t ó w  p o d z i a ł u ,  h, g  homeomorfizmy,  20  W .  KUFEL  g~l  homeomorfizm  odwrotny  do  g,  fii  X  ii2  relacja  r ó w n o w a ż n o ś c i,  | | f i | |  klasa  abstrakcji  relacji  r ó w n o w a ż n o ś c i,  ||(r,  s)|  I  norma  w  przestrzeni  funkcyjnej  (r,  s),  f/i  =  fix  o b c i ę c ie  funkcji  f  do  zbioru  A,  Ek  przestrzeń  euklidesowa  /c­wymiarowa.  W  drugiej  czę ś ci  znajdują  się  objaś nienia  pojęć  mechaniki  o ś r o d k ów  c i ą g ł y ch  z  w i ę z a mi  oraz  dyskre­ tyzowanych  p o w ł o k  s p r ę ż y s t y c h:  BR  obszar  w  przestrzeni  fizycznej  z  u k ł a d e m  w s p ó ł r z ę d n y ch  (Xk),  к  =  1,  2,  3,  do  k t ó r e g o  należą  punkty  X  —• konfiguracja  odniesienia  p o w ł o k i  —  p o w ł o k a ,  77  rzut ortogonalny  BR  na p ł a s z c z y z n ę  OX xX2,  do  k t ó r e g o  należą  punkty Z  — po­ wierzchnia  ś r o d k o wa  p o w ł o k i  BR,  F  przedział  otwarty  ( — h,  Ii)  w  zbiorze  liczb  rzeczywistych,  do  k t ó r e g o  należą   punkty  y,  7  przedział  czasu,  2h  g r u b o ś ć  p o w ł o k i  w  konfiguracji  odniesienia,  V  gradient  w  BR,  *  V  gradient  w  77,  div  diwergencja  w  BR,  n  wektor  zewnę trznie  normalny  do  8BR,  n  wektor  zewnę trznie  normalny  do  8П ,  X  funkcja  deformacji,  H ,  h;  H,­, h;  u o g ó l n i o n e  siły  w e w n ę t r z ne  zależ ne  odpowiednio  od  Z,  t,  ф  oraz  /, q,  f;  fj,  F;  u o g ó l n i o n e  siły  z e w n ę t r z ne  zależ ne  odpowiednio  od  Z,  t,  ф  oraz  t,  q,  Ьд  siła  masowa  zależ na  od  X,  t,  PR  o b c i ą ż e n ia  powierzchniowe  zależ ne  od  Xe8BR,t,  к  energia  kinetyczna,  a  energia  sprę ż ysta,  e  u o g ó l n i o n a  energia  sprę ż ysta,  SR  g ę s t o ść  masy  odniesienia  do  konfiguracji  p o c z ą t k o w e j,  X  m n o ż n i ki  Lagrange'a  o k r e ś l o ne  w  zbiorze  77x7,  (i  m n o ż n i ki  Lagrange'a  o k r e ś l o ne  w  zbiorze  8П  x 7,  ф  w s p ó ł r z ę d ne  u o g ó l n i o n e  zależ ne  od  Z,  t,  q  w s p ó ł r z ę d ne  u o g ó l n i o n e  z a l e ż ne  od  / ,  Ф  wię zy  n a ł o ż o ne  na  deformację  — znana  funkcja  a r g u m e n t ó w  Z,t,V,  3  wię zy  w t ó r n e  — znana  funkcja  r, q,  r,  r 0  masowe  siły  reakcji  zależ ne  odpowiednio  od  X,  t  i  Z,  t,  SR,  SR  powierzchniowe  siły  reakcji  zależ ne  odpowiednio  od  X,  t  oraz  Z,  t,  UR  siły  reakcji  p o d p ó r ,  Sd  kontaktowe  siły  reakcji  zaież ne  od  Z,  t,  77c  płaskie  elementy  s k o ń c z o ne  p o w ł o k i  BR,  BC  elementy  s k o ń c z o n e,  L„  linie  p o d z i a ł u  powierzchni  ś r o d k o w ej  na  płaskie  elementy  s k o ń c z o ne  77c,  {Z,}  punkty p o d z i a ł u  powierzchni  ś r o d k o w e j,  D  p o d z b i ó r  fi0  p u n k t ó w  ł ą c z ą c y ch  elementy  s k o ń c z o ne  —  z b i ó r  p u n k t ó w  w ę ­ z ł o w y c h ,  D0,Q  siatki  p o d z i a ł u  powierzchni  ś r o d k o w e j,  &  dziedzina  sterowania  —  z b i ó r  siatek  p o d z i a ł u  fi,  0  dopuszczalny  z b i ó r  s t e r o w a ń ,  V  f u n k c j o n a ł  celu  zależ ny  od  wektora  w s p ó ł r z ę d n y ch  q  oraz  siatek  fi.  STEROWANA DYSKRETYZACJĄ PŁYT I POWŁOK  21  1.  W s t ę p  Teorią  płyt  i  powłok  nazywamy  zwykle  mechanikę  cienkiej  płytowej  lub  powłokowej  formy  konstrukcyjnej,  wyraż oną  w kategoriach  odniesionych  do  pewnej powierzchni,  tzw.  powierzchni  ś rodkowej.  Powierzchniowe  teorie  płyt  i powłok  mają  długą  historię; w  litera­ turze  przedmiotu  znaleźć  m o ż na  wiele  ich  sformułowań  [2].  Przedmiotem  rozważ ań  w tej  pracy  bę dzie  płyta  lub p o w ł o k a  traktowana  jako  t r ó j ­ wymiarowe  ciało  z wewnę trznymi  wię zami.  