Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  I  D R G A N I A  L O T E K  Z  U W Z G L Ę D N I E N I EM  O D K S Z T A Ł C A L N O Ś CI  G I Ę T N EJ  S K R Z Y D E Ł  I  S P R Ę Ż Y S T O Ś CI  U K Ł A D U  S T E R O W A N I A  JERZY  M  A  R  Y  N  I A  K,  M A R I A  Z  Ł О С  К  A  (WARSZAWA)  1.  W s t ę p  W  pracy  zbadano  wpływ  sztywnoś ci  i  tłumienia  w  układzie  sterowania  lotkami  przy  uwzglę dnieniu  odkształcalnoś ci  gię tnej  skrzydeł  na  stateczność  boczną  samolotu  oraz  drgania  lotek.  Samolot  traktowano  jako  układ  mechaniczny  sztywny  z  odkształcalnymi  gię tnie  skrzydłami  i  ruchomymi  lotkami.  R ó w n a n i a  ruchu  wyprowadzono  w  quasi­współrzę dnych  stosując  r ó w n a n i a  Boltz­ manna­Hamela  [4]  dla  układów  mechanicznych  o  wię zach  holonomicznych  w  układzie  współrzę dnych  zwią zanych  z  samolotem.  W  pracy  przyję to  założ enie,  że  siły  i  momenty  aerodynamiczne  nie  mają  wpływu  na  postacie  i  czę stoś ci  drgań  własnych  skrzydeł.  Założ enie  to  pozwoliło  na  osobne  rozpatry­ wanie  każ dej  postaci  własnej  drgań  skrzydeł.  Skrzydła  stanowią ce  układ  cią gły  o  nieskoń­ czonej  liczbie  stopni  swobody  zastą piono  ś ciś le  okreś loną  liczbą  stopni  odpowiadają cą   iloś ci  przyję tych  postaci.  Postacie  i  czę stoś ci  drgań  własnych  okreś lono  doś wiadczalnie  na  drodze  b a d a ń  rezonansowych  [6,  8].  Linearyzację  r ó w n a ń  ruchu  przeprowadzono  na  podstawie  teorii  małych  zaburzeń   [1,  2,  3,  7,  20].  Przyję to,  że  ruchy  antysymetryczne  samolotu  powodują  wyłą cznie  zmiany  antysymetrycznych  sił  i  m o m e n t ó w  aerodynamicznych,  natomiast  symetryczne—zmiany  symetrycznych  obcią ż eń  aerodynamicznych.  Powyż sze  założ enia  pozwoliły  na  rozprzę gnię­ cie  u k ł a d u  r ó w n a ń  [1, 2,  3,  20],  opisują cych  dowolny  ruch samolotu,  na dwa u k ł a d y :  układ  r ó w n a ń  ruchów  symetrycznych  [8,  9,  13]  statecznoś ci  podłuż nej  i  układ  r ó w n a ń  ruchów  antysymetrycznych  statecznoś ci  bocznej  [14].  Uwzglę dniono  pięć  stopni  swobody,  w  tym  trzy  stopnie  swobody  samolotu  sztywnego:  przechylanie  y,  odchylanie  f,  prę dkość  przemieszczeń  bocznych  v  oraz  antysymetryczne  odkształcenia  gię tne  skrzydeł  Ł i  sprę ż yste  wychylenie  lotek  /J  [14].  Po  linearyzacji  u k ł a d u  r ó w n a ń  rozwią zanie  sprowadzono  do  wyznaczenia  wektorów  własnych  i  odpowiadają cych  i m wartoś ci  własnych  macierzy  stanu.  Przykładowe  obliczenia  numeryczne  przeprowadzono  dla  samolotu  klasy  «Wilga»  według  własnych  p r o g r a m ó w  w  Zakładzie  Obliczeń  Numerycznych  Uniwersytetu  Warszawskiego.  W  dostę pnej  literaturze,  dotyczą cej  dynamiki  obiektów  ruchomych,  nie  spotkano  się   z  wyprowadzeniem  r ó w n a ń  ruchu  przez  zastosowanie  r ó w n a ń  Boltzmanna­Hamela  dla  u k ł a d ó w  o  wię zach  holonomicznych.  Właś nie  zastosowanie  r ó w n a ń  Boltzmanna­Ha­ mela  [4]  do  wyprowadzenia  r ó w n a ń  ruchu  obiektów  ruchomych  w  układzie  współrzę d­ 64  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  nych  zwią zanych  z tym obiektem  umoż liwia  w stosunkowo  prosty  sposób  wzglę dnienie  stopni  swobody  wynikają cych  z odkształcalnoś ci  ciała, jak  i wzglę dnych  ruchów  elementów  rozpatrywanego  obiektu  [9,  13,  14].  R ó w n a n i a  Boltzmanna­Hamela  są  uogólnionymi  równaniami  Lagrange'a  II  rodzaju  wyraż onymi  w  ą uasi­współrzę dnych  i  quasi­prę dkoś ciach.  Quasi­prę dkoś ci  są  linio­ wymi  zwią zkami  prę dkoś ci  uogólnionych,  których  współczynniki  zależ ne  są  od  współ­ rzę dnych  uogólnionych  [4, 19],  przy  czym  mogą  zawierać  również  wyrazy  wolne, jak i jaw­ nie  zależ ne  od czasu  [19].  W  rozważ anym  przypadku  takimi  quasi­prę dkoś ciami  są kinema­ tyczne  parametry  ruchu  okreś lone  w  układzie  centralnych  osi odniesienia,  sztywno  zwią­ zanych  z  samolotem.  Wspomniane  wyż ej  parametry  kinematyczne,  to  prę dkoś ci  ką towe  samolotu P, Q, R oraz  prę dkoś ci  liniowe jego  ś rodka  masy  U, V, W  [1, 2, 3, 4, 9,  13, 14,  19  i  20].  Wyprowadzone  w  trzecim  rozdziale  niniejszej  pracy  równania  ruchu  są  uniwersalne  i  m o ż na je  bezpoś rednio  zastosować  do  opisu  ruchu  dowolnych  odkształcalnych  obiektów  ruchomych  w  przyję tym  układzie  odniesienia.  2.  Przyję ty  układ  odniesienia  D o  opisu  dynamiki  samolotu  niezbę dne  są  trzy  układy  odniesienia:  układ  grawita­ cyjny  ś ciś le  zwią zany  z  Ziemią  Ox1ylz1,  układ  prę dkoś ciowy  zwią zany  z  przepływem  Oxayaza  oraz  zwią zany  sztywno  z  samolotem  Oxyz.  У з.  \  Л   \  V  «к  4o  v  3 c  Ф  У   N  wy  r zJ  Rys.  1.  Przyję ty  u k ł a d  odniesienia  Oxyz  z w i ą z a ny  z  samolotem  oraz  wprowadzone  p r ę d k o ś ci  liniowe  i  k ą t o we  Chwilowe  położ enie  samolotu  jako  ciała  sztywnego  okreś lono  przez  położ enie  ś rodka  masy  obiektu  rt  (xx,  yt,  zt),  mierzone  wzglę dem  nieruchomego  u k ł a d u  współrzę dnych  O ^ i j j Z j  zwią zanego  z  Ziemią  oraz  ką tów  obrotu  samolotu  W, 0, Ф .  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  65  •  Ką ty  obrotu  okreś lają  jednoznacznie  położ enie  u k ł a d u  współrzę dnych  ś ciś le  zwią za­ nego  z  samolotem  Oxyz  wzglę dem  grawitacyjnego  u k ł a d u  współrzę dnych  Oxgygzg  r ó w n o ­ ległego  do  nieruchomego  u k ł a d u  Oxiy1z1  (rys.  1).  Przyję te  ką ty  obrotu  są  ką tami  quasi­eulerowskimi,  zwanymi  również  samolotowymi  [1,2,19].  Nazwy  tych  ką tów  są  nastę pują ce:  Ф —  kąt  przechylenia,  0  —  kąt  pochylenia,  f —  kąt  odchylenia.  R u c h  samolotu  został  opisany w  centralnym  układzie  Oxyz  sztywno zwią zanym  z  samo­ lotem,  o  osiach  skierowanych,  jak  na  rys.  1  i  rys.  2.  Rys.  2.  Przyję te  s k ł a d o w e  sił  i  m o m e n t ó w  w  u k ł a d z i e  odniesienia  Oxyz  z w i ą z a n ym  z  samolotem  Składowe  wektorów  chwilowych  prę dkoś ci  liniowej  Vc  i ką towej  Q  w  przyję tym  układzie  współrzę dnych  (rys.  1)  są  nastę pują ce:  —  wektor  prę dkoś ci  liniowej  Vc  (1)  Vc  =  UT+ Vj+  Wk,  gdzie  U  oznacza  prę dkość  podłuż ną,  V—prę dkoś ć  boczną,  W—prę dkoś ć  przemiesz­ czeń  pionowych,  —  wektor  chwilowej  prę dkoś ci  ką towej  Q  (2)  Q  =  Р Г +Qj+Rk,  przy  czym  P  jest  ką tową  prę dkoś cią  przechylania,  Q  —  ką tową  prę dkoś cią  pochylania,  R—ką tową  prę dkoś cią  odchylania.  Wektory  sił  zewnę trznych  i  m o m e n t ó w  sił  zewnę trznych  działają cych  na  samolot  mają   p o s t a ć  (rys.  2):  —  wektor  sił  zewnę trznych  F  (3)  F  =  XF+Yjr+Zk,  gdzie  X  oznacza  silę  podłuż ną,  Y—siłę  boczną,  Z — s i ł ę  pionową,  5  Mechanika  Teoretyczna  66  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  —  wektor  momentu  głównego  Л   (4)  J(  =  Lf+Mj+Nk]  przy  czym  L  jest  momentem  przechylają cym,  M  — momentem  pochylają cym,  N  — mo­ mentem  odchylają cym.  Prę dkoś ci  ką towe  P,  Q,  R  są  liniowymi  zwią zkami  prę dkoś ci  uogólnionych  Ф ,  0  i  W  o  współczynnikach  zależ nych  od  współrzę dnych  uogólnionych  Ф ,  0  i  W  i  wyraż ają  się   w nastę pują cej  postaci:  P~  1  0  ­ s i n © "  Ф   Ф   (5)  Q  =  0  cos<Ż>  sin Ф cos (9  0  =  Aa  0  _R_  0  —sin0  c o s 0 c o s 0  W  Zwią zki  kinematyczne  mię dzy  prę dkoś ciami  liniowymi  i , ,  j>,, źY  mierzonymi w  układzie  nieruchomym  Ox1ylzi  a  składowymi  prę dkoś ci  U, V,  W  są  nastę pują ce:  U  dt  V  =  AV  dyi  dt  w  dzx  U  cos ©cos W  cos 0  sin W  —sin©  dXi  dt  V  =  sintPsincJcosV7—  —  co^sinW  sinФ sin © s i n i a ł  sincos@  + cos Ф cos У7  dyi  dt  W  c o s 0 s i n © c o s ! P +  c o s 0 s i n © s i n ! / 7 —  c o s 0 c o s ©  dz.  W  + sin (Psin  ^  — sin Ф cos  xf  dt  .  Zwią zki  (5)  i  (6)  wyznaczają  parametry  kinematyczne,  które  są  ą uasi­prę dkoś ciami.  3.  Równania  ruchu  odksztalcalnego  obiektu  swobodnego  M o d e l  samolotu  nieodkształcalnego,  najczę ś ciej  spotykany  w  literaturze,  nie  zawsze  może  być przyję ty  w badaniu  własnoś ci dynamicznych  obiektu. Niektóre  sztywne i  sprę ż yste  ruchy  wzglę dne  mogą  mieć  istotny  wpływ  na  charakter  ruchu  samolotu.  W  przypadku  uwzglę dnienia  podatnoś ci  gię tnej  skrzydeł  otrzymuje  się  układ  o  nieskoń czonej  liczbie  stopni  swobody  ruchu.  Praktyczne  wykonanie  obliczeń  dla takiego  u k ł a d u  jest  niemoż liwe  i  dlatego też zastosowano  metodę przybliż oną.  Opiera się ona na założ eniu,  że siły i momenty  aerodynamiczne  nie  zmieniają  postaci  niesprzę ż onych  drgań  własnych  skrzydeł.  