Przedstawimy  p o k r ó t c e  podstawowe  założ enia  i  r ó w n a n i a  takiej  teorii.  Niech  bę dzie  dana  forma  powłokowa,  k t ó r a  da się w dany  sposób  odwzorować  w  ob­ szar  przestrzeni  fizycznej  zawarty  pomię dzy  płaszczyznami  X3  =  + h  oraz  ograniczony  powierzchnią  walcową  normaln ą  do płaszczyzny  OXlX2.  Obszar ten  oznaczymy  przez  BR,  jego  rzut  ortogonalny  na płaszczyznę  О ХгХ2  oznaczymy  przez П ,  a dowolny  punkt  na/7  oznaczymy  przez  Z  =  (X1, X2).  Oznaczenia  stosowane  w pracy  wzorowane  są na mono­ grafii  [8]. W dalszym  cią gu  uż ywać  bę dziemy  wyłą cznie  okreś lenia  «powłoka»,  traktując  płytę  jako  szczególny  przypadek  powłoki.  Niech  dalej  ruch  powłoki  x(x>  О,  X =  (Z,X3),  Zen,  X3e(­h,h),  teł  bę dzie  ograniczony  w  dany  z  góry  sposób.  Ograniczenia  te  nazwiemy  wię zami.  R o z p a t r y w a ć   bę dziemy  tylko  wię zy  narzucone na ruch  ciała  (na  jego  funkcję  deformacji).  Zgodnie  z [3]  rozważ ać  bę dziemy  dwa  rodzaje  wię zów:  1.  Wię zy  graniczne  (brzegowe)  sprowadzają ce  się  zwykle  do dobrze  znanych  w  teorii  sprę ż ystoś ci  w a r u n k ó w  począ tkowych  oraz  do  tzw.  przemieszczeniowych  w a r u n k ó w  brzegowych w postaci:  (1­1)  a J Z , t ,  ф ГД  *)]  =  0,  Zedn,  teł,  Q  =  1,2,  ...,s.  2.  Wię zy  wewnę trzne,  wyraż ają ce  pewne  przyję te  a  priori  hipotezy  kinematyczne,  których  celem jest  uproszczenie  kinematyki,  a w  konsekwencji  i całej  dynamiki  rozważ anej  powłoki  ( 1 2 )  X ( X , 0  =(г ).  R ó w n a n i a  (1.2) 2 ,  (1.3),  (1.5),  (1.7)  opisują  każ dą  dwuwymiarową  teorię  powłok  jako  teorię  ciała  z  wewnę trznymi  wię zami.  •  •  2.  Powłoki  dyskretyzowanc  Rozpatrzmy  pewien  dany  rozkład  powierzchni  ś rodkowej  77  na  rozłą czne  obszary  77,.,  с  —  1,  2,  /  takie,  by  77  =  U77<;.  Rozkład  regularnego  obszaru  77  na  regularne  pod­ c = l  obszary  Пс,  tj.  płaty  ograniczone  skoń czoną  liczbą  łuków,  spowodowany  może  być  róż­ STEROWANA DYSKRETYZACJA PŁYT I POWŁOK  23  nymi  wzglę dami,  np.  własnoś ciami  budowy  powłoki,  ale  także  potrzebami  przyję tej  teorii,  w  ramach  której badane jest ciało. Niech  każ dy  p ł a t / 7 c  ograniczony jest n  =  n{c) łukami  L k c,  gdzie к  m  1 , 2 ,  . . . ,  k0,  które  nazwiemy liniami podziału  powierzchni П .  Oznaczmy przez  Z '  —  —  к  (к  —1)  punkty  L * n L Ć ,  к  <  l  i  r  =  1, 2,  r0,  gdzie  r0  <  —  —|  bę dą ce  punktami  podzia­ łu  П .  Iloczyny  kartezjań skie  Bc  = Пс  x F  oraz  Пс  nazwiemy  odpowiednio  elementami  skoń­ czonymi  i  płaskimi  elementami  skoń czonymi  powłoki  BR.  W p r o w a d ź my  dla  wygody  rachunkowej  (w  szczególnoś ci  obliczeń  numerycznych)  glo­ balną  numerację  wszystkich  linii  i  p u n k t ó w  podziału.  I  tak  L„,  a  =  1,  2 , A  oznaczają   wszystkie  linie, a  Zui  =  1,2,  /wszystkie punkty  podziału  powierzchni/7. Spełnione  są   oczywiś cie  zwią zki  Lar\Lb  =  0 ,  а  ф  b  oraz  { Z j n  {Z,}  = 0 ,  i  ф j.  Linie  La  i  punkty  Zt  podziału  charakteryzują  element  skoń czony  Bc  powłoki  BR.  Z b i ó r  Q0  okreś lony  w  nastę pują cy  sposób  (2.1)  .  Q0  =  {Z;Ze\jLau  U  Z j  a  i  nazwiemy  siatką  podziału  powierzchni  ś rodkowej  П ,  a  tym  samym  całej  powłoki  BR.  W  kontinuum  materialnym  rzeczywista  liczba  p u n k t ó w  łą czą cych  elementy  skoń czone  jest  nieograniczona.  W  wielu  teoriach  czy metodach  obliczeń  numerycznych  (np.  metodzie  elementów  skoń czonych)  przyjmuje  się, że elementy  Bc  połą czone  są  ze  sobą  w  skoń czonej  liczbie  p u n k t ó w  wę złowych,  w których  zakłada  się istnienie  sił skupionych  reprezentują cych  naprę ż enia  rzeczywiste  działają ce  kontynualnie  na  granicach  elementów.  