Ugię cie  skrzydła  (rys.  4)  opisano  funkcją   00  с ( у ; о ­ 2>о о : . ( о,   S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  67  Rys.  3.  Przyję ty  model  samolotu  i  przemieszcze ń  k ą t o w y ch  o b r o t ó w  antysymetrycznych  samolotu  Rys.  4.  Przyję ty  model  r u c h ó w  przechylają cych  i  o d k s z t a ł c e ń  g i ę t n y ch  skrzydeł  samolotu  gdzie  hi(y) jest  kolejną  postacią  drgań  własnych.  Pozwoliło  to  na  rozpatrywanie  wpływu  na  ruch  samolotu  każ dej  postaci  drgań  osobno.  Zgodnie  z  powyż szym,  drgania  skrzydeł  odpowiadają ce  i­tej  postaci  przedstawiono  nastę pują co:  Uwzglę dniono  również  ruch  lotek,  który  jest  moż liwy  mimo  zablokowanego  drą ż ka  sterowego,  dzię ki  istnieniu  sprę ż ystych  odkształceń  w  układzie  sterowania  lotkami.  Prze­ mieszczenie  lotek jest  okreś lone  ką tem  obrotu  lotki  /? wokół  osi zawiasów  (rys.  3).  R ó w n a n i e  ruchu  samolotu  wyprowadzono  w  quasi­współrzę dnych,  stosując  r ó w n a n i a  Boltzmanna­Hamela  dla  układów  holonomicznych  [4].  R ó w n a n i a  Boltzmanna­Hamela  są  uogólnionymi  równaniami  Lagrange'a  II  rodzaju  dla u k ł a d ó w  nieinercjalnych  opisa­ nych  w  ą uasi­współrzę dnych  i  mają  nastę pują cą  p o s t a ć :  (7)  M y . O ­ A i O O t t O .  к   к   5«  68  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  gdzie /л , г , а = 1, 2,..., к , к  oznaczają  ilość  stopni  swobody,  mlt — quasi­prę dkoś ci,  T* —  energię  kinetyczną  w  ą uasi­prę dkoś ciach,  — ą uasi­współrzę dne,  Q* — siły  uogól­ nione.  Zwią zki  mię dzy  quasi­prę dkoś ciami  i  prę dkoś ciami  uogólnionymi  mają  postać   fc (9)  a>„  =  ^ a a x q x ,  (10)  4a  ­ 2 >  gdzie  qe  oznaczają  prę dkoś ci  uogólnione,  aaa  = аа Л{ах,  q2,  qk),  qk —  współrzę dne  uogólnione,  bait  = bafl{qy ,q2,...  ,qk), przy  czym  istnieje  nastę pują ca  zależ ność  macierzowa:  (ii)  Ы  =  [b^]­1.  Trójwskaź nikowe  mnoż niki  Boltzmanna  okreś lone  są  zależ noś cią   (12)  к  к   у  у  /  д аг а   (7=1  Л — 1  д а "  \ъ ,ъ .  W  przypadku  gdy ą uasi­współrzę dne  są współrzę dnymi  uogólnionymi,  to  trójwskaź nikowe  mnoż niki  Boltzmanna уи х  (12) są równe  zeru.  W  przyję tym  modelu  samolotu  odkształcalnego  wektor  ą uasi­prę dkoś ci  jest  nastę pu­ j ą c y:  (13)  to =  co\[U,  V, W, P, Q, R, /?,  Ć ],  gdzie  U, V, W, P, Q, R  okreś lają  zwią zki  (5) i  (6), a  odpowiadają cy  m u  wektor  quasi­ współrzę dnych  ma  postać   (14)  TC =  С 0\[Л с ,  Я у ,  7ly?,  Tip,  TIQ, 7lR,  f),  £].  Wektor  współrzę dnych  uogólnionych  jest  nastę pują cy:  (15)  q =col[xuyi[zu  Ф , 0,'#,Р ,  Д .  Macierz  [aaii]  w przypadku  przyję tego  modelu  (rys. 3 i rys. 4) w przyję tym  układzie  współrzę dnych  (rys.  1) zgodnie  ze zwią zkami  (5) i  (6) ma  nastę pują cą  p o s t a ć :  (16)  Л к  i  o  i  o  0  j  Ла  \  0  0  i  0  i  I  Ы  =  0  i  A A  :  0  ,  0  0 : 1  przy  czym  odpowiadają ca  jej  macierz  [bafl]  okreś lona jest w  postaci  Г  д ­l i  л  !  n  1  •  (17)  ,  [ M =  [aail]   1  =  Л й1  0  i  0  0  Л д1  j  0  0  0  i  I  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  69  Wię kszość  m n o ż n i k ów  Boltzmanna  y Ł a  w  przypadku  przyję tego  samolotu  odkształ­ calnego  jest  r ó w n a  zeru.  Jednym  z  niezerowych  m n o ż n i k ów  Boltzmanna jest y65A.. Oblicza  się  go według  nastę pują cej  zależ noś ci:  8  8  a = l  /=1  Quasi­współrzę dne  p i  f  są  współrzę dnymi  uogólnionymi.  Zgodnie  z  powyż szym  da 6 c t  _  0  daai  _  0  dp  '  dt.  dla  a , /  =  1,2,  . . . , 8  upraszcza  się i  zależ ność  (18) przyjmuje  postać   6  6  Л   ­\bisbtu.  .,<•>  .  V  У 1 8 a 6 «  _ д а ы   a ­ l  /=1  У 5*  ~ ZJZJ  \  dqt  dqx  Analizując  macierze  [aap]  i  [ball]  daje  się zauważ yć,  że  ^ i 4  =  &24 =  ^34  =  b54  =  bbA.  =  0;  Л 4 4  =  1;  «61  =  «62  =  Я бз  =  «64  = 0 ;  Л ,5  =  b25  =  b3S  =  0;  stąd  л,в   Й «65  ,  ,  da66  Ys*  =  л ­ — О 5 5 О 44  j­—О 65О 44,  ° ? 4  ° ? 4  gdzie  da65  <3( — sin OP)  =  " W ~  =  _ C 0 S 9 ' '  przy  czym  da66  d (cos ę cos 0 )  .  „  —  =  ­ s i n c j c o s © ,  <9c74  i5c>  sina>  J J 5 5 = C O S C 9 ,  b6S  =  ^  .  •   _  W  rezultacie  otrzymano  / 5 4  =  cos2c5 + sin2c?  =  1.  Pozostałe  niezerowe  mnoż niki  Boltzmanna  obliczono  analogicznie;  mają  one  nastę pują ce  wartoś ci:  ,  .  .  .  . . . ;  V  •  л   У 24  =  1.  У 42 =  — 1,  Vie  =   ­1,  У 62  =  1,  •  Уз 5  =  1,  У зз  =  ­1,  У2*  ­ 1,  y l i  =  ­ i .  yis  =  ­ i ,  yh  =  1,  У 24  =  1,  yli  =  ­1,  YU =  ­1,  Yts  =  1,  file://-/bisbtu 7 0  '  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  yle  =  1,  yśL  =  ­ 1 ,  yts  =  ­ 1 ,  У 54 =  1,  У з4  =  ­ 1 ,  У 43 =  1 •  Po  wprowadzeniu  tak  obliczonych  m n o ż n i k ów  Boltzmanna  do  r ó w n a n i a  (8)  otrzymano  r ó w n a n i a  ruchu dla dowolnego  obiektu swobodnego,  którego  ruch jest opisany w  przyję tym  układzie  odniesienia.  R ó w n a n i a  ruchu  otrzymują  nastę pują cą  p o s t a ć :  R ó w n a n i a  (19)­f­(24)  opisują  ruch  dowolnego  ciała  sztywnego  w  centralnym  układzie  współrzę dnych  zwią zanych  z  obiektem.  Pozostałe  dwa  r ó w n a n i a  są  wynikiem  uwzglę d­ nienia  dodatkowych  stopni  swobody:  ruchów  wzglę dnych  lotek  (25)  i  odkształcalnoś ci  skrzydeł  (26).  W  dowolnym  ruchu  odkształcalnego  obiektu  ruchomego  liczba  r ó w n a ń  typu  (25)  i  (26)  może  być  dowolna  i  zależy  wyłą cznie  od  iloś ci  dodatkowo  uwzglę dnionych  stopni  swobody  przy  niezmiennej  postaci  pierwszych  sześ ciu  r ó w n a ń  (19) ­f­ (24).  4 .  Równania  ruchów  antysymetrycznych  samolotu  odkształcalnego  W  dowolnym ruchu  obiektu  r ó w n a n i a  (19)ч ­(26)  na  ogół  nie  rozprzę gają  się  na  rów­ nania  opisują ce  ruchy  symetryczne  i  antysymetryczne.  Są  to  silnie  nieliniowe  r ó w n a n i a  róż niczkowe  zwyczajne  rzę du  drugiego.  Rozprzę gnię cie  r ó w n a ń  jest jedynie  moż liwe  przy  zastosowaniu  do  b a d a ń  teorii  małych  zakłóceń  wzglę dem  ruchu  ustalonego  i linearyzacji  r ó w n a ń .  W  niniejszej  pracy  założ ono,  że  samolot  wykonuje  jedynie  antysymetryczne  ruchy  (rys.  3  i  rys.  4),  tzn.  ruch  odchylają cy  !f,  przechylają cy  Ф ,  przemieszczenie  boczne  n y ,  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  71  antysymetryczne  wychylenia  lotek  в  i  antysymetryczne  drgania  gię tne  skrzydeł  Ј.  Przy  powyż szych  założ eniach  otrzymano  u k ł a d  pię ciu  r у w n a ń  w  postaci  ogуlnej :  d  l8T*\  В Т *  В Т * _  В Т * n  п л   dldT*\  з т * _в т *_  я г*  в т ^я +э т ^0  =  0*  ( 2 8 )  1&\Ж }~­д л 7  8V  W +  dW  V  8Q Я +  8R  y ­ Q r >  d  (д т *\  д т *  д т *  т,  д т *  т т  з т *  „  г т * „  л ­ ^  ­  ­  1 Ш Г + ­BV  U ­  ­ 8 F Q + ­ 8 Q P  =  Q h  d  1В Т *\  В Т *  л 4  (30)  ­ Ы " ^ г  =  е ^ л  1 е в  /  а /?  ( 3 1 )  л ( ^ Г]  ^ Г ~ ­̂ Całkowita  energia  kinetyczna  samolotu  Г * obliczona  w  ą uasi­prę dkoś ciach  ma  na­ stę pują cą  p o s t a ć :  T*  = ^[Ms{U 2  + V2+W2)  + lJ2  + p2l 2+IxP 2+IyQ 2+IzR 2]­IxyPQ  +  (32)  + SX(WP­  UR) + S,(Fi? ­  WQ) + S2(t/e ­  KP) +  {(A3+В Р+В \)  W+  +  (A1+B p 3+B^P­[Ai  + (B p + B\)xL  ­Bl­B№ }t+  [(S P ­  S*)  U+  +  (rin­lfn)P+(S P­S^W]p+(Bp3­Bk)&,  gdzie  b/2  6/2  Л ,  =  /  ^ 0 ) ^ 0 ) ^ ^ ,  A2=  j  ms(y)h 2(y)dy,  ­b/2  ­b/2  b/2  b/2  A3=  f  ms(y)h(y)dy,  A4  =  /  Sy(y)h(y)dy,  ­b/2  ­b/2  b/2  b/2  Bi  =  j  mL(rj)h(ri)dr],  B2  =  /  mL(r))h 2(ri)drj,  Ь /2­bL  b/2­bL  b/2  b/2  B3=  J  Sv(r))h(V)dr),  B4=  {  mL(v)Kv)vdri,  b/2­bL  Ь / 2 ­ Ь /.  przy  czym  Ms  oznacza  masę  całego  samolotu,  Ix,Iy,Iz,Ixy—  momenty  bezwładnoś ci  i  moment  dewiacyjny  samolotu  wzglę dem  u k ł a d u  odniesienia  Oxyz;  Sx,Sy,Sz  —  mo­ menty  statyczne  samolotu  wzglę dem  u k ł a d u  odniesienia  Oxyz;  Ц , Ц , Iin,  5 , , Si  —  mo­ menty  bezwładnoś ci,  dewiacyjne  i statyczne  lotek  wzglę dem  osi  zawiasуw  r\ i  osi  symetrii  samolotu f,  gуrne  indeksy L i P okreś lają  odpowiednio  lewą  i prawą  l o t k ę ; ms{y),  mL(rj) —  rozkłady  mas skrzydła  i  lotki  w funkcji  rozpię toś ci;  h(y)  —  funkcją  ugię cia  skrzydła od­ powiadają cą  rozpatrywanej  postaci  d r g a ń  własnych.  7 2  J .  M A R Y N  г л к,  М .  Z Ł O C K A  Siły  uogólnione  wystę pują ce  w  prawych  stronach  r ó w n a ń  (27)­­(31)  wyznaczono  uwzglę dniając  energię  potencjalną  odkształceń  skrzydeł  i  u k ł a d u  sterowania  [8,  14],  siły  grawitacyjne  [1,  2,  3,  8,  14]  oraz  siły  i  momenty  aerodynamiczne  [1,  2,  3,  8,  14,  20].  