Analityczny  opis  połą czeń  elementów  skoń czonych  sprowadza  się, w przypadku  wię zów  narzuconych  na  de­ formację,  do  ż ą dania  cią głoś ci  lub  także  gładkoś ci  funkcji  deformacji  w  odpowiednim  zbiorze  p u n k t ó w  należ ą cych  do  siatki  podziału  ciała.  W  pozostałych  punktach  siatki  może  wystą pić  nie  tylko  niecią głość  pierwszych  pochodnych  funkcji  deformacji,  lecz  także  nie­ cią głość  samych  deformacji;  nie  mamy  wtedy  do  czynienia  z  oś rodkiem  cią głym.  Traktuje­ my  więc  poszczególne  elementy  skoń czone  jako  oddzielne  ciała  z  wię zami  (1.2).  W  przypadku  powłoki  wprowadzamy  wię zy  wtórne,  nakładają ce  ograniczenia  na  współ­ rzę dne  uogólnione  4»(Z, t)  w  postaci  (2.2)  <|>(Z,0  = S c ( Z , , , q , ( f ) ) ,  Zellc,  teł,  gdzie q(0  jest wektorem  nowych współrzę dnych  uogólnionych  (już niezależ nych  od  Z  e / J ) .  Wię zy  (2.2)  powinny być zgodne  z warunkami  brzegowymi  (1.1)  oraz  z zależ noś ciami  (1.2)2  mię dzy  współrzę dnymi  uogólnionymi  «4'(Z,  t).  Podstawiając  prawe  strony  (2.2)  do  (1.2)x  otrzymamy  (2­3)  X ( X , 0  =&[Z,X\t,Z.c{Z,t,ą ,  (t)],  X 3  e  F,  teł,  Z  е Пс.  Oznaczając  przez  D  a.  Q0  zbiór  p u n k t ó w  łą czą cych  elementy  skoń czone Пс  założ ymy,  że  równania  wię zów  (2.3)  powinny  ponadto  spełniać  zwią zki  (2­4)  E c [ Z , ; , q ( 0 ]  =Ed[Z,t,ą (t)],  Zell^n.nD,  które  uzależ nione  są  od  siatki  podziału  Q0.  24  W .  KUFEL  Przyję cie  wię zów  postaci  (2.3),  (2.4),  a  tym  samym  okreś lenie  siatki  podziału  Q0  i  jej  podzbioru  D  nazywamy dyskretyzacją  powłoki,  a  powłokę  z wię zami  (2.3)  i  (2.4)  nazywamy  powłoką  dyskretyzowaną.  W  definicji  dyskretyzacji  ciała  tkwi  więc  okreś lenie  podzbioru  D  siatki  podziału  Q0  oraz  ustalenie  wię zów  (2.3).  W  metodzie  elementów  skoń czonych  przyjmuje  się  zwykle  za  funkcje  Ф  wielomiany  ustalonego  stopnia,  a  za  В  dyskretny  zbiór  p u n k t ó w .  Niech  h jest  homeomorfizmem  h :П  ­*  П .  Okreś lmy  teraz  homeomorfizmy  g  w  nastę­ pują cy  s p o s ó b :  (2.5)  g:Q0  ­»  i3<=77Ag(Z)  =  h(Z),  ZeQ0.  Homeomorfizm  g  jest  więc  obcię ciem  homeomorfizmu  h  do  siatki  Q0.  Zbiór  Q  jest  także  siatką  podziału  powłoki  BR,  k t ó r a  ma  tę  samą  liczbę  łuków  i  p u n k t ó w  podziału  co  siatka  Q0.  Wynika  to  natychmiast  z  własnoś ci  homeomorfizmów .  Także  odwrotnie,  k a ż da  siatka  Q  opisują ca  dyskretyzację  powłoki  BR  tą  samą  liczbą  łuków  i  p u n k t ó w  (a  tym  samym  tą  samą  liczbą  elementów  skoń czonych)  jest  obrazem  siatki  Q0,  tzn.  istnieje  homeomorfizm  g  taki,  że  g_1(Q)  — O0.  Jest  oczywiste,  że  U ? ( Ą )  =  ^ к ­ 8  D l a  wielu  zagadnień  brzegowych  zbiór  D  przyjmuje  się  jako  dyskretny  zbiór  p u n k t ó w  Z ( ,  i  =  1,2,  tym  samym  powią zanie  elementów  skoń czonych  w  tym  zbiorze  za­ pewnia  wystarczają cą  aproksymację  ruchu  rzeczywistego.  W  istocie,  w  takim  przypadku  (dyskretyzacji  okreś lonej  na  zbiorze  p u n k t ó w  —  dyskretyzacji  punktowej)  mamy  do  czynienia  nie  z jednym  podziałem  ciała,  ale  z  całą  klasą  podziałów,  które  okazują  się  klasą   abstrakcji  nastę pują cej  relacji  równoważ noś ci:  (2.6)  (Q1  «  Q2)  o  [gl(Z,)  =  g2(Zt)  A  g i  (Q0)  ­  fi,,  g2&o)  =  A J •   Relacja  (2.6)  jest  zwrotna,  symetryczna  i  przechodnia  jest  więc  relacją  r ó w n o w a ż ­ noś ci.  D l a  klasy  abstrakcji  \\Q\\  relacji  równoważ noś ci  (2.6)  wygodne jest  dokonanie  wyboru  reprezentanta  Q  w  nastę pują cy  s p o s ó b :  niech  D  =  g{O0)  i  obrazy  łuków  La  są  odcinkami.  