Energia  potencjalna  odkształceń  sprę ż ystych  skrzydeł  i  u k ł a d u  sterowania  lotkami  ma  nastę pują cą  p o s t a ć :  (33)  us  ­ Y ­ ^ ^ + t * ^ 2 '  gdzie  —  sztywność  gię tna  skrzydeł,  кр  —  sztywność  u k ł a d u  sterowania  lotkami,  przy  czym  6/2  (34)  k(  =  co 2  f  ms{y)h 2(y)dy  ­b/2  jest  sztywnoś cią  uogólnioną  skrzydeł  odpowiadają cą  uwzglę dnionej  postaci  drgań  wła­ snych  opisanej  funkcją  h{y)  О  czę stoś ci  drgań  co.  Wiskotyczne  tłumienie  w  układzie  sterowania  lotkami  uwzglę dniono  przez  wprowa­ dzenie  dysypacyjnej  funkcji  Rayleigha  UR.  (35)  UR  =  ­ \ Ц Р 2 .  Składowe  siły  grawitacji  w  układzie  odniesienia  Oxyz  mają  postać   (36)  mg  =  Ag  mg,  gdzie  ­ s i n 0  cos© sin(Z>  c o s 0 cosФ   №   a  w  rozważ anym  przypadku,  uwzglę dniają cym  wyłą cznie  ruchy  antysymetryczne,  (37)  Yg  =  wiŁCos0sin.  Siły  i  momenty  aerodynamiczne  działają ce  na  samolot  wyprowadzono  przy  uwzglę d­ nieniu  stacjonarnej  aerodynamiki.  Linearyzację  sił  i  m o m e n t ó w  aerodynamicznych  prze­ prowadzono  według  metody  Bryana  [1,  2,  3,  20].  Metoda  ta  oparta  jest  na  założ eniu,  że  siły  i  momenty  aerodynamiczne  są  funkcjami  chwilowych  wielkoś ci  zmian  prę dkoś ci  liniowej  i  ką towej  i  ich  pochodnych.  Funkcje  te  rozwijane  są  w  szereg  Taylora  wzglę dem  wymienionych  uprzednio  zmiennych.  W  szeregach  tych  uwzglę dnione  są  jedynie  człony  pierwszego  rzę du  [1,  2,  3,  20].  W  rozpatrywanym  przypadku  założ ono,  że  samolot  porusza  się  ustalonym,  jednostaj­ nym  ruchem  poziomym.  Przyję to,  że  ustalony  ruch  samolotu  podlega  mały m  zakłóceniom,  tzn.,  że  Ф  P=p,  U  =  U0  =  const,  V„­„v  •  .  <'• ,>  . • "...  '  i  ;  f>\&} ­j,­'­­• • »• <• ;, :.;?!•  л 2о *\1и  M  *Nu  ,V  i f b b . a c : .  (38)  0 = 0 O =  const,  Q 0 ,  V  =  v,  4х  =  y>,  R  =  r,  W  =  0.  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  73  Siły  uogólnione  w  r ó w n a n i a c h  (27)ч ­(31)  przy  uwzglę dnieniu  powyż szych  zakłóceń   i  wprowadzeniu  zależ noś ci  (37) i  (38) mają  p o s t a ć :  Qv  =  Yvv+Ypp+Yrr  + mgVC  koś ci  liniowej  ś lizgu,  bezwymiarowa  pocho  koś ci  ką towej  przechylania,  bezwymiarowa  pochodna  mo  zmiany  prę dkoś ci  liniowej  ś lizgu,  l,  =  с §у щ 2  bezwymiarowa  pochodna  momentu  przechylają cego  wzglę­ dem  zmiany  prę dkoś ci  ką towej  odchylania.  W  analogiczny  sposób  przedstawiono w postaci  bezwymiarowej  pozostałe  wyrazy  r ó w n a ń .  Y  yp  =  ^gjTtt  bezwymiarowa  pochodna  siły  bocznej  wzglę dem  zmiany  pręd  N  nv  =  —^rrcn  bezwymiarowa  pochodna  momentu  odchylają cego  wzglę dem  74  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  U k ł a d  r ó w n a ń  ruchu  w  postaci  bezwymiarowej  otrzymano  w  zapisie  macierzowym  w  nastę pują cej  formie:  (40)  gdzie  A x + B x + C x  = 0,  X  =  с о 1 [ я „,  лр,  лг,  С,  ffli  х  =  co\\v,p,  г ,  С,  Р ],  przy  czym:  —  A jest  macierzą  współczynników  bezwładnoś ci,  mianowicie  "1  0  0  0  0  "  0  1  ­jxzljx  ll'ljx  Jtotix  o  ­ U h  i  о  о   0  е ­Р  0  1  е р   0  Л „/Л  0  rXljn  1  _  В jest  macierzą  współczynników  tłumienia,  mianowicie  •f*lv/jx  ­ftnjj,  l !  0  0  С jest  macierzą  współczynników  sztywnoś ci,  mianowicie  (Х ­У М   0  0  lp/jx  ­Ir/jx  ­ н и,  ­hlh  npljz  ­П г /jz  ­Щ /Jz  tp  er  ч   4  rpUn  ­ ' г / Л   ­ 4 l h  h  " 0  ­y*  0  0  0  0  0  0  0  ­IpPtix  0  0  0  0  ­npt*ljx  0  0  0  _0  0  0  0  (kpfi­rp­)/jrl_  R ó w n a n i e  macierzowe  (40) rzę du  drugiego  sprowadzono  do  równania  rzę du  pierw­ szego w postaci  (41)  przy  czym  P q + Q q  = 0,  q  ­ C a ] ­  Q ­ U ­ b ]  Również   (42)  gdzie  macierz  stanu  R ma  postać   Q  p  =  R q ,  (43)  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  75  Rozwią zanie  sprowadzono  do wyznaczenia  wektorów  własnych  ąwj  i  odpowiadają cych  i m  wartoś ci  własnych  A J i J + 1  =  Łj,j+i±iVj,j+i   macierzy  stanu  R  (43).  Rozwią zanie  ogólne  ma  p o s t a ć   8  (44)  q ( 0 = Ł  CjąWJexp(Xjt),  gdzie  Cj oznaczają  stałe  zależ ne  od w a r u n k ó w  począ tkowych  bę dą cych  wartoś ciami  za­ kłóceń  od ruchu  ustalonego  dla chwili  t  = 0, r i ,  —  czę stość  oscylacji  o okresie  T =  —t,  П   ln 2  л   I; —  współczynnik  tłumienia,  przy  czym  T1/2  = —z­t — czas  stłumienia  amplitudy  do  połowy  dla f  < 0, a w przypadku  £ > 0, czas  podwojenia  amplitudy.  5.  P r z y k ł a d  liczbowy  i  wnioski  Przykładowe  obliczenia  wykonano  dla lekkiego  samolotu  turystycznego klasy  «Wilga».  Rozwią zano  układ  r ó w n a ń  (40) wyznaczając  wektory  własne  qwj  i  odpowiadają ce  i m  wartoś ci  własne  Л, macierzy  stanu R  (43).  Wszystkie  obliczenia  wykonano  według  własnych  p r o g r a m ó w  na  E M C  G I E R  w Z a ­ kładzie  Obliczeń  Numerycznych  Uniwersytetu  Warszawskiego.  2, 9  2, 7  0, 06  0, 04  ­2,1  ­2,3   0,  ^з,4  =  £з,4 +  »?з,4  charakteryzuje  wahania  okresowe  odpowiadają ce  halen­ drowaniu  p  i  v  sprzę ż onemu  z  ruchem  odchylają cym  r,  ruchy  zawsze  tłumione  f 3 i 4 .  < 0,  ^5,6  =  £56±»?56  charakteryzuje  ruchy  okresowe  lub aperiodyczne  lotek  в   lub  sprzę ż one  z  ruchami  przechylają cymi  samolotu p  tłumio­ A 5  = f 5  nymi  | 5 6 < 0  lub rozbież nymi  £ 5 > 6  > 0,  А б  =  £ б   ^78  —  £ 7 8 ± » / 7 , 8  charakteryzuje  drgania  gię tne  skrzydeł  zawsze  tłumione  f 7 8  < 0 o  czę stoś ci  ł 7 7 8  bliskiej  czę stoś ci  drgań  własnych  skrzydeł  ш .  1  *  a)  Wpływ  sztywnoś ci  układu  sterowania  na statecznoś ć  samolotu.  Wzrost  sztywnoś ci  w  układzie  sterowania  (rys.  5 i 6) powoduje  spadek  tłumienia  aperiodycznych  wychyleń   84,7  84,5  .is  •у *  у   <г ?,8  15,6  Jł­0m;  Vc­40ms~)  Tr10kG­m­s­r od' 1  xct . ­0, 039;   ni g­12Hz  20,0  16,0  12,0  8,0  4,0  0  ­4,0  ­8,0  ­8,280  ­8,285  Rys.  6.  W s p ó ł c z y n n i k i  tłumienia  f  i  czę stoś ci  oscylacji  tj wartoś ci  w ł a s n y c h  л 5 ­ ^ А 8  w funkcji  sztywnoś ci  u k ł a d u  sterowania  lotkami  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  77  lotek  j  przy  niezmiennych  charakterystykach  ruchów  spiralnych  Ł 2  i  holendrowania  Я 3 4  (rys.  5).  Wzrost  sztywnoś ci  również  nie  ma  wpływu  na  drgania  gię tne  skrzydeł,  za­ r ó w n o  na  czę stość  rj18,  jak  i  tłumienie  f 7 8  <  0,  silnie  natomiast  wpływa  na  tłumienie  i  charakter  ruchu  lotek  sprzę ż ony  z  przechylaniem  samolotu  (rys.  6).  Przy  małej  sztywnoś ci  u k ł a d u  sterowania  lotkami,  wychylenia  lotek  /3 i ruchy  przechy­ lają ce  samolotu  p  są  aperiodycznymi  ruchami  rozbież nymi  | 5  >  0  i  | 6  >  0,  które  przy  wzroś cie  sztywnoś ci  przechodzą  w  periodyczne  ruchy  o  czę stoś ci  rj56,  począ tkowo  rozbież­ ne  f 5 6  >  0,  a  nastę pnie  tłumione  £ 5 6  <  0  (rys.  6).  b)  Wpływ  tłumienia  w  układzie  sterowania  lotkami  na  statecznoś ć  samolotu. Wzrost  tłu­ mienia  wiskotycznego  w  układzie  sterowania  lotkami  (rys.  7  i  8)  powoduje  zwię kszenie  silnego  tłumienia  | t  <ś  0  aperiodycznych  wychyleń  lotek  /3  (rys.  7)  przy  niezmiennym  ­ii  1 Rys.  7.  W s p ó ł c z y n n i k i  tłumienia  £  i  czę stoś ci  oscylacji  t]  pierwszych  czterech  w a r t o ś ci  w ł a s n y c h  A i ­ r A 4  w  funkcji  tłumienia  u k ł a d u  sterowania  lotkami  • ..  j  '  '  •   charakterze  ruchów  spiralnych  samolotu  | 2  >  0  oraz  czę stoś ci  ł ? 3 4  i  tłumienia  | 3 4  <  0  holendrowania  samolotu  (rys.  7). Tłumienie  w  układzie  sterowania  również  nie  ma  wpływu  na  czę stoś ci  t i 7 8  i  tłumienie  £ 7 8  <  0  drgań  gię tnych  skrzydeł  (rys.  8).  Zmiana  tłumienia  w  układzie  sterowania  ma  decydują cy  i  najbardziej  istotny  wpływ  na  wychylenia  lotek  /3 i sprzę ż one  z  nimi  ruchy  przechylają ce  samolotu  p  (rys.  8). Przy  mały m  tłumieniu  wystę pują  oscylacje  harmoniczne  o  czę stoś ci  rj56,  począ tkowo  silnie  rozbież ne  f 5 6  >  0,  przechodzą ce  w  tłumione  f s 6  <  0  z  równoczesnym  spadkiem  czę stoś ci  oscylacji  78  J .  M A R Y N I A K ,  M .  Z L O C K A  84,7  84,5  12,0  8,0  4,0  0  ~4,0  ­8,0  ­12,0  1  Q7,B  \Q5,6  \  H­Om;   Vc­40m­s';   к ц ­Ю О к С ­т ­г с н Г 1  Xci ­0, 039;   ni g  =12Hz  is  "  [kG­m­s­ •rad'1]  _  j g _ _  Rys.  8.  W s p ó ł c z y n n i k i  tłumienia  f  i  c z ę s t o ś ci  oscylacji  rj  wartoś ci  w ł a s n y c h  A5­=­A8  w  funkcji  tłumienia  u k ł a d u  sterowania  lotkami  T]s6.  Przy  pewnym  tłumieniu  krytycznym  drgania  okresowe  lotek  i  skrzydeł  przechodzą   w  silnie tłumione  ruchy  aperiodyczne  | 5  <  0  i  | 6  <  0  (rys.  8).  