W  szczególnoś ci,  gdy  dyskretyzacją  Q jest triangulacją  powierzchni  ś rodkowej, tj.  podziałem  na  trójką tne  płaskie  elementy  skoń czone,  reprezentantem  mogą  być  wprost  Q.  W  przypadku  dyskretyzacji  punktowej  równania  wię zów  (2.2)  przepiszemy  w  postaci  (2.7)  «1»(Z, 0  =  S C ( Z ,  t,  q(0),  Zen,  te  I,  gdzie  za  współrzę dne  uogólnione  q(r)  przyję to  wartoś ci  funkcji  d>(Z,  f)  w  punktach  zbioru  W;  (2.8)  q(0  =  { Ф ( г1 , о , . . . , Ф ( г/ , о ,  vu>(z1,o,...,vu>(z/,o}.  Korzystając  z  (2.8),  r ó w n a n i a  ruchu  [równania  na  funkcje  q(r)]  napiszemy  w  postaci:  d  д к  dk  h i + f i  =  л ""а х 7~^х Т'  ( 2 ' 9 )  H + F  ­  d  8 k  д к  / ­ 1 2  i  gdzie  oznaczono  Ъ  =  X ( Z , X 3,  t),  Г,  =  Vx< ( Z „  X3,  t).  STEROWANA DYSKRETYZACJA PŁYT I POWŁOK  25  R ó w n a n i a  konstytutywne  sprowadzą  się  teraz  do  (2.10)  gdzie  funkcja  energii  odkształcenia  jest  okreś lona  przez  (1.4) 3 ,  a  współrzę dne  uogólnione  q(f)  są  niezależ ne.  Energia  kinetyczna  к jest  zdefiniowana  przez  (1.4) 2 ,  a  obcią ż enia  f;  i  F,­ zgodnie  z  (1.4)i  bę dą   а д Ф  Г  8Ф  \  QRbR^­dvR  +  j  V R ~ d a R ,  ' ­ 2  (2  11)  '  ' J ( <  ' " A ­ ' 1 1 . ­ dBR<­>dBc  Funkcje  podcałkowe  w  (2.11)  są  znanymi  funkcjami  argumentu  XeBc,  gdyż  p o s t a ć   funkcji  Ф  w  równaniach  wię zów  jest  znana,  tym  samym  odpowiednie  całki  po  dowolnym  elemencie  skoń czonym  mogą  być  obliczone.  Po  rozwią zaniu  zagadnienia  począ tkowego  dla u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.10), tj. po wyznaczeniu  współrzę dnych  uogólnionych  q(r)  moż emy  otrzymać  z a r ó w n o  funkcję  deformacji  x(X,  t)  całego  ciała  (lub spójnego  zbioru  ciał, gdy nie zachodzi warunek  (2.4)), jak  i wektor  *J>(Z, r).  W y n i k a  to  od  razu  z  (2.2).  3.  Ocena  dokładnoś ci  rozwią zań   Siły  reakcji  powstałe  w  wyniku  działania  założ onych  a  priori  wię zów  wewnę trznych  (1.2)x  są  pewnymi  «fikcyjnymi»  obcią ż eniami,  które  należ ałoby  dodatkowo  przyłoż yć   do  ciała,  by  odkształcało  się zgodnie  z  wię zami.  Znaczy to,  że  po  rozwią zaniu  zagadnienia  począ tkowego  (1.3)  dla niewiadomych <\>(Z,  t),  obliczeniu  ze  zwią zków  (1.2),  całego  ruchu  ciała,  wyznaczeniu  tensora  ekstra  naprę ż enia  Pioli­Kirchhoffa  TR  =  r\R(X,  V X )  (gdzie  %  jest  funkcją  konstytutywną  materiału  powłoki),  siły  reakcji  moż emy  wyznaczyć  z  nastę pu­ ją cych  zwią zków  [1]:  ,„„• ,,  QRr  =  QRx­divTR­QRbR,  w  BRxI,  (3.1)  SR  =  Т я П л ­ р я,  na  dBRxI.  Powierzchniowe  siły  reakcji  wywołane  są  z a r ó w n o  wię zami  wewnę trznymi,  jak  i  podpar­ ciem  brzegu  powłoki.  Oznaczając  te  ostatnie  przez  u R  i  przyjmują c,  że potrafimy  je  nieza­ leż nie  wyznaczyć  (np. w zagadnieniach  statycznie  wyznaczalnych), otrzymamy  siły  reakcji r,  sK—Ur  wywołane  tylko  wię zami  wewnę trznymi.  G d y wię zy  wewnę trzne  wyraż ają  wyłą cznie  Wprowadzone  a priori  hipotezy  kinematyczne  upraszczają ce  matematyczny  opis  problemu  (a  nie  np.  własnoś ci  materiałowe  w  rodzaju  nieś ciś liwoś ci),  to  ocenę  bliskoś ci  otrzymanego  rozwią zania  «modelowego»  i nieznanego  rozwią zania  ś cisłego, tj.  rozwią zania  jakie  uzyska­ no  by  w  ramach  teorii  sprę ż ystoś ci,  m o ż na  przeprowadzić  korzystając  z nastę pują cego  kry­ terium  szacują cego  0­2)  П ( г, 8 л ­ и к ) | |  =  е ( Ь * , р « + 1 1л ) | | ,  2 6  gdzie  ||(  •,  oznacza  n o r m ę  w przestrzeni  funkcyjnej,  której  elementami  są  pary  utworzo­ ne  z gę stoś ci  sił  masowych i powierzchniowych  działają cych  na  ciało  oraz  e jest  dodatnią   liczbą  małą  wobec jednoś ci.  