c)  Wpływ  wyważ enia  lotek na statecznoś ć  samolotu. Przednie  wyważ enie  lotek  korzystnie  wpływa  na  własnoś ci  dynamiczne  samolotu, jak  również  i  ruchy  samych  lotek  przez  usta­ tecznianie  samolotu  (rys.  9).  Zmiana  wyważ enia  ma  decydują cy  wpływ  na  wychylenia lotek  p i  ruchy  przechylają ce  samolotu  p.  Wyważ enie  statyczne  zerowe,  jak  i  przednie  (tzn.  ś rodek  masy  lotki  znajduje  się  w  osi obrotu  lotki  lub przed  osią)  powoduje  ruchy  aperiodyczne  silnie tłumione  Ł 5  <  0  i  Ё6  <  0,  natomiast  wyważ enie  tylne  sprzyja  wystę powaniu  oscylacji periodycznych o  czę­ stoś ci tjs6  i  tłumieniu  f 5 6  <  0.  6.  Wnioski  ogólne  Uwzglę dnienie  dodatkowych  stopni  swobody, jakimi  są  odkształcalność  gię tna  skrzydeł  i  wychylenia sprę ż yste  lotek  w  stosunku  do  wyników  otrzymanych  w przypadku  samolotu  sztywnego  powoduje  pojawienie  się  dodatkowych  czterech  wartoś ci  własnych.  Wartoś ci  własne  X2  i  X3A  są  ś cisłymi  odpowiednikami wartoś ci  własnych  charakteryzu­ ją cych  ruchy  samolotu  sztywnego,  tj.  ruchy  spiralne  i  holendrowanie.  W  rozważ anym  przypadku  brak  odpowiednika charakteryzują cego  aperiodyczne, silnie  tłumione  przechylanie  samolotu  sztywnego.  Wystę puje  natomiast  silne  sprzę ż enie  wzglę d­ nych  wychyleń  lotek  P z  ruchami  przechylają cymi  samolotu  p.  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  79  Silnie  tłumione  drgania  gię tne  skrzydeł  nie wpływają  w  istotny  sposób  na  pozostałe  ruchy  samolotu,  same  natomiast  wyłą cznie  zależą  od sztywnoś ci  skrzydeł.  Otrzymane  wyniki i na ich  podstawie  wycią gnię te  wnioski  są słuszne  dla  rozważ anego  przykładu.  Zastosowanie  ich do  innego  typu  samolotu  lub obiektu  latają cego  wymaga  dodatkowych  obliczeń  numerycznych  według  opracowanych  p r o g r a m ó w .  8461  84,60  n7,8  W­0/77;  Vc­40m­i• ;  kp­50kBm­r ad~)  ni g­12Hz  '  Tr50k6­m­r ad~'­S  ­0,16  ­0,08  0  0,03  0,16  0,24  ­2,15  Rys.  9.  W s p ó ł c z y n n i k i  t ł u m i e n i a  §  i  c z ę s t o ś ci  oscylacji  r) w  funkcji  stopnia statycznego  w y w a ż e n ia  lotek  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  B.  E T K I N ,  Dynamics of  Flight. Stability and Control, New  York  1959.  2.  B .  E T K I N ,  Dynamics of Atmospheric Flight, John  Wiley,  New  York  1972.  3.  W .  F I S Z D O N ,  Mechanika lotu, C z . П ., P W N ,  Ł ó d ź  — Warszawa  1961.  4.  R .  G U T O W S K I ,  Mechanika analityczna,  P W N ,  Warszawa  1971.  5.  R .  G U T O W S K I ,  Równania  róż niczkowe  zwyczajne,  W N T ,  Warszawa  1971.  6.  J .  M A R Y N I A K ,  The Influence  of  Aileron  Flexibility  and  Mass  Unbalance on  the  Fleitter  Speed, Aero  Revue,  2  (1967).  7.  J .  M A R Y N I A K ,  Uproszczona analiza statecznoś ci  bocznej szybowca  holowanego  na  linie,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  7,  1  (1969).  ' 8.  J .  M A R Y N I A K ,  M . L O S T A N ,  Wpływ  odkształcalnoś ci  gię tnej  skrzydła  na  statecznoś ć  podłuż ną  szybowca,  Mech.  Teoret.  i Stos., 8,  2  (1970).  80  J .  M A R V N I A K ,  M .  Z Ł O C K A  9.  J .  M A R Y N I A R ,  Z . G O R A J ,  Wpływ  sztywnoś ci  i  tłumienia  w  układzie  sterowania sterem  wysokoś ci  na  statecznoś ć  podłuż ną  samolotu  i oscylacje steru, Mech.  Teoret.  i Stos.,  13, 2 (1975).  10.  Nowoczesne metody numeryczne,  opracowane  przez National  Physical  Laboratory Teddington Middles­ sex.  U . K .  O G A T A ,  Metody przestrzeni  stanów  w teorii sterowania,  W N T ,  Warszawa  1974.  12.  A .  R A L S T O N ,  Wstę p  do analizy numerycznej,  P W N , Warszawa  1971.  13.  P.  R U B E L E K ,  Wpływ  sztywnoś ci  i  tłumienia  w  układzie  sterowania  sterem wysokoś ci  na statecznoś ć  po­ dłuż ną  samolotu  z  uwzglę dnieniem  sztywnoś ci  gię tnej  usterzenia poziomego, praca  dyplomowa  magister­ ska,  IMS PW, Warszawa  1974 (nie  publikowana).  14.  M . Z Ł O C K A ,  Wpływ  sztywnoś ci  i  tłumienia  w  układzie  sterowania  lotkami na statecznoś ć  boczną  samo­ lotu z  uwzglę dnieniem  odksztalcalnoś ci  gię tnej  skrzydeł,  praca  dyplomowa  magisterska  IMS PW, War­ szawa  1974  (nie  publikowana).  15.  К . А .  А Б Г А Р Я Н,  М а т р и ч н ы е  и  а с и м п т о т и ч е с к и е  м е т о д ы  в  т е о р и и  л и н е й н ы х  с и с т е м .  И з д.  Н а у к а,  М о с к ва  1973.  16.  П .  А П П Е Л Ь,  Т е о р е т и ч е с к а я  м е х а н и к а ,  И з д. ф и з ­ м а т .,  1960.  17.  Ф . Р .  Г А Н Т М А Х Е Р,  Т е о р и я  м а т р и ц ,  И з д. Н а у к а,  М о с к ва  1966.  18.  К . С .  К О Л Е С Н И К О В,  В . Н .  С У Х О В,  У п р у г и й  л е т а т е л ь н ы й  а п п а р а т  к а к  о б ъ е к т  а в т о м а т и ч е с к о г о   у п р а в л е н и я ,  М а ш и н о с т р о е н и е,  М о с к ва  1974.  19.  А . И .  Л У Р Ь Е,  А н а л и т и ч е с к а я  м е х а н и к а ,  Г о с т.  И з д. ф и з ­ м а т .,  М о с к ва  1961.  20.  И . В .  О С Т О С Л А В С К И Й,  И . В .  С Т Р А Ж Е В А,  Д и н а м и к а  п о л е т а .  У с т о й ч и в о с т ь  и у п р а в л я е м о с т ь  л е т а ­ т е л ь н ы х  а п п а р а т о в ,  И з д. М а ш и н о с т р о е н и е,  М о с к ва  1965.  21.  Л . А .  П А Р С,  А н а л и т и ч е с к а я  м е х а н и к а ,  И з д. ф и з ­ м а т .,  М о с к ва  1960.  22.  И . В .  С Т Р А Ж Е В А,  В . С .  М Е Л К У М О В,  В е к т о р н о ­м а т р и ч н ы е  м е т о д ы  в  м е х а н и к е  п о л е т а ,  М а ш и н о­ с т р о е н и е,  М о с к ва  1973.  23.  Д ж. X .  У и л к и н с о н,  А л г е б р а и ч е с к а я  п р о б л е м а  с о б с т в е н н ы х  з н а ч е н и й ,  И з д. Н а у к а,  М о с к ва  1970.  j  Р е з ю ме   Б О К О В АЯ  У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  С А М О Л Е ТА  И  К О Л Е Б А Н ИЯ  Э Л Е Р О Н ОВ   П РИ  И З Г И Б А Ю Щ ЕЙ  Д Е Ф О Р М А Ц ИИ  К Р Ы Л Ь ЕВ  П РИ  Н А Л И Ч ИИ   У П Р У Г О С ТИ  В  С И С Т Е МЕ  У П Р А В Л Е Н ИЯ   В  р а б о те  и с с л е д о в а но  в л и я н ие  ж е с т к о с ти  и  д е м п ф и р о в а н ия  в  с и с т е ме  у п р а в л е н и я,  а  т а к же   в л и я н ие  р а с п о л о ж е н ия  ц е н т ра  м а с сы  э л е р о н ов  н а  б о к о в ую  у с т о й ч и в о с ть  с а м о л е та  и  к о л е б а н ия   э л е р о н о в.  П р и н и м а л о с ь,  ч то  с а м о л ет  я в л я е т ся  ж е с т с к ой  м е х а н и ч е с к ой  с и с т е м ой  с и з г и б н ой  д е ф о р м а ц и ей   к р ы л ь ев  и  с  о т к л о н я е м ы ми  э л е р о н а м и.  У р а в н е н ия  д в и ж е н ия  б ы ли  в ы в е д е ны  в  к в а з и ­ к о о р д и н а т ах  с  п р и м е н е н и ем  у р а в н е н ия  Б о л ь­ ц м а н а ­ Г а м е ля  д ля с и с т е мы  с  г о л о н о м н ы ми  с в я з я м и.  У ч и т ы в а л о сь  п я ть  с т е п е н ей  с в о б о ды  —  т ри   с т е п е ни  с в о б о ды  ж е с т с к о го  с а м о л е т а:  у г ол  к р е н а,  у г ол  т а н г а жа  и  б о к о в ое  п е р е м е щ е н и е,  а т а к ж е:  а н т и с и м м е т р и ч е с к ие  и з г и б н ые  д е ф о р м а ц ии  к р ы л ь ев  и  у п р у г ие  о т к л о н е н ия  э л е р о н о в.  П о с ле  л и н е а р и з а ц ии  с и с т е мы  у р а в н е н ий  р е ш е н ие  б ы ло  с в е д е но  к  о п р е д е л е н ию  с о б с т в е н н ых   в е к т о р ов  и  с о о т в е т с т в у ю щ их  и м с о б с т в е н н ых  з н а ч е н ий  м а т р иц  с о с т о я н и я.  S u m m a r y  . " • л , ,  L A T E R A L  S T A B I L I T Y  O F A  P L A N E  A N D A I L E R O N  V I B R A T I O N S ,  F L E X I B I L I T Y  O F  W I N G S  A N D E L A S T I C I T Y  O F C O N T R O L  S Y S T E M  B E I N G  T A K E N  I N T O  C O N S I D E R A T I O N  The  paper  deals  with  the effect  of  rigidity  and damping  of  control  system  and the  effect  of  aileron  static  trim  degree on the  lateral  stability  of a  plane  and  aileron  vibrations.  The  plane  was  considered  as  an  ideally  rigid  mechanical  system  with  flexibly  deformable  wings  and movable  ailerons.  S T A T E C Z N O Ś Ć  B O C Z N A  S A M O L O T U  81  The  equations  of  motion  in quasi­coordinates  were  written  using  Boltzmann­Hamel  equations  for  the  system  with  holonomic constraints.  Five  degrees of freedom  were  considered, i.e.  three degrees of  freedom  of  a plane as a rigid  body: rolling,  yawing and sideslip  and anti­symmetrical flexible  wing deformation and  elastic  aileron  displacement.  After  the  equation  system  linearization the  solution  was  reduced  to  finding  the  eigenvectors  and  the  corresponding  eigenvalues  of  the  state  matrix.  I N S T Y T U T  M E C H A N I K I  S T O S O W A N E J  P O L I T E C H N I K I  W A R S Z A W S K I E J  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  7  kwietnia 1975  r.  6  Mechanika  Teoretyczna