Wystę pują ca  w  (3.2)  norma  nie  jest  okreś lona  jednoznacznie,  lecz  sposób jej  wprowadzenia  zależy  czę sto  od  charakteru  problemu  brzegowego.  Niektóre  przykłady  norm  | | ( ­ ,  ­)||  przedstawiono  w  [4].  Jeż eli  warunek  (3.2)  nie  jest  spełniony,  tj. gdy  układ  sił  reakcji  utrzymują cych  wię zy  (1.2)i  nie  jest  pomijalnie  mały  wobec  u k ł a d u  sił  działają cych  na ciało,  to  rozwią zanie  «modelują ce»  nie stanowi  rozwią zania  problemu  fizycznego.  Analiza  tak postawionego  problemu  prowadzi  do oceny,  czy  przyję ta  (przez  wię zy  (1.2)^  teoria  powłok  może  być  stosowana  do rozwią zywanego  problemu  fizycznego.  W  dalszym  cią gu  bę dziemy  się  zajmować  siłami  reakcji  spowodowanymi  wię zami  (2.2),  tj.  spowodowanymi  dyskretyzacją.  Rozwią zaniem  modelowym  bę dzie  więc  tutaj  rozwią za­ nie  q(0, a  ś cisłym  albo  wzorcowym  d>(Z,  r),  (wyż ej  rozwią zaniem  modelowym  było  roz­ wią zanie  d>(Z,  t),  a  ś cisłym  rozwią zanie  jakie  uzyskano  by  w ramach  teorii  sprę ż ystoś ci).  T a k  więc  interesować  nas  bę dą  siły  reakcji  powstałe  wskutek  dyskretyzacji  powłoki  (wię zy  (2.2) ),  a  nie  siły  reakcji  powstałe  wskutek  przyję cia  takiej  czy  innej  teorii  powłok  (czyli  wię zów  (1.2)i).  Rozwią zując  zagadnienie  począ tkowe  (2.9)  dla  niewiadomych  q(r)  obliczymy  ze  zwią z­ k ó w  (2.2)  współrzę dne  uogólnione  tJ>(Z, f)  i  dalej  ze zwią zków  (112), ­r (1.3)2  funkcję   deformacji  x(x>  0 i uogólnione  siły H i h.  Siły  reakcji  spowodowane  dyskretyzacją  m o ż na  wtedy  obliczyć  [por.  (3.1)]  ze  zwią zków  ,»  .  d  д к  д к   Г =  ­ d l v K ­ I l ­ f + ­ ,  :  ,  (3.3)  d t  Ł  ­  Un  ­t  ­ i i  SR  —  " П я  — IR~  UR,  w  których  wystę pują ce  wielkoś ci  są  okreś lone  wzorami  (1.3)2­s­(1.6).  Siły  reakcji  (3.3)  obli­ czone  dla  każ dego  elementu  skoń czonego Bc oznaczymy  przez rc,  ś c ,  a  skok  powierzchnio­ wych  sił reakcji  na  д Псг л д Пл,  с ф  d  oznaczymy  przez  . . . .   „  *  *  (3.4)  s c „  =  H . ^  +  H . n , ,  gdzie  nd  =  — n c  i  nazwiemy  kontaktowymi  siłami  reakcji.  W p r o w a d ź my  w  przestrzenie  sił  masowych  i  powierzchniowych  [zarówno fc =f\zenc,  tc  = tR\Zediic, jak  i  sił  reakcji  (3.3)i  (3.4)], odpowiednio  normy  ||  ­ | | , ,  ||  ­ | | 2 .  Uzyskane  przy  dyskretyzacji  rozwią zanie  moż emy  uznać  za  dostatecznie  bliskie  rozwią zania jakie  otrzyma­ libyś my  dla  ciała  bez  wię zów  (2.2)  jeś li  dla  każ dego  с spełniony  jest  warunek  (3.5)  l l f c | | , + | | ś c ­ u c | | 2  +  ||  У *ы\\2 =s(\\fc\U  +l|t c +u c || 2 ),  gdzie  u, =  uR\ZeBn,  Warunek  (3.5)  mówi,  że  siły  reakcji  masowych  i powierzchniowych  powinny  stanowić   układ  sił  pomijalnie  małych  w  p o r ó w n a n i u  z  układem  uogólnionych  sił  zewnę trznych  dzia­ łają cych  na ciało.  STEROWANA DYSKRETYZACJA PŁYT I POWŁOK  27  4 .  Dyskretyzacja  sterowana  Spełnienie  warunku  (3.5)  dla  każ dego  с  m o ż na  otrzymać  róż nymi  drogami.  M o ż na  mianowicie  albo  dobierać  przy  ustalonym  podziale  powłoki  BR  funkcję  wię zów  (2.2)  albo  ustalając  funkcję  wię zów  3  zmieniać  podział  П  siatkami  Q  z a r ó w n o  zwię kszając  liczbę   elementów, jak  i zmieniając  ich rozmieszczenie,  wielkość  czy kształt,  albo wreszcie  stosować   te  dwie  drogi  równocześ nie,  Postę powanie  takie  nazywamy  sterowaniem  dyskretyzacja  powłoki.  W  tym  punkcie  zajmiemy  się sterowaniem  dyskretyzacja  przez  zmianę  liczby  elementów  skoń czonych  przy  ustalonych  wię zach.  N a  począ tek  ustalmy,  że  sterowania  dyskretyzacja  dokonamy  przez  Л ­ k r o t ny  podział  ciała  na  elementy  skoń czone  punktami  { Z ; } . Liczba  Л  choć  dowolna  zwykle  uzależ niona  jest od  moż liwoś ci  numerycznych maszyny  cyfrowej  zastosowanej  do  rozwią zania  problemu  brzegowego.  Pierwszej  dyskretyzacji  dokonujemy  siatką  p u n k t ó w  {Z,}, /  =  1,2,  /  kierując  się   kształtem  ciała  i  sposobem  przyłoż enia  sił  zewnę trznych  (może  to  także  być  podział  zu­ pełnie przypadkowy). Po rozwią zaniu  równań  (2.9)  i  wyliczeniu  sił  reakcji  (3.3)  przeprowa­ dzamy  ocenę  dokładnoś ci  rozwią zań  stosując  kryterium  szacują ce  (3.5),  tj.  dla  każ dego  С/  (indeks  /  wskazuje,  iż  mamy  do  czynienia z  pierwszą  dyskretyzacja)  okreś lamy  w  nierów­ noś ci  (3.5)  najwię kszą  wartość  eci.  Niech  e 0  bę dzie  z  góry  przyję tą  w  zwią zku  (3.5)  wartoś cią  e  okreś lają cą  dopuszczalne  odchylenie  rozwią zania  modelowego  od  rozwią zania  ś cisłego  (moż na  np.  przyjąć  s0  =  0,05,  gdyż  czę sto  z  taką  dokładnoś cią  okreś la  się  wielkość  sił  zewnę trznych).  Może  się  zdarzyć,  że  po  pierwszej  dyskretyzacji  spełniona  jest  nierówność  s0  ^  sc,  dla  wszystkich  С/  =  =  1 , 2 , . . . ,  / / .  Spełniona  jest  tym  samym  nierównś oć  (3.5)  i  rozwią zanie  modelowe  uzna­ jemy  za  wystarczają co  dokładnie  aproksymują ce  rozwią zanie  ś cisłe.  N a  ogół  jednak  znajdą  się  takie  elementy  skoń czone  I7CI,  dla  których  warunek  (3.5)  nie  jest  spełniony,  tzn.  bę dą  istnieć  indeksy  c j ,  dla  których  ec°  >  e 0 .  Dokonujemy  wtedy  dyskretyzacji  taką   siatką  p u n k t ó w  { Z i ; / } ,  iu  =  1 , 2 , . . . , / / / ,  które  podzielą  elementy  П а  na  mniejsze.  Pozostawienie  elementów  skoń czonych,  w  których  warunek  (3.5) jest  spełniony  w niezmie­ nionym  kształcie  (choć  nie  jest  to  konieczne)  jest  wygodne,  gdyż  pozwala  obliczone  dla  tych  elementów  pewne  wielkoś ci  (jak  np.  macierze  sztywnoś ci)  wykorzystać  do  nastę pnych  dyskretyzacji.  Takie  postę powanie  powinno  przy  dyskretyzacji  punktami  {ZiA}  doprowadzić  do  spełniania  warunku  (3.5)  we  wszystkich  elementach  skoń czonych.  Przykład  sterowania  dyskretyzacja  przez  zwię kszanie  liczby  elementów  skoń czonych  pryzmatycznej  powłoki  z prostoką tnym  otworem  (traktowanej jednak  jako  p o w ł o k a  gruba)  rozpatrzono  w  [4].  5.  Sterowanie  optymalne  Przedstawiony  w  rozdziale 4 proces  dyskretyzacji  m o ż na  k o n t y n u o w a ć  aż  do  spełnienia  warunku  (3.5)  przy  założ onym  z  góry  s.  Trzeba  jednak  zaznaczyć,  że  nie  zawsze  jest  to  moż liwe.  N i e  dysponujemy  bowiem  maszynami  matematycznymi,  które  rozwią zywałyby  2 8  W .  KUFEL  układy  r ó w n a ń  o  dostatecznie  duż ej  liczbie  niewiadomych.  T r u d n o ś ć  tę m o ż na  ominąć   na  innej  drodze.  M o ż na  mianowicie  sterować  procesem  dyskretyzacji  tak,  by  przy  ustalonej  liczbie  elementów  skoń czonych  uzyskać  minimum  normy  sił  reakcji.  Z a u w a ż my  w tym  celu,  że  współrzę dne  uogólnione  ą (t)  przy  ustalonym  t oraz  ustalonej  siatce  podziału  Q  należą  zgodnie  z  (2.8)  do przestrzeni  euklidesowej  EAI.  Nazywa ć je  bę­ dziemy  wektorami  stanu  a  przestrzeń  EAI  przestrzenią  stanu.  Zbiór  siatek  Q,  gdzie  Q  — g(Q0)  i S jest  z  pewnego  zbioru  h o m e o m o r f i z m ó w  (2.5)  oznaczymy  przez  0  i  nazwiemy  dziedziną  sterowania.  K a ż d e mu  rozwią zaniu  ą (t)  z  odpowiednimi  warunkami  począ tkowymi  q(r 0 ) = q,  4(/o)  =  <ł ( '  przypiszemy  liczbę  V w  nastę pują cy  s p o s ó b :  i  i  (5.1)  V=  V(ą ,Q)  YQ\h(ą ,0)\\l  + \\h(ą ^)­uc(ą ,Q)\\2  + \\  £ści(ą ,Q)\\2),  c=l   <72(0> • • •> 9W(0)  niewiadomych  funkcji  zależ nych  tylko  od  czasu,  pozwalają cym  a p r o k s y m o w a ć  rzeczywisty  ruch  o ś r o d ka  cią głego  ruchem  u k ł a d u  o  skoń czonej  liczbie  stopni  swobody.  Powyż sze  ograniczenia  na  ruch  stanowią  przypadek  szczególny  wię zów  wewnę trznych  narzuconych  tylko  na  ruch  kontinuum,  a  nie  np.  na  naprę ż enia.  Ogólne  podstawy  mechaniki  ciał  dyskretyzowanych  obejmują ce  także  znane  dotychczas  metody,  oparte  na  mechanice  o ś r o d k ów  cią głych  z  wię zami,  były  przedstawione  w  pra­ cach  WOŹ NIAKA  (np.  [1]).  K a ż de  ciało  p o d d a ć  m o ż na  dyskretyzacji  na  elementy  Bc,  jednak  otrzymane  wyniki  opisują  badany  układ,  w  rzeczywistoś ci  bez  wię zów,  z  dokładnoś cią  do  sił reakcji.  O  otrzy­ manym  w  metodzie  elementów  skoń czonych  rozwią zaniu  mówimy,  że  wystarczają co  do­ kładnie  aproksymuje  rozwią zanie  ś cisłe, tj.  rozwią zanie,  jakie  otrzymalibyś my  dla  o ś r o d ka  cią głego  wtedy,  kiedy  zastosowany  skoń czony  ciąg  dyskretyzacji  (na  coraz  wię kszą  liczbę   elementów)  wykazuje  odpowiednią  zbież noś ć.  W  przypadku  ciała  dyskretyzowanego,  traktowanego  jako  oś rodek  cią gły  z  wię zami,  oceny  dokładnoś ci  rozwią zań  dla  każ dej  dyskretyzacji  d o k o n a ć  m o ż na  przez  porównanie  wielkoś ci  sił reakcji  (wywołanych  wię zami)  z  siłami  zewnę trznymi.  Wprowadzając  w  przestrzeń  par  sił  reakcji  wewnę trznych  i  powierzchniowych  n o r m ę ,  dla  każ dej  dyskretyzacji  moż emy  okreś lić  wielkość  tych  sił.  Mając  więc  dwie  dyskretyzacje  tego samego  ciała,  moż emy  powiedzieć,  która  z  nich jest  lepsza  (w  sensie  przyję tej  normy),  tj.  k t ó r a  z  nich  daje  rozwią zanie  dokładniejsze  w  stosunku  do  nieznanego  rozwią zania,  które  uzyskano  by  dla  ciała  bez  wię zów  wewnę trznych.  Poszukiwanie  w  pewnym  zbiorze  dyskretyzacji  takiej  dyskretyzacji,  dla  której  odpo­ wiednio  skonstruowany  funkcjonał  (zwany  funkcjonałem  celu)  przyjmuje  minimum,  nazy­ wamy  sterowaniem  optymalnym.  3 0  W .  KUFEL  W  pracy  rozpatruje  się  dwa  rodzaje  dyskretyzacji.  Jeden, pozwalają cy  sterować  dyskre­ tyzacją  przez  zwię kszenie  liczby  elementów  skoń czonych  tylko  tam, gdzie  siły  reakcji są   duże  (w sensie  przyję tej  normy),  oraz  drugi,  polegają cy  na szukaniu  sterowania  optymal­ nego.  W  rozdziale  4  formułuje  się zagadnienie  sterowania  dyskretyzacją  przez  zwię kszenie  liczby  elementów skoń czonych w tych  obszarach,  gdzie  norma  sił  reakcji  nie  spełnia  odpo­ wiedniego  warunku  szacują cego.  Zagę szczanie  bowiem  elementów  skoń czonych w całym  ciele  czę sto  nie jest potrzebne, bo  prowadzi  do powię kszenia rzę du  u k ł a d u  r ó w n a ń .  Zagad­ nienie  optymalnego  sterowania  formułuje  się w  rozdziale  5, wykorzystując  poję cie  siatki  podziału Q ciała dyskretyzowanego BR.  Siatki Q stanowią  dziedzinę sterowania 0.  W  wielu  przypadkach  szczególnych  siatki  Q bę dą  należ eć do pewnego  podzbioru  0  cz 0,  zwanego  dopuszczalną  dziedziną  sterowania.  Specyfikacja  tego  podzbioru  przeprowadzona  jest  także  w  rozdziale  5.  Opisany wyż ej sposób dyskretyzacji  płyt i p o w ł o k m o ż na zastosować także do  zagadnień   trójwymiarowych.  Sterowanie dyskretyzacją  trójwymiarowych  ciał  sprę ż ystych  omówione  jest  w pracy [6].  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  C z . WOŹ NIAK,  Constrained  continuous  media,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci. Ser. Sci. Techn.,  21  (1973),  109.  2.  P.  M . NAOHDI,  The Theory  of  Stein  and Plates, Handbuch  der Physik,  VIa/2,  1972.  3.  C z . WOŹ NIAK,  Wstę p  do elastokinetyki form  konstrukcyjnych, Dź wigary  powierzchniowe,  Ossolineum,  Wroclaw 1975.  4 .  W . KUFEL,  Dyskretyzowane  ciała  sprę ż yste  jako  kontinua  ze  sterowanymi  wię zami,  praca  doktorska,  Wydz.  Mat. i  Mech.,  Uniwersytet  Warszawski, 1974.  5.  O .  C . ZIENKIEWICZ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa,  1972.  6.  W . KUFEL,  On the optimal control of discretization problemfor elastic bodies,  Arch,  of Mech.  1(1976)  3­11.  7.  H . RASIOWA,  Wstę p  do matematyki  współczesnej,  wyd. IV,  P W N ,  Warszawa  1972.  8.  С .  A . TRUESDELL,  W. NOLL,  The non­linear field  theories  of  mechanics,  Handbuch  der Physik,  III/3,  1965.  •   •  Р е з ю ме   У П Р А В Л Я Е М АЯ  Д И С К Р Е Т И З А Ц ИЯ  П Л А С Т ИН  И  О Б О Л О Ч ЕК   .  •  •   Р а с с м а т р и в а ю т ся  п л а с т и ны  и  о б о л о ч ки  п о д в е р ж е н н ые  д и с к р е т и з а ц и и,  р а с с м а т р и в а е м ой  в  к а­ ч е с т ве  у с л о в н о го  н а л о ж е н ия  н а и х д в и ж е н ие  с в я з ей  с п е ц и а л ь н о го  в и д а,  к о т о р ые  н е з а в и с ят  о т   м а с с о в ых  и  п о в е р х н о с т н ых  с ил  н и о т р а с п р е д е л е н ия  м а с с ы.  Т а к ие  с и с т е мы  я в л я ю т ся  п р и м е р а ми   т ел  с  о г р а н и ч и в а ю щ и ми  с в я з я м и,  м е х а н и ка  к о т о р ых  б ы ла  п о с т р о е на  Ч .  В о з ь н я к о м.  О п р е д е л е н ие  на  м н о ж е с т ве  д и с к р е т и з а ц ий  п л ит  и  о б о л о ч ек  с о о т н о ш е н ия  э к в и в а л е н т н о с ти   и  и с п о л ь з о в а н и е,  в о з н и к а ю щ их  в с л е д с т ве  в о з д е й с т в ия  с в я з е й,  с ил  р е а к ц ии  п р и в о д ит  к  в о з м о ж­ н о с ти  о ц е н к и:  к о т о р ая  и з п р о в е д е н н ых  д и с к р е т и з а ц ий  л у ч ше  т . е. п ри  к о т о р ой  и з н их  п о л у ч е н н ое   р е ш е н ие  к р а е в ой  з а д а чи  т о ч н ее  п о  с р а в н е н ию  с  н е и з в е с т н ым  « о б р а з ц о в ы м»  р е ш е н и е м.  П о д б ор   л у ч ш их  с т о ч ки  з р е н ия  э т о го  р е ш е н ия  д и с к р е т и з а ц ий  н а з ы в а ем  у п р а в л е н и ем  д и с к р е т и з а ц и е й.  В  р а б о те  о п и с ы в а е т ся  м е т од  у п р а в л е н ия  д и с к р е т и з а ц и ей  п л а с т ин  и  о б о л о ч е к,  п р и в о д и т ся   к р и т е р ий  д о с т о в е р н о с ти  п о л у ч е н н о го  р е ш е н ия  а  т а к же  ф о р м у л и р у е т ся  з а д а ча  о п т и м а л ь н о го у п­ р а в л е н и я.  STEROWANA DYSKRETYZACJA PŁYT I POWŁOK  31  S u m m a r y  C O N T R O L L E D  D I S C R E T I Z A T I O N  O F  P L A T E S  A N D  S H E L L S  The  paper deals  with plates  and shells subject  to discretization which is considered as a set  of  constraints  of  special  type  imposed  on the  structural motion. They  are independent  of  body forces,  surface  tractions or  mass  distribution. The  discretized  plates  and  shells  are  examples  of  constrainted  bodies  the  mechanics  of  which  has  been  formulated  by  Cz.  W o ź n i a k.  By  introducing an equivalence  relationship in the set  of all  discretizations and by evaluating the reactions  occurring due to  the constraints  imposed  it turns out  to  be possible  to estimate each discretization. Selecting  the  better  discretization  is  called  the  discretization  control.  Paper describes  the  methods  of  controlling of  discretization  of  plates  and  shells,  presents  criterions  o f  estimation  of  the  solution  obtained  and formulates  the  problem of  optimal discretization control.  INSTYTUT MECHANIKI UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  3  lutego 1975  i: